交大附中2016学年高一上期中数学卷答案版

上海交大附中高一上学期期中数学试卷一. 填空题1. 集合{|03}M x x =<≤，{|02}N x x =<≤，则“a M ∈”是“a N ∈” 条件2. 已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，{2,3}B =，则()()U U A C B C A B =3. 函数1()2f x x=-的定义域为 4. 已知集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，2{|1,}1x aB x x R x -=<∈+，且A B =∅，则实数a 的取值范围是5. 已知()y f x =，()y g x =是两个定义在R 上的二次函数，其x 、y 的取值如下表所示：则不等式(())0f g x ≥的解集为 6. 关于x 的不等式23208kx kx ++<的解集不为空集，则k 的取值范围为 7. 已知本张试卷的出卷人在公元2x 年时年龄为8x -岁，则出卷人的出生年份是 （假设出生当年的年龄为1岁）8. 若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是9. 设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 10. 设函数22220()0x x x f x xx ⎧++≤=⎨->⎩，若(())2f f a =，则a = 11. 若二次函数()y f x =对一切x R ∈恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立，且(5)27f =，则(11)f =12. 已知22()(5)22f x a x x =-++，若不等式()f x x >的解集为A ，已知(0,1)A ⊆，则a 的取值范围为二. 选择题13. 设P 、Q 为两个非空实数集，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，则P Q +中元素的个数是（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6 14. 不等式(1)(1||)0x x +->的解集是（ ）A. {|01}x x ≤<B. {|0x x <且1}x ≠-C. {|11}x x -<<D. {|1x x <且1}x ≠- 15. 已知三个不等式0ab >，0bc ad ->，0c da b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）， 用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命 题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 16. 设0a >，0b >，则以下不等式中不恒成立的是（ ） A. 11()()4a b a b++≥ B. 3322a b ab +≥ C. 22222a b a b ++≥+≥三. 解答题17. 已知ABC ∆为直角三角形，记其两条直角边长分别为,a b R +∈，记面积为S ，周长为C ，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S 表示）.18. 已知a R ∈，若关于x 的方程21||||04x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围.19. 阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题. 证明：2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++证：令A =，B =2222112211221122222211()()22a b a b a b a b a b a b AB AB A B A B A B A B =+=⋅+⋅≤+++ 222212122211()22a ab b A B ++=+=，故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++. （1）若1212,,,x x y y R +∈，利用上述结论，证明：21212()()x x y y ++≥；（2）若121212,,,,,x x y y z z R +∈，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：3121212()()()x x y y z z +++≥. （提示：若,,a b c R +∈，有3333a b c abc ++≥）20. 公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混 合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结 果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合 后结果不发生改变.（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性， 则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x 个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好， 或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的 情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行 若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.21. 函数21()2f x ax x c =-+（,a c R ∈），满足(1)0f =，且()0f x ≥在x R ∈时恒成立. （1）求a 、c 的值； （2）若231()424b h x x bx =-+-，解不等式()()0f x h x +<； （3）是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[,2]m m +上有最小值5-？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. 必要非充分2. {1,3}3. [1,2)(2,)-+∞ 4. 若2a ≤-5. {|1x x ≤}或{|3}x x ≥6. 3k >或0k <7. 1989年8. [1,1]-9. 15a ≥(,[2,)-∞+∞二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. B三. 解答题17. 当a b=时，min C =+18. 1[0,]4. 19. 略.20.（1）45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）略.21.（1）14a c ==；（2）11(,)2211(,)2212b b x b b b ⎧<⎪⎪⎪∈>⎨⎪⎪∅=⎪⎩；（3）3m =-或1m =.。

2016-2017学年陕西省西安市交大附中高一(上）期末数学试卷一、选择题(每小题3分,共36分)1．已知直线的斜率是2，在y轴上的截距是3-,则此直线方程是( )．A．230x yx y+-=++=D．230 x y-+=C．230--=B．230x y【答案】A【解答】解:∵直线的斜率为2，在y轴上的截距是3-，∴由直线方程的斜截式得直线方程为23=-，y x即230--=．x y故选：A．2．在空间,下列说法正确的是（）．A．两组对边相等的四边形是平行四边形B．四边相等的四边形是菱形C．平行于同一直线的两条直线平行D．三点确定一个平面【答案】C【解答】解：四边形可能是空间四边形，故A，B错误，由平行公理可知C正确，当三点在同一直线上时，可以确定无数个平面，故D错误．故选C．3．点(,)P x y在直线40+-=上，O是原点，则OP的最小值是（）．x yB．C D．2A【答案】B【解答】解：由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P,此时OP最小，则原点(0,0)到直线40x y +-=的距离d == 即OP 的最小值为 故选B ．4．两圆229xy +=和228690xy x y ++-+=的位置关系是（ )．A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 【答案】B【解答】解：把228690xy x y ++-+=化为22(4)(3)16x y -++=,又229xy +=,所以两圆心的坐标分别为:(4,3)-和(0,0)，两半径分别为4R =和3r =， 则两圆心之间的距离5d ,因为43543-<<+即R r d R r -<<+，所以两圆的位置关系是相交．故选B ．5．若l ，m ,n 是互不相同的空间直线,α,β是不重合的平面，下列命题正确的是( ）．A ．若αβ∥，l α⊂，n β⊂，则l n ∥B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥,则l m ∥D ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥ 【答案】D【解答】解：若αβ∥，l α⊂，n β⊂，则l 与n 平行、相交或异面，故A 不正确； 若αβ⊥，l α⊂，则l β∥或l 与β相交,故B 不正确；若l n ⊥，m n ⊥,则l 与m 相交、平行或异面，故C 不正确；若l α⊥，l β∥，则由平面与平面垂直的判定定理知αβ⊥，故D 正确．故选：D ．6．若直线20(0)ax my a a ++=≠过点(1,3)-，则此直线的斜率为（ ）．A ．3B ．3-C ．33D ．33-【答案】D【解答】解：∵直线20(0)ax my a a ++=≠过点(1,3)-，∴320a m a -+=，∴3a m=，∴这条直线的斜率是33a k m =-=-，故选D ．7．已知直线12:0l ax y a -+=,221:()0la x ay -+=互相垂直，则a 的值是（ ）．A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1- 【答案】C【解答】解：∵直线12:0l ax y a -+=，221:()0la x ay -+=互相垂直,∴(21)(1)0a a a -+-=， 解得0a =或1a =． 故选C ．8．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为24m ，互相平行的两个侧面的距离为2m ，则这个六棱柱的体积为（ ）．A ．33m B ．36m C ． 312m D ．315m【答案】B【解答】解:由题意，设正六棱柱的底面边长为m a ，高为m h ,∵正六棱柱的最大对角面的面积为24m ，互相平行的两个侧面的距离为2m，∴24ah =，32a =,解得，233a =，3h =， 故231236sin6036(m )23V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯︒⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故选:B ．9．若(2,1)P -为圆2212)5(x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( ）．A ．230x y +-=B ．10x y +-=C ．30x y --=D ．250x y --=【答案】C【解答】解:圆2212)5(x y -+=的圆心(1,0)C ，点(2,1)P -为 弦AB 的中点,PC 的斜率为01112+=--，∴直线AB 的斜率为1，点斜式写出直线AB 的方程11(2)y x +=⨯-， 即30x y --=, 故选C ．10．如图长方体中,23AB AD ==，12CC =,则二面角1C BD C --的大小为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】A【解答】解：取BD 的中点E ，连接1C E ，CE ,由已知中AB AD ==1CC易得CB CD ==11C B CD ==根据等腰三角形三线合一的性质，我们易得:1C E BD⊥，CE BD ⊥，则1C EC ∠即为二面角1C BD C --的平面角, 在1C EC △中，1C E =1CC =CE =故130C EC ∠=︒,故二面角1C BD C --的大小为30︒． 故选A ．11．已知P 为ABC △所在平面外一点,PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，PH ⊥平面ABC ,则H 为ABC △的（ )．HDCBAA ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心 【解答】证明:连结AH 并延长，交BC 与D 连结BH 并延长，交AC 与E ，因PA PB ⊥，PA PC ⊥，故PA ⊥面PBC ,故PA BC ⊥，因PH ⊥面ABC ，故PH BC ⊥，故BC ⊥面PAH ， 故AH BC ⊥即AD BC ⊥； 同理：BE AC ⊥， 故H 是ABC △的垂心．故选：B ．12．已知点(1,3)A ，(2,1)B --．若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交,则k 的取值范围是（ ）．A ．1,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞B ．(],2-∞-C ．1],2(,2⎡⎫+⎪⎢⎣-∞-⎭∞ D ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解答】解：∵直线:(2)1l y k x =-+过点(2,1)P ，连接P 与线段AB 上的点(1,3)A 时直线l 的斜率最小，为13221PAk-==--,连接P 与线段AB 上的点(2,1)B --时直线l 的斜率最大，为111222PBk--==--．∴k 的取值范围是12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故选：D ．二、填空题(每小题4分，共20分）13．在空间直角坐标系中,点(1,2,0)A -关于平面yOz 的对称点坐标为__________． 【答案】(1,2,0)【解答】解：根据关于坐标平面yOz 对称点的坐标特点，可得点(1,2,0)A -关于坐标平面yOz 对称点的坐标为：(1,2,0)． 故答案为：(1,2,0)．14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是__________3cm ．俯视图左视图主视图【答案】80003【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其底面面积22020400cm S =⨯=，高20cm h =，故体积318000cm 33V Sh ==，故答案为:80003．15．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰为，上底面为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是__________．【答案】【解答】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法画出原平面图形，所以1BC B C ''==，13OA O A ''==，2OC O C ''==,所以这个平面图形的面积为：1(13)2⨯+⨯．故答案为：16．已知过点(3,0)M -的直线l 被圆22(2)25xy ++=所截得的弦长为8,那么直线l的方程为__________．【答案】3x =-或512150x y -+=【解答】解：设直线方程为(3)y k x =+或3x =-，∵圆心坐标为(0,2)-，圆的半径为5，∴圆心到直线的距离3d ，3=，∴512k =，∴直线方程为5(3)12y x =+,即512150x y -+=；直线3x =-,圆心到直线的距离33d =-=，符合题意， 故答案为：3x =-或512150x y -+=．17．已知实数x ，y 满足223(3))(8x y -+-=,则x y +的最大值为__________．【答案】10【解答】解:∵223(3))(8x y -+-=，则可令3x θ=+，3y θ=+，∴6sin )64cos(45)x y θθθ+=++=+-︒，故cos(45)1θ-︒=，x y +的最大值为10， 故答案为10．三、解答题(18，19题各10分，20，21题各12分）18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中,5AB AC ==，16BB BC ==,D ，E 分别是1AA 和1B C的中点．(1)求证:DE ∥平面ABC ．(2）求三棱锥E BCD -的体积．E DCBAC 1B 1A 1【解答】解：（1）证明：取BC 中点G ,连接AG ，EG ，因为E 是1B C 的中点,所以1EG BB ∥，且112EG BB =．由直棱柱知，11AA BB ∥，11AA BB =，而D 是1AA 的中点,所以EG AD ∥，EG AD =，所以四边形EGAD 是平行四边形，所以ED AG ∥，又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC ．（2)解：因为1AD BB ∥，所以AD ∥平面BCE ，所以E BCDD BCE A BCE E ABCVV V V ----===，由(1）知，DE ∥平面ABC ， 所以11136412326E ABCD ABC VV AD BC AG --==⋅⋅=⨯⨯⨯=．G A 1B 1C 1AB CDE19．求满足下列条件的曲线方程：（1）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线6830x y -+=的直线．（2）经过点(1,1)C -和(1,3)D ，圆心在x 轴上的圆．【解答】解：（1)由280210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得3x =，2y =， ∴点P 的坐标是(3,2)，∵所求直线l 与860x y C ++=垂直， ∴可设直线l 的方程为860x y C ++=．把点P 的坐标代入得83620C ⨯+⨯+=，即36C =-． ∴所求直线l 的方程为86360x y +-=， 即43180x y +-=．（2）∵圆C 的圆心在x 轴上,设圆心为(,0)M a ， 由圆过点(1,1)A -和(1,3)B ， 由MA MB =可得22MAMB =，即2211(()1)9a a ++=-+，求得2a =，可得圆心为(2,0)M，半径为MA ，故圆的方程为2221)(x y -+=．20．在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD DC=,E是PC的中点,过E点做EF PB⊥交PB于点F．求证：（1）PA∥平面DEB．（2）PB⊥平面DEF．A B CDE FP【解答】证明：(1）连接AC，AC交BD于O．连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．∴在PAC△中，EO是中位线，∴PA EO∥，∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD,∴PD BC⊥．∵底面ABCD是正方形，∴DC BC⊥，可得：BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC DE⊥．又∵PD DC=，E是PC的中点，∴DE PC ⊥．∴DE ⊥平面PBC ．∵PB ⊂平面PBC ，∴DE PB ⊥．又∵EF PB ⊥，且DEEF E =， ∴PB ⊥平面EFD ．OPFE DC BA21．已知圆22:2440C x y x y ++-=-，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦长AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l ，若不存在说明理由．【答案】见解析【解答】解：圆C 化成标准方程为221(2))(9x y -++=,假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(,)a b ．∵CM l ⊥,即2111CM l b kk a +=⨯=--⋅， ∴1b a =--,∴直线l 的方程为y b x a -=-,即210x y a ---=，∴2222(1)CM a ==-,∴2222247MBCB CM a a ==-++-， ∵MB OM =, ∴222247a a a b -++=+，得1a =-或32，当32a =时,52b =-，此时直线l 的方程为40x y --=． 当1a =-时，0b =，此时直线l 的方程为10x y -+=．故这样的直线l 是存在的,方程为40x y --=或10x y -+=．三、附加题：（22题,23题各5分，24题10分)22．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都等于6,且各顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于__________．【解答】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：所以外接球的表面积为：24π84π=．故答案为：84π．23．已知04k <<直线:2280L kx y k --+=和直线22:2440M x k y k +-=-与两坐标轴围成一个四边形，则这个四边形面积最小值时k 值为（ ）．A ．2B ．12C ．14D ．18【解答】解：如图所示：直线:2280L kx y k --+= 即(2)280k x y --+=，过定点(2,4)B ,与y 轴的交点(0,4)C k -，直线22:2440M x k y k +-=-，即 2()2440x k y +-=-,过定点(2,4)，与x 轴的交点2(22,0)A k+， 由题意，四边形的面积等于三角形ABD 的面积和梯形OCBD 的面积之和， ∴所求四边形的面积为22114(222)(44)24822k k k k ⨯⨯+-+⨯-+⨯=-+， ∴当18k =时，所求四边形的面积最小, 故选：18．24．已知以点2,C t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（t ∈R 且0t ≠）为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求证：AOB △的面积为定值．（2）设直线240x y +-=与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =,求圆C 的方程． （3)在（2)的条件下，设P ，Q 分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值及此时点P 的坐标．【答案】见解析【解答】(1）证明:由题意可得：圆的方程为：222224()x t y t t t ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，化为:22024x tx y y t -+-=．与坐标轴的交点分别为：(2,0)A t ,40,B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴14242OAB S t t =⋅=△，为定值．（2）解：∵OM ON =，∴原点O 在线段MN 的垂直平分线上，设线段MN 的中点为H ,则C ，H ，O 三点共线,OC 的斜率222t k t t ==， ∴22(2)1t ⨯-=-，解得2t =±，可得圆心(2,1)C ，或(2,1)--． ∴圆C 的方程为：222(1))(5x y -+-=,或222(1))(5x y +++=． （3）解：由（2）可知：圆心(2,1)C ,半径r 点(0,2)B 关于直线20x y ++=的对称点为(4,2)B '--，则PB PQ PB PQ B Q ''+=+≥，又点B '到圆上点Q 的最短距离为B C r '=- 则PB PQ +的最小值为． 直线B C '的方程为:12y x =,此时点P 为直线B C '与直线l 的交点， 故所求的点42,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．。

交大附中2016～2017学年第二学期高一期中考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题3分）1） A．n a =B．n a C．n a =D．n a 2．sin 585︒的值为（ ）A ．BC． D． 3．已知,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >4．已知数列{}n a 是等差数列，满足2812a a +=，则5a =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．75．已知函数π()sin()(R)2f x x x =-∈，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数C ．函数()f x 的图象关于直线0x =对称D ．函数()f x 是奇函数6．已知实数,x y 满足约束条件22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥）A ．254B ．52C ．54D ．2527．已知*,a b R ∈，且121a b+=，则2a b +的最小值是（ ） A ．5B．5+C ．7D ．98．在ABC ❒中，若2221tan 2(2cos 1)21tan 2BA a bB --=+，则ABC ❒是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角D ．等腰或直角三角形9．在锐角ABC ❒中，,,a b c 为角,,A B C 所对的边，且()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-。

若a =22b c +的取值范围为（ ） A ．(]3,6B ．()3,5C ．(]5,6D ．[]5,610．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，有1(1)262n n n nS a n =-++-，且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．1523(,)84-B ．723(,)44-C ．7(,6)4-D ．23(2,)4- 二、填空题：把答案填在题中的横线上（本大题共5小题，每小题4分）11．不等式2601x x x ---≥的解集为 。

上海交大附中2016学年第一学期高二年级数学期中试卷 2016.11.11一、填空题1.系数矩阵为1221⎛⎫⎪⎝⎭，且解为11x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个线性方程组是___________. 2.已知两条直线：12:,:0,l y x l ax y a R =-=∈,当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动时，a 的取值范围是___________.3.已知直线l经过点()且方向向量为()2,1-,则原点O 到直线l 的距离为___________. 4.方程212410139x x =-的解为___________.5.若矩阵11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足:{}11122122,,,1,1a a a a ∈-,且111221220a a a a =,则这样的互不相等的矩阵共有___________个.6.在平面直角坐标系xOy 中,设()11,,0,12OM ON ⎛⎫== ⎪⎝⎭,动点(),P x y 同时满足0101OP OM OP ON ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩,则z x y =+的最大值是___________.7.设122016,,,A A A 是平面中给定的2016个不同的点,则使1220160MA MA MA +++=成立的点M 的个数为___________个.8.已知函数()arcsin +5f x x x =,如果()()2110f a f a -+-<,则实数a 的取值范围是___________. 9.将一张坐标纸折叠，使得点()1,2与点()0,1重合,且点()2016,2017与点(),m n 重合,则m n -的值为___________.10.已知平面上的线段l 及点P ,在l 上取一点Q ,线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(),d P l ，则点()1,1P 到线段():3035l x y x --=≤≤的距离(),d P l =___________.11.已知O 是ABC ∆的外心，2,3,2A B A C x y ==+=若()0AO xAB yAC xy =+≠，则c o s B AC ∠=___________.12.已知向量序列123,,,,n a a a a 满足如下条件：112,21a a d =⋅=-且()12,3,4n n a a d n --==，若10k a a ⋅=，则k =___________.13.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120︒，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_________.14.已知向量,,αβγ满足()()1,,0ααββαγβγ=-=-⋅-=,若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则对任意β，m n -的最小值是_________. 二、选择题（2045=⨯分）15，已知()111,b a P 与()222,b a P 是直线2+=kx y （k 是常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+112211y b x a y b x a 的解得情况是（ ） A.无论21,,p p k 如何，总是无解 B 无论21,,p p k 如何，总有唯一解 C.存在21,,p p k 如何，使之恰有两解 D 存在21,,p p k 如何，使之有无穷多解16.定义平面向量之间的一种运算""*如下：对于任意的()(),,,,q p n m ==令np mq -=*，以下四个命题：A.若a 与b 共线，则0=*b aB.*=*C.对于任意的,R ∈λ有()()*=*λλD.()()22ba b a =⋅+*（b a ⋅指的是a 与b 数量积）17.设321,,a a a 是单位向量，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=36,331a 是()6,3321=++a a a 的（ ）A 充分不必要B 。

2023-2024学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣2}D ．{﹣2，﹣1}2．命题“∃x 0∈（0，+∞），x 02+1≤2x 0”的否定为（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x B ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1≤2x C ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1≤2xD ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1＞2x3．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤1B ．m ≤0C ．0＜m ≤1D ．0≤m ≤14．已知函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，则f （f （﹣1））的值为（ ）A ．3B ．0C ．﹣1D ．﹣25．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且是奇函数的是（ ） A ．y =√xB ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y =x −1x7．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c8．设f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （0）+f （4）＝（ ） A ．12B ．﹣12C ．13D ．﹣139．已知当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，8]C ．[8，+∞）D ．（6，+∞）10．（多选）对于全集U 的子集A 定义函数f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)为A 的特征函数，设A ，B 为全集U 的子集，则下列结论中正确的是（ ） A ．若A ⊆B ，则f A （x ）≤f B （x ） B ．f ∁U A （x ）＝1﹣f A （x ）C ．f A ∩B （x ）＝f A （x ）•f B （x ）D ．f A ∪B （x ）＝f A （x ）+f B （x ）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上） 11．函数f(x)=2√x−1的定义域是 ． 12．如图，函数f （x ）的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （x ）≤2的解集为 ．13．定义在R 上的函数f （x ），给出下列三个论断： ①f （x ）在R 上单调递增；②x ＞1；③f （x ）＞f （1）．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题： ． 14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”．计算方法如表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 ． 15．设函数f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0．给出下列四个结论：①函数f （x ）的值域是R ；②∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0；③∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0）；④若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的取值范围是（﹣3，+∞）． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设关于x 的不等式|x ﹣a |＜2的解集为A ，不等式x 2﹣x ﹣6＜0的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 17．（12分）已知函数f(x)=2x−3x+1．（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在区间[1，4]上的值域．18．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若当x∈[﹣3，﹣1]时，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．19．（12分）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：P=3m4x+5(x∈R，0≤x≤8)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．20．（12分）已知f（x）是定义域为R的函数，若对任意x1，x2∈R，x1﹣x2∈S，均有f（x1）﹣f（x2）∈S，则称f（x）是S关联．（1）判断和证明函数f（x）＝2x+1是否是[0，+∞）关联？是否是[0，1]关联？（2）若f（x）是{3}关联，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，解不等式：2≤f（x）≤3．2023-2024学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣2}D ．{﹣2，﹣1}解：集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝{﹣2，﹣1}． 故选：D ．2．命题“∃x 0∈（0，+∞），x 02+1≤2x 0”的否定为（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x B ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1≤2x C ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1≤2x D ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1＞2x解：否定：否定量词，否定结论，所以把任意改成存在，x 02+1≤2x 0改为x 2+1＞2x ， 即∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x 故选：A ．3．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤1B ．m ≤0C ．0＜m ≤1D ．0≤m ≤1解：关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零， 则有{Δ=4−4m ≥0m ＞0，解得0＜m ≤1．故选：C ． 4．已知函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，则f （f （﹣1））的值为（ ）A ．3B ．0C ．﹣1D ．﹣2解：因为函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，所以f （﹣1）＝1+2＝3，则f （f （﹣1））＝f （3）＝﹣3+1＝﹣2． 故选：D ．5．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a ＜1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由1a＜1，可得a＞1或a＜0，故由a＞1，能够推出1a ＜1，故a＞1是1a＜1的充分条件，由1a ＜1，不能够推出a＞1，故a＞1是1a＜1的不必要条件，综上所述，a＞1是1a＜1的充分不必要条件，故选：A．6．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且是奇函数的是（）A．y=√x B．y＝x2C．y＝|x|D．y=x−1x 解：对于A，函数y=√x的定义域为[0，+∞），关于原点不对称，故函数y=√x为非奇非偶函数，故A不符题意；对于B，函数y＝f（x）＝x2的定义域为R，因为f（﹣x）＝x2＝f（x），所以函数y＝x2为偶函数，故B不符题意；对于C，函数y＝f（x）＝|x|的定义域为R，因为f（﹣x）＝|x|＝f（x），所以函数y＝|x|为偶函数，故C不符题意；对于D，函数y=f(x)=x−1x的定义域为{x|x≠0}，因为f(−x)=−x+1x=−f(x)，所以函数f（x）为奇函数，又因为函数y=x，y=−1x在区间（0，+∞）上都单调递增，所以函数y=x−1x在区间（0，+∞）上单调递增，故D符合题意．故选：D．7．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．b﹣a＜c+a B．c2＜ab C．cb ＞caD．|b|c＜|a|c解：（法1）根据数轴可得c＜b＜a＜0且|c|＞|b|＞|a|，对于A：因为c＜b，a＜0，所以c+a＜c，b﹣a＞b，则c+a＜c＜b﹣a，即c+a＜b﹣a，故A错误；对于B：因为c＜b＜a＜0，|c|＞|b|＞|a|，所以c2＞b2＞a2，且b2＞ab，所以c2＞b2＞ab，则c2＞ab，故B 错误；对于C ：因为b ＜a ＜0，所以1b＞1a，则cb＜ca，故C 错误；对于D ：因为|b |＞|a |，且c ＜0，所以|b |c ＜|a |c ，故D 正确， （法2）不妨令c ＝﹣5，b ＝﹣4，a ＝﹣1，则c +a ＝﹣6＜b ﹣a ＝﹣3，故A 错误；c 2＝25＞ab ＝4，故B 错误；cb =54＜c a=5，故C 错误；故选：D ．8．设f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （0）+f （4）＝（ ） A ．12B ．﹣12C ．13D ．﹣13解：根据题意，当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （﹣4）＝3×（﹣4）﹣1＝﹣13， 又由f （x ）为R 上的奇函数，则f （0）＝0，f （4）＝13， 则f （0）+f （4）＝13． 故选：C ．9．已知当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，8]C ．[8，+∞）D ．（6，+∞）解：根据题意当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则m ＜x 2+16x =x +16x恒成立，只需m ＜（x +16x ）min即可． 易知当x ＞0时，由基本不等式可得需x +16x ≥2√x ⋅16x=8，当且仅当x ＝4时取等号； 所以（x +16x ）min＝8，即m ＜8，所以m 的取值范围是（﹣∞，8）． 故选：A ．10．（多选）对于全集U 的子集A 定义函数f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)为A 的特征函数，设A ，B 为全集U 的子集，则下列结论中正确的是（ ） A ．若A ⊆B ，则f A （x ）≤f B （x ） B ．f ∁U A （x ）＝1﹣f A （x ）C ．f A ∩B （x ）＝f A （x ）•f B （x ）D ．f A ∪B （x ）＝f A （x ）+f B （x ）解：对于A ，∵A ⊆B ，可得x ∈A 则x ∈B ，因为f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)，f B (x)={1，x ∈B 0，x ∈∁U B ，当x ∈A 时，f A （x ）＝f B （x ）＝1，当x ∉A 但x ∈B 时，f A （x ）＝0，f B （x ）＝1，当x∉B，f A（x）＝f B（x）＝0∴f A（x）≤f B（x），故A正确；对于B，f∁U A (x)={1，x∈∁U A0，x∈A，所以f∁U A(x)=1−f A(x)，故B正确；对于C，当x∈A∩B时，f A∩B（x）＝f A（x）＝f B（x）＝1，当x∈A，x∉B时，f A∩B（x）＝f B（x）＝0，f A（x）＝1，当x∉A，x∈B时f A∩B（x）＝f A（x）＝0，f B（x）＝1，当x∉A∪B时，f A∩B（x）＝f A（x）＝f B（x）＝0，以上情况均满足f A∩B（x）＝f A（x）•f B（x），故C正确；对于D，当x∈A∩B时f A∪B（x）＝1，f A（x）+f B（x）＝1+1＝2≠f A∪B（x），故D错误．故选：ABC．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．函数f(x)=2√x−1的定义域是{x|x＞1}解：要使f（x）=2√x−1有意义，则x﹣1＞0，∴x＞1；∴f（x）的定义域为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．12．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（x）≤2的解集为[1，4]．解：由图象可知，f（x）≤2的解集为[1，4]．故答案为：[1，4]．13．定义在R上的函数f（x），给出下列三个论断：①f（x）在R上单调递增；②x＞1；③f（x）＞f（1）．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：①②推出③．解：由题意，若f（x）为定义在R上的单调递增函数，根据单调性，可知，当x＞1时，很明显有f（x）＞f（1）成立．故已知①②可以推出③．故答案为：①②推出③．14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”．计算方法如表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 20m 3 ． 解：设用水量为x 立方米，水价为y 元，则y ={3x ，0≤x ≤1236+6(x −12)，12＜x ≤1872+9(x −18)，x ＞18，整理得y ={3x ，0≤x ≤126x −36，12＜x ≤189x −90，x ＞18当0≤x ≤12时，0≤y ≤36，x ＞18；当0≤x ≤12时，0≤y ≤36；12＜x ≤18 时，36＜y ≤72； 故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令9x ﹣90＝90，则x ＝20（立方米）， 故答案为：20m 3． 15．设函数f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0．给出下列四个结论：①函数f （x ）的值域是R ；②∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0；③∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0）；④若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的取值范围是（﹣3，+∞）． 其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：因为f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0，作出函数图像，如图所示：由图像可知f （x ）∈R ，①正确；∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），f （x ）不具有统一单调性，②错误；作出y =1x ，（x ＜0）的图像，如虚线所示，因为y =1x与f （x ）＝x 2+4x +3，x ≤3有交点，所以∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0），故③正确；由图像易知当x ＞0且f （x ）＝﹣1，解得x ＝1，则若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2＝﹣4，x 3＞1，则x 1+x 2+x 3＞﹣3，④正确． 故答案为：①③④．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设关于x 的不等式|x ﹣a |＜2的解集为A ，不等式x 2﹣x ﹣6＜0的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为A ＝{x ||x ﹣a |＜2}， 所以﹣2＜x ﹣a ＜2，即a ﹣2＜x ＜a +2， 所以A ＝{x |a ﹣2＜x ＜a +2}， 因为x 2﹣x ﹣6＜0，所以（x +2）（x ﹣3）＜0，即﹣2＜x ＜3， 所以B ＝{x |﹣2＜x ＜3}．（2）因为A ⊆B ，且a ﹣2＜a +2恒成立，所以A ≠∅， 所以{a −2≥−2a +2≤3，解得0≤a ≤1，故a 取值范围为[0，1]．17．（12分）已知函数f(x)=2x−3x+1．（1）用函数单调性的定义证明：f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数； （2）求函数f （x ）在区间[1，4]上的值域． 解：（1）任取x 1，x 2∈（﹣1，+∞），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−3x 1+1−2x 2−3x 2+1=(2x 1−3)(x 2+1)−(2x 2−3)(x 1+1)(x 1+1)(x 2+1)=5(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)，因为x 1，x 2∈（﹣1，+∞），x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，x 1+1＞0，x 2+1＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数． （2）由（1）知f （x ）在区间[1，4]上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=−12，f （x ）max ＝f （4）＝1， 所以函数f （x ）在区间[1，4]上的值域为[−12，1]．18．（12分）已知二次函数f （x ）的最小值为1，且f （0）＝f （2）＝3． （1）求f （x ）的解析式；（2）若当x ∈[﹣3，﹣1]时，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +2m +1的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 解：（1）设f （x ）＝a （x ﹣0）（x ﹣2）+3，则f （x ）＝ax 2﹣2ax +3，二次函数f （x ）的最小值为1， ∴12a−4a 24a=3−a =1，∴a ＝2，∴f （x ）＝2x 2﹣4x +3．（2）x ∈[﹣3，﹣1]时，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +2m +1的图象上方， 可得2x 2﹣4x +3＞2x +2m +1恒成立， 即m ＜x 2﹣3x +1在x ∈[﹣3，﹣1]时恒成立． 所以m ＜（x 2﹣3x +1）min ＝f （﹣1）＝5 即m ＜5．19．（12分）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：P =3m4x+5(x ∈R ，0≤x ≤8)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．解：（1）设隔热层厚度x ，依题意，每年的能源消耗费用为：P =3m4x+5，而当x ＝0时，P ＝9， 则3m 5=9，解得m ＝15，显然建造费用为8x ，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为： S =40P +8x =40×454x+5+8x =18004x+5+8x （0≤x ≤8）． （2）由（1）知S =18004x+5+8x =18004x+5+2(4x +5)−10＞2√10004x+2⋅2(4x+5)−10=2×60−10=110，当且仅当18004x+5=2(4x+5)，即x＝6.25时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用S取得最小值110万元．20．（12分）已知f（x）是定义域为R的函数，若对任意x1，x2∈R，x1﹣x2∈S，均有f（x1）﹣f（x2）∈S，则称f（x）是S关联．（1）判断和证明函数f（x）＝2x+1是否是[0，+∞）关联？是否是[0，1]关联？（2）若f（x）是{3}关联，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，解不等式：2≤f（x）≤3．解：（1）函数f（x）＝2x+1是[0，+∞）关联，证明如下：证明：任取x1，x2∈R，若x1﹣x2∈[0，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，+∞），所以函数f（x）＝2x+1是[0，+∞）关联；函数f（x）＝2x+1不是[0，1]关联，证明如下：证明：若x1﹣x2∈[0，1]，则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，2]，所以函数f（x）＝2x+1不是[0，1]关联．（2）因f（x）是{3}关联，则x1﹣x2＝3，有f（x1）﹣f（x2）＝3，即f（x+3）﹣f（x）＝3，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1∈[﹣1，3），而2≤f（x）≤3，即2≤x2﹣2x≤3，解得1+√3≤x≤3，于是得1+√3≤x＜3，当x+3∈[0，3）时，x∈[﹣3，0），f（x）＝f（x+3）﹣3＝（x+2）2﹣4∈[﹣4，0），不等式无解；当x﹣3∈[0，3）时，x∈[3，6），f（x）＝f（x﹣3）+3＝（x﹣4）2+2∈[2，6），而2≤f（x）≤3，即2≤（x﹣4）2+2≤3，解得3≤x≤5，则有3≤x≤5，当x﹣6∈[0，3）时，x﹣3∈[3，6），x∈[6，9），f（x）＝f（x﹣3）+3＝f（x﹣6）+6＝（x﹣7）2+5∈[5，9），不等式无解，把函数f（x）从x∈[0，3）起每3个单位向右按f（x+3）﹣f（x）＝3变换，图象上升，从x∈[0，3）起每3个单位向左按f（x+3）﹣f（x）＝3变换，图象下降，综上得1+√3≤x≤5，所以不等式2≤f（x）≤3的解集为[1+√3，5]．第11页（共11页）。

2015-2016学年上海市交大附中高三（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．已知，则cos（π﹣2α）=．2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k=．4．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=．5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=．9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n=．10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c ﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．14．若数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n•a n+1•a n+2（n∈N*），{b n}的前n项和用S n表示，若{a n}满足3a5=8a12＞0，则当n等于时，S n取得最大值．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t）B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t）D．（﹣f（t）+1，﹣t）18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的值．20．设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；（2）求线段EF长的取值范围．22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；（1）求y=f﹣1（x）；（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．23．已知数列{a n}中的相邻两项a2k，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且﹣1a2k≤a2k（k=1，2，3，…）﹣1（1）求a1，a3，a5，a7；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n；（3）记，，求T n的最值．2015-2016学年上海市交大附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．已知，则cos（π﹣2α）=0．【考点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】把所求式子先利用诱导公式cos（π﹣α）=﹣cosα化简，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，把sinα的值代入即可求出值．【解答】解：∵，∴cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=﹣[1﹣2×]=0．故答案为：0【点评】此题考查了诱导公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．【解答】解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k=1．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】根据数量积的定义，垂直的两个向量数量为0，因此列式：（+）（k﹣）=0，结合与为两个单位向量，整理得（k﹣1）（1﹣•）=0，再根据单位向量与不共线，得到1﹣•≠0，从而得到k=1．【解答】解：∵向量+与向量k﹣垂直，∴它们的数量积为零，即：（+）（k﹣）=0∴k2+（k﹣1）•﹣2=0…（*）∵与为两个单位向量，∴2=2=1所以（*）式化为：k+（k﹣1）•﹣1=0即：（k﹣1）（1﹣•）=0∵单位向量与不共线，∴•＜1⇒1﹣•≠0因此：k=1故答案为：1【点评】本题给出两个特殊的向量，在已知它们垂直的基础之上，求参数k的值，着重考查了单位向量、共线向量和向量的数量积等概念，属于基础题．4．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据：{a n}是等比数列把a n+2+a n+1=6a n整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式．考查了学生对等比数列基础知识点的掌握．5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．【考点】双曲线的应用．【专题】计算题．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．【解答】解：a2=9，b2=16，故c=5，∴A（3，0），F（5，0），不妨设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得：B（，﹣）．∴S△AFB=|AF|•|y B|=•2•=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意关键在与求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】立体几何．【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．【考点】众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=8．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为列式计算n的值．【解答】解：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型概率计算公式得：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p=．所以，即，解得n=8．故答案为8．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合数公式，解答此题时既可以按有序取，也可以按无序取，问题的实质是一样的．此题是基础题．9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n=1．【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】由关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，我们易得m的值，然后根据函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，结合函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的性质，可求出n 的值，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=log2（﹣|x|+4）的值域是[0，2]，∴（﹣|x|+4）∈[1，4]∴﹣|x|∈[﹣3，0]∴|x|∈[0，3]…①若若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解则m=﹣2又由函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，结合①可得n=3即：m+n=1故答案：1【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，对数函数的定义域及对数函数的值域，其中利用关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，变形得到关于x的方程2|1﹣x|+1=﹣m有唯一的实数解，即﹣m为函数y=2|1﹣x|+1的最值，是解答本题的关键．10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是④．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】运动思想；综合法；简易逻辑．【分析】①根据幂函数的定义知，y=1是常数函数，不是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点个数即为函数y=2x与y=log2x的图象的交点个数，在同一坐标系中画出它们的图象即可；③解不等式即可求得结论；④易知“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件．【解答】解；①y=1是常数函数，不是幂函数．故错；②根据指数函数和对数函数的图象和性质得：函数f（x）=2x﹣log2x没有零点，故错；③（x﹣2）≥0⇔，或x=0，解得x≥2或x=1，故（x﹣2）≥0的解集为[2，+∞）∪{0}，错；④“x＜1”⇒“x＜2”，但是“x＜2”推不出“x＜1”，因此“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件，正确；故答案为④．【点评】此题是个基础题．考查利用导数求函数图象在某点的切线方程，不等式的解法，函数零点问题等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再由余弦定理可得A=，利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．【解答】解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，∴cosA===，∴A=．再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立，求出函数函数的最小值即可求出m的取值．【解答】解：依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立．令g（x）=，g′（x）=，∵，∴g′（x）＞0∴当时，函数取得最小值，所以，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得或，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．【考点】集合的相等．【专题】计算题；集合．【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．14．若数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n•a n+1•a n+2（n∈N*），{b n}的前n项和用S n表示，若{a n}满足3a5=8a12＞0，则当n等于16时，S n取得最大值．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=﹣＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=﹣d5＞0，a17=a5+12d=＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出S n中S16最大．【解答】解：∵3a5=8a12＞0，∴3a5=8（a5+7d），即a5=﹣＞0，∴d＜0，又a16=a5+11d=﹣＞0，a17=a5+12d=＜0，∴a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，∵b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，∴a15=a5+10d=﹣＞0，a18=a5+13d=＜0，∴a15＜﹣a18，∴b15＞﹣b16，b15+b16＞0，∴S16＞S14，则n=16时，S n取得最大值为S16．故答案为：16【点评】本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意数列综合知识的合理运用，恰当地进行等价转化．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】子集与真子集．【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．【解答】解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；故选B．【点评】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t）B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t）D．（﹣f（t）+1，﹣t）【考点】反函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（﹣t）=﹣f（t）得f﹣1（﹣f（t））=﹣t，再由函数图象的平移规律得出答案．【解答】解；∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f（﹣t）=﹣f（t），∴f﹣1（﹣f（t））=﹣t，即（﹣f（t），﹣t）在y=f﹣1（x）的图象上，∵y=f﹣1（x+1）图象是由y=f﹣1（x）的图象向左平移1个单位得到的，∴（﹣f（t）﹣1，﹣t）在y=f﹣1（x+1）图象上．故选：C．【点评】本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键．18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】简易逻辑．【分析】利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可．【解答】解：对任意x，ksinxcosx＜x，即对任意x，ksin2x＜2x，当k＜1时，ksin2x＜2x恒成立，但是对任意x，ksinxcosx＜x”，可得k=1也成立，所以“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力．三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的值．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）先化简集合A，再由A∪B=B知A是B的子集，由此求得a的值．（2）由A∩B=B，知B是A的子集，对集合B进行分类讨论：①若B为空集，②若B为单元集，③若B=A={﹣4，0}，由此求得a的值即可．【解答】解：（1）A={﹣4，0}若A∪B=B，则B⊇A={﹣4，0}，解得：a=1（2）若A∩B=B，则①若B为空集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0则a＜﹣1；②若B为单元集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8=0解得：a=﹣1，将a=﹣1代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0得：x2=0得：x=0即B=0符合要求；③若B=A={﹣4，0}，则a=1综上所述，a≤﹣1或a=1．【点评】本小题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识，考查分类讨论思想、方程思想．属于基础题．20．设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）=sin xcos﹣cos xsin﹣cos x=sin x﹣cos x=（sinx﹣cos x）=sin（x﹣），∵ω=，∴f（x）的最小正周期为T==8；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x）），由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2﹣x）=sin[（2﹣x）﹣]=sin[﹣x﹣]=cos（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为g max=cos=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；（2）求线段EF长的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）过F作FG⊥BE于G，把sinB用含有x的代数式表示，得到FG=，进一步得到EG，然后利用等积法列式可得（x≤5）；（2）利用函数的单调性求得线段EF长的取值范围．【解答】解：（1）设BF=x，EF=y，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，过F作FG⊥BE于G，则=，∴FG=，BG=，则EG=，故有．化简，得：（≤x≤5）．∴（x≤5）；（2）设f（x）=（≤x≤5）．∵f（x）在[]上为减函数，在（]上为增函数，且f（）=，f（5）=13，f（）=4，∴线段WF长的取值范围为．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；（1）求y=f﹣1（x）；（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．【考点】反函数．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）（x＞a）；（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，根据等差数列的性质可得2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，即可解出．（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上有唯一解．分类讨论：当△=0时，当△＞0时，方程的有关根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，只需g（a）＜0即可，解出即可得出．【解答】解：（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）=log2（x﹣a）（x ＞a）；（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，∵y1，y2，y3成等差数列，∴2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，解得a=x﹣，x∈（0，2）∪（2，+∞）．（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上由唯一解．当△=4（a+1）2﹣4a2=0时，解得a=﹣，这时方程有唯一解x=，满足条件．当△＞0时，方程的一个根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，只需g（x）＜0即可，解得a＞0．综上可得：a＞0，或a=﹣．【点评】本题考查了对数函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知数列{a n}中的相邻两项a2k，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且﹣1a2k≤a2k（k=1，2，3，…）﹣1（1）求a1，a3，a5，a7；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n；（3）记，，求T n的最值．【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．，a2k是此【分析】（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．根据两项a2k﹣1≤a2k，即可得出．方程的两个根，且a2k﹣1（2）S2n=a1+a2+…+a2n=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n），分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．（3）由于=（﹣1）f（n+1），可得T n=+﹣+…+，可得T1=，T2=．当n≥3时，利用“放缩法”即可得出．【解答】解：（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．∵两项a2k﹣1，a2k是此方程的两个根，且a2k﹣1≤a2k，当k=1时，x1=3，x2=2．∴a1=2；当k=2时，x1=6，x2=4．∴a3=4；当k=3时，x1=9，x2=8．∴a5=8；当k=4时，x1=12，x2=16．∴a7=12．（2）S2n=a1+a2+…+a2n=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n）=+=+2n+1﹣2．（3）∵=（﹣1）f（n+1），∴=+﹣+…+，∴T1==，T2=+=．当n≥3时，T n≥+﹣+﹣=+，同理可得：T n=﹣﹣+…+≤﹣+≤﹣+=＜．综上可得：≤T n≤．∴T n的最小值与最大值分别为：；．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“放缩法”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．第21页（共21页）。

交大附中2016学年第一学期高一数学期中试卷一、填空题（本题满分56分，每小题4分）1、已知{}240,2,a a ∈，则实数a = .2、已知集合{}2|210,A x ax x x R =++=∈中有且仅有一个元素，则实数a = .3、已知{}{}2|30,|20A x x x B x ax =-==-=，且AB A =，则实数a = . 4、设集合(){}(){}22,|1,,|1A x y x y B x y y x =+===+，那么A B = . 5、不等式21131x x -≥+的解集为A ，不等式42x x ->解集为B ，则()R C A B = . 6、已知函数()[)211,2,y kx k x x =+++∈+∞是单调减函数，则实数k 的取值范围是 .7、已知函数(),y f x x R =∈是奇函数，当0x >时，()12f x x x=++，则当0x ≤时()f x 的解析式是 .8、若正数,x y 满足191x y +=，则x y +的最小值为 . 9、关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，求20ax bx c -+>的解集是 . 10、已知()f x 为定义在区间[]-22，上的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()f x 递减，如果()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是 .11、若对任意x R ∈不等式1x ax +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 .12、设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大和最小元素分别是M m 、，则M m += . 13、集合A B 、满足条件{}==12345A B A B ∅，，，，，，当A B ≠时，我们将(),A B 和(),B A 视为两个不同的集合对，则满足条件的集合对(),A B 共有 对14、设不等式222xy ax y ≤+对于区间[]2,3中的,x y 恒成立，则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本题满分20，每小题5分）15、下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A.()()2,f x x g x = B. ()()22xf xg x x ==C.()()()01,1f x g x x ==- D. ()()29,33x f x g x x x -==-+16、以下四个命题中，正确的是（ ）A. 若22ac bc >，则a b >B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd >D. 若a b >，则11a b> 17、设条件2:0p a a +≠，条件:0q a ≠：那么p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件18、用二分法求函数()32452169140f x x x x =-+-在区间()3,4上的零点的近似值（精确到0.1）需要n 次不断的取相应区间的中点，则n 的最小值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7三、解答题（本大题共5道题目，满分52分，请在答题纸规定的地方写出必要的解答过程）19、（本题满分12分，第一小题5分，第二小题7分）已知函数()2=11,f x x x x R +-+∈（1）讨论()f x 的奇偶性（2）求()f x 的最小值20、（本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分）已知函数()21x r x x-= （1）求不等式()r x 的解集；（2）判断()r x 在区间(),0-∞上的单调性，并用定义证明.21、（本题满分12分，第一小题5分，第二小题7分）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两 条平行线段（图中的,AB CD ）和两个半圆构成，设AB x = m ，且80x ≥，（1）若内圈周长为400m ，则x 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为222500m π，则x 的取何值时，内圈周长最小？22、（本题满分16分，第一小题5分，第二小题5分，第三小题7分）已知k 是实数，()424211x kx f x x x ++=++ （1）当0k =时，求()f x 函数的值域；（2）若()f x 在区间[]1,2上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）对任意三个实数,,a b c ，均存在一个以()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，求实数k 的取值范围.23、（本题满分18分，第一小题5分，第二小题6分，第三小题7分）如果存在非零常数c，对于函数()f x c f x+>，那么称函=定义域R上的任意实数x，都有()()y f x数()()=∈为“Z函数”y f x x R（1）证明：若函数()()=∈是单调减函数，则它是“Z函数”y f x x R（2）求证：函数y x=不是“Z函数”（3）若函数()32=+是“Z函数”，求实数,a b满足的条件.g x ax bx。

2015—2016学年陕西省西安交大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）设集合{}|2A x x =<，则（）．A ．A ∅∈B AC AD A【答案】见解析【解析】解：根据元素与集合之间用∈，∉，集合与集合之间用⊂，⊄，⊆，Ø等， 结合集合{}|2A x x =<，可得C 正确， 故选：C ．2．（3分）函数11y x =-+在区间[]1,2上的最大值为（）．A ．13-B ．12-C ．1-D ．不存在【答案】见解析 【解析】解：函数11y x =-+在区间[]1,2上递增，即有(2)f 取得最大值，且为13-．故选：A ．3．（3分）函数24y x bx =+-在(,1]-∞-上是减函数，在(1,]-+∞上是增函数，则（）．A ．0b <B ．0b >C ．0b =D ．b 的符号不定【答案】见解析 【解析】解：有题意得，对称轴12bx =-=-，解得：20b =>， 故选B ．4．（3分）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（）．A ．(0,1)B ．(1,1.25)C ．(1.25,1.75)D ．(1.75,2)【答题】见解析【解析】解：构造函数()lg 2f x x x =+-，由771(1.75)lg 0444f f ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，(2)lg20f =>知0x 属于区间(1.75,2)．5．（3分）对于0a >，1a ≠，下列结论中： （1）m n m n a a a ++=． （2）()nm n m a a =．（3）若M N =，则log log a a M N =． （4）若22log log a a M N =． 则M N =正确的结论有（）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】见解析【解析】解：（1）∵m n m n a a a +⋅=， ∴不正确．（2）∵()m n mn a a =，因此不正确．（3）若0M N =≤，则log log a a M N =不正确． （4）若22log log a a M N =，则||||M N =，因此不正确． 因此都不正确． 故选：D ．6．（3分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，0x <时，3()f x x =那么(2)f 的值是（）．A ．8B ．8-C ．18D ．18-【答案】见解析【解析】解：∵0x <时，3()f x x =， ∴3(2)(2)8f -=-=-，∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴(2)(2)8f f =-=-． 故选：B ．7．（3分）已知3log 0.2a =，0.23b =，0.20.3c =，则a 、b 、c 三者的大小关系是（）．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】见解析【解析】解：3log 0.20a =<，0.231b =>，0.20.3(0,1)c =∈，故选：C ．8．（3分）设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如表（从上到下）． 表1映射f 对应法则：表2映射g 的对应法则：则与[](1)f g 相同的是（）．A ．[](3)g fB ．[](2)g fC ．[](4)g fD ．[](1)g f【答案】见解析【解析】解：由图表可知，(1)4g =，(4)1f =， ∴((1))1f g =．而(3)2f =，(2)3g =，∴((3))3g f =，(2)4f =，(4)2g =， ∴((2))2g f =，(4)1f =，(1)4g =， ∴((4))4g f =，(1)3f =，(3)1g =， ∴((1))1g f =， ∴((1))((1))f g g f =．故选D ．9．（3分）设22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥．若()3f x =，则x 的值为（）．A ．1BC ．D ．32【答案】见解析【解析】解：函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥．若()3f x =．当1x -≤时，23x +=，解得1x =．舍去． 当(1,2)x ∈-时，23x =，解得x 当2x ≥时，23x =，解得 1.5x =．舍去． 故选B ．10．（3分）设25a b m ==，且112a b+=，则m =（）．AB ．10C ．20D ．100【答案】见解析 【解析】解：11log 2log 5log 102m m m a b+=+==， ∴210m =， 又∵0m >，∴m = 故选A ．11．（3分）已知()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是（）．A ．23a <B ．0a >C ．203a <<D ．0a <或23a >【答案】见解析【解析】解：∵()f x 在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-， ∴1111211121a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩， ∴203a <<，故选C ．12．（3分）张君四年前买了50000元的某种基金，收益情况是前两年每年递减20%，后两年每年递增20%，则现在的价值与原来价值比较，变化的情况是（）．A ．减少7.84%B ．增加7.84%C ．减少9.5%D ．增加【答案】见解析【解析】解：设商品原始价格为5000，则第一年年末的价格是4000， 第二年年末的价格为4000(120%)3200⨯-=， 第三年年末的价格为3200(120%)3840⨯+=， 第四年年末的价格为3840(120%)4608⨯+=． 所以商品四年后的价格比原始价格降低了460817.84%5000-=． 故选A ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在第二卷对应的横线上．） 13．（4分）设全集{},,,,a b c I d e =，集合{},,M a b c =，{},,N b d e =，那么()1M N ð为__________． 【答案】{},d e【解析】解：{},,,,I a b c d e =，{},,M a b c =，{},,N b d e =，{}{}{}(),,,,1M N d e b d e d e ==ð，故答案为：{},d e ．14．（4分）函数ln y x =的反函数是__________． 【答案】e ()x y x =∈R【解析】解：由函数ln y x =解得e y x =， 把x 与y 互化可得e x y =．()x ∈R ， ∴原函数的反函数为e ()x y x =∈R ， 故答案为：e ()x y x =∈R ．15．（4分）已知幂函数()y f x =的图像过点，则(9)f =__________． 【答案】3【解析】解：由题意令()a y f x x ==，由于图像过点2a ，12a =．∴12()y f x x ==， ∴(9)3f =． 故答案为：3．16．（4分）对于函数()f x 定义域中任意的1x ，212()x x x ≠，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=⋅． ②1212()()()f x x f x f x ⋅=⋅． ③1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．④1212()()0f x f x x x ->-．⑤当121x x <<时1212()()11f x f x x x >--． 当3()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，上述结论中正确结论的序号是__________．【答案】①④⑤【解析】解：当2()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，①12121212333()()()222x x x xf x x f x f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①正确． ②1212123()()()2x x f x x f x f x ⎛⎫⋅=≠+ ⎪⎝⎭，不正确．③1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，说明函数是凸函数，而3()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是凹函数，所以不正确．④1212()()0f x f x x x ->-，说明函数是增函数，而3()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数，所以正确． ⑤当121x x <<时1212()()11f x f x x x >--，说明函数与(1,0)连线的斜率在减少，所以正确． 故答案为：①④⑤．三、解答题：（本大题共4小题，共48分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）化简求值：（1012--．（2）7lg142lg lg7lg183-+-．【答案】见解析 【解析】解：（1）原式510.25122=++-=． （2）原式2147lg7183⨯=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭lg1=0=．18．（12分）（1）函数2log (1)y x =-的图像是由2log y x =的图像如何变化得到的？ （2）在右边的坐标系中作出2|log (1)|y x =-的图像．（3）设函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2|log (1)|y x =-的图像的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，设12122()4M x x x x =-++，请判断M 的符号．【答案】见解析【解析】解：（1）函数2log (1)y x =-的图像是由2log y x =的图像向右平移1个单位得到的． （2）在右边的坐标系中作出2|log (1)|y x =-的图像，如图所示．（3）设函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2|log (1)|y x =-的图像的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ．)∴1212122()4(2)(2)0M x x x x x x =-+=--<．)19．（12分）设函数2()21xf x a =-+． （1）求证：不论a 为何实数()f x 总为增函数． （2）确定a 的值，使()f x 为奇函数． （3）在（2）的条件下求()f x 的值域． 【答案】见解析【解析】解：（1）设12x x <， 则12()()f x f x -12222121x x a a =--+++ 21222121x x =-++ 12122(22)(21)(21)x x x x -=++， ∵12x x <， ∴12022x x <<，即：12()()0f x f x -<，则12()()f x f x <， 即：不论a 为何实数()f x 总为增函数，（2）∵函数()f x 的定义域为R ，若()f x 为奇函数， ∴(0)0f =，即21011a a -=-=+，解得1a =， （3）当1a =时，2()121xf x =-+， ∵211x +>，∴10121x <<+，20221x <<+，22021x-<-<+， 211121x-<-<+，即：1()1f x -<<， 即：此时()f x 的值域为(1,1)-．20．（12）已知：二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(0,4)A ，顶点在x 轴上，且对称轴在y 轴的右侧，设直线y x =与二次函数的图像自左向右分别交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，:1:3OP PQ =．（1）求二次函数的解析式． （2）求PAQ △的面积． 【答案】见解析【解析】解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(0,4)A ，顶点在x 轴上， ∴4c =，224160b ac b a -=-=，∴2016b a =>．又二次函数的对称轴在y 轴右侧， ∴02ba->，∴b =-∴24y ax =-+，联立方程组24y xy ax =⎧⎪⎨=-+⎪⎩得21)40ax x -+=，∴1x2x =∵:1:3OP PQ =， ∴1214x x =，14=，解得1a =， ∴4b =-，∴二次函数的解析式为244y x x =-+．（2）由（1）可知111x y ==，224x y ==， ∴4AQ =，∴14(41)62APQ S =⨯⨯-=△．三、附加题：（每小题10分，共20分）21．已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的函数，若对于任意x ，[]1,1y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >，有()0f x >．（1）判断函数的奇偶数．（2）判断函数()f x 在[]1,1-上是增函数，还是减函数，并证明你的结论．（3）设(1)1f =，若2()21f x m am <-+，对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】见解析【解析】解：（1）令0x y ==，则(00)(0)(0)f f f +=+， ∴(0)0f =令y x =-，则()(0)()()f x x f f x f x -==+-， ∴()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数．（2）函数()f x 在[]1,1-上是增函数， 设1x ，[]21,1x ∈-，且12x x <，则210x x ->， ∴2121()()()0f x x f x f x -=->， ∴12()()f x f x <，∴函数()f x 在[]1,1-上是增函数， （3）∵()f x 在[]1,1-上是增函数，∴()(1)1f x f =≤，∵2()21f x m am <-+，对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立． ∴2211m am -+>，[]1,1a ∀∈-恒成立， 即：220m am ->，[]1,1a ∀∈-恒成立， 令2()2g a ma m =-+，则(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩，即：222020m m m m ⎧+>⎪⎨-+>⎪⎩， 解得：2m >或2m <-．∴实数m 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞．22．已知函数()f t =，()cos (sin )sin (cos )g x x f x x f x =⋅+⋅，17ππ,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()(0,0,[0,2π))A x B A ωω+∅+>>∅∈的形式． （Ⅱ）求函数()g x 的值域．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）()cos sin g x x x =cos sin x x = ∴17ππ,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴|cos |cos x x =-，|sin |sin x =-， ∴1sin 1cos ()cos sin cos sin x xg x x x x --=⋅+⋅--，sin cos 2x x =+-，π24x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． （Ⅱ）由17ππ12x <≤，得5ππ5π443x <+≤，∵sin t 在5π3π,42⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在3π5π,23⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数， 又5π5πsin sin 34<，∴3ππ5πsin sin sin244x⎛⎫+<⎪⎝⎭≤，当（17ππ,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦）．即：π1sin4x⎛⎫-+<⎪⎝⎭≤∴π2234x⎛⎫+-<-⎪⎝⎭，故()g x的值域为：[2,3)-．。

2016-2017学年上海市交通大学附中高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．2．（3分）arccos（﹣）=．3．（3分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为cm．4．（3分）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为．5．（3分）函数的最小正周期为．6．（3分）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=．7．（3分）函数y=sinx+arcsinx的值域是．8．（3分）关于x的方程cos2x+sinx+a=0在上有解，则a的取值范围是．9．（3分）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=．10．（3分）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．11．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为．12．（3分）已知函数y=kcos（kx）在区间单调递减，则实数k的取值范围为．二、选择题13．（3分）方程tanx=2的解集为（）A．{x|x=2kπ+arctan2，k∈Z}B．{x|x=2kπ±arctan2，k∈Z}C．{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}D．{x|x=kπ+（﹣1）k arctan2，k∈Z}14．（3分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A． B．C．D．15．（3分）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，π]16．（3分）已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③；④分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组三、解答题17．设，且α，β满足（1）求的值．（2）求cos（α+β）的值．18．如图，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小为α，∠CAD大小为β．（1）若，求；（2）若，求∠B．19．某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=4cosBcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sinB=psinC，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．21．已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．2016-2017学年上海市交通大学附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．【解答】解：由题意可得x=5，y=﹣12，r=|OP|=13，∴cosα==，∴secα=．故答案为：．2．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）arccos（﹣）=．【解答】解：===．故答案为：．3．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为6 cm．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===9．解得r=3∴扇形的弧长为l=rα=3×2=6l=rα=3×2=6cm．故答案为：6．4．（3分）（2016春•金山区校级期末）设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为﹣．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴tanα===﹣．故答案为：﹣．5．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）函数的最小正周期为π．【解答】解：函数=2﹣1+1=﹣cos（2x+）+1 的最小正周期为=π，故答案为：π．6．（3分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=，∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣．故答案为：﹣．7．（3分）（2005•上海）函数y=sinx+arcsinx的值域是[﹣sin1﹣，sin1+] ．【解答】解：函数y=sinx+arcsinx的定义域为[﹣1，1]，且在此定义域内单调递增，故当x=﹣1时，函数y=sinx+arcsinx有最小值﹣sin1+（﹣）=﹣sin1﹣．故当x=1时，函数y=sinx+arcsinx有最大值sin1+，故函数y=sinx+arcsinx的值域是[﹣sin1﹣，sin1+]，故答案为[﹣sin1﹣，sin1+]．8．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）关于x的方程cos2x+sinx+a=0在上有解，则a的取值范围是．【解答】解：由cos2x+sinx+a=0，转化为：1﹣sin2x+sinx+a=0，即（sinx﹣）2=∵上，sinx∈（0，1）∴sinx﹣∈（，]则（sinx﹣）2∈[0，]∴∴a的取值范围是．故答案为．9．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【解答】解：由题可知t=sinx∈[﹣1，1]，则y=f（x）=1+，令z=，则当t=0时z=0，且函数z为奇函数，所以z max+z min=0，又因为M+m=（1+z max）+（1+z min），所以M+m=2+（z max+z min）=2，故答案为：2．10．（3分）（2017•江苏一模）已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．11．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为．【解答】解：设A=B，由已知得sinA1=sinB1，cosA=sinA1，cosB=sinB1，cosC=sinC1，则A1=B1，所以A+A1=，B+B1=，C+C1=（舍）或A+A1=，B+B1=，C=C1﹣，解得C=，A=B==．故答案是：．12．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知函数y=kcos（kx）在区间单调递减，则实数k 的取值范围为[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12} ．【解答】解：当k＞0时，令2mπ≤kx≤π+2mπ，解得≤x≤+，m∈Z，∵函数y=kcos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴0＜k≤3或8≤k≤9．当k＜0时，令﹣π+2mπ≤﹣kx≤2mπ，解得﹣≤x≤﹣，m∈Z，∵函数y=kcos（kx）在区间单调递减，∴，解得，m∈Z，∴﹣6≤k≤﹣4，或k=﹣12，综上，k的取值范围是[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．故答案为：[﹣6，﹣4]∪（0，3]∪[8，9]∪{﹣12}．二、选择题13．（3分）（2011•浦东新区二模）方程tanx=2的解集为（）A．{x|x=2kπ+arctan2，k∈Z}B．{x|x=2kπ±arctan2，k∈Z}C．{x|x=kπ+arctan2，k∈Z}D．{x|x=kπ+（﹣1）k arctan2，k∈Z}【解答】解：由tanx=2，根据正切函数图象及周期可知：x=kπ+arctan2．故选C14．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知函数y=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是（）A． B．C．D．【解答】解：由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A=2，m=2．再由最小正周期为，可得=，解得ω=4，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=2sin（4x+φ）+2．再由x=是其图象的一条对称轴，可得4×+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=，故符合条件的函数解析式是y=2sin（4x+）+2，故选D．15．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）函数y=2sin（﹣2x），（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，π]【解答】解：∵y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣），∴只要求y=2sin（2x﹣）的减区间，∵y=sinx的减区间为[2kπ+，2kπ+]，∴令2x﹣∈[2kπ+，2kπ+]，解得x∈[kπ+，kπ+]，又x∈[0，π]，∴x∈[，]．故选：C．16．（3分）（2017春•杨浦区校级期中）已知α，β，γ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：①sinα，sinβ，sinγ；②sin2α，sin2β，sin2γ；③；④分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【解答】解：∵α，β，γ是某三角形的三个内角，设α，β，γ的对边分别为a，b，c，不妨令α≤β≤γ，则a≤b≤c，则a+b＞c．则①中，sinα=，sinβ=，sinγ=；则+＞，故一定能构成三角形；②中，sin2α=，sin2β=，sin2γ=，由+＞仅在a2+b2﹣c2＞0，即cosγ＞0时成立，故不一定能构成三角形．③中，+﹣=+＞0恒成立．恒成立，故一定能构成三角形，故③正确．④中，当α=β=30°时γ=120°，tan+tan﹣tan＜0，故不一定能构成三角形，故①③正确，故选：B．三、解答题17．（2011•广东校级模拟）设，且α，β满足（1）求的值．（2）求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）∵5sinα+5cosα=8，∴10（sinα+cosα）=8，即sin（α+）=，（3分）∵α∈（0，），∴α+∈（，），∴cos（α+）==；（4分）（2）又∵sinβ+cosβ=2，∴2（sinβ+cosβ）=2，即sin（β+）=，（6分）∵β∈（，），∴β+∈（，），∴cos（β+）=﹣，（7分）∴cos（α+β）=sin[+（α+β）]=sin[（α+）+（β+）]=sin（α+）cos（β+）+cos（α+）sin（β+）=×（﹣）+×=﹣．（12分）18．（2017春•杨浦区校级期中）如图，等腰三角形ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD大小为α，∠CAD大小为β．（1）若，求；（2）若，求∠B．【解答】解：（1）在△ABD中，由正弦定理得，在△ACD中，由正弦定理得，∵∠B=∠C，∴，∴==．（2）由（1）知==，又β=α+，∴sinβ=sin（）=sinα+cosα，∴sinα+cosα=2sinα，即cosα=3sinα，∴tanα=，∴α=，β=，∴B=（π﹣α﹣β）=．19．（2017春•杨浦区校级期中）某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD 分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）【解答】解：（1）连结M1M2，AM1，AM2，∵圆M1与AB，AD相切于B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D，∴M1，M2⊥AD，∠M1AD=∠BAD=，∠M2AD=，∴M1B=ABtan∠M1AB=60×=20≈34.6（米），∵tan==，∴tan=2﹣，同理可得：M2D=60×tan=60（2﹣）≈16.1（米）．（2）设∠BAD=2α（0＜α＜），由（1）可知圆M1的半径为60tanα，圆M2的半径为60tan（45°﹣α），设观景步道总造价为y千元，则y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α）=96πtanα+108π•，设1+tanα=x，则tanα=x﹣1，且1＜x＜2．∴y=96π（x﹣1）+108π（）=12π•（8x+﹣17）≥84π≈263.8，当且仅当8x=即x=时取等号，当x=时，tanα=，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．20．（2017春•杨浦区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=4cosBcosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的取值范围；（3）若sinB=psinC，试确定实数p的取值范围，使△ABC是锐角三角形．【解答】解：（1）∵=4cosBcosC，∴3sinBsinC+cosBcosC﹣sinBcosC﹣cosBsinC，∴﹣sin（B+C）=3cos（B+C），∴tan（B+C）=﹣，∴tanA=，∴A=，（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当b=c时取等号，=bcsinA≤×4×=，∴S△ABC∴△ABC面积的取值范围为（0，]，（3）sinB=psinC，∴p===+，∵△ABC为锐角三角形，A=，∴＜C＜，∴tanC＞，∴＜p＜2，即p的范围为21．（2017春•杨浦区校级期中）已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=﹣Mf（x）成立．（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．【解答】解：（1）取M=1 对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=﹣sinπx=﹣g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P（2）M=1时，f（x+1）=﹣f（x）f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=﹣Mh（x）成立．既sin（ωx+ωM）=﹣Msinωx若|M|＞1，取sinωx=1，则sin（ωx+ωM）=﹣M对x∈R恒成立时不可能的．若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则对x∈R也不成立．∴M=±1当M=1时sin（ωx+ω）=﹣sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；当M=﹣1时sin（ωx﹣ω）=sinωx，sin（ωx﹣ω）﹣sinωx=0，（x∈R），解得：ω=2kπk∈Z综上可得ω=kπ（k∈Z）:qiss；沂蒙松；w3239003；caoqz；sllwyn；左杰；cst；zhczcb；lcb001；742048；whgcn；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年6月6日。