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(同济7版高等数学)上海应用技术大学 17-18(二)高数(工)2期末复习

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同济第七版上册高数考试要点(大一上)

同济第七版上册高数考试要点(大一上)
（根号代换）的积分； • 两种题型：
1）已知 f (x) 表达式，求解 xf (x)d之x 类型--分部积分
2）已知 f ((x))表达式，求解f (x)--整体代换先求 f (t)
2021/11/14
6
第五章 定积分
• 1、掌握定积分的概念、几何意义；定积分的性质 及定积分中值定理
• 2、掌握牛顿—莱布尼茨公式； • 3、变上限定积分定义的函数，及其求导数定理
• 5、能够求出函数在某个区间的极值和最值；实际应 用问题中求最值；
• 6、会求函数的弧微分和曲率。
2021/11/14
5
第四章 不定积分
• 1、熟悉不定积分的性质及24个基本公式； • 2、换元积分法（第一、第二）与分部积分法（反
对幂三指）； • 3、求有理函数（真分式化为部分分式之和）、 • 三角函数有理式（万能公式）和简单无理函数
2021/11/14
3
第二章 导数与微分
• 1、研究函数（分段函数）在一个点是否可导， 可导的依据：左导数和右导数同时存在且相等； • 2、复合函数(在某点)的导数； • 3、隐函数求导和参数方程确定的函数的导 数，
求导要求能够求到二阶导数； • 4.求函数的微分； • 几何题型：求过某点的切线和法线方程； • 特殊类型：幂指函数，积分上限函数。
（各种变形），变上限积分的求极限； • 4、定积分的换元积分法分部积分法；（注意绝对
值函数和分段函数的积分；注意积分区间为对称 区间时可利用奇偶性；） • 5、能够判断反常积分的敛散性。
2021/11/14
7
2021/11/14Fra bibliotek2极限其它题型：研究函数（分段函数）在一个 点的极限是否存在
存在的依据：左极限和右极限同时存在并且相等。

上海工程技术大学-2011-2012高数二期末考试B卷(工科类)

上海工程技术大学-2011-2012高数二期末考试B卷(工科类)

上海工程技术大学《高等数学（二）》B一、填空题（5×4=20分）1．过点)3,2,1(M 且与平面0132=-+-z y x 平行的平面方程是 ．2．设二元函数x y z ln 3+=，则全微分=dz ．3．设点)3,0,2(A ，142||=AB ，向量→AB 的方向余弦为143cos =α，141cos =β，142cos -=γ，则B 点坐标为 ． 4．改变二次积分的积分次序：=⎰⎰xx dy y x f dx 2),(10 ．5．幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径是=R ．二、单项选择题（5×3 = 15分）6．向量b a ⨯与向量a 的位置关系是（ ）．A ．共面B ．垂直C ．平行D ．斜交7．点)2,2(-是函数22)(4),(y x y x y x f ---= 的（ ）．A . 极小值点；B . 驻点；C . 极大值点；D . 非驻点.8. 下列级数中收敛的是（ ）．A .∑∞=12sin n n π； B .∑∞=+-11)1(n n n ； C . ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11313n n n n ； D .∑∞=+123ln n n n .9．级数10!)1(+∞=∑-n n n x n 的和函数是（ ）． A ．x x s i n； B ．x x sin ； C ．)1ln(x x +； D ．x xe -． 10．设函数(,),(,)P x y Q x y 在单连通域D 上具有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+LQdy Pdx 在区域D 内与路径无关的充要条件是（ ）． A . y P x Q ∂∂-=∂∂ B . x P y Q ∂∂=∂∂ C . x P y Q ∂∂-=∂∂ D . yP x Q ∂∂=∂∂. 三、计算题（6×6=36分）1.求旋转抛物面222-+=y x z 在点)3,1,2(M 处的切平面和法线方程． 解：2. 计算二重积分⎰⎰=Dxydxdy I ，其中D 是由抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的闭区域.解：3. 设金属曲线L 是连接点)1,0( A 到点)0,2( B 的直线段，其线密度22),(y x y x +=ρ，求此金属曲线的质量M ．解：4.计算第二类曲线积分⎰+++=L dy y x dx xy x I )()2(322,其中L 为曲线)2sin(x y π=由点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段.5．判断无穷级数∑∞=--1313)1(n n n n 是否收敛？ 若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：6．将函数2()ln(224)f x x x =--展开成x 的幂级数，并指出展开式中x 的取值区间.解：四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑-++=dS z y x I )1(，其中∑是平面y z -=3被圆柱面2522=+y x 所截得的部分．五、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑+-+-=xydxdy dzdx z x dydz z y x I 2)()(其中∑是由柱面122=+y x 与平面0=z 及2=z 所围立体的全表面外侧．六、（8分）求一阶微分方程0)32()43(=++-dy x y dx x y 的通解.七、（6分）证明题 设函数),(y x F u =可微，而ϕϕsin ,cos r y r x ==，求证2222)()()1()(yu x u u r r u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ϕ.。

同济大学《高等数学》第七版上、下册问题详解(详解)

同济大学《高等数学》第七版上、下册问题详解(详解)

练习1-1
文案大全
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练习1-2
文案大全
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练习1-3
文案大全
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文案大全。

多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学（下册）（上海电机学院）

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多元函数微分法和应⽤期末复习试题⾼等数学（下册）（上海电机学院）第⼋章偏导数与全微分⼀、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =??=则=??=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极⼤值B. 在点(-1, 3)处取极⼩值C. 在点(3, -1)处取极⼤值D. 在点(3, -1)处取极⼩值3.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分⽽⾮必要条件B.必要⽽⾮充分条件C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)⽅向的导数=??lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极⼤值B. 在点(1, 1)处取极⼩值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼤值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼩值 6.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分⽽⾮必要条件 B.必要⽽⾮充分条件 C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极⼤值 B. 在点(2, 5)处取极⼩值C.在点(5, 2)处取极⼤值D. 在点(5, 2)处取极⼩值9.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要⽽⾮充分条件 B. 充分⽽⾮必要条件 C.充分必要条件 D.既⾮充分也⾮必要条件10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平⾯x+2y+z=4平⾏的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使⼆元函数(,)x yf x y x y+=-沿某⼀特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满⾜222zy=，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使⼆元函数222(,)xy f x y x y=+在全平⾯连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数2 2(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y+= C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BC.x18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x= A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ??-= B. 220z zx y y x ??-> C.220z zx y y x-0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =??=?+≠??，则极限00lim (,)x y f x y →→（ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极⼤值 (B) 有极⼩值 (C) 不是驻点 (D) ⽆极值 22.⼆元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，⽽r =，()f r 具有⼆阶连续导数，则222222u u ux y z++=（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要⽽⾮充分条件 (B) 充分⽽⾮必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件 25．函数221z x y =--的极⼤值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A) 14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个⼀阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ??=+ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=??===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =??； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ??=??+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()==?x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ?-?+?+→?00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?00000,,lim （D ）()x y x x f x ??+→?000,lim37. 设由⽅程0=-xyz e z确定的隐函数()==x zy x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. ⼆次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

高等数学(数二)知识重点及复习计划

高等数学(数二)知识重点及复习计划
习题1－6：1，2，4
1.7
重点
无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法。习题1－7：1，2，3，4，5
1.8
重点
函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。
7.1
微分方程的基本概念（微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解）
习题7-1：1-4
1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．
2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．
3．会用降阶法解可降阶的微分方程
4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．
5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．
6.2
重点
定积分的几何应用（求平面曲线的弧长，求平面图形的面积，求旋转体的体积，求平行截面为已知的立体体积，求旋转曲面的面积）
习题6－2：2-13，16，21，22，25，30
6.3பைடு நூலகம்
定积分在物理学上的应用（变力沿直线所做的功，水压力，引力）
总复习题六：1－10
第七章微分方程（时间1周，每天2-3小时）
习题2－1：6，7，8，11，14，15，16，17，18,19
1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(3-4章)(圣才出品)

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(3-4章)(圣才出品)

第3章微分中值定理与导数的应用3.1复习笔记一、微分中值定理1．罗尔定理（1）费马引理设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x ∈U（x0），有f（x）≤f（x0）或f（x）≥（x0），则f′（x0）＝0。

（2）罗尔定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导；③在区间端点处的函数值相等，即f（a）＝f（b）。

则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得f′（ξ）＝0。

2．拉格朗日中值定理（1）拉格朗日中值定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），有f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。

（2）拉格朗日中值定理的证明思路引进辅助函数φ（x）＝f（x）－f（a）－（f（b）－f（a））（x－a）/（b－a），再利用罗尔定理，即可证得。

（3）有限增量公式f（x＋Δx）－f（x）＝f′（x＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）或Δy＝f′（x ＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）。

（4）定理如果函数f（x）在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，则f（x）在区间I上是一个常数。

3．柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任一x∈（a，b），F′（x）≠0，则在（a，b）内至少有一点ξ，有[f（b）－f（a）]/[F（b）－F（a）]＝f′（ξ）/F′（ξ）。

二、洛必达法则1．洛必达法则（1）x→a时，0/0的洛必达法则①当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②在点a的某去心邻域内，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；③()()lim x a f x F x →''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x a x a f x f x F x F x →→'='（2）x→∞时，0/0的洛必达法则①当x→∞时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②当|x|＞N 时，f′（x）与F′（x）都存在，且F′（x）≠0；③()()limx f x F x →∞''存在（或为无穷大），则()()()()lim lim x x f x f x F x F x →∞→∞'='注：对于x→a 或x→∞时的未定式∞/∞，也有相应的洛必达法则。

同济七高数上总复习


x
x
1
9.
lim
x0
1 x
1 ex
1
=
___2___
.
型
1
10.lim
x0
ex
e2x 3
e3x
x
=
___e_2__
第22页/共35页
.
1 型
11.
ex lim
sin x 1 = ___1___ . 等价无穷小代换的条件
x0 1 1 x2
sin x 12. lim(
x x
0 0 型 • 用其中一个因子作分母，转化为 0 型或 型
0
1
1 型 • 重要极限II：lim(1 x) x e x0
1型、0型、00型 • 恒等变形u( x)v( x) e , v( x)lnu( x) 指数部分转化为0 型
第7页/共35页
例5. 计算下列极限
(1)
lim
x
x
x2
ln
例10.设y
1
x
x
x
,
求
dy dx
.
x 1 x
x
[ln
x x1
1] x1
第11页/共35页
4. 高阶导数的计算： • 直接计算 • 恒等变形为已知高阶导数公式的函数或其和、差 • 莱布尼兹公式（注意适用范围）
例11.设f ( x) x2e x ,求f (50)(0) __2_4_5_0_ . 例12.设f ( x) xe x ,求f (n)( x) _(__1_)n_(_x. n)e x
x0 sin x ln(1 x)
1
3. lim x0
1+x 1+sinx (e x 1)x sin x

同济 版高等数学 上海应用技术大学 二 高数 工 期末复习

上海应用技术学院2017—2018学年第二学期高等数学（工）2 A课程代码: B122012 学分: 5.5 考试时间: 100 分钟 课程序号:班级： 学号： 姓名:我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

一．单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分），在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1． 设00000(,)(,)lim1x f x x y f x x y x∆→+∆−−∆=∆，则以下三个论断（1）00(,)1x y f x∂=∂； （2）00(,)2x f x y '=； （3）00(,)1y f x y '=一定成立的个数是()．A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个 2．设(())u f g xyz =，其中f 、g 均可微，则ux∂=∂ ()．A ．(())()f g xyz g xyz ''B ．(())f g yz ''C ．(())()f g xyz g xyz yz ''D ．(())f g xyz yz ''3．设(,)z z x y =是由方程(,,)0F x y z x y z x y z +−++−−=确定的函数且F 可微，则zx∂=∂ ()．A ．123123F F F F F F '''−+−'''++B ．123123F F F F F F '''−+−'''−−−C ．123123F F F F F F '''++'''−+−D ． 123123F F F F F F '''−−−'''−+−4．设点00(,)x y 为(,)f x y 的驻点，其中f 连续且一阶、二阶连续可偏导，则下列结论正确的是()．A ．若00(,)0xx f x y ''<且00(,)0yy f x y ''>，则00(,)f x y 为极大值；B ．若00(,)0xx f x y ''>且00(,)0yy f x y ''>，则00(,)f x y 为极小值；C ．若00(,)0xx f x y ''>且00(,)0yy f x y ''<，则00(,)f x y 非极值；D ．若00(,)0xx f x y ''<且00(,)0yy f x y ''<，则00(,)f x y 非极值；5．三元函数(,,)xy zf x y z e=在点(1,1,1)处的梯度为()．A ．ei e j ek +−B ．ei e j ek ++C ．eD6．设D 是由半圆21x y −=与x 轴所围区域，1D 是D 在第一象限的部分，则232(sin sin )Dy x x y dxdy +=⎰⎰ ()．A ．0B ．122sin D y x dxdy ⎰⎰C ．1322sin D x y dxdy ⎰⎰D ．12322(sin sin )D y x x y dxdy +⎰⎰ 7．设Ω是由0x =，0y =，0z =以及231x y z ++=所围成的有界闭区域，且(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()．A ．111230(,,)dy dx f x y z dz ⎰⎰⎰ B ．11212300(,,)x ydy dx f x y z dz −−⎰⎰⎰C ．1121230(,,)x x ydx dy f x y z dz −−−⎰⎰⎰D ．1121230(,,)x x ydx ydy f x y z dz −−−⎰⎰⎰8．已知323xxdu e y dx e y dy =+且(0,0)u e =，则(1,1)u = ()．A ．0B ．eC ．2eD ．3e9．设函数yz x =，则2zx y∂=∂∂()．A ．1(1ln )y xy x −+ B ．1(ln )y x x y x −+ C ．(1ln )y x y x + D ．(ln )y x x y x +10．设arctan1yz x=+，则(0,1)dz = ()．A ．dx dy +B ．dx dy −C ．1122dx dy −+ D ．1122dx dy +11．对于函数2222220(,)00xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩，则下列结论正确的是()．A ．在(0,0)处偏导存在 且(0,0)(0,0)0x y f f ''==B ．在(0,0)处连续C ．在(0,0)处可微D ．在(0,0)处偏导连续 12．二元函数2(,)1f x y x xy =++()．A ．有极大值B ．有极小值C ．无驻点D ． 有驻点但无极值 13．1220()dx f x y dy +=⎰()．A ．1240()d f r rdr πθ⎰⎰B．2200()d f r rdr πθ⎰C ．1220()d f r dr πθ⎰⎰ D ．1220()d f r rdr πθ⎰⎰14．设Ω是由平面0x =，0y =，0z =以及平面1x y z ++=所围成的有界闭区域，且(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()．A ．111(,,)dx dy f x y z dz ⎰⎰⎰B ．111000(,,)x x ydx dy f x y z dz −−−⎰⎰⎰C ．1110(,,)yx y dx dy f x y z dz −−−⎰⎰⎰ D ．1110(,,)zx ydx ydy f x y z dz −−−⎰⎰⎰15．()LI x y ds =+⎰其中L 为连接(0,0)及(1,1)二点的直线段，则I = ()．A ．0B ．1CD16． ),2(xyy x f z +=，则=∂∂x z ()． A.),2(),2(21x y y x f x y x y y x f +'++' B ．),2(),2(221x y y x f x y x y y x f +'−+'C ．),2(),2(2221x y y x f x y x y y x f +'−+'D ． ),2(),2(2221x y y x f xy x y y x f +'++'17．对于二元函数下列结论正确的是()．A ．偏导存在一定连续 B. 连续一定偏导存在C ．可微一定连续 D. 偏导存在一定可微 18. 函数y y x z 222−+=的驻点为()．A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(1,0)D ． (1,1) 19．⎰⎰=+xdy y x f dx 0221)(()．A ．⎰⎰4012)(πθdr r f dB ．⎰⎰4012)(πθrdr r f dC ．⎰⎰40cos 102)(πθθdr r f dD ．⎰⎰40cos 102)(πθθrdr r f d20．设Ω是由平面0x =，0y =，0z =以及平面12=++zy x 所围成的有界闭区域，且(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()．A ．⎰⎰⎰10210),,(dz z y x f dy dxB ．⎰⎰⎰−−−1)1(2010),,(y x x dz z y x f dy dx C ．⎰⎰⎰−−1)1(2010),,(y x dz z y x f dy dx D ． ⎰⎰⎰−−−10)1(2010),,(y x ydz z y x f dy dx21. 已知dy y ax dx y x )()2(+++为某个二元函数的全微分，则a 等于 ()．A ．0B ．12C ．1D ．2二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分），请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分．1．设y xz e =，则2zx y∂=∂∂．2．曲面2223240x y z −++=在点(1,2,1)处的切平面方程为．3．2xz e y =在点(1,1)处沿(1,1)到(2,3)的方向导数为．4．设D 为y x =，1y =和0x =所围区域，则二重积分2yDe dxdy =⎰⎰．5．设L 为从(0,0,0)到(3,4,5)的直线段，则Lxydx yzdy zxdz ++=⎰．6．曲面2210x y z +−−=在点(2,1,4)处的切平面方程为7．u xy =在点(1,2)处沿方向2(,l =的方向导数为．8．221()x y y x x y dxdy +≤+⎰⎰=．9．交换积分次序11(,)dy f x y dx =⎰．10．设L 为从(0,0,0)到(1,1,1)的直线段，则Lzdx xdy ydz ++=⎰．11．曲面9222=++z y x 在点)2,2,1(处的切平面方程为.12．2xy z =在点(1,2)处沿方向2(,l =的方向导数为 .13．dxdy y x y x ⎰⎰≤++122)( = .14．交换积分次序=⎰⎰101),(xdy y x f dx .15．设L 为从)0,0(到)1,1(的直线段，则⎰=Lxds .三．计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）．1．设2(,)yx z x f xy xe y =+，其中f 可微，求z x ∂∂，z y∂∂．2．求二元函数22(,)(2)xf x y e x y =−的极值．3．计算二重积分D，其中D 是由曲线224x y +=所围成的有界闭区域．4．(,)z z x y =是由方程22xze x z xy =+所确定的隐函数，求z x ∂∂与zy∂∂．5．计算三重积分22()x y zdv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222()z x y =+及平面1z =所围成的有界闭区域．6．计算曲线积分(sin(3)cos )(3cos(3)2sin )22x xLx y e y y dx e y x dy −++++⎰，其中L 是由点(,0)A π到点(0,0)O 的曲线段sin y x =．7．设(,)sin z f x y xy x y =++，其中f 可微，求dz ．8．(,)z z x y =是由方程2sin(23)23x y z x y z +−=+−所确定的隐函数，求z zx y∂∂+∂∂．9．计算二重积分2sin Dx dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线,0y x x y ===所围成的有界闭区域．10．计算曲线积分2(22)(5)yy LI xey dx x e x dy =+++⎰，其中L 是由点(2,0)A 到点(0,0)O的曲线段y =．11．计算三重积分Ω，其中Ω是由圆柱面221x y +=及二平面0,1z z ==所围成的有界闭区域．12．设函数yx xy z +=，求x z∂∂，yx z ∂∂∂2．13．设(,)z z x y =是由方程02=−++xyz z y x 所确定的隐函数，求dz yzx z ,,∂∂∂∂．14．计算二重积分⎰⎰Dxydxdy 的值，其中D 是由直线1,,0===x x y y 所围成的有界闭区域．15．计算曲线积分⎰−++−Lxx dy y e dx y y e )2cos ()12sin (的值，其中L 是从点(2,0)A 到点(0,0)O 的曲线段y =四．应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）． 1．求由曲面222z x y =−−与222()z x y =+所围成的立体的体积．2．设()g x 为一元连续函数，证明： （1）21112y xe dx e dy −=⎰⎰； （2）()2111001()()()2x dx g x g y dy g x dx =⎰⎰⎰．3．求由三个平面0,0,1x y x y ==+=所围的柱体被二平面0,646z x y z =++=截得的立体的体积．4．利用极坐标下计算二重积分的方法求出22x edx +∞−−∞⎰，并计算222x e dx +∞−−∞⎰．5．求由两曲面z z ==和.（7分）6.在a z y x =++条件下，求函数xyz u =的最大值，并证明 )(313z y x xyz ++≤. （7分）。

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 函数与极限(圣才出品


（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
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第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。

高数(二)期末复习题


1 0
dρ
1 0
ρ3
sin
θ
cos
θ
dz
(C)
π
2
0
dθ
1 0
dρ
1 0
ρ2
sin
θ
cos
θ
dz
(B)
2π 0
1 0
dρ
1 0
ρ2
sin
θ
cos
θ
dz
(D)
π
2
0
dθ
1 0dρFra bibliotek1 0
ρ3
sin
θ
cos
θ
dz
6. 设 L 是 xoy 平面上的有向曲线, 下列曲线积分中, ( ) 是与路径无关的
(A) L 3yx2 dx + x3 dy (C) L 2x y dx − x2 dy
高数(二)期末复习题
只是把高数(二)期末复习题单独拿出来
作者： sikouhjw、xajzh 组织： 临时组织起来的重排小组 时间： May 29, 2019 版本： 1.00
“不论一个人的数学水平有多高, 只要对数学拥有一颗真诚的心, 他就在自己的心灵上得到了升华。”—SCIbird
目录
1 声明
7. 设 Σ 是上半圆锥面 z = x2 + y2(0
z
1)
,
则曲面积分
∬
Σ
x2 + y2
dS =
8. 级数
∞ n=1
1 n(n+1)
−
1 2n
的和为
三、综合题( 8 小题, 共 52 分)
1.
求方程
dy dx
=
xy 1+x2
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(
B． D．
)．
1− x 0 1− z
A． C．
dx dy
0 0
1
1
1
0
f ( x, y, z )dz
1− x − y 0
dx
0
1
dy
1− x − y
0
f ( x, y, z )dz f ( x, y, z )dz

1
0
dx
1− y
0
dy
f ( x, y, z )dz

(
B． D．
)．
dy 2 dx
0 1 1− x − 2 y 3 0
A． C．

1
0 1
dy 2 dx 3 f ( x, y, z )dz
0 0
1
1

1
0 1
f ( x, y, z )dz f ( x, y, z )dz
0
dx
1− x 2 0
dy
x
1− x − 2 y 3 0
2

1
0
dy
2 (1− x − y )
0
f ( x, y, z )dz f ( x, y, z )dz
dx dy
0
f ( x, y, z )dz
dx
1− y
0
dy
2 (1− x − y )
0
已知 ( x + 2 y ) dx + ( ax + y ) dy 为某个二元函数的全微分，则 a 等于 B．
点 A( , 0) 到点 O (0, 0) 的曲线段 y = sin x ．
u = x
(
)．
D．f ( g ( xyz )) yz
C．f ( g ( xyz )) g ( xyz ) yz
3 ．设 z = z ( x, y ) 是由方程 F ( x + y − z , x + y + z , x − y − z ) = 0 确定的函数且 F 可微，则
z = x
2 2 2

L
zdx + xdy + ydz =
.
．
11．曲面 x + y + z = 9 在点 (1,2,2) 处的切平面方程为
12． z = xy 在点 (1, 2) 处沿方向 l = (
2
2 2 , ) 的方向导数为 2 2
.
13．
x 2 + y 2 1
( x + y)dxdy
1 0
=
xy
(
)．
D． 3e
6 ． 设 D 是 由 半 圆 y = 1 − x 2 与 x 轴 所 围 区 域 ， D1 是 D 在 第 一 象 限 的 部 分 ， 则
( y sin x
D
2
+ x 3 sin y 2 )dxdy =
(
)．
B． 2
A． 0 C． 2
y sin x dxdy
2 D1
2．求二元函数 f ( x, y ) = e (2 x − y ) 的极值．
x 2 2
第 5 页
3．计算二重积分
x2 + y 2 dxdy ，其中 D 是由曲线 x 2 + y 2 = 4 所围成的有界闭区域． 2 2 1 + x + y D
4． z = z ( x, y ) 是由方程 e
xz
(
)．
A． 0
1 2
C．1
D． 2
二．填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） ，请在每小题的空格中填上正确答案， 错填、不填均无分． 1．设 z = e x ，则
2
y
2 z = xy
2 2
．
2．曲面 3 x − 2 y + z + 4 = 0 在点 (1, 2,1) 处的切平面方程为 3． z = e y 在点 (1,1) 处沿 (1,1) 到 (2,3) 的方向导数为
2
(
( x + y ln x)
)．
C． x (1 + y ln x)
y
A． x
y −1
(1 + y ln x)
B． x
y −1
D． x ( x + y ln x)
y
10．设 z = arctan A． dx + dy C． −
y ，则 dz (0,1) = 1+ x
(
)．
B． dx − dy D．
1 1 dx + dy 2 2
(
)．
第 1 页
A．若 f xx ( x0 , y0 ) 0 且 f yy ( x0 , y0 ) 0 ，则 f ( x0 , y0 ) 为极大值；
B．若 f xx ( x0 , y0 ) 0 且 f yy ( x0 , y0 ) 0 ，则 f ( x0 , y0 ) 为极小值； C．若 f xx ( x0 , y0 ) 0 且 f yy ( x0 , y0 ) 0 ，则 f ( x0 , y0 ) 非极值； D．若 f xx ( x0 , y0 ) 0 且 f yy ( x0 , y0 ) 0 ，则 f ( x0 , y0 ) 非极值； 5．三元函数 f ( x, y, z ) = e z 在点 (1,1,1) 处的梯度为 A． ei + e j − ek B． ei + e j + ek C． e

1
0
dx
0
ydy
1− x − y
0
15． I = ( x + y )ds 其中 L 为连接 (0, 0) 及 (1,1) 二点的直线段，则 I =
L

(
D． 2
)．
A． 0
B． 1
C．
2 2
z y = ( x x y y y A. f 1 ( x + 2 y, ) + f 2 ( x + 2 y, ) x x x y y y C． 2 f 1 ( x + 2 y, ) − 2 f 2 ( x + 2 y, ) x x x
16． z = f ( x + 2 y, ) ，则 17．对于二元函数下列结论正确的是 A．偏导存在一定连续
)．
B ．
y y y f1 ( x + 2 y, ) − 2 f 2 ( x + 2 y, ) x x x y y y D． 2 f 1 ( x + 2 y, ) + 2 f 2 ( x + 2 y, ) x x x
2
0 1
f (r 2 )rdr

2 0
d f (r 2 )dr
0
1


2 0
d f (r 2 )rdr
0
14．设 是由平面 x = 0 ， y = 0 ， z = 0 以及平面 x + y + z = 1 所围成的有界闭区域，且
f ( x, y, z ) 在 上连续，则 f ( x, y, z )dv =
x
D1
3
sin y dxdy
2
D． 2
( y sin x
D1
2
+ x 3 sin y 2 )dxdy
7 ． 设 是 由 x = 0 ， y = 0 ， z = 0 以 及 x + 2 y + 3z = 1 所 围 成 的 有 界 闭 区 域 ， 且
f ( x, y, z ) 在 上连续，则 f ( x, y, z )dv =
A．
(
− F1 + F2 − F3 F1 + F2 + F3
)．
B．
− F1 + F2 − F3 − F1 − F2 − F3
C．
F1 + F2 + F3 − F1 + F2 − F3
D．
− F1 − F2 − F3 − F1 + F2 − F3
4．设点 ( x0 , y0 ) 为 f ( x, y ) 的驻点，其中 f 连续且一阶、二阶连续可偏导，则下列结论正 确的是
.
14．交换积分次序
dx
1
x
f ( x, y )dy =
.
15．设 L 为从 (0,0) 到 (1,1) 的直线段，则 xds =
L

.
三．计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分） ．
2 y 1．设 z = x f ( xy , ) + xe ，其中 f 可微，求
x y
z z ， ． x y
2 2
7． u = xy 在点 (1, 2) 处沿方向 l = (
2 2 , ) 的方向导数为 2 2
．
8．
x 2 + y 2 1

( y x + x y )dxdy =
．
9．交换积分次序
dy
0
1
1 y
f ( x, y )dx =
．
10．设 L 为从 (0, 0, 0) 到 (1,1,1) 的直线段，则
1 1 dx + dy 2 2
第 2 页
xy x2 + y 2 0 2 2 11．对于函数 f ( x, y ) = x + y ，则下列结论正确的是 2 2 0 x +y =0
A．在 (0, 0) 处偏导存在 且 f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 C．在 (0, 0) 处可微 12．二元函数 f ( x, y ) = x + xy + 1