2019-2020学年北京二中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，a∈A，则a的值可以为（）A．﹣2B．1C．0D．﹣12．（5分）已知命题p：∃x∈Q，x2﹣3＝0，则￢p为（）A．∃x∈Q，x2﹣3≠0B．∃x∉Q，x2﹣3＝0C．∀x∈Q，x2﹣3≠0D．∀x∉Q，x2﹣3＝03．（5分）函数y＝x2（﹣2≤x≤3）的值域为（）A．[4，9]B．[0，9]C．[0，4]D．[0，+∞）4．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝[m，+∞），若A⊆B，则实数m的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1] 5．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．2a＞a+b B．a+b＞b C．a2＞ab D．b2＞ab6．（5分）“x＞1”是“1x＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，T＝{x|x=ba，a，b∈A，a＞b}，则集合T中元素的个数为（）A．9B．10C．11D．128．（5分）若函数f（x）的定义域为D，对于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)x1−x2|≥1，称函数f（x）满足性质ψ，有下列四个函数①f（x）=1x，x∈（0，1）；②g（x）=√x；③h（x）＝x2（x≤﹣1）；④k（x）=11+x2其中满足性质ψ的所有函数的序号为（）A．①②③B．①③C．③④D．①②二、填空题（每题5分，共30分）9．（5分）已知a，b，c，d为互不相等的实数，若|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|a﹣d|＝．10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，则f（0）+f（1）＝．11．（5分）若函数f （x ）为一次函数，且f （x +1）＝f （x ）﹣2，f （x ）的零点为1，则函数f （x ）的解析式为 ．12．（5分）某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数．且当年产量为200时，总成本为15000．记该产品的平均成本为f （Q ）（平均成本=总成本年产量），则当Q ＝ ，f （Q ）取得最小值，这个最小值为 ．13．（5分）设a ，b 为互不相等的实数，若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 满足f （a ）＝f （b ），则f （2）＝ ．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝ ．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有 个不同的零点．三、解答题（共80分） 15．解下列关于x 的不等式： （1）x 2﹣2x ﹣8≤0； （2）x 2+4x +5＞0； （3）x 2≤ax ．16．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，B ＝{x |2x ≥a }， （Ⅰ）当a ＝0时，求A ∩B ；（Ⅱ）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）记集合C ＝A ∩B ，若C 中恰好有两个元素为整数，求实数a 的取值范围． 17．已知函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1（a ≠0）．（Ⅰ）比较f （1−√2）与f （1+√2）的大小，并说明理由； （Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）在[﹣1，2]上的最大值为4，求a 的值． 18．已知集合M ＝（﹣1，1），对于x ，y ∈M ，记φ（x ，y ）=x+y1+xy． （Ⅰ）求φ（0，12）的值；（Ⅱ）如果0＜x ＜1，求φ（x ，1﹣x ）的最小值； （Ⅲ）求证：∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ．19．已知函数f （x ）满足：函数y =f(x)x 在（0，3]上单调递增． （Ⅰ）比较3f （2）与2f （3）的大小，并说明理由；（Ⅱ）写出能说明“函数y ＝f （x ）在（0，3]单调递增”这一结论是错误的一个函数； （Ⅲ）若函数的解析式为f （x ）＝ax 3+（1﹣a ）x 2，求a 的取值范围．20．设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）为平面直角坐标系上的两点，其中x A ，y A ，x B ，y B 均为整数．|x B ﹣x A |+|y B ﹣y A |＝3，则称点B 为点A 的“相关点”．点P 1是坐标原点O 的“相关点”，点P 2是点P 1的“相关点”，点P 3是P 2的“相关点”，…，依此类推，点P 2019是点P 2018的“相关点”．注：点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2． （Ⅰ）直接写出点O 与点P 1间的距离所有可能值； （Ⅱ）求点O 与点P 3间的距离最大值； （Ⅲ）求点O 与点P 2019间的距离最小值．2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．【解答】解：x 2＞1，解得：x ＞1，或x ＜﹣1． 集合A ＝{x |x 2＞1}＝{x |x ＞1，或x ＜﹣1}，a ∈A ， 则a 的值可以为﹣2． 故选：A ．2．【解答】解：命题为特称命题， 则命题的否定为∀x ∈Q ，x 2﹣3≠0， 故选：C ．3．【解答】解：∵﹣2≤x ≤3，∴x ＝0时，y ＝x 2取最小值0；x ＝3时，y ＝x 2取最大值9， ∴y ＝x 2（﹣2≤x ≤3）的值域为[0，9]． 故选：B ．4．【解答】解：∵集合A ＝{1，2}，B ＝[m ，+∞），A ⊆B ， ∴m ≤1，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．5．【解答】解：由a ＜b ＜0，取a ＝﹣2，b ＝﹣1，可排除A ，B ，D ． 故选：C ．6．【解答】解：当“x ＞1”则“1x ＜1”成立，当x ＜0时，满足“1x＜1”但“x ＞1”不成立，故“x ＞1”是“1x＜1”的充分不必要条件，故选：A ．7．【解答】解：a ＝1不适合题意，舍去． a ＝2时，b ＝1，可得：ba=12．a ＝3时，b ＝1，2，可得：b a=13，23．a ＝4时，b ＝1，2，3，可得：b a=14，12，34．a ＝5时，b ＝1，2，3，4，可得：b a=15，25，35，45．a ＝6时，b ＝1，2，3，4，5，可得：b a=16，13，12，23，56．可得：T ＝{x |x =ba ，a ，b ∈A ，a ＞b }＝{12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56}．∴集合T 中元素的个数为11． 故选：C ．8．【解答】解：①|1x 1−1x 2x 1−x 2|=|1x 1x 2|≥1(x 1，x 2∈(0，1))，故①正确； ②|√x1−√x 2x 1−x 2|=x +x ，当x 1＞4，x 2＞4时，√x 1+√x 2＞4，√x +√x 14，故②不正确；③|x 12−x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2|，当x 1≤﹣1，x 2≤﹣1时，|x 1+x 2|≥2，故③正确；④|11+x 12−11+x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2(1+x 12)(1+x 22)|≤|x 11+x 12|+|x 21+x 22|， 因为|x 1+1x 1|≥2，所以|x 11+x 12|≤12，同理|x 21+x 22|≤12，所以|x 11+x 12|+|x 21+x 22|≤1，故④不正确， 故选：B ．二、填空题（每题5分，共30分）9．【解答】解：∵|a ﹣c |＝|b ﹣c |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴a ﹣c +b ﹣c ＝0即a +b ﹣2c ＝0．①∵|b ﹣c |＝|d ﹣b |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴b ﹣c ＝d ﹣b 即2b ﹣c ﹣d ＝0．②①②相加可得：a +3b ﹣3c ﹣d ＝0．即a ﹣d ＝3（c ﹣b ）， 又因为|a ﹣c |＝|b ﹣c |＝|d ﹣b |＝1， 则|a ﹣d |＝3|b ﹣c |＝3． 故答案为：3．10．【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣4x +1， 则f （0）＝0，f （1）＝1﹣4+1＝﹣2， 则f （0）+f （1）＝0﹣2＝﹣2，故答案为：﹣211．【解答】解：设f （x ）＝kx +b ，k ≠0， ∵f （x +1）＝f （x ）﹣2， ∴k （x +1）+b ＝kx +b ﹣2， 即k ＝﹣2，∵f （x ）＝﹣2x +b 的零点为1，即f （1）＝b ﹣2＝0， ∴b ＝2，f （x ）＝﹣2x +2 故答案为：f （x ）＝﹣2x +2．12．【解答】解：某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数，且当年产量为200时，总成本为15000． 可得15000＝40000a +3000，解得a =310， 所以C =310Q 2+3000， 该产品的平均成本为f （Q ）=3Q10+3000Q ≥2√3Q 10×3000Q=60．当且仅当3Q 10=3000Q，即Q ＝100时，f （Q ）取得最小值，最小值为60．故答案为：100；60．13．【解答】解：二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 的对称轴x =−a2， 又f （a ）＝f （b ）， ∴a +b ＝2•（a2），∴b ＝﹣2a∴f （2）＝4+2a +b ＝4， 故答案为：4．14．【解答】解：（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k＝4或k＝0．（2）∵g（x）={2x+1，x≤0x3+2x−16，x＞0，当x≤0时，2x+1＝0，得x=−1 2；此时f（x）=−12，由图可知有一个解；当x＞0时，g（x）＝x3+2x﹣16单调递增，∵g（2）＝﹣4，g（3）＝17，∴g（x）在（2，3）有一个零点x0，即f（x）＝x0∈（2，3）由图可知有三个解，∴共有四个解．故答案为4或0；4．三、解答题（共80分）15．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣8≤0，得（x﹣4）（x+2）≤0，所以﹣2≤x≤4，所以不等式的解集为{x|﹣2≤x≤4}；（2）因为x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，所以不等式x2+4x+5＞0的解集为R；（3）由x2≤ax，得x2﹣ax＝x（x﹣a）≤0，所以当a＝0时，x＝0；当a＞0时，0≤x≤a；当a＜0时，a≤x≤0，所以当a＝0时，不等式的解集为{0}；当a＞0时，不等式的解集为{x|0≤x≤a}；当a＜0时，不等式的解集为{x|a≤x≤0}．16．【解答】解：（Ⅰ）a＝0时，B＝{x|x≥0}，且A＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A ∩B ＝[0，1]； （Ⅱ）∵A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，且B ={x|x ≥a2}， ∴a2≤−1，∴a ≤﹣2，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （Ⅲ）∵A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴−1＜a 2≤0，解得﹣2＜a ≤0， ∴实数a 的取值范围为（﹣2，0]．17．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ， 则f （1−√2）＝1+a ，f （1+√2）＝1+a ， 故f （1−√2）＝f （1+√2）；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有{a ＞04a 2＜4a，解可得：0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）；（Ⅲ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，其对称轴为x ＝1， 分2种情况讨论：①，a ＞0时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，在[1，2]上递增，其最大值为f （﹣1）＝1+3a ， 则有1+3a ＝4， 解可得：a ＝1，②，a ＜0时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，其最大值为f （1）＝1﹣a ， 则1﹣a ＝4，解可得a ＝﹣3； 综合可得：a ＝1或﹣3．18．【解答】解：（1）φ(0，12)=0+121+0×12=12；（II ）φ(x ，1−x)=x+(1−x)1+x(1−x)=1−x 2+x+1，由于x ∈（0，1）时，−x 2+x +1∈(1，54]，所以φ(x ，1−x)∈[45，1)，即最小值为45；（III ）证明：因为x ，y ∈（﹣1，1），所以（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，xy ﹣x ﹣y +1＞0，xy +1＞x +y ，又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＜1；同理：（x +1）（y +1）＞0，xy +x +y +1＞0，xy +1＞﹣（x +y ），又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＞−1，综上，x+y1+xy∈M ．即有∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ． 19．【解答】解：（I ）3f （2）＜2f （3）， ∵y =f(x)x 在（0，3]上单调递增， ∴f(2)2＜f(3)3，∴3f （2）＜2f （3）；（II ）f （x ）＝﹣1或﹣x 2﹣9（III ）方法一：∵y =f(x)x =ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增， ∴y ′＝2ax +（1﹣a ）≥0在（0，3]上恒成立， 2ax ≥a ﹣1，当a ＞0时，因为x ≥a−12a 在（0，3]上单调递增， 所以0≥a−1a，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，x ≤a−12a在（0，3]上单调递增， 所以3≤a−12a ，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上：a ∈[−15，1]．方法二：当a ＞0时，对称轴x =a−1a ≤0时符合题意，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，对称轴x =a−12a ≤3时符合题意，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上，a ∈[−15，1]．20．【解答】解：（Ⅰ）点O 与点P 1间的距离所有可能值：3或√5；（Ⅱ）因为点O （0，0），所以由第一问可知，当点P 1（3，0），点P 2（6，0），点P 3（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大， ∴点O 与点P 3间的距离最大值为9．（Ⅲ）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N *）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O与点P2016间的距离最小值为0，此时点P2016又回到最初位置，坐标为（0，0），然后经过三次变换：P2016（0，0）﹣﹣P2017（2，1）﹣﹣P2018（1，3）﹣﹣P2019（0，1），所以点O与点P2019间的距离最小值为1．。

2019-2020年高一上学期期中联考试卷 数学 含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．） 1．已知{|4A x =-≤4},{0,2,4,6}x B ≤=，则A B = ▲ . 2．函数1()1f x x =-的定义域为 ▲ . 3．函数2()2,[1,3]f x x x x =-+∈-的值域为 ▲ ．4．已知幂函数()=(f x x αα为常数）的图象过点(2,8)，则(3)f = ▲ .5．若函数2()(1)3f x kx k x =+++是偶函数，则该函数的递减区间是 ▲ .6．已知3log 2a =，那么将33log 82log 6-用a 表示的结果是 ▲ .7．如果函数()321f x ax a =-+在区间(1,1)-上存在一个零点，则a 的取值范围是 ▲ ．8．已知函数21()2()xf x x R +=∈，且对于任意的x 恒有0()()f x f x ≥，则0x = ▲ . 9．若x A ∈，则1A x∈，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2，3的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数为 ▲ ．10．函数3()+2f x x x x =+在[-2013,2013]上的最大值与最小值之和为 ▲ ． 11．若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为 ▲ . 12．如果如果()()()f a b f a f b +=，且(1)2f =，则(2)(4)(6)(1)(3)(5)f f f f f f ++＋…＋(2014)(2013)f f = ▲ ． 13．已知{01}A x x =≤<，{13}B x x =≤≤，函数3()()93()22x x A f x x x B ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若t A ∈时(())f f t A ∈成立，则实数t 的取值范围为 ▲ .14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x =2[1,]x t t ∈-，使不等式(2)2()f x t f x +≥成立，则实数t 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．将每题解答过程写在答题卡相应的区域内．）15．（本大题满分14分）已知函数2()21,()21f x x g x x x =+=-+（Ⅰ）设集合{|()7}A x f x ==，集合{|()4}B x g x ==，求A B ；（Ⅱ）设集合{|()}C x f x a =≤，集合{|()4}D x g x =≤，若D C ⊆，求a 的取值范围.16．（本大题满分14分）（Ⅰ） 化简：23114333423ab a b -÷；（Ⅱ） 已知()2lg 2lg lg x y x y -=+，求2log x y 的值．17．（本大题满分14分）已知二次函数)(x f 满足1)1(,3)3()1(-===-f f f ．（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若)(x f 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值)1(+a f ，求a 的取值范围．18．（本大题满分16分） 已知函数2()151x f x =-+. （Ⅰ）证明：()f x 是R 上的增函数；（Ⅱ）当[1,2)x ∈-时，求函数()f x 的值域.19．（本小题满分16分）因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放(14≤≤a a ,且)∈a R 个单位的药剂,它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅,其中161(04)8()15(410)2x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩.若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a 个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a 的最小值(精确到0.1,参考数据1.4).20．（本大题满分16分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内具有单调性；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么称)(x f y =(D x ∈)为闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]； （Ⅱ）判断函数31()(0)4f x x x x =+>是否为闭函数？并说明理由； （Ⅲ）若函数2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．命题人: 张晓伟 审核人: 杨洋 2014年11月宿迁市五校2014-2015学年度上学期期中联考高一数学参考答案二、解答题16、解（Ⅰ）原式6ab =-……………………………………………………………6分 （Ⅱ）()2lg 2lg lg x y x y -=+可转化为20020(2)x y x y x y xy>⎧⎪>⎪⎨->⎪⎪-=⎩，解之得：4x y =……………………………………10分 4x y∴= 22log log 42x y ∴==……………………………………………………14分 17、解（Ⅰ）设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，则(1)3(3)933(1)1f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩……………………………………………………2分 解之得：1,2,0a b c ==-=……………………………………………………………4分 2()2f x x x ∴=-………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）根据题意：111(1)11(1)a a a a -≤≤+⎧⎨+-≥--⎩………………………………………………………10分解之得：12a ≤≤[1,2]a ∴的取值范围为………………………………………………………14分（Ⅱ）212(1),(2)313f f -=-= ……………………………………………………12分 由（Ⅰ）（Ⅱ）可知： 212()[,)313f x -的值域为 ……………………………………………………16分 19、解：（Ⅰ）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩………………………………2分则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得0x ≥,所以此时04x ≤≤…………… 4分 当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤…………………6分 综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…… 8分（Ⅱ）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---………………………10分 =161014a x a x-+--=16(14)414a x a x -+---, 14[4,8]t x =-∈设,则164a y t a t =+--，而14a ≤≤,所以[4,8],用定义证明出：t t ∈∈单调递减，单调递增故当且仅当t =,y有最小值为4a - …………………………14分令44a -≥,解得244a -≤≤,所以a的最小值为24 1.6-≈……………………………………………16分（3）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f 的值域为[b a ,]，即a k b k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，b a ,∴为方程2++=x k x 的两个实根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不等的实根。

北京市第二中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题一、选择题1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（ ）．A ．{}1,3B ．{}3,9C ．{}3,5,9D ．{}3,7,92．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩≤，则[](2)f f =（ ）．A ．5B ．1-C ．7-D ． 23．为了得到函数133xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度4．若对于任意实数x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(],1-∞-上是增函数，则（ ）．A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．下列函数为奇函数，且在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）．A ．2()f x x =B ． 1()f x x -=C ．12()f x x =D ．3()f x x =6．设20.3a =，0.32b =，0.3log 4c =，则（ ）．A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x A ．(1),-∞B ．(3,)+∞C ．(1,2)D ．(2,3)8．有以下四个命题，（1）奇函数()f x 的图像一定过原点；（2）函数()f x 满足对任意的实数x ，都有(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点(1,0)对称； （3）[]643log log (log 81)1=；（4）函数23()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图像恒过定点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题9．已知幂函数()y f x =的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(8)f =__________．10．函数()f x =的定义域是__________．11．已知函数3()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）恒过定点P ，那么P 点坐标为__________． 12．已知函数()1af x x a x=++-是奇函数，则常数a =__________． 13．定义域为R 的函数()f x 对于任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x x f x f x +=，则()f x 的解析式可以是__________．（写出一个符合条件的函数即可）14．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间t（年）的函数图像（如图）以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是__________． 三、解答题 15．计算：（1）2103227161)-+-． （2）7log 2222632log 3log log 778-+-．16．已知函数()f x =A ，{}B x x a =<．（1）若全集{}4U x x =≤，求U C A ． （2）若A B ⊆，求a 的取值范围．17．已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x+=-． （1）求(5)f 的值．（2）用定义证明()f x 在(,0)-∞上是增函数． （3）当0x >时，求()f x 的解析式．18．已知函数22()log (4)f x x =-． （1）求函数()f x 的定义域． （2）求函数()f x 的最大值．19．设函数()(0)y f x x x =∈≠R 且，对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=． （1）求证：(1)(1)0f f =-=． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）已知()y f x =在(0,)+∞上为增函数，解不等式1()02f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．北京市第二中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =（ ）．A ．{}1,3B ．{}3,9C ．{}3,5,9D ．{}3,7,9【答案】B 【解析】2．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩≤，则[](2)f f =（ ）．A ．5B ．1-C ．7-D ． 2【答案】D 【解析】3．为了得到函数133x y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度【答案】D 【解析】4．若对于任意实数x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(],1-∞-上是增函数，则（ ）．A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】5．下列函数为奇函数，且在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）．A ．2()f x x =B ． 1()f x x -=C ．12()f x x =D ．3()f x x =【答案】B【解析】6．设20.3a =，0.32b =，0.3log 4c =，则（ ）．A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x A ．(1),-∞B ．(3,)+∞C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D 【解析】8．有以下四个命题，（1）奇函数()f x 的图像一定过原点；（2）函数()f x 满足对任意的实数x ，都有(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点(1,0)对称； （3）[]643log log (log 81)1=；（4）函数23()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图像恒过定点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C 【解析】二、填空题9．已知幂函数()y f x =的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(8)f =__________．【解析】10．函数()f x =的定义域是__________．【答案】2,13⎛⎤⎥⎝⎦【解析】11．已知函数3()1x f x a -=+（0a >，且1a ≠）恒过定点P ，那么P 点坐标为__________． 【答案】(3,2) 【解析】12．已知函数()1af x x a x=++-是奇函数，则常数a =__________． 【答案】1 【解析】13．定义域为R 的函数()f x 对于任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x x f x f x +=，则()f x 的解析式可以是__________．（写出一个符合条件的函数即可） 【答案】指数函数或值为1或0的常函数 【解析】14．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间t（年）的函数图像（如图）以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是__________． 【答案】②④【解析】三、解答题 15．计算：（1）2103227161)-+-． （2）7log 2222632log 3log log 778-+-． 【答案】（1）334（2）1【解析】16．已知函数()f x =A ，{}B x x a =<．（1）若全集{}4U x x =≤，求U C A ． （2）若A B ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）{}234U C A x x x =-<或≤≤ （2）3a >【解析】17．已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x+=-． （1）求(5)f 的值．（2）用定义证明()f x 在(,0)-∞上是增函数． （3）当0x >时，求()f x 的解析式．【答案】（1）2(5)3f =-（2）证明略 （3）0x >时，1()1xf x x-=+ 【解析】18．已知函数22()log (4)f x x =-． （1）求函数()f x 的定义域． （2）求函数()f x 的最大值． 【答案】（1）(2,2)- （2）当0x =时，()f x 的最大值是2【解析】19．设函数()(0)y f x x x =∈≠R 且，对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=．（1）求证：(1)(1)0f f =-=． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）已知()y f x =在(0,)+∞上为增函数，解不等式1()02f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．【答案】见解析【解析】（1）证略（2）证略（3x <<且0x ≠且12x ≠。

2019-2020学年北京二中高一（上）期中数学试卷（含答案解析）2019-2020学年北京二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|xA. ?B. {x|?1<x<1}< p="">C. {x|x<?1}D. {x|x<1}2.下列函数是奇函数的是()A. B.C. D. y=e x+e?x3.已知集合A={x|x2?5x+4<0,x∈Z}，B={m,2}，若A?B，则m=()A. 1B. 2C. 3D. 54.若函数g(x)=f(x)+x3是偶函数且f(?1)=2，则f(1)=()A. 0B. 1C. 2D. 35.已知集合A={0,1,2}，B={?1,2,0,5}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,2}C. {0,?1}D. {0}6.设全集U=R，集合A={x|?1<xA. {x|?1<x≤0}< p="">B. {x|1<x<2}< p="">C. {x|0<x<1}< p="">D. {x|0≤x<1}7.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(?∞,0]上是减函数，若f(a)>f(2)，则实数a的取值范围是()A. a≤2B. a2C. a≥?2D. ?2≤a≤28.定义：区间[a,b]，(a,b]，(a,b)，[a,b)的长度均为b?a，若不等式1x?1+2x?2≥m(m≠0)的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则()A. 当m>0时，l=√m2+2m+9mB. 当m>0时，l=3mC. 当m<0时，l=?√m2+2m+9mD. 当m<0时，l=?3m9.函数y=|a|x?1|a|(a≠0且a≠1)的图像可能是()A.B.D.10. 下列函数f (x )中，满足对任意x 1,x 2∈(0,+∞)，当x 1f (x 2)的是( )A. f (x )=1x B. f (x )=(x ?1)2 C. f (x )=e xD. f (x )=ln (x +1)11. 在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q(辆/小时)：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V(千米/小时)：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K(辆/千米)：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V 和K 满足一个线性关系，即V =v 0(1?Kk 0)(其中v 0，k 0是正数)，则以下说法正确的是( )A. 随着车流密度增大，车流速度增大B. 随着车流密度增大，交通流量增大C. 随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D. 随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小12. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f (1+x)=f (1?x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=?x +1，设函数g(x)=e ?|x?1|(?1<=""A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 已知函数g (x )=x 2?2x (x ∈[2,4])，则g (x )的最小值_______14. 已知函数f (x )={2x ,x ≤0?x 2+1?,x >0，若f (a )=12，则实数a 的值为___________．______ ．16. 若函数f(x)=x(2x+1)(x?a)为奇函数，则 a =_________．17. 函数f(x)=x 2+2x ?3,x ∈[1,3]的值域为_____________．18. 设x ∈R ，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f[f(x)?e x ]=e +1成立，则f(2)的值为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分）19.已知集合A={x|x2?2x?3<9?x2<6?2x}，求A∩B．20.已知函数f(x)=a?4x?a?2x+1+1?b,(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1(1)求a,b的值；(2)若使关于x的方程f(x)?k?4x=0在x∈[?1,1]上有解，求实数k 的取值范围．21.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(0,1)，对称轴为直线x=1．(1)若函数f(x)的值域为[0,+∞)，求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)+(1?a)x2+2x在区间[?3,1]上是单调函数，求实数a的取值范围；(3)若函数?(x)=f(x)，且函数?(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围．x22.已知集合A={a1,a2,a3,…,a k}(k≥2)，若对于任意的a∈A，总有?a?A，则称集合A具有性质P.由A中的元素构成一个相应的集合：T={(a,b)|a∈A，b∈A，a?b∈A}，其中(a,b)是有序实数对．检验集合{0,1，2，3}与{?1,2，3}是否具有性质P，并求出其中具有性质P的集合所对应的集合T．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了并集及其运算.利用并集的运算计算得结论．【解答】解：因为集合A={x|x<1}，所以A∪B={x|x<1}．故选D.2.答案：C解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，根据奇函数和偶函数的性质进行求解即可．【解答】解：易知选项A为非奇非偶函数，B，D为偶函数，故选C．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查集合的知识，解答本题的关键是知道真子集的计算方法．【解答】解：∵A={x|x2?5x+4<0,x∈Z}={x|1<x< p="">又∵B={m,2}，A?B，∴m=3，故选C．4.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．由函数g(x)=f(x)+x3是偶函数，则g(?1)=g(1)，又f(?1)=2，可得f(1)．【解答】解：∵g(?1)=f(?1)+(?1)3=f(?1)?1，g(1)=f(1)+13=f(1)+1由函数g(x)=f(x)+x3是偶函数且f(?1)=2，∴g(?1)=g(1)，即f(?1)?1=f(1)+1，∴f(1)=f(?1)?2=0，故选A．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了交集及其运算，元素与集合的关系的应用，解题的关键是熟练掌握交集及其运算，元素与集合的关系的计算，根据已知及交集及其运算，元素与集合的关系的计算，求出A∩B 的值．【解答】解：∵A={0,1,2}，B={?1,2,0,5}，∴A∩B=｛0，2｝．故选B．6.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的补集、交集运算．利用一元二次不等式的解法化简集合B，利用补集的定义求出C U B，由交集的定义可得结果．【解答】解：因为B={x|x(x?2)<0}={x|0<x<2}，< p="">所以C U B={x|x≤0或x≥2}，结合集合A={x|?1<x<1}，< p="">所以可得A∩(C U B)={x|?1<x≤0}，故选a．< p="">7.答案：B解析：【分析】本题考查函数奇偶性以及单调性，属于简单题，由题意得|a|>2，即可求得结果【解答】解：∵y=f(x)是R上的偶函数，且在(?∞,0]上是减函数∴y=f(x)在[0,+∞)是增函数∵f(a)>f(2)，∴|a|>2∴a2故选B8.答案：B解析：【分析】本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．当m>0时，∵1x?1+2x?2≥m?mx2?(3+3m)x+2m+4(x?1)(x?2)≤0，令f(x)=mx2?(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，根据韦达定理以及f(1)，f(2)的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得，同理可判断m<0的情况．< p="">【解答】解：当m>0时，∵1x?1+2x?2≥m?mx2?(3+3m)x+2m+4(x?1)(x?2)≤0，令f(x)=mx2?(3+3m)x+2m+4=0的两根为x1，x2，且x1<x2，< p="">则m(x?x1)(x?x2)(x?1)(x?2)≤0，且x1+x2=3+3mm=3+3m，∵f(1)=m?3?3m+2m+4=1>0，f(2)=4m?6?6m+2m+4=?2<0，且f(x)图象的对称轴为3+3m2m =32+32m>1，∴1<x1<2<x2，< p="">所以不等式的解集为(1,x1]∪(2，x2]，∴l=x1?1+x2?2=x1+x2?3=3+3m ?3=3m，当m<0时，结合穿针引线法可知l为无限大，故选：B．解析：【分析】本题考查指数函数图像，基础题;根据指数函数图象特点即可知选D．【解答】解：因为由题意|a|>0，且|a|≠1，只需考虑a>0，且a≠1的情况．函数y=a x?(a>0,a≠1)的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a>1时，函数y=a x?在R上是增函数，且图象过点(?1,0)，故排除A，B，当1>a>0时，函数y=a x?在R上是减函数，且图象过点(?1,0)，故排除C．故选D．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．【解答】解：“对任意x1,x2∈(0,+∞)，当x1f(x2)”说明函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，只有f(x)=1符合题意．x故选A．11.答案：D)(其中v0，k0是正数)，则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量解析：解：因为V=v0(1?K k先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属简单题．12.答案：B解析：本题主要考查了函数图象的性质及函数图象的作法，属中档题．由函数图象的性质得：f(x)的图象关于直线x=1对称且关于y轴对称，函数g(x)=e??|x?1|(?1<x< p="">函数图象的作法可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=1对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4，得解．【解答】解：由偶函数f(x)满足(1+x)=f(1?x)可得f(x)的图象关于直线x=1对称且关于y轴对称，函数g(x)=e??|x?1|(?1<x< p=""> 函数y=f(x)的图象与函数g(x)=e??|x?1|(?1<x<3)的图象的位置关系如图所示，< p="">可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=1对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为4．故选B．13.答案：0解析：【分析】本题主要考查二次函数在区间上的最值，考查学生计算能力，属于基础题．解题关键是利用二次函数性质，求出单调区间，即可计算最值．【解答】解：g(x)=x2?2x=(x?1)2?1，所以二次函数对称轴为x=1，开口向上；因为x∈[2,4]，所以g(x)在[2,4]单调递增，所以g(x)的最小值g(2)=0；故答案为0．14.答案：?1或√22解析：【分析】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．【解答】解：当a ≤0时，f(a)=12，即2a =12，解得a =?1，当a >0时，f(a)=12，即?a 2+1=12，解得a =√22，故答案为?1或√22．15.答案：lg6+12解析：【分析】利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：原式．故答案为：．16.答案：12解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题.根据函数的奇偶性的定义进行解答即可；【解答】解：函数f(x)的定义域为{x |x ≠?12且x ≠a}．又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a =12．17.答案：[0,12]解析：【分析】本题考查函数的最值，解题的关键是配方，确定函数的单调性，属于中档题．配方可得，f(x)=x2+2x?3=(x+1)2?4，函数的对称轴为直线x=?1，确定函数在[1,3]单调递增，从而可求函数值域．【解答】解：f(x)=x2+2x?3=(x+1)2?4的对称轴方程为x=?1，则在[1,3]为增函数，且f(1)=0,f(3)=12，所以函数f(x)=x2+2x?3,x∈[1,3]的值域为[0,12]，故答案为[0,12]．18.答案：e2+1解析：【分析】本题考查函数的解析式的求法，函数的单调性，属于中档题．利用已知条件求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：设t=f(x)?e x，则f(x)=e x+t，则条件f[f(x)?e x]=e+1等价为f(t)=e+1，令x=t，则f(t)=e t+t=e+1，∵函数f(x)为单调递增函数，则t=1是e t+t=e+1的唯一解，代入f(x)=e x+t，得f(x)=e x+1，即f(2)=e2+1．故答案为：e2+1．19.答案：解：∵x2?2x?3<?3(x?1)，解得?3<x<x<2}．由0<9?x2<6?2x，解得?3<x<?1}，< p="">∴A∩B=(?3,?1)．解析：解一元二次不等式，求得A和B，利用两个集合的交集的定义，求出A∩B．本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．20.答案：解：(1)设t=2x，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]；函数f(x)=a?4x?a?2x+1+1?b，(a>0)在区间[1,2]上有最大值9和最小值1即g(t)=at2?2at+1?b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)；g(t)=at2?2at+1?b开口向上，对称轴方程为t=1，则g(t)在[2,4]上单调递增；g(2)=4a?4a+1?b=1，g(4)=16a?8a+1?b=9；所以a=1，b=0；(2)方程f(x)?k?4x=0在x∈[?1,1]上有解；即4x?2x+1+1=k?4x在x∈[?1,1]上有解；∴k=14x ?22x+1在x∈[?1,1]上有解；设?(x)=14x ?22x+1，令12x=m∈[12,2]；所以y=m2?2m+1=(m?1)2，(m∈[12,2])；则0≤m2?2m+1≤1；所以?(x)∈[0,1]；故实数k的取值范围[0,1]；解析：(1)设t=2x，g(t)=at2?2at+1?b在t∈[2,4]时有最大值9和最小值1(a>0)，求二次函数在闭区间上的最值问题；(2)分离参数得k=14x ?22x+1在x∈[?1,1]上有解；即求函数?(x)=14x2x+1在[?1,1]上的值域；本题考查二次型函数的值域问题，考查换元思想，分离参数的思想，属于中档题．21.答案：解：(1)因为f(x)的图象经过点(0,1)，对称轴为直线x=1．所以c=1，?b2a=1，即b=?2a，所以f(x)=ax2?2ax+1，又f(x)的值域为[0,+∞)所以(?2a)2?4a=0，解得a=1或a=0(舍去)．所求函数f(x)的解析式为f(x)=x2?2x+1．(2)函数g(x)=f(x)+(1?a)x2+2x，由(1)得f(x)=ax2?2ax+1，所以g(x)=x2+2(1?a)x+1，因为函数g(x)在区间[?3,1]上是单调函数，所以a?1≥1或a?1≤?3，得a≥2或a≤?2，即所求实数a的取值范围为(?∞,?2]∪[2,+∞)．(3)由函数?(x)=f(x)x =ax2?2ax+1x=ax+1x2a，设1≤x1<x2≤2，< p="">(x1)??(x2)=ax1+1x1?(ax2+1x2)=(x1?x2)(a?1x1x2因为1≤x1<x2≤2，函数?(x)在区间[1,2]上是增函数，< p="">所以?(x1)??(x2)<0，所以a?1x1x2>0，即a>1x1x2对一切1≤x1<x2≤2恒成立，，< p="">所以a≥1，即所求实数a的取值范围为[1,+∞)．解析：本题考查二次函数及函数的单调性．(1)由已知得c=1，?b2a=1，即b=?2a，然后利用值域为[0,+∞)，得Δ=0，求得a即可求解;(2)利用二次函数的对称轴与区间的关系即可求解;(3)利用单调性的定义即可求解．22.答案：解：对于集合{0,1，2，3}，0∈{0,1，2，3}，?0∈{0,1，2，3}，所以{0,1，2，3}不具有性质P.由题意知{?1,2，3}具有性质P．由?1，2，3可以组成六对有序实数对，分别是(?1,2)，(?1,3)，(2,3)，(2,?1)，(3,?1)，(3,2)．根据集合T的定义一一检验，可知(2,?1)，(2,3)是集合T中的元素，所以与{?1,2，3}对应的集合T 是{(2,?1)，(2,3)}．解析：【分析】利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合T的定义写出T．</x2≤2恒成立，，<></x2≤2，函数?(x)在区间[1,2]上是增函数，<></x2≤2，<></x<?1}，<></x<3)的图象的位置关系如图所示，<></x<></x<></x1<2<x2，<></x2，<></x2，根据韦达定理以及f(1)，f(2)的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得，同理可判断m<0的情况．<></x≤0}，故选a．<></x<1}，<></x<2}，<></x<></x<1}<></x<2}<></x≤0}<></x</x<1}<>。

2019北京二中教育集团高一（上）期中数学一、选择题（每小题6分，共60分）1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}2．若集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2+2}，则A∩B等于A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．[2，＋∞) D．φ3. 下列各组函数表示同一函数的是A. f(x)=√x2,g(x)=(√x)2B. f(x)=x+1,g(x)=x2−1x−1C. f(x)=x2,g(x)=(x+1)2D. f(t)=|t|,g(x)=√x24．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有A．②B．②③C．①②③D．①②③④5．已知函数y=√1−x2x2−3x−2的定义域为A．(−∞，1]B．(−∞，2]C．(−∞，−12)∩(−12，1]D．(−∞，−12)∪(−12，1]6. 函数f(x)=|x−2|x的单调递减区间是A．[1,2]B．[−1,0]C．(0,2]D．[2，+∞) 7．已知函数f(x)=4x2−mx+5在区间[−2，+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是A．f(1)≥25B．f(1)=25C．f(1)≤25D．f(1)>258.“不等式x2−x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是A. m>14B. m>0C. 0<m<1D. m>09．下列说法正确的个数有①若a>b,则1a <1b②若c>a>b>0，则ac−a >bc−b③若a<0,−1<b<0,则ab2>a④若m>0,b>a>0,则b+ma+m >ba⑤当x>0时，x2+1x2+1的最小值为1A．1 B．2 C．3 D．410．已知x>0，y>0，且2x +1y=1,若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是A．(−∞，−2]∪[4，+∞)B．(−∞，−4]∪[2，+∞)C．(−2,4)D．(−4,2)二、填空题（每小题6分，共36 分）11．“∀x>0,x2−2x+1≥0”的否定是_____________________．12．若函数f(x)满足f(3x+2)9x+8，则f(x)的解析式是____________________．13．设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(m−1)>f(2m−1)，则实数m的取值范围是_________________．14．已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为(−13,12)，则不等式cx2+2x+a<0的解集为________________．15．已知关于x的不等式ax2+ax+1>0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．16．设函数y=x2−2x,x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)=_____________．三、解答题（共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题14分）已知集合A={x|xx−1≥0,x∈R},B={x|x2−2ax+a2−1≤0}(1)若a=2，求AIB(2)若AUB=A，求实数a的取值范围18．（本小题 14分）若二次函数满足f(x+1)−f(x)=2x且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围．19. （本小题14分）已知函数f(x)=x−a在区间(1,+∞)上单调递增x−1(1)利用函数的单调性定义求出实数a的取值范围；(2)若对∀x1,x2∈[2,a+2]都有|f(x1)−f(x2)|≤1成立，求实数a的最大值.20. （本小题12分）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点P在矩形的边上沿A→B→C→D运动，与此同时动点M在CD边上由C 向D运动，速度是点P的四分之一，记∆APM的面积为y，点P经过的路程为x.(1)求y关于x函数关系式y=f(x);(2)画出函数y=f(x)的图象，并结合图象求出∆APM面积的最大值和相应的x的值.word下载地址。

2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）方程﹣x2﹣5x+6＝0的解集为（）A．{﹣6，1}B．{2，3}C．{﹣1，6}D．{﹣2，﹣3} 2．（5分）“x＞2”是“x2＞4”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣3x﹣1B．y=2x C．y＝x2﹣4x+5D．y＝|x﹣1|+24．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2，则f（−12）＝（）A．−14B．14C．−94D．945．（5分）设函数f（x）＝4x+1x−1（x＜0），则f（x）（）A．有最大值3B．有最小值3C．有最小值﹣5D．有最大值﹣56．（5分）若函数f（x）＝x+ax（a∈R）在区间（1，2）上恰有一个零点，则a的值可以是（）A．﹣2B．0C．﹣1D．37．（5分）已知函数f（x）={(a−3)x+5，x≤12ax，x＞1是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2]C．（0，3）D．（0，3]8．（5分）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有意义，且对于任意的x，y∈R，有|f（x）﹣f （y）|＜|x﹣y|并且函数f（x+1）的对称中心是（﹣1，0），若函数g（x）﹣f（x）＝x，则不等式g（2x﹣x2）+g（x﹣2）＜0的解集是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）D．（﹣1，2）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知x1，x2是方程x2+2x﹣5＝0的两根，则x12+2x1+x1x2的值为．10．（5分）已知方程ax 2+bx +1＝0的两个根分别为−14，3，则不等式ax 2+bx +1＞0的解集为 ．（结果用区间表示）11．（5分）命题“∀x ＞0，x 2+2x ﹣3＞0”的否定是 ．12．（5分）已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）＝x 3+x 2+2，则f （1）+g （1）的值等于 ．13．（5分）若函数f （x ）＝x 2﹣2x +1在区间[a ，a +2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为 ．14．（5分）已知函数f(x)={−x|x|+2x ，x ≥a ．x ，x ＜a ．（1）若a ＝0，则函数f （x ）的零点有 个；（2）若f （x ）≤f （1）对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题共5题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（10分）设集合A ＝{x 2，x ﹣1}，B ＝{x ﹣5，1﹣x ，9}． （1）若x ＝﹣3，求A ∩B ； （2）若A ∩B ＝{9}，求A ∪B ． 16．（10分）已知函数f(x)=ax −2x．（1）求定义域，并判断函数f （x ）的奇偶性；（2）若f （1）+f （2）＝0，证明函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f （x ）在区间[1，4]上的最值．17．（10分）一元二次方程x 2﹣mx +m 2+m ﹣1＝0有两实根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围； （2）求x 1•x 2的最值；（3）如果|x 1−x 2|＞√5，求m 的取值范围．18．（10分）某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字型地域．现计划在正方形MNPQ 上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/平方米．（1）设总造价为S 元，AD 的边长为x 米，DQ 的边长为y 米，试建立S 关于x 的函数关系式；（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．19．（10分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，其中b，c∈R．（Ⅰ）当f（x）的图象关于直线x＝1对称时，b＝；（Ⅱ）如果f（x）在区间[﹣1，1]不是单调函数，证明：对任意x∈R，都有f（x）＞c﹣1；（Ⅲ）如果f（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵﹣x 2﹣5x +6＝0， ∴x 2+5x ﹣6＝0， ∴（x +6）（x ﹣1）＝0， ∴x ＝﹣6或1，方程﹣x 2﹣5x +6＝0的解集为{﹣6，1}． 故选：A ．2．【解答】解：由x 2＞4，解得x ＞2，或x ＜﹣2． ∴“x ＞2”是“x 2＞4”的充分不必要条件． 故选：B ．3．【解答】解：由一次函数的性质可知，y ＝﹣3x ﹣1在区间（1，+∞）上为减函数，故A 错误；由反比例函数的性质可知，y =2x在区间（1，+∞）上为减函数，由二次函数的性质可知，y ＝x 2﹣4x +5在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故C 错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y ＝|x ﹣1|+2在（1，+∞）上单调递增． 故选：D ．4．【解答】解：根据题意，f （x ）满足x ＞0时，f （x ）＝x 2，则f （12）＝（12）2=14，又由函数f （x ）为奇函数，则f （−12）＝﹣f （12）=−14；故选：A ．5．【解答】解：当x ＜0时，f （x ）＝4x +1x −1＝﹣[（﹣4x ）+1−x ]﹣1≤−2√(−4x)⋅1−x −1=−5． 当且仅当﹣4x =−1x ，即x =−12时上式取“＝”． ∴f （x ）有最大值为﹣5． 故选：D ．6．【解答】解：由f （x ）＝x +a x=0可得，a ＝﹣x 2，由函数f （x ）＝x +ax（a ∈R ）在区间（1，2）上恰有一个零点，可知a ＝﹣x 2在（1，2）只有一个零点，当x ∈（1，2）时，y ＝﹣x 2∈（﹣4，﹣1）， ∴﹣4＜a ＜﹣1，结合选项可知，A 符合题意． 故选：A ．7．【解答】解：因为f （x ）为R 上的减函数， 所以x ≤1时，f （x ）递减，即a ﹣3＜0①，x ＞1时，f （x ）递减，即a ＞0②，且（a ﹣3）×1+5≥2a ③， 联立①②③解得，0＜a ≤2． 故选：B ．8．【解答】解：由函数f （x +1）的对称中心是（﹣1，0），可得f （x ）的图象关于（0，0）对称即f （x ）为奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， ∵g （x ）﹣f （x ）＝x ， ∴g （x ）＝f （x ）+x ，∴g （﹣x ）＝f （﹣x ）﹣x ＝﹣f （x ）﹣x ＝﹣g （x ）， ∵对于任意的x ，y ∈R ，有|f （x ）﹣f （y ）|＜|x ﹣y |， ∴|g （x ）﹣g （y ）﹣（x ﹣y ）|＜|x ﹣y |， ∴|g(x)−g(y)−(x−y)||x−y|＜1，即|g(x)−g(y)x−y−1|＜1，∴0＜g(x)−g(y)x−y＜2，即g ′（x ）＞0， ∴g （x ）单调递增，∵g （2x ﹣x 2）+g （x ﹣2）＜0，∴g （2x ﹣x 2）＜﹣g （x ﹣2）＝g （2﹣x ）， ∴2x ﹣x 2＜2﹣x ， 整理可得，x 2﹣3x +2＞0， 解可得，x ＞2或x ＜1，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣5＝0的两根，则x12+2x1﹣5＝0，x1x2＝﹣5．∴x12+2x1+x1x2＝5﹣5＝0．故答案为：0．10．【解答】解：由已知方程ax2+bx+1＝0的两个根分别为−14，3，∴−14+3=−b a，（−14）×3=1a；解得：a=−43，b=113．∴不等式ax2+bx+1＞0对应的二次函数开口向下，且对应方程的根为：−14和3．∴所求不等式的解集为（−14，3）．故答案为：（−14，3）．11．【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x＞0，x2+2x﹣3＞0”的否定是为∃x0＞0，x02+2x0﹣3≤0，故答案为：∃x0＞0，x02+2x0﹣3≤0．12．【解答】解：f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），∵f（x）﹣g（x）＝x3+x2+2，∴f（﹣x）+g（﹣x）＝x3+x2+2，则f（1）+g（1）＝﹣1+1+2＝2．故答案为：213．【解答】解：因为函数f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，所以对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，0）．令x2﹣2x+1＝4得：x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3，所以a+2＝﹣1或a＝3，即：a＝﹣3或3．故答案为：{﹣3，3}14．【解答】解：（1）当a ＝0时，如图，由图可知，f （x ）有2个零点．（2）①当a ≥0时，f （x ）={−x 2+2x ，x ≥a x ，x ＜a，如图，A （1，0），当x ＝a 在A 点左侧时，总能满足f （x ）≤f （1），此时0＜a ≤1； 当x ＝a 在A 点右侧时，不满足，②当a ＜0时，f （x ）={x 2+2x ，x ≥a x ，x ＜a，如图，，此时，无论a取何值均不能满足f（x）≤f（1）．综上0＜a≤1．故答案为：2；0＜a≤1．三、解答题共5题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】解：（1）x＝﹣3时，A＝{9，﹣4}，B＝{﹣8，4，9}，∴A∩B＝{9}；（2）∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴x2＝9，或x﹣1＝9，解得x＝±3或10，x＝3时，不满足集合B中元素的互异性，∴x＝﹣3或10，由（1）知，x＝﹣3时，A∪B＝{﹣8，﹣4，4，9}，x＝10时，A＝{100，9}，B＝{5，﹣9，9}，∴A∪B＝{﹣9，5，9，100}．16．【解答】解：（1）由题意可得，x≠0，∵f（﹣x）＝﹣ax+2x=−f（x），∴f（x）为奇函数；（2）由f（1）+f（2）＝a﹣2+2a﹣1＝0，∴a＝1，f（x）＝x−2 x，设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+2x2−2x1=（x1﹣x2）（1+2x1x2），∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1+2x1x2＞0，∴（x1﹣x2）（1+2x1x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增，∴函数f（x）在区间[1，4]上的最大值f（4）=72，f（1）＝﹣1．17．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣mx+m2+m﹣1＝0有两实根x1，x2．∴△＝（﹣m）2﹣4（m2+m﹣1）≥0，从而解得：﹣2≤m≤2 3．（2）∵一元二次方程x2﹣mx+m2+m﹣1＝0有两实根x1，x2．∴由根与系数关系得：x1⋅x2=m2+m−1=(m+12)2−54，又由（1）得：﹣2≤m≤2 3，∴−54≤(m+12)2−54≤1，从而，x1•x2最小值为−54，最大值为1．（3）∵一元二次方程x2﹣mx+m2+m﹣1＝0有两实根x1，x2．∴由根与系数关系得：x1+x2=m，x1⋅x2=m2+m−1，∴|x1−x2|=√(x1−x2)2=√(x1+x2)2−4x1⋅x2=√m2−4(m2+m−1)＞√5，从而解得：−1＜m＜−1 3，又由（1）得：﹣2≤m≤2 3，∴m∈(−1，−13 )．18．【解答】解：（1）由题意，有AM=200−x24x，由AM＞0，有0＜x＜10√2；则S＝4200x2+210（200﹣x2）+80×2×(200−x24x)2；S＝4200x2+42000﹣210x2+400000−4000x2+10x4x2=4000x2+400000x2+38000；∴S关于x的函数关系式：S＝4000x2+4000002+38000，（0＜x＜10√2）；（2）S＝4000x2+400000x2+38000≥2√4000x2⋅400000x2+38000＝118000；当且仅当4000x 2=400000x 2时，即x =√10时，√10∈（0，10√2），S 有最小值； ∴当x =√10米时，S min ＝118000元．故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区． 19．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）＝x 2+bx +c 的对称轴为x =−b 2， 由f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 可得−b2=1，解得b ＝﹣2， 故答案为：﹣2．（Ⅱ）证明：由f （x ）在[﹣1，1]上不单调， 可得﹣1＜−b2＜1，即﹣2＜b ＜2，对任意的x ∈R ，f （x ）≥f （−b 2）=b 24−b 22+c ＝c −b 24，由﹣2＜b ＜2，可得f （x ）≥c −b24＞c ﹣1；（Ⅲ）f （x ）在区间（0，1）上有两个不同的零点， 设为r ，s ，（r ≠s ），r ，s ∈（，1）， 可设f （x ）＝（x ﹣r ）（x ﹣s ），由c 2+（1+b ）c ＝c （1+b +c ）＝f （0）f （1）＝rs （1﹣r ）（1﹣s ）， 且0＜rs （1﹣r ）（1﹣s ）＜[r+(1−r)2]2•[s+(1−s)2]2=116， 则c 2+（1+b ）c ∈（0，116）．。

北京二中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={1,2，3}，B={x|x2<9}，则A∩B=()A. {−2,−1,0,1，2，3}B. {−2,−1,0,1，2}C. {1,2,3}D. {1,2}2.以下四个命题：①∀x∈R，x2−3x+2>0恒成立；②∃x∈Q，x2=2；③∃x∈R，x2+1=0；④∀x∈R，4x2>2x−1+3x2，其中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 43.设等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1>0，公差d<0，a10⋅S21<0，则S n最大时，n的值为()A. 11B. 10C. 9D. 84.在如图所示的计算1+3+5+⋯+2013的值的程序框图中，判断框内应填入()A. i≤504B. i≤2009C. i<2013D. i≤2013]上的图象如图所示，则m、n的值可能是() 5.函数f(x)=ax m(1−2x)n(a>0)在区间[0,12A. m =1，n =1B. m =1，n =2C. m =2，n =3D. m =3，n =16. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,−π<φ<0)的最小正周期是π，将f(x)图象向左平移π3个单位长度后，所得的函数图象过点P(0,1)，则函数f(x)( )A. 在区间[−π6,π3]上单调递减 B. 在区间[−π6,π3]上单调递增 C. 在区间[−π3,π6]上单调递减D. 在区间[−π3,π6]上单调递增7. 已知函数f(x)={2x −2,x ≤1,2+log 2x,x >1,则函数f(x)的零点为( )A. 14和1B. −4和0C. 14D. 18. 已知函数f(x)=(13)x −x 2，若f(x 0)=m ，x 1∈(0,x 0)，x 2∈(x 0,+∞)，则( )A. f(x 1)<m ，f(x 2)<mB. f(x 1)<m ，f(x 2)>mC. f(x 1)>m ，f(x 2)<mD. f(x 1)>m ，f(x 2)>m二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 9. 函数f(x)=2x 2−3x e x的单调增区间为______．10. 已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是________． 11. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ≥0,x +y +1≤0,x −y +2≥0,则z =x +2y 的最大值是________．12. 已知某四棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是______，其全面积是______．13.已知a1=1，a2=−11+a1，a3=−11+a2，…，a n+1=−11+an，….那么a2017=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若a=2，且▵ABC的面积为√3，求▵ABC的周长．15.根据空气质量指数AQI(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：AQI(数值)0～5051～100101～150151～200201～300>300空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色某市2013年10月1日−10月30日，对空气质量指数AQI进行监测，获得数据后得到如图的条形图：(1)估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中度污染的概率；(2)在空气质量类别颜色为紫色和褐红色的数据中任取2个，求至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为褐红色的概率．16.已知数列{a n}各项均为正数，且a1=1，(1)设b n=1，求证：数列{b n}是等差数列；a n}的前n项和S n．(2)求数列{a nn+117.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(Ⅰ)求证：DE//平面A1CB；(Ⅱ)求证：A1F⊥BE．18.已知函数f(x)=2e x+m(x+1)，(m∈R)，e为自然对数的底数．(1)当m=1时，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率e=√32，且经过点(√3,12)，A，B，C，D为椭圆的四个顶点(如图)，直线l过右顶点A且垂直于x轴．(1)求该椭圆的标准方程；(2)P为l上一点(x轴上方)，直线PC，PD分别交椭圆于E，F两点，若S△PCD=2S△PEF，求点P 的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查集合的交集的运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．解：∵集合A={1,2，3}，B={x|x2<9}={x|−3<x<3],∴A∩B={1,2}．故选D．2.答案：A解析：本题主要考查命题真假的判定，逐题分析即可得解．解：∵Δ=(−3)2−4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2−3x+2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x=±√2时，x2=2，∴不存在x∈Q，使得x2=2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2+1≠0，∴③为假命题；④中，当x=1时，4x2=2x−1+3x2；则④为假命题．∴真命题的个数为0，故选A．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．=21a11.根据首项a1>0，公差d<0，a10⋅S21<0，可得a10>0，a11<0.根据其S21=21×(a1+a21)2单调性性质即可得出．=21a11．解：S21=21×(a1+a21)2∵首项a1>0，公差d<0，a10⋅S21<0，∴a10>0，a11<0．则S n最大时，n的值为10．故选B．4.答案：D解析：本题考查程序框图，属于基础题．解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S=0+1，i=3，第二圈：S=1+3，i=5，第三圈：S=1+3+5，i=7，…依此类推，第1007圈：1+3+5+⋯+2013，i=2015，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i≤2013，故选D．。

故：B
【点睛】本题考查了函数的概念、函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
3.若集合 中只有一个元素，则
A. B. C. 0D. 0或
【答案】D
【解析】
【分析】
分 与 两种情况讨论元素的个数可得答案．
【详解】解：集合 中只有一个元素，
当 时，可得 ，集合 只有一个元素为： ．
当 时：方程 只有一个解：即 ，
二．填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
11.已知命题 ：“ ”，则 ：_________．
【答案】
【解析】
【分析】
写出全称命题的否定形式即可.
【详解】由全称命题的否定是特称命题，
所以命题 ： 的否定形式为 ： .
故答案为：
12.函数 的定义域是__________，最小值是__________．
【解析】
分析】
（1）由 ，可知2是方程 和 的唯一公共解，进而可求出 ，解一元二次方程，可求出集合 ；
（2）由集合 ，可求出集合 ，进而分别求出 ，然后求出 即可.
【详解】（1）因为 ，所以2是方程 和 的唯一公共解，
则 ， ，解得 ，
所以 ，
.
（2）由 ， ，可得全集 ，
所以 ，则 .
20.已知集合 或 ，关于 的不等式 的解集为 .
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性得到 ，根据 在 上的单调性，结合 ，即可求解.
【详解】 函数 是定义在 上的偶函数， ，即 ，
， 在 上是增函数，
不等式 等价于 ，解得： ，
的解集为 .
故答案为： .
15.已知函数 ，若函数 与 轴有 个交点，则实数 的取值范围是_________．

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1}D ．{0，1，2}2．（5分）如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．﹣ab ＜﹣a 2D ．−1a ＜−1b3．（5分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A ．y =√x −1B ．y =1x−1C ．y =√x 2+1D ．y =√1x−14．（5分）已知f （x ）＝ax 3+bx ﹣4，若f （2）＝6，则f （﹣2）＝（ ） A ．﹣14B ．14C ．﹣6D ．105．（5分）设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）函数f(x)=x 2−1x−2在区间（1，3）内的零点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．（5分）已知命题“∃x ∈R ，2x 2+（a ﹣1）x +12≤0是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣3，+∞）D ．（﹣3，1）8．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，94]B ．（﹣∞，73]C ．（﹣∞，52]D ．（﹣∞，83]二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．（5分）已知x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4，则x 2﹣5xy +6y 2的值为 ．10．（5分）已知α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则α2﹣2αβ+β2＝ ． 11．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 12．（5分）已知函数f （x ）={x 2+1(x ≥0)−2x(x ＜0)，若f （x ）＝10，则x ＝ ．13．（5分）若二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解，求实数k ＝ ． 14．（5分）已知λ∈R ，函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ，当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．（10分）已知集合A ＝{x |﹣4+a ＜x ＜4+a }，B ＝{x |x+1x−5≥0}．（1）若a ＝1，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．16．（10分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时有f （x ）=4xx+4 （1）判断函数f （x ）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明； （2）求函数f （x ）的解析式（写成分段函数的形式）．17．（10分）已知关于x 的不等式（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2的解集为A ，且3∉A ． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求集合A ．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．（4分）函数y =√x +1+√3−x 的定义域是 ． 19．（4分）已知函数f （x ）=11+x 2，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14）＝ ．20．（4分）设x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5，则√xy的最小值为 ．21．（4分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．22．（4分）设函数f （x ）的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x ∈D ，都有f （x +m ）＞f （x ），则称f （x ）为D 上的“m 型增函数”．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0．（1）若方程有实数根，求实数k的取值范围；（2）如果k是满足（1）的最大整数，且方程x2﹣4x+2k＝0的根是一元二次方程x2﹣2mx+3m ﹣1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．24．（10分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x＝1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．25．（10分）对于区间[a，b]（a＜b），若函数y＝f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y＝f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．（1）求函数y＝x2的所有“保值”区间；（2）函数y＝x2+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．【解答】解：因为A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：A．2．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，可得1a =−121b=−1，∴1a＞1b，故A不正确．可得ab＝2，b2＝1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab＝﹣2，﹣a2＝﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．3．【解答】解：A．y=√x−1≥0，故A不符合；B.y=1x−1∈(−∞，0)∪(0，+∞)，故B不符合；C.y=√x2+1≥1，故C不符合；D.y=√1x−1的定义域为{x|x＞1}，当x＞1时，1x−1＞0，∴y=√1x−1＞0，故D符合．故选：D．4．【解答】解：∵f（x）＝ax3+bx﹣4∴f（x）+f（﹣x）＝ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×（﹣x）﹣4＝﹣8∴f（x）+f（﹣x）＝﹣8∵f（2）＝6∴f（﹣2）＝﹣14故选：A．5．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故选：A．6．【解答】解：f′（x）＝2x+1x2，当x∈（1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，3）上单调递增，又f（1）＝﹣2＜0，f（3）=203＞0，∴f（x）在（1，3）上有1个零点．故选：B．7．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+12＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×12＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．8．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[−14，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[−12，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x ∈（2，3]时，由4（x ﹣2）（x ﹣3）=−89解得x =73或x =83， 若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m ≤73． 故选：B ．二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．【解答】解：∵x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4， ∴x 2﹣5xy +6y 2＝（x ﹣2y ）（x ﹣3y ） ＝6×4＝24． 故答案为：24．10．【解答】解：∵α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根， ∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣7，则α2﹣2αβ+β2＝（α+β）2﹣4αβ＝（﹣2）2﹣4×（﹣7）＝32． 故答案为：32．11．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6+4x ≥4×2×√900x ⋅x =240（万元）． 当且仅当x ＝30时取等号． 故答案为：30．12．【解答】解：令x 2+1＝10， 解得，x ＝3或x ＝﹣3（舍去）； 令﹣2x ＝10，解得，x ＝﹣5； 故答案为：3或﹣5．13．【解答】解：由3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1得，两直线的交点坐标为（2，﹣1）， ∵二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解， ∴点（2，﹣1）在直线y ＝kx ﹣9上， ∴﹣1＝2k ﹣9，∴k ＝4． 故答案为：4．14．【解答】解：当λ＝2时函数f （x ）={x −4，x ≥2x 2−4x +3，x ＜2，显然x ≥2时，不等式x ﹣4＜0的解集：{x |2≤x ＜4}；x ＜2时，不等式f （x ）＜0化为：x 2﹣4x +3＜0，解得1＜x ＜2，综上，不等式的解集为：{x |1＜x ＜4}． 函数f （x ）恰有2个零点， 函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x |1＜x ＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．【解答】解：B ＝{x |x ≤﹣1或x ＞5}， （1）若a ＝1，则A ＝{x |﹣3＜x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x |﹣3＜x ≤﹣1}； （2）∵A ∪B ＝R ， ∴{−4+a ≤−14+a ＞5， ∴1＜a ≤3，∴实数a 的取值范围为（1，3]．16．【解答】解：（1）函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增．证明：设x 1＞x 2≥0，则f(x 1)−f(x 2)=4x 1x 1+4−4x2x 2+4，=16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16，又x 1＞x 2≥0，所以x 1﹣x 2＞0，x 1x 2≥0，x 1+x 2＞0， 所以16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16＞0．则f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），故函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增； （2）由于当x ≥0时有f(x)=4x x+4， 而当x ＜0时，﹣x ＞0，则f(−x)=−4x−x+4=4xx−4=f(x)， 即f(x)=4xx−4（x ＜0）． 则f(x)={4xx+4(x ≥0)4xx−4(x ＜0)． 17．【解答】解：（I ）∵3∉A ，∴当x ＝3时，有（ax ﹣1）（x ﹣2）≤2， 即3a ﹣1≤2； 解得a ≤1，即a 的取值范围是{a |a ≤1}；…（3分） （II ）（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2， ∴（ax ﹣1）（x ﹣2）﹣2＞0， ∴ax 2﹣（2a +1）x ＞0，…（4分） 当a ＝0时，集合A ＝{x |x ＜0}；…（5分）当a ＜−12时，集合A ={x|0＜x ＜2+1a }；…（6分） 当a =−12时，原不等式的解集A 为空集；…（7分） 当−12＜a ＜0时，集合A ={x|2+1a ＜x ＜0}；…（8分） 当0＜a ≤1时，集合A ={x|x ＜0或x ＞2+1a}．…（9分）四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．【解答】解：要使函数y =√x +1+√3−x 的解析式有意义， 自变量x 须满足：的解：要要{x +1≥03﹣x ≥0 即∴{x ＜−1x ≤3解得∴﹣1≤x ≤3∴y =√x +1+√3−x 定义域为[﹣1，3] 故答案为：[﹣1，3]19．【解答】解：∵f （x ）=11+x 2，∴f （1x ）=x 21+x 2，∴f （x ）+f （1x）=11+x 2+x 21+x 2=1， ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14） ＝f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （13）+f （4）+f （14）＝312，故答案为：312．20．【解答】解：x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5， 则√xy=√xy=√xy=2√xy +6xy； 由基本不等式有： 2√xy 6xy ≥2√2√xy ⋅6xy=4√3； 当且仅当2√xy =6xy 时，即：xy ＝3，x +2y ＝5时，即：{x =3y =1或{x =2y =32时；等号成立， 故(x+1)(2y+1)√xy的最小值为4√3；故答案为：4√321．【解答】解：①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元）， 即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得（m ﹣x ）×80%≥m ×70%， 即有x ≤m8恒成立， 由题意可得m ≥120， 可得x ≤1208=15， 则x 的最大值为15元． 故答案为：130，1522．【解答】解：∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝|x ﹣a |﹣a （a ∈R ），得f （x ）={|x −a|−a ，x ＞00，x =0−|x −a|+a ，x ＜0，f （x +20）＞f （x ），∵f （x ）为R 上的“20型增函数”， ∴f （x +20）＞f （x ），当x ≥0时，|20+x ﹣a |﹣a ＞|x ﹣a |﹣a ，式子|x +20﹣a |＞|x ﹣a |的几何意义为数轴上到点a 的距离小于到点a ﹣20的距离， 又x ＞0，∴a +a ﹣20＜0，解得a ＜10；当x ＜0＜x +20时，|x +20﹣a |﹣a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20﹣a |+|x +a |＞2a 恒成立， ∴根据几何意义得|2a ﹣20|＞2a ，即a ＜5；当x ＜x +20＜0时，﹣|x +20+a |+a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20+a |＜|x +a |恒成立， ∴﹣a ﹣a ﹣20＞0，即a ＜10． ∴实数a 的取值范围是a ＜5． 故答案为：（﹣∞，5）五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 23．【解答】解：（1）由题意△≥0， ∴16﹣8k ≥0， ∴k ≤2．（2）由题意k ＝2，方程x 2﹣4x +2k ＝0的根，x 1＝x 2＝2， ∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的一个根为2， ∴4﹣4m +3m ﹣1＝0， ∴m ＝3，方程为x 2﹣6x +8＝0， ∴x ＝2或4，∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的另一个根为4．24．【解答】（Ⅰ）解法一：因为f （x ）＝（x ﹣2）（x +a ）＝x 2+（a ﹣2）x ﹣2a ， 所以，f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2． 由2−a 2=1，得a ＝0．解法二：因为函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 所以必有f （0）＝f （2）成立， 所以﹣2a ＝0，得a ＝0．（Ⅱ）解：函数f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2．①当2−a 2≤0，即 a ≥2时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （0）＝﹣2a ．②当0＜2−a 2＜1，即 0＜a ＜2时， 因为f （x ）在区间(0，2−a 2)上单调递减，在区间(2−a 2，1)上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f(2−a 2)=−(2+a 2)2．③当2−a 2≥1，即 a ≤0时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递减，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （1）＝﹣（1+a ）．25．【解答】解：（1）因为函数y ＝x 2的值域是[0，+∞），且y ＝x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]， 所以[a ，b ]⊆[0，+∞），所以a ≥0，从而函数y ＝x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{a 2=a b 2=b.解得{a =0，或a =1b =0，或b =1.又a ＜b ，所以{a =0b =1.所以函数y ＝x 2的“保值”区间为[0，1]．…（3分） （2）若函数y ＝x 2+m （m ≠0）存在“保值”区间，则有：①若a ＜b ≤0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递减，所以 {a 2+m =b b 2+m =a.消去m 得a 2﹣b 2＝b ﹣a ，整理得（a ﹣b ）（a +b +1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b +1＝0，即 a ＝﹣b ﹣1．又{b ≤0−b −1＜b所以 −12＜b ≤0． 因为 m =−b 2+a =−b 2−b −1=−(b +12)2−34(−12＜b ≤0)，所以 −1≤m ＜−34．…（6分） ②若b ＞a ≥0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递增，所以 {a 2+m =a b 2+m =b.消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以 a +b ﹣1＝0，即 b ＝1﹣a ．又{a ≥0a ＜1−a所以 0≤a ＜12． 因为 m =−a 2+a =−(a −12)2+14(0≤a ＜12)，所以 0≤m ＜14．因为 m ≠0，所以 0＜m ＜14．…（9分）综合①、②得，函数y＝x2+m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是[−1，−34)∪(0，14)．…（10分）。

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知集合A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，那么A∩B＝（）A．{1，3，5，6，8}B．{6，8}C．{3，5}D．{1，6，8} 2．（3分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b23．（3分）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②y=√x；③y=−1x；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．（3分）如果幂函数f（x）＝x a的图象经过点（2，4），则f（x）在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值6．（3分）已知a＞0，那么a−2+4a的最小值是（）A．1B．2C．4D．5 7．（3分）下列函数中，与函数y＝x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=√x2B．y=x2x C．y=√x23D．y=(√x)28．（3分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 10．（3分）函数f(x)={x 2，x ≥tx ，0＜x ＜t （t ＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t 的取值范围是（ ） A ．1B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）11．（3分）若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有f （x ）+f （﹣x ）＝0； （2）对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数：①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝﹣x 3；③f(x)=x −1x ；④f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0．其中是“理想函数”的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．（3分）对于集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（ ）①如果P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，那么P ⊆M ； ②如果c ＝4n +2，n ∈Z ，那么c ∉M ； ③如果a 1∈M ，a 2∈M ，那么a 1a 2∈M ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0二、填空题13．（3分）已知函数f(x)={1，x ≥0−2x ，x ＜0，如果f （m ）＝4，那么实数m 的值为 ．14．（3分）已知二次函数f （x ）满足如表所给对应关系：x 1 2 4 f （x ）﹣1则不等式f （x ）＜0的解集为 ．15．（3分）命题“∀x ∈R ，|x |+1≥1”的否定是 ．16．（3分）函数y ＝f （x ）（x ≠0）是奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，函数y ＝f （x ）单调递增．若f （1）＝0，则f （﹣1）＝ ；不等式f （x ）＜0的解集为 ． 17．（3分）若“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ． 18．（3分）已知函数f(x)=4√mx −2mx+1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．19．（3分）设函数f （x ）＝x ﹣[x ]（x ≥0），其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[√3]=1，[2]＝2．若函数y ＝kx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是 ．20．（3分）已知函数f(x)={x +4x ，0＜x ＜4−x 2+10x −20，x ≥4，若有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的值为 ，若存在0＜x 1＜x 2＜x 3＜x 4，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 ． 三、解答题21．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3≤0}，B ={x|1x−1＞0}． （1）求（∁R B ）∪A ；（2）若集合C ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）＜0}（a ∈R ），且C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 22．函数f （x ）=ax+b 1+x 2是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （12）=25．（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）用定义证明f （x ）在（﹣1，1）上是增函数； （3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．23．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f （x ）={30，0＜x ≤302x +1800x −90，30＜x ＜100（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．24．设函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （f （x ））的定义域交集为D ，集合M 是由所有具有性质：“对任意的x ∈D ，都有f （f （x ））＝x ”的函数f （x ）组成的集合．（1）判断函数f （x ）＝2x ﹣1和g(x)=1x是不是集合M 中的元素？并说明理由． （2）设函数f （x ）∈M ，且f （x ）＝kx +b （k ≠0），试求函数f （x ）的解析式． （3）已知f(x)=axx+b ∈M ，试求实数a ，b 应满足的关系．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{3，5}．故选：C．2．【解答】解：∵a＞b，∴a+c＞b+c，∴A正确．故选：A．3．【解答】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①y＝﹣x2+1，为二次函数，在（0，+∞）上是减函数；对于②y=√x，在（0，+∞）上是增函数；对于③y=−1x，为反比例函数，在（0，+∞）上是增函数；对于④y＝|x|，当x＞0时，y＝x，即其在（0，+∞）上是增函数；故选：A．4．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）＝2，又由函数为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，故选：B．5．【解答】解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，4），∴f（2）＝2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（x）在定义域先递减再递增，有最小值，故选：C．6．【解答】解：根据题意，a−2+4a=a+4a−2，又由a＞0，则a−2+4a=a+4a−2≥2√a×4a−2＝2，当且仅当a＝2时等号成立，即a−2+4a的最小值是2；故选：B．7．【解答】解：判断与y＝x（x≥0）是否有相同图象，即是判断哪个函数与y＝x（x≥0）表示同一个函数，A.y=√x2=|x|，解析式不同，不是同一个函数；B.y=x2x的定义域为{x|x≠0}，而y＝x（x≥0）的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C.y=√x23=x23，解析式不同，不是同一个函数；D.y=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，定义域和解析式都相同，是同一个函数．故选：D．8．【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．9．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1 升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1 升，故行驶1 小时，路程为80km，燃油为8 升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；故选：D．10．【解答】解：∵y＝x2和y＝x在（0，+∞）上都是增函数，要想函数f(x)={x2，x≥tx，0＜x＜t（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，只需在端点处y＝x2的图象在y＝x的上方即可，∴t2≥t解得t≥1，故选：D．11．【解答】解：若f（x）是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则函数f （x ）是奇函数；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，即（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，∴x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2），即函数f （x ）是单调递减函数． 故f （x ）为定义域上的单调递减的奇函数．①f （x ）＝x 2在定义域R 是偶函数，所以不是“理想函数”；②f （x ）＝﹣x 3在定义域R 上是奇函数，且在R 上单调递减，所以是“理想函数”； ③f （x ）＝x −1x在定义域所在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上分别单调递增，所以不是“理想函数”；④f （x ）={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0，在定义域R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 故选：C ．12．【解答】解：集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }， 对于①，b ＝2n +1，n ∈Z ， 则恒有2n +1＝（n +1）2﹣n 2，∴2n +1∈M ，即P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，则P ⊆M ，①正确； 对于②，c ＝4n +2，n ∈Z ，若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2＝4n +2， ∴4n +2＝（x +y ）（x ﹣y ）， 又x +y 和x ﹣y 同奇或同偶，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除， ∴4n +2∉M ，即c ∉M ，②正确； 对于③，a 1∈M ，a 2∈M ，可设a 1＝x 12﹣y 12，a 2＝x 22﹣y 22，x i 、y i ∈Z ； 则a 1a 2＝（x 12﹣y 12）（x 22﹣y 22）＝（x 1x 2）2+（y 1y 2）2﹣（x 1y 2）2﹣（x 2y 1）2＝（x1x2+y1y2）2﹣（x1y2+x2y1）2∈M那么a1a2∈M，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选：C．二、填空题13．【解答】解：当m≥0时，∵函数在x≥0时，f（x）＝1，∴f（m）＝1≠4，不合题意舍去；当m≤0时，∵函数x＜0时，f（x）＝﹣2x，∴f（m）＝﹣2m＝4，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：设函数f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），由表中数据知1和4是方程f（x）＝0的两根，又f（2）＝﹣1＜0，故此二次函数是开口向上的抛物线，并且与X轴交于两点（1，0）和（4，0），∴不等式f（x）＜0的解集为1＜x＜4．故答案为：（1，4）．15．【解答】解：命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是全称命题，其否定为特称命题，∴命题“∀x∈R，|x|+1≥1”的否定是“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．故答案为：“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．16．【解答】解：根据题意，因为函数y＝f（x）（x≠0）是奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，即f（1）＝0；当x∈（0，+∞）时，函数y＝f（x）单调递增，且f（1）＝0，则在区间（0，1）上，f （x）＜0，在区间（1，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x）＜0，综合可得：不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．17．【解答】解：因x 2﹣2x ﹣3＞0得x ＜﹣1或x ＞3，又“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知“x ＜a ”可以推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”， 反之不成立． 则a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．18．【解答】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴不等式mx 2﹣2mx +1＞0的解集为R ， ①m ＝0时，1＞0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，{m ＞0△=4m 2−4m ＜0，解得0＜m ＜1，∴实数m 的取值范围是[0，1）． 故答案为：[0，1）．19．【解答】解：画出f （x ）的示意图如下：当y ＝kx 过（3，1）时，k =13，当y ＝kx 过（4，1）时，k =14， 所以k ∈（14，13），故答案为：（14，13）．20．【解答】解：不妨设x 1、x 2、x 3、x 4按从左到右顺序排列： 如下图：当y＝4或5时，有且仅有不相等的三个正数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则当y＝4时，x1＝2，x2＝4，x3＝6，此时x1+x2+x3＝12；当y＝5时，x1＝1，x2＝4，x3＝5，此时x1+x2+x3＝11．如图，，结合上问可知，当y∈（4，5）时，存在0＜x1＜x2＜x3＜x4，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），不妨令此时y＝a，则对于x1、x2满足方程x+4x=a，即x2﹣ax+4＝0，所以x1x2＝4；对于x3、x4满足方程﹣x2+10x﹣20＝a，即﹣x2+10x﹣20﹣a＝0，所以x3+x4＝10，则有x4＝10﹣x3，所以x 1x 2x 3x 4＝4x 3x 4＝4x 3（10﹣x 3）＝﹣4（x 3﹣5）2+100，其中x 3∈（4，5），则﹣4（x 3﹣5）2+100∈（96，100），故答案为：12或11；（96，100）．三、解答题21．【解答】解：（1）A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞1}，∴∁R B ＝{x |x ≤1}，（∁R B ）∪A ＝{x |x ≤3}；（2）C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，且C ⊆A ，∴{a ≥1a +1≤3，解得1≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围为[1，2]．22．【解答】解：（1）由题意得{f(0)=0f(12)=25， 由此可解得{a =1b =0， ∴f(x)=x 1+x 2． （2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，则有f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)， ∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，1﹣x 1x 2＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴f （x ）在（﹣1，1）上是增函数．（3）f （t ﹣1）+f （t ）＜0，∴f （t ﹣1）＜﹣f （t ），即f （t ﹣1）＜f （﹣t ），∵f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴﹣1＜t ﹣1＜﹣t ＜1，解之得0＜t ＜12．23．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时，f （x ）＝2x +1800x −90＞40， 即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40−x 10； 当30＜x ＜100时， g （x ）＝（2x +1800x −90）•x %+40（1﹣x %）=x 250−1310x +58；∴g （x ）={40−x 10x 250−1310x +58； 当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．24．【解答】解：（1）对任意x ∈R ，f （f （x ））＝2（2x ﹣1）﹣1＝4x ﹣3≠x ，所以f （x ）不是集合M 中的元素；g 对任意x ≠0，（g （x ））=11x =x ，所以g （x ）是集合M 中的函数；（2）因为函数f （x ）∈M ，所以f （f （x ））＝k （kx +b ）+b ＝k 2x +（k +1）b ＝x ， 所以k 2＝1，（k +1）b ＝0，解得k ＝1，b ＝0，或k ＝﹣1，b 取任何实数，则f （x ）＝x 或f （x ）＝﹣x +b ；（3）因为f(x)=ax x+b ∈M ，所以f （f （x ））=a⋅ax x+b ax x+b +b =x ，即（a +b ）x 2﹣（a 2﹣b 2）x ＝0恒成立，故a +b ＝0．。

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，2，3，4} B ．{0，4}C ．{1，2}D ．{3}2．（4分）已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为（ ） A ．a +bB ．a ﹣bC ．abD ．ab3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．f （x ）＝ln |x |B ．f （x ）＝2﹣xC ．f （x ）＝x 3D ．f （x ）＝﹣x 24．（4分）设函数D(x)={1，x ∈Q 0，x ∉Q，则f[f(−√2)]的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．不存在5．（4分）已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b6．（4分）设a 、b 是实数，则“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（4分）已知函数f （x ）=6x −log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）8．（4分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M ．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E 1和E 2，则E 1E 2的值所在的区间为（ ）A ．（1，2）B ．（5，6）C ．（7，8）D ．（15，16）二、填空题共10小题，每小题4分，共40分 9．（4分）函数f （x ）=√2x −4的定义域为 ．10．（4分）已知函数f(x)={2x ，x ＞1log 12x ，0＜x ≤1，则f(f(14))= ；若f （x ）＝1，则x＝ ．11．（4分）函数f(x)=x+2x−1（x＞1）的最小值是；取到最小值时，x＝．12．（4分）设a为常数，函数f（x）＝x2﹣6x+3，若f（x+a）为偶函数，则a＝．13．（4分）定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为．14．（4分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．15．（4分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（ⅰ）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅；（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为．16．（4分）对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f[f（x0）]＝x0，则称x0为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f[f（x）]＝x}，那么：（1）函数g（x）＝x2﹣2的“不动点”为；（2）集合A与集合B的关系是．17．（4分）若x、y∈R+，且1x+3y=4，则yx的最大值为．18．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2ax+a，其中a∈R①f（−12）＝②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．（13分）已知全集U＝R，集合P＝{x|x（x﹣2）≥0}，M＝{x|a＜x＜a+3}．（Ⅰ）求集合∁U P；（Ⅱ）若a＝1，求集合P∩M；（Ⅲ）若∁U P⊆M，求实数a的取值范围．20．（13分）解下列关于x的不等式（Ⅰ）（x﹣1）（x﹣2）＜0；（Ⅱ）|2x﹣1|＜3；（Ⅲ）x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＞0．21．（13分）已知函数f(x)=x+1 x+2．（Ⅰ）求f[f（1）]的值；（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范围；（Ⅲ）判断函数在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．22．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1，x∈[0，2]上．（Ⅰ）若a＝﹣1，则f（x）的最小值；（Ⅱ）若a=12，求f（x）的最大值；（Ⅲ）求f（x）的最小值．23．（13分）如果定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）＝1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．那么就称函数f（x）为“梦幻函数”．（Ⅰ）分别判断函数f（x）＝x与g（x）＝2x，x∈[0，1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；24．（13分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）＝ax2+bx+c 的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a＝1，b＝2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y＝x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数y=12x2+12的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．故选：C．2．【解答】解：∵In2＝a，In3＝b，又∵log32=ln2 ln3∴log32=a b故选：D．3．【解答】解：函数f（x）＝ln|x|是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意；函数f（x）＝2﹣x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f（x）＝x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）＝﹣x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，不满足题意；故选：A．4．【解答】解：∵函数D(x)={1，x∈Q 0，x∉Q，∴f（−√2）＝0，∴f[f(−√2)]=f（0）＝1．故选：B．5．【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2=log1215=log2−15−1=log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52=1log25，c＝0.50.2=(12)15=√125=1√25．而log25＞log24＝2＞√25，∴1log 25√25．∴a ＜c ， ∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．6．【解答】解：若a ＞b ＞0，则a 2＞b 2成立，若a ＝﹣2，b ＝1，满足a 2＞b 2，但a ＞b ＞0不成立， 故“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件， 故选：C ．7．【解答】解：∵f （x ）=6x−log 2x ， ∴f （2）＝2＞0，f （4）=−12＜0， 满足f （2）f （4）＜0，∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C ．8．【解答】解：lgE ＝4.8+1.5M ，∴lgE 1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE 2＝4.8+1.5×7.5＝16.05， ∴E 1＝1016.8，E 2＝1016.05， ∴E 1E 2=100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×√3＞5， ∴E 1E 2的值所在的区间为（5，6），故选：B ．二、填空题共10小题，每小题4分，共40分 9．【解答】解：由题意得：2x ﹣4≥0，解得：x ≥2， 故函数的定义域是[2，+∞）， 故答案为：[2，+∞）．10．【解答】解：函数f(x)={2x ，x ＞1log 12x ，0＜x ≤1，则f(f(14))=f （log 1214）＝f （2）＝22＝4，若f （x ）＝1，若x ＞1，可得2x ＝1，解得x ＝0（舍去）； 若0＜x ≤1，可得log 12x ＝1，解得x =12，综上可得x =12． 故答案为：4，12．11．【解答】解：∵x ＞1， ∴x ﹣1＞0，由基本不等式可得y ＝x +2x−1=x ﹣1+2x−1+1≥2√(x −1)⋅2x−1+1＝2√2+1， 当且仅当x ﹣1=2x−1即x ＝1+√2时，函数取得最小值2√2+1． 故答案为：2√2+1；1+√2．12．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣6x +3＝（x ﹣3）2﹣6，为二次函数且其对称轴为x ＝3，f （x +a ）＝（x +a ﹣3）2﹣6，为偶函数，必有a ＝3； 故答案为：313．【解答】解：∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （﹣3）＝0，得﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，由f （﹣0）＝﹣f （0），得f （0）＝0， 作出f （x ）的草图，如图所示：∴f （x ）＞0的解集为：（﹣3，0）∪（3，+∞）， 故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．14．【解答】解：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题， 则若a ＞b ＞c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣315．【解答】解：∵（ⅰ）A ∪B ＝{1，2，3，4}，A ∩B ＝∅；（ⅱ）集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素． 则A ，B 不能为空集，且A ，B 不能均为二元集合， 若A 含一个元素，则该元素只能是3，即A ＝{1} 若A 含三个元素，则元素不能有3，即A ＝{1，2，4} 故答案为：{3}或{1，2，4}（答对一个给3分）16．【解答】解：（1）∵若f （x 0）＝x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”，即即A ＝{x |f （x ）＝x }，设函数g （x ）＝x 2﹣2的“不动点”为x 0，x 02﹣2＝x 0，求得x 0＝2，或x 0＝﹣1，故A ＝{2，﹣1}．故答案为：x 0＝2，或x 0＝﹣1．（2）∵满足f [f （x 0）]＝x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”，即B ＝{x |f [f （x ）]＝x }． ∵函数g （x ）＝x 2﹣2，∴函数g [g （x ）]＝g 2（x ）﹣2＝[x 2﹣2]2﹣2＝x 4﹣4x 2+2， 由g [g （x ）]＝x 2，可得 x 4﹣4x 2+2＝x ，求得x ＝2，故B ＝{2}， ∴B ⫋A ， 故答案为：B ⫋A ．17．【解答】解：∵x 、y ∈R +，且1x+3y =4，∴y =43−13x ， ∵x ＞0，y =43−13x＞0， ∴0＜1x ＜4， 则yx =43x−13x 2=−13(1x)2+43⋅1x，结合二次函数的性质可知，当1x=2即x =12时，y x取得最大值43．故答案为：4318．【解答】解：①f （−12）＝﹣f （12）＝﹣[（12）2﹣a +a ]=−14；②因为f （x ）是R 上的奇函数，且值域为R ，所以x ＞0时，△＝（﹣2a ）2﹣4a ≥0，解得：a ≤0或a ≥1；故答案为：①−14；②（﹣∞，0]∪[1，+∞）三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U ＝R ，集合P ＝{x |x （x ﹣2）≥0}＝{x |x ≤0或x ≥2}， ∴集合∁U P ＝{x |0＜x ＜2}．（Ⅱ）a ＝1时，M ＝{x |a ＜x ＜a +3}＝{x |1＜x ＜4}． ∴集合P ∩M ＝{x |2≤x ＜4}．（Ⅲ）∵集合∁U P ＝{x |0＜x ＜2}，M ＝{x |a ＜x ＜a +3}， ∁U P ⊆M ，∴{a ≤0a +3≥2，解得﹣1≤a ≤0． ∴实数a 的取值范围是[﹣1，0]．20．【解答】解：（Ⅰ）由（x ﹣1）（x ﹣2）＜0，可得1＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |1＜x ＜2}．（Ⅱ）由|2x ﹣1|＜3，可得﹣3＜2x ﹣1＜3，求得﹣1＜x ＜2， 故原不等式的解集为（﹣1，2）．（Ⅲ）由x 2﹣（3a +1）x +2a （a +1）＞0，可得[x ﹣（2a ）][x ﹣（a +1）]＞0， 当2a ＞a +1时，即a ＞1时，不等式的解集为（﹣∞，a +1）∪（2a ，+∞）； 当2a ＝a +1时，即a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠2}；当2a ＜a +1时，即a ＜1时，不等式的解集为（﹣∞，2a ）∪（a +1，+∞）．21．【解答】解：（Ⅰ）f [f （1）]=f(23)=23+123+2=58； （Ⅱ）由f （x ）＞1得，x+1x+2＞1，化简得，1x+2＜0，∴x ＜﹣2，∴x 的取值范围为（﹣∞，﹣2）； （Ⅲ）f(x)=x+1x+2=1−1x+2，f （x ）在（﹣2，+∞）上是增函数，证明如下： 设x 1＞x 2＞﹣2，则：f(x 1)−f(x 2)=1x 2+2−1x 1+2=x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)， ∵x 1＞x 2＞﹣2，∴x 1﹣x 2＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0， ∴x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)＞0，∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（﹣2，+∞）上是增函数．22．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝﹣1时，f （x ）＝x 2+2x +1， 因为x ∈[0，2]，f （x ）min ＝1； （Ⅱ）当a =12，f （x ）＝x 2﹣x +1， 因为x ∈[0，2]，f （x ）max ＝3； （Ⅲ）当a ＜0时，f （x ）min ＝1， 当0≤a ≤2时，f （x ）min ＝1﹣a 2， 当a ＞2时，f （x ）min ＝5﹣4a ， 综上：f(x)={1a ＜01−a 20≤a ≤25−4aa ＞2．23．【解答】解：（Ⅰ）①显然，在[0，1]上满足f （x ）＝x ≥0，g （x ）＝2x ≥0； ②f （1）＝1，g （1）＝2；③若x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f （x 1+x 2）﹣[f （x 1）+f （x 2）]＝x 1+x 2﹣[x 1+x 2]＝0，即f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立；∴f （x ）＝x 是“梦幻函数”，g （x ）＝2x 不是“梦幻函数”；（Ⅱ）设x 1，x 2∈[0，1]，x 1＜x 2，则x 2﹣x 1∈（0，1]，∴f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）﹣f （x 2﹣x 1+x 1）≤f （x 1）﹣[f （x 1）+f （x 2﹣x 1）]＝﹣f （x 2﹣x 1）≤0， ∴f （x 1）≤f （x 2），∴f （x ）在[0，1]单调递增，令x 1＝x 2＝0，∵x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立， ∴0≥2f （0），又f （x ）≥0，∴f （0）＝0，∴当x ＝0时，f （x ）取最小值f （0）＝0，当x ＝1时，f （x ）取最大值f （1）＝1．24．【解答】解：（1）函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣1，0）， 可得a ﹣b +c ＝0，又a ＝1，b ＝2， 则f （x ）＝x 2+2x +1，由新定义可得g （x ）＝x 为函数f （x ）的一个承托函数；（2）假设存在常数a ，b ，c ，使得y ＝x 为函数f （x ）的一个承托函数， 且f （x ）为函数y =12x 2+12的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤12x2+12恒成立，令x＝1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a＝c；又（a−12）x2+bx+c−12≤0恒成立，可得a＜12，且b2﹣4（a−12）（c−12）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a−12）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a＝c＜12，b＝1﹣2a，可取a＝c=14，b=12．满足题意．。

北京市丰台区2019-2020学年度第一学期期中考试高一数学试卷考试时间：90分钟第I 卷（选择题共40分）一．选择题（每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1．已知集合{}1,1A =-，{}1,0,1,2B =-，那么B A 等于 (A) }{1,0(B) }{0(C) }{1,1-(D) }{2,1,0,1-2．已知b a >，d c >，下列不等式中必成立的一个是 (A) d b c a +>+(B) d b c a ->- (C) bd ac >(D)db c a > 3．命题“对任意R a ∈，都有20a ≥”的否定为 (A) 对任意R a ∈，都有02<a (B) 存在R a ∈，使得02<a (C) 存在R a ∈，使得02≥a (D) 存在R a ∉，使得02<a4．“2=x ”是“42=x ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．已知函数⎩⎨⎧≥-<+-=).1(2),1(1)(2x x x x x x f 则))1((-f f 的值为(A) 2-(B) 1-(C) 0 (D) 36．已知0,>b a ，且1=ab ，则 (A) 2>+b a (B) 2≥+b a (C) 2-<+b a (D) 2-≤+b a7．已知0>a ，则4341-⋅aa 等于 (A) 12a - (B) 163-a(C) 13a(D) a8．已知下列四组函数：① 1)(+=x x f ，1)(2+=xx x g ； ② x x f =)(，2)(x x g =； ③ 1)(=x f ，0)(x x g =； ④ ⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,)(x x x x x f ，x x g =)( ．其中是同一个函数的组号是 (A) ①(B) ②(C) ③(D) ④9．函数xy )21(=的图象是(A)(B)(C)(D)10．我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰．2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化 助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10％．已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积（万平方公里）为 (A) 49.07⨯ (B)59.07⨯(C) 69.07⨯(D) 79.07⨯第Ⅱ卷（非选择题共60分）二．填空题（每空4分，共24分） 11．不等式022>-x x 的解集为_____．12．已知函数)(x f 为奇函数，且3)1(=f ，则)1(-f 的值为_____． 13．函数1)(-=xa x f （0>a 且1≠a ）的图象一定过定点P ，则P 点 的坐标为_____．14．幂函数)(x f y =的图象经过点)2,4(，则函数)(x f 的解析式为_____，)41(f 的值为_____． 15．能说明“若b a >，则22b a >”为假命题的一组a ，b 的值依次为_____．16．已知函数)(x f 的图象如图所示，根据图象有下列三个命题：① 函数)(x f 在定义域上是单调递增函数； ② 函数)(x f 在定义域上不是单调递 增函数，但有单调递增区间； ③ 函数)(x f 的单调递增区间是),(),(c b b a ．其中所有正确的命题的序号有_____．三．计算题（共36分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（本小题8分）已知全集R U =，集合{}21≤≤-=x x A ，{}1>=x x B ． （Ⅰ）求B A ； （Ⅱ）求()RA B ．18．（本小题8分）已知函数3)(2++=ax x x f ．（Ⅰ）若4-=a ，求不等式0)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若不等式0)(>x f 的解集为R ，求实数a 的取值范围．19．（本小题10分）已知函数xa x f =)(，xa x g )1()(=（0>a 且1≠a ），21)1(=-f ． （Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解析式； （Ⅱ）在同一坐标系中画出函数)(x f 和)(x g 的图象；（III ）如果)()(x g x f <，请直接写出x 的取值范围．20．（本小题10分）已知函数xx x f 4)(+=． （Ⅰ）证明：函数()f x 是奇函数；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间),2(+∞上的单调性，并用定义证明； （III ）若对]4,2[∈∀x ，都有m xx ≤+4恒成立，求m 的取值范围．丰台区2019—2020学年度第一学期期中高一数学卷参考答案第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二．填空题（每空4分，共24分）三．计算题（共36分）17.（本小题8分） （1）{|1}AB x x =≥- -------------4分（2）{|1R A x x =<-或2}x >(){|2}R A B x x => -------------8分18.（本小题8分）（1）当4-=a ，不等式为2430x x -+≤． -------------1分∵方程2430x x -+=有两个实数根11=x，32=x． -------------3分 ∴不等式0342≤++x x 的解集为{}31≤≤x x ． -------------4分 （2）∵032>++ax x 解集为R ， ∴方程2430x x -+=无实根，∴0123422<-=⨯-=∆a a ． -------------6分 ∴实数a 的取值范围是{a a -<<． -------------8分14x ，1219.（本小题10分）（1）11(1)2f a --==，所以2a =，所以()2xf x =，1()()2xg x = -------------4分（2）-------------8分（3）0x < -------------10分20.（本小题10分）（1）函数()f x 的定义域为{}0≠x x ． -------------1分{}0≠∈∀x x x ，都有{}0≠∈-x x x ，且44()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--， -------------2分 所以，函数4()f x x x=+为奇函数． -------------3分 （2）判断：()f x 在区间(2,)+∞上单调递增. 证明： 12,(2,)x x ∀∈+∞，且21x x <，有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+- 2112124()()x x x x x x -=-+121212(4)x x x x x x -=- -------------5分 ∵122x x <<，∴124x x >，1240x x ->，021<-x x ． ∴121212(4)0x x x x x x --<，即)()(21x f x f < ． -------------6分 ∴函数4()f x x x=+在区间(2,)+∞上是增函数． ------------7分 （3）由（2）可知，函数4()f x x x=+在区间[2,4]上是增函数， ------------8分所以max ()(4)5f x f ==， -------------9分 因为对]4,2[∈∀x ，都有m xx ≤+4恒成立， 所以max ()f x m ≤，即5m ≥． -------------10分2019—2020学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =（ ）A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D. {| 2 x x >或1}x <2.已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为（ ） A. ∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 B. ∀c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 C. ∃c ＞0，方程x 2-x +c =0无解D. ∃c ≤0，方程x 2-x +c =0有解3.已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ） A. （-∞，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）4.下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A. y =x 2B. y =3xC. y =x +1D. y 5.若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A. ac ＞bc B. a c ＞b cC. a 2＞b 2D.21ac +＞21b c +6.函数f (x 的最大值为 （ ）A. 2 5B. 1 2C.2D. 17.5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A. 3B. 0C. -3D.139.已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中的横线上.11.计算210.00013427--12.函数y 11x -的定义域为____________. 13.若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 14.如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 15.能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______．16.已知函数22,(),x x x af x x x a ⎧-+≤=⎨>⎩.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.三、解答题：共40分.17.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．18.已知函数()()223f x x bx b =-+∈R .⑴若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值.⑵当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =最大值.19.如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．20.如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”. （1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论） （2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围；（3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x Ax x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B .参考答案1【答案】B【详解】{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，{|2}A x x =>，故{|23}A B x x ⋂=<<. 故选：B . 2【解析】【详解】命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解, 故选：A. 3【答案】C【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C. 4【答案】B【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除； 对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减； 对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y ，其为非奇非偶函数，故排除， 故选：B. 5【答案】D 【详解】A.当0c时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D. 6【答案】B 【解析】本小题主要考查均值定理．11()112f x x ==≤+=1x =时取等号．故选B ． 7【答案】A【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．8【答案】C 【解析】 【分析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C. 9【答案】D【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+- =()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ． 10【答案】B【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题. 11【答案】134【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 12【答案】[12，1）∪（1，+∞）【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 13【答案】-1或1【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1. 14【答案】（-∞，-12） 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 15【答案】 (1). ()f x x = (2). ()1g x x =-【详解】“若()()f x g x >对任意的[02]x ∈，都成立， 则()f x 在[]0,2上的最小值大于()g x 在[]0,2上的最大值”， 可设()f x x =，()1g x x =-，显然()()f x g x >恒成立，且()f x 在[]0,2的最小值为0，()g x 在[]0,2的最大值为1， 显然不成立，故答案为()f x x =，()1g x x =-． 16【答案】 (1). R (2). []0,1【详解】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩当1x >时，()1f x x =>当1x ≤时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+≤ 所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R +∞-∞=（2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+≥，即01x ≤≤时，所以当01a ≤≤时，函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =无公共点， 因此实数a 的取值范围是[]0,1 故答案为：(1). R (2). []0,117【答案】（1）{}|22A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0]1，【详解】（1）||2x a -<22x a ∴-<-<{|22}A x a x a ∴=-<<+∵2112x x -<+ ∴302x x -<+ ∴(2)(3)0x x +-< ∴23x -<<{|23}B x x ∴=-<<（2）∵A B ⊆22a ∴-≥-且23a +≤，01a ∴≤≤即a 取值范围为[0]1，18【答案】⑴b ＝2；⑵见解析.【详解】解：（1）把（4，3）代入f （x ）得16﹣8b +3＝3，∴b ＝2． （2）f （x ）的图象开口向上，对称轴为x ＝b ． ①若b ≤﹣1，则f （x ）在[﹣1，2]上是增函数， ∴f min （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝1，解得b ＝﹣32． ∴f max （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝13．②若b ≥2，则f （x ）在[﹣1，2]上是减函数， ∴f min （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝1，解得b ＝32（舍）． ③若﹣1＜b ＜2，则f （x ）在[﹣1，b ]上是减函数，在（b ，2]上增函数．∴f min （x ）＝f （b ）＝﹣b 2+3＝1，解得b 或b （舍）．∴f max （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝．综上，当b ≤﹣1时，f （x ）的最大值为13，当﹣1＜b ＜2时，f （x ）最大值为． 19【答案】（1）炮的最大射程是10千米． （2）当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标． 【解析】试题分析：（1）求炮的最大射程即求()221120y kx k x =-+（k ＞0）与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解 试题解析：（1）令y ＝0，得kx －120（1＋k 2）x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝2201k k +＝201k k+≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． （2）因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－120（1＋k2）a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0⇔a≤6.所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．考点：函数模型的选择与应用20【答案】（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”.（2）（0，+∞）（3）A=[0，+∞），B=（-∞，0）【详解】（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”；（2）∵f（-x）=-x-x2+a，-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X—函数”，∴f（-x）=-f（x）无实数解，即x2+a=0无实数解，∴a＞0，∴a的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x≠0，若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；若x∈B且-x∈B，f（-x）=-f（x），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B，∴（0，+∞）⊆A，（-∞，0）⊆B，假设0∈B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴0∈A，经检验，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合题意.高一上学期期中考试试卷数学一､选择题1.已知全集U R ＝，集合12345{}{|}2A B x x ∈≥R ＝，，，，，＝，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A. {0}1，B. {}1C. {1}2，D. {012}，， 2.已知全集U =R ，{}1A x x =<-，{}1B x x =>，则()UB A =（ ）A. {}1x x >B. {}1x x ≤- C. {1x x >或}1x <-D. {}11x x -≤≤3.不等式113x <+<的解集为（ ） A. (0,2) B. (2,0)(2,4)-⋃ C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--⋃4.若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A. 33a b >B. a b <C.11a b< D.11a b> 5.命题:2p x ∀>，210x ->，则p ⌝是（ ） A. 2x ∀>，210x -≤ B. 2x ∀≤，210x -> C. 2x ∃>，210x -≤D. 2x ∃≤，210x -≤6.若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A. 3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B. 3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C. 3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D. 3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭7.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f（x 1）+f （x 2）＝0”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是( ) A. 0B. 1C. 2D. 3二､填空题9.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则100,153100,3x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩当81z =时，x =___________，y =___________． 10.一元二次方程2310x x -+=的两个实数根分别是1x 、2x ，则221212x x x x 的值是______．11.已知正实数x ，y 满足xy=3，则2x+y 的最小值是 ．12.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 13.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____．14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．三､解答题15.已知二次函数()23f x x mx =+-，有两个零点为1-和n ．（1）求m 、n 的值；（2）证明：()()11f x f x +=-；（3）用单调性定义证明函数()f x 在区间()1,+∞上是增函数；（4）求()f x 在区间[]0,a 上的最小值()g a ．16.已知函数()223f x x x =--.（1）直接写出()f x 的零点； （2）在坐标系中，画出()f x 的示意图（注意要画在答题纸上）（3）根据图象讨论关于x 的方程()f x k =的解的个数:（4）若方程()f x k =，有四个不同的根1x 、2x 、3x 、4x 直接写出这四个根的和；（5）若函数()f x 在区间()1,a -上既有最大值又有最小值，直接写出a 的取值范围．17.已知函数()21xf x x =+.（1）求证：()f x 是R 上的奇函数； （2）求()1f a f a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （3）求证：()f x 在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减； （4）求()f x 在[)1,-+∞上的最大值和最小值； （5）直接写出一个正整数n ，满足()12019f n <．18.设函数()1110nn n n f x a x a xa x x --=++⋅⋅⋅++，()1110m m m m g xb x b x b x b --=++⋅⋅⋅++，且对所有的实数x ，等式()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦都成立，其0a 、1a 、、n a 、0b 、1b 、、m b R ∈，m 、n N ∈．（1）如果函数()22f x x =+，()g x kx =，求实数k 的值；（2）设函数()32321f x x x =+-，直接写出满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦的两个函数()g x ；（3）如果方程()()f x g x =无实数解，求证：方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦无实解．参考答案1【答案】B根据韦恩图知阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的公共元素所剩下的元素，由此可得选项. 【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集的元素所剩下的元素．因为{2,3,4,5}A B ⋂=，所以阴影部分所表示的集合是{1}．故选B ． 2【答案】D 求出AB ，利用补集的定义可求出集合()UA B .【详解】由题意可得{1A B x x ⋃=>或}1x <-，因此，(){}11UA B x x ⋃=-≤≤.故选：D. 3【答案】D 【解析】1<|x +1|<3⇔1<|x +1|2<9即()()221119x x ⎧+>⎪⎨+<⎪⎩即2220280x x x x ⎧+>⎨+-<⎩， 解得x ∈(−4,−2)∪(0,2) 本题选择D 选项. 4【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法、不等式的基本性质可判断出各选项中不等式的正误，由此可得出结论. 【详解】0a b <<，则22223024b b a ab b a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，()()33220a b a b a ab b ∴-=-++<，33a b ∴<，A 选项中的不等式错误；0a b <<，0a b ∴->->，即a b >，B 选项中的不等式错误；0a b <<，0a b ∴->->，11a b ∴-<-，可得11a b>，C 选项中的不等式错误，D 选项中的不等式正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法以及函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题. 5【答案】C 【解析】 【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，可得出命题p ⌝. 【详解】命题:2p x ∀>，210x ->，由全称命题的否定可知，命题:2p x ⌝∃>，210x -≤.故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定，要注意全称命题的否定与特称命题的之间的关系，属于基础题. 6【答案】D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断.【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题. 7【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】函数()f x 是奇函数,∴若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=-，即()()120f x f x +=成立,即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时 满足()()120f x f x ==，此时满足()()120f x f x +=， 但1240x x +=≠，即必要性不成立，故“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件， 所以A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键. 8【答案】D 【解析】 【分析】①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆； ②根据42c n =+，证明42nM ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．【详解】解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈， 对于①，21b n =+，n Z ∈， 则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈， 若42nM ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n ，42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除， 42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =-- 222212121221()()()()x x y y x y x y =+-- 2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈ 那么12a a M ∈，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选D ．【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 9【答案】 (1). 8 (2). 11 【解析】 【分析】将z 代入解方程组可得x 、y 值.【详解】19881,,.537311x y x z x y y +==⎧⎧=∴∴⎨⎨+==⎩⎩ 【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口． 10【答案】3 【解析】 【分析】利用韦达定理求出12x x +和12x x ，由此可得出2212121212x x x x x x x x 的值.【详解】由韦达定理得123x x +=，121=x x ，因此，()2212121212133x x x x x x x x +=+=⨯=.故答案为：3.【点睛】本题考查利用韦达定理求代数式的值，考查计算能力，属于基础题. 11【答案】【解析】试题分析：由题33,22y x y x x x =∴+=+≥=当且仅当2x =时，等号成立；考点：均值不等式 12【答案】2 【解析】C ＝2202020444t t t t =≤++＝5当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号考点：基本不等式，实际应用 13【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称， 作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-， 故答案为：(1,0)-【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.14【答案】 (1). 1- (2). (][),04,-∞+∞【解析】 【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由()f x 的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与x 轴有交点，得到0∆≥，解不等式即可得到所求范围．【详解】①由题意得：()111f a a =-+=()f x 为R 上的奇函数 ()()f x f x ∴-=- ()()111f f ∴-=-=-②若()f x 的值域为R 且()f x 图象关于原点对称∴当0x >时，()2f x x ax a =-+与x 轴有交点 240a a ∴∆=-≥解得：0a ≤或4a ≥ a ∴的取值范围为(][),04,-∞+∞故答案为1-；(][),04,-∞+∞【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题．15【答案】（1）2m =-，3n =；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）()223,014,1a a a g a a ⎧--<≤=⎨->⎩. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理可得出关于实数m 、n 的方程组，即可求出这两个未知数的值； （2）直接计算()1f x +和f1−x ，可证明出()()11f x f x +=-；（3）任取121x x >>，作差()()12f x f x -，因式分解后判断差值的符号，即可证明出函数()y f x =在区间()1,+∞上是增函数；（4）分01a <≤和1a >两种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]0,a 上的单调性，即可得出函数()y f x =在区间[]0,a 上的最小值()g a 的表达式.【详解】（1）由韦达定理得131n n m -⨯=-⎧⎨-+=-⎩，解得23m n =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知()()222314f x x x x =--=--，()()2211144f x x x ∴+=+--=-，()()2211144f x x x -=---=-，因此，()()11f x f x +=-； （3）任取121x x >>，则()()()()221211222323f x f x x x x x -=-----()()()()()()()2212121212121212222x x x x x x x x x x x x x x =---=+---=-+-，121x x >>，120x x ∴->，122x x +>，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，因此，函数()y f x =在区间()1,+∞上是增函数；（4）当01a <≤时，函数()y f x =在区间[]0,a 上为减函数，此时()()223g a f a a a ==--；当1a >时，函数()y f x =在区间[]0,1上减函数，在区间[]1,a 上为增函数， 此时()()14g a f ==-.综上所述，()223,014,1a a a g a a ⎧--<≤=⎨->⎩. 【点睛】本题考查二次函数相关的问题，涉及利用韦达定理求参数、二次函数对称性、单调性的证明、以及二次函数在区间上最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16【答案】（1）1-和3；（2）图象见解析；（3）见解析；（4）4；（5）(3,1⎤⎦. 【解析】 【分析】（1）解方程()0f x =即可得出函数()y f x =的零点； （2）根据绝对值翻折变换可作出函数()y f x =的图象；（3）将方程()f x k =的解的个数转化为函数y k =和()y f x =图象的交点个数，利用数形结合思想可得出结论；（4）根据函数()y f x =可得出1234x x x x +++的值；（5）求方程2234x x --=在3x >时的解，利用图象可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）解方程()0f x =，即2230x x --=，解得1x =-或3x =，所以，函数()y f x =的零点为1-和3；（2）函数()223f x x x =--的图象是将函数223y x x =--的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，位于x 轴上方的图象保持不变而得到，则函数()223f x x x =--的图象如下图所示：（3）方程()f x k =的解的个数等于函数y k =和()y f x =图象的交点个数，如下图所示：当k 0<时，方程()f x k =无实根；当0k =或4k >时，方程()f x k =有2个实根； 当04k <<时，方程()f x k =有4个实根； 当4k =时，方程有3个实根.综上所述，当k 0<时，方程()f x k =无实根；当0k =或4k >时，方程()f x k =有2个实根；当04k <<时，方程()f x k =有4个实根；当4k =时，方程有3个实根；（4）由图象可知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，因此，12344x x x x +++=； （5）当3x >时，解方程2234x x --=，解得221x =，由图象可知，当3221a <≤时，函数()y f x =在区间()1,a -上既有最大值，又有最小值， 故实数a 的取范围是(3,221⎤⎦.【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数的零点以及最值问题，同时也涉及了函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.17【答案】（1）证明见解析；（2）0；（3）证明见解析；（4）最大值12，最小值12-；（5）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）代值计算即可得出()1f a f a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （3）任取12x x ≠，作差()()12f x f x -，通分、因式分解后分1211x x 和211x x >≥两种情况讨论()()12f x f x -的符号，即可证明出结论；（4）利用（3）中的结论可求出函数()y f x =在区间[)1,-+∞上的最大值和最小值；（5）可取满足2019n ≥的任何一个整数n ，利用函数()y f x =的单调性和不等式的性质可推导出()12019f n <成立. 【详解】（1）函数()21xf x x =+的定义域为R ，定义域关于原点对称， 且()()()2211xxf x f x x x --==-=-+-+，因此，函数()y f x =是R 上的奇函数； （2）()22222222111*********a a a a a aaf a f a a a a a a a a ⋅⎛⎫-=-=-=-= ⎪++++⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭； （3）任取12x x ≠，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()()()()()()()()()2212121212211212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx -+--+---===++++++.当1211x x 时，120x x -<，1210x x ->，()()2212110x x ++>，则()()12f x f x <；当211x x >≥时，120x x -<，1210x x -<，()()2212110x x ++>，则()()12f x f x >.因此，函数()y f x =在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减； （4）由于函数()y f x =在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 当1x =时，函数()y f x =取最大值，即()()max 112f x f ==； 当0x >时，()0f x >，所以，当1x =-时，函数()y f x =取最小值，即()()min 112f x f =-=-. 综上所述，函数()y f x =在[)1,-+∞上的最大值为12，最小值为12-； （5）由于函数()y f x =在[)1,+∞上单调递减，当2019n ≥时，()()2220192019120192019120192019f n f ≤=<=+，所以，满足2019n ≥任何一个整数n 均满足不等式()12019f n <. 可取2020n =，满足条件.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的证明、利用单调性求最值，同时也考查了函数值的计算以及函数不等式问题，考查分析问题和解决问题能力，属于中等题.18【答案】（1）1k =；（2）()g x x =，()32321g x x x =+-，答案不唯一；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据已知条件()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦直接代入计算即可；（2）验证()g x x =满足条件()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，再者若()()g x f x =，则等式()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦也满足，由此可得出符合条件的函数()y g x =的两个不同的解析式；（3）假设方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦有实数解，利用反证法推出与已知条件矛盾，进而证明结论成立. 【详解】（1）()22f x x =+，()g x kx =，则()()()22222f g x f kx kx k x ⎡⎤==+=+⎣⎦，()()()222222g f x g x k x kx k ⎡⎤=+=+=+⎣⎦， ()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，222k k k ⎧=∴⎨=⎩，解得1k =；（2）若()g x x =，则()()f g x f x ⎡⎤=⎣⎦，()()g f x f x ⎡⎤=⎣⎦，此时()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦； 若()()g x f x =，则()()f g x f f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，()()g f x f f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，此时()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦. 所以，当()32321f x x x =+-时，满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦的函数()y g x =的两个解析式可以是()g x x =，()32321g x x x =+-（答案不唯一）；（3）假设方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦有实数解，设()()()h x f x g x =-，则()()()h f x f f x g f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()()h g x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 两式相减得()()()()()()h f x h g x f f x g f x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()0f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，所以，()()h f x h g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，由零点存在定理可知，存在()(){}()(){}()min ,,max ,a f x g x f x g x ∈，使得()0h a =，()()f x g x =无实根，则()0h x =永远不成立，推出假设不成立.所以，方程()()f x g x =无实数解，方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦也无实解【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了方程根的存在性的证明，涉及反证法与零点存在定理的应用，考查推理论证能力，属于难题.。

北京市2019学年高一上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 如果A=（-1，+∞），那么正确的结论是（）A. 0 AB. {0} AC. {0} AD.2. 函数f（x）= ，则 =（）A. 0B. -C.D. -3. 与函数y=lg（x-1）的定义域相同的函数是（）A. y=x-1B. y=|x-1|C. y=D. y=4. 若函数 f(x)= + 与 g(x)= 的定义域均为 R ，则A. f(x) 与 g(x) 均为偶函数B. f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数C. f(x) 与 g(x) 均为奇函数D. f(x) 为偶函数． g(x) 为奇函数5. 设a=lg 0.2，b= ，c= ，则（）A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a6. 若指数函数y= 在（-∞，+∞）上是减函数，那么（）A. 0<a<1B. -1<a<0C. a=-1D. a<-17. 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A．B．C．D．8. 已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时f（x）=2 -2，则f（x）<0的解集是（）A. （-1，0）________B. （0，1）________C. （-1，1）________D. （-∞，-1）（1，+∞）9. 某商店卖出两套不同品牌的西服，售价均为1680元。

以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店（）A. 不亏不盈________B. 盈利372元C. 亏损140元________D. 盈利140元10. 设函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则（）A. B.C. D.二、填空题11. = _______ 。

12. 已知函数为奇函数，若，则．13. 函数f（x）= 在区间（-∞，-1]上是增函数，则实数a的取值范围为_____ 。

2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B ＝（）A．{2，3，4，5}B．{3}C．{1，4，5}D．{1，3，4，5}2．（5分）函数f(x)=√x−1x−2的定义域是（）A．R B．{x|x＞2}C．{x|x≥1}D．{x|x≥1且x≠2} 3．（5分）若a＞b，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D．1a ＜1b4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝x2﹣2x B．y＝|x|C．y＝2x+1D．y=−√x 5．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞06．（5分）下列函数中：①y=2x②y=1(x+1)2③y＝x2+1④f(x)={x+1，x＜01−x，x＞0偶函数的个数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）“x＞1”是“x2﹣x＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）9．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1C．f(x)=4x D．f（x）＝x﹣|x|10．（5分）函数f（x）=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁U A ）∩B ＝ ．12．（5分）已知f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （f （﹣1））的值为 ．13．（5分）函数y ＝x 2+3x ﹣1，x ∈[﹣2，3]的值域是 ． 14．（5分）若x ＞0，则f(x)=4x +19x的最小值为 ． 15．（5分）若二次函数f （x ）的图象关于x ＝2对称，且f （a ）≤f （0）＜f （1），则实数a 的取值范围是 ．16．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （i ）男学生人数多于女学生人数； （ii ）女学生人数多于教师人数； （iii ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ． ②该小组人数的最小值为 ． 三.解答题：本大题共3小题，共30分17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＞0}，B ＝{x |x 2+4x +3＜0}，C ＝{x |2k ﹣1＜x ＜2k +3}． （1）求A ∪B ；（2）若C ⊆A ∪B ，求实数k 的取值范围． 18．（8分）已知a ，b ＞0，证明：a 3+b 3≥a 2b +ab 2．19．（12分）已知函数f（x）=2x−1a，g(x)=2x−1a（a∈R，a≠0）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分20．（4分）已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝．21．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集是．22．（4分）已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的是．（只填写序号）23．（4分）设f(x)={(x−a)2，x≤0 x+1x，x＞0．（1）当a=12时，f（x）的最小值是；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是．24．（4分）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．（10分）已知函数f（x）＝x2+a|x﹣1|．（1）当a＝2时，解方程f（x）＝2；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．26．（10分）设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．若f（x），g（x）满足①f（x）有零点；②f（x）的零点均为g（f（x））的零点；③g（f（x））的零点均为f（x）的零点．则称f（x），g（x）为一对“K函数”．（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．【解答】解：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，4，5}， ∴A ∩B ＝{3}． 故选：B ．2．【解答】解：函数f(x)=√x−1x−2中， 令{x −1≥0x −2≠0， 解得x ≥1且x ≠2，所以函数f （x ）的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}． 故选：D ．3．【解答】解：由a ＞b ，可得ac 与bc 大小关系不确定，ac 2≥bc 2，a +c 2＞b +c 2，1a与1b 的大小关系不确定． 因此只有C 确定． 故选：C ．4．【解答】解：由二次函数的性质可知，y ＝x 2﹣2x 在（0，+∞）上先减后增，故A 错误； y ＝|x |在（﹣∞，0）上为减函数，（0，+∞）上为增函数，故B 错误； 由一次函数的性质可知，y ＝2x +1在（0，+∞）上为增函数，故C 错误；由幂函数的性质可知，y =√x 在（0，+∞）上为增函数，从而有y =−√x （0，+∞）上为减函数，故D 正确； 故选：D ．5．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0 故选：B ．6．【解答】解：①由y =2x =f （x ），可得f （﹣x ）=−2x =−f （x ），即不为偶函数； ②f （x ）=y =1(x+1)2的定义域为{x |x ≠﹣1}，关于原点不对称，不是偶函数；③由二次函数的性质可知，y ＝x 2+1的图象关于y 轴对称，为偶函数； ④由f(x)={x +1，x ＜01−x ，x ＞0可得f （﹣x ）={1+x ，x ＜0−x +1，x ＞0=f （x ）是偶函数．故选：C．7．【解答】解：∵x2﹣x＞0⇔x＞1或x＜0，∴当x＞1时，x2﹣x＞0成立，当x2﹣x＞0时，x＞1不一定成立，∴“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分不必要条件．故选：A．8．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x﹣3，∴f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，由函数零点判定定理可知，函数在（1，2）上一定存在零点．故选：B．9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝（x+2）2，f（2x）＝（2x+2）2＝4（x+1）2，2f（x）＝2（x+2）2，f（2x）≠2f（x）；对于B，f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1，2f（x）＝2（x+1）＝2x+2，f（2x）≠2f（x）；对于C，f（x）=4x，f（2x）=42x=2x，2f（x）=8x，f（2x）≠2f（x）；对于D，f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2x﹣2|x|，2f（x）＝2x﹣2|x|，f（2x）＝2f（x），符合题意；故选：D．10．【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）=bc2＞0，∴b＞0，由f（x）＝0得ax+b＝0，即x=−b a，即函数的零点x=−ba＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合∁U A＝{x|x≤0或x≥2}，所以集合（∁U A ）∩B ＝{﹣3，﹣1，3}． 故答案为：{﹣3，﹣1，3}． 12．【解答】解：根据题意，f(x)={2x −1，x ≥03x 2，x ＜0，则f （﹣1）＝3×（﹣1）2＝3， 则f （f （﹣1））＝f （3）＝2×3﹣1＝5； 故答案为：5．13．【解答】解：因为y ＝x 2+3x ﹣1，所以函数对称轴为x =−32，因为x ∈[﹣2，3]，所以当x =−32时，y 的值最小为(−32)2+3×(−32)−1=−134， 当x ＝3时，y 的值最大为32+9﹣1＝17， 所以函数的值域为[−134，17]． 故答案为：[−134，17]． 14．【解答】解：∵x ＞0，∴4x +19x ≥2√4x ⋅19x =43（当且仅当4x =19x 即x =16时，取“＝”号）， ∴当x =16时，f （x ）最小值为43．故答案为：43．15．【解答】解：由题意可知二次函数f （x ）的对称轴为x ＝2， 因为f （0）＜f （1），所以f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，所以二次函数f （x ）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． ①当a ∈（﹣∞，2）时：{a ＜2a ≤0，解得a ≤0．②当a ∈（2，+∞）时：因为f （4）＝f （0）， 所以{a ＞2a ≥4，解得a ≥4．综上所求：a ≤0或a ≥4． 故答案为：a ≤0或a ≥416．【解答】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则{x＞yy＞42×4＞x，即4＜y＜x＜8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则{x＞yy＞z2z＞x，即z＜y＜x＜2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12三.解答题：本大题共3小题，共30分17．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x2+4x+3＜0}＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，则A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞3}；（2）由C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}，且C⊆A∪B，令2k﹣1≥3或2k+3≤﹣1，解得k≥2或k≤﹣2，所以实数k的取值范围是k≤﹣2或k≥2．18．【解答】证明：（a3+b3）﹣（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，（a﹣b）2≥0，∴（a﹣b）2（a+b）≥0，则有a3+b3≥a2b+b2a．19．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）=2x−1．∵f（x）＞0，∴2x−1＞0，∴0＜x＜2，∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}；（2）f （x ）+g （x ）=2x −1a +2x −1a =2x +2x −2a， ∵f （x ）+g （x ）≥0在（0，+∞）上恒成立， ∴2a ≤2x+2x 在（0，+∞）上恒成立，∴只需2a≤(2x+2x)min ．∵当x ＞0时，2x+2x ≥2√2x⋅2x =4，当且仅当x ＝1时取等号，∴(2x +2x)min =4，∴2a≤4，∴a ＜0或a ≥12，∴a 的取值范围为（﹣∞，0）∪[12，+∞）．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 20．【解答】解：∵M ＝{0，1，2，3}，N ＝{0，2，4，6}， ∴M ∩N ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．21．【解答】解：根据绝对值的意义可得，|x ﹣1|+|x +2|表示数轴上的x 对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而﹣3、2对应点到1和﹣2对应点的距离之和正好等于5， 故不等式|x ﹣1|+|x +2|≤5的解集是[﹣3，2]， 故答案为：[﹣3，2]．22．【解答】解：已知x ＞y ＞z ，x +y +z ＝0，则①x ＞0，y ＞0，z ＜0，②x ＞0，y ＜0，z ＜0，③x +z ＝0，y ＝0．所以①xz ＜yz 正确．②xy ＞yz ，不正确．③xy ＞xz ，正确．④x |y |＞z |y |，不正确． 故答案为：①③．23．【解答】解：（1）当a =12时，当x ≤0时，f （x ）＝（x −12）2≥（−12）2=14， 当x ＞0时，f （x ）＝x +1x≥2√x ⋅1x=2，当且仅当x ＝1时取等号， 则函数的最小值为14，（2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件．若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数， 则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2，要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2≤2，即0≤a ≤√2， 即实数a 的取值范围是[0，√2]， 故答案为：14，[0，√2]．24．【解答】解：解：由题意集合M ＝{x ∈N *|1≤x ≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A 1＝{1，4，5，6，7}，A 2＝{3，12，13，14，15}，A 3＝{2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3取最小值：X 1+X 2+X 3＝8+18+13＝39，当A 1＝{1，4，5，6，15}，A 2＝{2，7，8，9，14}，A 3＝{3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3＝16+16+16＝48，当A 1＝{1，2，3，4，15}，A 2＝{5，6，7，8，14}，A 3＝{9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3取最大值：X 1+X 2+X 3＝16+19+22＝57， ∴X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为：39+57＝96． 故答案为：96．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2+2|x ﹣1|＝2． 当x ＜1时，x 2+2（1﹣x ）＝2，x 2﹣2x ＝0，得x ＝0； 当x ≥1时，x 2+2（x ﹣1）＝2，x 2+2x ﹣4＝0，得x =√5−1． 综上，方程f （x ）＝2的解为x ＝0或x =√5−1．（2）x ≥1时，f （x ）＝x 2+a （x ﹣1）＝x 2+ax ﹣a 在[1，+∞）上单调递增， 则x =−a2≤1，故a ≥﹣2； 0≤x ＜1时，f （x ）＝x 2﹣ax +a ，x =a2≤0，故a ≤0． 且1﹣a +a ≤1+a ﹣a 恒成立．综上，实数a 的取值范围是[﹣2，0]．26．【解答】解：（1）若f （x ），g （x ）为任意一对“K 函数”，求d 的值；由f （x ）＝x +1＝0，得x ＝﹣1，所以g （f （﹣1））＝g （0）＝1，故x ＝﹣1不是g （f （x ））的零点，故不满足②，所以不是一对“K 函数”，（2）设r 为方程的一个根，即f （r ）＝0，则由题设得g （f （r ））＝0． 于是，g （0）＝g （f （r ））＝0，即g （0）＝d ＝0．所以d ＝0，反之g （f （x ））＝f （x ）[f 4（x ）+bf （x ）+cf （x ））＝0，则f （x ）＝0成立，故d ＝0；（3）因为d ＝0，由a ＝1，f （1）＝0得b ＝﹣c ，所以f （x ）＝bx 2+cx ＝﹣cx （x ﹣1），g （f （x ））＝f （x ）[f 2（x ）﹣cf （x ）+c ]， 由f （x ）＝0得x ＝0，1，可以推得g （f （x ））＝0，根据题意，g （f （x ））的零点均为f （x ）的零点，故f 2（x ）﹣cf （x ）+c ＝0必然无实数根 设t ＝﹣cx （x ﹣1），则t 2﹣ct +c ＝0无实数根，当c ＞0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≤c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24， 所以h （t ）min ＝h （c4）＞0，即c 216−c 24+c ＞0，解得c ∈（0，163），当c ＜0时，t ＝﹣c （x −12）2+c 4≥c 4，h （t ）＝t 2﹣ct +c ＝（t −c 2）2+c −c 24，所以h （t ）min ＝h （c2）＞0，即c −c 24＞0，解得c ∈（0，4），因为c ＜0，显然不成立，当c ＝0时，b ＝0，此时f （x ）＝0在R 上恒成立，g （f （x ））＝c ＝0也恒成立， 综上：c ∈[0，163）．。

北京市丰台二中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}2．（5分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=lnx B．C．f（x）=x3D．f（x）=e x3．（5分）下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=|x| B．y=2﹣x C．y=ln|x| D．y=x﹣24．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：x 1 2 3f（x）2 3 4x 1 2 3g（x）3 2 1则f的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．46．（5分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a7．（5分）方程lnx=2﹣x的根所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8．（5分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点．现有下列集合：①{y|y=e x}，②{x|lnx＞0}，③，④．其中以0为聚点的集合有（）A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应的位置上）9．（5分）若函数f（x）=x2+bx﹣4是R上的偶函数，则实数b的值是．10．（5分）=．11．（5分）函数的定义域是．12．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则=．13．（5分）已知函数f（x）=是定义在R上的奇函数，则a+b=．14．（5分）已知f（x）=m（x﹣2）（x+m+5），若存在x∈（﹣∞，4）使得f（x）＞0，则实数m的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的位置上）15．（13分）已知全集U=R，集合A={x|2x+a＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A∩B；（Ⅱ）若A∩（∁U B）=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣3a．（Ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）分别求出当a=1和a=2时函数f（x）在上的最大值．17．（13分）已知函数y=f（x）是定义域为R的指数函数．（Ⅰ）若，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x0）=8，求的值；（Ⅲ）若f（x）在区间，且f（2x2﹣3x+1）≤f（x2+2x﹣5），求实数x的取值范围．18．（13分）某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（距2月1日的天数，单位：天）的部分数据如下表：时间t 50 110 250成本Q 150 108 150（Ⅰ）根据上表数据，从下列函数Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•b t，Q=a•log b t中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，说明选择理由，并求所选函数的解析式；（Ⅱ）利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．19．（14分）已知函数f（x）=log a，且a≠1）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）当0＜a＜1时，判断函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．20．（13分）已知：集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lg∈M，求正实数a的取值范围；（3）证明：函数f（x）=2x+x2∈M．北京市丰台二中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=lnx B．C．f（x）=x3D．f（x）=e x考点：函数的定义域及其求法．分析：已知函数的定义域为x＞0，再对选项A、B、C、D进行一一验证；解答：解：∵函数，∴x＞0，A、∵f（x）=lnx，∴x＞0，故A正确；B、∵，∴x≠0，故B错误；C、f（x）=x3，其定义域为R，故C错误；D、f（x）=e x，其定义域为R，故D错误；故选A．点评：此题主要考查函数的定义域及其简单求法，此题是一道基础题．3．（5分）下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=|x| B．y=2﹣x C．y=ln|x| D．y=x﹣2考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论．解答：解：选项A，y=|x|是偶函数，当x＞0时，y=x在在（0，+∞）上单调递增，不合题意；选项B，y=2﹣x，记f（x）=2﹣x，则f（﹣x）=2x，f（﹣x）=﹣2﹣x，∵2x≠﹣2﹣x，∴f（﹣x）≠f（﹣x）．f（x）不是奇函数，不合题意；选项C，y=ln|x|是偶函数，当x＞0时，y=lnx在在（0，+∞）上单调递增，不合题意；选项D，y=x﹣2是偶函数，x﹣2=，y=x﹣2在在（0，+∞）上单调递减，符合题意．故选D．点评：本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题．4．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：x 1 2 3f（x）2 3 4x 1 2 3g（x）3 2 1则f的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：本题根据列表，先求出函数值g（1），再通过列表求出f，得到本题结论．解答：解：根据函数g（x）的列表，g（1）=3，根据函数f（x）的列表，f=f（3）=4．故选D．点评：本题考查了函数值的求法，本题难度不大，属于基础题．5．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4考点：对数函数的单调性与特殊点．分析：因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．解答：解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D点评：本题主要考查对数函数的单调性与最值问题．对数函数当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．6．（5分）已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：由a=log20.3＜log21=0，b=20.3＞20=1，0＜c=0.30.2＜0.30=1，知b＞c＞a．解答：解：∵a=log20.3＜log21=0，0＜c=0.30.2＜0.30=1，∴b＞c＞a．故选C．点评：本题考查对数值和指数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数函数和指数函数性质的应用．7．（5分）方程lnx=2﹣x的根所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：令f（x）=lnx+x﹣2，函数在定义域（0，+∞）连续，且f（x）=lnx+x﹣2在（0，1]单调递增，在（1，+∞）单调递减由零点判定定理可判定函数的零点所在的区间解答：解：令f（x）=lnx+x﹣2，函数在定义域（0，+∞）连续，∵f′（x）=+1，∴f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）单调递增．∵f（1）=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0，由零点判定定理可得函数的零点的区间是（1，2），故选：C．点评：本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础性试题．8．（5分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点．现有下列集合：①{y|y=e x}，②{x|lnx＞0}，③，④．其中以0为聚点的集合有（）A．①②B．①③C．②③D．②④考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：函数的性质及应用．分析：本题在理解新定义“聚点”的基础上，找出适合条件的函数，得到本题结论．解答：解：①{y|y=e x}，∵y=e x∈（0，+∞），∴{y|y=e x}=（0，+∞），∴对任意a＞0，都存在∈X，使得|﹣0|＜a，∴集合{y|y=e x}是0为聚点的集合；②{x|lnx＞0}，∴x＞1，∴{x|lnx＞0}=（1，+∞），∵对＞0，不存在x∈（1，+∞），使得|x﹣0|＜，∴集合{x|lnx＞0}不是0为聚点的集合；③，∵={1，，，，…}∴对任意a＞0，都存在∈X，使得|﹣0|＜a，∴集合是0为聚点的集合；④，∵={，，，…}，∴∵对＞0，不存在x∈，使得|x﹣0|＜，∴集合不是0为聚点的集合．综上，应选①③．故选B．点评：本题考查了新定义集合，还考查了函数值域和数列的单调性，本题难度不大，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应的位置上）9．（5分）若函数f（x）=x2+bx﹣4是R上的偶函数，则实数b的值是0．考点：函数奇偶性的性质；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义和性质，得到f（﹣x）=f（x），建立方程即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+bx﹣4是R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣bx﹣4=x2+bx﹣4，∴﹣bx=bx，即﹣b=b，解得b=0．故答案为：0．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇偶性的定义得到方程f（﹣x）=f（x），是解决本题的关键．10．（5分）=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数与对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：原式=lg5+lg2+﹣=1+﹣=．故答案为：．点评：本题考查了指数与对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．11．（5分）函数的定义域是（0，9]．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：根据被开方数非负及对数的真数大于零，列出不等式进行求解，再用集合或区间的形式表示出来．解答：解：要使函数有意义，则有2﹣log3x≥0，解得，0＜x≤9，∴函数的定义域是（0，9]故答案为：（0，9]点评：本题考查了函数定义域的求法，即利用对数的真数大于零，分母不为零等等进行求解，注意最后要用集合或区间的形式表示，这是易错的地方．12．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设出幂函数的解析式，然后把点的坐标代入求出幂指数即可．解答：解：设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，∴，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．==2﹣1=故答案为：．点评：本题考查了幂函数的概念，是会考常见题型，是基础题．13．（5分）已知函数f（x）=是定义在R上的奇函数，则a+b=2．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，f（﹣1）+f（1）=0，即可得出．解答：解：∵函数f（x）=是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，f（﹣1）+f（1）=0，∴b﹣1=0，+=0，解得b=1，a=1．∴a+b=2．故答案为：2．点评：本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．14．（5分）已知f（x）=m（x﹣2）（x+m+5），若存在x∈（﹣∞，4）使得f（x）＞0，则实数m的取值范围（﹣∞，﹣11）∪（0，+∞）．考点：二次函数的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意得到不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：m＞0时，抛物线开口向上，总会存在x∈（﹣∞，4）使得f（x）＞0，m＜0时，只需f（4）=2m（m+9）＞0，对称轴x=﹣＞4，解得：m＜﹣11，故答案为：（﹣∞，﹣11）∪（0，+∞）．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的位置上）15．（13分）已知全集U=R，集合A={x|2x+a＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A∩B；（Ⅱ）若A∩（∁U B）=∅，求实数a的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：规律型．分析：（Ⅰ）当a=2时，求出集合A，利用集合的基本运算求A∩B．（Ⅱ）求出∁U B，然后根据集合关系A∩（∁U B）=∅，确定a的取值范围．解答：解：由2x+a＞0得，即．由x2﹣2x﹣3＞0得（x+1）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，即B={x|x＜﹣1或x＞3}．（Ⅰ）当a=2时，A={x|x＞﹣1}．∴A∩B={x|x＞3}．（Ⅱ）∵B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴∁U B={x|﹣1≤x≤3}．又∵A∩（∁U B）=∅，∴，解得a≤﹣6．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6]．点评：本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系确定参数问题，比较基础．16．（14分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣3a．（Ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）分别求出当a=1和a=2时函数f（x）在上的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的判断与证明；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由已知得二次函数f（x）的图象的对称轴方程为x=a，根据函数y=f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，可得实数a的取值范围．（Ⅱ）由判别式△≥0，求得实数a的取值范围．（Ⅲ）①当a=1时，根据函数f（x）在上是减函数，求得f（x）max的值；②当a=2时，根据函数f（x）在上是增函数，在（2，3]上是减函数，求得f（x）max的值．解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）=﹣x2+2ax﹣3a=﹣（x﹣a）2+a2﹣3a，∵函数y=f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，所以a≥1，故实数a的取值范围是∪上是减函数，于是，f （x）max=f（1）=﹣2．②当a=2时，函数f（x）=﹣x2+4x﹣6在上是增函数，在（2，3]上是减函数，于是，f（x）max=f（2）=﹣2．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属基础题．17．（13分）已知函数y=f（x）是定义域为R的指数函数．（Ⅰ）若，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x0）=8，求的值；（Ⅲ）若f（x）在区间，且f（2x2﹣3x+1）≤f（x2+2x﹣5），求实数x的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）先设出函数的表达式，由f（2）=，代入求出a的值即可；（Ⅱ）根据，从而得到答案；（Ⅲ）结合函数的单调性，得到不等式2x2﹣3x+1≥x2+2x﹣5，解出即可．解答：解：设f（x）=a x（a＞0，且a≠1），（Ⅰ）因为，所以，所以所以函数f（x）的解析式的解析式为；（Ⅱ）因为f（x0）=8，所以，所以；（Ⅲ）因为f（x）是指数函数，且在区间，所以0＜a＜1，所以f（x）在R上是单调递减函数，又因为f（2x2﹣3x+1）≤f（x2+2x﹣5），所以2x2﹣3x+1≥x2+2x﹣5所以x2﹣5x+6≥0所以x≤2，或x≥3故实数x的取值范围是{x|x≤2，或x≥3}．点评：本题考查了函数的单调性，考查了考查了求指数函数的表达式，是一道中档题．18．（13分）某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（距2月1日的天数，单位：天）的部分数据如下表：时间t 50 110 250成本Q 150 108 150（Ⅰ）根据上表数据，从下列函数Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a•b t，Q=a•log b t中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，说明选择理由，并求所选函数的解析式；（Ⅱ）利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．考点：塞瓦定理；函数模型的选择与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据（50，150），（110，108），（250，150）代入Q，即得函数解析式；（Ⅱ）由二次函数的图象与性质可得，函数Q在t取何值时，有最小值．解答：解：（Ⅰ）根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不是单调函数，这与函数Q=at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q=at2+bt+c 进行描述．…4分把表格提供的三对数据代入该解析式得到：…6分解得，，．…9分所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是．…10分（Ⅱ）当t=﹣=150天时，西红柿种植成本Q最低为Q=×1502﹣×150+=100（元/100kg）． (12)分所以，西红柿种植成本Q最低时的上市天数是150天，最低种植成本为100（元/100kg）…13分．点评：本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．19．（14分）已知函数f（x）=log a，且a≠1）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）当0＜a＜1时，判断函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：本题（Ⅰ）利用函数的奇偶性定义加以判断，得到本题结论；（Ⅱ）利用比哦单调性的定义加以判断和证明，得到本题结论．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）是奇函数．证明如下：由得（x+2）（x﹣2）＞0，∴x＜﹣2或x＞2，∴函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．任取x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），则﹣x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∵∴函数f（x）是奇函数．（Ⅱ）任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2∴=，∵=，∵2＜x1＜x2+∞，∴x1﹣2＞0，x2﹣2＞0，x2﹣x1＞0，∴，即．又∵0＜a＜1，∴，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，本题难度不大，属于基础题．20．（13分）已知：集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=lg∈M，求正实数a的取值范围；（3）证明：函数f（x）=2x+x2∈M．考点：元素与集合关系的判断．专题：综合题；集合．分析：（1）集合M中元素的性质，即有f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；（2）根据f（x0+1）=f（x0）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．解答：解：（1）f（x）=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），令，整理得x2+x+1=0，△=﹣3＜0，因此，不存在x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，所以f（x）=；（4分）（2）f（x）=lg的定义域为R，f（1）=lg，a＞0，若f（x）=lg∈M，则存在x∈R使得lg=lg+lg，整理得存在x∈R使得（a2﹣2a）x2+2a2x+（2a2﹣2a）=0．①若a2﹣2a=0即a=2时，方程化为8x+4=0，解得x=﹣，满足条件：②若a2﹣2a≠0即a∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）时，令△≥0，解得a∈，综上，a∈；（8分）（3）f（x）=2x+x2的定义域为R，令2x+1+（x+1）2=（2x+x2）+（2+1），整理得2x+2x﹣2=0，令g（x）=2x+2x﹣2，所以g（0）•g（1）=﹣2＜0，即存在x0∈（0，1）使得g（x）=2x+2x﹣2=0，亦即存在x0∈R使得2x+1+（x+1）2=（2x+x2）+（2+1），故f（x）=2x+x2∈M．（12分）点评：本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．。

2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．（5分）设集合M ＝{m ∈Z |﹣3＜m ＜2}，N ＝{n ∈Z |﹣1≤n ≤3}，则M ∩N ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，0，1}C ．{0，1，2}D ．{﹣1，0，1，2}2．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ） A ．y =|x|x 与y ＝1 B ．y =√(x −1)2与y ＝x ﹣1 C ．y =x 2x 与y ＝xD ．y =x 3+xx 2+1与y ＝x 3．（5分）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（ ） A ．y ＝﹣x +1B ．y ＝x 2﹣4x +5C ．y =√xD ．y =1x4．（5分）命题“对任意a ∈R ，都有a 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0 B ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0 C ．存在a ∈R ，使得a 2≥0D ．存在a ∉R ，使得a 2＜05．（5分）已知函数f （x ）的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f [f （13）]＝（ ）A ．−13B ．13C ．−23D ．236．（5分）已知a ，b 是实数，则“a ＞b ＞0且c ＜d ＜0”是“ad＜b c ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知集合M ={x ∈R |#/DEL/##/DEL/#5−|2x −3|为正整数}，则M 的所有非空真子集的个数是（ ） A ．30B ．31C ．510D ．511二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 9．（5分）方程组{3x +y =22x −3y =27的解集用列举法表示为 ．10．（5分）已知函数f(x)={x +2，x ≤0−x +2，x ＞0，则方程f （x ）＝x 2的解集为 ．11．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 12．（5分）若函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣1）x +2在区间（1，4）上不是单调函数，那么实数a 的取值范围是 ．13．（5分）几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ）时给出了下面几个结论： ①函数f （x ）的值域为（﹣1，1）； ②若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）； ③f （x ）在（0，+∞）是增函数；④若规定f 1（x ）＝f （x ），且对任意正整数n 都有：f n +1（x ）＝f （f n （x ）），则f n (x)=x1+n|x|对任意n ∈N *恒成立．上述结论中正确结论的序号为 ．14．（5分）函数f （x ）＝2x 2﹣4x +1，g （x ）＝2x +a ，若存在x 1，x 2∈[12，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．（10分）设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2﹣7x +3≤0}，B ＝{x |x 2+a ＜0}．（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．16．（10分）已知二次函数f（x）＝x2+2bx+c（b，c∈R）．（1）已知f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤1}，求实数b，c的值；（2）已知c＝b2+2b+3，设x1、x2是关于x的方程f（x）＝0的两根，且（x1+1）（x2+1）＝8，求实数b的值；（3）若f（x）满足f（1）＝0，且关于x的方程f（x）+x+b＝0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b的取值范围．17．（10分）已知函数f(x)=x+4 x．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）指出该函数在区间（0，2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数g(x)={f(x)，x＞05，x=0−f(x)，x＜0，当x∈[﹣1，t]时g（x）的取值范围是[5，+∞），求实数t的取值范围．（只需写出答案）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．（6分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如表：x123f（x）213x123g（x）321则方程g[f（x）]＝x+1的解集为（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3} 19．（6分）已知f（x）是定义在（﹣4，4）上的偶函数，且在（﹣4，0]上是增函数，f（a）＜f（3），则a的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣4，﹣3）∪（3，4）20．（6分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +5在x ∈[1，3]上有零点，则正数a 的所有可取的值的集合为（ ） A ．[73，3]B ．[√5，+∞)C ．[√5，3]D ．(0，√5]五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 21．（6分）已知函数f(x)=√1−x +√x +3，则函数f （x ）的最大值为 ，函数f （x ）的最小值点为 ．22．（6分）关于x 的方程g （x ）＝t （t ∈R ）的实根个数记为f （t ）． （1）若g （x ）＝x +1，则f （t ）＝ ；（2）若g(x)={x ，x ≤0，−x 2+2ax +a ，x ＞0，（a ∈R ），存在t 使得f （t +2）＞f （t ）成立，则a 的取值范围是 ．23．（6分）对于区间[a ，b ]（a ＜b ），若函数y ＝f （x ）同时满足： ①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ），x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]， 则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间． （1）写出函数y ＝x 2的一个“保值”区间为 ；（2）若函数f （x ）＝x 2+m （m ≠0）存在“保值”区间，则实数m 的取值范围为 ． 六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．（14分）已知x 为实数，用[x ]表示不超过x 的最大整数． （1）若函数f （x ）＝[x ]，求f （1.2），f （﹣1.2）的值； （2）若函数f(x)=[x+12]−[x2](x ∈R)，求f （x ）的值域； （3）若存在m ∈R 且m ∉Z ，使得f （m ）＝f （[m ]），则称函数f （x ）是Ω函数，若函数f(x)=x +ax是Ω函数，求a 的取值范围．2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{﹣1，0，1}，故选：B．2．【解答】解：针对选项A：y=|x|x的定义域为{x|x≠0}，函数y＝1的定义域为x∈R，故错误．对于选项B：y=√(x−1)2=|x−1|和函数y＝x﹣1不相等，故错误．对于选项C：y=x2x的定义域为{x|x≠0}，函数y＝x的定义域为x∈R，故错误．对于选项D：y=x3+xx2+1的定义域为x∈R，函数y＝x的定义域为x∈R，故正确．故选：D．3．【解答】解：对于选项：A由于y＝﹣x+1在实数范围内为减函数，故错误．对于选项：B由于函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，该函数为开口方向向上，对称轴为x ＝2的抛物线，故函数的图象在（0，2）上单调递减，故错误．对于选项：C函数的图象为第一象限内的幂函数，由于α=12，所以函数的图象单调递增，故正确．对于选项：D函数的图象为双曲线，所以函数y=1x在（0，2）上单调递减，故错误．故选：C．4．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为：存在a0∈R，使得a02＜0．故选：B．5．【解答】解：由图象知f（x）={x+1(−1＜x＜0) x−1(0＜x＜1)∴f(13)=13−1=−23，∴f(f(13))=f(−23)=−23+1=13． 故选：B ．6．【解答】解：当c ＜d ＜0，所以1d＜1c ＜0，故−1d ＞−1c ＞0，由于a ＞b ＞0， 所以−ad ＞−bc ＞0， 故ad＜b c ．但是a d＜b c，整理得ac−bd cd＜0，整理不出a ＞b ＞0且c ＜d ＜0．故“a ＞b ＞0且c ＜d ＜0”是“ad＜b c ”的充分而不必要条件． 故选：A ．7．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S ）与行走时间（t ）之间的函数关系图， 可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项， 故选：C ．8．【解答】解：集合M ={x ∈R |#/DEL/##/DEL/#5−|2x −3|为正整数}，故5﹣|2x ﹣3|＞0，整理得|2x ﹣3|＜5，即﹣5＜2x ﹣3＜5， 解得﹣1＜x ＜4， 由于集合M 为正整数，所以M ＝{−12，0，12，1，32，2，52，3，72}，故集合M 的所有非空真子集的个数是29﹣2＝510． 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 9．【解答】解：{3x +y =22x −3y =27整理得{9x +3y =62x −3y =27，解得{x =3y =−7，转换为列举法为{（3，﹣7）}． 故答案为：{（3，﹣7）}．10．【解答】解：根据函数的解析式f(x)={x +2，x ≤0−x +2，x ＞0，当x≤0时，x+2＝x2，解得x＝2或﹣1，（正值舍去），故x＝﹣1．当x＞0时，﹣x+2＝x2，解得x＝﹣2或1（负值舍去），故x＝1．所以解集为{﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}．11．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6+4x≥4×2×√900x⋅x=240（万元）．当且仅当x＝30时取等号．故答案为：30．12．【解答】解：根据函数的图象，函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴方程为x＝1﹣a，由于函数在区间（1，4）上不是单调函数，所以1＜1﹣a＜4，解得：﹣3＜a＜0．故答案为：（﹣3，0）．13．【解答】解：①正确；∵|x|＜1+|x|，∴x1+|x|∈(−1，1)，故函数值域（﹣1，1）．②正确；f（x）=x1+|x|是一个奇函数，当x≥0时，f（x）=x1+x=1−11+x，可得函数f（x）在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f（x）=x1+|x|(x∈R)是一个增函数，∴x1≠x2，一定有f（x1）≠f（x2）；③正确；由②可知f（x）在（0，+∞）是增函数．④正确；当n＝1时，f1（x）＝f（x）=x1+|x|，f2（x）=x1+|x|1+|x|1+|x|=x1+2|x|，当n＝k时，f k（x）=x1+k|x|成立，当n＝k+1时，f k+1（x）=x1+k|x|1+|x|1+k|x|=x1+(k+1)|x|成立，由数学归纳法知，此命题正确．故答案为：①②③④．14．【解答】解：∵函数f （x ）＝2x 2﹣4x +1＝2（x ﹣1）2﹣1；∴当12≤x ≤2时，当x ＝1时，f （x ）有最小值﹣1；当x ＝2时，f （x ）有最大值1；即﹣1≤f （x ）≤1，则f （x ）的值域为[﹣1，1]；当12≤x ≤2时，2×12+a ≤g （x ）≤4+a ，即1+a ≤g （x ）≤4+a ，则g （x ）的值域为[1+a ，4+a ]，若存在x 1，x 2∈[12，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）， 则[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]≠∅， 若[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]＝∅， 则1+a ＞1或4+a ＜﹣1， 得a ＞0或a ＜﹣5，则当或[1+a ，4+a ]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a ≤0， 即实数a 的取值范围是[﹣5，0]， 故答案为：[﹣5，0]．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．【解答】解：（1）A ＝{x |2x 2﹣7x +3≤0}＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝﹣4时，B ＝{x |﹣2＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |12≤x ＜2}，A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤3}． （2）∁R A ＝{x |x ＜12或x ＞3}． 当（∁R A ）∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ， 即A ∩B ＝∅．①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |−√−a ＜x ＜√−a }， 要使B ⊆∁R A ，需√−a ≤12， 解得−14≤a ＜0．综上可得，a 的取值范围为a ≥−14．16．【解答】解：（1）由题可知：﹣1，1为方程x 2+2bx +c ＝0的两个根； 所以，{1−2b +c =0，1+2b +c =0.解之得：b ＝0，c ＝﹣1；（2）因为c ＝b 2+2b +3，f （x ）＝x 2+2bx +c ＝0，所以x 2+2bx +b 2+2b +3＝0 因为x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2bx +b 2+2b +3＝0的两根， 所以△＝4b 2﹣4b 2﹣8b ﹣12≥0即b ≤−32； 所以{x 1+x 2=−2b x 1x 2=b 2+2b +3，因为（x 1+1）（x 2+1）＝8，所以x 1x 2+x 1+x 2＝7，所以﹣2b +b 2+2b +3＝7； 所以b 2＝4，所以b ＝2或b ＝﹣2，因为b ≤−32，所以b ＝﹣2； （3）因为f （1）＝0，所以c ＝﹣1﹣2b 设g （x ）＝f （x ）+x +b ＝x 2+（2b +1）x ﹣b ﹣1， 则有{g(−3)＞0g(−2)＜0g(0)＜0g(1)＞0解得15＜b ＜57，故b 的取值范围为(15，57)；17．【解答】解：（1）因为函数f(x)=x +4x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 所以x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，﹣x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 函数f(x)=x +4x 的定义域关于原点对称， 因为f(−x)=−x −4x =−f(x)， 所以f （x ）是奇函数．（2）函数f （x ）在区间（0，2]上是减函数，证明：任取x 1，x 2∈（0，2]，且0＜x 1＜x 2≤2，f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2， 因为0＜x 1＜x 2≤2，所以2≥x 2＞0，2＞x 1＞0，所以4＞x 1x 2，所以x 1x 2﹣4＜0， 又因x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞0，所以f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(x1x2−4)x1x2＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（0，2]上是减函数．（3）实数t的取值范围为[0，1]．四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．【解答】解：若x＝1，则g[f（1）]＝g（2）＝2，而x+1＝1+1＝2，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝2，则g[f（2）]＝g（1）＝3，而x+1＝2+1＝3，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝3，则g[f（3）]＝g（3）＝2，而x+1＝3+1＝4，即方程g[f（x）]＝x+1不成立．即方程的解为{1，2}，故选：C．19．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在（﹣4，4）上的偶函数，且在（﹣4，0]上是增函数，则f（x）在区间[0，4）上为减函数，又由f（a）＜f（3），则f（|a|）＜f（3），则有|a|＞3，解可得：a＞3或a＜﹣3；又由函数的定义域为（﹣4，4），即a的取值范围为（﹣4，﹣3）∪（3，4）；故选：D．20．【解答】解：x∈[1，3]，x2﹣2ax+5＝0得2a=x2+5x=x+5x≥2√5，当且仅当x=√5成立，又y＝x+5x，y（1）＝6，y（3）=143，所以y∈[2√5，6]，要使函数f（x）＝x2﹣2ax+5在x∈[1，3]上有零点，即2a∈[2√5，6]，a∈[√5，3]，故选：C．五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21．【解答】解：f(x)=√1−x+√x+3的定义域为[﹣3，1]，由基本不等式√a 2+b 22≥a+b 2，得√1−x +√x +1≤2√2，当1﹣x ＝x +3，即x ＝﹣1时，成立，当x ＝﹣3，1时f （x ）＝0，故答案为：2√2；﹣3，1．22．【解答】解：（1）g （x ）＝x +1的值域为R 且在R 上为单调递增函数，则方程g （x ）＝t 只有一个解，所以f （t ）＝1；（2）存在t 使得f （t +2）＞f （t ）成立；即方程的g （x ）＝t +2根的个数比方程g （x ）＝t 的根的个数多；当a ≤0 时，作出函数g （x ）的图象；显然不满足方程的g （x ）＝t +2根的个数比方程g （x ）＝t 的根的个数多；当a ＞0时，作出函数g （x ）的图象；要存在t ，使得方程的g （x ）＝t +2根的个数比方程g （x ）＝t 的根的个数多；则要求二次函数的最大值要大于2；即−4×a−4a 2−4＞2，解得a ＞1；故答案为：1，（1，+∞）．23．【解答】解：（1）由“保值”区间的定义可得函数y ＝x 2的一个“保值”区间为[0，1]；（2）易知，函数f （x ）＝x 2+m （m ≠0）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0），①当[a ，b ]⊆（0，+∞）时，则{a 2+m =a b 2+m =b，即方程x 2﹣x +m ＝0有两个不相等的正根，则{1−4m ＞0m ＞0，解得0＜m ＜14； ②当[a ，b ]⊆（﹣∞，0）时，则{a 2+m =b b 2+m =a ，则a +b ＝﹣1，则{a 2+m =−1−a b 2+m =−1−b，即方程x 2+x +m +1＝0有两个不相等的负根，则{1−4(m +1)＞0m +1＞0，解得−1＜m ＜−34； ③当a ＝0时，此时f （0）＝0，则m ＝0，与题设矛盾；④当b ＝0时，则{f(a)=a 2+m =0f(0)=m =a，即m 2+m ＝0，解得m ＝﹣1或m ＝0（舍去）； 综上，实数m 的取值范围为[−1，−34)∪(0，14)．故答案为：[0，1]；[−1，−34)∪(0，14)．六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．【解答】解：（1）已知x 为实数，用[x ]表示不超过x 的最大整数，所以f （1.2）＝1，f （﹣1.2）＝﹣2．（2）方法1：因为x+12−x 2=12， 所以，只可能有两种情况：（1）存在整数t ，使得t ≤x 2＜x+12＜t +1，此时[x 2]=[x+12]=t ，f （x ）＝0；（2）存在整数t ，使得x 2＜t ≤x+12，此时[x 2]=t −1，[x+12]=t ，f （x ）＝1． 综上，f （x ）的值域为{0，1}．（3）当函数f(x)=x +a x 是Ω函数时，若a ＝0，则f （x ）＝x 显然不是Ω函数，矛盾．若a ＜0，由于都在（0，+∞）单调递增，故f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 同理可证：f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，此时不存在m ∈（﹣∞，0），使得 f （m ）＝f （[m ]），同理不存在m ∈（0，∞），使得 f （m ）＝f （[m ]），又注意到m [m ]≥0，即不会出现[m ]＜0＜m 的情形，所以此时f(x)=x +a x 不是Ω函数．当a ＞0时，设f （m ）＝f （[m ]），所以m +a m =[m]+a [m]，所以有a ＝m [m ]，其中[m ]≠0，当m ＞0时，因为[m ]＜m ＜[m ]+1，所以[m ]2＜m [m ]＜[m ]（[m ]+1），所以[m ]2＜a ＜[m ]（[m ]+1）．当m ＜0时，[m ]＜0，因为[m ]＜m ＜[m ]+1，所以[m ]2＞m [m ]＞[m ]（[m ]+1），所以[m ]2＞a ＞[m ]（[m ]+1）．记k ＝[m ]，综上，我们可以得到：a 的取值范围为{a ∈R |a ＞0且∀k ∈N *，a ≠k 2且a ≠k （k +1）}．。

2019-2020学年北京北京高一上数学期中试卷一、解答题1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=11，S 15=15，则a 2=________．2. 等比数列{a n }中，a 1=1，a 2a 4=16，则a 2=________．3. 数列的前4项为−1，1，−95，277，则此数列的通项公式可以是________．4. 等差数列{a n }中，a 1=2019，a 2019=a 2015−16，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，n 的值为________.5. 已知集合M ={−1,0,1}，N ={0,a 2}，则使M ∩N =N 成立的a 的值是________．6. 奇函数f (x )在(0,+∞)单调递减，f (1)=0，不等式f (x )>0的解集为________.7. 设U =R ，A ={x|2x >1}，B ={x|log 2x >0}，则A ∩∁U B =________．8. 命题“∀x ∈R ，ax 2−2ax +3>0恒成立”是假命题，则a 的取值范围是________．9. 某辆汽车购买时的费用是10万元，每年使用的保险费、高速公路费、汽油费等约为2万元，年维修保养费用第一年0.1万元，以后逐年递增0.2万元．设这辆汽车使用n(n ∈N ∗)年的年平均费用为f(n).(年平均费用=买车费用+每年用车产生的费用使用年数)，则f(n)与n 的函数关系式f(n)=________；这辆汽车报废的最佳年限约为________年．10. 已知数列{a n }的通项公式是a n =2n −12n ，其前n 项和S n =32164，则项数n 的值等于________．11. 设f (x )=4x 4+2，若0<a <1，则f (a )+f (1−a )=________，f (12015)+f (22015)+f (32015)+⋯+f (20142015)=________．12. 数列{a n}中，a n=1+2+3+⋯+nn ，则b n=1a n a n+1的前n项和为________．13. 在用数学归纳法证明不等式：1n+1+1n+2+1n+3+⋯+13n>56,(n≥2,n∈N∗)时，由n=k,(k≥2)推证n=k+1时，左边应增添的项是________.14. 将数列{a n}中的项排成下表：a1a2，a3a4，a5，a6，a7a8，a9，a10，a11，a12，a13，a14，a15⋯已知各行的第一个数a1，a2，a4，a8，⋯构成数列{b n}，b2=3，且{b n}的前n项和S n 满足S n+1+S n−1=2S n+2(n∈N∗，且n≥2).从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若a130=19，则第5行的所有项的和为________.15. 已知数列{a n}满足a n+1=3a n+2(n∈N∗)，且a1=2．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．16. 已知定义域为R的函数f(x)=b−2x2x+a 是奇函数，f(1)=−13．（1）求a，b的值；（2）判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．17. 已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，递增的等比数列{b n}中，前3项和为39，且b2=a4．（1）求数列{a n}, {b n}的通项公式：（2）求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．18. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=√n+1−√n−1，n∈N∗．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n }的通项公式并证明．19. 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%．(1)求实施新政策后，从2016年开始到2035年，第n 年的人口总数a n 的表达式；(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.9910=(1−001)10≈0.9）．20. 同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和时，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．公元13世纪意大利著名数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着一个兔子繁殖问题，从中发现有这样一个数列1，1，2，3，5，8，13，21，34……其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，即a 1=1，a 2=1，a n+2=a n+1+a n (n ∈N ∗,n ≥1)，人们把这个数列{a n }称为斐波那契数列．（1）已知a 20=6765，a 22=17711，则a 21的值是多少？（2）若a 2021=a ，则数列的前2019项和S 2019 如何用a 表示？（3）判断a 12+a 22+a 32+⋯+a 20192a 2019是否为数列{a n }中的项．若是，判断是第几项；若不是，说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年北京北京高一上数学期中试卷一、解答题1.【答案】【考点】等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】【考点】由递推关系式求通项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】【考点】等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】(−∞, 0)∪[3, +∞)【考点】全称命题与特称命题【解析】将条件转化为“∃x∈R，ax2−2ax+3≤0成立，检验a=0是否满足条件，当a≠0时，必须a<0或{a>04a2−12a≥0，从而解出实数a的取值范围．【解答】解：命题“ax2−2ax+3>0恒成立”是假命题，即“∃x∈R，ax2−2ax+3≤0成立”是真命题①．当a=0时，①不成立，当a≠0时，要使①成立，必须a<0或{a>04a2−12a≥0，∴a<0或a≥3.故答案为：(−∞, 0)∪[3, +∞)．9.【答案】n 10+10n+2,10【考点】基本不等式在最值问题中的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】根据条件可以看出年维修保养费用构成以0.1为首项，0.2为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式即可求出n年的维修保养费用，而n年的险费、高速公路费、汽油费等为2n万元，从而可以得出这辆汽车使用n年的总费用，从而可以得出f(n)=n10+10n+2，n∈N∗，而根据基本不等式即可求出n=10时，f(n)取最小值，即得出这辆汽车报废的最佳年限约为10年．【解答】解：根据题意，年维修保养费用构成以0.1为首项，0.2为公差的等差数列；∴n年的维修保养费用为0.1n+n(n+1)2⋅0.2；∴f(n)=10+2n+0.1n+n(n−1)2⋅0.2n =n2+10010n+2=n10+10n+2；即f(n)=n10+10n+2，n∈N∗；n 10+10n≥2；∴f(n)≥4，当n10=10n，即n=10时取“=”；∴这辆汽车报废的最佳年限约为10年．故答案为：n10+10n+2，10．10.【答案】6【考点】数列的求和【解析】由a n＝1−12，根据等比数列前n项和公式，即可求得S n，列方程，即可求得n的值．【解答】由数列{a n}的通项公式是a n=2n−12n =1−12n，前n项和S n＝n−12−12n+11−12=n−1+12n，由S n=32164，则n−1+12n=32164，解得：n＝6，∴项数n的值为6，11.【答案】【考点】函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】【考点】数列的求和【解答】此题暂无解答13.【答案】【考点】数学归纳法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】384【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵S n+1+S n−1=2S n+2(n∈N∗，且n≥2)，∴b n+1−b n=2(n≥2)，b n=b2+(n−2)×2=2n−1(n≥2). ∵a130位于第8行第3列，∴a130=a128+2d=b8+2d=15+2d=19，∴d=2.∵第5行共有16个元素，∴第5行所有项的和为9×16+16×15×2=384.2故答案为：384.15.【答案】【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析17.【答案】【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：(1)当n≤10时，数列{a n}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，∴a n=45.5+0.5×(n−1)=45+0.5n.当n≥11时，数列{a n}是以公比为0.99的等比数列，又a10=50，∴a n=50×0.99n−10.因此，新政策实施后第n年的人口总数a n（单位：万元）的表达式为：a n={45+0.5n,1≤n≤1050×0.99n−10，11≤n≤20 .(2)设S n为数列{a n}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：S20=S10+(a11+a12+⋯+a20)=477.5+4950×(1−0.9910)≈972.5万，（说明：0.9910=(1−0.01)10≈0.9）∴新政策实施到2035年年人口均值为S2020≈48.62万.由S2020<49，故到2035年不需要调整政策.【考点】数列的求和等比数列的通项公式等差数列【解析】(1)根据从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%，可得分段函数；(2)从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式，可求S20，从而可得新政策实施到2035年年人口均值，即可得出结论．【解答】解：(1)当n≤10时，数列{a n}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，∴a n=45.5+0.5×(n−1)=45+0.5n.当n≥11时，数列{a n}是以公比为0.99的等比数列，又a10=50，∴a n=50×0.99n−10.因此，新政策实施后第n年的人口总数a n（单位：万元）的表达式为：a n={45+0.5n,1≤n≤1050×0.99n−10，11≤n≤20 .(2)设S n为数列{a n}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：S20=S10+(a11+a12+⋯+a20)=477.5+4950×(1−0.9910)≈972.5万，（说明：0.9910=(1−0.01)10≈0.9）∴新政策实施到2035年年人口均值为S2020≈48.62万.由S2020<49，故到2035年不需要调整政策.20.【答案】【考点】数列的求和数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。