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第十四章 整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法专题一 幂的性质1．下列运算中，正确的是（ ）A ．3a 2－a 2＝2B ．(a 2)3＝a 9C ．a 3•a 6＝a 9D ．(2a 2)2＝2a 4 2．下列计算正确的是（ ）A ．3x ·622x x = B ．4x ·82x x = C ．632)(x x -=- D ．523)(x x =3．下列计算正确的是（ ）A ．2a 2＋a 2＝3a 4B ．a 6÷a 2＝a 3C ．a 6·a 2＝a 12D ．( －a 6)2＝a 12 专题二 幂的性质的逆用4．若2a =3，2b =4，则23a+2b 等于（ ） A ．7 B ．12 C ．432 D ．1085．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值．专题三 整式的乘法7．下列运算中正确的是（ ）A ．2325a a a +=B ．22(2)()2a b a b a ab b +-=--C ．23622a a a ⋅=D ．222(2)4a b a b +=+8．若（3x 2－2x +1）（x +b ）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b ）的值．9．先阅读，再填空解题： （x +5）（x +6）=x 2+11x +30； （x －5）（x －6）=x 2－11x +30； （x －5）（x +6）=x 2+x －30； （x +5）（x －6）=x 2－x －30．（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________． （2）根据以上的规律，用公式表示出来：________． （3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________．专题四 整式的除法 10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________． 11．计算：236274319132）（）（ab b a b a -÷-．12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4．状元笔记【知识要点】 1．幂的性质(1)同底数幂的乘法：nm n m a a a +=⋅ (m ，n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．(2)幂的乘方：()m nmna a=(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．(3)积的乘方：()n n nab a b =(n 都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 2．整式的乘法(1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加． (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．3．整式的除法(1)同底数幂相除：m n m na a a -÷=(m ，n 都是正整数，并且m ＞n )，即同底数幂相除，底数不变，指数相减．(2)0a =1(a ≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1．(3)单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．(4)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【温馨提示】1．同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法则是“系数相加，字母及字母的指数不变”．2．同底数幂相乘与幂的乘方相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”．3．运用同底数幂的乘法(除法)法则时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算． 4．在单项式(多项式)除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算． 【方法技巧】1．在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式． 2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．参考答案:1．C 解析：A 中，3a 2与－a 2是同类项，可以合并，3a 2―a 2＝2a 2，故A 错误；B 中，(a 2)3＝a 2×3=a 6，故B 错误；C 中，a 3•a 6＝a 3+6＝a 9，故C 正确；D 中，(2a 2)2＝22（a 2）2＝4a 4，故D 错误．故选C ． 2．C 解析：3x ·2235x xx +==，选项A 错误；4x ·2246x x x +==，选项B 错误；23236()x x x ⨯-=-=-，选项C 正确；32236()x x x ⨯==，选项D 错误. 故选C ．3．D 解析：A 中，22223a a a +=，故A 错误；B 中，624a a a ÷=，故B 错误；C 中，628a a a ⋅=，故C 错误. 故选D ．4．C 解析：23a+2b =23a ×22b =（2a ）3×（2b ）2=33×42=432．故选C ．5．解：23ｍ+2ｎ=23ｍ·22ｎ=（2ｍ）3·（2ｎ）2 =53·32=1125.7．B 解析：A 中，由合并同类项的法则可得3a+2a=5a ，故A 错误；B 中，由多项式与多项式相乘的法则可得22(2)()22a b a b a ab ab b +-=-+-=222a ab b --，故B 正确；C 中，由单项式与单项式相乘的法则可得232322a a a +⋅==52a ，故C 错误；D 中，由多项式与多项式相乘的法则可得222(2)44a b a ab b +=++，故D 错误. 综上所述，选B ． 8．解：原式=3x 3+（3b －2）x 2+（－2b+1）x+b ，∵不含x 2项，∴3b －2=0，得． ∴（3x 2－2x+1）（x+23）=3x 3－2x 2+x+2x 2－43x+23=3x 3－13x+23．9．解：（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是： 一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积； （2）根据以上的规律，用公式表示出来：（a+b ）（a+c ）=a 2+（b+c ）a+bc ；（3）根据（2）中得出的公式得：（a+99）（a －100）=a 2－a －9900；（y －80）（y －81）=y 2－161y+6480． 10．－12x+3y －16解析：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=（3x 3y ）÷（－6x 2y ）－18x 2y 2÷（－6x 2y ）+x 2y÷（－6x 2y ）=－12x+3y －16．11．解：原式。
八年级数学上册 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法第4课时整式的除法教学设计（新版）新人教版一. 教材分析整式的乘除法是八年级数学上册第14.1节的内容，这一部分主要让学生掌握整式相乘和相除的法则，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过实例引入整式的乘除法，让学生在具体的情境中探索和发现规律，进而掌握运算法则。
本节课的内容是整式除法，是整式乘除法的进一步延伸，对于学生来说，具有一定的挑战性。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了整式的基本概念，具有一定的数学基础。
但是，对于整式的乘除法，他们可能还存在着一些模糊的认识，需要通过具体的实例和练习来进一步理解和掌握。
同时，学生可能对于如何将实际问题转化为数学问题还存在着一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解整式除法的概念，掌握整式除法的运算法则。
2.能够运用整式除法解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：整式除法的概念和运算法则。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，运用整式除法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、分组讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习，发现和总结整式除法的运算法则，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入整式除法概念。
例如，已知多项式f(x)=x^2+4x+4可以被多项式g(x)=x+2整除，让学生思考如何求出商和余数。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示整式除法的定义和运算法则，引导学生理解和记忆。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用PPT中的例题，自己动手完成整式除法的运算，并互相检查。
14.1.1同底数幂的乘法课时目标1.理解同底数幂的乘法法则并运用法则解决一些实际问题,培养学生运算、推理能力,发展应用意识.2.会用数学的思维推导“同底数幂的乘法法则”,使学生初步理解从特殊到一般、从一般到特殊的认知规律,发展学生观察、归纳、类比等能力.3.在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.学习重点理解并掌握同底数幂的乘法法则.学习难点运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.课时活动设计情境引入教师简述我国超级计算机的发展历程,引出课本问题:一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算,它工作103s可进行多少次运算?解:103×1015=1018设计意图:通过探究问题激发学生的民族自豪感,也让学生体会生活中存在着大量的较大的数据,激发学生的学习兴趣.探究新知问题1:对于上一教学活动中提出的问题,应如何列式?学生动笔列式,大部分学生可以列出.追问:其中1015中“10”“15”“1015”分别叫做什么?“1015”表示的意义是什么?问题2:1015×103等于多少?学生小组讨论,展示计算过程.1015×103=(10×…×10) 15个10×(10×10×10)=10×10×…×10 18个10=1018.追问1:根据乘方的意义计算23×22.学生快速计算,展示结果.解:23×22=2×2×2×2×2=25追问2:请同学们观察上面各算式的左右两边底数、指数的关系,猜一猜:a m ·a n 的结果(m ,n 都是正整数)师生根据乘方的意义共同验证结论的正确性.教师把结论板书在黑板上:a m ·a n =a m +n (m ,n 都是正整数).师生活动:教师引导学生试着用文字概括这个性质.同底数幂相乘,底数不变,指数相加.追问3:当三个或三个以上同底数幂相乘时,是否也具有这一性质呢?小组合作,验证结论,并点名展示.a m ·a n ·a p =a m +n +p (m ,n ,p 都是正整数)设计意图:让学生根据幂的意义,通过计算得到结果.再观察、比较得到等号左右两边底数、指数的关系.通过猜想、验证,抽象概括出同底数幂的乘法运算的本质特征,发展学生观察、归纳、类比能力,体现了从特殊到一般的认知规律.让学生在计算过程中明白算法和算理.适当拓展,为发展学生思维助力.典例精讲例1计算:(1)x 2·x 5;(2)a ·a 6.解:(1)x 2·x 5=x 2+5=x 7.(2)a ·a 6=a 1+6=a 7.教师总结点拨:不要忽略指数是“1”的因式,如a ·a 6≠a 0+6.例2计算:(1)(b +2)3(b +2)4(b +2);(2)-x 6·(-x )10.解:(1)原式=(b +2)3+4+1=(b +2)8.(2)原式=-x 6+10=-x 16.小组合作完成,并选小组代表上台板演.教师讲解,并让学生理解:底数是单项式,也可以是多项式,通常把底数看成一个整体来运算.把不同底数幂转化为同底数幂时要注意符号的变化.例3已知:a m=4,a m+n=20,求a n的值.解:a m+n=a m·a n(逆运算)=4×a n=20,所以a n=5.师生共同解答,并总结:当幂的指数是和的形式时,可以逆运用同底数幂乘法法则,将幂指数和转化为同底数幂相乘,然后把幂作为一个整体,带入变形后的幂的运算式中求解.设计意图:师生共同完成,教师板书过程并着重让学生说明是不是同底数幂相乘,底数是多少,指数是多少,引导学生用运算法则进行计算.通过计算,让学生积累解题经验的同时,体会从一般到特殊的认知规律,将同底数幂的乘法转化为指数相加运算的思想.巩固训练1.x3·x2的运算结果是(C)A.x2B.x3C.x5D.x62.若a n-2·a n+1=a11,则n=6.3.计算:(1)x n·x n+1;(2)(x+y)3·(x+y)4.解:(1)原式=x n+n+1=x2n+1.(2)原式=(x+y)3+4=(x+y)7.设计意图:通过巩固训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果.课堂小结今天我们学了哪些内容:同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点.课堂8分钟.1.教材第104页习题14.1第1题(1)(2)和第2题(1).2.七彩作业.教学反思14.1.2幂的乘方课时目标1.理解幂的乘方法则并运用法则解决一些实际问题,发展运算、推理能力和应用意识.2.类比同底数幂的乘法法则学习幂的乘方的法则,发展学生观察、归纳、类比等能力,体验数学的化归思想.3.培养学生合作交流意识和探索精神,让学生体会数学的应用价值.学习重点理解幂的乘方性质.学习难点幂的乘方运算法则及灵活应用.课时活动设计回顾引入问题1:叙述同底数幂的乘法法则,并用字母表示.问题2:请口答下列各题:(1)33×35;(2)y2·y;(3)a m·a2.设计意图:通过点名学生回答,复习同底数幂的乘法法则,加深对所学知识的巩固和理解.通过口算,既检验了上节课的学习效果,也为学习本节课知识打下基础.探究新知问题3:请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.(1)(32)3=32×32×32=3(6).(2)(a2)3=a2·a2·a2=a(6).(3)(a m)3=a m·a m·a m=a(3m)(m是正整数).追问1:(a m)3底数是a,底数是什么形式?追问2:观察计算的结果,你能发现什么规律?根据规律猜想幂的乘法法则.学生口述规律,教师引导学生得到(a m)n=a mn(m,n都是正整数).即幂的乘方,底数不变,指数相乘.教师讲述:规律的正确性需要严谨的证明,如何把特殊一般化,常用的方法是用字母去表示数.追问3:试着证明你的猜想.设计意图:问题3引导学生根据幂的意义,将幂的乘方转化为同底数幂的乘法.追问1、2让通过观察底数、指数的变化,猜想幂的乘方法则.追问3让学生类比问题3计算,并小组内交流.通过问题推进探索规律,让学生自主构建获得新知,培养学生的语言表达能力和符号意识.典例精讲例1计算:(1)(103)5;(2)(a2)4;(3)(a m)2;(4)-(x4)3.解:(1)原式=103×5=1015.(2)原式=a2×4=a8.(3)原式=a m·2=a2m.(4)原式=-x4×3=-x12.例2计算:(1)[(x+y)2]2;(2)[(-x)4]3.解:(1)原式=(x+y)2×3=(x+y)6.(2)原式=(-x)4×3=(-x)12.设计意图:运用幂的乘方法则进行计算时,一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.在幂的乘方中,底数可以是单项式,也可以是多项式.在运算时,注意把底数看成一个整体,同时注意“负号”.将底数由单项式变式为多项式,在思考过程中实现了知识的迁移,训练了学生的思维,进一步感悟整体思想.巩固训练1.计算:(1)(x4)3·x6;(2)(y4)2+(y2)3·y2.解:(1)原式=x4×3·x6=x12·x6=x18.(2)原式=y4×2+y2×3+2=y8+y8=2y8.教师点拨:与幂的乘方有关的混合运算中,一般先算幂的乘方,再算乘除,最后算加减.2.已知10m=3,10n=2,求下列各式的值.(1)103m;(2)102n;(3)103m+2n.解:(1)原式=(10m)3=33=27.(2)原式=(10n)2=22=4.(3)原式=103m ×102n =27×4=108.3.已知2x +5y -3=0,求4x ·32y 的值.解:∵2x +5y -3=0,∴2x +5y =3.∴4x ·32y =(22)x ·(25)y =22x ·25y =22x +5y =23=8.教师点拨:此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式,将所求值的式子正确变形,然后代入已知条件求值即可.4.比较3500,4400,5300的大小.解:3500=35×100=(35)100=2431004400=44×100=(44)100=2561005300=53×100=(53)100=125100∵256100>243100>125100,∴4400>3500>5300.教师点拨:比较底数大于1的幂的大小的方法有两种:1.底数相同,指数越大,幂就越大;2.指数相同,底数越大,幂就越大.设计意图:使帮助学生巩固刚刚学习的新知识,在此基础上加深知识的应用,培养学生的逆向思维,增强学生思维的灵活性.课堂小结运算种类公式法则中运算计算结果底数指数同底数幂乘法a m ·an =a m +n 乘法不变指数相加幂的乘方(a m )n =a mn乘方不变指数相乘设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点.课堂8分钟.1.教材第104页习题14.1第1题(3)(4)(6)第2题(4).2.七彩作业.14.1.3积的乘方1.利用几何图形,探索积的乘方运算性质,进一步体会幂的意义,发展学生的空间观念、推理能力和有条理语言、符号表达能力,掌握转化的数学思想.2.能用积的乘方的运算法则解决问题,提高学生的应用意识.3.通过探究学习过程,激发学习数学的兴趣,培养学习数学的信心,感受数学的内在美.积的乘方运算法则的理解及其应用.积的乘方推导过程的理解和灵活运用.课时活动设计回顾引入在前面的学习中,我们知道了同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则,你能分别用字母表示出来吗?教师总结,课件展示.设计意图:学生口答同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则,为学习本节课的内容做好知识储备,要注意语言的准确性.探究新知问题1:如图,正方形的边长为2a,求该正方形的面积.学生展示结果.教师记录:有学生列式(2a)2,有学生列式2a×2a.追问1:根据正方形面积的意义,判断(2a)2与2a×2a的数量关系.学生回答:(2a)2=2a×2a.问题2:2a×2a=2×2×a×a依据(乘法交换律)=22×a2依据(乘法结合律)=4a2.所以(2a)2=4a2.师生共同探索,用几何图形验证上面等式.(2a)2=4a2.猜想:(3×4)2和32×42相等吗?学生通过计算,发现(3×4)2=32×42.追问2:观察(2a)2和(3×4)2,它们底数分别是什么?学生口答:2a和3×4.追问3:接着观察(2a)2=4a2,(3×4)2=32×42,你发现什么规律?学生小组讨论,每个小组派代表口述规律.追问4:你能用符号表示你发现的规律吗?师生活动:学生独立思考并书写,教师板书在黑板上:(ab)n=a n b n(n是正整数).追问5:你能将上述发现的规律推导出来吗?师生活动:学生独立证明,并小组交流,教师板书证明过程.(ab)n=(ab)·(ab)…(ab)=a·a…a·b·b…b=a n b n.设计意图:学生计算正方形的面积,预设得到两种不同的形式.通过设置问题,让学生判断每一步的依据,使学生明白算理.通过两个例子,学生初步获得结论,用符号概括出所发现的规律.通过学生自己观察、概括总结,既培养了学生的参与意识,也为学生探索类似知识提供了研究方法.典例精讲例1计算:(1)(3x)2;(2)(-2b)5;(3)(-2xy)4;(4)(3a2)n.解:(1)原式=32x2=9x2.(2)原式=(-2)5b5=-32b5.(3)原式=(-2)4x4y4=16x4y4.(4)原式=3n(a2)n=3n a2n.例2用简便方法计算:(1)23×53;(2)(0.125)2023×82024.解:(1)原式=(2×5)3=103=1000.(2)原式=(0.125)2023×82023×8=(0.125×8)2023×8=8.教师点拨:逆用积的乘方公式a n·b n=(ab)n,要灵活运用,对于不符合公式的形式,要通过恒等变形,转化为公式的形式.设计意图:师生共同解答,通过针对性练习,让学生直观地理解各知识点,实现陈述性知识向程序性知识的转化.用学生熟悉的数之间的关系引导学生感受简便方法,使学生初步感知积的乘方的逆运算,形成简便运算意识,有效培养思维的灵活性.巩固训练1.计算(-x2y)2的结果是(A)A.x4y2B.-x4y2C.x2y2D.-x2y22.下列运算正确的是(C)A.x·x2=x2B.(xy)2=xy2C.(x2)3=x6D.x2+x2=x43.计算:(1)2(x3)2·x3-(3x3)3+(-5x)2·x7;(2)(3xy2)2+(-4xy3)·(-xy).解:(1)原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7=2x9-27x9+25x9=0.(2)原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4.设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果,及时查漏补缺.课堂小结今天我们学了哪些内容?积的乘方法则:(ab)n=a n·b n(n是正整数).注意点:(1)注意防止符号上的错误;(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质;(3)积的乘方法则也可以逆用.设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点.课堂8分钟.1.教材第104页习题14.1第1题(5)第2题(2)(3).2.七彩作业.教学反思14.1.4整式的乘法第1课时单项式与单项式相乘课时目标1.理解单项式乘以单项式的算理,会进行简单的运算.2.经历探索单项式乘以单项式的过程,体会从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程和转化思想.3.培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神.学习重点单项式与单项式相乘的运算法则及其应用.学习难点灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.课时活动设计回顾引入教师讲述:同学们,在七年级我们学习了整式加减的运算方法,今天我们继续学习整式的乘法.整式包含单项式和多项式,什么是单项式?出示课件展示:回答问题-2xy的系数是-2,次数是2.设计意图:通过回顾单项式的概念,指出单项式的系数和次数,为学习单项式乘以单项式做好知识储备.探究新知问题1:光的速度约为每秒3×105千米,太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102秒,求地球与太阳的距离约是多少千米?如何列式?学生独立思考列出算式:(3×105)×(5×102)km.追问1:怎样计算(3×105)×(5×102)呢?计算过程中运用哪些运算律和运算性质?师生活动:学生计算结束后,教师黑板书写计算过程:(3×105)×(5×102)=(3×5)×105+2=15×107=1.5×108km教师引导学生发现计算过程中运用了乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质.追问2:将上式中的数字改为字母ac5·bc2,类比上面的运算方法计算这个式子.学生独立计算,选一名学生在黑板上书写计算过程:ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7.追问3:这是什么运算?如何进行运算?教师引导学生试着用文字概括这个性质:这是单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.设计意图:教师引导学生观察、分析两个单项式如何相乘,使学生能运用乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘单项式.在此基础上,教师引导归纳,最后得出单项式乘单项式法则.让学生在自主探究中掌握解决这类问题的一般方法,体会了从特殊到一般的认识规律.通过小组交流讨论归纳法则,培养学生的归纳总结能力.典例精讲例1计算:(1)(-5a2b)(-3a);(2)(2x)3(-5xy2).解:(1)原式=[(-5)×(-3)](a2·a)b=15a3b.(2)原式=8x3·(-5xy2)=[8×(-5)](x3·x)y2=-40x4y2.例2计算:(1)-2a3bc·(-ab2)·(-ab2)2;(2)-9x2y·(a-b)3·13xy2·(b-a)2.解:(1)原式=-2a3bc·(-ab2)·a2b4=2a6b7c.(2)原式=-9x2y·13xy2·(a-b)3·(a-b)2=-3x3y3(a-b)5.设计意图:本着循序渐进原则逐步增加运算类型,由单一到综合.通过练习使学生在实际应用中掌握法则及三点注意.通过教师点评使学生掌握解题过程及书写格式,使学生完成知识迁移从而提高综合运用知识的能力.巩固训练1.计算3a2·2a3的结果是(B)A.5a5B.6a5C.5a6D.6a62.若(a m b n)·(a2b)=a5b3,则m+n=(D)A.8B.7C.6D.53.已知-2x3m+1y2n与7x n-6y-3-m的积与x4y是同类项,求m2+n的值.解:∵-2x3m+1y2n与7x n-6y-3-m的积与x4y是同类项,∴2t3-=1,3+1+t6=4.解得=3,=2.∴m2+n=7.设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时查漏补缺.课堂小结今天我们学了哪些内容?单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.设计意图:通过课堂小结,对本节课内容进行梳理,加深学生对本节课所学内容的理解和掌握,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第104页习题14.1第3题.2.七彩作业.教学反思第2课时单项式与多项式相乘课时目标1.探索并了解单项式与多项式相乘的法则,会运用法则进行简单计算.2.经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会分配律的作用和转化思想,感受运算法则和相应的几何模型之间的联系,发展数形结合的思想.3.让学生逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的严密性和初步解决问题的能力.学习重点单项式与多项式相乘的法则.学习难点整式乘法法则的推导与应用.课时活动设计复习回顾计算.(1)(-2ac)2(-3ab2c);23+设计意图:学生独立完成两个计算题.第一题复习了单项式乘以单项式,第二题复习了乘法分配律.这两个知识点是研究单项式乘多项式的基础,为这节课的学习做了知识准备.探究新知问题:为了扩大绿地的面积,要把街心花园的一块长p米,宽b米的长方形绿地,向两边分别加宽a米和c米,你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积?分四人小组,与同伴交流,寻求不同的表示方法.教师根据学生讨论情况适时点拨启发.在同学讨论的基础上,分小组展示不同方法.教师记录并总结:1.把它看成三个小长方形,扩大后绿地的面积为pa+pb+pc.2.把它看成一个大长方形,则面积为p(a+b+c).追问1:p(a+b+c)和pa+pb+pc之间有着怎样的关系?为什么?学生观察可知p(a+b+c)=pa+pb+pc,因为它们都表示的是同一个量:扩大后长方形绿地的面积.追问2:你能用乘法分配律证明这个等式吗?学生回答:由乘法分配律的公式推出结论p(a+b+c)=pa+pb+pc.追问3:观察等式左边是什么与什么相乘?学生回答:单项式和多项式.追问4:你能总结单项式与多项式相乘的法则吗?教师引导学生在不同代数式的呈现中,找到规律:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加.教师鼓励学生用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则.设计意图:用几何图形的面积验证了两个整式相等,发展了学生的几何直观.类比前面的知识,还可以通过代数方法验证,即乘法分配律来验证.两种方法是学习本章知识的主要方法,体现了数形结合思想.在解决问题过程中,学生观察、总结规律,探究法则,总结出单项式乘以多项式的法则,培养学生的概括能力和语言的严谨性.典例精讲例1计算:(1)(-4x2)(3x+1);232-2B·12ab.解:(1)原式=(-4x2)·(3x)+(-4x2)×1=(-4×3)(x2·x)+(-4x2)=-12x3-4x2.(2)原式=23ab2·12ab+(-2ab)·12ab=13a2b3-a2b2.教师点拨:在计算过程中要注意符号,多项式的每一项都包含前面的符号.用单项式去乘多项式的每一项,结果是一个多项式,项数与因式中多项式的项数相同.例2先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2.解:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a.当a=-2时,原式=-20×(-2)2+9×(-2)=-20×4-9×2=-98.教师点拨:在整式乘法的混合运算中,要注意运算顺序.按运算法则进行化简,然后代入求值,特别注意的是代入“负数”要用括号括起来.例3如果(-3x)2(x2-2nx+2)的展开式中不含x3项,求n的值.解:(-3x)2(x2-2nx+2)=9x2(x2-2nx+2)=9x4-18nx3+18x2∵展开式中不含x3项,∴n=0.教师总结点拨:注意当要求多项式中不含有哪一项时,则表示这一项的系数为0.设计意图:通过例题的讲解,巩固单项式乘以多项式的运算法则.适当增加题目类型,拓展学生思维,培养学生对所学知识的综合应用能力.巩固训练1.如果(x+a)x-2(x+a)的结果中不含x项,那么a的值为(A)A.2B.-2C.0.5D.-0.52.计算:(1)4(a-b+1)=4a-4b+4;(2)3x(2x-y2)=6x2-3xy2;(3)(2x-5y+6z)(-3x)=-6x2+15xy-18xz;(4)(-2a2)2(-a-2b+c)=-4a5-8a4b+4a4c.设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果.课堂小结1.单项式与多项式相乘的法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.2.单项式与多项式相乘,实质上是转化为单项式与单项式相乘.3.单项式与多项式相乘,应注意(1)“不漏乘”;(2)注意“符号”.设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点,进一步巩固强化.课堂8分钟.1.教材第105页习题14.1第4题.2.七彩作业.教学反思第3课时多项式与多项式相乘课时目标1.理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法法则进行简单的计算,发展运算、推理能力和应用意识.2.经历探索多项式乘法法则的过程,用数学的思维体会乘法分配律的作用与转化思想,体会数形结合思想.3.应用多项式与多项式相乘的法则解决实际问题,发展应用意识.学习重点多项式乘法法则的理解及运用.学习难点探索多项式乘法的法则,注意多项式的乘法运算中“漏项”“符号”的问题.课时活动设计回顾引入请口算下列练习中的(1)、(2):(1)3x(x+y)=3x2+3xy.(2)(a+c)c=ac+bc.(3)(a+n)(m+b)=am+nm+ab+nb.比较(3)与(1)、(2)在形式上有何不同?设计意图:学生口算(1)、(2),复习了单项式乘多项式.通过与(3)式比较发现式子形式不同,引导学生从对单项式乘多项式的认识过渡到对多项式乘多项式的认识,从而激发学生对学习新知识的欲望.探究新知拿出准备好的硬纸板,画出如图所示的图形,并标上字母.要求学生根据图中的数据,求一下这个长方形的面积.与同伴交流,表示出它的面积为(m+b)(n+a).问题1:请同学们将纸板上的长方形沿中间的竖线剪开,分成两部分,如图.剪开之后,分别求一下这两部分的面积,再求一下它们的和.学生分成小组,合作探究,求出第一块的面积为m(n+a),第二块的面积为b(n+a),它们的和为m(n+a)+b(n+a).组织学生继续沿着横的线段剪开,将图形分成四部分,如图,求这四块长方形的面积.求出S1=mn;S2=nb;S3=am;S4=ab,它们的和为S=mn+nb+am+ab.追问:依据上面的操作求得的图形面积,那么(m+b)(n+a)应该等于什么?解:(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab.学生分成小组讨论交流自己的看法.学生能够发现,因为以上三次计算是按照不同的方法对同一个长方形的面积进行的计算,那么,每次的计算结果应该是相同的,所以(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab.问题2:你能类比单项式与多项式相乘的法则,叙述多项式与多项式相乘的法则吗?师生共同归纳:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.字母呈现:.设计意图:让学生用几何图形探究代数公式,体现数形结合思想;利用环环相扣的问题,为学生设置了思考与探索空间;通过归纳多项式乘多项式的法则,培养了学生归纳、概括的能力,让学生体会转化、类比和整体的数学思想.典例精讲例1计算:(1)(3x+1)(x+2);(2)(x-8y)(x-y);(3)(x+y)(x2-xy+y2).解:(1)原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2.(2)原式=x·x-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2.(3)原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.例2已知ax2+bx+1(a≠0)与3x-2的积不含x2项,也不含x项,求系数a,b的值.解:(ax2+bx+1)(3x-2)=3ax3-2ax2+3bx2-2bx+3x-2=3ax3+(-2a+3b)x2+(-2b+3)x-2.∵积不含x2的项,也不含x的项,∴-2+3=0, -2+3=0.∴=94,=32.设计意图:通过例题的讲解,巩固多项式乘以多项式的运算法则,使教材呈现的知识慢慢内化为学生的认知结构,加深对知识的理解和掌握.巩固训练1.计算(x-1)(x-2)的结果为(D)A.x2+3x-2B.x2-3x-2C.x2+3x+2D.x2-3x+22.计算:(1)(x-3y)(x+7y);(2)(2x+5y)(3x-2y).解:(1)原式=x2-3xy+7xy-21y2=x2+4xy-21y2.(2)原式=6x2+15xy-4xy-10y2=6x2+11xy-10y2.3.化简求值:(4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y),其中x=1,y=-2.解:原式=16x2-12xy+12xy-9y2+6x2-10xy+3xy-5y2=22x2-7xy-14y2.把x=1,y=-2代入,得22×12-7×1×(-2)-14×(-2)2=-20.设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果,及时查漏补缺.课堂小结今天我们学了哪些内容?1.多项式与多项式相乘法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.2.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.3.多项式与多项式相乘,实际上是转化为单项式与多项式相乘的运算.设计意图:以填空的形式回顾本节课所学知识,加深学生对本节课所学知识的理解和掌握.课堂8分钟.1.教材第105页习题14.1第5题.2.七彩作业.第4课时同底数幂的除法1.经历探索同底数幂除法公式的推导过程,发展学生的推理能力和表达能力.2.进一步体会幂的意义,理解零指数幂.3.理解同底数幂的除法运算性质,能解决实际问题,培养学生的应用意识.同底数幂的除法运算法则及其应用.探索同底数幂的除法法则的过程.课时活动设计回顾同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方公式内容及推导套路,引出课题,并让学生小组合作探究结果,教师适时适当点拨.如何解决两个整式相除的问题?方法一:除法意义或除法与分数的关系;方法二:乘除互逆.设计意图:让学生有迹可寻,运用套路,体会数学公式学习的一般方法步骤.一个问题既可自然引出课题,又可继续探索公式推导的方法.探究新知问题1:我们如何计算a m÷a n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n)?学生小组讨论,教师引导学生运用乘法的逆运算解决问题.根据除法是乘法的逆运算,计算被除数除以除数所得的商,也就是求一个数,使它与除数的积等于被除数.学生完成后,教师在黑板上写出解题过程:∵a m-n·a n=a(m-n)+n=a m,∴a m÷a n=a m-n.师生活动:教师引导学生试着用文字概括这个性质.同底数幂相除,底数不变,指数相减.问题2:底数a可以是什么样的数,不能是什么样的数?根据多位学生的回答,教师总结得出结论:同底数幂相除的运算中,相同底数可以是不为0的数字或字母,也可以是单项式、多项式.问题3:根据除法的意义和问题1的内容,探讨a0=?师生共同解答,并总结:同底数幂相除,如果被除式的指数等于除式的指数,例如a m÷a m,根据除法的意义可知所得的商为1.另一方面,如果按照同底数幂的除法来计算,又有a m÷a m=a m-m=a0.于是规定a0=1(a≠0).任何不等于0的数的0次幂都等于1.设计意图:从学生已有的知识和经验出发,引导学生探索发现同底数幂的除法的运算规律,遵循循序渐进的认知规律.通过学生小组讨论,根据以往学习的经验,自主学习新知识,培养探究能力.典例精讲例计算:(1)x8÷x2;(2)(ab)5÷(ab)2.解:(1)原式=x8-2=x6.(2)原式=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.设计意图:通过练习使学生掌握同底数幂相除的运算法则.通过教师点评使学生掌握解题过程及书写格式,使学生完成知识迁移从而提高综合运用知识的能力.巩固训练1.下列运算正确的是(D)A.(-a)6÷a2=a3B.(-a)3÷(-a)2=aC.a8÷a2=a4D.(-a)2÷a2=12.计算:(1)(mn)7÷(mn)5;1212解:(1)原式=(mn)7-5=(mn)2.(2)原式12=12=14.设计意图:通过设置巩固训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果.课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获?1.同底数幂相除,底数不变,指数相减.2.任何不等于0的数的0次幂都等于1.设计意图:小结新课内容,及时梳理,使学生对前后的知识有所串联,让新知识与旧知识得到同化,并且内化成自身的数学体系,提高学生的数学素质.课堂8分钟.。
整式的乘法与因式分解14．1整式的乘法14．1.1同底数幂的乘法1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．一、提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．(出示投影片)提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间，所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.[师]1015×103如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5) (m个5)×(5×5·…·5) (n个5)＝5m＋n.[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议(出示投影片)[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义和乘法结合律可得：a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[例1]计算：(1)x2·x5; (2)a·a6；(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1.[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p；解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p；解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a m＋n＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]am1·am2·am3·…am n＝am1＋m2＋m3＋…m n.[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、随堂练习1．m14可以写成()A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为()A．7 B．10 C．25D．523．计算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．14．1.2幂的乘方1．知道幂的乘方的意义．2．会进行幂的乘方计算．重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝32×32×32＝3()；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a()．(m是正整数)2．小组讨论对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个a m＝am＋m＋m＋…m, (n个m))＝a mn字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.三、巩固练习1．下列各式的计算中，正确的是()A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．计算：(1)(103)5; (2)(a4)4；(3)(a m)2; (4)－(x4)3.四、归纳小结幂的乘方的意义：(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．14．1.3积的乘方1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3cm3.[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab) n个ab＝a·a·…·a n个a ·b·b·…·b n个b＝a n b n.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数)4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：a n·b n＝(a×a×…×a) n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n＝(abc)n.(n为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。
第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法◇教学目标◇【知识与技能】在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则,并掌握“法则”的应用.【过程与方法】经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,感受幂的意义,发展推理能力和表达能力,提高计算能力.【情感、态度与价值观】在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.◇教学重难点◇【教学重点】同底数幂乘法运算性质的推导和应用.【教学难点】同底数幂的乘法的法则的应用以及逆用.◇教学过程◇一、情境导入“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.问题:盘古的左眼变成了太阳,那么,太阳离我们多远呢?你可以计算一下,太阳到地球的距离是多少?光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远呢?二、合作探究探究点1同底数幂的乘法典例1计算a2·a3的正确结果是()A.a 5B.a 6C.a 8D.a 9 [解析] a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5.[答案] A【技巧点拨】本题是同底数幂的乘法运算,直接利用同底数幂的乘法运算法则运算即可,注意底数不变,指数相加.变式训练 化简－b ·b 3·b 4的正确结果是( )A.－b 7B.b 7C.－b 8D.b 8[答案] C探究点2 法则的逆用 典例2 已知3a ＝1,3b ＝2,则3a ＋b 的值为( )A.1B.2C.3D.27[解析] ∵3a ×3b ＝3a ＋b ,∴3a ＋b ＝3a ×3b ＝1×2＝2.[答案] B三、板书设计同底数幂的乘法同底数幂的乘法{ 同底数幂的乘法法则{法则符号表达字母范围幂的乘法法则逆用◇教学反思◇本节课应注重同底数幂的乘法法则的推导过程,而不单单是要求记住结论,在导出的过程中,从具体到抽象,有层次地进行概括,归纳推理,学生不是被动地接受,而是在已有经验的基础上创新,从而培养学生的动手能力和创新意识.14.1.2幂的乘方◇教学目标◇【知识与技能】1.理解幂的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义;2.通过推理得出幂的乘方的运算性质,并且掌握这个性质.【过程与方法】经历一系列探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力.【情感、态度与价值观】培养学生合作交流意义和探索精神,让学生体会数学的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】幂的乘方法则.【教学难点】幂的乘方法则的推导过程及灵活应用.◇教学过程◇一、情境导入木星的半径是地球半径的102倍,太阳的半径是地球半径的103倍,假如地球的半径为r,那么太阳和木星的体积是多少?二、合作探究探究点1幂的乘方典例1计算a6(a2)3＝.[解析]根据幂的运算法则即可求出答案.原式＝a6·a6＝a12.[答案]a12变式训练计算:(－a2)2＝.[答案]a4探究点2幂的乘方逆用典例2若10m＝5,10n＝3,则102m＋3n＝.[解析]102m＋3n＝102m·103n＝(10m)2·(10n)3＝52·33＝675.[答案]675【技巧点拨】注意幂的乘方公式的逆用,a mn ＝(a m )n ＝(a n )m .变式训练 若a m ＝6,a n ＝3,则a m ＋2n 的值为 .[答案] 54三、板书设计幂的乘方幂的乘方{ 幂的乘方法则{法则符号表达字母范围幂的乘方逆用◇教学反思◇本节的内容是幂的乘方,教学过程中,激发和鼓励学生的学习探究;提问不仅有序、有提示、有鼓励,而且有启发、问在有疑之处.本课的主要教学任务是“幂的乘方”,即幂的乘方,底数不变,指数相乘.在课堂教学时,通过幂的意义引导学生探索发现得出这一性质.14.1.3积的乘方◇教学目标◇【知识与技能】探索积的乘方的运算性质,能用积的乘方的运算性质进行计算.【过程与方法】经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.【情感、态度与价值观】培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.◇教学重难点◇【教学重点】积的乘方的运算.【教学难点】积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.◇教学过程◇一、情境导入我们前面学过同底数幂的运算法则;幂的乘方运算法则的内容,你知道它们的区别和联系吗?请同学们思考怎样计算(2a3)4,每一步的根据是什么?二、合作探究探究点1积的乘方法则典例1计算:(－2xy2)3＝.[解析](－2xy2)3＝(－2)3x3(y2)3＝－8x3y6.[答案]－8x3y6根据积的乘方的性质把问题转化为几个幂的乘方,然后再进行运算,用准法则是解这类问题的关键.a2b)3＝.变式训练计算:(－13[答案] －127a 6b 3探究点2 公式的逆用 典例2 阅读下列各式:(ab )2＝a 2b 2,(ab )3＝a 3b 3,(ab )4＝a 4b 4,…①归纳得(ab )n ＝ ;(abc )n ＝ ;②计算4100×0.25100＝ ;(12)5×35×(23)5＝ ; ③应用上述结论计算:(－0.125)2021×22022×42020.[解析] ①(ab )n ＝a n b n ,(abc )n ＝a n b n c n .②4100×0.25100＝(4×0.25)100＝1,(12)5×35×(23)5 ＝(12×3×23)5＝1.③(－0.125)2021×22022×42020＝－0.125×22×(－0.125×2×4)2020＝－0.5×(－1)2020＝－0.5.探究点3 幂的运算综合练习 典例3 计算:(－2x 2)3＋x 2·x 4－(－3x 3)2.[解析] (－2x 2)3＋x 2·x 4－(－3x 3)2＝－8x 6＋x 6－9x 6＝－16x 6.三、板书设计积的乘方积的乘方{ 积的乘方法则{法则符号表达字母范围积的乘方逆用幂的运算综合练习◇教学反思◇本节主要是积的乘方,学生很容易得出计算公式,关键是利用公式进行运算,通过练习引导学生明确先利用法则把运算转化为几个幂的乘方的积,然后计算,通过小组练习,讨论,纠错得到正确的解法.14.1.4整式的乘法第1课时单项式与单项式相乘◇教学目标◇【知识与技能】会进行单项式乘单项式的运算.【过程与方法】经历探索单项式乘以单项式的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语言表达能力.【情感、态度与价值观】培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神.◇教学重难点◇【教学重点】单项式乘法运算法则的推导与应用.【教学难点】单项式乘法运算法则的推导与应用.◇教学过程◇一、情境导入前面我们学习了幂的运算,我们知道整式有两种,分别为单项式与多项式,那么整式的乘法应有几种,哪种最简单?二、合作探究探究点1单项式乘单项式法则典例1计算:4x2y·(－1x)＝.4[解析]根据单项式与单项式相乘,把它们的系数分别相乘,相同字母的幂分别相加,其余字母x)＝－x3y.连同它的指数不变,作为积的因式,计算即可.4x2y·(－14[答案]－x3y变式训练计算(－2x3y2)3·4xy2＝.[答案]－32x10y8探究点2求代数式的值典例2如果x n y4与2xy m相乘的结果是2x5y7,求mn的值.[解析]由题意可知x n y4×2xy m＝2x n＋1·y4＋m＝2x5y7,∴n＋1＝5,4＋m＝7,∴m＝3,n＝4,∴mn＝12.探究点3法则应用典例3计算(9×105)×(2.5×103)＝.(用科学记数法表示) [解析](9×105)×(2.5×103)＝9×2.5×105×103＝22.5×108＝2.25×109. [答案]2.25×109探究点4幂的运算综合练习典例4计算:(－3x2y2)2·2xy＋(xy)3＝.[解析](－3x2y2)2·2xy＋(xy)3＝9x4y4·2xy＋x3y3＝18x5y5＋x3y3.[答案]18x5y5＋x3y3三、板书设计单项式与单项式相乘单项式乘单项式{单项式乘单项式法则{法则符号表达单项式乘法法则的应用◇教学反思◇本节是单项式与单项式的乘法,学生通过面积的计算,或乘方分配律可以得出运算法则;通过学生小组练习、讨论、纠错提高学生的合作能力,以及在运算中提高学生的应用意识,总结出单项式乘单项式的步骤以及易错点,以引起学生的注意.第2课时单项式与多项式相乘◇教学目标◇【知识与技能】掌握单项式与多项式的乘法运算法则,会进行简单的整式乘法运算.【过程与方法】经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理地思考及语言表达能力.【情感、态度与价值观】培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】单项式与多项式相乘的法则.【教学难点】整式乘法法则的推导与应用.◇教学过程◇一、情境导入有3家超市以相同价格n(单位:元/台)销售A牌电视机,它们在一年内的销售量(单位:台)分别是x,y,z,请你采用不同的方法计算它们在这一年内销售这种电视机的总收入.小明的答案是n(x＋y＋z),小芳的答案是nx＋ny＋nz,各说各有理,你能给他们评判一下吗?二、合作探究探究点1单项式乘多项式典例1计算:(x－3y)(－6x)＝.[解析]根据单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加计算即可.[答案]－6x2＋18xyxy2.变式训练计算:(3x3y2－6x2y)·13[解析]原式＝x4y4－2x3y3.探究点2求未知系数的值典例2 已知a (x 2＋x －c )＋b (2x 2－x －2)＝7x 2＋4x ＋3,求a ,b ,c 的值.[解析] ∵a (x 2＋x －c )＋b (2x 2－x －2)＝7x 2＋4x ＋3,∴(a ＋2b )x 2＋(a －b )x －(ac ＋2b )＝7x 2＋4x ＋3,∴{a ＋2b ＝7,a －b ＝4,－(ac ＋2b )＝3,解得a ＝5,b ＝1,c ＝－1.求未知系数的值,根据两个多项式相等时,如ax 2＋bx ＝cx 2＋dx ,则有a ＝c ,b ＝d ,得到方程组即可求解,关键是整式的乘法.探究点3 求代数式的值典例3 已知ab 2＝－2,则－ab (a 2b 5－ab 3＋b )＝( )A.4B.2C.0D.14[解析] －ab (a 2b 5－ab 3＋b )＝－a 3b 6＋a 2b 4－ab 2＝－(ab 2)3＋(ab 2)2－ab 2,当ab 2＝－2时,原式＝－(－2)3＋(－2)2－(－2)＝8＋4＋2＝14.[答案] D【技巧点拨】这类问题先根据单项式的乘法计算得到多项式,然后把多项式用已知式子表示出来,整体代入求值,这种整体思想是我们经常用到的一种方法.三、板书设计单项式与多项式相乘单项式乘多项式{ 单项式乘多项式法则{法则符号表达几何意义法则的应用◇教学反思◇本节的内容是单项式乘多项式,法则的得到比较简单,教学中,应紧扣法则,单项式乘多项式转化为单项式乘单项式的问题计算,同学小组练习讨论理解多项式的每一项,包括它前面的符号.在实施“情境——探究”教学过程中,注重引导学生在课堂活动过程中感悟知识的生成、发展与变化,培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神.第3课时多项式与多项式相乘◇教学目标◇【知识与技能】理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.【过程与方法】经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,体会数学的转化思想.【情感、态度与价值观】通过推理,培养学生计算能力,发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯.◇教学重难点◇【教学重点】多项式与多项式的乘法法则的理解及应用.【教学难点】多项式与多项式的乘法法则的应用.◇教学过程◇一、情境导入试着用不同方式计算下图的面积,探讨你能得到什么结论.二、合作探究探究点1多项式乘多项式典例1计算(2m－3)(m＋2).[解析](2m－3)(m＋2)＝2m×m＋2m×2＋(－3)×m＋(－3)×2＝2m2＋4m－3m－6＝2m2＋m－6.整式的乘法就是根据运算法则转化为单项式乘单项式计算,最后把所得结果相加,注意有同类项的要合并同类项,需提醒是的多项式的项包括它前面的符号.注意不要漏项,漏字母,有同类项的合并同类项.探究点2求未知系数的值典例2若(x＋m)(x－8)中不含x的一次项,则m的值为()A.8B.－8C.0D.8或－8[解析]∵(x＋m)(x－8)＝x2－8x＋mx－8m＝x2＋(m－8)x－8m,又结果中不含x的一次项,∴m －8＝0,∴m＝8.[答案] A变式训练若(y＋3)(y－2)＝y2＋my＋n,则m,n的值分别为()A.m＝5,n＝6B.m＝1,n＝－6C.m＝1,n＝6D.m＝5,n＝－6[答案] B探究点3求代数式的值典例3若代数式(x＋1)2＋m(x＋1)＋n可以化简为x2＋2x－3,则m＋n＝. [解析]∵(x＋1)2＋m(x＋1)＋n＝x2＋2x＋1＋mx＋m＋n＝x2＋(2＋m)x＋m＋n＋1,由题意得{m＋2＝2,m＋n＋1＝－3,解得{m＝0,n＝－4,故m＋n＝－4.[答案]－4探究点4积中不含某项典例4(x2－mx＋6)(3x－2)的积中不含x的二次项,则m的值是()A.0B.23C.－23D.－32[解析](x2－mx＋6)(3x－2)＝3x3－(2＋3m)x2＋(2m＋18)x－12,∵(x2－mx＋6)·(3x－2)的积中不含x的二次项,∴2＋3m＝0,解得m＝－23.[答案] C三、板书设计多项式与多项式相乘多项式乘多项式{ 多项式乘多项式法则(法则符号表达几何意义法则的应用:求未知系数◇教学反思◇本节的内容是多项式的乘法,针对本节课学生的易错点,如“漏项”、“忘变号”的情况,在例题后进行强调,并总结规律,让学生以后在练习计算时避免“漏项”“忘变号”的发生.第4课时同底数幂的除法◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握同底数幂的除法运算性质,并能运用它解决一些实际问题;2.理解零次幂的意义,了解规定a0＝1(a≠0)的合理性;【过程与方法】经历同底数幂的除法运算性质的获得过程,掌握同底数幂的除法运算性质,会用同底数幂的除法运算性质进行有关计算,提高学生的运算能力,进一步体会幂的意义,发展推理能力,提高语言表达能力.【情感、态度与价值观】经历探索同底数幂的除法运算性质的过程,体验通过“转化”构建新知识体系,培养学生大胆猜想,善于观察、归纳的数学品质和创新精神.◇教学重难点◇【教学重点】同底数幂的除法运算.【教学难点】理解零次幂的意义.◇教学过程◇一、情境导入至此,我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算.在整式运算中,有时还会遇到两个整式相除的情况.由于除法是乘法的逆运算,因此我们可以利用整式的乘法来讨论整式的除法.二、合作探究探究点1同底数幂的除法典例1计算(－a)10÷(－a)3的结果等于.[解析](－a)10÷(－a)3＝(－a)10－3＝(－a)7＝－a7.[答案]－a7【技巧点拨】先把底数－a看作一个整体,直接运用同底数幂的除法法则;也可以将底数化为a,再运用同底数幂的除法法则,即(－a)10÷(－a)3＝a10÷(－a3)＝－a10－3＝－a7.变式训练化简:(x＋y)5÷(－x－y)2÷(x＋y).[解析] 原式＝(x ＋y )5÷(x ＋y )2÷(x ＋y )＝(x ＋y )5－2－1＝(x ＋y )2.探究点2 零次幂典例2 计算:(1)20220＋(－3)0－4×(12)0; [解析] 原式＝1＋1－4×1＝－2.三、板书设计同底数幂的除法1.同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减.即a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0).2.零指数幂:任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即a 0＝1(a ≠0).◇教学反思◇本节课的学习对于学生来说,无论在知识上,还是在类比学习能力和抽象思维能力的培养上,都起着不容忽视的作用.数学学习不能单纯依赖模仿与记忆,应该从学生的生活经验和已有知识的背景出发,提供给学生进行数学活动和探索的机会,使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握数学知识.在培养学生合作与交流的同时,充分调动学生的参与意识和学习积极性,使学生体验到平等、自由和民主,同时也受到了激励和鼓舞,从而形成积极的人生态度.第5课时 整式的除法◇教学目标◇【知识与技能】会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算,理解整式除法运算的原理.【过程与方法】经历探究整式的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.【情感、态度与价值观】感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.◇教学重难点◇ 【教学重点】整式除法的法则并应用其法则计算.【教学难点】理解整式除法的法则及其原理.◇教学过程◇一、情境导入一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M ＝210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?二、合作探究探究点1 同底数幂的除法 典例1 32x ＝2,3y ＝5,则34x －2y ＝ .[解析] 原式＝34x 32y ＝(32x )2(3y )2,当32x ＝2,3y ＝5时,原式＝2252＝425. [答案] 425变式训练 若5＝3x ,7＝9y ,则3x －2y 的值为 .[答案] 57探究点2 单项式除以单项式 典例2 计算:10ab 3÷(－5ab )＝ .[解析] 根据单项式除法法则,系数和系数,相同的字母分别相除,作为商的一个因式,只在被除式的字母连同它的指数作为商的一个因式,即可求出答案.原式＝－105a 1－1b 3－1＝－2b 2.[答案] －2b 2变式训练 4x 2y 3÷(－12xy )2＝ . [答案] 16y探究点3 多项式除以单项式典例3 小亮与小明在做游戏,两人各报一个整式,小明报的被除式是x 3y －2xy 2,商式必须是2xy ,则小亮报一个除式是 .[解析] (x 3y －2xy 2)÷2xy ＝12x 2－y.[答案] 12x 2－y三、板书设计整式的除法整式的除法{ 同底数幂的除法{法则符号表达单项式除以单项式多项式除以单项式◇教学反思◇本节的内容是整式的除法,内容较多,分三部分,通过运算要求学生说出式子每一步变形的根据,并要求学生养成检验的好习惯,利用乘除互为逆运算,检验商式的正确性.培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质,训练学生形成一定的计算能力,慢慢培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯.14.2乘法公式14.2.1平方差公式◇教学目标◇【知识与技能】会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.【过程与方法】经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.【情感、态度与价值观】通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.◇教学重难点◇【教学重点】平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的了解.【教学难点】准确把握运用平方差公式的特征,应用平方差公式解题.◇教学过程◇一、情境导入从前有一个狡猾的地主,他把一块长为x米的正方形土地租给张老汉种植,有一天,他对张老汉说:“我把这块地的一边减少5米,另一边增加5米,继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”张老汉一听觉得没有吃亏,就答应了.你能告诉张老汉他吃亏了吗?二、合作探究探究点1平方差公式的特征典例1下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是()A.(－a＋b)(a－b)B.(x＋2)(2＋x)C.(x3＋y)(y－x3) D.(x－2)(x＋1)[解析]A项,原式＝－(a－b)(a－b)＝－(a－b)2,故A不能用平方差公式;B项,原式＝(x＋2)2,故B不能用平方差公式;D项,原式＝x2－x＋1,故D不能用平方差公式.[答案] C平方差公式的特征:一是左边是两个多项式相乘,这两个多项式中有一项相同,另一项互为相反数;二是右边是相同项与相反项的平方差;三是公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数),也可以表示单项式或多项式等代数式.变式训练计算(2x3－3a)(－2x3－3a)的结果是()A.－4x6－9a2B.－4x6＋9a2C.－4x6－12ax3＋9a2D.－4x6－12ax3－9a2[答案] B探究点2平方差公式求值整体思想应用典例2如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40,那么a－b的值为()A.49B.7C.－7D.7或－7[解析](a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40,即(a－b)2＝49,则a－b＝7或－7.[答案] D探究点3平方差公式的计算典例3计算:69×71＝.[解析]原式＝(70－1)(70＋1)＝702－1＝4900－1＝4899.[答案]4899变式训练计算:20212－2020×2022＝.[答案] 1探究点4平方差公式的几何意义典例4如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分剪开,拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()A.(a－b)2＝a2－2ab＋b2B.a(a－b)＝a2－abC.(a －b )2＝a 2－b 2D.a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )[解析] 第一个图形阴影部分的面积是a 2－b 2,第二个图形的面积是(a ＋b )(a －b ).则a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ).[答案] D三、板书设计平方差公式平方差公式{平方差公式{公式符号表达公式特点以及变形几何背景应用{计算、化简简化运算 ◇教学反思◇ 本节的内容是平方差公式,主要观察是否符合公式特点,只有符合公式特点才能用公式直接求解,利用公式计算.在实施情境探究教学过程中,应注意让学生感知问题的生成、发展与变化,培养学生善于发现的科学精神以及合作交流的精神和创新意识.14.2.2完全平方公式第1课时完全平方公式◇教学目标◇【知识与技能】会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算.【过程与方法】经历利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式的过程.【情感、态度与价值观】通过练习培养学生观察、类比、发现的能力,体验数学活动充满着探索性和创造性.◇教学重难点◇【教学重点】完全平方公式的推导和应用.【教学难点】完全平方公式的应用.◇教学过程◇一、情境导入现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式a2＋2ab＋b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.二、合作探究探究点1完全平方公式典例1计算(3a－2b)2的结果为()A.9a2＋4b2B.9a2＋6ab＋4b2C.9a2－12ab＋4b2D.9a2－4b2[解析]原式＝(3a)2－2×3a×2b＋(2b)2＝9a2－12ab＋4b2.[答案] C【技巧点拨】解本题的关键是熟练运用完全平方公式,记忆完全平方公式可用口诀“首平方,尾平方,首位两倍在中间,中间符号随前面”.很多同学遗漏掉中间积的2倍这一项,应引起注意.探究点2简化运算典例2下列关于962的计算方法正确的是()A.962＝(100－4)2＝1002－42＝9984B.962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024C.962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136D.962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝9216[解析]962＝(100－4)2＝1002－2×100×4＋42＝9216,A项错误;962＝(95＋1)(95＋1)＝952＋2×95×1＋1＝9216,B项错误;962＝(90＋6)2＝902＋2×90×6＋62＝9216,C项错误;962＝(100－4)2＝1002－2×100×4＋42＝9216,D项正确.[答案] D应用完全平方公式时,要注意:①公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式;②对形如两数和(或差)的平方的计算,都可以用这个公式;③对于三项的可以把其中的两项看做一项后,也可以用完全平方公式.探究点3完全平方式典例3若4a2－kab＋9b2是完全平方式,则常数k的值为()A.6B.12C.±12D.±6[解析]∵4a2－kab＋9b2是完全平方式,∴－kab＝±2×2a×3b＝±12ab,∴k＝±12.[答案] C变式训练已知x2－8x＋a可以写成一个完全平方式,则a可为()A.4B.8C.16D.－16[答案] C探究点4完全平方公式变形应用典例4已知a＋b＝3,ab＝－2,求下列各式的值.(1)a2＋b2;(2)a－b.[解析](1)∵a＋b＝3,ab＝－2,∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝32－2×(－2)＝13.(2)∵a ＋b ＝3,ab ＝－2,∴a －b ＝±√(a －b )2＝±√a 2＋b 2－2ab ＝±√13－2×(－2)＝±√17.探究点5 完全平方公式的几何背景典例5 如图1是一个长为2a ,宽为2b (a ＞b )的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图2那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积为( )A.abB.(a ＋b )2C.(a －b )2D.a 2－b 2[解析] 中间空的部分的面积＝大正方形的面积－4个小长方形的面积＝(a ＋b )2－4ab ＝a 2＋2ab ＋b 2－4ab ＝(a －b )2.[答案] C三、板书设计完全平方公式完全平方公式{完全平方公式{公式符号表达公式特点以及变形几何背景应用{计算、化简简化运算 ◇教学反思◇本节的内容是完全平方公式,在教学中,重视公式的几何背景,较直观地让学生理解代数中的某些问题.利用拼图游戏,调动学生的积极性,让学生关注几何与代数之间的内在联系,增强记忆,也可用口诀的形式让学生形象记忆,尤其针对学生易漏掉中间积的2倍这一项做好针对性的练习.第2课时添括号法则◇教学目标◇【知识与技能】掌握乘法公式的结构特征及公式的含义,理解添括号法则,会正确地添括号运用这些公式进行计算.【过程与方法】通过探索和理解乘法公式,感受乘法公式从一般到特殊的认知过程,拓展思维空间.【情感、态度与价值观】培养良好的分析思想和与人合作的习惯,体会数学的重要价值.◇教学重难点◇【教学重点】正确应用乘法公式(平方差公式、完全平方公式).【教学难点】对乘法公式的结构特征以及内涵的理解.◇教学过程◇一、情境导入教室里有a名同学,第一次有b名同学被老师喊到办公室去了,第二次有c名同学被老师喊到办公室去了,请你用代数式表示教室里现在有多少名学生?你能用两种形式表示吗?二、合作探究探究点1添括号法则典例1①5x＋3x2－4y2＝5x－();②－3p＋3q－1＝3q－().[解析]①5x＋3x2－4y2＝5x－(4y2－3x2).②－3p＋3q－1＝3q－(3p＋1).[答案]4y2－3x2;3p＋1添括号法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号,如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.注意遇负全变,遇正不变.探究点2添括号后用公式计算典例2 计算:(a －2b ＋1)(a ＋2b －1).[解析] (a －2b ＋1)(a ＋2b －1)＝[a －(2b －1)][a ＋(2b －1)]＝a 2－(2b －1)2＝a 2－4b 2＋4b －1.探究点3 用完全平方公式计算典例3 计算:(a ＋2ab －1)2.[解析] 原式＝(a ＋2ab )2－2(a ＋2ab )·1＋12＝a 2＋4a 2b ＋4a 2b 2－2a －4ab ＋1.变式训练 (a ＋2b －c )2.[解析] 原式＝(a ＋2b )2＋c 2－2c (a ＋2b )＝a 2＋4ab ＋4b 2＋c 2－2ac －4bc.探究点4 代数式求值 典例4 先化简,再求值:(a ＋2b )(a －2b )＋(a ＋2b )2＋(2ab 2－8a 2b 2)÷2ab ,其中a ＝1,b ＝2.[解析] 原式＝a 2－4b 2＋a 2＋4ab ＋4b 2－4ab ＋b ＝2a 2＋b ,∵a ＝1,b ＝2,∴原式＝2a 2＋b ＝4.三、板书设计添括号法则添括号{ 添括号法则乘法公式{平方差公式完全平方公式应用◇教学反思◇本节的内容是添括号法则,添括号法则是去括号法则反过来得到的,无论是添括号,还是去括号,运算前后代数式的值都保持不变,所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确,添括号能利用乘法公式简单计算,重在理解遇负全变,遇正不变的口诀.14.3因式分解14.3.1提公因式法◇教学目标◇【知识与技能】1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念;2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.【过程与方法】经历从分解因数到分解因式的类比过程,感受因式分解在解决问题中的作用.【情感、态度与价值观】培养学生有条理的思考、表达与交流的能力,培养积极的进取意识,体会数学知识的内在含义与价值.◇教学重难点◇【教学重点】了解因式分解的意义,掌握用提公因式法把多项式分解因式.【教学难点】整式乘法与因式分解之间的关系.正确地确定多项式的最大公因式.◇教学过程◇一、情境导入试计算:37×337＋63×337.这里用到了什么运算律?二、合作探究探究点1因式分解的意义典例1下列从左边到右边的变形,是因式分解的是()A.(3－x)(3＋x)＝9－x2B.x2＋2x＋1＝x(x＋1)＋1C.a2b＋ab2＝ab(a＋b)D.(a－b)(n－m)＝(b－a)(n－m)[解析](3－x)(3＋x)＝9－x2,是多项式乘法,故A错误;x2＋2x＋1＝(x＋1)2,故B错误;a2b＋ab2＝ab(a＋b),C正确;(a－b)(n－m)≠(b－a)(n－m),不是因式分解,故D错误.[答案] C。
