青岛二中高一期末数学考试题

2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f （x ）＝log 2（3﹣x ）的定义域为（ ） A ．（0，3） B ．（﹣∞，2） C ．（﹣∞，3） D ．（﹣∞，3]2．cos210°＝（ ）A ．12B ．−12 C ．√32D ．−√323．已知x ，y 为正实数，则2y x +xy 的最小值为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．2√24．人类已进入大数据时代，数据量已从EB （1EB ＝10242TB ）级别跃升到ZB （1ZB ＝1024EB ）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y （单位：EB ）与时间x （单位：年）的关系符合函数y ＝k •a x﹣2021，其中a ＞0，a ≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB ，2023年该地区产生的数据边为1EB ，则2024年该地区产生的数据量为（ ） A ．1.5EBB ．1.75EBC ．2EBD ．2.25EB5．“x ＞4”是“log 3x ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件6．当x ∈（0，2π）时，函数f （x ）＝sin x 与g （x ）＝|cos x |的图象所有交点横坐标之和为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．定义在[﹣2，2]上的函数f （x ）＝3|x |﹣1，若f （1﹣x ）＜f （x ），则x 的取值范围为（ ） A ．(−∞，12)B ．(12，+∞)C ．[−1，12)D ．(12，2]8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab10．已知函数f(x)=sin(3x+π)，则（）3，0)是f（x）图象的一个对称中心A．点(−π9B．直线x=π是f（x）图象的一条对称轴18C．f（x）在[0，π9]上单调递增D．f(x+π)=f(x)311．已知函数f(x)=a(1)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）3A．a+b＝0B．f(x)=(1)|x|−13C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{1，2，3}． （1）写出A ∩B 的所有子集；（2）若关于x 的不等式x 2+bx +c ＜0的解集为C ，A ∪C ＝[﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]，求b +c 的值． 18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ．（1）若注射1mL药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL药品，12小时之后又注射amL药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a的最小值．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1，a＞0．x−1（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）＝log2（3﹣x）的定义域为（）A．（0，3）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]解：f（x）＝log2（3﹣x），则3﹣x＞0，解得x＜3，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，3）．故选：C．2．cos210°＝（）A．12B．−12C．√32D．−√32解：cos210°＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°=−√32．故选：D．3．已知x，y为正实数，则2yx+xy的最小值为（）A．1B．√2C．2D．2√2解：因为x，y为正实数，所以2yx+xy≥2√2yx⋅xy=2√2，当且仅当2yx=xy，即x=√2y时，2yx+xy的最小值为2√2．故选：D．4．人类已进入大数据时代，数据量已从EB（1EB＝10242TB）级别跃升到ZB（1ZB＝1024EB）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y（单位：EB）与时间x（单位：年）的关系符合函数y＝k•a x﹣2021，其中a＞0，a≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB，2023年该地区产生的数据边为1EB，则2024年该地区产生的数据量为（）A．1.5EB B．1.75EB C．2EB D．2.25EB解：由题意可得，{0.5=k⋅a 2022−20211=k⋅a2023−2021，解得{a=2k=14，∴y=14×2x−2021，∴当x＝2024时，y=14×22024−2021=14×23=2，即2024年该地区产生的数据量为2EB．故选：C．5．“x＞4”是“log3x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件解：∵不等式log3x＞1⇔x＞3，∴当x＞4时，有log3x＞1，充分性成立；当“log3x＞1”时，有x＞3，不能推出“x＞4”，必要性不成立，因此，“x＞4”是“log3x＞1”的充分不必要条件．故选：A．6．当x∈（0，2π）时，函数f（x）＝sin x与g（x）＝|cos x|的图象所有交点横坐标之和为（）A．πB．2πC．3πD．4π解：由f（x）＝g（x），可得sin x＝|cos x|，显然π2，π，3π2不是图象的交点的横坐标，当0＜x＜π2时，由题意得sin x＝cos x，则x=π4，当π2＜x＜π时，sin x＞0，cos x＜0，由题意得sin x＝cos x，x=3π4，当π＜x＜3π2时，由题意得sin x＝﹣cos x，x不存在，当3π2＜x＜2π时，由题意得sin x＝cos x，此时x不存在，故π4+3π4=π．故选：A．7．定义在[﹣2，2]上的函数f（x）＝3|x|﹣1，若f（1﹣x）＜f（x），则x的取值范围为（）A．(−∞，12)B．(12，+∞)C．[−1，12)D．(12，2]解：根据题意，函数f（x）＝3|x|﹣1，其定义域为[﹣2，2]，有f（﹣x）＝3|﹣x|﹣1＝3|x|﹣1＝f（x），f（x）为偶函数，在区间[0，2]上，f（x）＝3x﹣1，易得f（x）在[0，2]上为增函数，若f（1﹣x）＜f（x），则有|1﹣x|＜|x|≤2，解可得：12＜x≤2，即x 的取值范围为（12，2]．故选：D ．8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17解：根据题意，若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则其否定“∀x ∈（0，m ），都有x ≤5lg303lg0.5“”为真命题，则有m ≤5lg303lg0.5，由于m ＞0，且5lg303lg0.5＞0，两边同时取对数可得：lgm ≤lg 5lg303lg0.5=lg 5lg 30﹣lg 3lg 0.5＝lg 30lg 5﹣lg 0.5lg 3＝lg 30lg 5+lg 2lg 3＝（lg 3+1）（1﹣lg 2）+lg 2lg 3＝lg 15，即lgm ≤lg 15，必有m ≤15，即m 的最大值为15． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab解：对于A ，当c ＜0时，ac ＞0，bc ＜0，故A 错误； a ＜b ，﹣c ＝﹣c ，故a ﹣c ＜b ﹣c ，故B 正确； a ＜0，b ＞0，则1a ＜0，1b＞0，故C 错误；a ＜0，b ＞0，则a ﹣b ＜0，a 2﹣ab ＝a （a ﹣b ）＞0，即a 2＞ab ，故D 正确． 故选：BD ．10．已知函数f(x)=sin(3x +π3)，则（ ）A ．点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心B ．直线x =π18是f （x ）图象的一条对称轴 C ．f （x ）在[0，π9]上单调递增D ．f(x +π3)=f(x)解：对于函数f(x)=sin(3x +π3)，令x =−π9，求得f （x ）＝0，可得点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心，故A正确．令x=π18，求得f（x）＝1，为最大值，可得直线x=π18是f（x）图象的一条对称轴，故B正确．在[0，π9]上，3x+π3∈[π3，2π3]，函数f（x）不单调，故C错误．由于f（x+π3）＝sin（3x+π+π3）＝﹣sin（3x+π3）＝﹣f（x），故D错误．故选：AB．11．已知函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）A．a+b＝0B．f(x)=(13)|x|−1C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增解：因为函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，所以a(13)0+b=0⇒a+b=0，A项正确；又因为f（x）图象无限接近直线y＝1，所以b＝1，从而a＝﹣1，所以f(x)=−(13)|x|+1，B项错误；C项，f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，正确；D项，x＞0，f(x)=−(13)x+1在[0，+∞）上单调递增，偶函数的图象关于y轴对称，则在（﹣∞，0]上单调递减，错误．故选：AC．12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减解：根据题意，依次分析选项：对于A，设f（x）＝sin（2πx）+x，满足f（x﹣1）＜f（x），但f（x）在R上不是增函数，A错误；对于B，当x1＝﹣x2＝m时，有|f（m）﹣f（﹣m）|≤|cos m﹣cos（﹣m）|＝0，必有f（m）＝f（﹣m），故f（x）为偶函数，B正确；对于C，当x1＝x2+2π时，有|f（x2+2π）﹣f（x2）|＝|cos（x2+2π）﹣cos x2|＝0，必有f（x2+2π）＝f（x2），故f（x）是周期为2π的周期函数；对于D，∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，设x1＜x2，则cos x1＞cos x2，则有|f（x1）﹣f（x2）|＜cos x1﹣cos x2，即cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2）＜cos x1﹣cos x2，对于cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2），变形可得f（x1）+cos x1＞f（x2）+cos x2，故函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．解：因为y＝a x恒过定点（0，1），而y＝a x+1是由y＝a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式f（x）＝lgx；（答案不唯一）．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．解：当f（x）＝lgx时，对于①：因为x＞0，所以f（x）的定义域为（0，+∞），满足①；对于②：对∀x1，x2∈（0，+∞），有f（x1x2）＝lgx1x2＝lgx1+lgx2＝f（x1）+f（x2），满足②；对于③：当x∈（1，+∞）时，由函数f（x）＝lgx在x∈（0，+∞）上单调递增，可得lgx＞lg1＝0，即f（x）＞0成立．满足③．故答案为：lgx（答案不唯一）．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为3π8．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=π2，AC＝1，∴∠ABC＝∠C'BA'=π4，AB=√2，∴∠ABC'=π2，∴∠CBC′=π4+π2=3π4，∠A'BA=π4+π2=3π4，∴图中阴影部分的面积S＝S△ABC+S扇形BAA'﹣S扇形BCC'﹣S△A'BC'＝S扇形BAA'﹣S扇形BCC'=12×3π4×AB2−1 2×3π4×BC2=3π8×2−3π8=3π8．故答案为：3π8．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为π．解：因为f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6，又因为f(x)=sinx+√3且﹣1≤sin x≤1，所以√3−1≤f（x）≤√3+1，所以√3+1≤f（x1）+2≤√3+3，√3−3≤f（x2）﹣2≤√3−1，显然f（x1）+2＞0，f（x2）﹣2＜0，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]∈[（√3−3）（√3+3），（√3−1）（√3+1）]，即f（x1）f（x2）∈[﹣6，2]，当且仅当f（x1）+2=√3+3，f（x2）﹣2=√3−3时，[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6成立，所以sin x1＝1，sin x2＝﹣1，所以x1＝2k1π+π2，k1∈Z，x2＝2k2π−π2，k2∈Z，所以|x1﹣x2|＝|2（k1﹣k2）π+π|，k1∈Z，k2∈Z，当且仅当k1﹣k2＝1或k1＝k2时（k1∈Z，k2∈Z），|x1﹣x2|有最小值，且|x1﹣x2|min＝π，故答案为：π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{1，2，3}．（1）写出A∩B的所有子集；（2）若关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为C，A∪C＝[﹣1，3），A∩C＝（1，2]，求b+c的值．解：（1）因为x2﹣x﹣2≤0，所以（x+1）（x﹣2）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以A＝[﹣1，2]，所以A∩B＝{1，2}．所以A ∩B 的所有子集为：∅，{1}，{2}，{1，2}； （2）因为A ∪C ＝（﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]， 所以C ＝（1，3），由题意得1和3是方程x 2+bx +c ＝0的两根， 所以1+3＝﹣b ，1×3＝c ， 所以b +c ＝﹣1．18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．解：（1）角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)，且由图象可得t =45，则由三角函数的定义知：cosα=35，sinα=45，tanα=43．（2）∵sin(π−α)=sinα=45，sin(π2−α)=cosα=35，cos(π2+α)=−sinα=−45，∴sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)=45+35−45=−74．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．解：（1）由题知T =2πω=2，所以ω＝π． 又因为f(16)=sin(π6+φ)=0，所以{φ=kπ−π6，k ∈Z −π2＜φ＜π2，解得φ=−π6，所以f(x)=sin(πx −π6)．（2）因为f(x)=sin(πx −π6)，x ∈[0，m ]，令t =πx −π6∈[−π6，πm −π6]，因为y ＝sin t 在[−π6，πm −π6]上的最小值为−12，所以πm −π6≤7π6，解得m ≤43， 所以m 的取值范围是(0，43]．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．解：（1）（i ）由题知：f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝2（sin x +cos x ）， 所以g 2(x)4−1=(sinx +cosx)2−1=sin 2x +cos 2x +2sinxcosx −1=2sin x cos x ＝2f （x ）．（ii ）由（sin x +cos x ）2﹣1＝2sin x cos x ≤sin 2x +cos 2x ＝1，当且仅当sin x ＝cos x 时，即x =π4时取等号，所以sin x +cos x ≤√2，即g （x ）的最大值为2√2；（2）因为S AMNW ＝BE •DF ＝（a ﹣cos x ）（a ﹣sin x ）＝a 2﹣a （sin x +cos x ）+sin x cos x ， 令t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），因为0＜x ＜π4，所以π4＜x +π4＜π2，所以√22＜sin(x +π4)＜1，所以t =sinx +cosx ∈(1，√2]， 所以sinxcosx =(sinx+cosx)2−12=t 2−12，令S AMNW=ℎ(t)=a 2−at +t 2−12=t 22−at +a 2−12，若1＜a ＜√2，则h （t ）在（1，a ）上单调递减，在(a ，√2)上单调递增， 所以ℎ(t)≥ℎ(a)=a 2−12． 若a ≥√2，则h （t ）在(1，√2]上单调递减，所以ℎ(t)≥ℎ(√2)=a 2−√2a +12，综上，当1＜a ＜√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−12；当a ≥√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−√2a +12．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ． （1）若注射1mL 药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL 药品，12小时之后又注射amL 药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a 的最小值．解：（1）注射1ml 该药品，其浓度为y ={168−x −2，0≤x ≤69−x2，6＜x ≤18， 当0≤x ≤6时，由2≤168−x−2可得，4≤x ≤6， 当6＜x ≤18时，由2≤9−x2可得，6＜x ≤14，所以一次注射1ml 该药品，则药物有效时间可达14﹣4＝10小时； （2）设从第一次注射起，经x （12≤x ≤18）小时后，其浓度g(x)=9−x 2+a[168−(x−12)−2]=20−x 2+16a20−x−2a −1，因为20﹣x ∈[2，8]，a ＞0， 当a ∈[18，2]时，因为20−x 2+16a 20−x−2a −1≥2√(20−x)2⋅16a (20−x)−2a −1=4√2a −2a −1，当20−x 2=16a 20−x时，即x =20−4√2a ∈[12，18]时，等号成立，所以{4√2a−2a−1≥218≤a≤2，解得0.5≤a≤2，当a=18时，g(x)=20−x2+220−x−54，g(18)=34＜2，所以a∈(0，18)不能保证持续有效，综上所述，a的取值范围为[0.5，2]，即要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，a的最小值为0.5．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1x−1，a＞0．（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．解：（1）由f(x)=alnx−x+1x−1可知，f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．∵f(x)=alnx−x+1x−1=alnx−x−1+2x−1=alnx−2x−1−1，∴f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增．对∀x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∵f(x1)−f(x2)=a(lnx1−lnx2)+(2x2−1−2x1−1)=a(lnx1−lnx2)+2(x1−x2)(x2−1)(x1−1)．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（0，1）上单调递增，同理对∀x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增．（2）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(1e)=aln1e−1e+11e−1=−alne−e+1e1−ee=−(alne−e+1e−1)=−f(e)=0．∴不等式的解集为(1e，1)∪(e，+∞)．（3）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(e 1a)=−2e1a−1＜0，且e1a∈(1，+∞)，取p满足{p＞e2ap＞3，则f(p)=alnp−1−2p−1＞aln(e2a)−1−23−1=0，∴f（x）在（1，+∞）上有唯一零点n，又∵f(e−1a)=21−e−1a−2＞0，且e−1a∈(0，1)，取q满足{q＜e−2aq＜13，则f(q)=alnq−1+21−q＜aln(e−2a)−1+21−13=0，∴f（x）在（0，1）上有唯一零点m．∵f（m）＝0，又f(1m)=aln1m−1m+11m−1=−(alnm−m+1m−1)=−f(m)=0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，且1m，n∈（1，+∞）．∴1m=n，∴mn＝1，∴m+n＞2√mn=2．。

山东省青岛市第二高级中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. sin2cos3tan4的值 ()(A) 小于0 (B) 大于0 (C) 等于0 (D) 不存在参考答案：A2. 设全集U=R，集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|2≤x＜5}，则A∩（?U B）=( )A．{x|1≤x＜2} B．{x|x＜2} C．{x|x≥5}D．{x|1＜x＜2}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵B={x|2≤x＜5}，∴C U B={x|x＜2或x≥5}，则A∩（?U B）={x|1＜x＜2}，故选D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3. 凸边形各内角成等差数列，公差10°，最小内角为100°，则（）A．5或6 B．9 C．8 D．8或9参考答案：C略4. 平面内已知向量，若向量与方向相反，且，则向量=（）A．（2，﹣4）B．（﹣4，2）C．（4，﹣2）D．（﹣2，4）参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量共线且方向相反设=x，x＜0，结合长度关系进行求解即可．【解答】解：∵向量与方向相反，∴=x，x＜0，∵，∴=|x|||=|x|，则|x|=2，x=﹣2，即=x=﹣2=﹣2（2，﹣1）=（﹣4，2），故选：B5. 是定义在上的奇函数,若则下列各式中一定成立的是（）A．B．C．D．参考答案：B略6. 函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是( )A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．7. 函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣，0）B．（﹣，0] C．（﹣，+∞）D．（0，+∞）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数f（x）=有意义，可得2x+1＞0，且log（2x+1）≥0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数f（x）=有意义，可得2x+1＞0，且log（2x+1）≥0，即为0＜2x+1≤1，解得﹣＜x≤0，则定义域为（﹣，0]．故选：B．8. 已知，则的值为( )A． B． C． D．参考答案：D9. 定义两种运算：，那么定义在区间上的函数的奇偶性为（）(A)奇函数 (B)偶函数(C)既是奇函数又是偶函数 (D)既非奇函数也非偶函数参考答案：A略10. 从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是( )A. 1,2,3,4,5B. 5,16,27,38,49C. 2,4,6,8,10D. 4,13,22,31,40参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}中，a1=2，a n=a n﹣1﹣（n≥2），则数列{a n}的前12项和为．参考答案：﹣9【考点】8E：数列的求和．【分析】由题意可得数列{a n}为首项2，公差d为﹣的等差数列，再由等差数列的前n项和的公式，计算即可得到所求和．【解答】解：a1=2，a n=a n﹣1﹣（n≥2），即有a n﹣a n﹣1=﹣（n≥2），可得数列{a n}为首项2，公差d为﹣的等差数列，则数列{a n}的前12项和为12×2+×12×11×（﹣）=﹣9．故答案为：﹣9．12. 若，，则．参考答案：13. 已知无穷等比数列的首项为，公比为q ，且，则首项的取值范围是________．参考答案：【分析】 根据极限存在得出，对分、和三种情况讨论得出与之间的关系，可得出的取值范围.【详解】由于，则.①当时，则，；②当时，则，；③当时，，解得.综上所述：首项的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.14. 方程的实数解的个数为 ． 参考答案：2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】将方程变为2﹣x=，方程的根即相关的两个函数的交点的横坐标，故判断方程实数解的个数的问题可以转化求两个函数y=2﹣x 与y=的两个函数的交点个数的问题，至此解题方法已明．【解答】解：方程变为2﹣x=，令y=2﹣x 与y=，作出两函数的图象如图，两个函数在（0，+∞）有两个交点，故方程有两个根． 故应填 2．15. 已知，，则．参考答案：16. 若=2，则tan （α﹣）= ．参考答案：2【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值化简所求即可计算得解．【解答】解：∵=2，∴tan （α﹣）====2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．17. 某校高一年级的学生，参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则两个兴趣小组至少参加一个的人数为____.参考答案： 80 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

青岛二中2019-2020学年第一学期期末考试高一数学试题一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合ln1cos ,2A e π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,{}2|20B x Z x x =∈+≤,则A B =U （ ） A. {}0,1 B. {}1,0- C. {}1,0,1- D. {}2,1,0,1--【答案】D 【解析】 【分析】先求出B 集合，注意x 属于整数集合，而集合A 等价于{}0,1A =，求并集运算即可。

【详解】因为cos02π=，0ln11e e ==，所以{}0,1A =；{}2|20B x Z x x =∈+≤解得{}2,1,0B =--所以{}2,1,0,1A B ⋃=-- 故选：D【点睛】此题考查集合的并集运算，解出每个集合的取值即可，属于简单题目。

2.下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（ ）A. 2xy = B. 1y x x=+C. 12y x =D. ln y x x =-【答案】D 【解析】 【分析】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞，依次看选项的定义域是否在(0,)+∞即可。

【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞ A 选项定义域是R ； B 选项定义域是{}|0x x ≠； C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。

故选：D【点睛】此题考查函数的值域和定义域，掌握基本初等函数的图像和性质，属于简单题目。

3.已知幂函数()y f x =的图象经过点(,则()31log 3f 的值是（ ）A. 13- B. -1 C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】设幂函数是a y x =，代入点(求得 a ，再代入求()31log 3f 即可。

【详解】设幂函数是a y x =，代入点(，即1333a ==所以13a =，13y x=所以()1333f =()1111333333l log 3log og 31313log 3f ==-= 故选：A【点睛】此题考查幂函数和对数函数，注意对数函数换底公式的使用，属于较易题目。

山东省青岛二中2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线1:2l y x a =-+与直线22:(2)2l y a x =--平行,则a =A ．1B ．1-C ．3±D ．±12．定义运算,:,a a ba b b a b≤⎧⊗⊗=⎨>⎩，设()()()F x f x g x =⊗，若()sin f x x =，()cos g x x =，R x ∈，则()F x 的值域为（ ）A ．[]1,1-B ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．21,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．21,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω,π2ϕ<)的部分图像如图所示，则,ωϕ的值分别是( )A ．π2,6 B ．π2,3 C ．π1,6D ．π1,34．已知数列{}n a 满足*11()1,2,nn n n a a a n N S +=⋅=∈是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A ．201920192a =B ．101020192a =C ．1010201923S =-D ．1011201923S =-5．下列不等式正确的是（ ） A ．若a b >，则a c b c ⋅>⋅ B ．若22a c b c ⋅>⋅，则a b > C ．若a b >，则11a b< D ．若a b >，则22a c b c ⋅>⋅6．已知角α的终边经过点()1,1-，则=sin α（ ）A ．22-B ．12-C ．22D ．327．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 A ．3πB ．31π-C ．3πD ．31π-8．若sin 2cos21θθ=+，则cos2θ=( ) A ．0B ．-1C ．1或0D ．0或-19．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位10．已知向量(2,3),(,4)a b x ==，若()a a b ⊥-，则x =（ ） A ．1B ．12C ．2D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝1+i （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．（0，1）B ．（0，﹣1）C ．（﹣1，0）D ．（1，0）2．已知平面向量a →=(√3，−1)，|b →|=4，且(a →−2b →)⊥a →，则|a →−b →|=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β4．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm 和10cm ，高为15cm ．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（1000cm 3＝1L ）（ ）A ．1.9LB ．2.2LC ．2.4LD ．4.6L5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2，则tan C 的值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．46．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=3MC →，若BM →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则μ﹣λ＝（ ） A ．−13B ．−12C ．13D ．127．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，设直线l 与BD ，B 1C 分别交于点P ，Q ，且l ⊥BD ，l ⊥B 1C ，则线段PQ 的长为（ ）A ．√23B ．√33C ．√63D ．√668．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A ．0.96B ．0.94C ．0.79D ．0.75二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知平面向量a →=(1，1)，b →=(−3，4)，则下列说法正确的是（ ） A ．cos〈a →，b →〉=√210B ．b →在a →方向上的投影向量为(√22，√22)C ．与b →垂直的单位向量的坐标为(45，35)或(−45，−35) D ．若向量a →+λb →与非零向量a →−λb →共线，则λ＝010．有一组从小到大排列的样本数据x 1，x 2，…，x n ﹣1，x n （n ≥4），若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据x 1﹣1，x 2，…，x n ﹣1，x n +2，则下列统计量中，相比原来的数据变大的有（ ） A ．极差B ．中位数C ．平均数D ．方差11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为1或2”，事件N 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．事件M 与事件N 互斥B ．事件M 发生的概率为12C ．事件M 与事件N 相互独立D ．事件M +N 发生的概率为112．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是棱BC ，CC 1的中点，点M 满足BM →=tBA →，t ∈[0，1]，下列结论正确的是（ ） A ．若t ＝1，则A 1B 1∥平面MPQB ．若t ＝1，则过点M ，P ，Q 的截面面积是92C ．若t =12，则点A 1到平面MPQ 的距离是√36D ．若t =12，则AB 与平面MPQ 所成角的正切值为√22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm ）数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 ．14．在△ABC 中，AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，D 为BC 上一点，AD 为∠BAC 的平分线，则AD ＝ ．15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ēn ào ）．已知四面体A ﹣BCD 为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =12BC =13CD ，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为 ．16．已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM →⋅AN →的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0． （1）求角A ；（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√3，求b ，c ．18．（12分）某海域的东西方向上分别有A ，B 两个观测点（如图），它们相距25√6海里．现有一艘轮船在D 点发出求救信号，经探测得知D 点位于A 点北偏东45°，B 点北偏西75°，这时位于B 点南偏西45°且与B 相距80海里的C 点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B 点到D 点的距离BD ；（2）若命令C 处的救援船立即前往D 点营救，求该救援船到达D 点需要的时间．19．（12分）青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中b ＝3a ．（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80，100]内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[80，90）内的概率．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥CD ，AD ＝1，CD ＝4．（1）证明：AD ⊥平面PCD ；（2）若PD ＝3，求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．21．（12分）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．22．（12分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是梯形，P A ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，AB =√2，CD ＝1，AD ＝2BC ＝2，P A ＝1．（1）求点A 到平面PBC 的距离；（2）求平面PBA 于平面PBC 的夹角的大小．2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝1+i （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．（0，1） B ．（0，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（1，0）解：（1﹣i ）z ＝1+i ，则z =1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i ，则z =−i ，故z 在复平面内对应的点的坐标是（0，﹣1）． 故选：B ．2．已知平面向量a →=(√3，−1)，|b →|=4，且(a →−2b →)⊥a →，则|a →−b →|=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5解：由平面向量a →=(√3，−1)，可得|a →|=√3+1=2， 由(a →−2b →)⊥a →，可得a →•（a →−2b →）＝0， 即a →2＝2a →•b →=4， 则a →•b →=2，|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√4−2×2+16=4， 故选：C ．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β解：m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．对于A ，若m ⊥α，n ⊥α，则由线面垂直的性质定理得m ∥n ，故A 正确；对于B ，若α⊥β，m ⊥β，则由面面垂直、线面垂直的性质得m ⊂α或m ∥α，故B 错误； 对于C ，若α⊥β，m ⊂α，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故C 错误； 对于D ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α与β相交或平行，故D 错误． 故选：A ．4．如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm 和10cm ，高为15cm ．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（1000cm 3＝1L ）（ ）A ．1.9LB ．2.2LC ．2.4LD ．4.6L解：由台体的体积公式可知，V =13×15×(102+152+√102×152)=2375(cm 3)，2375cm 3≈2.4L ， 故选：C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2，则tan C 的值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：因为△ABC 的面积为S ＝a 2+b 2﹣c 2， 所以12absinC =a 2+b 2−c 2，又∵cosC =a 2+b 2−c 22ab， ∴2abcosC =12absinC ，则tan C ＝4． 故选：D ．6．△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM →=3MC →，若BM →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则μ﹣λ＝（ ） A ．−13B ．−12C ．13D ．12解：因为AM →=3MC →，所以AM →=34AC →=34（BC →−BA →），所以BM →=BA →+AM →=BA →+34（BC →−BA →）=14BA →+34BC →，因为BM →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)， 所以λ=14，μ=34， 故μ−λ=12． 故选：D ．7．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，设直线l 与BD ，B 1C 分别交于点P ，Q ，且l ⊥BD ，l ⊥B 1C ，则线段PQ 的长为（ ）A ．√23B ．√33C ．√63D ．√66解：由题意可得PQ 为异面直线BD ，B 1C 的距离， 连接B 1D 1，D 1C ，由BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面D 1B 1C ，B 1D 1⊂平面D 1B 1C ， 所以BD ∥平面D 1B 1C ，则PQ 即为直线BD 和平面D 1B 1C 的距离，即B 到平面D 1B 1C 的距离，设为h ， 由V B−B 1D 1C =V D 1−BB 1C ，可得13h •√34×（√2）2=13×1×12×1×1， 解得h =√33．故选：B ．8．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A ．0.96B ．0.94C ．0.79D ．0.75解：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200+800×9+12001200+800×8=8.4（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：8001200+800×[1+(9−8.4)2]+12001200+800×[0.5+(8−8.4)2]=0.94． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知平面向量a →=(1，1)，b →=(−3，4)，则下列说法正确的是（ ） A ．cos〈a →，b →〉=√210B ．b →在a →方向上的投影向量为(√22，√22)C ．与b →垂直的单位向量的坐标为(45，35)或(−45，−35) D ．若向量a →+λb →与非零向量a →−λb →共线，则λ＝0 解：对于选项A ，因为a →=(1，1)，b →=(−3，4)， 所以|a →|=√12+12=√2，|b →|=√(−3)2+42=5，a →⋅b →=1×(−3)+1×4=1，则cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →||b →|=1√2×5=√210，故A 正确； 对于选项B ，b →在a →方向上的投影向量为|b →|cos〈a →，b →〉⋅a →|a →|=5×√210⋅a →2=12a →=（12，12），故B 错误；对于选项C ，设与b →垂直的单位向量的坐标（x 0，y 0），则有{−3x 0+4y 0=0x 02+y 02=1，解得{x 0=45y 0=35或{x 0=−45y 0=−35，所以与b →垂直的单位向量的坐标为(45，35)或(−45，−35)，故C 正确； 对于选项D ，显然a →与b →不共线，因为a →+λb →=（1﹣3λ，1+4λ），a →−λb →=（1+3λ，1﹣4λ）， 且向量a →+λb →与向量a →−λb →共线，所以（1﹣3λ）（1﹣4λ）﹣（1+3λ）（1+4λ）＝0， 解得λ＝0，故D 正确． 故选：ACD ．10．有一组从小到大排列的样本数据x 1，x 2，…，x n ﹣1，x n （n ≥4），若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据x 1﹣1，x 2，…，x n ﹣1，x n +2，则下列统计量中，相比原来的数据变大的有（ ） A ．极差B ．中位数C ．平均数D ．方差解：极差比原数据大3，故A 正确； 中位数不变，故B 不正确； x =x 1+x 2+x 3+⋯+x n n ，x 1=x 1−1+x 2+x 3+⋯+x n +2n =x 1+x 2+x 3+⋯+x n +1n， 所以平均数变大，故C 正确；因为最小的数据变小，最大的数据变大，其余数据不变，显然新数据较原数据相对于各自的平均值波动变大，由方差的意义易知方差也变大了，故D 正确． 故选：ACD ．11．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为1或2”，事件N 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．事件M 与事件N 互斥B ．事件M 发生的概率为12C ．事件M 与事件N 相互独立D ．事件M +N 发生的概率为1解：当两次抛掷的点数为（1，4）时，事件M 与事件N 同时发生，所以事件M 与事件N 不互斥，故A 错误；由题意可得P(M)=24=12，故B 正确； 事件M 与事件N 同时发生的情况有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3）共4种， 所以P(MN)=416=14， 又P(N)=816=12， 所以P （MN ）＝P （M ）•P （N ），故事件M 与事件N 相互独立，故C 正确； P(M +N)=P(M)+P(N)−P(MN)=12+12−14=34，故D 错误． 故选：BC ．12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是棱BC ，CC 1的中点，点M 满足BM →=tBA →，t ∈[0，1]，下列结论正确的是（ ） A ．若t ＝1，则A 1B 1∥平面MPQB ．若t ＝1，则过点M ，P ，Q 的截面面积是92C ．若t =12，则点A 1到平面MPQ 的距离是√36D ．若t =12，则AB 与平面MPQ 所成角的正切值为√22解：对A ，B 选项，若t ＝1，则M 与A 重合，如图所示：延长B 1B 与QP 交于点E ，易知A 1B 1不平行AE ， ∴A 1B 1不平行平面MPQ ，∴A 选项错误； 连接MD 1，QD 1，则根据题意易知MD 1∥PQ ， ∴过点M ，P ，Q 的截面为等腰梯形PQD 1M ，又根据题意易得PM ＝QD 1=√5，PQ =√2，D 1M =2√2，∴易得等腰梯形PQD 1M 的高为√5−12=32，∴等腰梯形PQD 1M 的面积为12×(√2+2√2)×√2=92，∴B 选项正确；对C ，D 选项，若t =12，则M 为AB 的中点，连接A 1C 1，如图所示：易知A 1C 1∥MP ，∴A 1到平面MPQ 的距离等于C 1到平面MPQ 的距离d ， 则根据等体积法思想可得：V C 1−MPQ =V M−PQC 1，又PM ＝PQ =√2，MQ =√5+1=√6，∴S △MPQ =12×√6×√(√2)2−(62)2=√32， ∴13×S △MPQ ×d =13×S △PQC 1×MB ，∴13×√32×d =13×12×1×1×1，∴d =√33，∴C 选项错误； 又易知BC 1∥PQ ，∴B 到平面MPQ 的距离等于C 1到平面MPQ 的距离d =√33， 又MB ＝1，设AB 与平面MPQ 所成角为θ，则sin θ=d MB =√33，∴cos θ=√63，∴tan θ=sinθcosθ=√22，∴D 选项正确． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm ）数据如下：163 165 161 157 162 165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 158 ． 解：10×25%＝2.5，第25百分位数是从小到大第3个数为158． 故答案为：158．14．在△ABC 中，AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，D 为BC 上一点，AD 为∠BAC 的平分线，则AD ＝ 2 ．解：由余弦定理可得cos ∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC，而AB ＝2，∠BAC =60°，BC =√6，所以12=4+AC 2−62×2AC，整理可得：AC 2﹣2AC ﹣2＝0，解得AC =√3+1或AC ＝1−√3（舍），AD 为∠BAC 的平分线，所以∠BAD ＝∠CAD ＝30°， 因为S △ABC =12AB •AC sin ∠BAC =12×2×（√3+1）×√32=14×2×（3+√3）， 而S △ABC ＝S △BAD +S △CAD =12AB •AD •sin ∠BAD +12AC •AD •sin ∠CAD =12AD ×12×（AB +AC ）=14（3+√3）•AD ，所以14×2×（3+√3）=14×（3+√3）AD ，解得AD ＝2． 故答案为：2．15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ēn ào ）．已知四面体A ﹣BCD 为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =12BC =13CD ，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为 14π ．解：由已知，因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，可令AB =12BC =13CD =x ， 所以V ABCD =13AB ⋅S △BCD =13AB ⋅12⋅CD ⋅BC =16x ⋅6x 2=1，所以x ＝1， 所以AB ＝1，BC ＝2，CD ＝3，由已知，鳖臑的外接球可还原在以AB ，CD ，BC 为长宽高的长方体中，设其外接球半径为R ， 所以其外接球的半径R =√12+(2)2+(3)22=√142，所以其外接球的表面积S =4πR 2=4π⋅(√142)2=14π．故答案为：14π．16．已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM →⋅AN →的最大值为 1 ． 解：建立如图的平面坐标系， 则A （﹣1，1），设M （﹣1，b ），（﹣1≤b ≤1），则N （1，﹣b ），则AM →⋅AN →=（0，b ﹣1）•（2，﹣b ﹣1）＝（b ﹣1）（﹣b ﹣1）＝﹣（b ﹣1）（b +1）＝﹣b 2+1， 则当b ＝0时，y ＝﹣b 2+1取得最大值1，即，AM →⋅AN →的最大值为1． 故答案为：1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0． （1）求角A ；（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√3，求b ，c ． 解：（1）△ABC 中，∵a cos C +√3a sin C ﹣b ﹣c ＝0，利用正弦定理可得sin A cos C +√3sin A sin C ＝sin B +sin C ＝sin （A +C ）+sin C ， 化简可得√3sin A ﹣cos A ＝1，∴sin （A ﹣30°）=12， ∴A ﹣30°＝30°，∴A ＝60°． （2）若a ＝2，△ABC 的面积为12bc •sin A =√34bc =√3，∴bc ＝4 ①．再利用余弦定理可得a 2＝4＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ＝（b +c ）2﹣2bc ﹣bc ＝（b +c ）2﹣3•4， ∴b +c ＝4 ②．结合①②求得b ＝c ＝2．18．（12分）某海域的东西方向上分别有A ，B 两个观测点（如图），它们相距25√6海里．现有一艘轮船在D 点发出求救信号，经探测得知D 点位于A 点北偏东45°，B 点北偏西75°，这时位于B 点南偏西45°且与B 相距80海里的C 点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B 点到D 点的距离BD ；（2）若命令C 处的救援船立即前往D 点营救，求该救援船到达D 点需要的时间．解：（1）由题可知，AB ＝25√6，∠DBA ＝90°﹣75°＝15°，∠DAB ＝90°﹣45°＝45°， 所以∠ADB ＝180°﹣45°﹣15°＝120°， 在△ABD 中，由正弦定理可得BD sin∠DAB=AB sin∠ADB，即BD sin45°=25√6sin120°，所以BD =25√6sin45°sin120°=25√6×√22√32=50海里； （2）在△BCD 中，∠CBD ＝180°﹣75°﹣45°＝60°，BC ＝80，BD ＝50， 由余弦定理可得，CD 2＝BC 2+BD 2﹣2BC •BD cos ∠CBD ＝6400+2500﹣2×80×50×12=4900， 所以CD ＝70海里， 所以所需时间为7035=2小时，所以B 点到D 点的距离BD ＝50海里，救援船到达D 点需要的时间为2小时．19．（12分）青岛二中高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中b ＝3a ．（1）估计测试成绩的上四分位数和平均分；（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80，100]内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[80，90）内的概率．解：（1）由频率分布直方图可知（a +0.015+0.035+b +a ）×10＝1，可得b +2a ＝0.05， 由题可得{b +2a =0.05b =3a⇒{a =0.01b =0.03，前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35＝0.6＜0.75，前四组的频率之和为0.6+0.3＝0.9＞0.75， 则75%分位数m ∈[80，90），且m ＝80+0.75−0.60.9−0.6=85，平均数为：55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1＝76.5； （2）成绩在[80，90）和[90，100]内的人数之比为3：1，故抽取的4人中成绩在[80，90）内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90，100]内的有1人，设为D ， 再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为（a ，b ），（a ，c ），（a ，D ），（b ，c ），（b ，D ），（c ，D ），共6种，这2人成绩均在[80，90）内的情况有（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共3种， 故这2人成绩都在[80，90）内的概率为P =36=12． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥CD ，AD ＝1，CD ＝4．（1）证明：AD ⊥平面PCD ；（2）若PD ＝3，求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AD 、DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ，PD ⊥DC ．又P A ⊥CD ，P A 、PD ⊂平面P AD ，P A ∩PD ＝P ， ∴CD ⊥平面P AD ． 而AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AD ．而DC 、PD ⊂平面PCD ，且DC ∩PD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD ．（2）由（1）知PD 、DA 、DC 两两垂直，如图所示以D 为中心建立空间直角坐标系，则A （1，0，0）、B （1，4，0）、C （0，4，0），P （0，0，3），PA →=(1，0，−3)、PB →=(1，4，−3)、PC →=(0，4，−3)，设面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则有{PB →⋅n →=0PC →⋅n →=0，即{x +4y −3z =04y −3z =0， 令y ＝3，则z ＝4，x ＝0，即n →=(0，3，4)设直线P A 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=|cos〈n →，PA →〉|=|n →⋅PA→|n →|⋅|PA →||=12510=6√1025．21．（12分）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 解：（1）因为甲每轮猜对的概率为23，所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率P ＝1﹣（1−23）2=89；（2）“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对2个，乙猜对一个，和甲猜对1个，乙猜对2个，所以所求概率为P =(23)2×2×34×(1−34)+2×23×(1−23)×(34)2=512．22．（12分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是梯形，P A ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，AB =√2，CD ＝1，AD ＝2BC ＝2，P A ＝1．（1）求点A到平面PBC的距离；（2）求平面PBA于平面PBC的夹角的大小．解：取AD的中点F，连接CF，∵AB=√2，CD＝1，AD＝2BC＝2，∴AF＝FD＝1，∵BC∥AD，∴四边形ABCF是平行四边形，则CF＝AB=√2，则DF2+CD2＝1+1＝2＝CF2，即△CDF是直角三角形，∴CD⊥AD，过A作直线AE∥CD，交CB的延长线于E，则AE⊥AD，连接PE，∵P A⊥平面ABCD，P A⊂平面P AE，∴平面P AE⊥平面ABCD，过A作AM⊥PE与M，则AM⊥平面PCE，即AM是A到平面PBC的距离，则Rt△P AE中，P A＝1，AE＝CD＝1，则PE=√2，则PE•AM＝P A•AE，得√2AM＝1，得AM=√22，即A到平面PBC的距离是√22．建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P （0，0，1），A （0，0，0），B （1，1，0），C （1，2，0），则AP →=（0，0，1），AB →=（1，1，0），BC →=（0，1，0），PB →=（1，1，﹣1）， 设平面P AB 的法向量为m →=（x ，y ，z ），平面PBC 的法向量为n →=（a ，b ，c ），由{m →⋅AP →=0m →⋅AB →=0，即{z =0x +y =0，设x ＝1，则y ＝﹣1，即m →=（1，﹣1，0）， 由{n →⋅BC →=0n →⋅PB →=0，即{b =0a +b −c =0，即{b =0a =c ，设a ＝1，则c ＝1，即n →=（1，0，1）， 则cos ＜n →，m →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12×2=12，则＜n →，m →＞=60°，∴平面PBA 于平面PBC 的夹角是60°．。

2019-2020学年山东省青岛二中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A ={cos π2,e ln 1}，B ＝{x ∈Z|x 2+2x ≤0}，则A ∪B ＝（ ）A.{0, 1}B.{−1, 0}C.{−1, 0, 1}D.{−2, −1, 0, 1}2. 下列哪个函数的定义域与函数y =(12)x 的值域相同（ ）A.y ＝2xB.y =x +1xC.y =x 12D.y ＝ln x −x3. 已知幂函数y ＝f(x)的图象经过点(3,√33)，则log 13f(3)的值是（ ）A.−13B.1C.13D.−14. 样本中共有五个个体，其值分别是a ，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的极差和标准差分别是（ ） A.5和2 B.5和√2 C.4和2 D.4和√25. 从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则2个球中恰有1个红球的概率是（ ） A.56B.12C.23D.166. 函数f(x)＝2−|x|−1的图象大致为（ ）A. B.C. D.7. [x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[−0.5]＝−1．已知x0是方程ln x+3x−15＝0的根，则[x0]＝（）A.2B.3C.4D.58. 已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过(1, 1)点，对任意x1<x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>−1则不等式f[log2(2x−1)]<2−log2(2x−1)的解集为（）A.(0, +∞)B.(−∞, log23)C.(−∞, 0)∪(0, log23)D.(0, log23)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.在△ABC中，下列关系恒成立的是（）A.tan(A+B)＝tan CB.cos(2A+2B)＝cos2CC.sin(A+B2)=sin C2D.sin(A+B2)=cos C2某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平，经市政府批准，该市启动了空气重污染红色预警，期间实行机动车“单双号”限行等措施．某报社会调查中心联合问卷网，对2400人进行问卷调查，并根据调查结果得到如下饼图，则下列结论正确的是（）A.“不支持”部分所占的比例大约是整体的112B.“一般”部分所占的人数估计是800人C.饼图中如果圆的半径为2，则“非常支持”部分扇形的面积是76πD.“支持”部分所占的人数估计是1100人《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A.a+b2≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)C.√ab≥21a +1b(a>0, b>0) D.a2+b22≥a+b2(a≥0, b>0)下列命题为真命题的是（）A.设命题p:∃n∈N，n2>2n，则￢p:∀n∈N，n2≤2nB.若a>b>0，c<d<0，则ad <bcC.若f(x)是定义在R上的减函数，则“a+b≤0”是“f(a)+f(b)≥f(−a)+f(−b)”的充要条件D.若a i，b i，c i(i＝1, 2)是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集相等”的充分不必要条件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知x 12+x−12=2，则x+x−1＝________．若正数x，y满足x+2y＝xy，则x+2y的最小值为________．方程lg(√3sin x)＝lg(cos x)的解集为________．已知函数f(x)={x2−4,x≤a3x−2−1,x>a，当a＝2，不等式f(x)<2的解集是________；若函数f(x)恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知A ＝{x|x 2−3ax +2a 2>0, a >0}，B ＝{x|x 2−x −6≥0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．己知A =√3−√2)0+810.25−√(−3)2×823+(log 53)⋅log 325，B ＝log 2(4B +2A)，求A ，B 的值．青岛二中有羽毛球社、乒乓球社和篮球社，三个社团的人数分别为27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取6人参加活动． （1）求应从这三个社团中分别抽取的学生人数；（2）将抽取的6名学生进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这6名学生中随机抽出2名参加体育测试．①用所给的编号列出所有可能的结果；②设事件A 是“编号为A 1，A 2的两名学生至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率．已知α∈(π2,34π)，且sin α−cos α=2√105． （1）求tan α+1tan α的值；（2）求cos (π2−α)−2cos (α+π)−sin (−α)+cos (2π−α)的值．已知奇函数f(x)=a⋅2x −12x +1的定义域为[−a −2, 3b]．（1）求实数a ，b 的值；（2）若x ∈[−a −2, 3b]，方程[f(x)]2+f(x)−m ＝0有解，求m 的取值范围．知函数f(x)＝log 2x +1，g(x)＝f(x 2)+[f(x)]2． （1）求方程g(x)＝2的解集；（2）若f(x)的定义域是[1, 16]，求函数g(x)的最值；（3）若不等式[f(x)]2+log2x+4>m⋅f(x)对于∀x∈[1, 16]恒成立，求m的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年山东省青岛二中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.【答案】B,D【答案】A,C,D【答案】A,C【答案】A,B,C三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】2【答案】8【答案】{x|x＝2kπ+π6, k∈z}【答案】(−√6, 3),[−2, +∞)四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】A＝{x|x2−3ax+2a2>0, a>0}＝(−∞, a)∪(2a, +∞)，B＝{x|x2−x−6≥0}＝(−∞, −2]∪[3, +∞)，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴2a≥3．解得a≥32．【答案】A＝1+3−3×23×23+log53⋅log525log53=4−12+2＝−6．B=log2(4B−12)，∴2B＝(2B)2−12，化为：(2B−4)(2B+3)＝0，∴2B−4＝0，解得B＝2．【答案】青岛二中有羽毛球社、乒乓球社和篮球社，三个社团的人数分别为27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取6人参加活动．应从这三个社团中分别抽取的学生人数为：羽毛球社应该抽取：6×2727+9+18=3人，乒乓球社应抽取：6×927+9+18=1人，篮球社应抽取：6×1827+9+18=2人．①将抽取的6名学生进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6名学生中随机抽出2名参加体育测试．用所给的编号列出所有可能的结果有15个，分别为：{A1, A2}，{A1, A3}，{A1, A4}，{A1, A5}，{A1, A6}，{A2, A3}，{A2, A4}，{A2, A5}，{A2, A6}，{A3, A4}，{A3, A5}，{A3, A6}，{A4, A5}，{A4, A6}，{A5, A6}．②设事件A是“编号为A1，A2的两名学生至少有一人被抽到”，事件A包含的基本事件有9个，分别为：{A1, A2}，{A1, A3}，{A1, A4}，{A1, A5}，{A1, A6}，{A2, A3}，{A2, A4}，{A2, A5}，{A2, A6}，∴事件A发生的概率为P=915=35．【答案】∵sinα−cosα=2√105．两边平方可得1−2sinαcosα=85，∴sinαcosα=−310，∴sinαcosαsin2α+cos2α=tanα1+tan2α=−310，可得3tan2α+tanα+3＝0，解得tanα＝−3，或−13，∵α∈(π2,34π)，可得tanα<−1，可得tanα＝−3，∴ tan α+1tan α=−3−13=−103，cos (π2−α)−2cos (α+π)−sin (−α)+cos (2π−α)=sin α+2cos αsin α+cos α=tan α+2tan α+1=−3+2−3+1=12．【答案】由函数为奇函数可得：，即定义域关于原点对称，即−a −2+3b ＝0，可得：a ＝3b −2，①，由x ＝0在定义域内，又是奇函数，所以f(0)＝0， 所以可得：a ⋅20−1＝0，解得a ＝1， 将a ＝1代入①可得：b ＝1， 所以a ＝b ＝1；由（1）得：f(x)=2x −12x +1，若x ∈[−a −2, 3b]，即x ∈[−3, 3]， f(x)=2x −12x +1=2x +1−22x +1=1−22x +1在[−3, 3]单调递增，所以f(x)∈[−79, 79]， 设t ＝f(x)∈[−79, 79]所以方程[f(x)]2+f(x)−m ＝0有解可得m ＝t 2+t ＝(t +12)2−14，t ∈[−79,79]有解，令g(t)＝(t +12)2−14，t ∈[−79,79]，开口向上的抛物线，对称轴t =−12∈[−79,79]，函数g(t)先减后增，且79离对称轴较远，所以t =−12，g(t)最小且为：−14，t =79时，g(t)最大，且为(79)2+79=11281，综上所述m 的取值范围为：[−14, 11281]．【答案】∵ f(x)＝log 2x +1，∴ g(x)＝f(x 2)+[f(x)]2＝2log 2x +1+log 22x +2log 2x +1=log 22x +4log 2x +2， 由g(x)＝2得：log 22x +4log 2x ＝0， 解得：log 2x ＝0或log 2x ＝−4， ∴ x ＝1或x =116，∴ 方程g(x)＝2的解集为{116, 1}；∵ f(x)的定义域是[1, 16]，∴ 1≤x 2≤16，∴ 1≤x ≤4， ∴ 0≤log 2x ≤2，∴ f(x)＝log 2x +1∈[1, 3]，令t ＝f(x)＝log 2x +1，则t ∈[1, 3]，则ℎ(t)＝g(x)=log 22x +4log 2x +2＝(t −1)2+4(t −1)+2＝(t +1)2−2，t ∈[1, 3]． ∵ ℎ(t)＝(t +1)2−2的对称轴方程为t ＝−1， ∴ y ＝(t +1)2−2在区间[1, 3]上单调递增，∴ℎ(t)min＝ℎ(1)＝2，ℎ(t)max＝ℎ(3)＝7．即g(x)min＝2，g(x)max＝7．若不等式[f(x)]2+log2x+4>m⋅f(x)对于∀x∈[1, 16]恒成立，令t＝f(x)＝log2x+1，则t∈[1, 5]，则上式等价于t2+t+3>mt对于∀t∈[1, 5]恒成立⇔m<t+3t+1(1≤t≤5)恒成立，∵t+3t +1≥2√3+1，当且仅当t=3t，即t=√3时取“＝”，∴m<2√3+1．。

山东省青岛市城阳第二中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是A． B．C．D．参考答案：B2. 有关函数单调性的叙述中，正确的是（）A.y= 在定义域上为增函数B.y=在[0,＋∞）上为增函数；C.y=的减区间为[―1，＋∞）D.y=ax＋3在（―∞，＋∞）上必为增函数参考答案：C略3. 设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（] B．（）C．（] D．（）参考答案：D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】先作出函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可．【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣ +6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选D4. 已知集合A={x|x﹣1＞0}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．?参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，确定出A，求出集合B中函数的值域确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：x＞1，即A={x|x＞1}；由集合B中的函数y=2x＞0，得到B={y|y＞0}，则A∩B={x|x＞1}．故选A5. 已知则线段的垂直平分线的方程是（）参考答案：B6. 已知空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,1,3)关于z轴的对称点为A′，则A′点的坐标为（）A．(－1, －1, －3) B．(1, －1, －3) C.(－1,－1,3) D．(－1,1,3)参考答案：C∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z），∴点A(1,1,3)关于z轴的对称点的坐标为：(－1,－1,3)故选：C7. 某校检查学生作业时,抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查,运用的抽样方法是( )A、分层抽样B、抽签抽样C、随机抽样D、系统抽样参考答案：D8. 已知，，，，那么A. B.C. D.参考答案：D9. 412°角的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】象限角、轴线角．【分析】412°=360°+52°，写出结果即可．【解答】解：412°=360°+52°，∴412°与52°终边相同．故选：A 10. 已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；综合题．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量a=(2m+1, 3), b=(－1, 5), 若a与b的夹角为锐角, 则m的取值范围为.参考答案：a-n=1+(－2)略12. 计算=；参考答案：13. 若tanα，tanβ是方程x2﹣3x+4=0的两个根，则tan（α+β）= ．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求出tan α+tan β=，tan αtan β=4，代入两角和的正切得答案．【解答】解：∵tanα，tan β是方程x 2﹣3x+4=0的两个根，∴tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，∴tan（α+β）=．故答案为：．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系的应用，考查了两角和与差的正切，是基础题．14. 已知数列是等差数列，且，，则该数列的通项公式_________.参考答案：15. （5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，P （cos2，﹣sin2）为圆上一点，则劣弧的弧长为 ．参考答案：2考点： 弧长公式． 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用弧长公式即可得出．解答： A （1，0），P （cos2，﹣sin2）为圆上一点．∴劣弧所对的圆心角为2．∴劣弧的弧长=2×1=2．故答案为：2．点评： 本题考查了弧长公式，属于基础题． 16. 如图，在三角形中，、分别是线段、上的点，四边形中，，，则线段的取值范围是___________．参考答案：∵，∴，,．在中，，，，∴，∴．设，，．在中，，即，∴．∵代入，解得．∵，解得．17. 已知函数，设，，则= .参考答案：，所以，所以，因为，所以，所以，故答案是.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

山东省青岛市胶州第二中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若log2 a＜0，＞1，则( ).A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0参考答案：D略2. =（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】根据诱导公式可知cos=cos（π+），进而求得答案．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣故选D．3. （5分）设x＞y＞1，0＜a＜1，则下列关系正确的是（）A．x﹣a＞y﹣a B．ax＜ay C．a x＜a y D．log a x＞log a y参考答案：C考点：指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点．专题：转化思想．分析：由y=a x（0＜a＜1）减函数，结合x＞y＞1，根据减函数的定义可得结论．解答：∵y=a x（0＜a＜1）减函数又∵x＞y＞1∴a x＜a y故选C点评：本题主要考查指数函数，幂函数和对数函数的图象和性质，主涉及了利用其单调性来比较数的大小，还考查了转化思想．4. 下列四组中的f(x)，g(x)，表示同一个函数的是( )．A．f(x)＝1，g(x)＝x0B．f(x)＝x－1，g(x)＝－1C．f(x)＝x2，g(x)＝()4D．f(x)＝x3，g(x)＝参考答案：D5. （5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：B考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由CC1∥BB1，得∠D1BB1是异面直线BD1与CC1所成的角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成的角的大小．解答：解：∵CC1∥BB1，∴∠D1BB1是异面直线BD1与CC1所成的角，∵AB=BC=，AA1=，∴B1D1==，∵BB1⊥B1D1，∴tan∠D1BB1===1，∴∠D1BB1=45°．∴异面直线BD1与CC1所成的角为45°．故选：B．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．6. 已知x3＜x，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣∞，0）参考答案：C【考点】指、对数不等式的解法．【分析】在同一坐标系中画出函数y=x3和y=的图象，结合图象即可得出不等式x3＜x的解集．【解答】解：在同一坐标系中画出函数y=x3和y=的图象，如图所示；根据函数的图象知，函数y=的图象在函数y=x3图象的上边部分对应x的取值范围是{x|x＜﹣1或0＜x＜1}；故不等式x3＜x的解集是{x|x＜﹣1或0＜x＜1}．故选：C．7. 两平行线3x﹣4y﹣2=0与3x﹣4y+8=0之间的距离为（）A．2 B．C．1 D．2参考答案：A【考点】两条平行直线间的距离．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】利用两条平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：两平行线3x﹣4y﹣2=0与3x﹣4y+8=0之间的距离==2．【点评】本题考查了两条平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. （5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是（）A． 2 B．C． 3 D．参考答案：A考点：棱台的结构特征．专题：计算题．分析：利用棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，通过构造直角三角形，利用勾股定理求出正四棱台的高．解答：设正四棱台的高为h，斜高为x，由题意可得 4??（3+6）x=32+62，∴x=．再由棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形、可得 h==2，故选A．点评：本题主要考查正四棱台的结构特征，利用了棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，通过构造直角三角形，利用勾股定理求出正四棱台的高，属于基础题．9. 已知f(x)=，则f(f(1))=（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C10. 下列函数与有相同图象的一个函数是（）A BC D参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=f（x）的图象如图（含曲线端点），记f（x）的定义域为A，值域为B，则A∩B=．参考答案：[﹣2，3]【考点】交集及其运算．【专题】数形结合；函数的性质及应用；集合．【分析】根据y=f（x）图象，确定出定义域与值域，即为A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由题意得：A=[﹣2，4]∪[5，8]，B=[﹣4，3]，则A∩B=[﹣2，3]，故答案为：[﹣2，3]【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．12. 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是____，中9环的概率是________．参考答案：0.9 0.3打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为＝0.9，其中3次中9环，故中9环的频率是＝0.3. 13. 已知幂函数y=f(x)的图象过点，则f(9)=。