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上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学期终试卷
2018.1
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1. 若关于x 的不等式01x a x -³+的解集为()[),14,-?+?U ，则实数a =____________．
2. 设集合{}{}|2|1,A x x B x x m =-<=>，若A B A =I ，则实数m 的取值范围是____________．
3. 一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于____________弧度．
4. 若函数2()log (1)f x x a =++的反函数的图像经过点(4,1)，则实数a =____________．
5. 若1
23()f x x x -=-，则满足()0f x >的x 的取值范围是____________．
6. 已知(7)41()1x a x a x f x a
x ì--<ïï=íï³ïî是(),-??上的增函数，那么a 的取值范围是____________． 7. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ³时，()2()lg 32f x x x =++，则()f x 在R 上的零点个数
为____________．
8. 设432()f x x ax bx cx d =++++，(1)1,(2)2,(3)3f f f ===，则
[]1(0)(4)4f f +的值为____________．
9. 设1()f x -为[]2()41,0,2x f x x x -=+-?的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为____________．
10. 已知2()0()430x a x f x x a x x ìï-?ïï=íï++>ïïî，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是____________．
11. 设ab R Î，若函数()a f x x b x
=+
+在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取值范围为____________．
12. 已知下列四个命题： ①函数()2x f x =满足：对任意121
2,,x x R x x 喂，有[]12121()()22x x f f x f x 骣+÷ç?÷ç÷ç桫；
②函数(22()log ,()121x f x x g x =+=+-均为奇函数； ③若函数()f x 的图像关于点(1,0)成中心对称图形，且满足(4)()f x f x -=，那么(2)(2018)f f =； ④设12,x x 是关于x 的方程log (0,1)a x k a a =>?的两根，则121x x =
其中正确命题的序号是____________．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分
13. “2x <”是“24x <”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 设函数10()10x f x x ì->ïï=íï<ïî，则()()()()2a b a b f a b a b +---¹的值为（ ）
A. a
B. b
C. ,a b 中较小的数
D. ,a b 中较大的数 15. 下图中最有可能是函数2
x x y =的图像是（ ） A. B. C. D.
16. 若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R Î有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是（ ）
A. ()f x 为奇函数
B. ()f x 为偶函数
C. ()1f x +为奇函数
D. ()1f x +为偶函数
三、简答题（第17题12分，第18-19题14分，第20-21题18分）
17. 解关于x 的不等式：()2212
1log log 10x a x a 骣÷ç+++<÷ç÷ç
桫
18. 设a R Î，函数3()31
x x a f x +=+； （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；
（2）若3()3
a f x +<对任意的x R Î成立，求a 的取值范围
19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源损耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)35k C x x x =＃+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（1）求k 的值及()f x 的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．
20.已知函数()()21112,,x a x a f x e f x e x R -+-+==∈.
（1）若2a =，求()()()12f x f x f x =+在[]2,3x ∈上的最小值；
（2）若()()()()1221f x f x f x f x -=-对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；
（3）当16a ≤≤时，求函数()()()()()121222f x f x f x f x g x -+=
-在[]1,6x ∈上的最小值.
21. 对于定义在[)0,+?上的函数()f x ，若函数()()y f x ax b =-+满足：①在区间[)0,+?上单调递减；②存在常数p ，使其值域为(0,]p ，则称函数()g x ax b =+为函数()f x 的“线性替代函数”．
（1）求证：函数1()2g x x =不是函数1()2x
f x 骣÷ç=÷ç÷ç桫，[0,)x ??的“逼近函数”； （2）判断函数()25
g x x =+是不是函数22911(),[0,)2
x x f x x x ++=??+的“线性替代函数”；
（3）若()g x ax =是函数()[0,)f x x x =+
??的“线性替代函数”
，求a 的值
