九年级数学上册1.2第2课时矩形的判定习题课件(新版)北师大版

B．AC＝BD
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．




∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，

∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，

即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能

边形是什么图形?
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.

归纳总结
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？
猜想 一个四边形至少有3个角是直角时，这个四边形是矩形．
探究3：有三个角是直角的四边形是矩形
分析：利用同旁内角互补，两直线平行来证明四边形是平行四边形，可使问题得证．
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
用矩形的定义判定：一个平行四边形有一个角是直角，这个图形是矩形．
探究2：对角线相等的平行四边形是矩形
动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点．
思考：(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
答：随着∠α的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长．
(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？
矩形
分析：要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.求证:平行四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD, AB∥CD. 又∵AC=DB, BC=CB. ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. 又∵AB∥CD. ∴∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=∠DCB=90°. ∴□ABCD是矩形.(矩形的定义).
AC＝BD (答案不唯一)
3．如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H四点．求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵□ABCD的四个内角平分线分别相交于E，F，G，H四点，由角平分线性质，得∠HAB＝ ∠DAB，∠ABH＝ ∠ABC，∴∠HAB＋∠ABH＝ (∠DAB＋∠ABC)＝90°，∴∠H＝90°.同理可求得∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．

4. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 AF∥BC，AF 交 CE 的延长线于点 F，且 AF＝BD，连接 BF.
(1)求证：△AEF≌△DEC； (2)当△ABC 满足什么条件时， 四边形 AFBD 是矩形？并说明理由．
解：(1)由 AAS 证△AEF≌△DEC； (2)满足 AB＝AC 时，四边形 AFBD 是矩形． 理由是：先证四边形 AFBD 是平行四边形， 由(1)得 CD＝AF＝BD， 又 AB＝AC 证∠ADB＝90°，∴▱AFBD 是矩形．
解：(1)证明：连 AC，BD，先证四边形 EFGH 是平 行四边形，再证 EF⊥EH；
(2)①BD⊥AC，②BD＝AC.
◎基础训练
1. 如图所示，已知▱ABCD，如果要使▱ABCD 是矩
形，则可以添加的条件是( A )
A．AC＝BD
B．AB＝AD
C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD
第 1 题图
2. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，将△ABC 绕点 C 旋转 180°得到△FEC，连接 AE，BF.当∠ACB 为 ___6_0_°______ 时，四边形 ABFE 为矩形．
(2)类比思考：在四边形 ABCD 中，顺次连接四边中 点 E，F，G，H，构成一个新的四边形．
①若要使四边形 EFGH 成为一个矩形，则对角线 BD 与 AC 应满足条件：_____________.
②若要使四边形 EFGH 成为一个菱形，则对角线 BD 与 AC 应满足条件：_____________.
第 2 题图
3. 在▱ABCD 中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则它的 面积是___4_8________．
4. 如图，在四边形 ABCD 中，H 是 BC 的中点，作 射线 AH，在线段 AH 及其延长线上分别取点 E，F，连 接 BE，CF.

2．(2023·呼和浩特市中考)如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直
平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为
( A )
A．2 3
B．3
C．2 5
D．3 2
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．有一点P从点B沿着
BD往点D移动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂线交
证 明 ： ∵∠ABO ＝ ∠DCO ＝ 90° ， OB ＝
OC，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC．
∴OA＝OD．
∵点E，F分别是AO，DO的中点，
1
1
∴OE＝ OA，OF＝ OD．
2
2
∴OE＝OF．
2．如图，AD和BC相交于点O，∠ABO
＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E，F分别是
AO，DO的中点．

2．如图，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量
湖泊两侧C，M两点间的距离，若测得AM的长为2.5 km，则M，C两点
间的距离为
( A )
A．2.5 km
B．3 km
C．4.5 km
D．5 km
3．若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角
18
三角形的面积是______．
下列结论一定正确的是
( C )
A．AC平分∠BAD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．AC⊥BD
【变式1】矩形的两边长分别为6 cm和8 cm，则它的对角线长为
10
_____cm．
知识点2 直角三角形斜边上的中线性质
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中

可根据条件灵活选用恰当的方法．
求证：
是矩形。
A
解：∵ABCD是平行四边形， 意四边形，还是平行四边形，然后选择适
已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角平分线相
O
∴AC = 2OA，BD = 2OB。 矩形的判定方法分两类：
A．对角线相等
B．对角线垂直
∵OA = OB， 求证：四边形ABCD是矩形
∴∠ABC + ∠DCB = 180°，
O
是矩形吗？为什么？
)1 B
2( C
1.已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOD= 120°，AB=4cm，求矩形对角线的长。
2.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于 点O，△AOB是等边三角形，AB＝ 4 cm。求这 个平行四边形的面积。
3.已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角平分线相 交于点E，F， G，H。求证：EG＝FH。
A D
C
B
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。Βιβλιοθήκη 求证：判是矩定形定。 理1
矩 ∴ ∠A + ∠B = 180°，
∴ ∠ABC = 90°，
形 有三个角都相等的四边例形是如矩：形．
已知：在
中，AC = BD。
对角线相等的平行四边形是矩形
A
D
的 延长CD到点E,使得 DE＝CD。
在Rt△ABC中，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
∠B + ∠C = 180°，
∴AD∥BC， AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
返回
例题 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是 等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.明确定理： 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2 + BC 2 = AC 2 ,
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:15:0210:15:0210:159/8/2021 10:15:02 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:15:0210:15Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:15:0210:15:0210:15Wednesday, September 08, 2021
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∟
CAD = 1 BAC，CAN = 1 ∠CAM.

D
几何语言： ∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形。
B
C
课堂总结
定义法： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩
形
的
判
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定
定理：
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
课堂练习
1 检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ） A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分 C．测量门框的三个角，是否都是直角 D．测量两条对角线，是否互相垂直
课堂练习
7 在□ ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝ BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形；
课堂练习
4．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B
B．∠A=∠C
C．AC=BD
D．AB⊥BC
【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行 四边形为矩形，正确； B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误； C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确； D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确， 故选B．
课堂练习
2．如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO

B C （2）四个角都相等的四边形是矩形；
∴∠BAD=∠CDA 3、有三个角是直角的四边形是矩形。
∵AB∥CD 有三个角是直角的四边形是矩形吗?
（2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是
有三个角是直角的四边形是矩形。
∴∠BAD +∠CDA=180° ∴∠BAD＝90°
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形 是矩形）
运用新知
A
1、如图，在 ABCD中，E、F为
D
BC上的两点，且BE=CF，AF=DE。
求证：1 ABF≌DCE；
2四边形ABCD是矩形。
证明：1 BE=CF，
BE+EF=CF+EF，
B
E
F
C
2 ABF≌DCE，
BF=CE.
B=C
四边形ABCD是平行四边形， 又B+C=180，
AB=CD 又 AF=DE，
北师大版 九年级数学上册
1.2 .2 矩形的判定
1、理解并掌握矩形的判定方法。
2、能应用矩形定义、判定等知识，解 决简单的证明题和计算题。
新课导入
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 2．矩形有哪些性质？ 3．矩形与平行四边形有什么共同之处？ 有什么不同之处？
获取新知
A
D
B
C
甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂
是矩形。 框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4） ∴AC=BD（矩形的对角线相等) 说明窗框合格，这时窗框是＿＿＿＿，根据的数学道理 （4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( ) 对角线相等的平行四边形是矩形。 丙同学想了一下，他决定用与他们不同的方法来判断。 ∴AC=BD（矩形的对角线相等) AB=CD, EF=GH

B D C CD的对角线AC、A BD相交于O，∠BOC=2∠AOB， 若AC=6cm,试求AB的长. B
D O C
2、如图，O是菱形ABCD对角线 的交点，作DE∥AC，CE∥BD， DE、CE交于点E，四边形CEDO B 是矩形吗？说出你的理由.
A O C
D E
A O B C D
猜想加证明
对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 结论：对角线相等的平行四边形是矩形 探索： 在
ABCD中 AB=DC,BD=CA,AD=DA O ∴△BAD≌△CDA(SSS) ∴∠BAD=∠CDA B C ∵AB∥CD ∴∠BAD +∠CDA=180° ∴∠BAD＝90° ∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行
A D
B
C
议一议:
设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是 Rt△ABC中一条怎样的特殊线段? BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线. 它与AC有什么大小关系?为什么?
BE等于AC的一半. ∵ AC=BD,BE=DE,
A E
D
1 BE BD. 2
1 BE AC. 2
B
2.矩形的性质和判定 （1）
观察—联想
定义
我们生活中充满了矩形这种几何图 形，教室里的黑板，门窗，课桌的桌面， 信封明信片等都是矩形的形状，你知道 什么是矩形吗？ 你是否了解这种几何图 形的性质呢？
定义：有一个角是直角的平行四 边形叫做矩形
活动一
在一个平行四边形活动框架上，用两根 橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一 对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状。
∵∠AOD=1200,
180 0 120 0 0 30 . ∴∠ODA=∠OAD= 2 A 0

A
∴平行四边形ABCD是矩形
D
O
∴∠BAD＝90°。 答： ∠BAD＝90°。
B
C
例题：已知： ABCD的对角线AC、 BD相交于点O， △ AOB是等边三 角形，AB=4㎝，求这个平行四边 形的面积。
另解：∵四边形ABCD是
∴AO=1/2 AC，BO=1/2 BD ∵ AO=BO
∴AC=BD ∴ ABCD是矩形
将矩形ABCD对折,设折痕为MN,再把B点叠在
折痕线MN上点B′,若AB= 3 ，求折痕AE的
长?
BE
C
M
B'
N
A
D
例1 已知：如图2，矩形ABCD中，
E是BC上一点，DF A于E F，若
AEBC。求证：CE＝EF。
A
D
1
F
2
B
EC
证明： 矩 A形 B C B D 90
AD//BC 12 DFAE DFA90
又∵ PB=PC
∴ ∠PBC=∠PCB
∴ ∠ABP=∠DCP
B
C ∵四边形ABCD是矩形 ∴ AB=CD
∴ △ABP≌△DCP
∴ PA=PD
证明（二）：
P A
B
F
过点P作BC的垂线，垂足
为F，
D
∵PB=PC
∴PF为BC的垂直平分线．
又∵AD∥BC
C ∴PF为AD的垂直平分线
∴PA=PD
例3 已知：如图，矩形ABCD中，AEBD
。
于E，且 DA 3 E BA 求：E CAE
的度数。
A
D
O
E
B
C
例4已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、 BD交于O，EF过O点交AD于E，交BC于F，且