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高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练（含答案）若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，下面是函数的奇偶性与周期性专题训练，请考生及时练习。
一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 ().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sinx=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，故选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 .设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案 C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案 0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5) 10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x之和为________.解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x1所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。
2025高考数学一轮复习-2.3-函数的奇偶性与周期性-专项训练【A级 基础巩固】一、单选题1．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝2x B．y＝xC．y＝|x| D．y＝－x2＋12．设函数f(x)＝x－2x＋2，则下列函数中为奇函数的是( )A．f(x－2)－1 B．f(x－2)＋1C．f(x＋2)－1 D．f(x＋2)＋13．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(－1)＝－2，则f(2 025)＝( )A．2 B．0C．－2 D．－44．已知函数f(x)＝sin x＋x3＋1x＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝( )A．3 B．5C．6 D．75．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )A．f(0)<f(－6.5)<f(－1)B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)D．f(－1)<f(0)<f(－6.5)6．若函数f(x)＝sin x·ln(mx＋1＋4x2)的图象关于y轴对称，则m＝( ) A．2 B．4C．±2 D．±47．已知函数f(x)＝e|x|＋x2，(e为自然对数的底数)，且f(3a－2)>f(a－1)，则实数a的取值范围是( )A.(12，＋∞)B.(－∞，12)C.(－∞，12)∪(34，＋∞)D.(0，12)∪(34，＋∞)8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于( )A．0 B．－1C．－2 D．2二、多选题9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x10．已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A．这个函数有两个单调递增区间B．这个函数有三个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值－711.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，则下列说法正确的是( )A．f(x)的最小正周期为4B．f(x)的图象关于直线x＝1对称C．f(x)的图象关于点(2,0)对称D．f(x)在(－5,5)内至少有5个零点12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(2－x)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则下列结论错误的是( )A．f(2 021)＝0B．2是f(x)的一个周期C．当x∈(1,3)时，f(x)＝(1－x)3D．f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)三、填空题13．已知函数f(x)＝2x－2－x lg a是奇函数，则a的值等于_________.14．已知奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为_________.15．设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝_7__.－2≤x≤0时，f(x)＝_________.16．已知函数f(x)，对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝__________.17．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f(12)＝0，则f(x)>0的解集为__________________.【B级 能力提升】1．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不能确定2．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则( )B．f(x)是周期函数C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋5)为偶函数3．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x －1)≥0的x的取值范围是( )A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]4．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝( )A．－3 B．－2C．0 D．15．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝__________.6．函数f(x)＝ax＋bx2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)求实数a，b，并确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝x(0<x≤1)，求当x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．参考答案【A级 基础巩固】1．[解析] A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B 选项，由y＝x的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项；由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．故选D.2．[解析] 化简函数f(x)＝1－4x＋2，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断．由题意得，f(x)＝1－4x＋2.对A，f(x－2)－1＝－4x是奇函数；对B，f(x－2)＋1＝2－4x，关于(0,2)对称，不是奇函数；对C，f(x＋2)－1＝－4x＋4，定义域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，不是奇函数；对D，f(x＋2)＋1＝2－4x＋4，定义域为(－∞，－4)∪(－4，＋∞)，不关于原点对称，不是奇函数．故选A.3．[解析] 依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(－1)＝－2，则f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－f(－1)＝2.4．[解析] 函数f(x)＝sin x＋x3＋1x＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－1x＋3＋sinx＋x3＋1x＋3＝－sin x－x3－1x＋sin x＋x3＋1x＋6＝6，若f(a)＝－1，则f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故选D.5．[解析] 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1)．6．[解析] 因为f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，又y＝sin x为奇函数，所以y＝ln(mx＋1＋4x2)为奇函数，即ln[－mx＋1＋4·(－x)2]＝－ln(mx＋1＋4x2)，解得m＝±2.故选C.7．[解析] 显然f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(3a－2)>f(a－1)⇔|3a－2|>|a－1|⇔(3a－2)2>(a－1)2⇔a>34或a<12，故选C.8．[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)．又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－a2＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.二、多选题9．[解析] 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确．10．[解析] 根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选BC.11.[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，但f(x)的最小正周期不一定为4，如f(x)＝sin(3π2x)，满足f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝sin[3π2(x＋2)]＝sin (3π2x＋3π)＝－sin(3π2x)＝－f(x)，而f(x)＝sin(3π2x)的最小正周期为43，故A错误；因为f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；由f(x＋4)＝f(x)，及f(x)为奇函数可知f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(x)的图象关于点(2,0)对称，故C正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(2)＝－f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，故f(－2)＝－f(2)＝0，f(－4)＝－f(4)＝0，所以在(－5,5)内f(x)至少有－4，－2,0,2,4这5个零点，故D正确．故选BCD.12．[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期是4，故B错误；f(2 021)＝f(1)＝1，故A错误；∵当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，当x∈(1,3)时，2－x∈(－1,1)，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，故C错误；易知当x∈(0,2)时，f(x)>0，∵f(x)的最小正周期是4，∴f(x)>0的解集为(4k,4k＋2)(k∈Z)，故D正确．三、填空题13．[解析] 由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程f(x)＋f(－x)＝0，由此方程求出a的值．函数f(x)＝2x－2－x lg a是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，∴2x －2－x lg a＋2－x－2x lg a＝0，即2x＋2－x－(2x＋2－x)lg a＝0，∴lg a＝1，∴a＝10.14．[解析] 由于f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.15．[解析] 因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7.当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9.16．[解析] ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(26)＝f(2)．∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.17．[解析] 由已知可构造y＝f(x)的示意图象，所以f(x)>0的解集为(－12，0)∪(12，＋∞).【B级 能力提升】1．[解析] 因为x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．2．[解析] 因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，即f(－x)＝f(2＋x)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A错误，B正确；设g(x)＝f(x＋3)，则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，C错误；设h(x)＝f(x＋5)，则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，D正确，故选BD.3．[解析] 因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(－2,0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，所以由xf(x－1)≥0可得Error!或Error!或x＝0.解得－1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．故选D.4．[解析] 因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②.由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.5．[解析] 解法一(定义法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.解法二(取特殊值检验法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－(a2－2)＝2a－12，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.解法三(转化法)：由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.6．[解析] (1)若函数f(x)＝ax＋bx2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，则f(－x)＝－ax＋bx2＋1＝－f(x)＝－ax＋bx2＋1解得b＝0，又∵f(12)＝25.∴12a(12)2＋1＝25，解得a＝1，故f(x)＝xx2＋1.(2)证明：任取区间(－1,1)上的两个实数m，n，且m<n，则f(m)－f(n)＝mm2＋1－nn2＋1＝(m－n)(1－mn)(m2＋1)(n2＋1).∵m2＋1>0，n2＋1>0，m－n<0,1－mn>0，∴f(m)－f(n)<0，即f(m)<f(n)．∴f(x)在(－1,1)上是增函数．7．[解析] (1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即在f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.当x∈[－1,0)时，即－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x.故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.。
函数的奇偶性与周期性一、考纲要求函数的奇偶性与周期性 B 二、复习目标1．理解函数奇偶性的定义；2、会判断函数的奇偶性；3、能证明函数的奇偶性；4、理解函数 周期性的定义；5、会求周期函数的周期。
三、重点难点函数奇偶性的判断及证明；函数周期性判断及周期求法。
四、要点梳理1．奇、偶函数的定义：对于函数 f (x)定义域内的任意一个 x ,都有_______________，称 f (x)为偶函数，对于函数f (x)定义域内的任意一个 x ,都有________________，称 f (x)为奇函数． 2．奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于_________对称；（2）奇函数的图像关于____对称，偶函数的图像关于_________对称； （3）若奇函数的定义域包含0，则_____________；（4）在偶函数中， f ( x )f (x)．（5）在公共定义域内，①两个奇函数的和是___函数，两个奇函数的积是____函数；②两个偶函数 的和、积是___函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是____函数.（填“奇”，“偶”） 3．对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都 有 ，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个 叫做f(x)的最小正周期． 就 5．周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x ： (1)若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ；1 1(2)若f(x ＋a)＝ ，则T ＝2a ； (3)若f(x ＋a)＝－ ，则T ＝2a.(a>0)fx fx五、基础自测1．对于定义在R 上的函数 f (x)，下列命题正确的序号是___________． （1）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)是偶函数； （2）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)不是偶函数； （3）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)不是奇函数； （4）若 f (x)是偶函数，则 f (2) f (2)． 2．给出4个函数：① f (x) 1 x2 1x ；④ f (x) x1． 3x 4；② f (x) 2x 5；③ f (x) lg1 xx 1 既不是奇函数也不是偶函数．其中是奇函数； 是偶函数； 3．已知函数 f (x)4x2bx 3a b 是偶函数，其定义域是 [a 6,2a]，则点 a,b 的坐标为__________．3，且f (1) 2，则f(2014)＝________. 2 4．已知定义在R 上的函数 f (x)满足 f (x) f x x a5．若函数 f (x)在[1,1]上是奇函数，则 f (x) x bx 12．六、典例精讲: 例1判断下列函数的奇偶性，并说明理由： （1） f (x) (1 2x ) 21x ；（2） f (x) lg(xx21)；（3） f (x)(1x) 1 x； 2xx 2| x1| 1；（5） f (x)x 11 x2；(6) f (x)22x (x ≥0),（4） f (x)x x 2x (x 0).例2：设 f (x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有 f (x 2) f x ．当x∈[0,2]时，f (x) 2xx 。
函数的奇偶性与周期性（第一轮复习）导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义为奇函数；如x)______________，则称f(如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有为偶函数．f(x)____________f(x)定义域内任意一个x，都有，则称果对于函数．奇偶函数的性质2 ；x)＝____f(－x)＋f((x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)?(1)f____. ＝－x)f(x)－f(?(x)＝f(－x)＝f(|x|)?f(x)为偶函数f________ 的图象关于(x)f(x)是奇函数?f(2)f(x)是偶函数?f(x)的图象关于____轴对称；对称．奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有(3) 的单调性．________ ．函数的周期性3＝)x＋TT，使得对于函数定义域内的任意x，都有f((1)定义：如果存在一个非零常数存在一个最小的正数，)的周期．若T 函数，其中T称作f(xf________，则称(x)为________ 的________________．则称它为f(x)TT －)．)＝f(x)＝f(x)常常写作f(x＋①(2)性质：f(x＋T22＝kT)的周期，即f(x＋k≠0)也是y＝f(x)＝②如果T是函数yf(x)的周期，则kT(k∈Z且)．f(x1＝a)f(x＋a)＝－f(x)或＋③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x?f?x1 为一个周期的周期函数．x)是以______a是常数且a≠0)，则f(或f(x＋a)＝－(?f?x 自我检测22) (＋7m12)为偶函数，则xm＋(m－2)x＋(m的值是－1)f1．已知函数(x)＝(m－4 ．3D．A．1B．2C在区x)，那么[3,7]上是增函数且最大值为5f(2．(2011·茂名月考)如果奇函数f(x)在区间)7，－3]上是(间[－5 A．增函数且最小值是－5 B．增函数且最大值是－5 C．减函数且最大值是－5D．减函数且最小值是－1)－的图象(．函数3y＝x x ．关于原点对称A 对称．关于直线y＝－xB 轴对称C．关于y 对称y＝xD．关于直线＋(xx上的偶函数，若对于≥0，都有f(．(2009·江西改编)已知函数fx)是(－∞，＋∞)4)(－2012)＋f(2011)的值为(＋log(∈x2)＝f()，且当x[0,2)时，fx)＝(x1)，则f22．．2B．－1C1D．－A?x＋a???x＋1________.a＝xf)(2011·5．开封模拟设函数()为奇函数，则＝x1 / 10探究点一函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性．例1x－111 (＋)；(2)f(x)＝(1)f(x)＝(x＋x1) ；x21－21＋x2，x<0x＋x，??2 )＝＋1)；(4)f((3)f(x)x＝log(x＋x?22>0.，x－x ＋x??1判断下列函数的奇偶性．变式迁移32－xxf()＝x；(1)22；1－＝xx－1(2)f(x)＋2x－4(3)f(x)＝. |x＋3|－3探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用例2函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等1式f[x(x －)]<0的解集． 23＋x，对任意的m∈[－2,2]＝x，f(mx－2)＋承德模拟变式迁移2(2011·)已知函数f(x)f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．探究点三函数性质的综合应用例3(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x，x，x，x，则x＋14321x＋x＋x ＝________.423变式迁移3定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)()A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例(12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x，x∈D，有f(x·x)＝2121f(x)＋f(x)．21(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．2 / 10【答题模板】解(1)∵对于任意x，x∈D，有f(x·x)＝f(x)＋f(x)，212121∴令x＝x＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分] 21(2)令x＝x＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，211∴f(－1)＝f(1)＝0.[4分]2令x＝－1，x＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，21∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[6分](3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分]∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分]∵f(x)为偶函数，∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分]又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D.∴0<|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分]711解上式，得3<x≤5或－≤x<－或－<x<3.333711∴x的取值范围为{x|－≤x<－或－<x<3或3<x≤5}．[12分]333【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f(g(x))≤f(a)的形式，但思维障碍在于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合(2)中f(x)是偶函数的结论，则有f(g(x))＝f(|g(x)|)，又若能注意到f(x)的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g(x)|>0，从而得出0<|g(x)|≤a，解之得x的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f(|(3x＋1)·(2x－6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤|(3x＋1)(2x－6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时f?－x?＝(x)＝0?xf－x)＝±(x)?f(－)±f需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(?f?x 0))≠．±1(f(x轴对称，反之也真．利用这一性3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．1或f(af，若有(x＋)＝－fx)或(x＋)＝a)(．关于函数周期性常用的结论：对于函数4fx??fx1a )＋(fxa＝－(的一个周期为)xf，则0)a为常数且a≠(2?f?x3 / 10)分满分：75() 分分，共25一、选择题(每小题52的值＋ba]上的偶函数，那么aax＋bx是定义在[a－1,21．(2011·吉林模拟)已知f(x)＝为()11 ．－B.A3311 D．－C.22为偶函数，x)0}的函数f()已知定义域为{x|x≠2．(2010·银川一中高三年级第四次月考??xf)<0的解集为(f(－3)＝0，则f且(x)在区间(－∞，0)上是增函数，若x(0,3)3,0)∪．(－A(0,3)3)∪．(－∞，－B) (3，＋∞－∞，－3)∪C．()(3，＋∞－3,0)∪D．(1，当＝－x＋2))是定义在R上的偶函数，并满足f(x3．(2011·鞍山月考)已知f(?f?x)等于(x－2，则f(6.5)1≤x≤2时，f(x)＝4.5 ．－A．4.5B0.5 ．－C．0.5D x为常bb(＋2x＋0上的奇函数．当x≥时，f(x)＝24．(2010·山东)设f(x)为定义在R)(f(－1)等于数)，则3．－．－1DA．3B．1C与1)(－，＋∞)上为增函数，则fy＝f(x＋1)是偶函数；②在[15．设函数f(x)满足：①)大小关系是f(2)((2) 1)<f．f(－A．f(－1)>f(2)B (2)D．无法确定－1)＝fC．f(12分每小题4分，共二、填空题(，>01，xx－???，x＝0a，是奇函数，则a＝(2010·辽宁部分重点中学5月联考)若函数f(x)＋b6．??<0x＋b，x＝________.7．(2011·咸阳月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且2m－3f(1)>1，f(2)＝，则m的取值范围是________．m＋18．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2010)的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·汕头模拟)已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表达式．4 / 102－2|x|－1(－3≤x≤．10(12分)设函数f(x)＝x3)(1)证明f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(4)求函数的值域．a2＋(x≠0，常数a∈R已知函数)f(x)＝x)．11．(14分)(2011·舟山调研x(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．答案自主梳理1．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)原点(3)(2)y相反2．(1)003．(1)f(x)周期最小正周期(2)③2a自我检测1．B[因为f(x)为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]2．A[奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]－＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．f(]x)3．A[由4．C[f(－2 012)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 011)＝f(0)＋f(1)＝log1＋log(1＋1)＝1.] 225．－1解读∵f(－1)＝0，∴f(1)＝2(a＋1)＝0，2?1x∴a＝－1.代入检验f(x)＝是奇函数，故a＝－1.x课堂活动区例1解题导引判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数．(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．1?x≥0且x≠－解(1)定义域要求1，1?x∴－1<x≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．11?()－＝－)xf(∵x x?212?5 / 10xx1122(x?)(?)＝x ＝－xx221?221?11(?)x＝．＝f(x)x212?∴f(x)是偶函数．.(3)函数定义域为R21)log(－x＋x＋∵f(－x)＝2121) ＝－log(x＋x＋＝log2221xx＋＋)，＝－f(x )是奇函数．∴f(x )．，0)∪(0，＋∞(4)函数的定义域为(－∞>0，则当x<0时，－x22；)＝－f(－x)x－x＝－(x)＋x)f(－x ＝－( ，则当x>0时，－x<0222．＝－f(x－x＝－(－x)＋x(f－x)＝(－x))－x＝x f(x)．，＋∞)都有f(－x)＝－∴对任意x∈(－∞，0)∪(0 f(x)为奇函数．故)xf(－f(－1)≠f(1)，从而函数＝－1)＝2，f(1)0，f(－1)≠f(1)，(变式迁移1解(1)由于f 既不是奇函数也不是偶函数．)(x＝－f(1)＝0，∴f －1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(1){(2)f(x)的定义域为－既是奇函数又是偶函数．2?0≥4－x??－定义域为[2,0)∪(0,2](3)由．得，f(x)?3≠|x＋3|?∴定义域关于原点对称，22x4－x－4 x)＝－－x)＝，f(又f(xx) (x－x)＝－f∴f( )为奇函数．∴f(x本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数解题导引2例”．”为“具体的代数不等式的单调性、奇偶性化“抽象的不等式在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．上为增函数，，＋∞)＝f(x)为奇函数，且在(0y解∵，0)上单调递增，x)在(－∞f∴y＝(0.1)＝0＝得f(－且由f(1)1 ，)]<0＝f(1)－若f[x(x21?>0－?x?x21? (x，－)<10<则即x 21?<1－?x?x217117－1＋1<或<xx解得<<0.2446 / 101?<0x－?x?21?若f1)，则＝f(－[x(x－)]<021?1<－x－?x?21.由∈?1，解得xx(x－)<－ 2 ∴原不等式的解集是17－＋17111 ．<x|<x<0}<或{x4422变式迁移2(－2，)3解读易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0，等价于f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，此时应用mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，?<0?－2h?2?．，)∈(－此时，只需2即可，解得x3?<02??h解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，3解题导引例画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．8－．因此，函数x))＝f(x)，所以f(4－xx解读因为定义在R上的奇函数，满足f(－4)＝－f(为8x)，所以函数是以((x－8)＝fx0，由f(－4)＝－f(x)知f对称且图象关于直线x＝2f(0)＝上也是增函2,0]在区间[－[0,2]上是增函数，所以f(x)周期的周期函数．又因为f(x)在区间，不xx，上有四个不同的根x，x，>0)x)＝m(m在区间[－8,8]f数，如图所示，那么方程(42138.4＝－＝－12＋x，所以＋x＋x＋xxx<妨设x<xx<x.由对称性知＋x＝－12，＋x＝4414123324231变式迁移3B[∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x＋1)＝f(1－x)．∴x＝1为函数f(x)的一条对称轴．又f(x ＋2)＝f[2－(x ＋2)] ＝f(－x)＝f(x)，∴2是函数f(x)的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．] 课后练习区7 / 101??＝a1＝－2aa －?? 3?? ，∴依题意得，1．B [??0＝b ?0＝b ?1∴a ＋b ＝.]32．Df?x?<0的解集为(－x)的图象大致为右图，故3,0)∪(3，＋[由已知条件，可得函数f(x] ∞)．13．D[由f(x＋2)＝－，??xf1得f(x＋4)＝－＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函?2?x＋f数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，∴f(1.5)＝－0.5.由上知：f(6.5)＝－0.5.]0＋2×0＋b＝b＋(0)＝21＝0，b＝－1. 有定义，所以4．D[因为奇函数f(x)在x＝0f x＋2x－1，f(1)＝f(x)＝23，∴从而f(－1)＝－f(1)＝－3.]5．A[由y＝f(x＋1)是偶函数，得到y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．]6．1解读∵f(x)是奇函数，且x∈R，∴f(0)＝0，即a＝0.又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.27．－1<m< 3解读∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．∵f(x)为奇函数，且f(1)>1，2m－3∴f(－1)＝－f(1)<－1，∴<－1.1＋m2解得：－1<m<.38．2解读由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)为R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，∴f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(x－1)＝－f(－x－1)，8 / 10用x＋1替换x，得f(x)＝－f(－x－2)．又f(x)是R上的偶函数，∴f(x)＝－f(x＋2)．∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4.∴f(2010)＝f(4×502＋2)＝f(2)＝2.2＋3，x－5) 时，设f(x)＝a(9．解由题意，当3≤x≤62＋3.∴5)a＝－1.＝2，∴2＝a(6－∵f(6)2＋3(3≤x≤6)．…………………………………………………………(x－5)(3分) ∴f(x)＝－2＋3＝－－5)1. ∴f(3)＝－(3又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．1∴f(x)＝－x(0≤x≤3)．…………………………………………………………………(6分)3当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]，11∴f(－x)＝－(－x)＝x.331又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x.31∴f(x)＝－x(－3≤x≤3)．………………………………………………………………(9分)3当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6，22＋3. ＋5)＋3＝－(x)＝－(－x－5)x(∴f－2－3.＋5))＝(x＝－f(x)，∴f(x又f(－x)2?，－3≤x5?≤－3，－6?x＋?1??…………………………………………………………，?12分－x－3<x<3 ＝∴f(x)3??26.≤35?＋3，≤x?－x－2－2|－x|(－x)－1 )10．解(1)f(－x＝2－2|x|－1＝f(x)＝x，即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．………………………………………………………(2分)22－2，x－1) x2－x－1＝(f(2)当x≥0时，(x)＝22－21)，xx－1＝(＋<0当x时，f(x)＝x＋22?，0x≥－－1?2，?x?? )＝即f(x2?<0.，x1?－2?x＋?根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．……………………………………(6分)(3)由(2)中函数图象可知，函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………(89 / 10分)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；≥x0时，函数f(x)＝(x－1)(4)当2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝＝f(x)(x＋1)2；当x<0时，函数故函数f(x)的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(12分)2对任意x∈(－∞，0)∪x)＝x(0，＋∞)，11．解(1)当a＝0时，f(22＝f(xx)，x)＝(－x) ＝f有(－∴f(x)为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)a2＋(x≠0，常数a)＝x∈R)，当a≠0时，f(x x若x＝±1时，则f(－1)＋f(1)＝2≠0；∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1)∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a＝0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x<x，21aa22＋－x－)＝x )f(x－f(x2121xx21x－x21＝[xx(x＋x)－a]，………………………………………………………………(101212xx21分)要使f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x)－f(x)<0恒成立．21∵x－x<0，xx>4，即a<xx(x ＋x)恒成立．………………………………………(12分) 22212111又∵x＋x>4，∴xx(x＋x)>16，211122∴a的取值范围为(－∞，16]．…………………………………………………………(14分)10 / 10。
