二次函数图像和性质(4)

我思考，我进步
y=3(x-1)2 +2
把二次函数y=3(x-1)2 加上+2所得 函数y=3(x-1)2+2的图象是怎样的呢？
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我思考，我进步
探讨1、 二次函数y=3x² ,y=3(x1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系? 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?作图看一看．
?
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² ,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象.
y=3x2 y=3x2
向右
向右
y=3(x-1)2 y=3(x-1)2 Nhomakorabea向上
向下
y=3(x-1)2+2 y=3(x-1)2-2
y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系


一般地, y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成 y=ax² 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位 (当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体 上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移) 得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)² +k的图象是一条抛物线, 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值 有关.
A)直线y=-2x上 C)y轴上 B)x轴上 D)直线y=2x上
你答对了 吗?
1.B 2.y=-2(x-1)2-3 3.D 4. y3> y1 > y2
4.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a>0,b 为常数,点 ( 3 ,y1) 点( 5 ,y2)点(8,y3)在该抛物线上,试比 较y1,y2,y3的大小
2 2

2.填写下表:
y=a(x-h)² +k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0 a<0
课堂练习
1.抛物线y=0.5(x+2)2–3可以由抛物线 y=0.5x2 先 向 左 平移2个单位，在向下平移 3 个单位得到。 2.已知s= –(x+1)2–3，当x为 –1 时，s取最 大 值 为 –3 。 3.顶点坐标为(1,1)，且经过原点的抛物线的函数 解析式是( D ) • y=(x+1)2+1 C.y=(x–1)2+1 B. y= –(x+1)2+1 D. y= –(x–1)2+1

2．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y 的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的 值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4 呢?
y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时, 开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 2.不同点: (1) 只是位置不同、顶点不同:分别是(h,k)和(0,0). (2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴. (3)最值不同:分别是k和0. 3.联系: y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移; 当k<0时,向下平移)得到的.
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
探讨2、二次函数y=3(x-1)2-2的图象
y 3( x 1) 2
2
探讨2、二次函数y=3(x1)2-2的图象与抛物线 y=3x2和y=3(x-1)2有何关 系?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x² ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
y 3x 1 2
2
顶点是(1,-2).
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似. 开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x² ,y=3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．
4.已知一条抛物线的形状与开口方向都与抛物 线y= –x2相同，它的顶点在直线y=2x+1上，且 经过这条直线与x轴的交点，求这条抛物线的 解析式。
5.如何来求与坐标轴的交点？
求y=x2+2x-8与坐标轴的交点。
根据图象回答
何时y<0?
何时y>0?
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 （1）求解析式 （2）何时 y=3？ （3）根据图象回答： 当x 时，y>0。
D y=-5(x-2)2-6
1. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物线的解析式可 设为( ) Ay=a(x+3)2+5 Cy=a(x-3)2-5 By=a(x-3)2+5 Dy=a(x+3)2-5
2.抛物线c1的解析式为y=2(x-1)2+3抛物线c2与 抛物线c1关于x轴对称,请直接写出抛物线c2的 解析式_____ 3.二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实数,图 象的顶点必在( )上
1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________ 2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2 3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
4). 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5), 求平移后的抛物线的解析式_______
二次函数的 图象和性质
1.如何同y=-x2的图象得到y=-x2-3的图象。并 说明后者图象的顶点，对称轴，增减性。 2.如何y=2x2的图象得到y=2(x-3)2的图象。并说 明后者图象的顶点，对称轴，增减性。
二次函数y=a(x–h)2的图象和性质.
y=ax2
当h>0时,向左平移
当h<0时,向右平移
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x² ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
练习1:指出下面函数的开口方向，对称 轴，顶点坐标，最值。
1) y=2(x+3)2+5 2) y=4(x-3)2+7 3) y=-3(x-1)2-2 4) y=-5(x+2)2-6
练习2:对称轴是直线x=-2的抛物线是(C)
A y=-2x2-2 B y=2x2-2 C y=-1/2(x+2)2-2
图象和抛物线 y=3x² ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
二次函数y=3(x-1)2+2的
1.指出下列函数图象的开口方向,对称 轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验 证.

3 2 1. y 2x 3 5; 2. y 0.5x 1 ; 3. y 4 x 1; 3 2 2 2 4. y 2x 2 5; 5.y 0.5x 4 2; 6. y 4 x 3 .
二次函数 y=3x² ,y=3(x1)2和y=3(x1)2+2的图象 有什么关系? 它们的开口方 向,对称轴和 顶点坐标分别 是什么?
他们 的形 状是 不是 相同 呢？
y=3x2
向右
y=3(x-1)2
向上
y=3(x-1)2+2
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.
y=a(x–h)2
复习导入
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
观察图象,回答问题
y 3x
2
y 3x 1
2
(1)函数y=3(x-1) 2 的图象与y=3x2的图 象有什么关系?它是 轴对称图形吗?它的 对称轴和顶点坐标 分别是什么?
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(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值 随x值的增大而增大?x取哪些值时,函 数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.