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中国人口增长的中短期和长期趋势预测数学模型【摘要】中国是人口大国，人口的预测问题始终是关系到社会和谐发展的关键因素之一。
首先，本文就近几年中国人口结构的变化情况进行“生存——生育”双因素分析，按照人口性别分类，考虑老龄化进程、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等因素，根据近几年城、镇、乡的统计数据，建立基于概率方法的Leslie矩阵，利用Matlab软件进行编程求解，对中国人口进行了中短期预测。
其次，在对人口进行长期预测时，引入净再生产率（NRR）和总和生育率（TFR）。
根据已知数据计算出1994—2005每年的NRR和TFR，通过曲线拟合预测出未来的TFR趋势。
而各年TFR的变化是由相应年各年龄女性生育率的变化引起的，各年龄女性生育率的变化比例即是TFR的变化比例，得到新的生育率，即得到了新的Leslie矩阵，计算出该Leslie矩阵的唯一的正的特征根λ，当λ接近于1时，则人口趋于稳定。
此时求得各年人口预测的新的Leslie矩阵，利用新的每年Leslie矩阵连乘，并乘于2005年各年龄人口数向量，则可预测中长期人口数量。
主要问题结论：1、对中国人口增长的中短期进行预测。
首先以2001年人口数据为基数，对2002年—2005年进行预测，并与真实年份（年）2002 2003 2004 2005 预测总人口数（万人）实际总人口数（万人）128453 129227 129988 130756 相对误差（%）虑各年份生育率的影响。
其次，由上表可知模型较为准确，可以2005年人口数据为基数，利用模型年份2006 2007 2008 2009 2010 预测总人口数（万人）年份2011 2012 2013 2014 2015 预测总人口数（万人）的变化得到每年各年龄女性生育率的变化，运用新的生育率得到该年的Leslie矩阵，计算出该Leslie矩阵的唯一的正的特征根λ，当2033年λ较为接近1时，则2033年后人口达到峰值趋向稳定，且此时NRR2033年=，亦接近于目前发达国家的NRR指标。
基于logistic模型对中国未来人口的预测分析随着中国人口的快速增长和老龄化趋势的加剧，人口预测成为了一个重要的研究领域。
在这样的背景下，基于logistic模型的人口预测分析成为了一种广泛采用的方法。
在本文中，我们将介绍logistic模型以及如何使用它来预测中国未来的人口趋势。
Logistic模型是一种经典的数学模型，它常用于描述一种随时间变化的现象。
在人口预测中，logistic模型也可以用来描述人口随时间变化的趋势。
首先，我们需要对logistic模型有一定的了解。
Logistic模型的表达式如下：P(t) = K / (1 + b exp(-r(t-T)))其中，P(t)表示t时刻的人口数量，K表示人口数量的上限，b、r、T分别是与增长速率相关的系数。
Logistic模型的意义在于，当t接近无穷大时，P(t)会趋近于K。
在中国的人口预测中，logistic模型的应用主要分为两步：首先，我们需要拟合一条曲线，以描述人口数量随时间变化的趋势；其次，我们需要使用该曲线来预测未来的人口数量。
对于中国的人口预测，我们可以将logistic模型应用于历史人口数据，然后将该模型应用于未来的人口预测。
以下是中国历史人口数据的示例：| 年份 | 人口数量（单位：亿） ||-----|--------------------|| 1950 | 5.2 || 1960 | 6.7 || 1970 | 8.5 || 1980 | 9.9 || 1990 | 11.2 || 2000 | 12.1 || 2010 | 13.3 || 2020 | 14.4 |使用这些历史数据，我们可以建立一个logistic模型，并使用该模型来预测未来的人口趋势。
在此之前，我们需要先对历史数据进行处理，以便进行拟合和预测。
我们可以将历史数据做如下处理：1. 将人口数量除以10亿，以便人口数量接近1。
2. 将年份减去1950，将起始年份变为0。
中国人口增长预测摘要本文从中国人口的实际情况和人口增长的特点出发，根据题目和中国统计年鉴中的相关数据，建立了两个关于中国人口增长的数学模型，并对中国人口做出了分析和预测。
模型一：利用中国统计年鉴中 2000—2005 年人口的数据，运用灰色理论的基本原理建立 GM(1,1) 模型。
该模型利用离散数据列进行生态处理，建立动态的微分方程，对我国近5年、10年、20年的总人口分别进行了预测。
又根据中国人口城乡分布不同且总趋势也不同的特点，把全国人口分为城市人口、城镇人口、乡村人口三部分分别进行灰色预测。
结果表明，该模型较好的反映并预测中国人口短中期和长期的变化情况。
模型二：按人口年龄结构特征，将人口分为幼年（0—14岁）男女、中年（15—49岁）男女、老年（50岁以上）男女。
各年龄段的人口变化是由出生率、死亡率和转化为其他年龄段的转化人数决定的。
根据各年龄段人口数量变化特点，对各年龄段转化人数引入转化因子，改进马尔萨斯模型，附带出生率、死亡率、生育率、出生性别比率等约束条件，建立了新的具有年龄结构的人口增长模型。
结合我国人口的特点，运用已知数据和利用微分方程的数值解，预测出男性和女性幼年、中年、老年的人口数量。
可反映中国不同年龄结构的人口分布情况。
关键词：灰色预测；小误差频率；微分方程组；人口模型；转移因子一．问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
因此人口预测的科学性、准确性是至关重要的。
英国人口学家马尔萨斯的人口指数增长模型和荷兰生物学家的Logistic模型都是经典的人口预测模型。
但是，影响中国人口的因素较多，人口结构较复杂，这些模型对人口预测很粗略，甚至是不准确的。
因此，我们要根据我国具体的人口结构现状（如老龄化进程加速）、人口的分布现状（如乡村人口城镇化）、人口比率现状（如出生人口性别比持续升高）等特点，来较准确、较具体地对中国人口进行预测，建立人口增长的数学模型，由此对中国人口中短期和长期增长趋势做出预测。
中国人口增长的预测和人口的结构分析摘要本文是在已知国家政策和人口数据的前提下对未来人口的发展进行预测和评估，选择了两种模型分别对人口发展的短期和长期进行预测。
模型一中我们在人口阻滞增长模型logistic模型的基础上进行改进，弥补了logistic原始模型仅仅能表示环境对人口发展趋势影响的缺陷，加入了社会因素的影响作为改进，保证了logistic改进模型的有效性和短期预测的正确性。
多次运用拟合的方法（非线性单元拟合，线性多元拟合）对数据进行整合，得到的改进模型对短期预测具有极高的准确性，证明了我们的修正方式与模型改进具有一定的正确性。
模型二中我们分别考虑了城、乡、镇人口的发展情况，利用不同年龄段存活率和死亡率的不同，采用迭代的方式也就是Leslie矩阵的方式对人口发展进行预测，迭代的方式不同于拟合，具有逐步递进的准确性，在参数正确的前提下，能够保证每一年得到的人口都有正确性，同时我们分男女两方面来考虑模型，不仅仅用静态的男女比例来估算人口总数，具有更高的准确性。
然而Leslie模型涉及的参数较多，如果采用动态模型的方式，计算量过大，我们首先用均值的方式对模型进行简化，同样得到迭代矩阵后的人口数值，发展趋势与预测相同，能够很好的预测中国人口的长期发展，同时，由于Leslie矩阵涉及多个参数，所以我们用最终的结果来表征老龄化程度，城乡比，抚养比等多个评价社会发展的参数，得到了较好的估计值，使模型在估算人口的基础上得到了推广和应用。
通过logistic改进模型和Leslie模型我们分别对中国人口发展进行短期和中长期预测，均能得到很好的效果，说明了我们的模型在适用范围内的准确性和实用性。
关键词：人口发展预测；logistic模型改进；参数拟合；Leslie迭代模型；一、问题重述中国是世界上人口最多的发展中国家, 人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一，人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情,短时间内难以改变。
中国人口增长的预测和人口结构的简析摘要本文根据过去数十年的人口数据，通过建立不同的数学模型，对中国人口的增长进行了短期和中长期的预测。
模型一：从中国统计年鉴—2008，查找得到2000-2007年的人口数据，然后用灰色模型进行人口的短期（2008-2017）预测。
这里，我们采用两种算法进行人口总数的预测。
一种是用灰色模型分别对城镇人口和乡村人口进行人口预测，然后求加和得到总的人口数；另一种是用灰色模型对实际的总人口数进行预测，预测未来10年的总人口数。
通过比较相对误差率知道第二种方法预测得到的数据误差较小，故采用第二种方法预测的未来10年的人口数为：模型二：对于中长期的预测我们采用Leslie模型进行预测。
我们利用题中所提供的人口数据的比例，将人分为6种类型，在考虑年龄结构的基础上，对各类人中的女性人数分别进行预测，然后根据男女的性别比例，求出男性的人口数，再将预测得到的各类人数进行汇总加和，最终得到总的人口数。
由于我们是根据年龄结构进行的预测，所以可以对人口进行简单的分析，得到老龄化变化趋势，乡镇市的人口所占比例的变化等。
关键词：人口预测；灰色模型；分类计算；Leslie模型一、模型假设模型一的假设：1、不考虑国际迁移，认为国家内部迁移不改变人口总量；2、不考虑自然灾害、疾病等因素对人口数量的影响；3、文中短期预测到2017年4、大面积自然灾害、疾病的发生以及人们的生育观念等因素会对当年的生育率和人口数量产生影响，认为这些因素在预测误差允许的范围内．模型二的假设：1、每一年龄组的女性在每一个时间段内有相同的生育率和死亡率；2、在预测的时间段内男女的性别比例保持现状不变；3、不考虑人口的迁入和迁出；4、不考虑空间等自然因素的影响，不考虑自然灾害对人口数量的影响。
二、问题分析中国是一个人口大国，随着经济的不断发展，生产力达到较高的水平，现在的问题已不是仅仅满足个人的需要，而是要考虑社会的需要。
中国未富先老，对经济的发展产生很大的影响。
中国人口预测模型摘要本文通过建立中国人口增长的数学模型，对中国人口增长的中短期和长期趋势做出了预测。
我们以年龄移算法为基础模型，我们考虑了X岁人口所占该区的百分比，年龄别生育率和年龄别死亡率的变化，性别差异和地区差异对人口的影响，建立了相应的模型。
对市、镇、乡所占百分比，我们利用灰色模型预测未来50年相应百分比。
对总和生育率，我们是先利用每年的年龄别生育率，求出01年到05年总和生育率，再利用灰色模型预测未来10年总和生育率，10年以后保持总生育率2.1水平不变。
对下一年年龄别生育率，我们假设生育模式50年不变，以2005年为基准，先求出各年龄别生育率占总和生育率的百分比，在利用的总和生育率，求该年的年龄别生育率。
对下一年年龄别死亡率，和年龄别生育率方法基本相同，这不再赘述。
对出生性别比，我们利用灰色模型预测了未来20年的出生性别比，20年以后保持不变。
对城乡人口变化，我们用预测的市、镇、乡所占百分比，来确定变化后的人口。
对下一年x岁所占该区域人口的百分比确定。
最后我们以2005年国家统计局13.075亿的人口数据为基础，用总人口预测模型，对中国人口增长的中短期（10—20年）和长期（50年）趋势做出预测。
预测结果：中短期中国人口保持增长的趋势，到2035年达到峰值14.217亿，2035年到2055年中国人口处于下降的趋势。
同时，我们对未来50年内老龄化人口比率（60岁以上人口比率），出生人口性别比率以及市、镇、乡的人口比例的预测结果进行了分析。
未来50年我国60岁以上的人口达到38.65%，处于超老龄社会，出生人口性别比持续高涨，随着乡村人口城镇化趋势加强，城镇人口的比率逐渐增大。
最后我们对所建立的模型作出了评价。
关键词：中国人口预测；参数预测；灰色预测；年龄移算模型一、问题重述根据已有数据，通过对老龄化人群比例、出生人口性别比例、市镇乡人口比例等因素的分析，运用数学建模的方法，建立中国人口增长的数学模型，并由此模型对中国人口增长做出短期、中期和长期预测。
中国人口预测模型摘要：人口数量的变化，关系到一个国家的未来。
认识人口数量的变化规律，建立人口模型，能够较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
本文对人口预测的数学模型进行了研究。
首先，建立人口指数模型、Logistic模型及灰度预测模型。
对我国2005年以后45年的人口增长进行了预测，根据1982年人口基本数据运用模型对1982年～2005年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。
我们将预测区间分为2006～2030年、2030～2050年两个区间，以量化未来我国短中期与长期的人口变化。
关键词：人口数量的变化人口指数模型 Logistic模型灰度预测模型MATLAB Excel目录第一部分问题重述 (3)第二部分问题分析 (3)第三部分模型的假设 (3)第四部分定义与符号说明 (3)第五部分模型的建立与求解 (3)5.1模型一 (3)5.2模型二 (8)5.3模型三 (12)第六部分对模型的评价 (14)第七部分参考文献 (15)第八部分附表 (15)一、问题重述人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
本题要求根据已知数据，运用数学建模的思想对我国人口做出分析和预测。
具体问题如下：从中国的实际情况和人口增长的特点，例如我国老龄化进程加快、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等，利用参考附录中所提供的数据，建立中国人口增长的数学模型，由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出模型的优缺点。
二、 模型假设1、假设题目所给的数据真实可靠；2、假设不考虑我国人口大规模的朝国外迁移，也不考虑外国人大量涌入我国；3、假设不考虑战争、自然灾害、疾病对人口数目和性别比的影响；4、假设在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。
5、假设中短期内生育率和死亡率保持相对稳定6、假设相同年龄段人口性别比基本稳定。
7、假设人口生育率不受传统观念和个人主观因素的影响。
三、符号说明符号说明：由于符号较多，在以后的模型中具体给出四、问题分析人口发展过程的定量预测，需要预测出未来的人口发展趋势，人口出生、死亡和自然增长率的变化以及在未来的人口构成等各项人口指数全部测算出来。
中国人口发展预测摘要我国是全球22个结核病高负担国家之一，结核病人数位居世界第二位。
我国卫生部于1979年至2000年在全国先后开展了四次结核病调查，结核病发病数均居法定传染病之首。
针对我国结核病传播规律，并对其结核病流行趋势进行中长期预测，分析不同的预防和控制措施对结核病传播的作用效果。
本文建立了结核病传播模型的动力学微分方程。
我们在对结核病传播的建模过程中，将人群分为三类（易感人群、病毒潜伏人群、发病人群）。
通过对这三类人群关系的分析，并利用世界卫生组织对1982-2007年间结核病发病统计数据，“凡事预则立，不预则废”。
了解未来，是为了能更好地把握住未来。
预测未来我国人口的发展趋势，是我国人口发展战略的核心内容之一。
针对人口中短期预测：通过分析所给1994―2005年男女出生人口性别比例的变化规律和2001―2005年城镇化趋势，建立了考虑男女性别比的多区域离散型人口发展模型：()()()()()()()()()()()()()()01()0/s T a s s s st a a a a s a T s s s f sa a a a a a t Z Y t Y t T a W t Y t H t Z t S t F t Y t Y t β⎧⎡⎤+=+⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎪=⎪⎩用此模型对我国未来15年的人口进行了细致的中短期预测。
同时我们利用2005年0－14岁人口男女比例、死亡率等有关数据对2006－2021年人口发展进行了预测，将其预测结果与多区域离散型人口发展模型预测结果进行比较，得出城镇化可以降低现有人口生育率的结论。
针对人口长期预测：基于所给数据有限，在假设性别比为1：1及生育率与死亡率不变前提下，我们建立了离散模型：10490015908908990090(1)()()()()(1),0,1,2,....892(1)()()()()k k k k k k X n p n X n b n X n X n k X n p n X n p n X n +=+=⎧⎪⎪+==⎨⎪⎪+=+⎩∑ 在这个模型基础上我们针对在总和生育率的四种不同情况进行2006年至2100年的长期预测，并对不同总和生育率对人口发展各方面的影响作了详细分析，得出：在目前人口结构状况下，将总和生育率控制在更替水平左右，既可以保证总人口不超过15亿，又能降低人口老龄化的程度等等。
人口增长预测模型对中国人口做出分析和预测，主要分为如下三个方面： 第一、对人口做短期预测分析；首先采用灰色系统对人口数量及人口分布即城镇化程度进行预测分析，然后利用人口发展方程进行改进，将二维（年龄、时间）关系转化为一维关系，求出01-13年的各个年龄段的人口增长率，由此反映出人口数量变化趋势。
在此基础上求得01-13年总的人口增长率，再利用灰色系统对16-17年的人口增长率进行预测并对结果进行分析。
其次对人口结构进行预测分析。
人口结构包括老龄化程度、抚养比、男女出生比例、育龄期妇女所占总人口比重、生育率，我们分别采用多次逐步回归，灰色系统，拟合等预测方法对其建立预测模型进行预测分析。
第二、对中国人口做出长期分析和预测；我们建立两个模型进行预测。
模型一、基于人口发展方程原理的改进模型：y=*K*100/（M+100）% 这个模型能反映人口数量与人口结构、人口分布之间的关系。
从长远来看，城镇化程度会越来越严重，并且其在很大程度上影响男女出生性别比、老龄化程度、生育率等。
因此利用人口发展方程的原理分别重新建立男女出生性别比、老龄化程度、生育率与时间、城镇化程度的关系模型，并对此进行长期预测。
分析得结论：育龄期妇女的生育率都随时间而减小，最终趋于稳定值（大约为19‰）；城镇化程度逐渐增大，最后趋于稳定状态（城市人口所占比重为%，镇为%，乡为%）；长期预测中的男女出生性别比逐渐减小，最终在附近趋于平衡。
又由于人口数量受出生率变化的影响，而男女出生性别比、生育率对出生率影响很大。
因此建立人口数量与男女出生性别比、生育率的关系模型并进行长期预测。
结论为：人口数量呈先增大后减小趋势，峰值出现在2042年，届时人口数量将达到最大，为亿。
模型二、基于leslie 的改进模型：(t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22)-(n 32112)-(n 321此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie模型的不足，很适合做长期预测。
中国人口增长预测模型研究中国人口增长预测模型研究摘要本文对我国人口的现状进行分析，并对中国人口增长趋势进行了中短期和长期预测。
首先，利用Excel软件对我国的人口现状进行统计分析，从中可以看出人口老龄化进程加速，出生人口性别比例呈上升趋势，乡村人口城镇化明显。
其次，对附件中的原始数据进行预处理，剔除异常数据并利用插值方法补全数据，以使所得数据能尽可能地反映客观实际。
进而对数据进行归一化处理，以消除量纲不同的影响，便于后面的分析。
接着，对我国人口增长趋势进行中短期预测，建立了逻辑斯蒂（logistic）回归预测模型，利用SPSS软件进行曲线拟合和参数求解，计算结果表明此模型能够较精确地进行中短期的各地区人口比率、老龄化程度及全国人口增长率的预测。
在回归模型预测误差较大的情况下，建立了时间序列AR(p)模型，利用Eviews时间序列分析软件确定模型的参数及阶数，进而对其它影响因素进行中短期预测。
此外，考虑到样本信息缺乏、数据较少，建立了灰色系统GM(1,1)模型，利用Matlab软件编程求解部分影响因素的中短期预测值，并与前面的模型进行分析比较，验证了预测的合理性。
最后，对我国人口增长趋势进行长期预测，将人口控制模型进行逐步修正，建立了偏微分方程模型，经离散化得到人口发展的差分方程。
并利用C++程序设计语言编程β（每位妇女一生中平均生育的婴儿数）进行人口增长的长求得数值解。
针对不同的)(tβ时，模型预测出我国总人口到2030年增长到最高值期预测，结果表明当() 2.0=tβ时，我国总人口将会持续增长。
由此可见，要将人口控制在15 15.4252亿；当() 2.1t≥β≤。
亿左右，必须严格控制生育胎次，即() 2.0t本文主要采用统计的方法，利用Excel、SPSS、Eviews、Matlab等软件进行数据处理、参数估计及模型计算。
在样本足够大的前提下，本文建立的模型具有很强的普适性，且在对预处理后的数据做分析时，具有误差小、精度高等优点。
中国人口发展趋势的预测模型摘要本文从宏观和微观两方面讨论了中国人口发展问题：建立时间序列分析法中的ARMA 模型, 对中国人口总数进行宏观预测；建立了微分方程的模型, 对中国人口的年龄结构以及男女性别比等几个方面进行微观预测。
对人口总数进行宏观预测时，根据处理后的数据的自相关函数和偏相关函数的拖尾性，估计出ARMA的参数p、q，并对估计的参数进行验证和调节，最终确定参数，建立出ARMA(p ,q)模型。
用此模型预测出2020年和2050年的人口分别为138135.3万人和143352.6万人，而且到2050年人口呈现缓慢下降趋势。
对人口组成结构进行微观预测时，引用Shape-Lotka-Mckendrick模型。
根据中国人口发展的特点，并加入影响因素改进原始模型，分别建立了带移民因素和两性具有不同出生率、死亡率的微分方程模型，并讨论得出带移民因素的模型对我国人口结构预测比Shape-Lotka-Mckendrick模型更合理。
在求解的过程中，本文将连续的微分方程离散化，用多项式拟合得到预测数据，求出方程的数值解，得到2006-2010年人口按年龄的结构分布(男女比例分布、生育率、死亡率、迁移率)，并进一步预测出未来人口老龄化指数，其中2020年和2050年的老龄化指数分别为0.511和0.566。
关键字：时间序列微分方程模型连续函数的离散化多项式拟合摘要 (1)一问题的重述与分析 (3)1.1 问题重述 (3)1.2 问题的分析 (3)二模型的基本假设和符号说明 (3)2.1 模型假设 (3)2.2 符号说明 (3)三模型的建立及求解 (4)3.1 模型一 (4)3.2 模型二 (7)3.2.1 只考虑出生率和死亡率的Shape-Lotka-Mckendrick模型]4[ (7)3.2.2 考虑竞争死亡率的模型 (7)3.2.3 考虑两性具有不同出生率和死亡率的人口模型 (8)3.3模型的求解 (8)3.4 对结果的分析 (11)四模型的评价 (11)五参考文献 (12)六附录................................................. 错误！未定义书签。
中国人口增长预测模型摘要本文采用回归分析法和差分分析法分别建立了人口的阻滞增长模型和Leslie 模型，对我国人口的中短期预测和长期预测方法进行了探讨。
对中短期预测问题，在合理的假设下，由原始数据和补充的历史数据作散点图，并依图建立了阻滞增长模型；采用数值微分和回归分析的方法进行求解，得到了我国人口的最大容量为15.449亿；对模型作了检验，模型误差为1.24%；中短期人口预测部分结果为对长期预测问题，先分别统计出市、镇、乡的女性存活率矩阵和生育模式矩阵，在此基础上以Leslie矩阵构建女性人口的动力学方程，然后由男女比例得到总人口；模型误差为3.71％；讨论了总和生育率对人口的灵敏度分析，计算出我国人口总量先增后减，在2044年左右达到高峰；长期人口预测部分结果为关键词：阻滞Leslie矩阵总和生育率一、问题重述人口问题是制约我国发展的关键因素之一。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考给出的从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
二、符号说明m x 环境所能容纳的最大人口数量，显然有()m r x =0r 固有人口增长率，即：()0r r =()x t 时段t 的人口数 ()i x t 时段t 第i 年龄组的人数 ()i b t t 年i 岁女性生育率i h 生育模式，即表示生育率高低的量i d t 年i 岁女性死亡率 i s t 年i 岁女性存活率()t β t 年1i 岁的每位女性一生平均生育的女儿数，即总和生育率 三、模型假设1．假定所提供的原始数据能基本反映我国人口的分布2．在中短期内，由于自然资源、环境条件等因素的限制，社会所能容纳的人口上限是一个定值；3．目前我国的移民现象比较少见，可以近似认为我国人口是一个封闭的系统； 4．不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响； 5．育率仅与年龄段有关，死亡率也仅与年龄段有关； 6．长期人口预测中假定市、镇、乡总和生育率大致相同。
中国人口增长的中短期和长期趋势预测数学模型【摘要】中国是人口大国，人口的预测问题始终是关系到社会和谐发展的关键因素之一。
首先，本文就近几年中国人口结构的变化情况进行“生存——生育”双因素分析，按照人口性别分类，考虑老龄化进程、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等因素，根据近几年城、镇、乡的统计数据，建立基于概率方法的Leslie矩阵，利用Matlab软件进行编程求解，对中国人口进行了中短期预测。
其次，在对人口进行长期预测时，引入净再生产率（NRR）和总和生育率（TFR）。
根据已知数据计算出1994—2005每年的NRR和TFR，通过曲线拟合预测出未来的TFR趋势。
而各年TFR的变化是由相应年各年龄女性生育率的变化引起的，各年龄女性生育率的变化比例即是TFR的变化比例，得到新的生育率，即得到了新的Leslie矩阵，计算出该Leslie矩阵的唯一的正的特征根λ，当λ接近于1时，则人口趋于稳定。
此时求得各年人口预测的新的Leslie矩阵，利用新的每年Leslie矩阵连乘，并乘于2005年各年龄人口数向量，则可预测中长期人口数量。
主要问题结论：1、对中国人口增长的中短期进行预测。
首先以2001年人口数据为基数，对2002年—2005年进行预测，并与真实年份（年）2002 2003 2004 2005 预测总人口数（万人）实际总人口数（万人）128453 129227 129988 130756 相对误差（%）虑各年份生育率的影响。
其次，由上表可知模型较为准确，可以2005年人口数据为基数，利用模型年份2006 2007 2008 2009 2010 预测总人口数（万人）年份2011 2012 2013 2014 2015 预测总人口数（万人）的变化得到每年各年龄女性生育率的变化，运用新的生育率得到该年的Leslie矩阵，计算出该Leslie矩阵的唯一的正的特征根λ，当2033年λ较为接近1时，则2033年后人口达到峰值趋向稳定，且此时NRR2033年=，亦接近于目前发达国家的NRR指标。
此时利用各年的Leslie矩阵以及Matlab软件计算可得长期人口预测值。
由此可知，中国继续推行计划生育政策，使 NRR接近，可使中国未来的人口数量保持稳定趋势。
【关键词】Leslie 矩阵，总和生育率，净再生产率。
一、问题的重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
二、模型假设1)：不考虑迁移等社会因素，生存空间等自然资源的制约,意外灾难等因素对人口变化的影响；2)：假设社会稳定，死亡率与时间无关，特别2005年以后不发生变化； 3)：存活率、生育率仅与年龄段有关； 4）：一个育龄女性仅生育一个女婴，一个男性对应于一个男婴 5)：2001年至2005年每年的出生人口性别比例为均值（稳定值），即不随育龄女性的年龄的变化而变化； 6）：人口总和生育率不变； 7）：假设s i l 是区间(i ,i+s ]上的线性函数(0≤s ≤1)。
三、符号和名词说明1、名词说明（1）总和生育率（Total Fertility Rate ，TFR ）[2]：一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数。
（2）净再生产率（Net Reproduction Rate ，NRR ）[2]：表示平均一个妇女一生中生育的人口数。
（3）人口老龄化：指人口中老年人比重日益上升的现象。
一般认为，如果人口中65岁及以上老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。
[1]符号 符号说明 i年龄c m R i t（z m R i t 、x m R i t ） t 年城市（城镇、乡村）i 岁男性比率 c f R i t（z f R i t 、x f R i t ） t 年城市（城镇、乡村）i 岁女性比率 c B f ti （z f B i t 、x f B i t ） t 年城市（城镇、乡村）i 岁女性生育率 c m S i t（z m S i t 、x m S i t ） t 年城市（城镇、乡村）i 岁男性人数总数c S f ti （z f S i t 、x f S i t ） t 年城市（城镇、乡村）i 岁女性人数总数 c m N t（z m N t 、xc m N t ） t 年城市（城镇、乡村）男性人口总数 c f N t（zf Nt 、xc f N t ） t 年城市（城镇、乡村）女性人口总数c m R t（z m R t 、xc m R t ） t 年城市（城镇、乡村）男性出生比率 c f R t（z f R t 、xc f R t ） t 年城市（城镇、乡村）女性出生比率t Nt 年总人口数 t Pt 年总和生育率i jq i 岁的人在i+j 岁之前死亡的概率 i jpi 岁的人至少活到i+j 岁的概率 i l基期人口中活至i 岁的人数四、模型建立问题一——预测中国中短期人口数量的模型建立与分析从所要解决的问题和对问题所做的假设出发，进行模型推导，建立预测模型。
假设一群新生婴儿的死亡年龄为I,则其生存函数为0)()(≥>=i i I P i s （1）（1）表示新生婴儿能活到i 岁（即i 岁以后死亡）的概率。
则易知s （0）=1， 其实际意义是，我们讨论的婴儿是以100%的概率保证在出生时活着的。
由条件概率可知，新生婴儿在i 岁时仍活着的条件下，于年龄i 与i+j 岁之间死亡的条件概率是 0)()(1)()()()()()|(≥+-=+-=>+≤<=>+≤<j i s j i s i s j i s i s i I P j i I i P i I j i I i P所以即有，0)()(1≥+-=j i s j i s q i j（2）0)()(1≥+=-=j i s j i s q p i j i j可知 )()(00i IP l i s l l i >⋅=⋅=所以对于（2）式可变形为 01)()(100≥-=⋅+⋅-=+j l l i s l j i s l q ij i i j（3） 由此01≥=-=+j l l q p ij i i j ij由假设知 s i l +是区间(i ,i+s ]上的线性函数(0≤s ≤1)，则它的形式为bs a l s i +=+，为了使 s i l +连续，令s=0时，a l i =；s=1时，b a l i +=+1，从而有a lb i -=+1，于是可得 i i i i i si l s l s l l s l l ⋅-+⋅=-=++-+)1()(11所以结合（3）式可得101)1()1()1(1111≤≤⋅-=-+⋅=-+⋅=⋅-⋅==++++s q s s p s s l ls l l s l s l l p i i ii i i i i s i is例如，据此并根据所给数据可求得2001年城市女性0岁的人至少活到岁的概率为05.0p =010.5-1q ⋅=，其他同理。
由于每年男女出生人口比例有所不同，所以按照性别不同分成两组进行求解预测。
首先考虑女性，根据所给2001年城市的相关数据预测2002年城市女性人口数量。
很容易想到，2001年女性人口来自于两个因素：一是生存因素，即2001年的女性经过一年后到2002年仍然生存的人口数；二是生育—生存因素，即2001年到2002年间，女性生育的女婴到2002年存活的人口数。
对于因素一，2001年城市i 岁女性人口总数为c f 2001Si ，城市i 岁女性人口至少存活一年，即至少活到i+1岁的概率为i 1p ，则2002年城市女性人口中由2001年经过一年后仍然生存的人口数为 c f 2001i 1Si p ⋅。
对于因素二，应考虑两种情况，首先说明我们这里认为i 岁女性从2001年到2002年的年龄均为平均年龄，即（i+）。
所以一种情况是城市i 岁女性在2001年生育并活过一年的女婴数，另一情况是2001年城市i 岁女性活过半岁后在2002年生育的女婴数。
假设各有一半的女性分别属于这两种情况。
我们先考虑第一种情况，因为我们知道2001年城市i 岁女性的生育率为c 2001Bi ，城市女性出生比例为c f 2001R ，故可得2001年城市i 岁女性生育女婴的概率为c f 2001c 2001R Bi ⋅，又有女性人口数为c f2001Si 21，则2001年城市出生的i 岁女婴数为c f2001c f 2001c 2001Si R Bi 21⋅⋅，则2001年城市出生并活过一年的女婴数为c f200101c f 2001c 2001Si p R Bi 21⋅⋅⋅，记作g1。
接下来我们考虑因素二的第二种情况，我们知道属于此种情况的2001年城市i 岁女性的人口数为c f 2001Si 21⋅，由第一种情况中的推导方法可得到2002年城市i+1岁女性生育女婴的概率为c f 2002c 2002R 1Bi ⋅+⋅，则可得2001年城市i 岁女性活过半岁后在2002年生育的女婴数为c f 2002c 2002i 0.5c f 2001R 1Bi p Si 21⋅+⋅⋅⋅，记作g2。
所以就可以由此得到2002年城市i 岁女性人口总数为g1+g2，即c f 2001c f 2002c 2002i 0.501c f 2001c 2001Si ]R 1Bi p p R Bi [21⋅⋅+⋅+⋅⋅ 我们记A =]R 1Bi p p R Bi [21c f 2002c 2002i 0.501c f 2001c 2001⋅+⋅+⋅⋅故可导出如下矩阵 A=0q 0q 00q 00q 0000q 00]0 p R B49[21]R B16p p R B15[21005014911511410101c f 2001c 2001c f 2002c 2002150.501c f 2001c 2001+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ 此矩阵即为leslie 矩阵。
