2014年数学七年级竞赛试卷含答案

页眉内容2014学年第二学期七年级数学竞赛（2015年5月18日下午 时间：120分钟 满分：120分）一．选择题（每小题5分，共30分）1．计算22()2()()()a b a b a b a b +-+-+-等于 ……………………………………（ ） A ．24a B ．24b C ．4ab D ．2ab2．如图l 1∥l 2，则下列式子中等于180°的是…………………………………………（ ） A ．γβα++ B ．γβα-+ C ．γβα++- D ．γβα+-3．已知,,x y z 满足235x y z z x ==-+，则52x yy z-+的值为………………………（ ） A ．1B ．12 C ．13- D ．134．现有甲、乙、丙、丁、戊五个同学，他们分别来自一中、二中、三中．已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中联欢会上，甲、乙、戊作为被邀请的 人演奏了小提琴；（3）乙过去曾在三中学习，后来转学了，现在同丁在同一个班学习 （4）丁、戊是同一所学校的三好学生．根据以上叙述可以断定甲所在的学校为（ ） A ．三中 B ．二中 C ．一中 D ．不确定5．如图①，线段MN 将一张长方形纸分成面积相等的两部分，沿MN 将这张长方形纸对折后，得到图②，将图②沿对称轴对折，得到图③，已知图③的面积占长方形面积的310，阴影部分面积为6平方厘米，则长方形的面积为………………………（ ） A ．40cm 2 B ．50cm 2 C ．60cm 2 D ．70cm 26．用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出不同克数（正整数的重物）的种数共有（ ） A ．15种 B ．23种 C ．28种 D ．33种第2题图NMN图①图②图③第5题图二．填空题（每小题5分，共50分。

）7．计算： 200020001998200020007315()3735+⨯=+ _________ ． 8．2222690x xy y x ++-+=已知，则yx = ．9．九位裁判给一位跳水运动员打分， 每人给的分数都是整数， 去掉一个最高分， 再去掉一个最低分， 其余分数的平均数为该运动员的得分. 若用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数，该运动员得9.4分，那么如果精确到两位小数，该运动员得分应是____________分．10．如图所示，点O 、A 、B 、C 、D 、E 分别对应数轴上相应的坐标，则以O 、A 、B 、C 、D 、E 中任意两点为端点的所有线段的长度的和为___________．72-2-5D C O 010E11．因式分解： 222(41)16a a +-= ． 12．按左面的规律，得右面的三角形数表：21+ 3221+ 222+ 5 6321+ 322+ 3222+ 9 10 12 _____ _____ ____ _____ ____ ____ ____ ____…… ……如果把上述三角形数表中的数从小到大排成一列数：3，5，6，9，10，12，…… 则第25个数是 ．13．若55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则24a a += _________ ．14．若关于x 的分式方程233x mm x x -=--无解，则m = _________ ． 15．已知,,a b c 是正整数，a b c <<，且有210143111111=++c b a ，那么满足条件的数组(,,a b c )有 组．16．某出租汽车停车场已停放6辆出租车，第一辆出租车开出后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租车进站，以后每隔6分钟就有一辆车回站，回站的出租车，在原有的出租车依次开出后又依次每隔4分钟开出一辆.问：第一辆车开出后，最少经过 分钟，车站不能正点发车． 三．解答题（10′+10′+10′+10′，共40分） 17．设有2015个数，12320142015,,,,,a a a a a ，其中i a （i =1，2，…，2015）取值只能是1-，0，1中的一个．已知12320142015100a a a a a +++++=，且2222212320142015(1)(1)(1)(1)(1)4115a a a a a ++++++++++=，求12320142015,,,,,a a a a a 中取值为1的．取值为0的以及取值为1-的各有多少个？18．有一种电脑软件叫做“画图”，它有个功能，可以复制已经出现在窗口的所有图形或部分图形，粘贴的图形又可以进行任意的平移．现窗口中已有一个1×1的正方形．定义：从窗口中原有的正方形或矩形开始，复制．粘贴原图形或部分图形一次，且通过平移后与原图形拼成无重叠．也无缝隙的矩形，叫做一次操作．例如，要画出2×5的矩形，可进行如下操作：（1）要画出2×n （n 是不小于2的整数）的矩形．①填表：②如果操作的最少次数是5，那么有几种可能的值？ （2）要画一个4×2012的矩形，至少要操作几次？为什么？ 复制2×第四次操作 1× 第一次操作 第二次操作 第三次操作2×19．某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A 、B 、C 、D 、E 、F ．小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人．一路上小张观测到下列情况：①除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；②当火车离开车站B 时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D 时，还有7名旅客在这一车厢里，在F 站下车的旅客包括小张在内共5人．（1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？ （2）在B 到C ，C 到D ，D 到E 的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？20．已知四位数abcd 满足3333110a b c d c d ++++=+，求这样的四位数。

2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案（八年级组）第一试一、选择题1．C 2．D 3．A 4．B 5．B （5.由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2014=4×503+2，所以2014x =2） 二、填空题6．20°7．－48．919．5（小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块）10．23（对角四边形的面积之和相等）第二试一、（1）证明：∵2233x x y y =+=+，，∴22x y x y -=-∴ 1 ()x y x y +=≠……………………………………………………6分（2）解：∵2233x x y y =+=+，，∴323233x x x y y y =+=+，， 43243233x x x y y y =+=+，，54354333x x x y y y =+=+，，∴5543433223223339339x y x x y y x x x x y y y y +=+++=++++++3+ 22712712x x y y =+++223()2()1921192119()4261x y x y x y x y =+++=+++=++=.………15分 二、解：方程两边分解因式得 （2x +y ）（x +y ）=2×19×53．………………………………5分不妨先设x ≥y ≥1，则有2x +y ≥x +2y >x +y >1． 由此，只有三种情况： 253,2106,210238,219,2 2.x y x y x y x y x y x y+=+=+=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩或或…………………………10分当253,238,x y x y +=⎧⎨+=⎩时，解得15,23,x y =⎧⎨=⎩当2106,21007,219,2 2.x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或时，不符合题意.故原方程的正整数解为15,23.x y =⎧⎨=⎩………………………………………………15分俯视图2 12三、解：设本次比赛钓到的鱼的总数是x 条．则钓到3条或3条以上的人共钓到鱼的条数为：()()14+26=16x x -⨯⨯-，钓到()16x -条的人数为165x -；…………………………………………………………5分 类似地，钓到10条或10条以下的人共钓到鱼的条数为：()()114+12213=81x x -⨯⨯+-，钓到这些鱼的人数为815x -；………………10分 根据题意，可知参加本次比赛的总人数得，()167465x -+++=()814215x -+++，解得x =541．因此，本次比赛共钓到541条鱼．……………………………………………………15分四、证明：∵AD 为△ABC 的角平分线，∴12∠=∠．（1）∵CE ∥AD ，∴1E ∠=∠，23∠=∠.∴3E ∠=∠． ∴AC =AE ．∵F 为EC 的中点，∴AF ⊥BC ． ∴90AFE FAD ∠=∠=︒．∴AF ⊥AD ．…………………………………………………………10分（2）延长BA 与MN 延长线于点E ，过B 作BF ∥AC 交NM 延长线于点F .∴3C ∠=∠，4F ∠=∠．∵M 为BC 的中点∴BM ＝CM ． 在△BFM 和△CNM 中，4,3,,F C BM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFM ≌△CNM （AAS ）． ∴BF ＝CN ． ∵MN ∥AD ，∴1E ∠=∠，245∠=∠=∠. ∴5E F ∠=∠=∠． ∴AE ＝AN ，BE ＝BF ．设CN =x ，则BF =x ， AE ＝AN ＝AC －CN ＝10－x ，BE ＝AB ＋AE ＝6＋10－x ． ∴6＋10－x ＝x ．解得 x ＝8．∴CN ＝5.5，AN =2． ………………………………………………25分2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案（九年级组）第一试一、选择题A MDCBNE F35 41 21．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 二、填空题7．1792（两边同时乘以a +b +c ）8．-8 9．25-=x （提示：[]x ≤x ＜[]x +1，原方程化为[]x ≤2[]x +27＜[]x +1，解得[]x =－3，代入原方程求出x .）10．（1，21）（1011,51-）（提示：除直角三角形ABC 斜边的中点外，直线AB 上与该中点关于斜边上高的垂足对称的点也满足题意）第二试一、解：设甲仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为x 台，y 台，()[]y x -12+台，则乙仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为（9-x ）台，（15-y ）台，()[]y -15x -9-20+台， 设总运输费为S 元，则S=10x +5y +6()[]y x -12++4（9-x ）+8（15-y ）+15()[]y -15x -9-20+，得S=15x +6y +48=9x +6(x +y )+48，…………………………………………………………10分 又0≤x ≤9，0≤y ≤15，4≤x +y ≤12，S≥9×0+6×4+48=72，………………………………………………………………………15分 此时，x =0，y =4，又()[]y x -12+=8，故甲仓库供应给A 校，B 校，C 校的电脑分别为0台，4台，8台.……………………20分二、(1)证明：由AB =AD ，知∠ABD =∠ADB =α,由等弧对等圆周角知，∠ACD =∠ACB =α.令∠DFC =β则∠BAD =∠BFC =2β，故∠ABD +∠ADB +∠BAD =α+α+2β=180°，于是α+β=90°，∠CDF =90°.又∠FBC =180°-α-2β=α=∠FCB ，所以FB =FC …………………………10分 (2)解：设边BC 的中点为M ，连接FM . 易知△FCD ≌△FBM ,BC =2CD 又AC 是∠BCD 的角平分线，由角平分线定理，得2==CDBCDE BE …………………25分三、解：点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 坐标为（0，﹣3）．∵y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点D 的坐标为（1，﹣4）；点E 的坐标为（1，0）．………………………………5分 （1）当点M 在对称轴右侧时．①若点N 在射线CD 上，如图，延长MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ． ∵∠CMN =∠BDE ，∠CNM =∠BED =90°， ∴△MCN ∽△DBE ，∴21==DE BE MN CN ， ∴MN =2CN ． 设CN =a ，则MN =2a ．∵∠CDE =∠DCF =45°，∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形， ∴NF =CN =a ，CF =a ， ∴MF =MN +NF =3a ，∴MG =FG =223a ， ∴CG =FG ﹣FC =22a ，∴M （223a ，﹣3+22a ）．代入抛物线解得a =927，∴M （37，﹣920）； ………………………………………………………………13分②若点N 在射线DC 上，如图，MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G ． ∵∠CMN =∠BDE ，∠CNM =∠BED =90°， ∴△MCN ∽△DBE ，∴21==DE BE MN CN ， ∴MN =2CN ．设CN =a ，则MN =2a ． ∵∠C DE =45°，∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形， ∴NF =CN =a ，CF =a ， ∴MF =MN ﹣NF =a ，∴MG =FG =22a ， ∴CG =FG +FC =223a ，∴M （22a ，﹣3+223a ）．代入抛物线y =（x ﹣3）（x +1），解得a =5， ∴M （5，12）；………………………………………………………………………………21分 （2）当点M 在对称轴左侧时． ∵∠CMN =∠BDE ＜45°， ∴∠MCN ＞45°，而抛物线左侧任意一点K ，都有∠KCN ＜45°，∴点M 不存在．…………………………24分综上可知，点M 坐标为（37，﹣920）或（5，12）．……………………………………25分2014年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（3月7日下午4：00—6：00）班级：: 姓名： 成绩：第2题图DACB第4题图DACB考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。

七年级下学期数学竞赛试卷（满分150，时间90分钟）一、单选题。

1．在方程中，二元一次方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空，据了解学生还急需3倍数量这种计算器，由于量大，每个进价比上次优惠1元，该店又用2580元购进所需计算器，该店第一次购进计算器的单价为( )A．20元B．42元C．44元D．46元3．不等式组的解集为( )A．2≤x＜3 B．2＜x＜3 C．x＜3 D．x≥24．关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．5．在2018﹣2019赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x场，则可列方程为（）1A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3 （30﹣x）＝74C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3 （26﹣x）＝746．不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．7．若则下列不等式不正确的是A ．B ．C ．D ．8．如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（）A ．B ．C ．D ．9．已知是二元一次方程组的解，那么的值是( )A．0 B．5 C．-1 D．110．下列方程组不是二元一次方程组的是( )A ．B ．C ．D ．11．某校开展丰富多彩的社团活动，每位同学可报名参加1～2个社团，现有25位同学报名参加了书法社或摄影社，已知参加摄影社的2人数比参加书法社的人数多5人，两个社团都参加的同学有12人．设参加书法社的同学有x人，则（）A．x+（x﹣5）＝25 B．x+（x+5）+12＝25C．x+（x+5）﹣12＝25 D．x+（x+5）﹣24＝2512．一元二次方程x2+2x＝0的根是（）A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2 13．不等式x﹣1＜2的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．14．已知方程组和有相同的解，则a－2b 的值为（）A．15 B．14 C．12 D．1015．下列不等式中一定成立的是（）A．3a＞2a B．a＞－2a C．a+2＜a+3 D ．＜二、填空题。

2013~2014年七年级下学期数学竞赛试题一. 选择题(每小题5分,共30分)1.若a<0 , ab<0 , 那么51---+-b a a b 等于( )A . 4B .-4C . -2a+2b+6 D. 19962.数轴上坐标是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2009厘米的线段AB,则线段AB 盖住的整点的个数是( )A.2008 或2009 B . 2008或 2010 C . 2009 或2010 D . 2010 或20113.已知{a x b y ==是方程组{5272=+=+y x y x 的解, 则a-b 的值为( ) A . 2 B . 1 C. 0 D. -14.若a<3 , 则不等式(a-3)x<a-3的解集是( )5.A. x>1 B .x<1 C . x>-1 D . x<-15.方程2x+y=7的正整数解有( )A. 一组 B .二组 C .三组 D . 四组6.不等式组{5335+<-<x x a x 的解集为x<4, 则a 满足的条件是( ) A. a<4 B .a=4 C .a ≤4 D .a ≥4二. 填空题(每小题4分,共24分)1.不等式组{4252>+<-a x b x 的解集是0<x<2, 则a+b 的值等于_______ 2.已知543z y x==, 且10254=+-z y x , 则z y x +-52的值等于________3.计算200920081431321211⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯ = _________ 4.一个角的补角的31等于它的余角, 则这个角等于_____度. 5.计算（1+715131++）×-91715131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++（1+91715131+++）×（715131++）= 6。

2014学年第二学期七年级四科联赛数学试卷附答案出卷人：高伟芳 审核：八年级数学备课组考生须知:1. 全卷共4页, 有三大题, 23小题。

满分120分, 考试时间90分钟。

2. 本卷答案必须做在答题纸的对应位置上,做在试题卷上无效。

温馨提示: 请仔细审题, 细心答题, 相信你一定会有出色的表现.一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应格子内。

1．下图最左边的图案通过平移得到的图案是()2．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，前进的方向仍与原来相同，那么这两次 转弯的角度可以是（ ） A ． 先右转60°，再左转120° B ． 先左转120°，再右转120° C ． 先左转60°，再左转120° D ． 先右转60°，再右转60°3．为了了解萧山区2014年数学学业考试各分数段成绩分布情况，从中抽取 1500名考生的学业考试数学成绩进行统计分析．在这个问题中，样本容量是指( ) A ．1500 B ．被抽取的1500名考生C ．被抽取的1500名考生的学业考试数学成绩D ．义乌市2013年学业考试数学成绩 4．方程的根是（ ）A ．﹣1 B ．2 C ． ﹣1或2D ． 1或25．“小马虎”在下面的计算中只做对一道题，他做对的题目是( )A.22)(ab ab =B. 623)(a a =C.235x y xy +=D.1243a a a =⋅6．已知m+n=2，mn=﹣2，则（1﹣m ）（1﹣n ）的值为（ ） A ． ﹣3 B ． ﹣1 C ．1 D ．5 7．若02(3)2(36)x x ----有意义，那么x 的取值范围是 （ ） A.3x > B.2x < C.32x x ≠≠或 D.32x x ≠≠且8．如图，有下列判定，其中正确的有 （ ） ①若∠1=∠3，则AD∥BC ②若AD∥BC，则∠1=∠2=∠3③若∠1=∠3，AD∥BC，则∠1=∠2④若∠C+∠3+∠4=180°，则AD∥BCA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9.如图，已知直线L 交直线a,b 于A,B 两点，且a ∥b,E 是a 上的点，F 是b 上的点，满足∠DAE=13∠BAE, ∠DBF=13∠ABF,则∠ADB 的度数是 （ ） A. 045 B. 050 C. 060 D.无法确定Aab LDBEF(第9题)10、用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有m 张正方形纸板和n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则m+n 的值可能是（ ）A.2003B.2004C.2005D.2006二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．已知23x y =⎧⎨=-⎩是方程mx+3y=1的一个解，则m 的值是 ．12. 某种细胞的平均半径是0.0036m ，用科学记数法可表示为 m ． 13．若分式=0，则x= ；若分式有意义，则x 应满足的条件是 ．14．若x ，y 均为正整数，且2x •8•4y=256，则x+y 的值为 ．15.有两个正方形A,B 现将B 放在A 的内部得到图甲，将A,B并列放置，后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A,B 的面积之和为___________BABA16．如图a 是长方形纸带，∠DEF=17°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则 图c 中的∠CFE 的度数是 ．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤。

2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分.） 1.已知x 、y 、z 满足2x =3y-x =5z+x ，则5x-yy+2z的值为（ ）（A ）1 （B ）13 （C ）-13 （D ）12【答】B ．解：设 2x =3y-x =5z+x =1k 则x=2k ，y-z=3k ，z+x=5k ，即x=2k ，y=6k ，z=3k 。

所以5x-y y+2z =5·2k-6k 6k+6k =13，故选B.2.已知等腰三角形的周长为12，则腰长a 的取值范围是（ ）（A ）a ＞3 （B ）a ＜6 （C ）3＜a ＜6 （D ）4＜a ＜7 【答】C.解：腰长为a ，则底长为12-2a ，由2a ＞12-2a 及12-2a ＞0可得3＜a ＜6 故选C. 3.设 21x x 、 是一元二次方程032=-+x x的两根，则 1942231+-x x 等于（ ）（A ）-4 （B ）8 （C ）6 （D ）0 【答】D.解：将21x x 、代入方程，将目标整式降次，利用两根之和求解.4．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）14【答】D.解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a ab a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=. 故选D.5. 如图，正方形A BCD 和EFGC 中，正方形EFGC 的边长为a ，用a 的代数式表示阴影部分△AEG 的面积为（ ）（A ）232a （B ）223a （C ）212a （D ）2a【答】C ．6.若△ABC 的三条边a,b,c 满足关系式a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）等边三角形（C ）直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 【答】D.解法一：原方程左边变形为 （a 4-b 4）+（b 2c 2-a 2c 2）=0， （a 2+b 2）（a 2-b 2）+（b 2-a 2+）c 2=0，∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a=b 或c 2=a 2+b 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解法二：应用配方法a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0， （a 4-a 2c 2）-（-b 2c 2+b 4）=0 （a 2-22c ）2 -（22c -b 2）2=0 ∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a 2-b 2=0,或a 2+b 2-c 2=0. ∴a=b 或c 2=a 2+b 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选D.7．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第n (n ≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时(参考数据: 51.22.5≈，61.2 3.0≈，71.2 3.6≈)，相应的n 的值为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 【答】D.8．如图：点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD = ∠DAB = 60°，AC = 3 ，AB = 6，则AD 的长度是（ ）（A ）2 （B ）2.5 （C ）3 （D ）3.5 【答】A.解：如图，作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，在Rt △ABE 中， ∠BAE= 60° ∴∠ABE= 30° ∴AE=21AB = 3 由勾股定理得BE =33∴21BCA s △AC ·BE =329 ∵∠CAD = ∠DAB = 60°同理得△ADC 和△ABD 中AD 边上的高分别是323和33 ∴=CD A s △343AD ,=B DA s △323AD 又CD A s △+B DA s △=BC A s △ ∴343AD + 323AD =329 ∴AD = 2 故选A9.若m=20132+20132×20142+20142，则m ( )（A ）是完全平方数，还是奇数 （B ）是完全平方数，还是偶数 （C ）不是完全平方数，但是奇数 （D ）不是完全平方数，但是偶数 【答】A.解 ：原式=20132-2×2013×2014+20142+2×2013×2014+20132×20142=(2013-2014)2+2×2013×2014+(2013×2014)2=1+2×2013×2014+(2013×2014)2=(2013×2014+1)2所以(2013×2014+1)2是一个完全平方数，末尾数字是9，所以也是奇数. 故选A. 10、设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ） （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1 【答】A.解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故 2()0a b c ++=．于是 2221()2ab bc ca a b c ++=-++， 所以22212ab bc ca a b c ++=-++．故选A.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）11.已知整数1234a a a a ⋅⋅⋅，，，，满足下列条件：10a =，21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =-+，…，依次类推，则2012a 的值为 ．【答】1006-12.如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°， BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝ ．【答】解：.如图，可以通过旋转变换将△ABE 绕点B 逆时针旋转90°，得到△CBF.证明出四边形BFDE 是正方形,且它的面积是8，则边长是或者过点B 作BF ⊥BE ，交DC 延长线于F. 证明△ABE ≌△CBF ，其余思路同上。

2014 年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）一、选择题（共 6 小题，每小题 6 分，共36 分）以下每小题均给出了代号为A ，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则（A）2013 答】D．B)2014的值为【】C）2015 （D）0解：最大的负整数是－1，1；绝对值最小的有理数是0, •••=0；倒数等于它本身的自然数是1=1.=0.2. 已知实数满足则代数式的值是【A ）（B）3 （C）（D）7 答】A．解：两式相减得3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2 所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图 2 中的对应线段是【】A) B)C)D)【答】C . 解：将图1中的平 面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设 图1中完整的正方形 为完整面，△ AMN 和 △ ABM 所在的面为组 合面，则△ AMN 和与AM 重合，MN 与线段c 重合.△ ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 2,首先确定B 点，所以线段d4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7 个代数式12 / 75)3个 (C ) 4个】 (D) 4个以上答】C．解：由图象可得：抛物线与轴有两个交点，=118 /75即21 / 75. 从图象可得，抛物线对称轴在直线=1 的左边.因此7 个代数式中，其值为正的式子的个数为 4 个.5.如图，Rt A OAB的顶点O与坐标原点重合，/ AO=90°,AO=2BQ当A(x>0)的图象上移动点在反比例函数时， B 点坐标满足的函数解析式为【】x<0)B) x<0)C) x<0)D)x<0)答】B．轴的垂线那么28 / 756．如图，四边形ABHK 是边长为6 的正方形，点C、D 在边AB 上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP, E、F分别为MN、QR的中点，连接EF,设EF 的中点为G,则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6【答】B.解：设KH 中点为S ,连接PE 、ES SF 、PF 、PS ,可证明四边形 PESF 为平行四边形，••• G 为PS 的中点，即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所 以G 的运行轨迹为△ CSD 的中位线，••• CD=AB — AC — BD=6 — 1 — 1 = 4 , •••点 G 移动的路径长为=2.、填空题（共6小题，每小题6分，共36 分）A【答】原式=8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为个为红色玻璃球的概率为___________ ，那么，随机摸出一答】解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得=10,所以P （摸出一个红色玻璃球）9. 若【答】8.10. _______________________________________ 如图，在Rt A OAB 中，/ AOB=30° AB=2,将Rt△ OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt△ OCD，则AB扫过的面积为______________________________________ .【答】解：T Rt A OAB 中，/ AOB=30°, AB=2,，BO=DO=4，AO=CO=阴影部分面11. 如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4，点E是AD上一个动点，把△ BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A i恰落在/ BCD的平分线上时, CA i= __________答】．解：过A i 作A i M 丄BC,垂足为M，设CM=A i M=x,贝U BM=4 —X, 在Rt△ A i BM 中，E=A i M =•••在等腰Rt△ A i CM 中，C A i =12. 已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5,若m是关于x 的方程(x—a)(x—b)(x—c)(x —d) =2014 中大于a、b、c、d 的一个整数根，贝U m的值为_______ .【答】20.解：•••( m—a)( m—b)( m—c)( m—d) =2014,且a、b、c、d 是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，二(m—a)、( m—b)、( m—c)、( m —d)是四个不同的正整数. v2014=1 >2X19>53, /•( m—a) + (m—b) + (m—c) + (m—d) =1+2+19+53=75.又v a+b+c+d =5，二m =20.三、解答题(第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分)13. 某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，易知0< x w 69, 0< y w 49, 0< z w 34,••• x, y, z均为正整数，>0，即0V z< 14••• z只能取14,9和4. (8)分① 当z 为14 时，=2，=28.② 当z 为9 时，=26，=18.③ 当z 为 4 时，=50 ，=8.综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支• ............................................................ 14分14. 如图，在矩形ABCD中, AD=8,直线DE交直线AB于点E,交直线BC于F，AE=6.(1)若点P是边AD上的一个动点(不与点A、D重合)，设DP为x,四边形AEHP勺面积为y,试求y与x的函数解析式；(2) 若AE=2EB①求圆心在直线BC上，且与直线DE AB都相切的。

2014年城北中学七年级数学竞赛试卷一 满分100分，考试时间90分钟 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．）1．若实数a 、b 、c 在数轴上对应点的位置如图所示, 则|c |-|b -a |+|b +c |等于 ( ) A ． -a B .-a +2b C .-a -2c D .a -2b 2．从 -3, -2, -1, 4, 5中任取2个数相乘, 所得积中的最大值记为a ，最小值记为b ，则 a b 的值为（ ）． A ．34- B ．21- C ．31 D ．320 3.适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 4.王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a 元，稍后又买回3只羊，平均每只b 元，后 来他以每只2b a +的价格把羊全部卖掉了，结果发现赔了钱，赔钱的原因是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a = D ．与a 、b 的大小无关 5.已知一列有规律的数：2，3，5，9，17，33，…，其中第10个数是 ( ) A ．512 B ．513 C ．1024 D ．1025 6.如果有2014名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律 报数，那么第2014名学生所报的数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7.设n ﹗表示从1连续乘到n,如：1！=1， 2！=1×2， 3！=1×2×3，…， 100！=1×2×3…×100，那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是( • ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是 ( )A ．7B ．9C ．19D ．219．上午九点钟的时候,时针与分针成直角,•那么下一次时针与分针成直角的时间是…………… ( ) A ．9时30分 B ．10时5分 C ．10时5511分 D ．9时32811分 10．若k 是正整数，1768117<<k ，且768k 可表示为nm 11+（m 、n 均为正整数）的形式，则k 的最大值是 ( ). 县区 学校 坐位号 姓名 A D B C （第6题图）A ．526B ．576C ． 640D ．760二、填空题（有9小题，自主选择其中8道题完成，每小题5分，满分40分）11．定义b a ab b a ++=⊗,若273=⊗x ，则x 的值是__ ___.12．定义：(,)(,)f a b b a =，(,)(,)g m n m n =--. 例如(2,3)(3,2)f =，(1,4)(1,4)g --=，则((5,6))g f -= .13．若a ,b,c 都是质数，其中a 最小，且a +b+c=44，ab+3=c ，则a b+c=________.14．小明开车从江山去杭州旅游，在高速公路和非高速公路上的行驶速度分别是120千米/时和60千米/时.若小明驶完全程用了6小时，其中在高速公路上行驶的路程是在非高速公路上行驶的路程的6倍，则全程长____________千米.15．已知0≠abc ，若||4||3||2c c b b a a m ⨯⨯=，则__________122=++m m . 16．按一定规律排列的一串数：112312345123,,,,,,,,,,,, (133355555777)------中，第98个数是______________ 17．定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为k n2（其中k 是使k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝49，则第449次“F 运算”的结果是_____________．18．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接 收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文，b a +2，c b 23+，d c 52+，d 3.当接收方收到密文10，16，29，15时，解密得到明文a ，b ，c ，d ，则=+++d c b a .19．有依次排列的3个数：3，5，9，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，2，5，4，9，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，-1，2，3，5，-1，4，5，9，继续依次操作下去. 问：第100次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少 . 26 13 44 11 第一次 F ② 第二次 F ① 第三次 F ② …三、解答题（共2题，满分20分）20．（本题10分）两个同样的圆柱形水池A和B，深度都是1.2米，1号抽水机18分钟可1将A池注满，2号抽水机24分钟可将A池的满池水注入B池，现在，若A池中储有6池水，B池没有水，同进打开1号，2号抽水机，当A池水深0.6米时，同时关闭两个抽水机，求此时B池的水深.21．（本题10分）阅读下面一段材料：计算1＋5＋52＋53……＋599＋5100观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算。

初三数学竞赛试题 2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准A．B． C． D．2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准2．【答】 A.，易知：当，时，取得最大值.4．【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.6．【答】 A.过作于，易知△≌△，△∽△.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.1．【答】 0.由题意知，所以2．【答】144.由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.当时，由可得，可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.4．【答】36.设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.解由已知条件可得，.设，，则有，，……………………5分若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；……………………15分若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以. ……………………20分解取，，可得，所以1具有性质.取，，可得，所以5具有性质.…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质，记，则＝.即……………………10分如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.因此，1，5和2014都具有性质. ……………………20分若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质. ……………………25分2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准，易知：当，时，取得最大值.【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.A．B． C． D．【答】 A.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.。

中国教育学会中学数学教学专业委员会2014年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交．一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知关于x 的不等式组255332x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩，恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）．（A ）6-＜t ＜112-（B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不．一定．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）85．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设33a =，b 是a 的小数部分，c 是2a 的小数部分，则(4)b b c ++的值为 ．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．444444222222121231991001121231991001++++++++++-+-+-…的值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC ∠CBE．12．设△ABC的外心、垂心分别为O H、，若B C H O、、、共圆，对于所有的△ABC，求BAC∠所有可能的度数．13．如图，设点D 在△ABC 外接圆上，且为BC 的中点，点X 在BD 上，E 是AX 的中点，过△ABC 的内心I 作直线R T 平行于DE ，分别与BC ，AX 交于点R ，T ，设直线DR 与ET 交于点S ．证明：点S 在△ABC 的外接圆上．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得6-＜t ≤112-． 3．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC =都是有理数，而AC＝·AD AB 不一定是有理数． 4．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．C解：设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．2解：由于2123a a <<<<，故1=-b a ，22=-c a ．所以223(4)(1)(124)(1)(1)12b b c a a a a a a a ++=--+-+=-++=-=．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y ，z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯．8．2013解：由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数） 解：由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b 由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎤⎫=+=+-⎪⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100100100⎫⎫=+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25． 因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠>︒，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得3180A ∠=︒，于是60A ∠=︒．…………15分（iii ）若△ABC 为直角三角形．当90A ∠=︒时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不可能共圆，所以A ∠不可能等于90︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠=︒，此时点B 与H 重合，于是总有B C H O ，，，共圆，因此A ∠可以是满足090A ︒<∠<︒的所有角．综上可得，A ∠所有可能取到的度数为所有锐角及120︒．…………20分13．证明：如图，设DR 与△ABC 的外接圆交于点S '，AX 与S E '交于点T '，连接S C CD S A AE AD ''，，，，．由D 为BC 的中点知，A ，I ，D 三点共线，且∠CS D '=∠RCD ，△S CD '∽△CRD ，所以S D CDCD RD'=， ① 即2CD S D RD '=⋅． ②…………5分由E 为AX 的中点知，∠AS E '=∠T AE '，△AS E '∽△T AE '，所以S E AEAE T E'='， ③ 即2AE S E T E ''=⋅． ④由IR ∥DE ，知180IRD S'DE S'AE ∠=︒-∠=∠．又因为IDR S DA S EA ''∠=∠=∠，所以△IRD ∽△S AE '，则有ID S ERD AE'=． ⑤ …………10分由I 为△ABC 的内心，连接CI ，由CID CAI ACI DCB BCI ICD ∠=∠+∠=∠+∠=∠知ID CD =．由式①，⑤，得S D S ECD AE''=， 即S D CDS E AE'='． ⑥ 由式②，④，得22CD S D RDAE S E T E'⋅=''⋅． ⑦ 由式⑥，⑦得S D RDS E T E'=''， …………15分于是RT '∥DE ．又RT ∥DE ，故点T '与T 重合，即点S '在直线ET 上．从而，点S '与S 重合，即点S 在△ABC 的外接圆上．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12na a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．…………20分。