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评估验收卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．复数i(2－i)＝( )A ．1＋2i B ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：i(2－i)＝2i －i 2＝2i ＋1＝1＋2i.答案：A2．(2018·全国卷Ⅱ)＝( )1＋2i 1－2i A ．－－i B ．－＋i 45354535C ．－－i D ．－＋i 35453545解析：＝＝＝－＋i.1＋2i 1－2i （1＋2i ）2（1－2i ）（1＋2i ）－3＋4i 53545答案：D3．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：举反例说明，若z ＝i ，则z 2＝－1<0.答案：C4．复数为纯虚数，则它的共轭复数是( )a ＋i 1－iA ．2iB ．－2iC ．iD ．－i解析：因为复数＝＝为纯虚a ＋i 1－i （a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）a －1＋（1＋a ）i 2数，所以＝0，≠0，解得a ＝1.所以＝i ，则它的共轭复数a －121＋a 2a ＋i 1－i 是－i.答案：D5．设f (n )＝＋(n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数(1＋i 1－i )n (1－i 1＋i )n 为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个解析：f (n )＝＋＝i n ＋(－i)n ，(1＋i1－i )n (1－i 1＋i )nf (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…所以集合共有3个元素．答案：C6．若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )A.＋iB. 125C. D.5254解析：因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，则a ＝－，b ＝－1，故|a ＋b i|＝＝，选C.12|－12－i |52答案：C7．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：因为z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i ∈R.所以x ＋2＝0，所以x ＝－2.答案：A8．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4 D.45解析：由复数模的定义可得|4＋3i|＝5，从而(3－4i)z ＝5，则z ＝53－4i ＝，故z 的虚部为.3＋4i 545答案：D9．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ，y 分别为( )A ．x ＝－1，y ＝1B ．x ＝－1，y ＝2C ．x ＝1，y ＝1D ．x ＝1，y ＝2解析：因为(x ＋i)(1－i)＝(x ＋1)＋(1－x )i ，所以(x ＋1)＋(1－x )i ＝y .所以x ＋1＝y 且1－x ＝0，得x ＝1，y ＝2.答案：D10．已知3－i ＝z ·(－2i)，那么复数z 在复平面内对应的点应33位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为3－i ＝z ·(－2i)，33所以z ＝＝＝＝＋i.3－3i －23i （3－3i ）（23i ）（－23i ）（23i ）6＋63i 121232其对应的点的坐标为，在第一象限．(12，32)答案：A11．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为( )A ．1B. 34C. D ．－4334解析：z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝m ＋2m i ＋(m －1)i ＋2(m －1)i 2＝(m －2m ＋2)＋(2m ＋m －1)i ＝(2－m )＋(3m －1)i.所以2－m ＝3m －1，得m ＝.34答案：B12．设复数z 满足|z |<1且＝，则|z |等于( )|z － ＋1z |52A. B.4534C. D.2312解析：因为＝，即|z |2＋1＝|z |，所以|z |＝.|z ＋1z |525212答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知实数m 满足不等式|log 2m ＋4i|≤5，则m 的取值范围为________．解析：由题意知m >0，(log 2m )2＋16≤25，即(log 2m )2≤9，－3≤log 2m ≤3，所以2－3≤m ≤23，即≤m ≤8.18答案：[18，8]14．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________．解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i.因为其对应点在实轴上，所以a ＋1＝0，即a ＝－1.答案：－115．a 为正实数，i 为虚数单位，＝2，则a ＝________．|a ＋i i |解析：＝＝1－a i ，a ＋i i （a ＋i ）·（－i ）i·（－i ）则＝|1－a i|＝＝2，所以a 2＝3.|a ＋i i |a 2＋1又a 为正实数，所以a ＝.3答案：316．定义运算＝ad －bc ，若复数x ＝，y ＝，则y ＝|a b c d |1－i 1＋i |4i x i 2 x ＋i |________．解析：因为x ＝＝＝－i ，1－i 1＋i （1－i ）22所以y ＝＝＝－2.|4i x i 2 x ＋i ||4i 12 0|答案：－2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算＋＋－23＋i 1＋23i(21＋i )2 018 （4－8i ）2－（－4＋8i ）211－7i解：原式＝＋＋i （1＋23i ）1＋23i[(21＋i )2 ]1 009 ＝16－64i ＋64i 2－（16－64i ＋64i 2）11－7ii ＋(－i)1 009＋0＝0.18．(本小题满分12分)实数m 分别取什么数值时，复数z ＝m 2＋5m ＋6＋(m 2－2m －15)i ：(1)与复数2－12i 相等？(2)与复数12＋16i 互为共轭复数？(3)在复平面内对应的点在x 轴上方？解：(1)根据复数相等的充要条件得解得m ＝－1.{m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，)即m ＝－1时，复数z 与复数2－12i 相等．(2)复数12＋16i 的共轭复数为12－16i ，由题意得{m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，)即解得m ＝1.{m 2＋5m －6＝0，m 2－2m ＋1＝0，)故当m ＝1时，复数z 与复数12＋16i 互为共轭复数．(3)复数z ＝m 2＋5m ＋6＋(m 2－2m －15)i 在复平面内对应的点位于x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.所以m <－3或m >5时，复数z 在复平面内对应的x 轴上方．19．(本小题满分12分)已知复数z ＝.（1＋i ）2＋2（5－i ）3＋i (1)求|z |；(2)若z (z ＋a )＝b ＋i ，求实数a ，b 的值．解：(1)因为z ＝＝＝＝3－i ，2i ＋10－2i 3＋i 103＋i 10（3－i ）10所以|z |＝.10(2)因为(3－i)(3－i ＋a )＝(3－i)2＋(3－i)a ＝8＋3a －(a ＋6)i ＝b ＋i ，所以⇒{8＋3a ＝b ，－（a ＋6）＝1，){a＝－7，b ＝－13.)20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋<0，求z .1z 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，由题意得x 2＋y 2＝1，则z 2＋2z ＋＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1z 1x ＋y i 1)i.因为y ≠0，z 2＋2z ＋<0，1z 所以解得x ＝－.{2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，)12将x ＝－代入x 2＋y 2＝1，得y ＝±.1232所以z ＝－±i.123221．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝，求：15－5i （2＋i ）2(1)z 1·z 2.(2)若z ∈C ，且|z －z 1|＝1，求|z －z 2|的最大值．解：(1)因为z 2＝＝＝＝15－5i （2＋i ）215－5i 3＋4i （15－5i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝1－3i ，所以z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.25－75i 25(2)由|z －z 1|＝1知，z 在以(2，－3)为圆心，以1为半径的圆上，如图：z 2在复平面内对应的点为B (1，－3)，所以当z 对应的点为A (3，－3)时，|z －z 2|的最大值为2.22．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量，分别OZ 1→ OZ 2→对应复数z 1，z 2，且z 1＝＋(10－a 2)i ，z 2＝＋(2a －5)i ，a ∈R.3a ＋521－a若1＋z 2可以与任意实数比较大小，求·的值．—z OZ 1→ OZ 2→解：由题意，得1＝－(10－a 2)i ，—z 3a ＋5则1＋z 2＝－(10－a 2)i ＋＋(2a －5)i ＝＋(a 2—z 3a ＋521－a (3a ＋5＋21－a )＋2a －15)i.因为1＋z 2可以与任意实数比较大小，—z 所以1＋z 2是实数，—z 所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又因为a ＋5≠0，所以a ＝3.所以z 1＝＋i ，z 2＝－1＋i.38所以＝，＝(－1，1)．OZ 1→ (38，1)OZ 2→ 所以·＝×(－1)＋1×1＝.OZ 1→ OZ 2→ 3858。
姓名，年级：时间：评估验收(二）(时间:120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条直线（)A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析:如图所示，a∥b∥c，则l与a相交，l与b，c异面．答案:C2.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝22，则异面直线BD与AC所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析:如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE 即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝错误!,则∠BDE＝60°.答案：C3．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则( ）A．b⊥αB．b⊂αC．b∥αD．b∥α或b⊂α解析：当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时,a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时,a⊥α，则a∥b。
所以直线a⊥b，且a⊥α时，b∥α或b⊂α.答案：D4．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D解析：因为A1B1∥DC,A1B1＝DC，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C，因为A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以A1D∥平面AB1C。
答案：D5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α,l⊥β,则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析:若l∥α，l∥β,则平面α与β可能相交,可能平行，故A错误;若l⊥α,l⊥β，则根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得B正确;若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能l⊂β，故D错误．答案：B6．在正四面体P。
评估验收卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．下面是某电影中的一个片段：女主人欲输入由十个数字组成的密码，当她依次输入了前八个数字11235813后，欲输入最后两个数字时她犹豫了，也许是忘记了最后两个数字，也许……请你根据上述相关数据信息推测最后两个数字最有可能是( )A．2，1 B．2，0C．1，3 D．3，1解析：前八个数字11235813，发现1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，又8＋13＝21，所以最后两个数字最有可能是2，1.答案：A2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由f(x)＝sin x满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin x是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．答案：C3．用数学归纳法证明“对一切n ∈N *，都有2n >n 2－2”这一命题，证明过程中应验证( )A ．n ＝1时命题成立B ．n ＝1，n ＝2时命题成立C ．n ＝3时命题成立D ．n ＝1，n ＝2，n ＝3时命题成立解析：假设n ＝k 时不等式成立，即2k >k 2－2，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k >2(k 2－2)，2(k 2－2)≥(k ＋1)2－2⇒k 2－2k －3≥0⇔ (k ＋1)(k －3)≥0⇒k ≥3，因此需要验证n ＝1，2，3时命题成立．答案：D4．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝21213141n时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)解析：根据数学归纳法的步骤可知，n ＝k (k ≥2且k 为偶数)的下一个偶数为n ＝k ＋2，故选B.答案：B5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：由等差数列性质，有a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5.易知选项D 正确．。
姓名，年级：时间：模块综合评价（一)（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设复数z满足z＝错误!,则｜z|＝（）A．3 B.错误!C．9 D．10解析：z＝错误!＝错误!＝错误!＝2－错误!i，|2－错误!i｜＝错误!＝3.答案：A2．当函数y＝x·e x取极小值时，x＝( )A．2 B．－2C．1 D．－1解析：由函数求导有:y′＝e x＋x e x＝e x（x＋1），当x<－1时，y′〈0，函数y＝x e x单调递减;当x>－1时，y′>0，函数y＝x e x单调递增；则x＝－1时，函数y＝x e x取得极小值．答案:D3．用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有"．答案：A4．给出下列三个类比推理的结论：①类比a x·a y＝a x＋y,则有a x÷a y＝a x－y；②类比log a（xy)＝log a x＋log a y，则有sin(α＋β)＝sin α＋sin β；③类比(a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，则有（错误!＋错误!)2＝错误!2＋2错误!错误!＋2.错误!其中，结论正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析:只有①③的结论是正确的．答案：B5．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝4时,该命题成立解析：由题意可知，命题对n＝4不成立（否则对n＝5成立）．故选C。
姓名，年级：时间：章末评估验收（三）（时间：120分钟满分:150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．下列关于K2的说法正确的是（）A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B．K2的值越大，两个事件的相关性就越大C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的，只对于两个分类变量适合D．K2的观测值k的计算公式为k＝n（ad－bc）（c＋d）(a＋c）(b＋d）)（a＋b解析：K2是用来判断两个分类变量是否有关的，故A错；K2的值越大，只能说明有更大地把握认为二者有关系，却不能判断相关性的大小，B错;D 中(ad－bc)应为(ad－bc）2。
答案：C2．如图所示的等高条形图可以说明的问题是( )A．“心脏搭桥”手术和“血管清障"手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病"的影响在某种程度上是不同的，但是没有100％的把握解析：由等高条形图知，“心脏搭桥术”和“血管清障"对“诱发心脏病”的影响程度不同,但没有100%的把握．答案：D3．两个变量x与y的回归模型中，分别选择了四个不同模型来拟合y 与x之间的关系，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A.模型1 B解析:两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好,所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值,模型1拟合效果最好．答案：A4．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2,已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是（）A．l1和l2有交点(s,t）B．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t）C．l1与l2必定平行D．l1与l2必定重合解析：由回归直线定义知选A.答案：A5．相关变量x，y的样本数据如下:经回归分析可得y与错误!＝1。
第一章 导数及其应用1.4生活中的优生问题举例A 级 基础巩固一、选择题1．正三棱柱体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( )A.B.C ．2D.3V 32V 3V 34V解析：设底面边长为a ，高为h ，则V ＝Sh ＝a 2h ，所以h ＝＝，344V 3a 243V3a 2则表面积为S ＝3ah ＋2×a 2＝a 2＋343243Va 则S ′＝a －，343Va2令S ′＝a －＝0，可得a ＝，即a ＝.343V a 2343Va 234V 答案：D2．若一个球的半径为r ，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( )A ．2πr 2B．πr 2C ．4πr 2D.πr 212解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，侧面积为S .则R ＝r cos θ，l ＝2r sin θ，所以S ＝2πr cos θ·2r sin θ＝4πr 2sin θcos θ，S ′＝4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)＝4πr 2cos2θ，令S ′＝0，得θ＝.π4当θ＝，即R ＝r 时，π422S 最大且S max ＝2πr 2.答案：A3．某出版社出版一读物，一页纸上所印文字占去150 cm 2，上、下要留1.5 cm 空白，左、右要留1 cm 空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为( )A ．左右长12 cm ，上下长18 cmB ．左右长12 cm ，上下长19 cmC ．左右长11 cm ，上下长18 cmD ．左右长13 cm ，上下长17 cm解析：设所印文字区域的左右长为x cm ，则上下长为cm ，所150x以纸张的左右长为(x ＋2) cm ，上下长为 cm ，所以纸张的面积S (150x＋3)＝(x ＋2)＝3x ＋＋156.(150x ＋3)300x所以S ′＝3－，令S ′＝0，解得x ＝10.300x2当x >10时，S 单调递增；当0<x <10时，S 单调递减．所以当x ＝10时，S min ＝216 (cm 2)，此时纸张的左右长为12 cm ，上下长为18 cm.故当纸张的边长分别为12 cm ，18 cm 时最节约．答案：A4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝则当总利润最大时，每年生产产品的{－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，)单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：由题意得，总利润P (x )＝{－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，)令P ′(x )＝0，得x ＝300，经检验当x ＝300时总利润最大，故选D.答案：D5．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )A.cmB. cm331033C. cmD. cm16332033解析：设圆锥的高为x ，则底面半径为，其体积为V ＝202－x 213πx (400－x 2)，0<x <20，V ′＝π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝.132033当0<x <时，V ′＞0；2033当<x <20时，V ′<0，2033所以当x ＝时，V 取最大值．2033答案：D 二、填空题6．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为y ＝x 3－x 2－1339240x (x >0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．解析：由题设知y ′＝x 2－39x －40，令y ′>0，解得x >40或x <－1，故函数y ＝x 3－x 2－40x (x >0)在[40，＋∞]上递增，在(0，40)上13392递减．所以当x ＝40时，y 取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.答案：407．做一个无盖的圆柱体水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，所以L ＝，要使用料最省，只需使圆柱表面积最小，27R 2因为S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋π(R >0)，54R所以S 表′(R )＝2πR －，令S 表′(R )＝0，得R ＝3，所以当R ＝54πR 23时，S 表最小．答案：38．某公司一年购买某种货物400吨，每次购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x ＝________．解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝，400x所以总运费与总存储费之和(单位：万元)f (x )＝4n ＋4x ＝＋1 600x4x ，f ′(x )＝4－，令f ′(x )＝0，解得x ＝20(－20舍去)，当0<x <201 600x2时，f ′(x )<0，当20<x ≤400时，f ′(x )>0.所以x ＝20是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，故当x ＝20时，运费与总存储费之和最小．答案：20三、解答题9.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边A ，D 之间合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？解：设C 点距D 点x km ，则AC ＝50－x (km)，所以BC ＝＝(km)．BD 2＋CD 2x 2＋402又设总的水管费用为y 元，依题意，得y ＝3a (50－x )＋5a (0<x <50)．x 2＋402y ′＝－3a ＋.5axx 2＋402令y ′＝0，解得x ＝30.在(0，50)上，y 只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30 km 处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)．故供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．10.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图)．问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m(1＜x ＜4)，底面正六边形的面积为S m 2，帐篷的体积为V m 3.则由题设可得正六棱锥底面边长为＝(m)，32－（x －1）282＋2x －x 2于是底面正六边形的面积为S ＝6×()2＝(8＋2x －x 2)(m 2)，348＋2x －x2332所以帐篷的体积为V ＝×(8＋2x －x 2)(x －1)＋(8＋2x －x 2)＝(8＋2x －x 2)133********＝[13（x －1）＋1](16＋12x －x 3)(m 3)，求导数，得V ′＝(12－3x 2)．3232令V ′＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.当1<x <2时，V ′＞0；当2<x <4时，V ′<0.所以当x ＝2时，V 最大．即当OO 1为2 m 时，帐篷的体积最大．B 级 能力提升1．某厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )A ．32 m ，16 mB ．30 m ，15 mC ．40 m ，20 mD ．36 m ，18 m解析：设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m ，其他两边边长为y m ，则xy ＝512，堆料场的周长l ＝x ＋2y ＝＋2y (y >0)，令l ′＝－512y＋2＝0，解得y ＝16(另一负根舍去)，当0<y <16时，l ′<0；当y >16512y2时，l ′>0，所以当y ＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x ＝＝32.51216答案：A2．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为，点B 坐标为(，1－(x 2，0)x2)，(x 2)2所以矩形ACBD 的面积S ＝f (x )＝x ·＝－＋x ，x ∈(0，2)．[1－(x 2)2 ]x 34由f ′(x )＝－x 2＋1＝0，34得x 1＝－(舍)，x 2＝，233233所以x ∈时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，(0，233)x ∈时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，(233，2)所以当x ＝时，f (x )取最大值.233439答案：4393．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝＋4(x －6)2，其中m x －22<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．解：(1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝＋4(x －6)2，得＋16＝21，m x －2m2解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝＋4(x －6)2，10x －2所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋[10x －2＋4（x －6）2]240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝，且在上，f ′(x )>0，函数f (x )单调103(2，103)递增；在上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，(103，6)所以x ＝是函数f (x )在(2，6)内的极大值点，也是最大值点，103所以当x ＝≈3.3时，函数f (x )取得最大值．103故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．。
