辽宁省沈阳市铁路实验中学届高三数学上学期期中试卷文(含解析)(1)【含答案】

2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}2．若复数z=的共轭复数是=a+bi（a，b∈R），其中i为虚数单位，则点（a，b）为（）A．（﹣1.2）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）3．a、b∈R，“a≠b”是“a2+b2＞2ab”成立的（）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件4．函数f（x）=x3﹣2的零点所在的区间是（）A．（﹣2，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）5．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣6．执行如图所示的程序框图，输出的s为（）A．B．C．D．7．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（）A．12 B．11 C．8 D．﹣18．已知{a n}是等比数列，其中a1，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a1+a8）2=2a3a6+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．9．将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率=〕（）A．B．C．D．10．若函数f（x）=的最小值是2，则实数c的取值范围是（）A．c≤1 B．c≥1 C．c＜0 D．c∈R11．若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a ＞1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二、填空题13．已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．其中是平面α∥平面β的充分条件的为．（填上所有符合要求的序号）14．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：X 0 1 2 3y ﹣1 1 m 8若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值是．15．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．16．已知函数f（x）=，若f（4）＞1，则实数a的取值范围是．三、解答题17．在△ABC中，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，sinB=2sinC，求S△ABC．18．已知数列{a n}的首项a l=1，a n+1=（n∈N*）．（I）证明：数列{﹣}是等比数列；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和Sn．19．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设E是棱CC1的中点．（1）求证：BD⊥AE；（2）求证：AC∥平面B1DE；（3）求三棱锥A﹣B1DE的体积．20．某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对），进行了如下的调查研究．全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2x2列联表：支持反对总计男生30女生25总计（I）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？（皿）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率．0.10 0.050 0.010 0.005 0.001参考公式及临界表：K2=P（K2≥k0）k0 2.706% 3.841 6.635 7.879 10.828 21．已知f（x）=ax+xlnx（a∈R）．（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＜x2在（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．【选修4一1：几何证明选讲】22．如图，已知圆的两条弦AB，CD，延长AB，CD交于圆外一点E，过E作AD的平行线交CB的延长线于F，过点F作圆的切线FG，G为切点．求证：（I）△EFC∽△BFE；（Ⅱ）FG=FE．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=6．（I）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值；（Ⅱ）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x+2|+|2x﹣1|﹣m．（I）当m=5时，解不等式f（x）≥0；（Ⅱ）若f（x）≥对于x∈R恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁U B={2，5}，又集合A={2，3，5}，则集合A∩∁U B={2，5}．故选：B．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．2．若复数z=的共轭复数是=a+bi（a，b∈R），其中i为虚数单位，则点（a，b）为（）A．（﹣1.2）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z===﹣2﹣i，∴ =﹣2+i，点（a，b）为（﹣2，1）．故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．a、b∈R，“a≠b”是“a2+b2＞2ab”成立的（）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】规律型．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2，∴若a≠b，则a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0，即a2+b2＞2ab成立．若a2+b2＞2ab，则a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0，∴a≠b，∴“a≠b”是“a2+b2＞2ab”成立的充要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．函数f（x）=x3﹣2的零点所在的区间是（）A．（﹣2，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】据要求函数的零点，使得函数等于0，解出自变量x的值，在四个选项中找出零点所在的区间，得到结果．【解答】解：要求y=x3﹣2的零点，只要使得x3﹣2=0，∴x=，（1，2）∴函数的零点位于（1，2）故选：C．【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是使得函数等于0，解出结果，因为所给的函数比较简单，能够直接做出结果．5．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为 y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，输出的s为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【专题】转化思想；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出k=2016时循环终止，求出此时输出的结果即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得：当k=2015时，满足循环条件，还应进入循环，当k=2016时，不满足循环条件，推出循环体；故输出结果为+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=．故选：A．【点评】不同考查了程序语言的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，是基础题目．7．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（）A．12 B．11 C．8 D．﹣1【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x+y 对应的直线进行平移，可得当x=y=2时，z=3x+y取得最小值为8．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，2），B（，），C（3，2）设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A（2，2）时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（2，2）=8故选：C【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．8．已知{a n}是等比数列，其中a1，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a1+a8）2=2a3a6+6，则锐角α的值为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质；函数的零点；等比数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列；三角函数的求值．【分析】由已知条件运用韦达定理推导出a1+a8=2sinα，a1•a8=a3a6=﹣sinα，由（a1+a8）2=2aa6+6，得4sin2α=6﹣2sinα，由此能求出锐角α的值．3【解答】解：∵{a n}是等比数列，a1和a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，∴a1+a8=2sinα，a1•a8=a3a6=﹣sinα，∵（a1+a8）2=2a3a6+6，∴4sin2α=6﹣2sinα，解得sinα=，∴锐角α的值为．故选C．【点评】本题考查等比数列的性质和运用，考查三角函数的求值，注意特殊角的三角函数值，属于中档题．9．将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率=〕（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设正方体的棱长为1，根据切削部分为三棱锥，求出剩余部分的体积，可得答案．【解答】解：如图，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥A﹣A1B1D1，其体积为，又∵正方体的体积为1，则剩余部分（新工件）的体积为，故选C．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．若函数f（x）=的最小值是2，则实数c的取值范围是（）A．c≤1 B．c≥1 C．c＜0 D．c∈R【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】化简f（x）==+，从而利用基本不等式可得1﹣c≥0，从而解得．【解答】解：∵f（x）==+，∴f（x）≥2，（当且仅当=，即x2=1﹣c有解时，等号成立），故1﹣c≥0，解得，c≤1；故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的应用及函数的最值的求法．11．若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】先求f′（x）=6x2﹣6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，可设g（x）=6x2﹣6mx+6，所以讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（2，+∞）上恒成立：△≤0时，容易求出﹣2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，m需要满足，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可．【解答】解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（2，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；∴（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：；解得；∴；∴综上得；∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选D．【点评】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式△的取值情况和二次函数取值的关系．12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a ＞1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】作图题；函数的性质及应用．【分析】作出在区间（﹣2，6]内函数f（x）的图象，将方程的根的个数化为函数图象交点的个数．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∵对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），∴f（x）是周期函数，且周期为4；∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴其在区间（﹣2，6]内的图象如右图，∴在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f（x）的图象与y=log a（x+2）的图象有且只有三个不同的交点，则log a（2+2）＜3，且log a（6+2）＞3解得，a∈（，2）．故选D．【点评】本题通过分析可得函数f（x）的性质，并由这些性质根据图象变换作出其图象，将方程问题化为图象交点问题，属于中档题．二、填空题13．已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．其中是平面α∥平面β的充分条件的为①④．（填上所有符合要求的序号）【考点】平面与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】利用空间直线与平面平行、垂直的判定与性质和平面与平面平行的判定与性质，对各个选项分别加以推理论证，则不难得到本题的正确答案．【解答】解：对于①，根据直线与平面垂直的性质可知，当直线a⊥α且a⊥β，必有平面α、β互相平行时，故①正确；对于②，以长方体的一个角为例，可知γ⊥α且γ⊥β时，也可能α、β相交，不一定有α∥β，故②不正确；对于③，当α、β相交，交线l既与a平行，又与b平行时，存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，因此，③不正确；对于④，存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α．可将α内的直线平移到β内的直线c，则有相交直线b、c都与平面α平行，根据面面平行的判定定理，可得④正确．故答案为：①④【点评】本题以充分条件的判断为载体，寻找使两个平面平行的充分条件，着重考查了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的判定与性质等知识点，属于基础题．14．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：X 0 1 2 3y ﹣1 1 m 8若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值是 4 ．【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案．【解答】解：由题意， =1.5， =，∴样本中心点是坐标为（1.5，），∵回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为=3x﹣，∴=3×1.5﹣1.5，∴m=4故答案为：4．【点评】本题考查了线性回归直线的性质，回归直线必过样本的中心点．15．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y ﹣4=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0故答案为：3x+y﹣4=0【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．16．已知函数f（x）=，若f（4）＞1，则实数a的取值范围是．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式，解不等式即可得到结论．【解答】解：由分段函数的表达式可知，f（4）=f（）=f（﹣2）=﹣2（3a﹣1）+4a=2﹣2a，若f（4）＞1，则2﹣2a＞1，即2a＜1，解得，故答案为：【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式分别进行求解和化简是解决本题的关键．三、解答题17．在△ABC中，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，sinB=2sinC，求S△ABC．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】综合题．【分析】（I）利用条件，结合二倍角公式，即可求得角A的大小；（II）利用正弦定理，求得b=2c，再利用余弦定理，即可求得三角形的边，从而可求三角形的面积．【解答】解：（I）由已知得：，…∴．…∵0＜A＜π，∴．…（II）由可得：…∴b=2c…∵…∴…∴．…【点评】本题考查二倍角公式的运用，考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．18．已知数列{a n}的首项a l=1，a n+1=（n∈N*）．（I）证明：数列{﹣}是等比数列；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）a n+1=（n∈N*），两边取倒数可得： =，变形为=，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）（Ⅰ）知=，即=，b n==，再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n+1=（n∈N*），∴=，变形为=，又a1=1，∴﹣=，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知==，即=，∴b n==．设T n=+…+，①则=+…++，②由①﹣②得， =+…+﹣=﹣=1﹣．∴T n=2﹣．又=．∴数列{b n}的前n项和S n=2﹣+．【点评】本题考查了递推关系的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设E是棱CC1的中点．（1）求证：BD⊥AE；（2）求证：AC∥平面B1DE；（3）求三棱锥A﹣B1DE的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）通过证明BD⊥平面AEC，得出BD⊥AE；（2）通过△ACC1的中位线证明线线平行，再证明线面平行；（3）点A到平面B1DE的距离等于点C到平面B1DE的距离，利用等积法求出三棱锥A﹣B1DE 的体积．【解答】解：（1）证明：连接BD，AE，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵EC⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴EC⊥BD，且EC∩AC=C，∴BD⊥平面AEC，又AE⊂平面AEC，∴BD⊥AE；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：连接AC1，设AC1∩B1D=G，则G为AC1的中点，E为C1C的中点，∴GE为△ACC1的中位线，∴AC∥GE，GE⊂平面B1DE，AC⊄平面B1DE，∴AC∥平面B1DE；（3）由（2）知，点A到平面B1DE的距离等于点C到平面B1DE的距离，∴三棱锥A﹣B1DE的体积是==•DC=×（×1×2）×2=，∴三棱锥A﹣B1DE的体积为．【点评】本题考查了空间中的垂直与平行的判断与性质的应用问题，也考查了求几何体的体积的问题，是综合性题目．20．某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对），进行了如下的调查研究．全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2x2列联表：支持反对总计男生30女生25总计（I）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？（皿）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率．参考公式及临界表：0.10 0.050 0.010 0.005 0.001K2=P（K2≥k0）k0 2.706% 3.841 6.635 7.879 10.828【考点】独立性检验．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用所给数据，可以完成列联表；求出k0，与临界值比较，即可得出能否有99.9%的把握认为态度与性别有关；（Ⅱ）确定基本事件的个数，根据概率公式，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）列联表如下：支持反对总计男生30 50 80女生45 25 70总计75 75 150计算得K2=≈10.714＜10.828，所以没有99.9%的把握认为态度与性别有关．…（Ⅱ）随机抽取一男一女所有可能的情况有24种，其中恰有一人支持一人反对的可能情况有2×2+4×212种，所以概率为P=．…【点评】本题考查概率知识的运用，考查独立性检验知识，确定基本事件是关键．21．已知f（x）=ax+xlnx（a∈R）．（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＜x2在（1，+∞）恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，可得a=﹣1，再由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由题意：ax+xlnx＜x2，即a＜x﹣lnx，由x＞1，可得a＜x﹣lnx恒成立．令g（x）=x﹣lnx，求出导数，求得单调区间和极值、最值，即可得到a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），求导可得f′（x）=a+1+lnx，由f′（1）=0得a+1=0，解得a=﹣1，即f（x）=﹣x+xlnx，f′（x）=lnx，令f′（x）＞0得x＞1；令f′（x）＜0得0＜x＜1，所以f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（Ⅱ）由题意：ax+xlnx＜x2，即a＜x﹣lnx，∵x＞1，∴a＜x﹣lnx恒成立．令g（x）=x﹣lnx，则g′（x）=1﹣=，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=1，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞1，∴当a≤1时，a＜g（x）恒成立，∴a的取值范围为（﹣∞，1]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查运算能力，属于中档题．【选修4一1：几何证明选讲】22．如图，已知圆的两条弦AB，CD，延长AB，CD交于圆外一点E，过E作AD的平行线交CB的延长线于F，过点F作圆的切线FG，G为切点．求证：（I）△EFC∽△BFE；（Ⅱ）FG=FE．【考点】相似三角形的判定．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）由直线平行的性质得∠FEB=∠A，由圆周角定理得∠A=∠C，由此能证明△EFC∽△BFE．（Ⅱ）由三角形相似的性质得EF2=FB•FC，由切割线定理得FG2=FB•FC，由此能证明FG=FE．【解答】证明：（Ⅰ）∵EF∥AD，∴∠FEB=∠A，又∠A=∠C，∴∠C=∠FEB，在△EFC与△BFE中，∵，∴△EFC∽△BFE．…（Ⅱ）∵△EFC∽△BFE，∴，∴EF2=FB•FC，又FG是圆的切线，由切割线定理得FG2=FB•FC，∴EF2=FG2，∴FG=FE．…【点评】本题考查三角形相似的证明，考查线段相等的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意圆周角定理和切割线定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（α为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=6．（I）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值；（Ⅱ）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（I）化极坐标方程为普通方程，设出P的坐标，利用点到直线的距离公式求出距离，利用三角函数的最值求出此最大值；（Ⅱ）求出椭圆的参数方程，利用此时的几何意义，求解点M到A，B两点的距离之积．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=6化成普通方程为x﹣y﹣6=0．设点P的坐标为（cosθ，sinθ），则点P到直线l的距离为：=，∴当=﹣1时，点P（﹣），此时=．…（Ⅱ）曲线C化成普通方程为，即x2+3y2=3，l1的参数方程为（t为参数）代入x2+3y2=3化简得，得t1t2=﹣1，所以点M到A，B两点的距离之积：1．…【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程以及极坐标方程的应用，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x+2|+|2x﹣1|﹣m．（I）当m=5时，解不等式f（x）≥0；（Ⅱ）若f（x）≥对于x∈R恒成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（I）当m=5时，运用去绝对值的方法，讨论当x≥时，当x≤﹣2时，当﹣2＜x ＜时，分别解不等式，最后求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|x+2|+|2x﹣1|≥m+恒成立，运用分类讨论的思想求得|x+2|+|2x﹣1|的最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（I）当m=5时，不等式f（x）≥0，即为|x+2|+|2x﹣1|≥5，当x≥时，不等式即为x+2+2x﹣1≥5，即有x≥；当x≤﹣2时，不等式即为﹣x﹣2+1﹣2x≥5，即有x≤﹣2；当﹣2＜x＜时，不等式即为x+2+1﹣2x≥5，即有x≤﹣2，则x∈∅．综上可得原不等式的解集为{x|x≤﹣2或x≥}；（Ⅱ）f（x）≥对于x∈R恒成立，即有|x+2|+|2x﹣1|≥m+恒成立，当x≥时，|x+2|+|2x﹣1|=x+2+2x﹣1=3x+1≥；当x≤﹣2时，|x+2|+|2x﹣1|=﹣x﹣2+1﹣2x=﹣1﹣3x≥5；当﹣2＜x＜时，|x+2|+|2x﹣1|=x+2+1﹣2x=3﹣x∈（，5）．则|x+2|+|2x﹣1|的最小值为，即有m+≤，即为m≤1．则m的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论，考查不等式恒成立问题的解法，运用参数分离和含绝对值函数最值的求法，属于中档题．。

沈阳铁路实验中学2016-2017学年度上学期期中考试高三数学（理）时间：120分钟 分数：150分 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数21iz i=-，z 为z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ） A ．2- B ． 0 C ．2 D ． 2 2．已知集合}023|{2≥+-=x x x A ,}01|{≥-=x xx B ，则集合=B A I （ ） A ．}1|{≤x x B ．2|{≥x x 或}0≤x C ．}21|{≤<x x D ．}21|{≤≤x x 3．已知命题xxR x p 32,:<∈∀，命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．q p ∧ B ．q p ∧⌝ C ．q p ⌝∧ D ．q p ⌝∧⌝ 4．函数()sin 6f x x πω⎛⎫=A +⎪⎝⎭（0ω>）的图象与x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，若要得到函数()sin g x x ω=A 的图象，只要将()f x 的图象（ ）个单位A ．向左平移6π B ．向右平移6πC ．向左平移12πD ．向右平移12π5．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布2(100,5)N ，且(110)0.98P ξ<=，则(90100)P ξ<<的值为（ ）A ．0.49B ．0.52C ．0.51D ．0.48 6．如图给出的是计算1111124640304032+++++…的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A ．4030i ≤B ．4030i ≥C ．4032i ≤D ．4032i ≥ 7．设()0cos sin a x x dx π=-⎰，则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的3x 项的系数为（ ）A ．160-B ．20C ．20-D ．1608．已知函数f （x ）=a ﹣x 2（1≤x ≤2）与g （x ）=x+2的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣，+∞）B ．[﹣，0]C ．[﹣2，0]D ．[2，4] 9．已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．19- B ．45 C ．45- D ．1910．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为n m ,，则函数1323+-=nx mx y 在[)∞+,1上为增函数的概率是（ ） A ．21 B ．65 C ．43 D ．32 11．把座位编号为6,5,4,3,2,1的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（ ）A.240B. 144C.196D. 28812．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有'22()()f x xf x x +>，则不等式2(2016)(2016)4(2)0x f x f ++-->的解集为（ ）A ．(,2016)-∞-B ．(,2018)-∞-C ．(2018,0)-D ．(2016,0)-第Ⅱ卷 (共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.)13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()12f x f x +=-，当12x ≤≤时，()f x x =，则112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________． 14．曲线xy 2=与直线1-=x y 及4=x 所围成的封闭图形的面积为_________. 15．设函数()(0)22xf x x x =>+，观察： 1()()22xf x f x x ==+， 21()(())64xf x f f x x ==+， 32()(())148xf x f f x x ==+， 43()(())3016xf x f f x x ==+， ……，根据以上事实，当*n N ∈时，由归纳推理可得：(1)n f = .16．已知()()()2,1xf x xeg x x a ==-++,若[]12,2,0x x ∃∈-,使得()()21f x g x ≤成立, 则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．(本小题满分12分)已知函数21cos 2()sin sin()42sin()2x f x x a x x ππ+=+++-（Ⅰ）求函数y = f （x ）的单调递增区间； （Ⅱ）当x ∈ ［0，512π］ 时，函数 y = f （x ）的最小值为 212+，试确定常数a 的值．18．(本小题满分12分)2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾， 5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民损款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，投抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30损款不超过500元 6合计附：临界值参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.2()P K k≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．(本小题满分12分)已知函数()ln a f x x x=-. （1）若a>0,试判断()f x 在定义域内的单调性; （2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32,求a 的值;20．(本小题满分12分)已知向量(cos ,1)2x m =-u r ，2(3sin ,cos )22x x n =r ，函数()1f x m n =⋅+u r r ．（1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11()10f x =，求cos x 的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2cos 23b A c a ≤-，求角B 的取值范围．21．(满分12分)已知函数()()()()()222220,6xf x exx a a g x x x c c R =-+->=++∈.（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为42y x =--,求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =时, 对[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-,使得()()12f x g x <成立, 求实数c 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域．．．．．．．．指定位置答题．．．．．．，并用．．2B ．．铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．．．．．．．．．．．．．．．．．.注意所做题目的题号必须与所涂题．．．．．．．．．．．．．．．目的题号一致．．．．．．.22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程式21222tx t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 是参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22)4πρθ=+．（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为(1,0)，求||||PA PB +的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =+-+．（1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合M={-1,0,1},N={x|x 2≤x},则M∩N= （ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{-1,1}D ．{-1,0 }2已知复数11z i =+，则z ·i 在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.33log log a b>是“22a b>”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 4.下列命题错误的是 ( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =“的逆否命题为”若21,320x x x ≠-+≠则B 若命题2:R,10p x x x ∃∈++=，则10p x R x x ⌝∀∈++≠2为:, C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．2"2"320"x x x >-+>是的充分不必要条件5在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量m (),,b c c a =--n (),b c a =+，若向量m⊥n ，则角A 的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．32π6. 函数()()22log ax x f a -=在)1,0(上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 B. )2,1( C. ]2,1( D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 7．定义在R 上的偶函数]1,0()()1()(∈-=+=x x f x f x f y ，且当满足时单调递增， 则（ ）A ．)25()5()31(f f f <-< B ．)5()25()31(-<<f f fC ．)5()31()25(-<<f f fD ．)25()31()5(f f f <<- 8.已知函数f x ()在R 上可导，且222f x x x f '=+⋅()()，则1f -()与1f ()的大小关系为 A ．1f -()=1f () B ． ()11f f ->() C ．()11f f -<() D ．不确定10.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的图象如图1所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，则只需将()f x 的图象( )A.向右平移π6个长度单位 B.向右平移π12个长度单位C.向左平移π6个长度单位D.向左平移π12个长度单位 图111.在△ABC 中，若2···AB AB AC BA BC CACB =++，则△ABC 是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形12. 已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数，且)()(x f x f '<对于R x ∈恒成立，设x e x f x F )()(=（e 为自然对数的底）, 则( )A. )0()2012(F F >B. )0()2012(F F <C. )0()2012(F F =D. )2012(F 与)0(F 的大小不确定 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = 14. 已知:()()110p x m x m -+--<；:1223q x <<，若q 是p 的充分不必要条件， 则实数m 的取值范围是___________________15. 、定义运算b a *为:()(),⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f(x)=x x cos sin *的值域为16 .给定下列命题①半径为2，圆心角的弧度数为21的扇形的面积为21；②若a 、β为锐角，21tan ,31)tan(==+ββa ，则42πβ=+a ； ③若A 、B 是△ABC 的两个内角，且sinA ＜sinB ，则BC ＜AC ；④若a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长，且222c b a -+<0则△ABC 一定是钝角三角形．其中真命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

辽宁省沈阳铁路实验中学2015届上学期高三期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{|0},,A y y A B B =≥= 则集合B 不可能是： （）A．{|0}y y x =≥ B ．1{|(),}2x y y x R =∈ C ．{|lg ,0}y y x x => D ．∅2.已知复数1z ai =+()a ∈R （i 是虚数单位），3455z i z =-+，则a =A. 2B. 2-C. 2±D. 12-3.函数(1)y f x =-的图像与1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+4，若cos α=-54,α是第三象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛+24tan απ （ ） A 、 2 B 、21 C 、 -2 D 、 -215. .如图的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A. c x >?B. x c > ?C. c b > ?D. b c >?6．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x，则)3log 2(2+f 的值为（ ）A ．241B ．121 C ．61 D ．31 7，在ABC ∆中，，6π=∠A D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C不重合）且=∠∙+B DC BD 则, （ ）A 、12π B 、125π C 、4π D 、 127π8.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是： （ ）9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,,下列说法不正确的是（ ） (A) sin sin A B >是a b >的充要条件 (B) cos cos A B >是A B <的充要条件(C) 222a b c +<的必要不充分条件是ABC ∆为钝角三角形 (D) 222a b c +>是ABC ∆为锐角三角形的充分不必要条件 10．函数10,ln )(<<=x xxx f 当时下列式子大小关系正确的是 （ ）A ．)()()(22x f x f x f << B ．)()()(22x f x f x f <<C ．)()()(22x f x f x f <<D ．)()()(22x f x f x f <<11．给出以下四个命题中，真命题的个数为： （ ）①若命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”②函数123+⋅=xy 的图象可以由函数xy 2=的图象仅通过平移得到。

辽宁省沈阳市铁路实验中学2015届高三上学期期初数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）设集合A=[x||x﹣1|＜2}，B={y|y2=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．（﹣1，2] D．（1，4）2．（5分）若复数z=（a2+2a﹣3）+（a﹣l）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣3 B．﹣3或1 C．3或﹣1 D．13．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50，60）的汽车大约有（）A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆6．（5分）函数的零点x0属于区间（）A．B．C．D．7．（5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为（）A．B．C．D．8．（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C． D．9．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A．B．C．0 D．﹣10．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）12．（5分）函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f （ln2）=2，则不等式f（x）＞e x的解是（）A．x＞1 B．0＜x＜1 C．x＞ln2 D．0＜x＜ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若直线y=kx﹣3与曲线y=2lnx相切，则实数k=．14．（5分）某程序框图如图所示，现输入四个函数（1）f（x）=x2，（2）f（x）=，（3）f （x）=ln x+2x﹣6，（4）f（x）=sin x，则输出函数是．15．（5分）已知正数x、y满足，则z=4﹣x的最小值为．16．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分.17．已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，全集U=R．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．（2）若∁U B⊉A，求实数a的取值范围．18．（12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如下（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．（Ⅰ）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？幸福感强幸福感弱合计留守儿童非留守儿童合计（Ⅱ）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．参考公式：；附表：P（x2≥k）0.050 0.010k 3.841 6.63519．已知，（1）求z=x+2y的最大和最小值．（2）求z=的取值范围．（3）求z=x2+y2的最大和最小值．20．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考公式：=，=﹣b；参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）21．已知函数f（x）=，（其中常数a＞0）（Ⅰ）当a=1时，求曲线在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数x∈（a，2]使得不等式f（x）≤e2成立，求a的取值范围．请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（共1小题，满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【选修4-4：极坐标与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆C上的点到直线l的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．（C）已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．辽宁省沈阳市铁路实验中学2015届高三上学期期初数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）设集合A=[x||x﹣1|＜2}，B={y|y2=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．（﹣1，2] D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出集合A，B，从而便可求出A∩B．解答：解：A=（﹣1，3），y2=2x，x∈[0，2]，∴0≤2x≤4，∴0≤y2≤4，∴﹣2≤y≤2，∴B=[﹣2，2]；∴A∩B=（﹣1，3）∩[﹣2，2]=（﹣1，2]；故选C．点评：考查绝对值不等式的解法，交集的运算．2．（5分）若复数z=（a2+2a﹣3）+（a﹣l）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣3 B．﹣3或1 C．3或﹣1 D．1考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数z的实部等于0且虚部不等于0列式求解实数a的值．解答：解：∵复数z=（a2+2a﹣3）+（a﹣l）i为纯虚数，则，解得a=﹣3．∴实数a的值为﹣3．故选：A．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题．3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50，60）的汽车大约有（）A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：首先要做出事件发生的频率，在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，用长乘以宽，得到频率，用频率乘以总体个数，得到这个范围中的个体数．解答：解：在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，在[50，60）的频率为0.03×10=0.3，∴大约有200×0.3=60辆．故选C点评：本题考查频率分步直方图，考查频率分步直方图中小长方形的面积等于频率，本题考查频率，频数和样本容量之间的关系，这三个量可以做到知二求一．6．（5分）函数的零点x0属于区间（）A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得 f（）＞0，f（）＜0，可得f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数零点所在的区间．解答：解：由于幂函数为（0，+∞）上的增函数，指数函数为R上的减函数，则f（）=＞0，f（）=＜0，故f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（1，2），故答案为：B点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，由函数的解析式求函数的值，属于基础题．7．（5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论．解答：解：设圆的半径为1．则正方形的边长为2，根据几何概型的概率公式可以得到，即，故选：D．点评：本题主要考查几何概型的应用，根据几何概型的概率公式，进行估计是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．解答：解：由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．故选：B．点评：本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．9．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A．B．C．0 D．﹣考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．解答：解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，∴f（）=f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选：A．点评：本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）考点：余弦函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．故选：D点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．11．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g （x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．解答：解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．12．（5分）函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f （ln2）=2，则不等式f（x）＞e x的解是（）A．x＞1 B．0＜x＜1 C．x＞ln2 D．0＜x＜ln2考点：利用导数研究函数的单调性．分析：造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案．解答：解：∵∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，∵不等式f（x）＞e x，∴g（x）＞1，∵f（ln2）=2，∴g（ln2）=1，∴x＞ln2，故选：C．点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若直线y=kx﹣3与曲线y=2lnx相切，则实数k=2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：∵y=2lnx，∴y'=，设切点为（m，2lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，2lnm）处的切线方程为：y﹣2lnm=×（x﹣m）．它过点（0，﹣3），∴﹣3﹣2lnm=﹣2，∴m=e，∴k==2故答案为：2．点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14．（5分）某程序框图如图所示，现输入四个函数（1）f（x）=x2，（2）f（x）=，（3）f（x）=ln x+2x﹣6，（4）f（x）=sin x，则输出函数是（4）．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：本题的框图是一个选择结构，其算法是找出即是奇函数存在零点的函数，由此规则对四个选项进行比对，即可得出正确选项．解答：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．（1）．∵f（x）=x2，不是奇函数，故不满足条件①（2）．∵f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②（3）．∵f（x）=lnx+2x﹣6的定义域（0，+∞）不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，故不满足条件①（4）．∵f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件故答案为：（4）．点评：本题考查选择结构，解答本题的关键是根据框图得出函数所满足的性质，然后比对四个选项中的函数，对四个函数的性质比较了解也是判断出正确答案的关键．15．（5分）已知正数x、y满足，则z=4﹣x的最小值为．考点：简单线性规划的应用；有理数指数幂的运算性质．专题：计算题；数形结合．分析：先将z=4﹣x化成z=2﹣2x﹣y，再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z1=﹣2x﹣y过点A（1，2）时，z1最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域∵z=4﹣x化成z=2﹣2x﹣y直线z1=﹣2x﹣y过点A（1，2）时，z1最小值是﹣4，∴z=2﹣2x﹣y的最小值是2﹣4=，故答案为．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．16．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．解答：解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f （x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．三、解答题：本大题共70分.17．已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，全集U=R．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．（2）若∁U B⊉A，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：（1）由A∩B=∅用数轴解a，（2）A∩B=∅等价于A⊆∁U B；则由（1）可直接得到（2）的解．解答：解：（1）∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，又∵A∩B=∅，∴，解得，﹣1≤a≤2．（2）∵若A∩B=∅，则A⊆∁U B；则这时﹣1≤a≤2．则∁U B⊉A的解为a＜﹣1或a＞2．点评：本题考查了集合间的相互关系，同时应用了否定，属于基础题．18．（12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如下（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．（Ⅰ）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？幸福感强幸福感弱合计留守儿童非留守儿童合计（Ⅱ）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．参考公式：；附表：P（x2≥k）0.050 0.010k 3.841 6.635考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由调查数据能作出2×2列联表，根据观测值的计算公式代入数据做出观测值，把所得的观测值同临界值进行比较，即可得出结论．（Ⅱ）确定基本事件的个数，即可求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．解答：解：（Ⅰ）幸福感强幸福感弱合计留守儿童 6 9 15非留守儿童18 7 25合计24 16 40…（3分）∴…（5分）∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关．…（6分）（Ⅱ）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：a1，a2；幸福感弱的孩子3人，记作：b1，b2，b3． (7)事件Ω：“抽取2人”包含的基本事件有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共10个...（9分）事件A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有：（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），共6个． (11)∴ (12)点评：本题考查概率知识的运用，考查独立性检验的应用和列联表的做法，本题解题的关键是正确计算出这组数据的观测值，理解临界值对应的概率的意义．19．已知，（1）求z=x+2y的最大和最小值．（2）求z=的取值范围．（3）求z=x2+y2的最大和最小值．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：由约束条件作出可行域．（1）化目标函数为直线方程的斜截式，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案；（2）化z=为，由其几何意义即动点与定点连线的斜率得答案；（3）由z=x2+y2=（x﹣0）2+（y﹣0）2表示可行域内的点（x，y）到（0，0）的距离的平方得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图．（1）由z=x+2y得，作一组平行线l：，解方程组得最优解A（3，1），∴z min=3+2×1=5．解得最优解B（7，9），∴z max=7+2×9=25；（2）表示可行域内的点（x，y）与（0，0）的连线的斜率．从图中可得，k OA≤z≤k OC，又，∴．（3）z=x2+y2=（x﹣0）2+（y﹣0）2表示可行域内的点（x，y）到（0，0）的距离的平方．从图中易得，，（O到直线AC的距离的平方），．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．20．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考公式：=，=﹣b；参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）考点：线性回归方程；散点图．专题：概率与统计．分析：（1）根据数据，作出散点图．（2）根据回归直线方程的求法求出线性回归方程．（3）根据回归直线方程进行预测．解答：解：（1）由数据作出散点图：分（2）序号x y xy x2l 3 2.5 7.5 92 43 12 163 54 20 254 6 4.5 27 3618 14 66.5 86…（6分）所以：所以线性同归方程为：y'=0.7x+0.35…（9分）（3）x=100时，y'=0.7×100+0.35=70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤…（12分）点评：本题主要考查回归直线的基础知识，要求熟练掌握最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并能运用回归直线进行预测．21．已知函数f（x）=，（其中常数a＞0）（Ⅰ）当a=1时，求曲线在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数x∈（a，2]使得不等式f（x）≤e2成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出f（0），求出原函数的导函数，再求出f′（1），则曲线在（0，f（0））处的切线方程可求；（Ⅱ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性，把存在实数x∈（a，2]使不等式f（x）≤e2成立转化为在（a，2]上成立，然后由a+1≤2和a+1＞2分类求出f（x）的最小值，由最小值小于等于e2求解a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，，，∴f（0）=﹣1，f′（0）=﹣2，∴曲线在（0，f（0））处的切线方程为：2x+y+1=0；（Ⅱ）函数的定义域{x|x≠a}．由f（x）=，得，令f'（x）=0，得x=a+1，当x∈（﹣∞，a），（a，a+1）时，f′（x）0．∴f（x）在（﹣∞，a），（a，a+1）递减，在（a+1，+∞）递增．若存在实数x∈（a，2]使不等式f（x）≤e2成立，只需在（a，2]上成立，①若a+1≤2，即0＜a≤1时，，∴a+1≤2，即a≤1，∴0＜a≤1；②若a+1＞2，即1＜a＜2，，解得a≤1，又1＜a＜2，∴a∈∅．综上，a的取值范围是（0，1]．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（共1小题，满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．考点：与圆有关的比例线段．专题：综合题；立体几何．分析：（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．解答：证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．点评：本题考查弦切角定理，考查三角形的相似，考查角平分线的性质，属于中档题．【选修4-4：极坐标与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆C上的点到直线l的距离的最小值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆心C（0，﹣2）到直线x+y﹣1=0的距离，即可得到圆C上的点到直线的距离的最小值．解答：解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为x+y﹣3=0，ρ+2sinθ=0，两边同乘以ρ得ρ2+2ρcosθ=0，得⊙C的直角坐标方程为（x+1）2+y2=1；（Ⅱ）因为圆心为C（﹣1，0），所以点C到直线的距离为d==2，所以圆上的点到直线距离的最小值为2﹣1．点评：本题考查极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，考查点线距离公式的运用，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．（C）已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．考点：带绝对值的函数．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用绝对值的几何意义直接求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）求出函数的最小值，然后求解关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，得到实数m 的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6，即|2x+3|+|2x﹣1|≤6．不等式的几何意义，是数轴是的点2x，到﹣3与1的距离之和不大于6，∴﹣4≤2x≤2，解得﹣2≤x≤1，不等式的解集为{x|﹣2≤x≤1}；（Ⅱ）函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．由绝对值的几何意义可知：f（x）min≥4，关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，只须：4＜|m﹣1|，解得m＜﹣3或m＞5．点评：本题考查带绝对值的函数的应用，绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义是解题的关键．- 21 -。

辽宁省沈阳市铁路实验中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|2x+1≥1}，则（∁R M）∩N=( )A．（3，+∞）B．∪3．tan300°+的值是( )A．1+B．1﹣C．﹣1﹣D．﹣1+考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式易得tan300°=﹣tan60°=﹣，==1，从而可得tan300°+的值．解答：解：因为tan300°+=tan（360°﹣60°）+，由诱导公式一知，tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣，又=，故tan300°+=1﹣，故选：B．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查运算能力，属于中档题．4．函数f（x）=2x﹣3的零点为( )A．（，0）B．（0，）C．D．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：先求得方程2x﹣3=0的根，即为相应的函数y=f（x）的零点．解答：解：令2x﹣3=0，解得，∴函数f（x）的零点为．故选C．点评：本题考查了函数f（x）的零点，正确理解函数f（x）的零点即为方程f（x）=0的根是解决问题的关键．5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由上程序框图，当运行程序后，写出每次循环x，y，z的值，当z＜20不成立，输出所求结果即可．解答：解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④考点：空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；压轴题；空间位置关系与距离．分析：根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．解答：解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A点评：本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．7．当时，函数f（x）=sinx+cosx的( )A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域．解答：解：∵f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），∵，∴f（x）∈，故选D点评：了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，本题主要是公式的逆用和对三角函数值域的考查．8．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程=0.74x+50零件数x（个）10 20 30 40 50加工时间y（min） 62 m n 81 89则m+n的值为( )A．137 B．129 C．121 D．118考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，代入回归直线方程，即可求出m+n的值．解答：解：由表中数据得：=30，=（61+m+n+81+89）=（231+m+n），将=30，=（231+m+n），代入回归直线方程，得m+n=129．故选：B．点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．9．设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是( ) A． B． C．上随机取一个数x，log2x的值介于1到2之间的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，则log2x的值介于1到2之间的概率P=，故选：A点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对数的性质是解决本题的关键．11．如图所示是y=f（x）的导数y=f′（x）的图象，下列四个结论：①f（x）在区间（﹣3，1）上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f（x）的极小值点．其中正确的结论是( )A．①②③B．②③C．③④D．①③④考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的综合应用．分析：由导函数的图象可得：x （﹣3，﹣1）﹣1 （﹣1，2） 2 （2，4） 4 （f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣ 0 + f（x）单减极小单增极大单减极小单利用表格即可判断出．解答：解：由导函数的图象可得：x （﹣3，﹣1）﹣1 （﹣1，2） 2 （2，4） 4 （f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣ 0 + f（x）单减极小单增极大单减极小单①由表格可知：f（x）在区间（﹣3，1）上不具有单调性，因此不正确；②x=﹣1是f（x）的极小值点，正确；③f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数，正确；④x=2是f（x）的极大值点，因此不正确．综上可知：只有②③正确．故选：B．点评：本题考查了利用导函数的图象研究函数的单调性、极值等性质，属于基础题．12．设函数f（x）=x3+x，x∈R．若当0＜θ＜时，不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是( )A．（﹣∞，1] B．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用奇函数f（x）=x3+x单调递增的性质，可将不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，转化为msinθ＞m﹣1恒成立，由0＜θ＜，可求得实数m的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3+x，∴f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数；又f′（x）=3x2+1＞0，∴函数f（x）=x3+x为R上的单调递增函数．∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立⇔f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，∴msinθ＞m﹣1（0＜θ＜）恒成立⇔m（1﹣sinθ）＜1恒成立，由0＜θ＜知，0＜sinθ＜1，0＜1﹣sinθ＜1，＞1由m＜恒成立知：m≤1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号…，196﹣200号）．若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是42．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义可知样本数据间隔为5，然后根据第5组的号码即可得到结论．解答：解：∵从200名职工中，用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，则样本数据间隔为，若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是22+4×5=42，故答案为：42．点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定样本数据间隔是解决本题的关键，比较基础．14．函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：根据所给的图象，可以看出图象的振幅是2，得到A=2，看出半个周期的值，得到ω，根据函数的图象过定点，把点的坐标代入求出φ的值，得到三角函数的解析式．解答：解：由图象可知A=2，，∴T=π，∴ω=2，∴三角函数的解析式是y=2sin（2x+φ）∵函数的图象过（﹣，2）这一点，把点的坐标代入三角函数的解析式，∴2=2sin∴φ﹣=2k，∵0＜φ＜π，∴φ=∴三角函数的解析式是y=2sin（2x+）故答案为：y=2sin（2x+）点评：本题考查三角函数的解析式的求法，本题解题的关键是求出φ的值，一般利用代入图象经过的一个点的坐标，代入的点一般是最高点或最低点，本题是一个中档题目．15．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为24．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱去掉一个三棱锥所得的组合体，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案．解答：解：根据已知中的三视图可得该几何体是一个三棱柱去掉一个三棱锥所得的组合体，其中棱柱的体积为：×4×3×（3+2）=30，棱锥的体积为：××4×3×3=6，故该组合体的体积V=30﹣6=24，故答案为：24．点评：本题考查三视图复原几何体形状的判断，几何体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．16．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是②③．考点：命题的真假判断与应用；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题．分析：f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点1，3及a、b、c的大小关系，由此可得结论解答：解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a（6﹣a）＜∴a2﹣4a＜0∴0＜a＜4∴0＜a＜1＜b＜3＜c∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0故答案为：②③点评：本题考查函数的零点、极值点，考查解不等式，综合性强，确定a、b、c的大小关系是关键．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：计算题；转化思想．分析：（1）先求出两个锐角α，β的余弦，再利用同角三角函数的关系求出其正弦，进而利用商数关系得到两角的正切值，代入正切的和角公式求值．（2）同（1）先用正切的和角公式求出2α+β的正切，再根据其正切值求2α+β的值，再确定其值前要先确定2α+β的取值范围．解答：解：（1）由已知得：．∵α，β为锐角，∴．∴．∴．（2）∵，∴．∵α，β为锐角，∴，∴．点评：本题考查两角和与差的正切函数，求解的关键是利用公式求出角的正切值，再求角．本题中涉及到了三角函数中的多个公式，变形灵活，做题时要注意转化正确．本题考查了转化化归的思想．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，且E是BC中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AEC1；（Ⅱ）求证：B1C⊥平面AEC1．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：对（I），根据三角形的中位线平行于底边，在平面内作平行线，再由线线平行⇒线面平行．对（II），根据直棱柱的性质，侧棱与侧面都与底面垂直，可证平面内的AE与B1C垂直；利用平面几何与三角函数知识，证C1E与B1C垂直；再由线线垂直⇒线面垂直．解答：证明：（I）连接A1C交AC1于点O，连接EO∵ACC1A1为正方形，∴O为中点∴EO∥A1B，EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，∴A1B∥平面AEC1．（Ⅱ）∵AB=A C，E是BC的中点，∴AE⊥BC∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AE在矩形BCC1B1中，tan∠CB1C1=tan∠EC1C=，∵∠CB1C1+∠B1CC1=∴∠B1CC1+∠EC1C═，∴B1C⊥EC1，又AE∩EC1=E，∴B1C⊥平面AEC1png_iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAMwAAACGCAYAAACR4WX4AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsMAAA7DAcdvqGQAABEtSURBVHhe7Z09qB1FFMcTUwREovi BRowWKghaiI0pxDQKBqMGIggiaiFYWMTCGCEmFrGwMKCoYJIiAS0CahotQlQUEzFqYaEmRQyIFhFTKCoo+LHym+y5OXff7Ozs3v2Yvff8YHn3zrtv397d859zzszZnWWZkQzbt2/PduzYkT333HPup28zh sUEkxBr167N1q9fPyWQoog0//77b/7K6AsTTEI89NBD2f79+4NCMJEMiwkmITZs2JAdPHgwf3eW//77L39lpIAJJiFuu+227OOPP87f+TEPMywmmIS48cYbs2+++ca9xrMsW7Zssm3ZssW1G8NigkmIK66 4Ivvxxx/da0Sye/du9xruueeeqffGMJhgEmLlypXZ77//nr3//vtOMICnIQw7fPiwE40xLJWCsZi5PeRcigg0f/31V7ZixYr83Vl0wo93McEMj3mYjonpcPjMTz/9lF166aV5y1n03yIWPI/GRtDahfNdd U4ngom5sJq6nzfO8csvv7hJyLfffjtvyVyyf9111+XvpiHhZzOBtI+c09hz29jD2MVrBp7kwgsvdJOUJPnfffedaz969Kib6dfQKRGKMT9jpIGFZAMgI2EHDhzIbrjhBpfov/fee9ldd93l2gXCsFDeYl6 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0wPT+EFGxWoCwrQifM8+ymNCRXnnllVMDRqHOfDDBtO1hqmAgwKoFDA2dJ2HY3r1785Zq2rZL0UHlXqt69NgDK+6nSoj0JFQLrFu3zlULVH3emF82btyYPfHEE/m7OLrwMNhg9F61wfJaBDDLgcWIgCSPa gHqhKxaYPHgYSG333771EhqjN10IRiYea9dHZiGSSp6GPKb119/PW815h0ezM6tI1x/iBGKsNCCEaqqBWxAYH4gDF+9enXj4t2FFQy9SrFneeONN5ZUC5hY5gc8Cp5Flv7Q1z/Wy5iHKcDICffAk9+8+OK L2d9//+3ay4RjghoH5CoM9JC7hMRRdT0XWjCcHN8Jou3UqVNuwpOJz0OHDuW/McYKuSqjYrN2cOZhKtDVAvo2BUF6q1kvhNEdzLMw3+KbtK7LQgtGu+aQwfM7XS3wxx9/5L8xUodBHCar2yqNMg+TE+MhG AigmpWBgbfeeitvNVKEzpDaMK5V1XKFQowNmGAacOTIEefiGYr+9ttv89b4kRaje6gh5BoxQd0mJpiG0BtxMQjTSChZasJIA64NkQD3t2hiPEgVJpgZ0dUCbfdmRjyIQQRBvon37+IGQhPMDOgeiwcn2LM F+qPMWzCqyVMqpexFw9/MGjabYFqGtVlINFnYqO6zBYzmcE6PHz/uPD2dV1eYYCqINW79Ocb7t23b5qoFXnjhBXu2QA9Qcc58Wdf3OplgApS5/ViY6CxWC5h3aQd9beiQuD+eOTKhq/NsgumBqmoBYzY2b 97szq3GBDNy6AV9zxaQC+u7wLN6uEVg3759k/U8hS69uAmmZxgIYECAezIYIDDChIz/2LFjruxFe+2uOxkTTEfIhSvzHAw9MwTNULQe1emyd5wnfvjhB3dvS53nzrWBCWZAEMcrr7wyqRbwzR0UWWRByXe n7IXOhlUc+sYE0xF1QgOGRKVa4LXXXstbpzHPcw5C2kceeWSQHM8EkxDcZ06IRtHgJ598krcaWhjcBbt27drJ8o36d310KiaYnom5qEy+US1AAWFZtcAiwlwWecvp06fzlv4xwSQKw6QMPxOmMRzNsPQih 2WMhHEueMJPiK7PkQkmcaRa4Nprry1d5KcOQ8T9VfiOSbf99ttvbuKXNYCGRtul77ibCtYE0xJyUQhHZqkWGLN3YukS1jNNAW2XvnPatEMywXQAj3yimJOiToo7iw910BdrXsI3HnmFYFIhZJes53r48OH 8XT1MMB0i1QKXX3753FYLIHhCMLxqsWMYsjMos0vEwu+qVgcvwwTTA7paoCoZBjG0pmFDn/B9SPJTK1Yt2qUsLc7qyPw0D5Moupfl1uhLLrlkqlpgDKLwwffCgzJ8LLdEpPRdfIIR+J15mJFAtQBLd1x00 UWVzxZIwQDLwiomJPGYTFCmSMguTTAj5Ouvv3bPEGbRqE8//XTQeL8JPAie/CxVTDBzCtUClL6zTGHMzHgXXqfuPimmJCeTspcUMcHMKXgWXS2wc+fOJYbYpffRYon5P5TpI/CYlYyHxASzAPBc4bvvvju 7/vrrs3fffTdvPYvPsPvOcRgJQyyfffZZ3pIuYpe+TsAEMyfIxaUXZ16DiUAZru3Ly5SBF+QW4/379+ctaaPtsnjuTDBzQNFoKeJkBIpqAWbRi5OCfcKxMeHH6N5Y0HbJ8bfljU0wA0PvF7qYzHUwIsVtB LqosY9nqEnPTH7F45H6+J9tURRMW5hgRoKvWqDNMK1sX++8844LD2XJd218bf7/tunKLk0wI4Nl1y+77LLoZwvMAg/9wLOdOHEibxkPJhhjglQLkN/MshJByEMgRkbEQvf2mIdpgAlmOHi2gFQLfPTRR3n r7JCrEPoxJzRWTDDGEiSfkGqBTZs2RU8ohhJhFjjiOQVjxgRjBKE6gJvV5NkCTctWCPF4Gk7KZS8xmGCMIJJP4GG4Pfrqq6+u/WwBFmUlyQ95qTaHaLvEBGPUgmoBZuaZP9E3d+lEXRs/ZTmIZV5WZTPBG F5CI1VSLUCYxsMpyqoFaCcM27t3b94yfkwwRpCQcKgWePjhh92zBXy1YNxawLyOj5SHjkOYYIyZocq4WC2wY8cONzTdpOwlZTGZYIzWIPQiTKMaumwl47FjgjEa4xvZ+vzzz7Pzzz8/u+CCC7KXX37ZtY0 1/PJhgjEa4RMLHoWCyoMHD7pqAUbSbrrpJjes7MO3j9TFZYIxGqMNnlyFnIXcRUNVsjxboKpaw Ceg1DDBGK3AaNjGjRvzd9Mwu8+9Lzw7bZZqgRQwwRgzgVcg2adQs+ruTakWqKpWThkTjNEY8g1m8BEA M/o+fGEW1QIIjBxnbPfEmGCMSsoScTwGZS9lSX2IYrWA3HmZOiYYoxHkIZS9zHKjGZw5c8Y9W6CsWiBm1KzPwQITjNEI7mt57LHH8nfTNDFyKgSoFmDB16qVCEIC6XpY2gRj1IZFnSiDaVL2EgIh4GUYTU OMeJ+uBVAXE4xRC0a3ui57IZ8hryG/KXuKf5mX6To8M8EY0TCihRHz1BehSwOVagFG1D788EP3v8o8Tl+eyARjREGvT9kL9/l3aZw+AVJqU1Yt0HZYWIUJxqgEo6QCmdl66Ks31+JhVI6yGx4BVawW6DoM 05hgjEo2b97sZuhTAA9DCY6vWqAPIZtgjCCMWnEP/5APLfehqwWOHz+ety5Fe582PJEJxijl2LFjbiY/tZWMBULFXbt2RVcLmGCMziD0YSVjevIh2L59u8tZQpsg1QIIp+t1ZkwwxhJIqJl1Z83JoWDGf/ 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BGdYHv7zvzMMb4kTClyRYTpndBbCcjYVgR/p7fnTp1Km+ZxgQzMNKLpeaZi8fDe2mbB8+HWMrCLii7HrUEk9pFnQfmwfjGhuQpoTq3sutiHmbEWAfWDC2Yuh1WpWAYZmPnemujAtWYZuyeRtvH008/nbem C8fpC8kQU8i+ozwMopGd8JN/xo6N/klRWEXjw15C+UEKcHwctxYHr0N1cFApGNw+OxbEnZlgusPn1dmqLuYQSAeqiTG8FJBjly2mDq5SMOxU39fAiYjZsTEbPFRcd0pch+J5TzWHofceg2A0sZ67UjDium QrG5822kU/hV/CGx3mpJzwIxYEPlZC4qkUDF+eno6diHgsHOsWjE2LZEzGhxdkG/sgRhlBwSCMomtFMHv27HGvbVizfTin0jHJNpYOiuMeWyhWlynBFHsFToD0dPyOC8cFHLO7TRnpgMSrQyoLJFXBMc+7 WCDoYeTCyYWUHs/ojqJXlw4LUg1zsIl5DsM0XuvHg4g49LYIPch QiLFpr67p+wF+sXCsPlthm0eiv1UxX7H8pR2K51G8uoY2yRuFRejNU8QrGBND/5R5ddm42Sl1tIjnzYbOfp8s+x8sgN0dqbEdAQAAA ABJRU5ErkJgguiPgeS8mOe9kQ==点评：本题考查线面垂直的判定、线面平行的判定．证明（I）也可由面面平行证线面平行，即取B1C1的中点F，证平面BFA1∥平面AEC1．在证明（II）时，利用三角函数知识与平面几何知识证线线垂直也是常用方法．19．某校2015届高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：（1）求分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在之间的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）根据分数在之间的试卷中任取两份的基本事件，至少有一份在之间的基本的事件有9个，得到概率．解答：解：（1）分数在之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2 ），（1，3），（1，4），（1，5 ）（1，6 ），（2，3 ），（2，4 ），（2，5 ），（2，6），（3，4 ）（3，5 ），（3，6）（4，5 ），（4，6），（5，6 ）其中至少有一份在之间的基本的事件有9个，所以至少有一份在之间的概率为点评：本题考查频率分步直方图和等可能事件的概率，本题解题的关键是在列举时要做到不重不漏，本题是一个基础题．20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．21．设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）首先对f（x）求导，将a=代入，令f′（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可．（Ⅱ）因为a＞0，所以f（x）为R上为增函数，f′（x）≥0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可．解答：解：对f（x）求导得f′（x）=e x …①（Ⅰ）当a=时，若f′（x）=0，则4x2﹣8x+3=0，解得结合①，可知所以，是极小值点，是极大值点．（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，因此△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．点评：本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题，转化为不等式恒成立问题求解．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22．选修4﹣1：几何证明讲已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．考点：弦切角；圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题；证明题．分析：首先对于（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．对于（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．解答：解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE．（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OA C=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．设圆半径为r，则r+r=2+，a得r=2，外接圆的面积为4π．故答案为4π．点评：此题主要考查圆内接多边形的性质问题，其中涉及到等腰三角形的性质，属于平面几何的问题，计算量小但综合能力较强，需要同学们多练多做题．23．（选做题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin （θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≤8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：（1）利用函数零点将绝对值去掉，将函数转化为分段函数，分类讨论解不等式；（2）先利用已知函数将所证结论进行转化变成|ab﹣1|＞|a﹣b|，再利用作差法先证|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，再开方即可．解答：解：（Ⅰ），当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．…所以不等式f（x）≤4的解集为{x|x≤﹣5或x≥3}．…（Ⅱ）即|ab﹣1|＞|a﹣b|．…因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|．故所证不等式成立．…点评：本题考查解绝对值不等式和证明不等式，意在考查考生运用函数零点分类讨论的解题思想．。

沈阳铁路实验学2015--2016学年度上学期期中考试高三数学（理）考试时间：120分钟；总分：150 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，）1．已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，{}2|7100B x x x =-+<，则AB 的子集可以是A ．{}3,4,5B ．{}4,5C ．{}3,5D ．{}42. 若复数(,1a iz a R i i-=∈-是虚数单位）是纯虚数，则复数3z -的共轭复数是 A ．3i + B ．3i - C ．32i + D ．2i -3. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．4．6C ．2+．2+4，已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos(2)2πα-的值为 A ．45 B ．45- C ．2 D ．12- 5. .如图的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A. c x >?B. x c > ?C. c b > ?D. b c >?6．已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为( )A ． C ． D 7，正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3211-=-++-m m m a a a ，5712=-m s ,则m =A.38B.20C.10D.9 8.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是： （ ）92-B，在AA10）AC11(f kA．12义x满足2）A分，把答案填在答题纸中的横线上）13．{n a14m（0a>且为则AO16. 已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()()f x f y f x y f x y =++- (,x y R ∈)，则(2016)f =________.三,解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. 已知向量()cos ,1m x →=-，向量1,2n x →⎫=-⎪⎭，函数()f x m n m →→→⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ；Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，1,a c ==()f A 恰是()f x 在[0，2π]上的最大值，求A ，b 和ABC ∆的面积.18. 等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知73=S ，且31+a ，23a ，43+a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的公比q 和通项n a ； （2）若{}n a 是递增数列，令128log 12+=n n a b ，求n b b b +++ 21． 19已知函数()f x =alnx+x 2+bx+1在点（1,f （1））处的切线方程为4x −y −12=0。

沈阳市铁路实验中学2010届高三上学期阶段性考试数学（文科）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。

1．已知集合B A x xx B x x x A ⋂≤-=>+-=那么集合},02|{},034|{2等于（ ） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |0≤x ＜1}C ．{x |1＜x ＜2，或x ＞3}D ．{x |0≤x ＜1，或x ＞3}2. 在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是（ ）A ．23 B ．43 C ．23 D ．43 3．等比数列8050202991,01610,,0,}{a a a x x a a a a n n 则的两根为方程中=+->的值为( ) A ．32B ．64C ．128D ．256４．已知x 、y 满足约束条件y x z y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-则,0220102的取值范围为 （ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．[1，2]5．已知向量)4,3(),,5(),2,2(=-==c m b a ，若||||c b a ≤+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[－4，6] B ．[－6，4]C ．[－2，6]D ．[－6，2] 6．函数()3233f x x x x a=++-的极值点的个数是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．与a 值有关 7．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）A ．1B ．21 C ．31 D ．61 正视图 侧视图 俯视图第7题图8．若ααπααsin cos ,22)4sin(2cos +-=-则的值为 ( )A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 9．设可导函数)(x f 是R 上的奇函数，0)1(=f ,且当x<0时，0)(>'x f ，则不等式0)(≥x xf 的解集是 （ ） A ．),1[]1,(+∞⋃--∞ B ．]1,0()0,1[⋃- C ．]1,1[- D ．),1[}0{]1,(+∞⋃⋃--∞ 10．已知一个全面积为24的正方体，内有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为（ ）A ．43πB． CD．311．在数列{a n }中，如果存在非零常数T ，使得a m T m a =+对于任意正整数m 均成立， 那么就称数列{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期. 已知数列{x n }满 足x 1+n =|x n －x 1-n |（n ≥2，n ∈N ）如果x 1=1，x 2=a （a ≤1，a ≠0），当数列{x n } 的周期为3时，则该数列的前2007项的和为 （ ）A ． 668B ．669C ．1336D ．133812．若对任意实数x 都有0)(>x f ，且)4(log 1)3(log 22-+=-x f x f ，已知2)1(=f ，则)10(f 的值为 （ ） A ．1024 B ．512 C ．256 D ．128第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在试题的横线上）13．函数()f x 是R 上奇函数，当0x >时，()2xf x =，则0x ≤时解析式()f x =14．数列n a a b n n a a n n n n n 的前中11,321,}{+=++++=项和为 。

辽宁省实验中学2022-2023学年度上学期期中阶段测试高三数学试卷考试时间：120 分钟试题满分：150 分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数(12)()z i a i =+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是A.1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,22⎛⎫⎪⎝⎭D.1(,2),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭2.已知,m n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不同的平面，则下列命题正确的是A.若,mn αα，则m n B.若,αβγβ⊥⊥，且m αγ=，则m β⊥C.若,,,m n m n αααβ⊂⊂，则αβD.若,,m n αβαβ⊥⊥，则m n ⊥3.某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是(注：lg20.301,lg30.477,lg50.699,lg11 1.041≈≈≈≈)A.2027年 B.2028年C.2029年D.2030年4.已知函数222,(),x mx m x mf x xm xm，若2(4)(3)f a f a ，则实数a 的取值范围是 A.(1,4)B.(,1)(4,) C.(4,1) D.(,4)(4,)5.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为A.913B.910C.911D.9226.数学家欧拉于1765年在其著作《三角形的几何学》中首次提出：ABC ∆的外心O ，重心G ，垂心H 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若4,2AB AC ==，则下列各式中不正确的是 A.40AG BC ⋅-= B.2GO GH =- C.60AO BC ⋅+= D.OH OA OB OC=++7.已知等差数列{}n a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意的*n N ∈，均有6n S S ≤恒成立，则107a a 不可能的值为 A.3B.4C.5D.68.已知实数12,x x 满足131x x e e =，()622ln 3x x e -=，则12x x =A.2eB.5eC.6eD.7e 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.已知,0x y >，260x y xy ++-=，则A.,x yB.2x y +的最小值为4C.x y +的最小值为3 D.22(2)(1)x y +++的最小值为110.已知函数()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[0,]π上有且只有三个零点，则下列说法正确的是A.在(0,)π上存在12,x x ，使得()()122f x f x -=B.ω的取值范围为710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 在(0,)π上有且只有一个最大值点11.函数()f x 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，该结论可以推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数已知函数2()(0)2x g x m m=>+A.若1m =，则函数()1y g x =-为奇函数B.若1m =，则(10)(9)(9)(10)20g g g g -+-+++=C.函数()g x 的图象必有对称中心D.[][]222,log (2)log (2)x g m x g m x mR ∀∈++-<12.已知正四面体ABCD 的棱长为3，其外接球的球心为O .点E 满足AE ABλ=(01)λ<<，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，设α分别与该正四面体的棱,,BC CD DA 相交于点,,F G H ，则A.四边形EFGH 的周长为定值B.当12λ=时，四边形EFGH 为正方形C.当13λ=时，α截球O 所得的截面的周长为134πD.四棱锥A EFGH -三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中3x 项的系数为________.14.已知三棱锥P ABC -的棱,,AP AB AC两两垂直，AP AB AC ===P为球心，4为半径做一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长为________.15.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是____.16.若函数(),()f x g x 在R 上可导，且()()f x g x =，则()()f x g x =''.英国数学家泰勒发现了一个恒等式22012xnn ea a x a x a x =+++++，则0a =____，1011n n na na +==∑____.四、解答题：本题共6小题，共70分。

沈阳铁路实验中学2017-2018学年度上学期阶段考试（12月）试题高三文科数学（解析版）1．设集合A={x|≤2x≤}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=（）A．（﹣，）B．（0，）C．[，1）D．（0，]答案：D．2．复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A．3．给出下列三个命题：①“若x2+2x﹣3≠0则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；③命题p：∀x∈R，2x＞0，则¬p：∃x∈R，2x≤0，其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：B4．已知α，β是三个不同平面，α⊥，则“α∥β”是“β⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A5．在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（）第4题图A ．﹣2B ．0.0625C ．0. 25D ．4 答案：C ．6.某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积等于( ) 3cmA ．243π+B ．342π+C ．263π+D ．362π+答案：D7.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34答案：B8．若实数x ，y 满足不等式组且3（x ﹣a ）+2（y+1）的最大值为5，则a 等于（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．1答案：C ．9.已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+，AD t AC = ，若,,B O D 三点共线，则t 的值为（ ） A ．14 B ．13 C. 12 D ．23答案：B10．偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+,且在[]0,1x ∈时,()2f x x =, 则关于x 的方程()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4x ∈上解的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：.C11.已知函数()sin()(0)f x A x ωϕϕπ=+<<的部分图像如下图所示，若005()3,(,)36f x x ππ=∈，则0sin x 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A12. 已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ，()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()'f x f x >，则不等式()2018xf x e <的解集为（ ）A. ()0,+∞B. 21,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. (),0-∞ 答案：A13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=6，a 3=4，则公差d= ． 答案：214. 已知函数()332f x x x =+，()2,2x ∈-，如果()()1120f a f a -+-<成立，则实数a 的取值范围为__________．答案：30,2⎛⎫⎪⎝⎭15. 若非零向量,a b 满足()0⋅+=a a b ，2||||=a b ，则向量,a b 夹角的大小为___.答案：120 ；为等边三角形，球心O到平面SAB 16．表面积为40π的球面上有四点S，A，B，C，且S A B-的体积的最大值为__________. 的距离为SAB⊥平面ABC，则三棱锥S ABC答案：617．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．（1）若c=2，求sinC；（2）求△ABC面积的最大值．解：（1）∵2sinA=acosB，，b=，∴2sinB=cosB，即tanB=，∴sinB=，∵c=2，∴sinC==．（2）由（1）得cosB=，∴5=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，即有ac≤，可得：△ABC面积的最大值为： =．18.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据：12（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为200吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？（1）详见解析（2）（3）吨【解析】试题分析：（1）根据表格画出散点图；（2）根据参考公式计算回归直线方程；（3）利用回归直线方程估测生产100吨甲产品的生产能耗即可求出。