初三数学培优——一元二次方程应用题

第4讲一元二次方程的应用知识纵横方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。

许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。

一元二次方程的应用有以下几个方面：(1)求代数式的值；(2)列二次方程解应用题；(3)解相关几何问题。

例题求解【例1】在平面直角坐标系中有点)2,2(-A 、)2,3(B ，C 是坐标轴上一点。

若ABC ∆是直角三角形，则满足条件的点C 的坐标是_________。

【例2】已知实数x 、y 满足32424=-x x ，324=+y y ，则y x 444+的值为（）。

A．7B．2131+C．2137+D．5【例3】在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块高墙（墙长15cm）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围城（如图所示）。

若花园的BC 边长为x（m），花园的面积为y（m 2）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m 2吗？若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？【例4】已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s，点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度2m/s，连接PQ。

若运动时间为t（s）（2<t<2)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ∥BC？（2）（2）设△AQP 的面积为y（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）（3）如图②，连接PC，并把PQC ∆沿QC 翻折，得到四边形PQP′C，并且存在某一时刻t，使四边形PQP′C 为菱形，求此时AQP ∆的面积.【例5】如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A，分别交x 轴于点B 和点C，点D 是直线AC 上的一个动点。

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.2．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数） （1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可.【详解】(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4，∵无论m 为何值时m 2≥0，∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．4．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．5．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．6．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k的值；(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)证明：1,(3),3a b k c k==-+=24b ac∆=-∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.7．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调a%出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35.【解析】【分析】 （1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，11月的进货价为： 340602元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去)所以a =35.【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.8．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．9． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的） 则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。

九年级数学上册一元二次方程（培优篇）（Word版含解析）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．阅读与应用：阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2(当a＝b时取等号)．阅读2：若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝时，周长的最小值为；问题2：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1h的耗油量为yL．(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.【解析】【分析】（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．【详解】(1)∵x+≥2＝4，∴当x＝时，2(x+)有最小值8．即x＝2时，周长的最小值为8；故答案是：2；8；问题2：，当且仅当，即x ＝90时，“＝”成立，所以，当x ＝90时，函数取得最小值9，此时，百公里耗油量为，所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ．【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．2．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7213,k =±详见解析 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围． （2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7213.k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=144137213.k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17213.3+-＞ ∴满足条件的k 值存在，且7213.k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，得△ACD ，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D ，（1）点C 的坐标为 ；（2）①设△BCD 的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围；②当S=6时，求点B 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C （8，8）；（2）①S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；②点B 的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC ＝AO ＝8，∠OAC ＝90°，得出C （8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC ＝OB ＝m ，∠ACD ＝∠AOB ＝90°，∠OAC ＝90°，得出∠ACE ＝90°，证出四边形OACE 是矩形，得出DE ⊥x 轴，OE ＝AC ＝8，分三种情况：a 、当点B 在线段OE 的延长线上时，得出BE ＝OB−OE ＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m 2−4m （m ＞8）即可；b 、当点B 在线段OE 上（点B 不与O ，E 重合）时，BE ＝OE−OB ＝8−m ，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27；当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．4．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题5．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.【解析】试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°∴∴OB=16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20∵BE=5，∴AE=15．如图1，作EM⊥x轴于点M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，即：∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．∴E（3，12）．∴k=36；（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；方法：如下图①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）如图①∵E （3，12），C （﹣6，0），∴CG=9，EG=12， ∴EG 2=CG•GP ， ∴GP=16，∵△CPE 与△PCQ 是中心对称，∴CH=GP=16，QH=FG=12， ∵OC=6， ∴OH=10，∴Q （10，﹣12），如图②作MN ∥x 轴，交EG 于点N ，EH ⊥y 轴于点H ∵E （3，12），C （﹣6，0），∴CG=9，EG=12， ∴CE=15， ∵MN=CG=， 可以求得PH=3﹣6，同时可得PH=QR ，HE=CR ∴Q （﹣3，6﹣3）， 考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.6．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值. 【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.【解析】【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，解这个不等式，得56x ≤，答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．7．如图直线y ＝kx +k 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，且AB ＝2（1）求k 的值；（2）点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB 运动，过点P 作直线AB 的垂线交x 轴于点Q ，连接OP ，设△PQO 的面积为S ，点P 运动时间为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P 在AB 的延长线上，若OQ +AB （BQ ﹣OP ），求此时直线PQ 的解析式．【答案】（1）k＝3．（2）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t）•3t＝﹣3 2t2+34t．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣1）•3t＝3t2﹣3t．（3）直线PQ的解析式为y＝﹣3x+53．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝223AB OA-=∴k＝3．（2）如图，∵tan ∠BAO＝OB OA= ∴∠BAO ＝60°，∵PQ ⊥AB ，∴∠APQ ＝90°，∴∠AQP ＝30°，∴AQ ＝2AP ＝2t ， 当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t）•2t＝﹣2t 2+4t ． 当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1＝2． （3）∵OQ +AB（BQ ﹣OP ），∴2t ﹣1+2∴2t +121t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7，∴3t 2﹣11t +6＝0，解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P（12，2），Q （5，0）， 设直线PQ 的解析式为y ＝kx+b ，则有12250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为33y x =-+． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x-+--+=239622x x--+=23375()228x-++，∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 的2倍． 因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为2，所以EF ＝FG ＝GH ＝HE 2EB ＝x ，则BF 2﹣x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC∴BF ＝AE 2﹣x在Rt △AEB 中，由勾股定理，得x 2+2﹣x ）2＝12解得，x 1＝x 2＝22∴BE ＝BF ，即点B 是EF 的中点．同理，点C ，D ，A 分别是FG ，GH ，HE 的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD ， 一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+﹣x）2=12，整理得2x2﹣+n﹣1=0，b2﹣4ac=8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．10．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；（2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．（2）∵篱笆长11m，∴y＝（11﹣2x）m．依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y关于x的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm 的两段；（2）两正方形面积之和为48时，，，∵，∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时，x2+4x+4＝0（x+2）2＝0解得：x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．4．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.5．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），答：m 的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．6．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解,（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去，∴m 的值为3．【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.7．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.【答案】(1) k ＜14;(2) k=0.【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，代入x1+x2+x1x2-1=0，即可求出k值．【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不等实根x1，x2，∴△=（2k-1）2-4×1×k2=-4k+1＞0，解得：k＜14，即实数k的取值范围是k＜14；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，∵x1+x2+x1x2-1=0，∴1-2k+k2-1=0，∴k2-2k=0∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根，∴k=2不合题意，舍去，∴k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．8．阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣10|﹣10=0．【答案】x1=4，x2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x2﹣x=0，当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x2﹣x+10﹣10=0，解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．9．关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-4x +2=0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2.（2）m =0或m =83-.【解析】分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的k 的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值.详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根，∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0.解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3，将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0，解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0.把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-.∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。

初三培优 易错 难题一元二次方程组辅导专题训练及答案一、一元二次方程1．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1，x 2=12．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2 【解析】【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，设方程的两个根为m ，n ，∴m ＋n ＝5，mn ＝5，∴==.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．3．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.5．如图，在Rt ABC V 中，90B =o ∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=o ，10AC =，6BC =，∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ，则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，∵1632160=-=-<V ，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.6．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围． 试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m ＋1）≥0，解得m ≤4；（2）根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，而2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，所以2（2m ＋1）＋6≥20， 解得m≥3，而m≤4，所以m 的范围为3≤m≤4．7．校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由． （2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x 1=7，x 2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y 2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．8．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.9．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．10．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.11．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知2(3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A.m ≠3B.m ≥3C.m ≥-2D. m ≥-2且m ≠32. 已知关于x 的方程21(1)(2)10mm x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，求m 的值．4.若一元二次方程2(24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 .专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式5.已知关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.26.若一元二次方程ax 2+bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 .7.已知实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，求代数式22120122013a a a +--的值.知识要点：1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.温馨提示：1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.方法技巧：1.ax k+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.答案： 1. D 解析：3020m m -≠⎧⎨+≥⎩，解得m ≥-2且m ≠32.解：（1）当212,10m m ⎧+=⎨+≠⎩时，它是一元二次方程.解得：m=1．当m=1时，原方程可化为2x 2-x-1=0； （2）当20,10m m -≠⎧⎨+=⎩或者当m+1+（m-2）≠0且m 2+1=1时，它是一元一次方程.解得：m=-1，m=0.故当m=-1或0时，为一元一次方程．3.解：由题意，得：210,10.m m ⎧-=⎨-≠⎩ 解得：m=－1．4.a=-2 解析：由题意得360,240.a a +=⎧⎨-≠⎩解得a=－2.5. A 解析：∵关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），∴a 2－ab+a=0.∴a （a －b+1）=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．6.x=－1 解析：比较两个式子会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x 2对应了第二个式子中的1，第一个式子中的x 对应了第二个式子中的-1.故211x x ⎧=⎨=-⎩.解得x=－1.7. 解：∵实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，∴a 2－2013a+1=0. ∴a 2+1=2013a ，a 2－2013a=－1. ∴2.2 一元二次方程的解法专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值1.若方程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或92.如果代数式x2+6x+m2是一个完全平方式，则m= .3.用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c专题三解绝对值方程和高次方程7.若方程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .8.阅读题例，解答下题：例：解方程x2－|x－1|－1=0.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系9.探究下表中的奥秘，并完成填空：10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程3x （x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x （x+2）-5（x+2）=0， 这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知 道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个 因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方程 x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x 1=-2，x 2=53． 根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a ﹒b ＞0，则有 0,0a b >⎧⎨>⎩或者0,0.a b <⎧⎨<⎩请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式51023x x ->-的解集，如果不正确，请说明理由．专题五 利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值11. 设x 1、x 2是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a =2，则a = ． 12.（2012·怀化）已知x 1、x 2是一元二次方程()0262=++-a ax x a 的两个实数根，⑴是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2=4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；⑵求使（x 1＋1）（x 2＋1）为负整数的实数a 的整数值．13.(1)教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2,x 1+x 2=－b a ,x 1·x 2=ca .根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x 1、x 2的代数式的值．例如：已知x 1、x 2为方程x 2-2x-1=0的两根，则：（1）x 1+x 2=____，x 1·x 2=____，那么x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2 x 1·x 2=__ __． 请你完成以上的填空．．．．．．．．．． （2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n+的值． 解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n +-=．∴21110n n --=. 又210,m m --=且1mn ≠，即1m n ≠．∴1,m n是方程210x x --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1．（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221m n+的值．知识要点：1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac 与一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解； 当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； △<0时，一元二次方程没有实数解.3.一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2与系数a 、b 、c 之间存在着如下关系： x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=.温馨提示： 1.x 2+6x+m 2是一个完全平方式，易误以为m=3.2.若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2有双层含义：（1）ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0；（2）x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=.方法技巧：1.求二次三项式ax 2+bx+c 极值的基本步骤：（1）将ax 2+bx+c 化为a （x+h ）2+k ；（2）当a>0，k>0时，a （x+h ）2+k ≥k ；当a<0，k<0时，a （x+h ）2+k ≤k.2.若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）． 3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.4.解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解.5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.答案： 1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．2. ±3 解析：据题意得，m 2=9，∴m=±3．3.证明：－2x 2+4x －5=－2（x 2－2x ）－5=－2（x 2－2x+1）－5+2=－2（x －1）2－3.∵（x －1）2≥0，∴－2（x －1）2≤0，∴－2（x －1）2－3＜0.∴无论x 为何实数，代数式－2x 2+4x-5的值恒小于零．4.A 解析：△=（2c ）2﹣4（a +b ）（a +b ）=4（a +b +c ）（c ﹣a ﹣b ）.根据三角形三边关系，得c ﹣a ﹣b ＜0，a +b +c ＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．5.A 解析：当kx 2+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时k=0； 当kx 2+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则203420k k ≠⎧⎨-⨯⨯≥⎩.解得98k ≤且k ≠0.综上所述98k ≤.6.A 解析：∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b 2－4ac＝0，又a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ，代入b 2－4ac ＝0得（－a －c ）2－4ac ＝0，化简得（a－c ）2＝0，所以a ＝c ．7.13 解析：由题意得x 2+y 2-5=±8.解得x 2+y 2=13或者x 2+y 2=－3（舍去）.8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x 2+2（x+2）－4=0，∴x 2+2x=0.解得x 1=0，x 2=－2；②当x+2＜0，即x ＜-2时，x 2－2（x+2）－4=0，∴x 2－2x －8=0. 解得x 1=4（不合题设，舍去），x 2=－2（不合题设，舍去）． 综上所述，原方程的解是x=0或x=－2． 9.41-，﹣3；41，3．发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．11.8 解析：∵x 1x 2＝－3，x 22+4x 2－3=0，∴2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2转化为2x 1(x 22+4x 2－3+ x 2)+a =2. ∴2x 1x 2+a =2.∴2×(－3)+a ＝2.解得a ＝8.12.解：（1）根据题意，得△=（2a ）2－4×a （a －6）=24a ≥0．∴a ≥0． 又∵a －6≠0，∴a ≠6．由根与系数关系得：x 1＋x 2=－62-a a ，x 1x 2=6-a a. 由－x 1＋x 1x 2=4＋x 2 得x 1＋x 2 ＋4=x 1x 2.∴－62-a a ＋4 =6-a a，解得a =24．经检验a =24是方程－62-a a ＋4 =6-a a的解．（2）原式=x 1＋x 2 ＋x 1x 2 ＋1=－62-a a ＋6-a a ＋1=a-66为负整数，∴6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a =7或8，9，12．13.解：（1）2，－1， 6．（3）由n 2+3n-2=0可知n ≠0,∴1+3n －2n 2=0.∴2n 2－ 3n －1=0.又2m 2-3m-1=0,且mn ≠1，即m ≠1n ．∴m 、1n是方程2x 2-3x-1=0的两根．∴m+1n = 32,m ·1n =－12,∴m 2+ 1n 2=(m+ 1n )2-2m ·1n =( 32)2-2·(－12)= 134.2.3 一元二次方程的应用专题一、利用一元二次方程解决面积问题1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为a m，宽为b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草m；坪的面积可表示为2（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时m；余下草坪的面积为2（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！（如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒m．求小路的宽x.为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为14212专题二、利用一元二次方程解决变化率问题4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，20XX年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？6.（2012·广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670 元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题7.（2012·济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？8.（2012·南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题9. (1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点．．．．．．的对角线有条.(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明得出结论的道理.10.如图每个正方形是由边长为1的小正方形组成．（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．知识要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.温馨提示：1.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．2.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程．3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性. 方法技巧：1. 变化率问题中常用a （1±x ）n=b ，其中a 是起始量，b 是终止量，n 是变出次数，x 是变 化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.答案：1.解：设高为x 米，则宽为9.50.523x --米.由题意，得9.50.5233xx --⨯=.解得121.5,3x x == (舍去,高度为2.8m 的一面墙上). 当x=1.5时，宽9.50.529.50.53233x ----==.答：高为1.5米,宽为2米.2.解：设横、竖彩条的宽度分别为2xcm 、3xcm ，由题意，得（20－6x ）（30－4x ）=（1－13）×20×30.整理，得6x 2－65x ＋50＝0. 解，得x 1＝56，x 2＝10（不合题意，舍去）.∴2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm ，52cm ．3.解：(1)(1)a b -（或ab a -）；(2) (1)a b -（或ab a -）；(3)将笔直的小路平移到草坪的左边，则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为（30-x ）m,由题意得：(50-x)（30-x ）=1421. 解得 x 1=1， x 2=79（舍去）. 答：小路的宽为1m.4.解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a ，合理利用量的增长率是x ，由题意，得30%a （1+x ）2=60%a.∴x 1≈0.41，x 2≈-2.41（不合题意舍去）．∴x≈0.41． 答：每年的增长率约为41%．5.解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意，得1＋x ＋(1＋x )x ＝81.整理得(1＋x )2＝81. ∴x 1＝8，x 2＝ －10（舍去）.∴(1＋x )3＝(1＋8)3＝729＞700． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．6.解：（1）设平均每次下调%p ，则有5670%)1(70002=-p .∴81.0%)1(2=-p .∵1—p%>0，∴1—p%=0.9. p%=0.1=10%.答：平均每次下调10%；（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元×(1—5%)×(1—15%）=5652.5元. ∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些．7.解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，所以该校购买树苗超过60棵．精品资料 欢迎下载 设该校共购买了x 棵树苗，由题意，得()1200.5608800x x --=⎡⎤⎣⎦ . 解得12220,80x x ==． 当1220x =时，()1200.52206040100--=<，∴1220x =不合题意，舍去；当280x =时，()1200.58060110100--=>，∴280x =.∴80x =.答：该校共购买了80棵树苗．8.解：(1)27－0.3=26.7；（2）设需要销售出x 部汽车可盈利12万元.①当销售10部以内（含10部）时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+0.5x=12.解得6)(2021=-=x x ，不合题意，舍去.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元. ②当销售10部以上时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+x=12.解得24,521-==x x ，均不合题意，应舍去.答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.9.解:（1）n －3；(2)设这个凸多边形是n 边形,由题意,得(3)142n n -=. 解得127,4n n ==- (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形.(3)不存在.理由:假设存在n 边形有21条对角线. 由题意,得(3)212n n -=. 解得31772n ±=.因为多边形的边数为正整数，但31772±不是正整数，故不合题意.所以不存在有18条对角线的凸多边形.10.解：（1）1，5，9，13（奇数）2n －1；4，8，12，16（偶数）2n ．（2）由（1）可知n 为偶数时P 1=2n ．∴P 2=n 2－2n.根据题意得n 2－2n=5×2n ，n 2－12n=0，解得n=12，n=0（舍去）．∴存在偶数n=12使得P 2=5P 12．。

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值． 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x 1=﹣13，x 2=23． 【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x 2=23． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。

卜人入州八九几市潮王学校中大附中三水实验九年级数学培优教程〔二〕一元二次方
程
1、关于x 的一元二次方程kx 2
-(2k-1)x+k=0有两个不相等的实根，求k 的取值范围。

2、关于x 的方程0122
=--x k x 有实根，求k 的取值范围：。

3、关于x 的方程kx 2-4x+3=0有实根，那么k 的非负整数值是。

4、方程012
=--x x 的两根为。

5、解方程03222=-+a x a x
6、设a ，b ，c 是△ABC 三边的长
，且关于x 的方程)0(02)()(2
2>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根，求证△ABC 是直角三角形。

7、关于x 的方程〔m-2〕x 2-
2(m-1)x+m+1=0，当m 为何非负整数时， 〔1〕方程只有一个实数根〔2〕方程有两个相等的实根〔3〕方程有两个不相等的实根
8、求证：k 为何实数，方程〔k 2+1〕x 2
-2(k-1)x-1=0一定有两个不相等的实根。

9、m ，n 为整数，关于x 的三个方程：x 2-(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实根；x 2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实根；x 2-(m-4)x+n+1=0没有实根；求m ，n 的值。

考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。

针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。

★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。

m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)附答案一、一元二次方程1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x1=1+3，x2=1﹣3．3．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．4．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣．∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数．∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．5．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴x=2b b 4ac 2a--=732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． 探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长； （2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1． 【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5． （1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.6．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．7．解方程：(x＋1)(x－1)＝x.【答案】x1，x2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x＋1)(x－1)＝x2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x2.8．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可． 试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得 1﹣2a+a 2=0， 解得a 1=a 2=1， 所以a 的值为1.9．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解． 【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】 【分析】(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论． 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数， ∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．11．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12， 即x 2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.12．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。