第五章一元一次方程圈出m力屮一个竖列上相邻的三个n期，把它们的和告诉我，我能马上知道这•:天分别*儿号.你想知道这进为什么吗？利用方程的知识试试肴.第五章一元一次方程1你今年几岁了如果设小彬的年龄为x岁，那么“乘2洱减5” 就妊______ ，所以得到等式：________ .像这样含有未知数的等式叫做方程(equation).使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解.小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40IM米，栽种后每周树苗长高约5 M米，大约儿周后树苗长苡到1米？如采设X周后树茁长高到1米,那么可以得到方程:第五次全国人口普查统计数据(2001年3〗彳28 新华社公截至2000年11月1日0时，全W每10万人中具有大学文化程度的人数为3 611人，比1990年7月1曰0时增长了 153.94%.1661你今年几岁了167 I如采设这个足球场的宽为x 米，那么长为（r + 25＞米.由此可 以得到方程： ____________________ .f 议一议上而的方程A 什么共同点？在-个方程屮，H 含有一个未知数.v （元），并且未知数的指 数*1（次），这样的A'程叫做一元一次方程linear equation with one unknown ）. •我PI 古代称米知数为元.RtV 有一个未知数的方稈叫做一元方稃.一元方稈的解也 叫根. 某长方形足球场的周长为3H ）米，长和宽之差为25米，这个 足球场的长与宽分别是多少米？第五章一元一次方程/随堂练习1.根据题意，列出方程：(1)在一卷公元m 1600年左右遗留下来的方埃及草祛中，数学问题.其中一个问题翻译过来是：“啊枪，它的全部，它的j，其和等于19.” 你能求出问题中的“它”吗？(2)乙两队开展足球对抗赛，蚬定每队胜一场得3分，平一场得1 分，负一场得0分.屮队与乙队一共比弈了 10场，屮队保持了不败ii：录，贝得了 22分.中队胜了多少场？平了多少场？习賤5.11.根据題意，列出方枝：一个啟的｛与3的差等于最大的一位跃，求这个数.1.请用自己的年龄编一道问题，并列出方楛.\问睡解决/1.根据塏恚，列出方(1)根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数掂，我至2000年11月1日0时，全阗每10万人中只具有小学文化权度的人敫为35701人，比1利0年7月1日0时减少了 3.66%,1990年6月底每10万人中约有多少人只具有小学文化:a度？(2)莱商店对超过15000元的物品提供分期付款服务，闻客可以先付3000元，以后每月付1500元.王叔叔想用分期付肷的形式购买价值19500元的电胲，他需要明多长时间才能付清全部资款？1681你今年几岁了 169天平两边同时 拿去相同质簠的砝 码.天平仍然平衡-天平两边同时＞加入相同质量的砝 码.天平仍然平衡•3 + 5 = jf-5 + 5. 于是 8=x .惯I :,我们写成^=8.Fifti 我们研究如何用等式的fi 本性质解一元一次方程.如采将天平肴成等式，那么从上W 可以得到：等式两边同时加上（或减去）同-个代数式，所得结采仍是 等式••: ®如果天平两边砝妁的质贵同时扩人相同的倍数或 同时缩小为原来的儿分之-，那么天平还保持平衡吗？等式网边同时乘同•个数（或除以同•个不为o 的数＞，所得 结果仍是等式.利用等式性质可以解一元一次方程.例1解下列方程：（1） ^ + 2 = 5, （2） 3=x-5.解：（1）方程两边同时减去2,得第五章一元一次方程I .解下列方租:(1) AT + 21 = 36,(2) 8 = 7- 2v ； 例2解下列方程：(1) -3x= 15, ⑵一号一2 = 10.解：⑴方程两边同时除以一3,得化简，得 A : = -5.(2) 方程两边同时加上2,得-•y - 2 + 2 = 10 + 2.化简，得 一号=12.方程两边同时乘-3,得；/=-36.V ® 现在你能帮小彬解开1:节‘课的那个谜吗？ /随堂练习1. 解下列方程：(1) ^-9 = 8, (2) 5-y=~ 16,(3) 3x + 4 = - 13 ； (4) -jx - 1 = 5 .2. 小明编了一道这样的题:我是4月出生的,我的年齡的2倍加上8,正 好足我M !生那一月的总大数.你拈我有儿岁？访你求出小明的年龄.习賤5.2⑶^一+=-士：⑷+=号一去•170 1你今年几岁了2.小颖碰釗这徉一道W方权的題： 2r=Sx，她在方《的两边都除以r，免然得到2=5•你能说出她错在哪里吗？171第五章一元一次方程2解方程解方程：5x-2=8.方程两边都加上2,得5r-2+2=8+2,也就玆5r=8 + 2.比较这个方程与原方程，可以发现，这个变形相4丁5x-2 =8，5x = 8 + 2 .即把职方程屮的- 2改变符号后，从方程的-•边移到另一边，这种变形叫移项(transposition of terms).闪此，方程5x-2 = 8也可以这样解：移项，得5x=8+ 2.化简，得5x = 10.方程两边同除以5,得JT = 2.例1解下列方程：(1)2x + 6 = 1, (2) 3x + 3 = 2x + 7.m：d)移项，得2x = 1 - 6.化简，得2x^-5.方程两边冋除以2，得x=-4.(2)移项，得3r-2x = 7-3.173(2) 5A • - 2= 7x+ 8, (4) | ^ ^x = ^x + •合并同类项，得例2解方程：+x = -+x + 3.解：移项，得+ = 合并同类项，得 |^ = 3.方程两边同除以•(或同乘+＞，得r = 4. /随堂练习1. 解下列方程：(1) 10乂一 3 = 9,(3) x = \x + 16二］^5.31. (1) 4x -2 = 3-Xi(2) - 7x + 2 = 2r - 4i (3) - x = - + 1,(4) 2x — 士 =-含十2.2. 求解本幸系一节课中的问題.第五章一元一次方程》廬咖驗1.某航空公司规定：农坐飞机普通舱旅容一人最多可免IT托运20千免行李.超过部分每千免按飞机票价的丨.5%昀买行李黍.一名旅客托运了35千免行李，机票连同行李U•共付1323元，求该旅落的机桑票价.174175你知ill 丨听采 奶多少钱吗？解出 你所列的力松.找你3/C1听果奶多少钱？如果设1听果奶x 元，那么可列出方程 4(x+ 0.5)+ x= 20 - 3.V 想一想(1) 这个方程列得对吗？为什么？你还能列出不同的方程吗? (2) 怎样解所列的方程？例3解方程： 4(x + 0.5)+r= 17 解：去括号，得4x + 2 + x = 17.移项，得 4x + x= 17 合并同类项，得5^ = 15.方程两边同除以5,得 r=3.第五章一元一次方程1762(x- 1)=4.例4解方程：解法一：去括号，得- 2x + 2 = 4.移项，得-2r = 4-2.化简，得-2r=2.方程两边同除以-2,得^ = - 1.解法二：方程网边同除以-2,得x—1=— 2.移项，得x=-2+i.即JC =- 1.f 观察上述两种解方程的方法，说出它们的区别，与同伴进行交流./随堂练习~ V1.解下列方程：177(2) 2 -(1 -^)=- 2i (4) 4又- 3(20-4=3, (6) 2(3-x )=9,⑻一 2(x-2)= \2.I .解下列方《:2解方程(1) 5(x-l)= 1,(3) llx+ 1 =5(2r + 1), (5) 5U + 8)- 5 = 0,(7) -3(x +3)=24,习 IS 5.4第五章一元一次方程1782. 如果用c 表示摄氏溫度(C ), /表示华氏溫度(下＞，那么c 与/之间的关 系是：0 =吾(/一 32＞.已知=15,求/. 3. 求解习題5.1中的方杻.1. 一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将两个数字对调后得到的两 位数比原来的数小36,求这个两位数.例5解方程：±(x+ 14)=|(x+20). 解法一：去括号，得yX + 2 = +X + 5.移项、合并同类项，得-3=..I 柯边R 除以矗(或同难¥＞，得- 28 =夂即^ = - 28.解法二：去分母，得4(x+ 14)= 7(JC + 20). 去括号，得 4x+ 56= lx + 140.移项、合并同类项，得 -3r=84. 方程两边同除以一3,得^ = -28.(1) 12(2-3xr)=4r+ 4, ⑵6 - 3(x+吾＞=吾， ⑶2(200 - 15x)= 70 + 25x ；⑷3(2r + 1)= 12.•••想一想解一元一次方程有哪些步骤•？解-元一次方程，-般要通过去分母、去括号、移项、合并 同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个-元一次方程“转 化”成Y = «的形式.例6解方程:士 (x+15>= 士一士(x_7).解:去分母，得6(;r + 15)= 15 - 100r - 7). 去括号，得 6x + 90 = 15 - 10x + 70.移项、合并同类项，得16r = -5. 方程两边同除以16,/随堂练习1.解K 列方程：(2) |(AT +1)=|(2X -3), ⑷l)=j(x- l)t (6) -y(x-l)= 2 --j(x + 2).方程小史古埃及是数学的发诛地之一.早在公元前650年.古埃及人就在纸 萆书(纸萆是生长在尼罗河流域的一种水萆，古埃及人将它的茎叶压成薄 片用来写字)上写下了含有来知数的问题.12世纪前后.我国教学家用第五章一元一次方程“天元术”来解題，即先要“立天元为某某”，相当于“设r为某某14世纪初.元朝数学家失世杰刨立了•'四元术”（四元指天、地、人、物. 相当于四个来知数，如:C,兄Z, K）.这是中国古代教学的一1.解下列方枝:次飞跃.习 IS 5.5(3) 1^2=«(4) 4-x - 7 =(5) jx-4-(3-2x)=1, (6) 2x I-1^1= 1.(7)y(2x：+14)=4-2x f(8)邊(200+x)-备(300一JC)■300x荟•1 踟蛛有8条瞇，崤蜞有6条W.現有蜘蛛.崤蜞若干只，它们共有120条腿，且崎蜓的只敫是糸蛛的2倍.枷蛛.H蜒各有多少只？2 小川今年6穸，他的祖SC72穸•儿年后小川的年龄是他祖父年龄的士？1781793曰历中的方程3日历中的方程(1) 观察某个月的nw,—个竖列上相邻的3个数之间有什 么关系？(2) 如果设其屮的一个数为^那么其他两个数怎样表示？你 是怎样设未知数的？(3) 根据你所设的未知数X ，列出方程，求出这三天分別是几 号. (4) 如果小颖说出的和是75,你认为可能吗？为什么？ (5) 如果小颖说出的和是21,你认为可能吗？为什么？第五章一元一次方程两人-•组做FiAi的游戏：(1)每人准备-份n历，在各fl的nw上任意圈出一个竖列上相邻的4个数.两人分别把&己所圈4个数的和告诉同伴，由同伴求出这4个数.(2)在各S的n历上，用一个正方形任意圈出2 X 2个数(如 10, 11，17, 18＞，把它们的和告诉同伴，由同伴求出这4个数.例1在上而的游戏中，如果用JF.方形所_出的4个数的和是76,这4天分别是儿号？解：设最小的数为心则其氽3个数1.你能在曰历中出一个竖列上相邙的3个数，使焊它们的和是40吗？为什么？1803曰历中的方程1_讎1.找人一起做上面猜日期的游戏.2.小彬肢期外出旅行一周，这一周各天的日期之和是S4.小彬是几号田家的？3.有一些分别标有6,12,18,24,…的卡片，后一张卡片上的致比前一张卡片上的数大6,小明拿到了相邻的3张卡片，1这些十片上的数之和为342.(1)小明拿到了哪3张卡片？(2)你能拿到相部的3张卡片，使得这些卡片上的致之和是桃吗？181第五章一元一次方程1824我变Ht•了将-个底面ft径*10厘米、高为36厘米的“瘦长”形圆夺I•: 锻m成底而克径为20M米的“矮胖”形P柱，A变成了多少？假设在锻过程中p柱的体m保持不变，耶么在这个问题中嵙如下的等希关系：锻汛前的体积=锻甩后的体积.设锻）Ji后岡拄的高为rM米，填S卜表:解得乂 = _________ •I大I此，高变成丫_____ 61米.4我变胖了例1用一根长为10米的铁丝闹成一个长方形.(1)使彳#该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长.宽各为多少米？它所闹成的长方形与(1)屮所闹长方形相比，而积有什么变化？(3)使得该长方形的长与宽相等，即闱成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所It械的面积与⑵屮fll比又#什么变化？分析：由题意知，长方形的周长始终*不变的，即长与宽的不 11为：10+ 2 = 5(米).在解决这个问题的过程中，要抓往这个等撖关系.解：(1)设此时长方形的宽为^米，则它的长为U + 1.4)米.根据®意，得r + r + 1.4 = 10-r 2.2x = 3.6. x = 1.8.1.8+ 1.4 = 3.2.此时长方形的长为3.2米，宽为1.8米.(2)设此时长方形的宽为r米，则它的长为(.Y +0.8)米.根据题意，得x + x + 0.8= 10-r 2.2x=4.2.x =2A.2.1 + 0.8 = 2.9.此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，它所_成的面积为 2.9x2.! = 6.09(米2＞，⑴中长方形所围成的面积为3.2 x 1.8 = 5.76 (米2).此时长方形的面积比⑴中面积增大6.09 - 5,76 = 0,33(米2),183第五章一元一次方程184（第|趟>瞎转圈”的道理有人捏经货过一个很有趣的实验：在草坪上整齐 地排列着100名飞行员，把他们的眼睛都t 起来，然 后叫他们一茛向f 走去.起初.他们走得还直，接着一 些人渐渐向右偏转，另一些人向左悚转.遌渐转起圈 来，嘏后他们又踏上了自己已走过的路径.实际上，很 久以前人们就已经注意到：没有携带指南针在荒漠中 的旅行家.部不t 走成1线方向.而是绕费屈阐打转, 接连多次回到他的出发点.（3）设正方形的边长为:^米.根据题意，得A ： + JT = 10+ 2.x = 2.5.正方形的边长为2.5米，它 所成的而积为2.5 x 2.5 = 6.25（米2）， 比⑵中而积增大6.25 — 6.09 = 0.16（米2>/随堂练习i .墙上钉狞刖•根彩绳m 成的梯形形状的饰物，如右阁实线所木.小颍将梯形下 欣的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个 长方形，如右凼虚线所示.小颖所钉长 方形的长，宽各为多少哝凇？4我变胖了185另一方面，如果他行走一K 的平均步长为0.7米，那么走完_阅所2K R 走步数可以近«地等于 2nR 0. 即左右M 所走步数都可以近似地#S2 x 0.70.2JT 米，即 .把这个结果乘两腿步长差x,就应为两醚行走一阁长度的差 2nRx= 0.2n2 x 0.7Rx= 0.14_上面的现象看来仿佛有点神秘，其实遒埋并不S 杂，人走路的时誤, 只有两腿肌肉工作得完全相同，他才可以不需要用眼睛就能走成直线.但 实际上，绝大多数人的双腿肌肉发育得并不相同.举一个例子来说，一位 步行者左隧比右胰迈的步子大，除非用眼睛来帮助修正走路的方向，否 则他就要向右边斜过去.直至走成两个同心圆（如下图所示）.如果他左右 两腿走路的时候踏脚线间的距离大约是10厘米.即0.1米.那么当这个 人走完一个圓周时.ft 右隨走的路途是2^.左璉是+ 两隨 行走长度的差为2JT x 0.1=0.271（米）•如果这个人左腿每一步比右逑多o.4亳米.那么蒙上眼晴后他所走；a 周的半径满足方程0.000 4穴= 0.14,即/e 大约为350米.第五章一元一次方程186(第1联)5旭米 习較 5.71.如围是两个圖柱体的容器、它们的直径分别 为4cm 和8 cm ，高分别为39 cm 和10 cm . 我们先在第二个容器中倒满水，然后将其倒 入芊一个容器中.问：倒完以后，系一个容器 中的水面离版口有多少厘米？小明是这徉做的：设倒完以后，系一个容器 中的水面离瓶口有x 厘米，列方：a JI • 2: •(39-x )= JI • 4: • 10•解得x = -1.你能对他的纺果作出合理解释吗？1. 第一块实验田的面枳比第二块实验田的3倍还多100米•’，这两块实验 田共2 900米2,两块实猃田的面枳分别是多少平方米？2. 如图所示，小明将一个正方形紙片剪去一个寬为4厘米的长条后，再从 利下的长方形纸片上努去一个宽为5厘米的长条.如策两次剪下的长条面 枳正好fe 等，那么每一个长条的面枳为多少？4厘米a（第2H ）1875打折销售5打折销售一家商店将某种服装按成本价提苡40%后标价，又以8折（即 按标价的80%）优惠丈出，结米每件仍获利15元，这种服装每件 的成本是多少元？v *~ai 这15元的綱是怎么来的？我们知道，每件商品的利润赶商AAW 价与商品成本价的差. 如果设每件服装的成本价为x 元，那么每件服装的标价为： ____________________ ；每件服装的实际售价为： ________________ ；每件服装的利润为： _____________________ ,由此，列出方程： _______________________解方程，得欠= _________________________W 此每件服装的成本价是 ______ 元.第五章一元一次方程188f 议一议用•元•次方程解决实际问题的•般步骤是什么?/随堂练习1. -件夹克按成本价提茼50%后标价.后因季货关系按标价的8折出饵. 符件以60元女出，这批夹克毎件的成本价足多少元？i. 到商场了畊打折俏铒的情况，自己编写一道可以用方权_决的应用題， 并给出w 答.1. 一件商品按成本价提高20%后标价，又以9折销售，售价为270元，这 祌商品的成本价是多少？2. 某商场的电視机原价为2 500元，现以8折州售，如果想使降价前后的 销售额都为10万元，那么销《量应增加多少？6“希M工程”义演6“希望工程"义演®I•.而的问题屮包含哪件等莆关系?某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1 000张赀，筹得粟款6 950元.成人票与学生赀各傻出多少张？忾出的票包括成人眾和孕生票，所得票款包括成人票款和，生贺款，因此这个问题中包含着下而两个等tt关系：成人眾数+学生眾数=1 0U(J张，(1)成人罘款+学生罘款= 6 950元. (2> Array解得x= ___________闪此，俜出成人票________ 张，学生粟 _________ 张.189第五章一元一次方程根据等《关系(1)，可列出方程:解得少= __________ •W此，售出成人票________ 张，学生樂__________ 张.v»-«如果费价不变，那么饵出1ooo张费所得费款可能是6 930元吗？为什么？/随堂练习1.小明】IU72元钱买r两种书，共10本，中.价分别为18元、10元.毎种书小明各买了多少本？习题5.9I.在“希免工狂”义演的问題中，如果系价和售出的总票数都不变，所得票款可能是6932元吗？如果可能，成人桑比学生系多售出多少张？1.星星果汁苁中的中果汁比方种果汁贵丨元，小彬和同学要了3杯万种果汁，2杯4种果汁，一共花了16元.』种果汁.万种果汁的单价分則是多少元？2.一个书架宽88縻米，臬一层上摆满了妗一册的敖学书和语文书.共90木.小明量得一本数孕书烊().8厘米，一本语文书璆1.2厘米.你如道这层书架上致学书和语文书各有多少本吗？1907能追上小明吗191 I7能追上小明吗 小明每天？• I:耍在7:50之前赶到距家1 000米的节校I:学• 天，小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘丫 带语文书.于是，爸爸立即以180米/分的速度t •追小明，并K 在 途中追上了他.(1) 爸爸追上小明用了多长时间？(2) 追I:小明时，距离学校还侖多远？分析：，爸爸追h 小明时，两人所行距离相等.在解决这个 问题时，要抓住这个等贵关系.解“1)设爸爸追上小明用了X 分.根据题意，得 mx = 80x + 80 X 5. 化简，得 100x = 400.x = A.W 此，爸S 追上小明用广4分.(2)因为 180 x 4 = 720(米)，1 000 — 720 = 280(米)•所以，追上小明时，距离空校还有280米.第五章一元一次方程192 if 议-议育红学校七屯级学牛步行到郊外旅行•⑴班的，牛iR 成削队，步 行速度为4千米/时，⑵班的学生组成;r ;队，速度为6千米/时.前队 出发1时f ，队才出发，同咏ri 队派-名联络员骑自行车在两队之 间不问断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时.根据_匕而的事实提出问题并尝试去解答.习 H5.101.给定方乜2.5jf +2.5(x +2>=55,你能联系生活实际煸写一道数学问题吗？问题解决，1. 小彬和小明每天早展坚持跑步，小形每秒跑4米，小明每秒跑6米.(1) 如果他们站在5■米跑道的两端同时相向起跑，鄒么几秒后两人相邁?(2) 如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同 时同向起跑，几秒后小明能追上小形？2. 一个自行车队进行训练，圳练时所有队资郐以35千米/时的速度前进. 突然，1号队边以45千未/时的速度独自行进，行进10千米后捭转车 头，仍以45千米/时的速度往回騎，直到与其他队HI 会合.丨号队场从 离队开始到与队ft 重新会合，经过了多长时间？sss .«^<ss r^ss. ^ s -f -f ^tfcs 3 ss.0s^s ^000 ^ ^—s,.- i ^ sis •^a^ss si ^sstsss 涅灰装-K4SU I K Ut-6661>Y 通拓 _装艇銶80s- _________________________________________ •§lwx^fs -x4ii< = .ii 舶f aff/进•Jaiil.llY ^ sfs.s^^^. :l7gs 相否 g^tgiT^jilg^^^h-llagjil^Yl^^llg*第一个3年期后，本息和为x x(l +2.7% x 3)= 1.081x. 第二个3年期后，本息和要达到5 000元，由此可得 1.081x x(l + 2.7% x 3 )= 5 000.1.168 56l J f = 5 000.4 279.就是说，开始大约存4 280元，3年期满后将本总和洱存•个3年期，6年后本息和能达到5 000元.W此，按第_种阽蓄方式开始存人的本金少./随堂练习1.为丫使贫w学生能够顺利地完成人学学也，N家设立r助学贷款.助学贷歆分0.5~1年期.1-3年期、3-5年期、5~8平期四种，贷款利率分别为5.85%,5.95%,6.03%, 6.21%,贷饮利息的50%由政府补貼. 某大学一位新生准:备贷6年期的款，他预i| 6屮后M多能够一次性还消20 000元，他现在至多可以贷多少元？(可借助计饤器)I问頸解决，1.李阿姨购买了25000丈某公司1年期的債券，1年后扣除20%的利息稅之后得到衣息和为26000元，这种债券的年利率是多少？2.王叔叔想用一笔饯买年利牟为2.89%的3年期国库泰，如果他想3年后本息和为2万元，现在应买这种国库券多少元？(可借助计算器＞⑴ - T = T « (3) ().5^-0.7 = 6.5 - 1.3x , (5) 3(r - 7) + 5(x -4)= 15,(1s y i _ 1 y »2 2.在公式s = ' + 中，已本=(2) j _ 8r = 3 -士x ,⑷ ^(3x -6)=|x - 3, (6)4r -3(20-x )=-4； (8) 士(1 -2x )-^(3x + 1)100f 5 = 25. v = 10t 求/•复习题回顾与思考1. 请你承一个生活中的实例，并运用一元一次方裎解决它.2. 在列方裎解决实际问題的过秸中，你认为最关鍵的是什么？3. 你是如何鲆一元一次方楛的？举一个例子说明_方枉的过杻.4. 在解决实际问題的过《中，你怎徉判断一个方《的解是石符合 要求？请举例说明.1.化子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是圯子 年龄的4倍？为什么？1. 王龙到鞋店花了 188元买了一?:1皮社，这W皮牧是按标价打X折后售出的，这双驻的标价是多少元？2. 爸爸为小明存了一个3年期的教育储t(3年期的年利芈为2.7。
