场波教案-2矢量分析-W概论

例1 三维高度场的梯度
解：等值线方程为： y2 -x=C
u=ex
u x
ey
u y
ez
u z
=-ex +2 ye y
梯度的物理意义 • 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;
• 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大
方向导数;
• 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）
相垂直的方向，它指向函数的增加方向。
三个方向的单位矢量用 e x e y e z 表示。
根据矢量加法运算： A Ax Ay Az
z
Az
A
其中：
A
x
A
e
x
x
Ay Aye y
Az Aze z
所以： A Axe x Aye y Aze z
o
Ax
x
Ay
y
位置矢量r和距离矢量R
e
r
r r
1.2矢量的代数运算
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
两矢量点积：
A e A e A e B e B e B e A B (
x
x
y
y
).(
z
z
x
x
y
y
)
z
z
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
b.矢量积（叉积）：
aˆc
B
C=A B en A B sin
•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量
场的定义：若对于空间域上每一点都对应着某个物理量
的一个标量(数量)或一个矢量，则称此空间域确定了 这个物理量的场。
标量场
如温度场,电位场,高度场等。
如流速场,电场,涡流场等。
矢量场
形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面)。
其方程为
h (x, y, z) const
矢量场--矢量线 其方程为 A dl 0
如：温度 T、长度 L 等
A
矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 V 、电场 E 等 e
矢量表示为： A A e
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
e 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
一个矢量函数可以分解为三个标量函数， 在直角坐标系 下的矢量表示:
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义：
一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果
是一标量。
推论1：满足交换律 A B B A 推论2：满足分配律 A (B C) A B AC
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，三个坐标轴是相互正交的
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
A B ( Ax Bx)e x ( Ay B y)e y ( Az Bz)e z
3.矢量的标积与矢积
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
B=kA
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义： A BC | A|| B || C | sin cos 含义：
标量三重积结果为三矢量构成的 平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
V A (BC) C (A B) B (C A)
注意：先后轮换次序。 推论：三个非零矢量共面的条件。
梯度是一个矢量。
在直角坐标系中，标量场 u 的梯度可表示为
G=gradu
ex
u x
ey
u y
ez
u z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
u
G e
l
l
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表示
为
e
e
e
x x y y z z
则梯度可以表示为
gradu u
例：求一个二维标量场 u y2 -x 的等值线方程和梯度u
A(BC) 0
h BC
A C
B
在直角坐标系中：
ex ey ez
A e A e A e A.(B C) (
x
x
yy
z
).
z
Bx
By
Bz
Ax Ay Az
Cx Cy Cz
A (B C) Bx By Bz
Cx Cy Cz
b.矢量三重积： A(BC) B(AC) C(A B)
2.标量场和矢量场
B
C
C AB
C B
A
A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： A (B C) (A B) C
2.减法：换成加法运算 D A B A (B)
逆矢量：B 和 (B) 的模相等，方向相反，互为逆矢量。
D
A
AD
B
BBBC来自ABC 0A推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
等值线
矢量线 在直角坐标下,场线方程:
二维场
Ax Ay dx dy
三维场
3. 标量场的方向导数与梯度
方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿
某一方向上的变化率。
l
Δl P
P
例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数
l P
定义为
lim (P) (P)
l P Δl0
Δl
某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点梯度 的方向为该点具有最大方向导数的方向。
组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三
者符合右手螺旋法则。
推论1：不服从交换律： A B B A, A B B A
推论2：服从分配律： A(B C) A B AC
推论3：不服从结合律： A(BC) (A B)C
推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
第二章 矢量分析
主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理
1. 标量和矢量 2. 标量场和矢量场 3. 标量场的方向导数与梯度 4. 矢量场的通量与散度 5. 矢量场的环量与旋度
6. 无散场和无旋场 7. 格林定理 8. 矢量场的惟一性定理 9. 亥姆霍兹定理 10.正交曲面坐标系
1 标量及矢量
1.1定义 标量：只有大小，没有方向的物理量。
A
B
(
Axe
x
Aye
y
Aze
)
z
(B
xe
x
B
ye
y
B
ze
)
z
o
y
x
( AyBz AzBy)e x ( AzBx AxBz)e y ( AX By AyBx)e z
两矢量的叉积又可表示为：
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式： (A B)C 矢量，标量与矢量相乘。 A (B C) 标量，标量三重积。 A(BC) 矢量，矢量三重积。