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§3 线性方程组的解

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计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法

计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法

“回代”解得

xn

bn ann


xk

1 akk
[bk

n
akj x j ]
j k 1

其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1

xi

b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i

2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )： 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)

线性代数第三章线性方程组第4节线性方程组解的结构

线性代数第三章线性方程组第4节线性方程组解的结构

c1
1 0
c2
0 1
k1
1 1
k2
2 2
1
0
0
1
得 c1 k2
cc12
k1 k1
2k2 2k2
c1 k2
即 c1 k2 0
cc12
k1 k1
2k2 2k2
0 0
c1 k2 0
解得 c1 k2，c2 k2，k1 k2.
取
k2 k 0,
则方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为
(kk21
(k1 k2 )
k2 k2
)0 0
解之得到
k1 k2.
当k1 k2 0时，向量
k1(0,1,1, 0)T k2 (1, 2, 2,1)T k2[(0,1,1, 0)T (1, 2, 2,1)T
满足方程组(Ⅰ).
k2 (1,1,1,1)T
并且它也是方程组(Ⅱ)的解，故它是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的 公共解.
定理3.17 若0是非齐次线性方程组AX=b的一个解，则方程组 AX=b的任意一个解 都可以表示为 0 其中 是其导出组AX=0的某个解，0称为方程组
AX=b的一个特解.
例7 求线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 3x5 5
3x1
2x1 4x2
x2 2x4 6x5 1 5x3 6x4 3x5
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
的一个基础解系.并求方程组的通解.
解 方程组中方程个数小于未知量的个数，所以方程组有 无穷多解.
对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化的阶 梯形矩阵：
3 1 6 4 2
A 2
2
3 5
3
1 5 6 8 6

第三章 线性方程组

第三章 线性方程组

例1 解方程组：
2x1 x2 x3 x4 2, (1)
4xx1 1x62x2
2 x3 2
x3
x4 4, 2x4
4,
( 2) ( 3)
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, (4)
解: 将第一个方程与第二个方程交换位置，并 将第 三个方程÷2， 得
x1 x2 2x3 x4 4, (1)
第三章 线性方程组
本章将讨论一般线性方程组解的理论和求解方法。 本章基本要求： 1、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 及非齐次线性方程组有解的充分必要条件； 2、理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念； 3、理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念； 4、掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。
x4 3,
x2
x3
3,
x1
x3
4
x3 R 这 即 为 原 方 程 组 的 解
上述对方程组的消元变形过程中，实际上是对方 程组反复施行了下列三种运算： (1) 交换两个方程在方程组中的位置； (2) 一个方程的两端同乘以一个不等于零的数； (3) 一个方程的两端乘以同一个数后加到另一个方 程上去。
x1 x2 5 x3 x4 0
例3
解齐次线性方程组：
3
x1 x1
x2 x2
2 x3 8 x3
3x4 x4
0 0
x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
解：对系数矩阵A进行初等行变换，把它化为阶梯
形矩阵。
1
A
1 3 1
1 1 1 3
5 2 8 9
1 L2 L1 3
L4 3L2
0 0 0
1 2 5 3
2 2 5 3
1 2 3 4

3.4 线性方程组的解(教案)

3.4 线性方程组的解(教案)
此时，方程组有无数多个解，其全部解为：
【思考】解法1和解法2的比较？（比较发现，解法2较解法1简 单，但解法2只适合于系数矩阵为方阵时的情形。）
由定理1容易得到下面的定理2和定理3，将线性方程组推广到 矩阵方程，又可以得到下面的定理4。
定理2 线性方程组有解的充分必要条件是。 定理3 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。 例4 （自学P72 例10）
定理4 矩阵方程有解的充分必要条件是。
证明：设为矩阵，设为矩阵，设为矩阵，把和按列分块，记为，则 矩阵方程等价于个向量方程。
（1）充分性：设，由于
∴。 由上面的定理2的结论知都有解，故矩阵方程有解。 （2）必要性：矩阵方程 有解，则都有解，设它们的解分别为 记，其中是矩阵的列向量，则有 对矩阵 作初等列变换可以把的第列都变成了0向量，即， 证
解法1 对增广矩阵无解； （3）当，方程组有无数解，这时 由此得到： 设，方程组的全部解可以表示为：
解法2 由于系数矩阵为3阶方阵，则，则方程组有唯一解 的充要条件是，则
，则有 （1）当且时，方程组有唯一解。 （2）当时
此时，故方程组无解。 （3）当时
（1）线性方程组求解； （2）线性方程组解的判定。 【教学手段】 讲授 【知识回顾】 前面学习了矩阵的初等变换以及对矩阵施以初等变换与左乘、右乘 可逆矩阵的关系，从而给出了矩阵逆的新的计算方法，然后学习了矩阵 秩的概念和求法。矩阵的秩是矩阵在初等变换过程中的一个不变量，体 现了矩阵的某些内在的特性，有重要的意义和应用价值，本节将讨论矩 阵的秩在线性方程组解的问题上的应用。将给出线性方程组解的判定方 法以及在有解情况下解的表示。 【教学内容】
（ⅲ）有解的情况下，表示出解（特别对于有无数解的情 形）。

3.向量组的线性相关性与线性方程组的解

3.向量组的线性相关性与线性方程组的解

3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。

有解时再化为行最简形求解。

(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。

(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。

2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。

3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。

例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。

线性代数第三章第三节线性方程组的解课件

线性代数第三章第三节线性方程组的解课件

B1 1 ~1 1
1
1 2
1
1
1
1 1
2
~ 0 - 1 1 - - 2
0
1-
1 - 2
1
-
2
1 1
~ 0 -1 1-
2
- 2
0
0
2 - - 2
1
-
2
-
3
1 1
0 -1
1-
2
1 -
0
0
1 - 2
1
-
1
2
1 当 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
-
x2 x2
x3 x3
-
x4 0 3x4 1
.
x1 - x2 - 2x3 3x4 -1 2
解 对增广矩阵B进行初等变换
1 - 1 - 1 1 0 1 - 1 - 1 1 0 B 1 -1 1 - 3 1 ~ 0 0 2 - 4 1
1 - 1 - 2 3 - 1 2 0 0 - 1 2 - 1 2
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2
x2 x3 x4
x2
1 0
0
x4
0 2 1
102 .
0
其中x2 , x4任意.
x1 - x2 a1
例４
证明方
程组
x2 x3
-
x3 x4
a2 a3
x4
-
x5
a4
x5 - x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
0
0 1
-2 2

§3齐次线性方程组解的结构

§3齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组是指系数矩阵为零矩阵的线性方程组。

其一般形式为：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=0a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=0...aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=0其中，aₙ(1≤n≤m,1≤i≤n)是方程组的系数。

对于齐次线性方程组，我们可以运用矩阵和向量的线性代数理论来推导其解的结构。

首先，我们将齐次线性方程组的系数矩阵记为A，行向量xT=(x₁,x₂,...,xₙ)，则方程组可表示为Ax=0。

根据矩阵乘法的定义，我们有A·xT=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ,a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ,...,aₙ₁x₁+a ₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ)=bT其中，bT是m维零向量。

这样，我们可以将齐次线性方程组的解的结构转化为求解矩阵A的零空间结构。

我们知道，零空间是矩阵A对应的齐次方程Ax=0的解的集合，也称为核空间。

零空间可以通过对系数矩阵A进行行变换化简，得到其对应的阶梯形矩阵U，进而求解。

接下来，我们来看零空间的结构。

假设U是矩阵A的阶梯形矩阵，其形式如下：a₁₁a₁₂a₁₃...a₁ₙ...a₁ₙ0a₂₂a₂₃...a₂ₙ...a₂ₙ00a₃₃...a₃ₙ...a₃ₙ...000aₙₙ...aₙₙ0000...aₙₙ其中，aᵢⱼ(1≤i≤p≤m,j>i)是U的主对角元素。

通过行变换，我们可以将U化简为如下形式：100...0...a₁ₙ₋ₙ₊₁a₁ₙ₋ₙ₊₂...a₁ₙ010...0...a₂ₙ₋ₙ₊₁a₂ₙ₋ₙ₊₂...a₂ₙ001...0...a₃ₙ₋ₙ₊₁a₃ₙ₋ₙ₊₂...a₃ₙ...000...1...aₙₙ₋ₙ₊₁aₙₙ₋ₙ₊₂...aₙₙ000...0...00 0其中，aᵢ(p<i≤n)是自由变量。

我们可以看出，自由变量的个数等于未知数的个数减去主元的个数。

线性代数课件3 3


? ? ???
?
?5?
? ?
?
1 ??
方程组可简化为 AX = b ．
x1
? ? ?
3 1
? ? ?
?
x2
? ? ?
4? ? 1 ??
?
x3
? ? ?
?1?
2
? ?
?
?5?
? ?
?
1??
二、线性方程组的解的判定
设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
m、n 不一 定相等！
? a11 x1 ? a12 x2 ?
前 r列
后 n - r列
第一步：往证 R(A) < R(A, b) ? 无解．
若 R(A) < R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)＋1，则 dr+1 = 1 ． 于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解．
?1 0
? ?
0
1
?
B
?
? ? ? ?
0 0
0 0
?0 0
?? ?
a21 x1 ?
a22 x2
?
?
??am1 x1 ? am2 x2 ?
? a1n xn ? b1 , ? a2n xn ? b2 ,
? amn xn ? bm .
定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解， 就称它是不相容的．
问题1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，则解是否唯一？ 问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？
前前nr 列
后 n - r列
第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n ? 唯一解． 若 R(A) = R(A, b) = n， 则 dr+1 = 0 且 r = n，从而 bij 都不出现. 故原线性方程组有唯一解．

第三章线性代数方程组的直接解法


由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设
法通消常去把方按程照组的先系消数元矩,阵后A回的代主两对个角线步下骤的求元解素线,而性 将方A程x=组b化的为方等法价称的上为三高角斯形（方G程a组us,s然）后消再去通法过。回
代过程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩 阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形 矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较 简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出 未知变量 xn , xn1 , , x1 这种求解上三角方程组的 方法称为回代, 通过一个方程乘或除以某个常数,以 及将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数,最 终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过程称为 消元,然后再回代求解。
3.2.2 高斯消去法算法构造 我们知道,线性方程组(3.1)用矩阵形式表示为
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2n


ann

x1 b1

x
2


b2


xn bn
每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。
整个过程分为消元和回代两个部分。
（1）消元过程 第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将 方程 ①乘上 1 加到方程 ③上去,这样就消去
2
了第2、3个方程的 x1 项,于是就得到等价方程 组
2x1 x2 3x3 1

2
x1

x2
3x3
1

4x2 x3 2

5 2
x2

3 2
x3

13 2

第三章 线性代数方程组的直接解法1


for
j = n : −1 : 2
y( j ) = y( j ) u( j , j )
y (1 : j − 1) = y (1 : j − 1) − y ( j )u(1 : j − 1, j )
end
y(1) = y(1) u(1,1)
加减乘除运算次数之和)均为 两种算法的工作量(加减乘除运算次数之和 两种算法的工作量 加减乘除运算次数之和 均为 n
高斯变换
a 0
(1) 11
取
L = I +l e 1
其中 l i 1
T 1 1
l1 = (0, l21,⋯, ln1)
a
(1) 11
T
=
−1 1
a
(1) i1
i = 2, 3,⋯ , n
−1 1 T 1 1
记
A
( 2)
=L A
(1)
L = I −l e
(1 a11) 0 I n−1 c1 T 1
(i ) ii
的各阶顺序主子式都不等于零 顺序主子式都不等于 A 的各阶顺序主子式都不等于零，即
−1 −1 1 2
1 4 7 0 −3 − 6 = U L2 L1 A = 0 0 1
∴ A = L L U = LU
其中
1 0 0 2 1 0 −1 − 1 L = L1 L2 = 3 2 1
Gauss消去法的矩阵表示 消去法的矩阵表示 设给定 n 阶矩阵 记
1 0 0 −2 1 0 L1 = −3 0 1
设给定矩阵
则有
7 1 4 0 −3 −6 L1 A = 0 −6 −11
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问λ取何值时 , 有解 ? 有无穷多个解 ?
作初等行变换， 解 对增广矩阵 B = ( A, b ) 作初等行变换，
B =1 1 λ 1 1 1
λ
1
λ
1 1 λ ~1 λ2 λ
λ λ2 λ 1 λ
1 1 1 1
1 1 λ ~ 0 λ −1 1− λ 0 1 − λ 1 − λ2
1 2 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0
x1 = −2c1 + c2 x = c 2 1 x3 = 0 x4 = c2
例8 求解非齐次线性方程组 x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 1, 3 x1 − x2 + 5 x3 − 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x − 2 x = 3. 1 2 3 4
1. dr +1 ≠ 0 , 无解； 2. dr +1 = 0 , 有解 ： x (1) r = n: 有唯一解：1 = d1 , x2 = d2 , L, xn = dn .
(2)
r < n : 有无穷多组解：
1. 非齐次线性方程组
定理 4 n 元非齐次线性方程组 Am × n x = b :
1) 无解的充要条件 R( A) < R( A, b ) ; 2) 有唯一解的充要条件 R( A) = R( A, b ) = n ;
λ2 2 λ −λ 1 − λ2
1 1 λ λ2 2 ~ 0 λ −1 1− λ λ −λ 0 0 2 − λ − λ2 1 + λ − λ 2 − λ3 1 1 = 0 λ −1 0 0
λ
1− λ (1 − λ )(2 + λ )
λ (1 − λ ) 2 (1 − λ )(1 + λ )
λ2
(1) 当λ = 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0 0 0 0 0
R ( A ) = R ( B ) < 3, 方程组有无穷多解 .
x1 = 1 − x2 − x3 其通解为 x2 = x2 x = x 3 3
(λ + 1) λ +1 1 x1 = − , x2 = , x3 = . λ+2 λ+2 λ+2
1 −1 −1 0 1 −1 0 0 3
x1 = 0 x2 = 0 . x = 0 3
例6 求解齐次线性方程组
x1 − x2 + 5 x3 − x4 = 0 x + x − 2x + 3x = 0 1 2 3 4 . 3 x1 − x2 + 8 x3 + x4 = 0 x1 + 3 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 0
例3 解方程组
解
__
1 A = 1 2 1 →0 0
无解. 无解
1 2 3 1 1 0
x1 + x2 + x3 = 1 x1 + 2x2 − 5x3 = 2 2x + 3x − 4x = 5 1 2 3 1 1 1 1 1 − 5 2 → 0 1 − 6 0 1 − 6 − 4 5 1 0 7 1 1 − 6 1 → 0 1 − 6 0 0 0 0 2
1 0 0 0
c1,r +1 L c1n d1 1 c2,r +1 L c2n d2 O O 1 cr ,r +1 L cr ,n dr 0 L 0 0 L 0 dr +1 0 L 0 0 L 0 0 0 L 0 0 L 0 0
1 − 2 3 −1 1 0 5 − 4 0 − 1 0 0 0 0 2
显然， 显然， R( A) = 2, R( B ) = 3, 故方程组无解． 故方程组无解．
例9 求解非齐次线性方程组
x1 − x2 − x3 = 2 2 x1 − 2 x2 − 3 x3 = 1 3 x + 2 x − 5 x = 0 1 2 3
2. 齐次方程方程组
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R( A) < n. 定理 6 n 元齐次线性方程组 Am× n x = 0 有非零解
二、线性方程组的解法
例5 求解齐次线性方程组
x1 − x2 − x3 = 0 2 x1 − x2 − 3 x3 = 0 . 3 x + 2 x − 5 x = 0 1 2 3
1 0 0 0
0 1 −7 2 0 0 0 0
3 2
1 2 0 0
3 x1 = − 2 c1 − c2 x = 7 c − 2c 2 . 2 2 1 x3 = c1 x = c 4 2
例7 求解齐次线性方程组
x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 0 3 x1 + 6 x2 − x3 − 3 x4 = 0 . 5 x + 10 x + x − 5 x = 0 1 2 3 4
1 __ 0 A → 0 0 1 __ A →0 0 1 __ A →0 0
1 行最简形矩阵中 行最简形矩阵中 非零行的行数< 2 非零行的行数<未知量个数 0 0 1 − 3 −1 无穷多解 0 0 0 0 0 − 2 −1 1 行最简形矩阵中 行最简形矩阵中 1 −1 −1 非零行的行数= 非零行的行数=未知量个数 0 1 5 唯一解 0 7 0 该数不为零， 该数不为零，无解 1 − 6 1 0 0 2 7 4
x1 = 1 + x2 − 7x5 x 任意（自由未知量） x3 = 2 − 4x5 ，2 , x5任意（自由未知量） x = −1 + 3x 4 5
为方程组的全部解.
♦ 增广矩阵经 行 初等变换化为行最简形矩阵，该阶 初等变换化为行最简形矩阵，该阶 梯形与方程组解的关系： 梯形与方程组解的关系：
( x 2 , x 3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ B ~ 0 1 −1 0 0 2 + λ
这时又分两种情形： 这时又分两种情形：
λ2 −λ 2 (1 + λ )
1) λ ≠ −2时, R( A) = R( B ) = 3, 方程组有唯一解 :
§3 线 性 方 程 组 的 解
一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法
一、线性方程组有解的判定条件
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 1. 线性方程组 LLLLLLLLLLLL am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm x1 b1 x2 b2 X = , b= , 系数矩阵为 A = (aij ) , M M x b 线性方程组可记为： 线性方程组可记为：AX = b n n
1 0 1 − 5 − 2 0 1 − 2 7 5 0 0 0 0 0
x1 = −2 − c1 + 5c2 x = 5 + c − 7c 2 1 2 x3 = c1 x4 = c2
例11 设有线性方程组
λx1 + x2 + x3 = 1 x1 + λx2 + x3 = λ x + x + λ x = λ2 1 2 3
− 1 0 0 3 − 1 0 − 1 0
1 −1 −1 1 0 0 → 0 0 0 0 0 0
− 1 1 − 1 2 0 0 → 1 − 3 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4
0 0 1 0
1 2 0 1 − 3 − 1 0 0 0 0 7 4
1 0 0 5 0 1 0 0 0 0 1 3
x1 = 5 x2 = 0 x = 3 3
例10 求解非齐次方程组的通解
x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 3 2 x1 + x2 − 3 x4 = 1 − 2 x − 2 x + 10 x = 4 1 3 4
1 1 3 0 1 2
+ 3x5 = −1 x1 − x2 − x3 例4 解方程组 2x1 − 2x2 − x3 + 2x4 + 4x5 = −2 3x1 − 3x2 − x3 + 4x4 + 5x5 = −3 x1 − x2 + x3 + x4 + 8x5 = 2 1 − 1 − 1 0 3 − 1 1 − 1 − 1 0 3 解 2 − 2 − 1 2 4 − 2 0 0 1 2 − 2 __ → A= 3 − 3 − 1 4 5 − 3 0 0 2 4 − 4 1 −1 1 1 8 2 0 0 2 1 5 3 − 1 1 − 1 − 1 0 3 1 −1 −1 0 0 0 1 2 − 2 0 → 0 0 1 2 − 2 → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 − 3 0 0 0 − 3 9 3 0 0 一般地， 设线性方程 AX = b 的增广矩阵为 ： 一般地， a11 a12 L a1n b1 a21 a22 L a2n b2 行初等变换 ( AMb) = M M M M am1 am2 L amn bm