2018届高三数学一轮复习： 第5章 第1节 课时分层训练28

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表示法理［解密考纲］本考点考查数列的概念、性质、通项公式与递推公式，近几年对由递推公式求项、求和加大了考查力度,而对由递推公式求通项减小了考查力度,一般以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．已知数列｛a n}的前n项和S n＝n2－3n，若它的第k项满足2〈a k<5,则k＝（C)A．2 B．3 C．4 D．5解析：已知数列｛a n｝的前n项和S n＝n2－3n.令n＝1，可得S1＝a1＝1－3＝－2.a n＝S n－S n＝n2－3n－［（n－1）2－3（n－1)］＝2n－4，n≥2。

n＝1时满足a n与n的关系式，－1∴a n＝2n－4，n∈N*。

它的第k项满足2<a k<5,即2〈2k－4<5，解得3〈k〈4.5.∵n∈N＊，∴k＝4.故选C．2．若数列{a n｝的前n项和S n满足S n＝4－a n（n∈N*）,则a5＝（ D )A．16 B．错误!C．8 D．错误!解析：当n＝1时，a1＝S1＝4－a1，∴a1＝2；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝a n－1－a n，∴2a n＝a n,∴数列{a n｝为以2为首项，以错误!为公比的等比数列，∴a5＝2×错误!4＝错误!。

故选D．－13．数列{a n｝的前n项和S n＝2n2－3n(n∈N*）,若p－q＝5，则a p－a q＝（ D ）A．10 B．15 C．－5 D．20解析：当n≥2时,a n＝S n－S n－1＝2n2－3n－[2（n－1）2－3(n－1)］＝4n－5;当n＝1时，a＝S1＝－1也符合，∴a n＝4n－5，∴a p－a q＝4(p－q)＝20。

专题五 平面向量1.(2016·新课标全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°1.解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.答案 A2.(2015·广东，9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB →＝(1,－2), AD →＝(2,1),则AD →·AC →＝( )A.5B.4C.3D.2 2.解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)． ∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5. 答案 A3.(2015·陕西，8)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 23.解析 对于A ，由|a ·b |＝||a ||b | cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |恒成立； 对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立； 对于C 、D 容易判断恒成立．故选B. 答案 B4.(2015·重庆，7)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6 4.解析 因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0， 即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，又|b |＝4|a |，则上式可化为2|a |2＋|a |×4|a |·cos 〈a ，b 〉＝0，即2＋4cos 〈a ，b 〉＝0， 所以cos 〈a ，b 〉＝－12，即a ，b 夹角为23π.答案 C5.(2015·福建，7)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A.－32 B.－53 C.53 D.325.解析 c ＝a ＋k b ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，∵b ⊥c ，∴b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0， ∴k ＝－32，故选A.答案 A6.(2015·湖南，9)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．96.解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ， ∴线段AC 为圆的直径， 故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0).设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )， ∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )，|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴当x ＝－1时，此式有最大值49＝7，故选B. 答案 B7.(2014·安徽，10)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D ．07.解析 设S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，若S 的表达式中有0个a ·b ，则S ＝2a 2＋2b 2，记为S 1，若S 的表达式中有2个a ·b ，则S ＝a 2＋b 2＋2a·b ，记为S 2，若S 的表达式中有4个a ·b ，则S ＝4a ·b ，记为S 3.又|b |＝2|a |，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2(a －b )2＞0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2＞0，S 2－S 3＝(a －b )2＞0，所以S 3＜S 2＜S 1，故S min ＝S 3＝4a ·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a ·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.答案 B8.(2014·湖南，10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( ) A ．[4,6] B ．[19－1，19＋1] C ．[23，27 ]D ．[7－1，7＋1]8.解析 设D (x ，y )，则(x －3)2＋y 2＝1，OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， 故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2， |OA →＋OB →＋OD →|的最大值为（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝7＋1，最小值为（3－1）2＋（0＋3）2－1＝7－1， 故取值范围为[7－1，7＋1]． 答案 D9.(2014·山东，7)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A.2 3B. 3C.0D.－ 39.解析 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2， 两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意． 答案 B10.(2014·新课标全国Ⅱ，4)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.5 10.解析 因为|a ＋b |＝10， 所以|a ＋b |2＝10，即a 2＋2a·b ＋b 2＝10. ① 又因为|a －b|＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6. ② 由①－②得4a·b ＝4， 即a·b ＝1，故选A. 答案 A11.(2016·新课标全国Ⅰ，13)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 11.解析 由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23.答案 －2312.(2016·山东，13)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4).若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________. 12.解析 ∵a ⊥(t a ＋b )，∴t a 2＋a ·b ＝0，又∵a 2＝2，a ·b ＝10，∴2t ＋10＝0， ∴t ＝－5. 答案 －513.(2016·北京，9)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________. 13.解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝1×3＋1×312＋（3）2·12＋（3）2＝234＝32， 所以θ＝π6.答案 π614.(2015·湖北，11)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 14.解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9. 答案 915.(2015·浙江，13)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.15.解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12，所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0， 所以b ⊥(e 1－e 2)，所以b 与e 1的夹角为30°， 所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝233. 答案 23316.(2015·江苏，14)设向量a k ＝⎝⎛⎭⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0,1,2，…，12)，则)(1110+=∙∑k k k a a )的值为________．16.解析 ∵a k ＝⎝⎛⎭⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6， ∴1+∙k k a a ＝⎝⎛⎭⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6·⎝⎛⎭⎫cos k ＋16π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝cos k π6·cos k ＋16π＋⎝⎛⎭⎫sin k π6＋cos k π6·⎝⎛⎭⎫sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π. 故1111100k k k k a a +==⋅=∑∑⎝⎛⎭⎫32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π ＝3211k =∑cos π6＋1211k =∑cos 2k ＋16π＋11k =∑sin2k ＋16π. 由11k =∑cos 2k ＋16π＝0，11k =∑sin 2k ＋16π＝0，得)(111+=∙∑k k k a a 1＝32cos π6×12＝9 3.答案 9317.(2015·天津，13)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．17.解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， ∴CD ＝1.AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋16DC → ＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos 120°＝2918. 答案 291818．(2014·重庆，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 18.解析 因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210， 又|b |＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案 1019.(2014·四川，14)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝______.19.解析 由已知可以得到c ＝(m ＋4，2m ＋2)，且cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉， 所以c·a |c|·|a|＝c ·b |c|·|b|，即m ＋4＋2（2m ＋2）（m ＋4）2＋（2m ＋2）2×12＋22＝4（m ＋4）＋2（2m ＋2）（m ＋4）2＋（2m ＋2）2×42＋22，即5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案 220.(2014·陕西，18)在直角坐标系xOy 中，已知点A(1,1)，B(2，3)，C(3,2)，点P(x ，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．20.解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1， 故m －n 的最大值为1.。

课时分层训练(二十三)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________． －3 [由题意可知⎩⎨⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.]2．(2017·盐城模拟)tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于________． －3 [∵tan 120°＝tan(50°＋70°)＝tan 50°＋tan 70°1－tan 50°tan 70°＝－3，∴tan 50°＋tan 70°＝－3＋3tan 50°tan 70°，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.]3．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α终边经过点P (2,4)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 【导学号：62172130】－3 [由题意可知tan α＝42＝2. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝1＋21－2＝－3.] 4．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于________．17[∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，∴cos α＝－45.又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－341＋34＝17.] 5．已知sin α＋sin β＝3(cos β－cos α)，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 3α＋sin 3β＝________.0 [由已知得：sin α＋3cos α＝3cos β－sin β， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6，又α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，β＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3.故α－π6＝β＋π6，即α＝β＋π3.∴sin 3α＋sin 3β＝sin(3β＋π)＋sin 3β＝0.]6．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝________. 35 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，32cos α－32sin α＝335，12cos α－32sin α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35.] 7．若sin ()α＋β＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________.【导学号：62172131】5 [由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12， ①sin αcos β－cos αsin β＝13， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝512，cos αsin β＝112.∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.]8．(2017·苏锡常镇调研二)若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________.－17[∵tan α＝12，tan(α－β)＝－13， ∴tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan [α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－131＋16＝－17.] 9．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是________. 【导学号：62172132】7π4 [∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2.∴cos(β－α)＝－31010.因此sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22，cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.] 10．(2017·如皋市高三调研一)若sin β＝3sin(2α－β)，则tan(α－β)＋12tan α＝________.0 [由sin β＝3sin(2α－β)得 －sin [(α－β)－α]＝3sin [α＋(α－β)]，∴cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝3[sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)]，∴－4cos αsin(α－β)＝2sin αcos(α－β)， ∴tan(α－β)＝－12tan α.∴tan(α－β)＋12tan α＝－12tan α＋12tan α＝0.] 二、解答题11．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.12．(2017·启东中学高三第一次月考)在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A . (1)求角A 的值；(2)若B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B .[解] 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ，即sin A ＝3cosA ．因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，所以tan A ＝3，所以A ＝π3.(2)因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.因为sin 2(A －B )＋cos 2(A －B )＝1，所以sin(A －B )＝35，所以sin B ＝sin(A －(A －B ))＝sin A cos(A －B )－cos A sin(A －B )＝43－310.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知0＜θ＜π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________.－15 [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ，∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1.∵0＜θ＜π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.] 2．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________. 3 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5，∴原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5. 又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tan π52tan π5－tan π5＝3.]3．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．[解] (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6 ＝2cos β＝85，得cos β＝45， 又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.4．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知0<α<π2<β<π，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值； (2)证明：sin β>513.[解] (1)将tan α2＝12代入tan α＝2tan α21－tan 2α2，得tan α＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 解得cos α＝35.(2)证明：由题意易得π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝513， ∴cos(α＋β)＝－1213，由(1)可得sin α＝4 5，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝513×35－⎝⎛⎭⎪⎫－1213×45＝6365>513.。

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课时分层提升练十六导数的综合应用(B卷)(25分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2017·新余模拟)f ′(x)是f(x)的导函数,若f ′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是( )【解析】选C.由导函数的图象可知,当x<0时,f ′(x)>0,即函数f(x)为增函数;当0<x<x1时,f ′(x)<0,即函数f(x)为减函数;当x>x1时,f ′(x)>0,即函数f(x)为增函数.观察选项易知C正确.2.(2017·内江模拟)已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则c的取值范围为( ) A.c< B.c≤C.c≥D.c>【解析】选A.由题意可知f′(x)=x2-x+c=0有两个不同的实根,所以Δ=1-4c>0⇒c<.3.(2017·赤峰模拟)设F(x)=f(x)g(x)是R上的奇函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(2)=0,则不等式F(x)<0的解集是( )A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-2,0)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(0,2)【解析】选D.因为F(x)=f(x)·g(x),所以F′(x)=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x).当x<0时,F′(x)>0,即F(x)在(-∞,0)上单调递增,且F(2)=f(2)·g(2)=0,又因为F(-x)=-F(x),所以F(-2)=-F(2)=0.F(x)图象可以表示为如图,所以F(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).4.(2017·湛江模拟)若函数f(x)=x+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则f(x)在下列区间上单调递增的是( )A.(-2,0)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-2)【解析】选D.由题意知,f′(x)=1-,因为函数f(x)=x+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,所以当1-=0时,b=x2,又x∈(1,2),所以b∈(1,4),令f′(x)>0,解得x<-或x>,即f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),因为b∈(1,4),所以(-∞,-2)符合题意.二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2017·九江模拟)已知f(x)=alnx+x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2都有≥2恒成立,则a的取值范围是. 【解析】由题意可知f′=x+≥2(x>0)恒成立,所以a≥2x-x2恒成立,令g=2x-x2=-+1,则a≥g(x)max,因为g=2x-x2为开口向下,对称轴为x=1的抛物线,所以当x=1时,g=2x-x2取得最大值g(1)=1,所以a≥1.即a的取值范围是[1,+∞).答案:[1,+∞)6.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值为3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为.【解析】f′(x)=6x2-12x,由f′(x)=0得x=0或x=2,当x<0或x>2时,f′(x)>0,当0<x<2时,f′(x)<0,所以f(x)在[-2,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,由条件知f(0)=m=3,所以f(2)=-5,f(-2)=-37,所以最小值为-37.答案:-377.(2017·青岛模拟)已知函数f(x)=e x-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为.【解析】由题可知f(x)=e x-1>-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1,若有f(a)=g(b),则g(b)∈(-1,1],即-b2+4b-3>-1,解得2-<b<2+.答案:(2-,2+)三、解答题(每小题10分,共20分)8.(2017·遵义模拟)设函数f(x)=x3-3mx+n(m>0)的极大值为6,极小值为2,求:(1)实数m,n的值.(2)函数f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值.【解析】(1)f′(x)=3x2-3m,令f′(x)=0,即3x2-3m=0,得x=±,当f′(x)>0,即x>或x<-时,f(x)为增函数,当f′(x)<0,即-<x<时,f(x)为减函数,所以f(x)有极大值f(-),有极小值f(),由题意得即解得(2)由(1)知f(x)=x3-3x+4,从而f(0)=03-3×0+4=4,f(3)=33-3×3+4=22, f(1)=13-3×1+4=2,所以f(x)有最小值2,有最大值22.9.(2017·常德模拟)已知函数f(x)=lnx+x.(1)求函数f(x)在点处的切线方程.(2)若方程f(x)=mx在区间内有唯一实数解,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为f′(x)=+1=,k=f′(1)=2,所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)由题意m=在区间内有唯一实数解,令g(x)=,x∈,因为g′(x)==0,解得x=e,所以函数g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,又g(1)=1,g(e2)=>g(1),所以m∈.(20分钟40分)1.(5分)(2017·赣州模拟)已知函数f=ax3-x2+4x+3,若在区间上,f≥0恒成立,则a的取值范围是( )A.[-6,-2]B.C.[-5,-3]D.[-4,-3]【解析】选A.由f≥0得ax3-x2+4x+3≥0,所以ax3≥x2-4x-3,当0<x≤1时,a≥=-3-4+,设t=∈,所以g=-3t3-4t2+t,所以g′=-9t2-8t+1,所以g′<0恒成立,所以g=g=-6,所以a≥-6,同理可得-2≤x<0时a≤-2,当x=0时,f(x)=3≥0成立,综上可得a的取值范围是[-6,-2].2.(5分)(2017·济南模拟)已知函数f=x+xlnx,若k∈Z,且k<f对任意的x>2恒成立,则k的最大值为( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由题设可得k<,令h(x)=,则h′(x)=.令g(x)=x-4-2lnx.则函数g(x)=x-4-2lnx的零点就是函数y=h(x)的极值点.设x-4-2lnx=0并记极值点为x0,则lnx0=,由于g(8)=4-2ln8<0,g(9)=5-4ln3>0,故8<x0<9,而且不难验证当2<x<x0时,h′(x)<0,h(x)单调递减;当x>x0时,h′(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(x0)===,因此k<,由于k∈Z且8<x0<9,所以k max=4.3.(5分)(2017·扬州模拟)已知函数f(x)=lnx-(m∈R)在区间[1,e]上取得最小值4,则m= .【解析】f′(x)=+=(x>0),当m>0时,f′(x)>0,f(x)在区间[1,e]上为增函数,f(x)有最小值f(1)=-m=4,得m=-4,与m>0矛盾.当m<0时,若-m<1即m>-1,f(x)min=f(1)=-m=4,得m=-4,与m>-1矛盾; 若-m∈[1,e],即-e≤m≤-1,f(x)min=f(-m)=ln(-m)+1=4,解得m=-e3,与-e≤m ≤-1矛盾;若-m>e,即m<-e时,f(x)min=f(e)=1-=4,解得m=-3e,符合题意.答案:-3e4.(12分)(2017·新疆生产建设兵团模拟)函数f(x)=(ax2+x-1)e x(a<0).(1)当a=-1时,若函数y=f(x)与g(x)=x3+x2+m的图象有且只有3个不同的交点,求实数m的取值范围.(2)讨论f(x)的单调性.【解析】(1)当a=-1时,f(x)-g(x)=(-x2+x-1)e x-,令f(x)-g(x)=0,故m=(-x2+x-1)e x-.令h(x)=(-x2+x-1)e x-,h′(x)=-x(x+1)(e x+1).故当x<-1时,h′(x)<0;当-1<x<0时,h′(x)>0;当x>0时,h′(x)<0;h(-1)=--,h(0)=-1.故--<m<-1.(2)由于f(x)=(ax2+x-1)e x,所以f′(x)=(2ax+1+ax2+x-1)e x=ax e x.当a=-时,f′(x)≤0恒成立,所以f(x)在R上单调递减;当a<-时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;当-<a<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在上单调递增,在(-,+∞)上单调递减.5.(13分)(2017·黄山模拟)已知函数f=e x-ax2,曲线y=f在x=1处的切线方程为y=bx+1.(1)求a,b的值.(2)求函数f在上的最大值.(3)证明:当x>0时,e x+x-xlnx-1≥0.【解析】(1)f′=e x-2ax,由题设得,f′=e-2a=b,f=e-a=b+1,解得,a=1,b=e-2.(2)方法一:由(1)知,f=e x-x2,所以f′=e x-2x≥x+1-2x=1-x≥0,x∈,故f在上单调递增,所以,f=f=e-1.方法二:由(1)知,f=e x-x2,所以f′=e x-2x,f″=e x-2,所以f′在上单调递减,在上单调递增,所以,f′≥f′=2-2ln2>0,所以f在上单调递增,所以f=f=e-1.(3)因为f=1,又由(2)知,f过点,且y=f在x=1处的切线方程为y=x+1,故可猜测:当x>0,x≠1时,f的图象恒在切线y=x+1的上方.证明如下:当x>0时,f≥x+1.设g=f-x-1,x>0,则g′=e x-2x-,g″=e x-2,由(2)知,g′在上单调递减,在上单调递增,又g′=3-e>0,g′=0,0<ln2<1,所以g′<0,所以,存在x0∈,使得g′=0,所以,当x∈∪时,g′>0;当x∈,g′<0,故g在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.又g=g=0,所以g=e x-x2-x-1≥0,当且仅当x=1时取等号.故当x>0时,≥x.由(2)知,e x≥x+1,故x≥ln,所以x-1≥lnx,当且仅当x=1时取等号.所以,≥x≥lnx+1.即≥lnx+1.所以,e x+x-1≥xlnx+x,即e x+x-xlnx-1≥0成立,当x=1时等号成立.关闭Word文档返回原板块。