高三年级第五次月考数学试题(理科)

北流市2023届高三下学期5月教学质量检测数学试题（理科）注意事项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3{|1A x Z x =∈-≤≤，2{|}30B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}|03x x <<C ．{}1,2,3D ．{}2,32．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a =（ ） A ．3B ．13 C ．3-D ．13-3．已知平面向量()1,3a =，2b =，且||10a b -=，(2)()a b a b +-=（ ）A ．14B ．1C ．D 4．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则这个数列的第20项为（ ） A ．204B ．202C ．200D ．1985．已知抛物线C ：()²20y px p =>焦点为F ，准线为l ，点(A 在C 上，直线AF 与l 交于点B ，则AF BF=（ ）A ．BC ．2D ．16．执行如图的程序框图，输出的S 值是（ ）A ．0B ．1-C ．12D ．12-7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别为所在棱的中点，P 为下底面的中心，则下列结论中错误的是（ ）A ．平面1EFC ⊥平面11AAC CB ．1MP AC ∥ C ．1MP CD ⊥D ．EF ∥平面11AD B8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若3564a a =，且5628a a +=，则6S =（ ） A ．125B ．126C ．127D ．1289．已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球面O 上，底面ABCD 是边长为4的正方形，平面PAD ⊥面ABCD ，且PA PD ==，则球面O 的表面积为（ ）A ．41πB ．39πC ．40πD ．42π10．为弘扬传统文化，某校进行了书法大赛，同学们踊跃报名，在成绩公布之前，可以确定甲、乙、丙、丁、戊5名从小就练习书法的同学锁定了第1至5名．甲和乙去询问成绩，组委会对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是五人中最差的．”则最终丙和丁获得前两名的概率为（ ） A ．29B ．49C ．827D ．42711．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和虚轴的一个端点分别为F ，A ，点P 为C 右支上一动点，若APF △周长的最小值为4b ，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +是奇函数，且()()12f x g x -+=，()()32f x g x +-=，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()g x 为奇函数C ．201()40k f k ==∑D ．201()40k g k ==∑第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2022年卡塔尔世界杯期间，3男3女共6位球迷赛后在比赛场地站成一排合影留念，则男、女球迷相间排列的概率为________．14．写出一个半径为1且与圆O ：221x y +=及直线l ：1x =-都相切的圆的方程________．15．已知()s i n (3)(||)2f x x πϕϕ=+<为奇函数，若对任意2,99ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在,9a πβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()0()f f αβ+=，则实数a 的取值范围是________．16．已知函数()22ln f x x ax x =-+（a 为常数）有两个极值点：1x ，()212x x x <，若()12f x mx >恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=． （1）求角A 的值；（2）已知D 在边BC 上，且3BD DC =，3AD =，求ABC △的面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △为等边三角形，AD BC ∥，AB BC ⊥，且222PC AD AB BC ====，平面PAD ⊥底面ABCD ．（1）证明：AB ⊥平面PAD ；（2）点M 为棱PC 的中点，求二面角M AB P --的正弦值．19．（12分）随着蓉城生态公园绿道全环贯通，环城绿道骑行成为最热门的户外休闲方式之一．环城绿道全程约100公里，不仅可以绕蓉城一圈，更能360度无死角欣赏蓉城这座城市的发展与魅力．某位同学近半年来骑行了5次，各次骑行期间的身体综合指标评分x 与对应用时y （单位：小时）如下表：（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的回归方程． 参考数据和参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-84≈． 20．（12分）已知椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，1F 、2F 分别是其左、右焦点，若P 是椭圆上的右顶点，且121PF PF ⋅=． （1）求椭圆的方程；（2）设直线1x ky =-与椭圆交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为M （M 与B 不重合），问直线MB 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()()ln ()1f x x a x a =+≤，2()e xg x x -=，且曲线()y f x =在点()(),x f x 处的切线斜率均不小于2． （1）求a 的值；（2）求证：函数()()()h x f x g x =-在区间()1,2内存在唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），在极坐标系中，曲线2C 是以1,2π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心且过极点O 的圆． （1）分别写出曲线1C 普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）直线l ：()4R πθρ=∈与曲线1C 、2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），求MN ． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()f x x t x t =-++，t R ∈． （1）若1t =，求不等式()28f x x ≤-的解集；（2）已知4m n +=，若对任意x R ∈，都存在0m >，0n >使得24()m nf x mn+=，求实数t 的取值范围．北流市2023届高三下学期5月教学质量检测数学参考答案（理科）1-5：ACACD 6-10：CCBAD11-12：BD13．【答案】11014．【答案】22(2)1x y +-=，22(2)1x y ++=，22(2)1x y ++= （答案不唯一，写出一个即可）． 15．【答案】,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．【答案】(],3-∞-17．（12分）解：（1）在ABC △中因为cos cos 2cos b A a B c A +=， 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=， 1分所以sin()2sin cos A B C A +=2分因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=．故sin 2sin cos C C A = 3分 又C 是ABC △的内角，所以sin 0C ≠．从而1cos 2A =． 4分 而A 为ABC △的内角，所以3A π=． 5分（2）因为3BC DC =，所以3()AD AB AC AD -=-所以1344AD AB AC =+ 6分 从而22221931939916168161616AB AC AB AC c b bc =++⋅⇒=++8分由基本不等式可得：339981616bc bc bc ≥+=， 9分16bc ∴≤， 10分当且仅当3b =，c = 11分故ABC △的面积的最大值为1162⨯= 12分 18．解：（1）AD BC ∥，AB BC ⊥，AD AB ∴⊥，1分又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，3分AB ∴⊥平面PAD （4分）（2）取AD 的中点O ，连接OC ，OP ，PAD △为等边三角形，且O 是AD 的中点， PO AD ∴⊥sin 60PO AP ∴=︒=又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，112AO AD BC ===，AO BC ∥，AB BC ⊥∴四边形ABCO 为矩形，又PO ⊥平面ABCD PO ∴，OD ，OC 两两垂直，故以O 为坐标原点，OC ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，6分(0,1,0)A -，(1,1,0)B -，(1,0,0)C，P ，1,0,22M ⎛ ⎝⎭， 则(1,0,0)AB=，12BM ⎛=-⎝⎭，AP =． 设平面ABM 的法向量为()111,,n x yz =11110102n AB x n BM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令12z =，得(0,3,2)n =-9分设平面ABP 的法向量为()222,,m x y z =，则22200m AB x m AP y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21z =，得(0,m = 10分设二面角M AB P --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则|||0cos 14||n m n m θ⋅⨯===‖ 11分sin 14θ∴==∴二面角M AB P --的正弦值为． 12分19．解：（1）1234535x ++++==，9.58.67.87 6.17.85y ++++==， 2分()52110ii x x =-=∑，()5217.06i i y y =-=∑，()()518.4i i i x x y y =--=-∑，4分()()51iix x y y r --∴==≈-∑，6分相关系数近似为1-，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；7分（2）由（1）中数据，()()()1218.4ˆ0.8410niii nii x x y y bx x ==---===--∑∑， 9分ˆˆ7.8(0.843)10.32ay bx =-=--⨯=， 11分 y∴关于x 的回归方程为ˆ0.8410.32yx =-+．12分20．解：设椭圆的焦距为2c ，因为椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，所以c e a ==2243c a =， 1分因为(,0)P a ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，1(,0)PF c a =--，2(,0)PF c a =- 2分所以22121PF PF a c ⋅=-=，因为222b c a +=，所以，21b =，23c =，24a =．3分所以，椭圆的方程为2214x y += 4分【2】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,M x y -，所以，联立方程22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230k y ky +--=，216480k ∆=+>， 所以12224k y y k +=+，12234y y k -=+， 6分因为直线1x ky =-与椭圆交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为M 与B 不重合， 所以，0k ≠，即12x x ≠， 所以，2121MB y y k x x +=-，直线MB 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--，7分令0y =得()221211222121y x x x y x y x x y y y y -+=-=++， 8分又因为111x ky =-，221x ky =-，所以()()2121221121221121223211241131424k y ky ky y x y x y ky y k x k y y y y y y k -⋅-+-++===-=-=--=-++++11分所以，直线MB 与x 轴交于点(4,0)-12分21．【1】()()ln (1)f x x a x a =+≤，则()ln 1(0)af x x x x'=++>， 1分因为曲线()y f x =在(,())x f x 处的切线斜率均不小于2， 所以()ln 12af x x x'=++≥， 2分得ln a x x x ≥-，设()ln (0)u x x x x x =->），则()ln u x x '=-，令()001u x x '>⇒<<，令()01u x x '<⇒>， 4分 所以函数()u x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1u x u ==，所以1a ≥，又1a ≤，所以1a =；5分【2】由（1）知，()(1)ln f x x x =+，所以2()()()(1)ln ex x h x f x g x x x =-=+-，则1(2)()ln 1(12)e x x x h x x x x -'=+++<<．6分 设1()ln 1(12)F x x x x =+-<<，则22111()0x F x x x x-'=-=>在(1,2)上恒成立，所以函数()F x 在(1,2)上单调递增，得()(1)0F x F >=，即1ln 10x x +->在(1,2)上恒成立，即1ln 1x x +>在(1,2)上恒成立， 所以1ln 12x x++>．① 9分设()e 1x G x x =--，则()e 10xG x '=->在(1,2)上恒成立， 所以函数()G x 在(1,2)上单调递增，得()(1)e 20G x G >=->， 即e 1xx >+，得11e 1x x <+， 当(1,2)x ∈时，(2)0x x -<，所以(2)(2)e 1xx x x x x -->+②． 11分由①②得，21(2)(2)2()ln 120e 11xx x x x x h x x x x x --+'=+++>+=>++在()1,2上恒成立， 则函数()h x 在(1,2)上单调递增． 又1(1)0e h =-<，2244(2)3ln 2ln80e eh =-=->， 得(1)(2)0h h <，所以函数()h x 在(1,2)内有唯一的零点．即证．12分22．（1）由曲线1C ：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈，消去参数θ，得2222(2)4cos 4sin 4x y θθ-+=+=1分所以曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4(02)x y y -+=≤≤ 3分（不写出y 具体范围，扣1分）因为曲线2C 是以1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心的圆，且过极点O ，所以圆心为()0,1，半径为1， 故2C 的直角坐标方程为：22(1)1x y +-=，4分 即2220x y y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得：圆2C 的极坐标方程为2sin ρθ= 5分 （2）因为曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4(02)x y y -+=≤≤．即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简可得1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=0,2πθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 所以1C 的极坐标方程为4cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭； 6分 2C 的极坐标方程为2sin ρθ=；7分 因为M 、N 是直线l ：(R)4πθρ=∈与曲线1C 、2C 的两个交点， 不妨设1,4M πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4N πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由于1C ：4cos 02πρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2C ：2sin ρθ=，所以14cos4πρ==22sin 4πρ== 9分从而12||MN ρρ=-=10分 23．（1）解：当1t =时，2(1)()|1||1|2(11)2(1)x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪-<-⎩1分2()8f x x ≤- 当1x ≥时，即2281x x x ⎧≤-⎨≥⎩， 12x ∴≤≤； 2分当11x -≤<时，即22811x x ⎧≤-⎨-≤<⎩，11x ∴-≤<； 3分当1x <-时，即2281x x x ⎧-≤-⎨<-⎩，21x ∴-≤<-， 4分综上可得不等式的解集为[]2,2-． 5分（2）解：()|||||()()|2||f x x t x t x t x t t =-++≥--+=， 当且仅当()()0x t x t -+≤时取等号，min ()2||f x t ∴= 6分又0m >，0n >且4m n +=，2441419444m n m m m n mn n m n m ++∴=+=+≥+=8分 当且仅当44m nn m =，即45m =，165n =时等号成立，9分 所以249,4m nmn +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ 10分．。

重庆市巫溪中学高2015级高三第五次月考数学（理科）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合{|(2)0}A x x x =->，{||1|2}B x x =+<，则=B A （A ）(3,2)- （B ）(3,0)- （C ）(0,2)（D ）(1,2)2．已知是虚数单位，则复数1iz i-=的虚部是 （A ） （B ） （C ）1- （D ）i -3．下列函数中既是偶函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （A ）1y x =+ （B ）3y x = （C ）ln xy x=（D ）2xy -=4．如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 （A ）8 （B ）5 （C ）3（D ）25．命题“(0,)x ∀∈+∞，44x x+≥”的否定为 （A ）(0,)x ∃∈+∞，44x x +≤ （B ）(0,)x ∃∈+∞，44x x +< （C ）(0,)x ∀∈+∞，44x x +≤ （D ）(0,)x ∀∈+∞，44x x+<6．已知,a b ∈{}1,2,3，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率（A ）127（B ）527 （C ）19 （D ）597．如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点,M N ，,AB mAM AC nAN ==，则m n += （A ）2 （B ）5 （C ）3 （D ）48．若sin(20)cos(10)cos(10)x x x +︒=+︒+-︒，则tan x =（A）2- （B ） （C（D）9．已知抛物线22y x =的焦点是F ，准线是，点(2,)M m 是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与相切的圆的不同情况种数是 （A ）种 （B ）2种 （C ）3种 （D ）4种ONMCBA第7题图第4题图10．已知方程sin x k x=在(0,)+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，则下列结论正确的是（A ）2sin 22cos ααα= （B ）2cos 22sin ααα= （C ）2sin 22cos βββ= （D ）2cos 22sin βββ=二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．）11．已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())4f f = ．12．已知6(1)ax +的展开式中，含3x 项的系数等于160，则实数=a ．13．若函数2()2(,0)f x x x a a R x =++∈<图象上两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x （12x x <）处的切线相互垂直，则21x x -的最小值为 ．考生注意：14~16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14. 如图，割线PBC 经过圆心O ，1PB OB ==，OB 绕点O 逆时针旋转120︒到OD ，连结PD 交圆O 于点E ，则PE = ．15．在平面直角坐标系xOy 中，直线的方程为40x y -+=，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），则曲线C 上的一个动点Q 到直线的距离的最小值为 ．16．若关于x 的不等式2121()x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题共13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．（本题共13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）第14题图P已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，设x α=时()f x 取到最大值． （Ⅰ）求()f x 的最大值及α的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sin B C A =，求b c -的值．19．（本题共13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）某公司要招聘一个部门经理，笔试环节设置为：从10个备选测试题目中随机抽取4个，只有选中的4个题目均测试合格，笔试环节才算通过．已知甲对10个测试题目测试合格的概率均为45；乙对其中8个测试题目完全有合格把握，而另2个测试题目却根本不会． （Ⅰ）求甲恰好有2个测试题目合格的概率；（Ⅱ）记乙的测试题目合格数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ． 20．（本题共12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）已知函数2()ln ()f x x ax x a R =+-∈． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）令2()()g x f x x =-，若函数()g x 在(0,]x e ∈的最小值为3，求实数a 的值．21．（本题共12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点相同，且椭圆C 上一点与椭圆C的左右焦点12,F F构成三角形的周长为2+． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(,)l y kx m k m R =+∈：与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，AOB ∆的重心G 满足：1259F G F G ⋅=-，求实数m 的取值范围．22．（本题共12分，第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，(1)22n n n n S na -=+-(2,*)n n N ≥∈，14a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足：14b =，且21(1)2(*)n n n b b n b n N +=---∈， （1） 求证：n n b a >(2,*)n n N ≥∈； （2）求证：23344511111(1)(1)(1)(1)n n b b b b b b b b ++⋅+⋅+⋅⋅+<(2,*)n n N ≥∈．高2015级高三（上）第五次月考数学试题（理）参考答案一、选择题：【7】解：【法一：共线定理】()1222m nAO AB AC AM AN =+=+， 由M 、O 、N 三点共线得：122m n+=，∴2m n +=．【法二:几何法，特殊化】令1=2m ，则如图，作//BQ AC ，可得AB BM =，由OB OC =，可得22AN BQ CN ==，所以3==2AC n AN ，则2m n += 【法三】直线MON 是ABC 的割线，由梅涅劳斯定理得：1AM BO CN MB OC NA =，即111n m-=-，∴2m n +=．【法四】,B M 重合，N,C 合【8】解：由）（）（）（10cos 10cos 20sin -++=+x x x ，得： 10cos cos 220sin cos 20cos sin x x x =+， 等式两边同时除以x cos ，得：2cos10sin 20tan cos 20x ︒-︒=︒2cos(3020)sin 20cos 20︒-︒-︒==︒.【或从选项入手】 【9】解：因为点(2,)M m 在抛物线22y x =上，所以2m =±，即(2,2)M ±。

天津一中2024届高三年级第五次月考试卷数 学本试卷总分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,52. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511B. 61C. 41D. 96. 在一段时间内，分5次测得某种商品价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（ ）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A283B.323C. 14D. 188. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）的的.A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______．11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______．13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______．14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =， （ⅰ）求a 值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值．17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离．18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． （1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m->-．参考答案一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,5【答案】C 【解析】【分析】先求U A ð，再根据并集运算求解.【详解】由题意可得：{}3,4,5U A =ð，所以()U B A ⋃=ð{}1,0,2,3,4,5-. 故选：C.2. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“22n n ≥”，不能推出3n =，例如2n =，即充分性不成立； 若“3n =”，则29,28n n ==，可得22n n ≥，即必要性成立；综上所述：“22n n ≥”是“3n =”的必要不充分条件. 故选：B.3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式计算a ，利用指数函数单调性判断b ，c 即可得答案.【详解】因为242log 21log 2log 42a ===，e 2111224b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102ππ1c =>=， 所以c a b >>. 故选：D4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-【答案】A 【解析】【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断. 【详解】由题意可知：()f x 的定义域为{}|0x x ≠，故B 错误； 当0x >，()f x 先正后负，则有：对于C ：因为2e 1e ,20x x x -<<+>，则e e 0x x --<，可知()220e e x xx f x -+=<-，故C 错误；对于D ：因为e 1x>，则e 10e 1x x +>-，但cos x 的符号周期性变化，故D 错误；故选：A.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9【答案】A 【解析】【分析】由对数运算可知2112n n n a a -+=，分析可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列，利用分组求和以及等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为2111lg lg lg lg 2n n n n n a a a a -+++==，可得2112n n n a a -+=，则21122n n n a a +++=，可得24n na a +=， 可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列， 且数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且122a a =，可得22a =，所以()()()459135792468214145111414S a a a a a a a a a --=++++++++=+=--.故选：A.6. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t【答案】D 【解析】【分析】由散点图判断A ，根据回归直线方程判断B ，求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心点求出m ，令 1.9x =求出 y ，即可判断D.【详解】由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A 错误；由经验回归方程ˆ28.111.5yx =-，可知y 与x 具有线性相关关系，故A 错误； 又 1.4 1.6 1.82 2.2 1.85x ++++==，1210733255m my +++++==，又经验回归直线方程ˆ28.111.5yx =-必过样本中心点(),x y ， 则3228.111.5 1.85m+=-⨯，解得5m =，故C 错误； 当 1.9x =时， 28.111.5 1.9 6.25y =-⨯=，所以价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t ，故D 正确． 故选：D ．7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆的直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A.283B.323C. 14D. 18【答案】B 【解析】【分析】由题意可得：圆台的高124O O =，可证CD ⊥平面2O AB ，结合锥体的体积公式运算求解. 【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为12,O O ，为如图所示：可知圆台的高124O O ==，因为12,O O CD AB CD ⊥⊥，且121O O AB O =I ，12,O O AB ⊂平面2O AB ， 可知CD ⊥平面2O AB ，所以三棱锥A BCD -的体积为1132824323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件探求出12PF F △的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得2c a =，结合124F F =求,,a b c ，即可得方程.【详解】设双曲线22221x y a b-=半焦距为c ，则12(,0),(,0)F c F c -，由对称性不妨令与l 平行的渐近线为by x a=， 直线l 方程为：()by x c a=-，即0bx ay bc --=， 设12PF F △的内切圆O '与12PF F △三边相切的切点分别为0(,0)A x ，B，C ， 如图所示，的则1212||||||||(||||)PF PF PC CF PB BF -=+-+()()1200022AF AF x c c x x a =-=+--==， 即0x a =，而AO x '⊥轴，圆O '半径为3b ，则(,)3b O a '-， 点O '到直线l3b =，整理得|43|a c c -=， 且c a >，解得2c a =，又因为1224F F c ==，可得2221,2,3a c b c a ===-=，所以双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及()00f >求出a ，由π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的取值，再根据周期确定ω的值，即可得到函数解析式，即可判断A ，根据图象变换结合奇偶性判断B ；根据题意以π23x +为整体，结合正弦函数性质分析判断CD.【详解】因为()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=，2=，且0a >，解得a =则()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭， 又因为πππ2sin 1443f ω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ1sin 432ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 结合图象可知ππ5π2π,436k k ω+=+∈Z ，解得28,k k ω=+∈Z ， 且π,024T ω>>，则2ππ2ω>，解得04ω<<，所以0,2k ω==，可知a ω=，故A 正确； 所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 对于选项B ：πππ2sin 22sin 2663f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，故B 正确； 对于选项C ：因为(]0,x m ∈，则πππ2,2333x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦， 由题意可得：π24π3m +≥，解得11π6m ≥，故C 正确； 对于选项D ：因为ππ,36x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，且sin y x =在π2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭内不单调，所以()f x 在区间ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误； 故选：D.【点睛】方法点睛：函数()sin y A x ωϕ=+的解析式的确定： （1）A 由最值确定； （2）ω由周期确定；（3）ϕ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求ϕ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______． 【答案】i - 【解析】【分析】根据题意结合复数的除法运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()21i 1ii 1i 1i 1i --==-++-. 故答案为：i -.11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．【答案】15 【解析】【分析】根据二项式定理可得通项为36216C rr Tx-+=，令3632r -=，运算求解即可.【详解】因为6x ⎛+ ⎝的展开式通项为3662166C C ,0,1,2,,6rr r r r r T x x r --+===⋅⋅⋅， 令3632r -=，解得2r =， 所以3x 项的系数为2615C =. 故答案为：15.12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______． 【答案】1 【解析】【分析】由题意可得：24y x =，设切线方程()21x m y =-+，结合相切可得1m =，根据垂径定理结合弦长关系列式求解即可.【详解】因为抛物线()220y px p =>过点()1,2，则24p =，可得24y x =，显然切线斜率不为0，设切线方程为()2112x m y my m =-+=+-，联立方程2124x my m y x=+-⎧⎨=⎩，消去x 得()244210y my m -+-=，则()21616210m m ∆=--=，解得1m =，可得切线方程为1x y =-，即10x y -+=，又因为圆()()22:40C x a y a -+=>的圆心(),0C a ，半径2r =，则圆心(),0C a 到直线10x y -+=的距离d =，由题意可得：2222+=，解得1a =.故答案为：1.13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______． 【答案】 ①. 0.85##1720 ②. 0.255##51200【解析】【分析】设相应事件，结合全概率公式求此产品为正品概率；并结合独立重复性事件的概率公式求恰有一个是正品的概率.【详解】记任取一件，此产品由甲、乙、丙三个厂商供应分别为事件123,,A A A ，此产品为正品为事件B ， 由题意可知：()()()()()()1231230.2,0.3,0.5,|0.9,|0.9,|0.8P A P A P A P B A P B A P B A ======， 可得()()()()()()()112233|||0.85P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=， 所以此产品为正品的概率为0.85；的这两件产品中恰有一个是正品的概率为()20.8510.850.255⨯⨯-=. 故答案为：0.85；0.255. 14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．【答案】 ①. 2139a b + ②. 14-##0.25-【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算出AH，利用余弦定理求出BC ，即可得到AB BC ⊥，设D 为AB 的中点，则()21PE PF PA PD =+⋅- ，再求出min PD ，即可得解.【详解】依题意()1133AH AB BH AB BM AB AM AB =+=+=+-2133AB AM =+21121213333939AB AC AB AC a b =+⨯=+=+ ；因为2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理BC ===， 所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，则四边形PEBF 为矩形，则PE PF PB +=，设D 为AB 的中点，则()()()PB PD P D E PF P P B DA A PA D +⋅⋅⋅==++()()2221PD DB D PD PD D DB P B =⋅+-=-=- ，当PD AC ⊥时PD取得最小值，且最小值为sin AD BAC ∠=，所以221114PD -≥-=- ， 即()PE PF PA +⋅ 的最小值是14-.故答案为：2139a b + ；14-15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）【答案】2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】把方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，根据函数单调性，分类讨论分别求出最值求解即可.【详解】因为方程0x x a k -+=，即x x a k -=-在区间[]0,2上有解，设函数()22,,x ax x af x x x a x ax x a⎧-≥=-=⎨-+<⎩，则函数()f x 的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点．因为44a -+≤<，所以0222a<-+≤<， 所以函数()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在(),a ∞+上单调递增． 当24a ≤<时，在区间[]0,2上，()2max24a af x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()min 00f x f ==，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤．当42a -+≤<时，因为()()00f f a ==，224a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()242f a =-．令2424a a =-，解得4a =-±，又42a -+≤<，所以2424a a ≥-，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤，综上，实数k 的取值范围为2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，分类讨论得到()f x 的最值，即可求出k 的取值范围.三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =，（ⅰ）求a 的值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值． 【答案】（1）1cos 3A =或cos 0A =（2）（ⅰ）3；【解析】【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解； （2）（ⅰ）由题意可知：1cos 3A =，利用余弦定理分析求解；（ⅱ）由1cos 3A =结合倍角公式求sin2,cos 2A A ，利用正弦定理可得sin C =，结合两角和差公式运算求解.【小问1详解】由题可得()22cos 32cos 13A A --=，即23cos cos 0A A -=， 解得1cos 3A =或cos 0A =. 【小问2详解】因为△ABC 为锐角三角形，则1cos 3A =， 由余弦定理可得22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即3a =；因为1cos 3A =，且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A ==，可得227sin22sin cos 2cos sin 9A A A A A A ===-=-由正弦定理可得sin sin a c A C =，则sin sin c A C a ==，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7cos 9C ==，所以()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C -=-=. 17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离． 【答案】（1）证明见解析（2（3） 【解析】【分析】（1）首先取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建系，再利用向量法证明即可；（2）求出平面1ABB 的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值； （3）利用空间向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB . 因为120ABC ∠=︒，2AB BC ==，所以AC ==，BO AC ⊥，又因为1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，11////DO AA CC ， 所以DO ⊥平面ABC ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,A ，()1,0,0B ，()11,0,2B，()10,4A，()1C ，()12AB =，()112A B =-，()110,3A C =-.设平面111A B C 的法向量(),,n x y z = ，则1111=0=0n A B n A C ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2030x z z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令y =，得()2n = ， 所以1//n AB ，又1AB ⊄平面111A B C ，所以1AB ⊥平面111A B C ； 【小问2详解】因为()1=AC，()1=2AB ，()1=0,0,2BB，设平面1ABB 的法向量(),,m a b c = ，则11=0=0m AB m BB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2020a c c ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1b =，得()m = ，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，则11sin AC m AC m θ⋅===⋅ ， 所以直线1AC 与平面1ABB. 【小问3详解】因为平面111A B C的法向量为()2n =，()10,0,4AA = ，所以点A 到平面111A B C的距离1n AA d n ⋅===.18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程． 【答案】（1（2）250x y -+= 【解析】【分析】（1）根据题意可得相应坐标，结合长度关系可得249b a =，即可得离心率；（2）设()0000,,0,0D x y x y ，分析可知直线l 的方程为00194x x y y+=，求相应点的坐标，结合面积关系列式求解即可. 【小问1详解】由题意可知：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，(),0B a ，则2ABAF ==，整理得249b a =，所以椭圆的离心率c e a ===. 【小问2详解】 由（1）可知：c =，则13BF a c a =+=+=，解得3,2a c b ===， 可知椭圆方程为22194x y +=，直线:132x y AB +=，设()0000,,0,0D x y x y ，则2200194x y +=，对于直线00194x x y y+=，可知点()00,D x y 在该直线上， 联立方程0022194194x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得00x x y y =⎧⎨=⎩， 可知直线00194x x y y +=与椭圆切于点()00,D x y ，即直线l 的方程为00194x x y y+=， 令0x =，解得04y y =，即040,M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 令0y =，解得09x x =，即090,E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程00132194x yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得()()000000363234323y x x y x y x y ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，即()()()00000000036343363,,,0232323y x y H H x y x y x y ⎛⎫⎛⎫---⎪⎪---⎝⎝'⎭⎭， 可得()()0000000012333323423x y x HH x y MO x y y -'--==-， 且()()0000000000043431121121123332232223DHB BEH BEDx x S S S y y x x y x x x y ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由3DHB HH S MO '=可得()()0000000004333112322323x y x y x x y x y ⎛⎫--⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理得20000344120y x y x -+-=，则()()20003441y x y -=+，又因为220194x y +=，即()()222020414161y y y -+=+， 整理得()()()2202204441y y y -=-+， 且002y <<，则()2200441y y -=-，整理得200580y y -=，解得085y =或00y =（舍去）， 代入2200194x y +=，解得095x =-或095x =（舍去）， 所以直线l 的方程为2155x y -+=，即250x y -+=. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用12S =⨯ 底⨯高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 通项公式；（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 【答案】（1）21n a n =+；2nn b =的（2）353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）证明见详解 【解析】【分析】（1）根据题意列式求得132a d =⎧⎨=⎩，即可得数列{}n a 的通项公式；根据n S 与nb 之间的关系分析可知{}n b 为等比数列，即可得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知：212ni i a n n ==+∑，设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解，结合数列{}n c 的单调性分析求解； （3）根据等比数列求和可得()28413kk T =-，分析可知23118424k k kT <≤⨯⨯，结合等比数列求和公式分析证明. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：53251242516a a d a a a d -==⎧⎨+=+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以()32121n a n n =+-=+； 又因为22=-n n S b ，若1n =，可得1122b b =-，解得12b =； 若2n ≥，可得1122--=-n n S b ，两式相减得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=；可知数列{}n b 是以首项12b =，公比2q =的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=.【小问2详解】 由（1）可知：()2132122ni i n n a n n =++==+∑，若1nn i i b a λ=<∑，即222nn n λ<+，可得222nn nλ+<， 设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解， 令()()()()2211112131120222n nn n n n n n n n n c c ++++++-++-=-=≤， 当且仅当1n =时，等号成立， 可得1234c c c c =>>>⋅⋅⋅，且45335,232c c ==，则353322λ≤<， 所以实数λ的取值范围为353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】由题意可知：12,2,n n n n b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则2221212222k k k k k c c +-+=+=，则()()3521212212814822241143k k kkk k Tc c c c +--=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+==--，因为*k ∈N ，则0248k≤⨯-，即()064841kk<⨯≤-，可得()213124841k k k T =≤⨯-，则1121111111184112464614n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭≤==-<⎪⨯⎝⎭-∑∑； 又因*k ∈N ，则0414kk<-<，可得()213384841k k k T =>⨯-，则1123111311132418488414n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎝⎭>==-⨯⨯-∑∑；综上所述：12111118846nn k kT =-⨯<<∑. 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． 为（1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m ->-．【答案】（1）1m =（2）（ⅰ）证明见详解；（ⅱ）证明见详解 【解析】【分析】（1）求得，利用导数分析可知()f x 的最小值为1ln m f m -⎛⎫⎪⎝⎭，结合题意列式求解； （2）根据（1）结合导数的几何意义可得01m <<.（ⅰ）求得，结合导数判断原函数单调性结合零点存在性定理分析证明；（ⅱ）由（i ）可得要证()11mmg x m m->-，即证()111mmg xmm->-，先证明()12ln m g x m>，再构造函数()()12ln 0H x x x x x =-+>，利用导数判断出函数的单调性，从而可得出结论.【小问1详解】因为()1emx f x x -=-，则()1e 1mx f x m -'=-，且0m >， 令()0f x ¢>，解得1ln m x m ->；令()0f x '<，解得1ln mx m-<； 可知()f x 在1ln ,m m -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在1ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增， 则()f x 的最小值为1ln ln 0m mf m m -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得1m =. 【小问2详解】由（1）可知：()1emx f x x -=-，()1e 1mx f x m -'=-， 可得()11e1m f -=-，()11e 1m f m -'=-，即切点坐标为()11,e1m --，斜率1e 1m k m -=-，则切线方程为()()()11e1e 11m m y m x ----=--，令0x =，可得()11e m y m -=-，由题意可得：()110em m ->-，且0m >，解得01m <<；（i ）因为()()()1ln 1ln 1e 01mx x x g xf x x m m m-++=-+=-<<， 可知()g x 的定义域为()0,∞+，()2111e 1e mx mx m x g x m mx mx---=-='， 设()()21e10mx h x m x x -=->，则()()211e 0mx h x m mx -=+>'在()0,∞+内恒成立，可知函数()h x 在()0,∞+上递增， 由（1）可知：当1m =时，()1e0x f x x -=-≥，即1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，则3211333322222211e 1111m m h m m m m m m m -⎛⎫ ⎪+----- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-≥+⋅+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得3332222110h m m m m m ---⎛⎫+>⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，又因()01h =-，由零点的存在性定理可得，存在3210,1x m -⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，即1111e mx mx m -=，（*）当()10,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，即()0g x '>，()g x 为增函数， 又因为01m <<，()111e m g m-=-， 设()()11e01x G x x x -=-<<，则()()121e 001x G x x x-'=+><<， 所以函数()G x 在()0,1上递增， 所以()()10G x G <=，即()111e 0m g m-=-<，因为()1e0x x x -≥>，所以1ln x x -≥1-≥2ln x ≥，则()g x mx mx ≥>-所以44440g m m m ⎛⎫>⋅= ⎪⎝⎭，且241m>，当01m <<时，1111e1mx mx m-=>， 所以由()x ϕ的单调性可知11mx >，且111x m>>， 所以当()11,x x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间441,m ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 11ee1ln 11e e e 0e m mg m--+⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，且11e <， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 所以函数()g x 恰有两个零点， （ii ）因为1111emx mx m-=，即112ln ln 10m x mx ++-=， 则11ln 12ln 2x m mx +=--+，所以()1111121ln 112ln 2emx x m g x x m m x m m-+=-=++-， 有基本不等式可得()112112ln 22ln 22ln m m mg x x m x m m m m m=++-≥-=， 当且仅当1211x m x =，即11x m=时，取等号，由1111emx mx m-=，由11x m =可得1m =，这与01m <<矛盾，所以11x m ≠，所以()()12ln mg x g x m≥>， 要证()11mmg x m m ->-，即证()111mmg xmm->-，设()()12ln 0H x x x x x=-+>，则()22211110H x x x x ⎛⎫=--=--≤ ⎪⎝⎭'所以函数()H x 在()0,∞+上递减， 所以当01x <<时，()()10H x H >=， 因为01m <<，所以101m m <<，所以1112ln 2ln m m mm m m m m-=>-，又()()12ln m g x g x m≥>，所以()11m m g x m m ->-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

湖南省长郡中学20 11届高三第五次月考试卷数学试题（理科）时量：120分钟 2011-1-4上午一、选择题（每小题5分共50分） 1、不等式xx 1log 2-≥1的解集为( )A ．(]1,-∞-B ．[)∞+-,1C ．[)0,1-D ．(]()∞+-∞-,01, 2、在(2x －x2)5的展开式中x1的系数等于（ ）A ．10B ．－10C ．20D ．－203、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色 （允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂 色方式种数为（ ）.A 、24；B 、36；C 、72；D 、84.4、1-=a 是直线03301)12(=++=+-+ay x y a ax 和直线垂直的 （ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要的条件5、定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是: （ ）（1） （2） （3） （4） （A ） （B ） A .D A D B **, B .C A D B **, C .D A C B **, D . D A D C **,6、 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当x∈[0,2π)，()sin f x x=，则8()3f π的值为A B CD( )A.2 B. 2- C. 12 D. 12-7、 一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米 / 秒2的加速度匀加速开走，那么 （ ）A ．人可在7米内追上汽车B ．人可在10米内追上汽车C ．人追不上汽车,其间距离最近为5米D ．人追不上汽车,其间距离最近为7米 8、已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线 m 、n ，有下列四个命题 ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n②若βαβα//,,则⊥⊥m m③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ④若n m n m //,,,//则=βαα 其中正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9、如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则⊿ABC 的边长是 （ ）A ．．364 C D 10、甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为 （ ）A ．4437B ．4425 C ．4435 D ．449 二、填空题（每小题5分共25分）11、0)3)(2)(1(,)65()32()21(=---++=t t t x t xxx的方程则关于设 的所有实数解之和为 .12. 在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如图所示的 规则练习数数，数到2007时对应的指头是___________. (填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、 无名指、小指). 13．要得到cos(2)4y x π=-的图象,且使平移的距离最短，则需将sin 2y x =的图象向左平移 ____个单位．14、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 .15、设D 为△ABC 的边AB 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足34AD AB =, 25AP AD BC =+，则APD ABC S S =△△ ____________。

海南中学2016届高三第五次月考理科数学命题:王青俊 杨菲(考试用时为120分钟，满分分值为150分.）第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将答案填到答题卡，答在本试题上无效. 1. 已知集合}022|{},32|{2≤+-=--==x x x B x x y x A ，则=B A ( ）A 。

]1,2(--B. ]1,2[--C. ]3,2[D.]2,2(-2。

已知复数ai z +=1()0,>∈a R a ，且2z =,则复数z 的虚部为 （ ）A. 3B.1 C 。

i 3D. i3。

已知两条不同直线m 、l ,两个不同平面α、β，在下列条件中,可得出αβ⊥的是( ）A ．m l ⊥,//l α,//l βB ．m l ⊥,l αβ=,m α⊂C ．//m l ，m α⊥，l β⊥D ．//m l ，l β⊥，m α⊂ 4。

已知122,,,8a a --成等差数列，8,,,,2321b b b 成等比数列,则212aa b -=（ )A. 14B 。

12C.12-D. 12或12-5。

下列说法正确的是（ ) A. 命题“x R ∃∈，使得22x x>”的否定是“R x ∈∃，使得22x x ≤"B. “若()0,1a ∈，则关于x 的不等式2210axax ++>解集为R ”的逆命题为真C. “若a b ，不都是偶数,则+a b 不是偶数”的否命题为假D. “已知R a b ∈，,若+3a b ≠，则2a ≠或1b ≠”的逆否命题为真6. 由曲线y x=,直线2y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 （ ) A 。

103B.223C 。

163D. 67. 已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为( ）A ．8-B ．6-C ．8D ．68. 底面是正方形的四棱锥的三视图如下图所示，则该四棱锥中，面积最大的侧面的面积为 （ ）A.2B.5 C6 D 。

三亚市第一中学2013届高三第五次月考试题数学理科一．选择题（每小题5分，共12小题）1.下列函数既是奇函数，且在)1,0(上是增函数的是 A ．|1|+=x yB ．x y 2tan =C ．2sinx y = D ．x y 2log =2.在以下关于向量的命题中，不正确的是A.若向量),(y x a =→，向量),(x y b -=→ )0,(≠y x ，则→→⊥b a B.四边形ABCD 是菱形的充要条件是=DC ，且||=|| C.点G 是△ABC 的重心，则→→→→=++0GC GB GAD. 若//,//a b b c ，则//a c3.设椭圆的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆上的一点，且012=⋅→→AF AF , 原点O 到 直线1AF 的距离为||211OF ，则椭圆的离心率为 A.31B. 13-C.22D. 12-4.已知26)4sin(22cos =-αα，则α2sin = A ．23 B ．43 C ．22 D ．215. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A.283π-B. 83π- C.π28- D.23π6.已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且||||,NF MN NMF =∠则等于 A ．30B ．45C ．60D ．907.已知函数x x f πsin )(=的图像的一部分如下方左图，则下方右图的函数图象所对应的函数解析式为A ．1(2)2y f x =-B ．(21)y f x =-C ．(1)2x y f =-D ．1()22x y f =-8.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为4，动点E 、F 在棱AB 上，且EF=2，动点Q 在棱11C D 上，则三棱锥EFQ A -1的体积 A ．与点E 、F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E 、F 、Q 位置都有关D ．与点E 、F 、Q 位置都无关，是定值9.已知向量→→→⋅+=j i a αcos 32,→→⋅+⋅=j i b ααsin 2sin 2，其中i 、j 为互相垂直的单位向量，若3=⋅→→b a ，则α2tan 的值为3.A 3.B 22.C 4.D10.三棱锥ABC P -的三条侧棱PC PB PA ,,两两垂直，且2,2,1===PC PB PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为 A ．π38B ．π35C ．π3D ．π911. 已知抛物线22x y =上两点),(),,(2211y x B y x A 关于m x y +=对称,且2121-=x x ，那 么m 的值等于A .25 B .23C .2D .3 12.函数)(x f ＝⎩⎨⎧=≠)0(1)0(||lg x x x 若关于x 的方程0)()]([2=+⋅+c x f b x f 恰有5个不同的实数解54321,,,,x x x x x ，则54321x x x x x ++++等于A ．0 B.1 C.lg2 D.3二．填空题（每小题5分，共4小题）13.若一个圆的圆心在抛物线2201x y =的焦点处，且此圆与双曲线191622=-y x 的渐近线相切，则这个圆的方程为________________．14．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、 乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种.(用数字作答)15.若正方形ABCD 边长为1，点P 在对角线线段AC 上运动，则)(→→→+∙PD PB AB 的取值范围是_____16. 已知函数3)(x ax x f -=，对区间（0，1）上的任意21,x x ，且21x x <，都有1212)()(x x x f x f -≥-成立，则a 的取值范围为_____________.三．解答题（共6小题，其中22题10分，其余每小题12分） 17.已知函数)2sin()3sin(3)(ππ++-=x x x f（I ）求)(x f 单调递减区间；（II ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f （C ）=2,c=3, A B sin 2sin =， 求△ABC 的面积。

2014届高三年级第五次月考数 学 试 卷（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合)(},5,2{},3,2,1{},6,5,4,3,2,1{B C A B A U U 则====（ ）A ．{1，3}B ．{2}C ．{2，3}D ．{3}2. 设复数Z 满足i Z i 2)3(=⋅-，则|Z |=（ ） ABC ．1D ．23．设,αβ为两个不同平面，m 、 n 为两条不同的直线，且,,βα⊂⊂n m 有两个命题： P ：若m ∥n ,则α∥β；q ：若m ⊥β, 则α⊥β. 那么（ ） A ．“p 或q ”是假命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题4. 在平面直角坐标系中，已知向量),3,(),1,3(21),2,1(x ==-=若//)2(+，则x=( ) A ．-2B ．-4C ．-3D ．-15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 9=-18，S 13=-52，{b n }为等比数列，且b 5 =a 5，b 7=a 7，则b 15的值为（ ） A ．64B ．128C ．-64D ．-1286．设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x >0),则不等式f (x -2)>0的解集为（ ）A ．{x |x <-2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <-2或x >2} 7．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．128．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图 均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如 图，则该几何体的全面积为（ ） A ．2+3π+ B ．2+2π+ C ．8+5π+ D ．6+3π+俯视图正视图侧视图A BDC（第15题）9．已知命题p ：函数2()21(0)f x ax x a =--≠在（0，1） 内恰有一个零点；命题q ：函数2ay x-=在(0,)+∞上是减函数，若p 且q ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．a≤2C ． 1<a≤2D ．a≤l 或a>210．三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =1，PA，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．5πBC ．20πD ．4π11．设方程lnx =-x 与方程e x =-x (其中e 是自然对数的底数)的所有根之和为m ,则（ ）A ．m <0B. m =0C.0<m <1D.m >112. 函数()f x 对任意()()()()623,1x R f x f x f y f x ∈++==-都有的图象关于点()1,0对称，则()2013f =（ ）A.16-B.8-C.4-D.0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知关于x, y 的二元一次不等式组24120x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则3x-y 的最大值为__________14. 曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是____________. 15. 如图, 在ABC ∆中, 45=∠B ,D 是BC 边上一点,5,7,3AD AC DC ===,则AB 的长为 .16．数列{a n }的通项为a n =(-1)n sin1,2n n π∙∙+ 前n 项和为S n , 则S 100=_________. 三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

贵州师大附中2009—2010学年第一学期第五次月考试题高 三 数 学 (理科) 2009-12-28考生注意：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；2．请将答案填(涂)在答题卡的相应位置上,在试卷上作答一律无效；3．考试时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分，共60分） 1．下列函数中，周期为2π的是A ．sin 2x y =B ．sin 2y x =C ．cos 2x y = D ．cos 4y x =2．复数1234iz i-=+的虚部是A ．25-B ．25C ．15D ．15-3．若集合{}1,2,3A =,{}04B x x =<<，则a A a B ∈∈是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列曲线中离心率为2A ．22124xy-= B ．22142xy-= C ．22146xy-= D ．221410xy-=5．直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相离 C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心6．已知向量(cos ,2),(sin ,1)//,tan()4a b a b πααα=-=-且则=A ．3B ．3-C ．13D ．13-7．已知向量,12a b a a b =-=满足，．a b 与的夹角为060，则b =A ．1B ．12C ．12或32D ．28．将函数sin 2y x =的图象按向量(,1)4a π=平移后得到函数()f x 的图象，那么A ．()cos 1f x x =-+B ．()cos 21f x x =+C ．()cos 21f x x =-+D ．()cos 21f x x =- 9．数列{}n a 的前n 项和为.n S 若51,(1)n a n n ==+则SA ．1B ．56C ．16D ．13010．设随机变量2(,)N ξμσ ，且二次方程240x x ξ++=无实根的概率为12，则μ的值为A ．8B ．6C ．4D ．2 11．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为A ．1B ．2C ．1-D ．2- 12．若1x 满足522=+x x ，2x 满足21222log (1)5,x x x x +-=+=则 A ．25 B ．3 C ．27 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．52()x x +的二项展开式中，3x 的系数是________________（用数字作答）．14．已知正项等差数列{}n a 的前20项和为100，那么714a a 的最大值为 ． 15．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 16．设R x f 是)(上的奇函数，R x g 是)(上的偶函数，对于R x ∈都有)1()(+=x f x g ，当[]1,1-∈x 时，x x f =)(．则=)2009(f ．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a b c ααββ===-．（1）求向量b c+的长度的最大值；（2）设(),cos 4a b c παβ=⊥+，且求的值．18．苏宁电器商场准备在圣诞节举办促销活动，商场筹划部决定从3种名牌空调，2种彩电，4种冰箱中，选出3种商品进行促销活动．（1）试求选出的3种商品中至少有一种是冰箱的概率；（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高280元．同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金200元．假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种促销方案对商场是否有利．19．已知双曲线2212xC y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，记M P M Qλ=，求λ的取值范围．20．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90BAC ∠= ．11==BB AB ，直线C B 1与平面ABC 成30 角． （1）求证：平面111A ABB AC B 平面⊥； （2）求二面角A C B B --1的大小； （3）求点1A 到平面AC B 1的距离．21．设数列{}n a 满足*-∈=+⋅⋅⋅++N n n a a a n n ,333121．（1）求数列{}n a 的通项； （2）设nn a n b =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ．求证：211->+n S a n n ．22．已知函数ax e x f x ++=)1ln()(．（1）若函数)(x f y =的导函数是奇函数，求a 的值； （2）若0<a ，求函数)(x f y =的单调区间；（3）证明：直线b x a a y +++=)1(2不可能是曲线)(x f y =的切线．C 1CB B 1。

2014年高三第五次模拟考试数学试题（理/文）2014.3.22命题人：邬小军 审核：高三数学组第Ⅰ卷 选择题（共75分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分;）1．（理）已知集合{}2,0xA y y x -==<，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=( B )A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ （文）复数(34)i i +的虚部等于（ A ）A. 3B. 3iC. 4-D. 42．（理）下列函数中，即是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ B ） A. 32x y = B. 1+=x yC. 42+-=x yD. xy -=2（文）函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（ B ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]- 3．（理）已知2()sin ()4f x x π=+若a =f (lg5),1(lg )5b f =则 （ A ）A ．a+b=1B ．a-b=0C ．a+b=0D ．a-b=1 （文）下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（ D ）A. sin()23xy π=+ B. sin()23x y π=-C. sin(2)3y x π=- D. sin(2)3y x π=+4．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ B ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)5．（理）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则数列{}n a 是（C ）A ．等差数列B ．等比数列C ．既非等差又非等比D ．既是等差又是等比（文）已知x ，y 满足,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 46．已知x 、y 的取值如右表所示从散点图分析，y 与x 线性相关，且a x y +=8.0ˆ，则a =( B )A. 0.8B. 1C. 1.2D. 1.57.已知平面向量,a b 满足||2,||3,(2)0a b a a b ==⋅-= 则||a b -=（ B ）A ．2 B. 3 C. 4 D. 68．（理）航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ D ） A ．12种B.16种C.24种D. 36种（文）已知一个三棱柱的所有棱长均相等，侧棱垂直于底面,其侧视图如图所示，那么此三棱柱正视图的面积为（ A ）A.23B. 4C. 3D. 439．(理)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则 （ A ） A.a<v<ab B.v=ab C.ab <v<2a b + D.v=2a b+ (文)已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是（ B ） A ． 相切B. 相交C. 相离D. 不确定10．如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( C )A ． 112π-B ．1πC ．21π-D ．2π第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：（本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分）11．（理）如果(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，那么a 1＋a 2＋…＋a 6的值等于 0 . （文）已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则n S = 24n n + .12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝154;13．已知函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 （0，1） .侧视图214．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则正整数0n = 8或9 .15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A . (不等式选做题) 设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 R .B . (几何证明选做题)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= 5 .C . (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线22x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是（1，0）。

2015高三第五次月考数学理试题1.已知{}134,0,,2x M x x N x x Z M N x -⎧⎫=-<=<∈⋂=⎨⎬+⎩⎭A. ∅B .{}0C. {}2D. {}27x x ≤≤2.下列说法正确的是A.命题“若211x x ==，则”的否命题为“若21,1x x =≠则” B.命题“200010x R x x ∃∈+-<，”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为假命题 D .若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 3.若34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则()tan θπ-的值为 A.34B.43C . 34-D. 43-4.圆()2211x y -+=被直线0x y -=分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为A.1：2 B .1：3 C.1：4 D.1：55.复数212m iz i-=+（,m R i ∈是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于 A .第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知函数)(x f y =的图象在点（1，(1)f ）处的切线方程是)1(2)1(,012f f y x '+=+-则的值是A ．21B ．1C ．23D ．27.各项都是正数的等比数列{}n a 中，且2311,2a a a ，成等差数列，则3445a a a a ++的值为A. B.C.D.8.若函数()()1xxf x k a a -=--（01a a >≠，且）在R 上既是奇函数，又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是A9.设偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，∆KLM 为等腰直角三角形，90KML ∠=,113KL f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则的值为A. 4-B. 14-C .14D.410.已知函数()()()()21,021,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()12g x f x x =-的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和10=n S S ，则 A.45B.55C.90D.110第II 卷（共100分）注意事项：1.第II 卷包括5道填空题，6道解答题.2.第II 卷所有题目的答案，考生需用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案须填在答题纸相应的横线上. 11.将函数()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数()g x ，则()g x 的最小正周期是__________.12.已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度等于__________.13.若3nx ⎫⎪⎭的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_________. 14.由曲线y =，直线2y x y =-及轴所围成的图形的面积为__________.15.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 222213,3135,41357,=+=++=+++⋅⋅⋅； 233235,37911,413151719,.=+=++=+++⋅⋅⋅根据上述分解规律，若2313511,m p =+++⋅⋅⋅+的分解中最小的正整数是21，则m p +=___________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本题满分12分） 已知向量sin,cos ,cos ,3cos 3333x x x x a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x a b =⋅. （I ）求函数()f x 的单调递增区间；（II ）如果ABC ∆的三边a b c 、、满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数()f x 的值域.17. （本题满分12分）如图所示，四边形OABP 是平行四边形，过点P 的直线与射线OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若,OM xOA ON yOB ==.（I ）建立适当基底，利用//NM MP ，把y x 用表示出（即求()y f x =的解析式）； （II ）设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足：()()12n n S f S n -=≥，求数列{}n a 通项公式.18．（本小题满分12分） 已知函数()32f x x ax bx c=-+++图像上的点))1(,1(f P 处的切线方程为31y x =-+，函数3)()(2+-=ax x f x g 是奇函数． （I ）求函数)(x f 的表达式； （II ）求函数)(x f 的极值.19.（本题满分12分）已知双曲线2211n n x y a a --=的一个焦点为)，一条渐近线方程为y x =，其中{}n a 是以4为首项的正数数列. （I ）求数列{}n c 的通项公式； （II ）若不等式()12122log 1323a n n n n L x a c c c ++++<+>⋅对一切正常整数n 恒成立，求实数x 的取值范围.20.（本题满分13分）在直角坐标系xOy ，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、.其中2F 也是抛物线224C y x =：的焦点，点M 为12C C 与在第一象限的交点，且253MF =.（I ）求椭圆1C 的方程；（II ）若过点D （4，0）的直线1l C 与交于不同的两点A 、B ，且A 在DB 之间，试求AOD ∆∆与BOD 面积之比的取值范围.21.（本题满分14分）已知函数()()()21ln ,02f x xg x ax bx a ==+≠. （I ）若2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设函数()[]2,0,ln 2xx x ebe x ϕ=+∈，求函数()x ϕ的最小值；（III ）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交12C C 、于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.2015届高三数学理参考答案1-5 BDCBA 6-10 DBACC18．解:(1)()'232f x x ax b=-++，…………………1分函数()f x在1x=处的切线斜率为-3，∴()'1323f a b=-++=-，即20a b+=，又()112f a b c=-+++=-得1a b c++=-,………………………………3分又函数3)(3+++-=c bx x x g 是奇函数，0)0(=g .3-=∴c ∴2,4,3a b c =-==-， ………………………………6分∴()32243f x x x x =--+-． ………………………………7分（2）)2)(23(443)(2'+--=+--=x x x x x f,0)(=x f 32=x 2-=x ，∴，极小11)2()(-=-=f x f .2741)32()(-==f x f 极大.…………………… 12分19．（ 满分12分）解：（Ⅰ）∵双曲线方程为2211n n x y a a --=的一个焦点为,0)，∴1n n n c a a -=+．…1分又∵一条渐近线方程为y x =，∴21=-n n a a ，即1-n n a a =2， …………………3分20．（ 满分13分）解：（Ⅰ）依题意知2(1,0)F ，设11(,)M x y .由抛物线定义得2||MF = 1513x +=，即123x =. ………………1分将321=x代人抛物线方程得1y =， ………………2分进而由222()31a =及221a b -=，解得224,3a b ==. 故椭圆1C 的方程为22143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）依题意知直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为4x my =+代人22143x y +=， 整理得22(34)24360m y my +++=………………6分由0∆>，解得24m >. ………………7分设1122(,),(,)A x y B x y ,则12212224343634my y m y y m -+=+⋅=+⎧⎪⎨⎪⎩①②………………8分令AODBODS S λ∆∆=，则11221212OD y y y OD y λ⋅==⋅且01λ<<. ………………9分 将12y y λ=代人①②得2222224(1)343634m y m y m λλ-⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去2y 得222(1)1634m m λλ+=+， 即2224(1)1033m λλλ+=--． ………………10分 由24m >得22(1)11033λλλ+>--，所以1λ≠且231030λλ-+<, 解得113λ<<或13λ<<. ………………12分又01λ<<，∴113λ<<故ODA ∆与ODB ∆面积之比的取值范围为1(1)3，． ………………13分21．（ 满分14分）解：（Ⅰ）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=∵),0()(+∞在x h 上是增函数，∴1()20h x x b x '=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立，∴min 1(2)b x x ≤+………………2分 ∵.2221,0≥+>x xx 则当且仅当x =时取等号． ∴b 的取值范围为].22,(-∞ ………………4分（Ⅱ）设]2,1[,,2∈+==t bt t y e t x则函数化为，即22()24b b y t =+-,[1,2]t ∈．…5分∴当]2,1[,222,12在函数时即y b b≤≤-≤-上为增函数，当t=1时，.1min +=b y 当,2,24,221时当时即bt b b -=-<<-<-<;42min b y -=当2,4,[1,2]2bb y -≥≤-即时函数在上为减函数，当t=2时，min 42.y b =+……8分综上所述，2min 42(4)()(42)41(2bb bx b b b ϕ+≤-⎧⎪⎪=--<<-⎨⎪⎪+-≤≤⎩ ………………9分 （Ⅲ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.221x x x +=C 1在M 处的切线斜率为.2211x x k +=。

高三第五次月考数学（理科）一、选择题1．设U={实数}，集合2{|0},{|230}2xM x N y y y x =<=+-=-，那么集合()U M N ⋂ð等于（ ） A ．{1}B ．{-3}C ．{|021}x x x <<≠且D ．{|023}x x x <<≠-且2．一元二次方程022=++a x x 有一个正根和一个负根的必要非充分条件是（ ） A. 1>a B. 1<a C. 0>a D. 0<a3、设函数f （x ）=2(1)2x ⎧+⎪⎨-⎪⎩ 11x x <≥，(10),a f =则f （a ）＝（ ）A 、9B 、12C 、14D 、164、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = （ ） A 、 2B 、 4C 、152D 、1725．设函数)0(1)6sin()(>-+=ωπωx x f 的导函数)(x f '的最大值为3，则)(x f 的图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．9π=xB ．6π=xC ．3π=xD ．2π=x6．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则过曲线()f x 上一点（1，(1)f ）处的切线斜率为（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-2 7、若n 展开式的二项式系数和为122，则展开式中所有理项共有（ ）项A ．2B ．3C ．4D ．68、若cos 2sin tan ααα+=则=（ ） A ．12B ．2C ．-12D ．-29、从8名志愿者中选6名分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的种数为（ ）A ．15120B ．7560C ．5040D ．252010、若关于x 的方程21(1)10(01)xxa a a a m +++=>≠且有解，则m 的取值范围是（ ） A ．1(,]3-∞-B ．[13-，0）∪（0，1]C ．[13-，0) D ．[1，+∞）11、从编号分别为1，2，…，9的9张卡片中任意抽取3张，将它们的编号从小到大依次记为x, y, z ，则22y x -≥≥且z-y 的概率是（ ） A ．13B ．14C ．528D ．51212．在ABC ∆中，A (1,4)，B (4,1),C (0,4)-,P 为ABC ∆所在平面上一动点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的最小值是 （ ）A ．623-B ．743-C ． 863-D ．503-二、填空题13．曲线34x x y -=在点()3,1--处的切线方程是 .14. 设有两个命题：:p 不等式224)31(x x m x ->>+对一切实数x 恒成立；:q x m x f )27()(--=是R 上的减函数，如果p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是15、数列{}n a 为1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，则此数列的第2005项2005a = 。

英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A.()2,3− B.(),3−∞ C.()2,2− D.()0,2（2022.广州二模）2.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A.12xy =B.2yx x =−C.1y x =− D.1y x x=−3.已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A.1086B.1229C.980D.10604.2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）A.5%B.3%C.2%D.1%（2022.苏北七市三模） 5.函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（）的AB.C. D.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 117. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8B. 150,,148∪C. 50,8D. 1150,,848∪8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2.为10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为811. 已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A. 120x x +> B. 120x x < C. 12ln 0xe x +=D. 12121x x x x −+<12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()fx 最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 14. 函数()1293xxf x −=+的最小值是___________.15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =.16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？ 19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 最大值.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+.（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a.的。

安徽省淮北市第一中学2014届高三第五次月考数学（理）试题第 I 卷一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知31)75cos(=+α ，则)230cos(α- 的值为 ( ) A ．59 B ．23 C ．79 D ．892.若,a b 是两个非零向量，则“a b a b +=-”是“ab ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件 B .必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件3.若直线02=+-a y x 过圆06222=+-+y x y x 的圆心，则a 的值为（ ）A.4B. -4C. -5D. -64. 一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π9200+B ．π18200+C ．π9140+D ．π18140+5.若1tan tan 2,sin sin 3x y x y ==，则x y -= ( ) A.23k ππ± B.32ππ+k C.32ππ-k D.42ππ±k6.已知dx x a )212(sin 202⎰-=π，则9)21(ax ax +展开式中，含x 的一次项的系数为（ ） A. 1663-B. 1663C. 6316-D. 63167.钝角ABC ∆最大边长为4，其余两边长为y x ,，以),(y x 为坐标的点所表示的平面区域的面积为 ( )A. 84-πB. 84+πC. 64-πD. 2174-π 8.函数2)5(9--=x y 的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（ ） A.43B.2C.3D.5 9.设21,F F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左，右焦点，P 为直线23ax =上一点，21PF F ∆是底角为 30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为 （ ）A.21 B. 32 C. 43 D. 5410.设D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记.)1(λλ-+=方程01sin )1(sin 22=++-x x λ若在[)π2,0上方程恰有两解，则实数λ的取值范围是（ ）A.)2,(--∞B.()4,-∞-C.{}122-- D.{}122)4,(--⋃--∞第 II 卷二、填空题（每小题5分，共25分）11.等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 8212-=，则nn a n b 219-=的最小值是12.已知圆的极坐标方程是2cos ρθ=，那么该圆的直角坐标方程是 13.已知x R ∀∈， 使不等式()42log 331a x x -+≤++-成立，则实数a 的取值范围是 14.如图是函数2sin ()x f x x bx c π=-+的图像的一部分，若图像的最高点的纵坐标为34，则b c +=15.下列命题：①.设R b a ∈,，,6222=+b a 则b a +的最小值是3-;②.已知,02sin 3=-+a x x 0cos sin 43=++a y y y ，则0)2cos(=+y x ; ③.若,0))((4)(2=----z y y x x z 则z y x ,,成等差数列 ; ④.已知函数)(x f 满足31)1(=f ，)()()()(3y x f y x f y f x f -++=，),(R y x ∈ 则3)2013(=f ;其中正确的命题是___________。

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.在复平面内，复数z =2+i 2023'则z 的共扼复数对应的点位于A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限2.若全集u,集合A,B及其关系用韦恩图表示如图1'则图中阴影表示为A.心(An B)B.心(A UB )C.(心A)nBD .An (心B )7T3.巳知向最a 与h 的夹角为—,|矿3=2, lbl=l, 则向最仇生b 上的投影向量为｀图1了A了01_2． B T a ． c T a 1_2． D 4.在棱长为丘的正方体中，与其各棱都相切的球的表面积是A.'TT B.61TC.41rD.21r 5.化简tan67°tan68°-tan67°-tan68°=A.8B.1C.2D .46.随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5. 并且小明步行上班不迟到的概率为0.91, 骑共享单车上班不迟到的概率为0.92,乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93,则某天上班小明迟到的概率是A.0.24B.0. 14C.0. 067数学．第1页（共4页）D.0.077•二一二7. 已知点A(O,2), 点B(O,-2), 若在直线x =m y-3上存在一点P ,使得“丙．而＜O "成立是"-2<m<2"的迟A.充分不必要条件C.充要条件228.把双曲线二－勹=1 (a>O, b>O)绕着其中心旋转一定的角度可以得到函数f(x)=x-—1a b X的图象，则该双曲线的实轴长为A.2五五三c.2�二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.下列不等关系不能恒成立的是1A.e x+-�2 ex1B.ln x +—�2ln xB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件B.4�D.4�ly XC.cos x +�2D. -+—�2COSXXyII10. 已知随机事件A,B, C, 则下列说法正确的是A.若h 为事件B 的对立事件，则P(BIA)=1-P(B IA)B.若事件B,C 互斥，则P(BUCIA)= P(B I A) +P(CIA)C.若P(A)=P(AIB)'则事件A,B 独立D.若P(A)+P(B)=1, 则事件A,B 对立11.如图2,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1=2AB , D 为棱BC 的中点，点E ,F分别在棱BB 1,ee 1上，当AE+EF+FA 1取得最小值时，则下列说法正确的是C,A .AE =EF1B.EF 与平面AB e 所成角的正切值为—3 C.直线AD 与EF 所成角为90°D.V =V D-AA 1F A 1-ADEA图212. 定义在R 上的函数y =f(x )由关系式Xlxl -Y lrl = 1确定，设函数g(x) = {寸(x ),x;,,O, ． 则下列说法正确的是寸(-x),x <O , A. f(x)在定义域内单调递增B .f (x )关于直线y=x 对称C.g(x)的值域为RD .g(x)的导函数为奇函数二二一二二数学．第2页（共4页）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）2 613.(x-�)的展开式中的常数项是．（用数字作答）14.点E(x1,Y1)利点F(x2,Y2)是函数J(x)= A sin(wx+沪(w>O)图象上相邻的最高点和最低点，当EF=5,Y1-r2==4时，则o的值为15.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA上平面ABCD,PA =AB== 1, 已知圆柱在该四棱锥的内部且圆柱的底面在该四棱锥的底面上，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为16.已知点P在函数J(x)=xe义上，若满足到直线y=x+a的距离为2丘的点P有且仅有两个，则实数a的取值范围是四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分）在6ABC中，角A,B, C对应的边分别为a,b, c, 已知6ABC的外接圆半径为/5,且b sin(A+C) =a sin (B+C) +(丘a+c)sin(A +B).(1)求角B;厄(2)若sin A si n C=—求6AB C的面积10,18.(本小题满分12分）如图3'在菱形ABCD中，A B=2,L DAB=60°, 将!::..B CD沿着BD翻折，形成三棱锥A-BC D.(1)当A C=2时，证明：AD上BC;(2)当平面ABD.l平面BDC时，求直线BC 与平面ACD所成角的余弦值c A厂三、I刁A图319.(本小题满分12分）某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图4,甲所示的电路．于是他在一批产品中随机抽取了电子元件A,B, 安装在如图甲所示3 2的电路中，已知元件A的合格率都为—，元件B的合格率都为—.4 3(1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率；数学·第3页（共4页）一二一二电子元件A ,B接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为X, 求X的分布列(2)经反复测验，质检员把一此r-------------------------＿ 元件A ＿＿元件A -i兀件B乙厂----------------------,：元件A}亡l ： 元件B l －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－，甲图420.(本小题满分12分）al a 2 a3 a n l 已知数列1a n f 满足：—+-+—+…+-= n (n E N •) , 数列j b n f 满足丸＝2 22 23 2n a n +250·(1)求数列laJ 的通项公式；(2)求b 1+b 2+…+b 99•21.(本小题满分12分）巳知凡，凡为椭圆C 的两焦点，过点凡(0,1)作直线交椭圆C 于A ,B 两点，6AB 凡的周长为4迈．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 的上顶点为P,下顶点为Q,直线Q B 交y =2于点H,求证：A , P, H 三点共线22.(本小题满分12分）已知J(x)=a 无(a>O且a=/c l ,x>O), g(x)=x 2cx>0), h(x)=ln [g (x)] ln lf(X )](1)当J (x)= g (x )有两个根时，求a的取值范围；h(2) h(3) h(n ) n l 3 (2)当a =e 2时，求证：一了-+ 3 +…＋勹厂气十2n+2-4(n E N *).二一二口数学·第4页（共4页）。

湖南邵阳县振文复读中学第五次月考试题 理 科 数 学总分：150分 时间：120分钟 命题人：蒋英刚 李翔 2007.12.28一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1下列函数中是同一函数的是A y ＝1与y ＝x 0B y ＝x 与y ＝log a xaC y ＝2lg x 与y ＝lg x 2D y ＝2x ＋1－2x 与y ＝2x2若集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈Z}，N ＝{x ||x －3|≥6，x ∈R}，全集U ＝R ，则M ∩ðU N 的真子集个数是 A15 B7 C16 D8 3已知a ，b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a ，0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a +b 等于 A －1 B0C1D ±14已知f (x )＝－4－x 2在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是 A[－2，2] B[－2，0] C[0，2] D(－2，2) 5已知f (x )是R 上的增函数，令F (x )＝f (1－x )－f (3＋x )，则F (x )在R 上是A 增函数B 减函数C 先增后减D 先减后增6、在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的另一个面所成的角为30°，则此直线与二面角棱所成的角为A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°7、一块实验地分成5垄，分别种植5种不同的农作物，且甲种农作物既不能与乙种农作物相邻，也不能与丙种农作物相邻，则不同的种植方法有 A 、24种 B 、36种 C 、48种 D 、60种8、对于任意两个正数m 、n ，定义运算⊗：当m 、n 都为偶数或都为奇数时，m ⊗n ＝2nm +；当m 、n 为一奇一偶时，m ⊗n ＝mn ；设集合A ＝},6|),{(*N b a b a b a ∈=⊗、，则集合A 中的元素个数是A 、14B 、15C 、16D 、179、从30名男生和20名女生中抽出10人组成一个调查小组，若按性别依比例分层抽样，则不同的抽样方法有A 、1050CB 、520530C C C 、420630C CD 、420630A A 10、已知函数x x x f 32)(3+=，x ∈（－1,1），当0)1()1(2<-+-a f a f 时，a 的取值范围是A 、（－2，1）B 、（0，2）C 、（0，1）D 、（－2，2） 二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中的横线上 11函数y ＝(49)x ＋(23)x －109的定义域为 12已知函数f (x )＝bx2－3x ，若方程f (x )＝－2x 有两个相等的实根，则函数解析式为13某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数经检测，当t ＝2时，μ＝009μ0，则当稳定系数降为050μ0时，该种汽车的使用年数为 (结果精确到1，参考数据：lg2＝03010，lg3＝04771) 14已知实数a ，b 满足等式log 2a ＝log 3b ，给出下列五个等式：①a >b >1；②b >a >1；③a <b <1；④b <a <1；⑤a ＝b 其中可能成立的关系式是 (填序号)15已知n 元集合M ＝{1，2，…，n }，设M 所有的3元子集的元素之和为S n ，则limn →∞S nn 2＝ 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分12分）已知函数x x m x m x f cos sin 32sin 2)(2+-=的定义域是]2,0[π，值域为[－2，1]，若向量),(n m a = 满足2||≤a，求n 的取值范围17、（本小题满分12分）市特警队员进行手枪实弹射击考核，每次射出一发子弹，每射击5发为一组，一旦命中就停止，并转入下一组考核，否则一直打完5发子弹才能转入下一组考核，已知新队员小李每射击一次的命中概率为0.8，且每次射击命中与否互不影响（1）若队员完成连续两组考核所用子弹不超过3发，则可被评为优秀射手，求小李被评为优秀射手的概率；（2）求小李在一组考核中所用子弹数ξ的分布列，并求ξ的期望18、（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的底面是等腰三角形，底角∠BAC ＝30º，且AC ＝AA 1＝a ，D 是C 1C 中点（1）求证：面AB 1D ⊥面A 1ABB 1； （2）求C 1到面AB 1D 的距离19、（本小题满分12分）已知数列｛a n ｝的前n 项的平均数为2n ＋1 （1）求｛a n ｝的通项公式； （2）设11+-=n n n a a c ，试判断并说明*)(1N n c c n n ∈-+的符号； CBE DA 1C 1B 1（3）设函数n c x x x f 85)(2-+-=，是否存在最大的实数k ，当k x ≤时，对于一切非零自然数n ，都有0)(≤x f20 (本小题满分13分)设f (x )＝|x ＋1|＋|ax ＋1|⑴若f (－1)＝f (1)，f (－1a )＝f (1a )(a ∈R 且a ≠0)，试求a 的值；⑵设a >0，求f (x )的最小值g (a )关于a 的表达式21 (本小题满分15分)定义函数f n (x )＝(1＋x )n －1，x >－2，n ∈N ＋，其导函数记为f n ′(x ) ⑴求证：f n (x )≥nx ；⑵设f ′n (x 0) f ′n +1 (x 0)＝f n (1) f n ＋1(1)，求证：0<x 0<1；⑶是否在在区间[a ，b ]⊆(－∞，0]，使函数h (x )＝f 3(x )－f 2(x )在区间[a ，b ]上的值域为 [ka ，kb ]?若存在，求出最小的k 值及相应的区间[a ，b ]湖南邵阳县振文复读中学第五次月考答案11(－∞，1] 12f (x )＝4x 3x －21313 14②④⑤ 151216、化简得 m x m x f -+=)62sin(2)(πm ＝1 解得33≤≤-n17、（1）0.896（2） E ξ=1.2496 18、（2）23a19、（1）14-=n a n （2）01>-+n n c c （3）存在实数k=120解：⑴∵f (－1)＝f (1)，∴2＋|a ＋1|＝|1－a |， 两边平方并整理得|a ＋1|＝－(a ＋1)，∴a ≤－1①又f (－1a )＝f (1a )，∴2＋|1a ＋1|＝|1－1a|两边平方并整理得|1a ＋1|＝－(1a ＋1)，∴1a ＋1≤0，即a ＋1a ≤0，∴－1≤a <0②由①②联立得a ＝－1…………………………………………………………………5分⑵f (x )的图象是一条折线，它的最小值在图象的转折点处取得 ①当0<a <1时，－1a <－1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(1＋a )x －2，x <－1a ， (a －1)x ，－1a≤x ≤－1，(1＋a )x ＋2，x >－1，∴g (a )＝min{ f (－1a )，f (－1)}＝min{－1＋1a ，1－a }＝1－a …………………………8分②当a ＝1时，f (x )＝2|x ＋1|≥0，即g (a )＝0…………………………………………9分③当a >1时，－1a>－1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(1＋a )x －2，x <－1，(1－a )x ，－1≤x ≤－1a ，(1＋a )x ＋2，x >－1a，∴g (a )＝min{ f (－1a )，f (－1)}＝min{－1＋1a ，1－a }＝－1＋1a……………………12分综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，0<a ≤1，－1＋1a ，a >1。