高中数学课时分层作业3任意角的三角函数的定义新人教A版必修4

1·2 任意的三角函数1·2·1 任意角的三角函数1. 任意角三角函数的定义（1） 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x ，y ） 则P 与原点的距离①把比值叫做的正弦 记作：②把比值叫做的余弦 记作：③把比值叫做的正切 记作：上述三个比值都不会随P 点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan 无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 以上三种函数，统称为三角函数。

三角函数值的定义域：R R2. 三角函数的符号αα02222>+=+=y x y x rr yαr y =αsin r xαr x =αcos x yαx y =αtan ααZ)(2∈+=k k ππααr y=αsin r x=αcos x y =αtan ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα3. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和－330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°＝sin30° cos390°＝cos30°sin （－330°）＝sin30° cos （－330°）＝cos30° 诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题。

4. 三角函数的集合表示：1．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的六个三角函数值。

【解析】因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =， ,2xa y a ==当0sin y a r α>====时，Z ∈k ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+ksin 1y yy MPr α====cos 1x xx OM r α====tan y MP ATAT x OM OAα====cosx r α===；1tan 2;cot ;sec 22αααα====；当0sin5y a r α<====-时，cos5x r α===-；1tan 2;cot ;sec 2αααα====2． 已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=，求cos ,sin αα的值。

1.2 任意角的三角函数知识梳理一、任意角的三角函数1.定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r=22y x +＞0)，那么sinα=r y ,cosα=r x ,tanα=xy . 2.在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.如图1-2-1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么图1-2-1（1）y 叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y;（2）x 叫做α的余弦，记作cosα，即cos=x ；（3）x y 叫做α的正切，记做 tanα，即tanα=xy (x≠0). 3.三角函数的定义：正弦、余弦、正切等以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称三角函数. 函 数定义域 值域 y=sinαR ［-1,1］ y=cosαR ［-1,1］ y=tanα {α|α≠2π+kπ,k ∈Z } R 三、三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知：（1）正弦值ry 对于第一、二象限为正（y ＞0,r ＞0），对于第三、四象限为负（y ＜0,r ＞0）； （2）余弦值rx 对于第一、四象限为正（x ＞0,r ＞0），对于第二、三象限为负（x ＜0,r ＞0）； （3）正切值x y 对于第一、三象限为正（x,y 同号），对于第二、四象限为负（x,y 异号）. 四、诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.即有sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα，其中k ∈Z .这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0—2π间角的三角函数值问题.五、正弦线、余弦线、正切线1.有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.规定：与坐标轴轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负.2.三角函数线的定义：在单位圆中，设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P （x,y ）,过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A （1，0）作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T.图1-2-2由图1-2-2看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y,于是有sinα=MP, cosα=OM,tanα=AT.我们就分别称有向线段MP\,OM\,AT 为正弦线、余弦线、正切线.六、同角的三角函数的基本关系1.平方关系：sin 2α+cos 2α=1.2.商数关系：ααcos sin =tanα. 知识导学要学好本节内容，可从复习初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数入手.把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.总结方法,通过做练习,巩固所学知识.疑难突破1.求任意角的三角函数值时应注意的几点.剖析：(1)以后在平面直角坐标系内研究角的问题的，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.(2)α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值与α绕x 轴转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.(3)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积，其余五个符号也是这样.(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值.所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.(5)为了便于记忆，可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.2.三角函数线的几点说明.剖析：（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点.（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值.（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面.。

课时分层作业(三)任意角的三角函数的定义(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32D [sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32.] 2．已知角α终边上异于原点的一点P 且|PO |＝r ，则点P 的坐标为( )【导学号：84352025】A ．P (sin α，cos α)B ．P (cos α，sin α)C ．P (r sin α，r cos α)D ．P (r cos α，r sin α)D [设P (x ，y )，则sin α＝y r ，∴y ＝r sin α，又cos α＝x r，∴x ＝r cos α，∴P (r cos α，r sin α)，故选D.]3．若cos α与tan α同号，那么α在( ) A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第三、四象限D ．第二、四象限B [因为cos α与tan α同号，所以α在第一、二象限．] 4．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2，其中正确的个数为( ) 【导学号：84352026】 A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [①正确；②错误，如sin π6＝sin 5π6；③错误，如sin π2＝1＞0；④错误，cos α＝x x 2＋y 2.所以B 选项是正确的．]5．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )A ．tan A 与cosB B ．cos B 与sinC C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin CD [∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.]二、填空题6．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin α·tan β＝________. －1613[由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α＝1213，tan β＝45－35＝－43，所以sin α·tan β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1613.]7．点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于第________象限． 四 [因为2 018°＝5×360°＋218°， 所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角， 所以tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0， 所以点P 位于第四象限．]8．已知角α的终边经过点P (x ，－6)且cos α＝－45，则x ＝________.【导学号：84352027】－8 [因为|OP |＝x 2＋－62＝x 2＋36，所以cos α＝xx 2＋36，又cos α＝－45，所以xx 2＋36＝－45，整理得x ＝－8.]三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°. [解] (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值.【导学号：84352028】[解] (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0.由lg cos α有意义，可知cos α>0， ∴角α的终边在第四象限．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.[冲A 挑战练]1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动26π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 A [点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动26π3弧长到达Q 点，所以点Q 是角26π3与单位圆的交点，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 26π3，sin 26π3，又cos 26π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝cos 2π3＝－12，sin 26π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝sin 2π3＝32，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.] 2．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________.【导学号：84352029】－713 [根据三角函数的定义，tan α＝a 5＝－125， ∴a ＝－12，∴P (5，－12)．这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.]3．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________. 35 [因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ＜0，r ＝－3cos θ2＋4cos θ2＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.]4．函数y ＝|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域为________.【导学号：84352030】{－2,0,2} [已知函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z， 角x 的终边不能落在坐标轴上，当x 是第一象限角时，cos x ＞0，tan x ＞0，y ＝cos x cos x ＋tan xtan x ＝1＋1＝2；当x 是第二象限角时，cos x ＜0，tan x ＜0，y ＝－cos x cos x ＋－tan xtan x ＝－1－1＝－2；当x 是第三象限角时，cos x ＜0，tan x ＞0，y ＝－cos x cos x ＋tan xtan x ＝－1＋1＝0；当x 是第四象限角时，cos x ＞0，tan x ＜0，y ＝cos x cos x ＋－tan xtan x ＝1－1＝0.综上知原函数的值域是{－2,0,2}．] 5．已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合； (2)求θ2的终边所在的象限；(3)试判断sin θ2cos θ2tan θ2的符号．[解] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上， 因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，所以θ为第三象限角，θ角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2，k ∈Z. (2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4，k ∈Z .当k 是偶数时，θ2终边在第二象限；当k 是奇数时，θ2终边在第四象限．(3)由(2)可得当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0；当k 是奇数时sin θ2＜0，cos θ2＞0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0.综上知，sin θ2cos θ2tan θ2＞0.。

第2课时 弧度制课时目标1.了解度量角的单位制，即角度制与弧度制．2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．识记强化1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝12|α|·r 2(α是弧度数且0<α<2π)．3度数 360° 180° 1° (180π)°弧度数 2π π π1801课时作业一、选择题 1．－315°化为弧度是( )A ．－43πB ．－5π3C ．－7π4D ．－76π答案：C解析：－315°×π180＝－7π42．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π3cm ，它所对的圆心角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：A解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.3．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6B.π3C.11π6D.2π3 答案：C解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C. 4．下列叙述中正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 答案：D解析：由弧度的定义，知D 正确．5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B .6．下列终边相同的一组角是( )A ．k π＋π2与k ·90°，(k ∈Z )B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z )C ．k π＋π6与2k π±π6，(k ∈Z )D.k π3与k π＋π3，(k ∈Z ) 答案：B解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍． 二、填空题7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad.8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2，∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度．答案：－23π3解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－⎝⎛⎭⎫3×2π＋56·2π＝－23π3三、解答题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车以30 km/h 的速度通过，求火车经过10 s 后转过的弧度数．解：∵圆弧半径R ＝2 km ＝2 000 m ，火车速度v ＝30 km/h ＝253m/s ，∴经过10 s 后火车转过的弧长l ＝253×10＝2503(m)，∴火车经过10 s 后转过的弧度数|α|＝l R ＝25032 000＝124.11．已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2k π(k ∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角； (3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．解：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π<7π6<3π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为r ＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又－5π≤r <0，∴k ＝－3，－2，－1.∴与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.(3)令0≤r ＝76π＋2k π＜5π，∴k ＝0,1，∴与α终边相同的角为76π，196π.能力提升12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA 围绕点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则θ等于( )A ．－4πB ．－6πC ．－8πD ．－10π 答案：B解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA 旋转了π3＋2π3＝π，则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置时，共旋转了π×6＝6π.又射线OA 按顺时针方向旋转，则θ＝－6π，故选B.13．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，试确定M 、N 、P 之间满足的关系．解：解法一：集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ； N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m π2－π3或x ＝2m ＋12π－π3，m ∈Z＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π－π3或x ＝m π＋π6，m ∈Z ； P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m 2π＋π6或x ＝2m －12π＋π6，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6或x ＝m π－π3，m ∈Z . 所以M N ＝P .解法二：M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝6m ＋16π，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3·(2m )＋16π，m ∈Z ；N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ；P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3k ＋16π，k ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ＝N .所以M ⊆N ＝P .第3课时 任意角三角函数的定义课时目标1.)． 2．能用三角函数定义进行计算3．掌握公式一，并能进行有关计算．识记强化1．利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数．直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P三角函数 定义 定义域 值域sin αyrR [－1,1] cos α xrR [－1,1] tan α y x {α|α≠k π＋π2，k ∈Z }R2.三角函数值在各个象限的符号三角函数角α所在的象限sin αcos α tan α 第一象限 正 正 正 第二象限 正 负 负 第三象限 负 负 正 第四象限 负正负3.sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )．课时作业一、选择题1．已知点P (4，－3)是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是( )A ．tan α＝－43B ．tan α＝－34C ．sin α＝－45D ．cos α＝35答案：B解析：由三角函数的定义，知x ＝4，y ＝－3，r ＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.2．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33答案：C解析：由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32.3．设a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，则sin α＋2cos α的值等于( ) A.25 B ．－25 C.15 D ．－15 答案：A解析：∵a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，∴点P 与原点的距离r ＝－5a ，sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋2cos α＝25，选A. 4．若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D解析：由条件可知cos θ>0，sin θ<0，则θ为第四象限角，故选D. 5．cos480°的值是( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32 答案：A解析：480°＝360°＋120°，所以cos480°＝cos120°＝－12.6．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π3的值为( ) A ．－1＋32 B.1－32C.3－12D.3＋12答案：C解析：cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 23π＋sin 23π＝－12＋32＝3－12. 二、填空题 7．5·sin90°＋2·cos0°－3·sin270°＋10·cos180°＝________. 答案：0解析：原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0.8．若点P (2m ，－3m )(m ＜0)在角α的终边上， 则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.答案：31313 －21313 －32解析：因为点P (2m ，－3m )(m ＜0)在第二象限，且r ＝－13m ，所以，sin α＝－3m r ＝－3m －13m＝31313，cos α＝2m r ＝2m －13m ＝－21313，tan α＝－3m 2m ＝－32.9．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2.k ∈Z . 解析：由cos x ＝|cos x |知cos x ≥0.∴角x 的终边落在y 轴或其右侧，从而角x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 三、解答题10．已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值． 解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，若a >0，则r ＝5|a |＝5a ，此时角α是第二象限角，∴sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；若a <0，则r ＝5|a |＝－5a ，此时角α是第四象限角，∴sin α＝y r ＝3a －5a ＝－35，cos α＝xr＝－4a －5a ＝45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.综上可得，当a >0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a <0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34. 11．求下列各式的值．(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)因为cos 25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋8π＝cos π3＝12， tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4＝tan π4＝1， 所以cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝12＋1＝32. (2)因为sin420°＝sin(360°＋60°)＝sin60°＝32，cos750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos30°＝32，sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin30°＝12，cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos60°＝12.所以sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝32×32＋12×12＝1.能力提升12．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．－2 答案：C解析：∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0.∴|sinα|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝1＋1＝2.13．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值．解：依题意，点P 到原点O 的距离为|OP |＝r＝(－3)2＋y 2＝3＋y 2，∴y 3＋y 2＝34y .∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16.∴y 2＝73，y ＝±213.∴r ＝4 33.∴P 在第二或第三象限．当点P 在第二象限时，y ＝213，则cos α＝x r ＝－34，tan α＝y x ＝－73；当点P 在第三象限时，y ＝－213，则cos α＝x r ＝－34，tan α＝y x ＝73.。

任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

第一章三角函数三角函数
．任意角的三角函数
任意角的三角函数的定义及其应用(一)
．理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示，能熟练求三角函数的值．
．理解并掌握三角函数线的几何表示，能利用三角函数线确定三角函数值的取值范围或角的取值范围．
一、任意角的三角函数
．单位圆：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．
．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合．在直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点(，)，则＝＝.那么：
()叫做α的正弦，记作α，即＝α；
()叫做α的余弦，记作α，即＝α；
()叫做α的正切，记作α，即＝α(≠)．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数．
练习：已知角的终边与单位圆的交点为，求角α的正弦、余弦和正切值．
解析：由三角函数定义知，
α＝＝，α＝＝－，α＝＝－.
．三角函数的值与点在终边上的位置有关系吗？
解析：利用三角形的相似性可知任意角α的三角函数值只与α有关，而与点的位置无关．对于α角的终边上任意一点，设其坐标为(，)，点到原点的距离＝>.
()比值叫做α的正弦，记作α，即α＝；()比值叫做α的余弦，记作α，即α＝；
()比值叫做α的正切，记作α，即α＝.点在单位圆上是一种特殊情形．。

第3课时 任意角三角函数的定义课时目标1.理解任意角三角函数的定义，熟记各象限三角函数符号，(正弦、余弦、正切)． 2．能用三角函数定义进行计算 3．掌握公式一，并能进行有关计算．识记强化1．利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数．直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P三角函数 定义 定义域 值域sin α yrR [－1,1] cos α xrR [－1,1] tan α y x {α|α≠k π＋π2，k ∈Z }R 2.三角函数值在各个象限的符号三角函数角α所在的象限sin α cos α tan α第一象限 正 正 正 第二象限 正 负 负 第三象限 负 负 正 第四象限 负 正 负3.sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )．课时作业一、选择题1．已知点P (4，－3)是角α终边上一点，则下列三角函数值中正确的是( )A ．tan α＝－43B ．tan α＝－34C ．sin α＝－45D ．cos α＝35答案：B解析：由三角函数的定义，知x ＝4，y ＝－3，r ＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.2．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A.12 B ．－12C ．－32 D ．－33 答案：C 解析：由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 3．设a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，则sin α＋2cos α的值等于( ) A.25 B ．－25 C.15 D ．－15 答案：A解析：∵a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，∴点P 与原点的距离r ＝－5a ，sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋2cos α＝25，选A.4．若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D解析：由条件可知cos θ>0，sin θ<0，则θ为第四象限角，故选D. 5．cos480°的值是( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32 答案：A解析：480°＝360°＋120°，所以cos480°＝cos120°＝－12.6．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π3的值为( ) A ．－1＋32 B.1－32C.3－12D.3＋12答案：C解析：cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 23π＋sin 23π＝－12＋32＝3－12. 二、填空题 7．5·sin90°＋2·cos0°－3·sin270°＋10·cos180°＝________. 答案：0解析：原式＝5×1＋2×1－3×(－1)＋10×(－1)＝0.8．若点P (2m ，－3m )(m ＜0)在角α的终边上， 则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.答案：31313 －21313 －32解析：因为点P (2m ，－3m )(m ＜0)在第二象限，且r ＝－13m ，所以，sin α＝－3m r ＝－3m －13m ＝31313，cos α＝2m r ＝2m －13m ＝－21313，tan α＝－3m 2m ＝－32.9．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2.k ∈Z . 解析：由cos x ＝|cos x |知cos x ≥0.∴角x 的终边落在y 轴或其右侧，从而角x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 三、解答题10．已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值． 解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，若a >0，则r ＝5|a |＝5a ，此时角α是第二象限角，∴sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；若a <0，则r ＝5|a |＝－5a ，此时角α是第四象限角，∴sin α＝y r ＝3a －5a ＝－35，cos α＝xr＝－4a －5a ＝45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.综上可得，当a >0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a <0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34. 11．求下列各式的值．(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)因为cos 25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋8π＝cos π3＝12， tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4＝tan π4＝1， 所以cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝12＋1＝32. (2)因为sin420°＝sin(360°＋60°)＝sin60°＝32，cos750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos30°＝32，sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin30°＝12，cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos60°＝12.所以sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝32×32＋12×12＝1.能力提升12．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．－2 答案：C解析：∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0.∴|sinα|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝1＋1＝2.13．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值．解：依题意，点P 到原点O 的距离为|OP |＝r＝(－3)2＋y 2＝3＋y 2，∴y 3＋y 2＝34y .∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16.∴y 2＝73，y ＝±213.∴r ＝4 33.∴P 在第二或第三象限．当点P 在第二象限时，y ＝213，则cos α＝x r ＝－34，tan α＝y x ＝－73；当点P 在第三象限时，y ＝－213，则cos α＝x r ＝－34，tan α＝y x ＝73.。

互动课堂 疏导引导 1.任意角三角函数的定义设P(a,b)是角α的终边与单位圆的交点,由P 向x 轴引垂线,垂足为M.根据锐角三角函数的定义得sinα=||||OP MP =b,cosα=||||OP OM =a,tanα=ab OM MP ||||. 同样的道理 ,我们也可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图1-2-2,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么图1-2-2(1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y.(2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x.(3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=xy . 2.三角函数线设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x 轴的交点分别为A(1,0)、A′(-1,0),与y 轴的交点分别为B(0,1)、B′(0,-1).设角α的顶点在圆心O,始边与x 轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(如图1-2-3(a)),过点P 作PM 垂直于x 轴于M,则点M 是点P 在x 轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点P 的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα).其中cosα=OM,sinα=MP.这就是说角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.又设单位圆在点A 的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)(图1-2-3(b)),则tanα=AT(AT′).我们把轴上向量OM 、MP 、AT ('AT )叫做α的余弦线、正弦线、正切线.图1-2-33.三角函数在各象限的符号由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数的符号.sinα=y,于是sinα的符号与y 的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,sinα＞0;当α是第三、四象限的角时,sinα＜0.cosα=x,于是cosα的符号与x 的符号相同,即当α是第一、四象限角时,cosα＞0;当α是第二、三象限的角时,cosα＜0.tanα=xy ,当x 与y 同号时,它们的比值为正,当x 与y 异号时,它们的比值为负,即当α是第一、三象限角时,tanα＞0;当α是第二、四象限角时,tanα＜0.规律总结:记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多,下面介绍一种利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.上述口诀表示,第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.4.公式一 ,终边相同的角的同一三角函数值相等,由此得一组公式.(公式一)利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值.活学巧用1.已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα.解析：x=3a,y=-4a,∴r=22)4()3(a a -+=5|a|(a≠0).(1)当a ＞0时,r=5a,α是第四象限角. sinα=ry =,5454-=-a a cosα=r x =5353=a a ,tanα=3434-=-=a a x y . (2)当a ＜0时,r=-5a,α是第二象限角,sinα=54,cosα=53-,tanα=34-. 答案：sinα=±54,cosα=±53,tanα=34-. 2.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合.(1)sinα≥23;(2)cosα≤-21. 解析：作出满足sinα=23,cosα=-21的角的终边,然后根据已知条件确定出角α终边的范围. (1)作直线y=23交单位圆于A 、B 两点,连结OA 、OB,则OA 与OB 围成的区域(如图1-2-4阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+3π≤α≤2kπ+32π,k ∈Z }. (2)作直线x=-21交单位圆于C 、D 两点,连结OC 与OD,则OC 与OD 围成的区域(如图1-2-5阴影部分)即为角α终边的范围. 故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+32π≤α≤2kπ+34π,k ∈Z }.图1-2-4 图1-2-53.确定下列三角函数值的符号. (1)cos250°;(2)sin(-4π);(3)tan(-672°);(4)tan 311π. 解析：(1)∵250°是第三象限角,∴cos250°＜0.(2)∵-4π是第四象限角,∴sin(-4π)＜0. (3)∵-672°=-2×360°+48°,而48°是第一象限角,∴-672°是第一象限角.∴tan(-672°)＞0. (4)∵311π=2π+35π,而35π是第四象限角, ∴311π是第四象限角.∴tan 311π＜0. 答案：(1)-;(2)-;(3)+;(4)-.4.若sinθcosθ＞0,则θ在( )A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解析：由sinθcosθ＞0可知sinθ与cosθ同号,若sinθ＞0,cosθ＞0, 则θ在第一象限;若sinθ＜0,cosθ＜0,则θ在第三象限.∴θ在第一、三象限.答案：B5.确定下列三角函数值的符号. (1)cos521π;(2)sin(-760°);(3)tan 37π. 解析：(1)∵cos 521π=cos(5π+4π)=cos 5π,而5π是第一象限角, ∴cos 521π＞0. (2)∵sin(-760°)=sin(-40°-2×360°)=sin(-40°),而-40°是第四象限角, ∴sin(-760°)＜0.(3)∵tan37π=tan(3π+2π)=tan 3π,而3π是第一象限角, ∴tan37π＞0.。