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上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题1．在实数范围内，1681的四次方根是．2．已知{}{0,0,4,x ⊂，则x 的值为．3．比较下列两数的大小关系，4000.25000.3的大小（填>、<或=符号）4．关于x 的不等式10ax x a -≤-的解集为A ．若3A ∈，4A ∉，则a 的取值范围是．5．函数()2lg 1y ax ax =++的值域是R ，则a 的取值范围是6．已知()32x f x x +=-，()()(),0,0f x x g x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则方程()33g x x =-不同解的个数为．7．在区间[]22-,上恰有一个x 满足方程2210mx x --=，则m 的取值范围为．8．已知a 是常数，命题p ：存在实数x ，使得12220x x a -⋅+-<．若p 是假命题，则a 的取值范围是．9．函数()()311kk y k x k ==⋅+-⋅∑取到最小值时，实数x 的取值范围是．10．已知0x >的最大值为．11．已知()2)R (f x x ax b a b =++∈、，记集合(){}0A x f x =≤，()(){}10|B x f f x =+≤．若A B =≠∅，则a 的取值范围为．12．已知()111124f x x x x =+++--，()2321021x x g x -⋅-=+．函数()y f x =的图像是一个中心对称图形．若函数()y f x =与函数()y g x =的图像交点分别为()11,x y ，()12,x y ，…，(),m m x y （m 为正整数），则()1m i i i x y =+=∑．注：()()()()11221mi i m m i x y x y x y x y =+=++++++∑ ．二、单选题13．在“①难解的题目；②方程210x +=在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（）A ．②③B ．①③C ．②④D ．①②④14．已知幂函数()232321m m y m m x +-=-+是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，则满足条件的不同m 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．已知互不相等的正数a 、b 、c 满足222a c bc +=，则下列不等式中可能成立的是（）．A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>16．对任意R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，下列性质错误的是（）A ．存在R x ∈，使得[][]552x x =+B ．任意R x ∈，使得[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C ．任意x 、R y ∈，满足[][]x y =，则1x y -<D ．任意x 、R y ∈，都有[][][]+≤+x y x y 三、解答题17．解下列关于x 的不等式：(1)()5577log 35log 6x x +≤-．(2)()()3377356x x +≤-．18．已知函数()()4log 41x f x kx =++()x ∈R 是偶函数.(1)求k 的值；(2)若方程()0f x m -=有解，求m 的取值范围.19．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30,0<30=18002+80,30<<100x f x x x x ≤⎧⎪⎨-⎪⎩（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为50分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；并求出()g x 的最小值.20．问题：正实数a 、b 满足1a b +=，求12a b+的最小值．其中一种解法是：()12122123b a a ba b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2b a a b=且1a b +=时，即1a =且2b =12a b+的最小值是3+(1)已知a 、b 是正实数，且1a b +=，求1422a b b +++的最小值．(2)①已知实数a 、b 、x 、y ，满足22221x y a b-=，求证()222a b x y -≤-．②求代数式M =的最小值，并求出使得M 最小的m 的值．21．已知函数=的定义域为R ，现有下面两种对=变换的操作：ϕ变换：()()()y f x y f x f x t =→=--，其中0t >．ω变换：()()()y f x y f x t f x =→=+-，其中0t >．(1)若()3x f x =，1t =，对=进行ϕ变换后得到函数=，解方程()2g x =．(2)若()2f x x =，对=进行ω变换后得到函数()y h x =，解不等式()()f x h x ≥．(3)若函数=在(),0∞-上是严格增函数，对函数=先作ϕ变换，再作ω变换，得到函数()1y h x =，对函数=先作ω变换，再作ϕ变换，得到函数()2y h x =．对任意0t >，若()()12h x h x =恒成立，证明：函数=在R 上是严格增函数，22．已知函数()y f x =在R 上连续，且()()()()()()12120f x f x f x f x f x f x ++=⋅+++⋅+>恒成立，则()f x =[)0,999上至少有几个不同的解？。

交大附中2015—2016学年第一学期期中考试高一数学试题一、选择题：（本在题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡中．） 1． 设集合{}2=<A x x ，则A ．∅∈AB AC AD A2． 函数11=-+y x 在区间[]12，上的最大值为 A ．13-B ．12-C ．1-D ．不存在3． 函数24=+-y x bx 在(]1-∞-，上是减函数，在[)1-+∞，上是增函数，则 A ．0<bB ．0>bC ．0=bD ．b 的符号不定4． 若0x 是方程式lg 2+=x x 的解，则0x 属于区间 A ．(01)，B ．(1 1.25)，C ．(1.25 1.75)，D ．(1.752)， 5． 对于0>a ，1≠a ，下列结论中 ⑴++=m n m n a a a⑵()=nm n m a a⑶若=M N ，则log log =a a M N ⑷若22log log =a a M N ，则=M N 正确的结论有 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6． 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，0<x 时，3()=f x x ，那么(2)f 的值是 A ．8B ．8-C ．18D ．18-7． 已知3log 0.2=a ，0.23=b ，0.20.3=c ，则a ，b ，c 三者的大小关系是 A ．>>a b c B ．>>b a c C ．>>b c a D ．>>c b a 8． 设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）； 表1 映射f 对应法则 原像 1 2 3 4 像 3 4 2 1表2 映射g 的对应法则 原像 1 2 3 像 4 3 1 则与[](1)f g 相同的是 A ．[](3)g fB ．[](2)g fC ．[](4)g fD ．[](1)g f9． 设22(1)()(12)2(2)+-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩x x f x x x x x ≤≥．若()3=f x ．则x 的值为A ．1 BC． D ．3210．设25==a b m ，且112+=a b，则=m AB ．10C ．20D ．10011．已知()=y f x 在定义域(11)-，上是减函数，且(1)(21)-<-f a f a ．则a 的取值范围是 A ．23<a B ．0>a C ．203<<a D ．0<a 或23>a12．张君四年前买了50000元的某种基金，收益情况是前两年每年递减20%，后两年每年递增20%，则现在的价值与原来价值比较，变化的情况是 A ．减少7.84% B ．增加7.84% C ．减少9.5% D ．增加 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在第二卷对应的横线上．） 13．设全集{}=，，，，I a b c d e ，集合{}=，，M a b c ，{}=，，N b d e ，那么()，C M N ∩为；14．函数ln =y x 的反函数为；15．已知幂函数()=y f x的图象过点(2，则(9)=f；16．对于函数()f x 定义域中任意的1x ，212()≠x x x ，有如下结论： ①1212()()()+=⋅f x x f x f x ；②1212()()()⋅=⋅f x x f x f x ③1212()()22++⎛⎫> ⎪⎝⎭x x f x f x f④1212()()--f x f x x x 0>；⑤当121<<x x 时1212()()11>--f x f x x x 当3()2⎛⎫= ⎪⎝⎭xf x 时，上述结论中正确结论的序号是．三、解答题：（本大题共4小题，共48分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题12分）化简求值：12--⑵7lg1421g lg7lg183-+-18．（本小题12分）⑴函数2log (1)=-y x 的图象是由2log =y x 的图象如何变化得到的？⑵在右边的坐标系中作出2log (1)=-y x 的图象．⑶设函数12⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 与函数2log (1)=-y x 的图象的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，设12122()4=-++M x x x x ，请判断M 的符号．19．（本小题12分）设函数2()21=-+xf x a ， ⑴求证：不论a 为何实数()f x 总为增函数；⑵确定a 的值，使()f x 为奇函数．20．（本小题12分）已知：二次函数2=++y ax bx c 的图像经过点(04)，A ，顶点在x 轴上，且对称轴在y 轴的右侧．设直线=y x 与二次函数的图像自左向右分别交于11()，P x y ，22()，Q x y 两点，:1:3=OP PQ ． ⑴求二次函数的解析式；⑵求PAQ △的面积；⑶在线段PQ 上是否存在一点D ，使 APD QPA △△？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由． 附加题：（每小题10分，共20分）1． 已知函数()f x 是定义在[]11-，上的函数，若对于任意[]11∈-，，x y ，都有()()()+=+f x y f x f y ，且0>x 时，有()0>f x ⑴判断函数的奇偶性；⑵判断函数()f x 在[]11-，上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； ⑶设(1)1=f ，若2()21<-+f x m am ，对所有[]11∈-，x ，[]11∈-，a 恒成立，求实数m 的取值范围． 2．已知函数(1)f 17π()cos (sin )sin (cos )π12⎛⎫=⋅+⋅∈ ⎪⎝⎭，，g x x f x x f x x ． ⑴将函数()g x 化简成sin()ωϕ+A x [)(0002π)ωϕ+>>∈，，，B A 的形式； ⑵求函数()g x 的值域．。

a ⎩ 交大附中高一期中试卷（2017.11）一. 填空题1. 集合 M ={x | 0 < x ≤ 3} ， N ={x | 0 < x ≤ 2}，则“ a ∈ M ”是“ a ∈ N ”条件。

2. 已知集合U = {1,2,3,4}，集合 A = {1,2} ， B ={2,3}，则(A C U B ) (C U A B ) = 。

3. 函数 f (x ) = x +1 + 1 2 - x 的定义域为。

2x - a4. 已知集合 A ={x || x - a |< 1, x ∈ R }， B = {x | 是。

x +1< 1, x ∈ R }，且 A B =∅ ，则实数 a 的取值范围5. 已知 y = f (x ) ， y = g (x ) 是两个定义在 R 上的二次函数，其 x 、 y 的取值如下表所示：x 1 2 3 4 f (x ) -3-4-3g (x )0 1-3则不等式 f (g (x )) ≥ 0 的解集为。

6. 关于 x 的不等式2kx 2 + kx + 3< 0 的解集不为空集，则k 的取值范围为。

87. 已知本张试卷的出卷人在公元 x 2 年时年龄为 x - 8 岁，则出卷人的出生年份是 。

（假设出生当年的年龄为 1 岁）8. 若对任意 x ∈ R ，不等式| x |≥ ax 恒成立，则实数a 的取值范围是。

29. 设常数a > 0 ，若9x + ≥ a +1对一切正实数 x 成立，则a 的取值范围为 。

x⎧x 2 + 2x + 2 10. 设函数 f (x ) = ⎨ -x2x ≤ 0，若 f ( f (a )) = 2 ，则a = 。

x > 011. 若二次函数 y = f (x ) 对一切 x ∈ R 恒有 x 2 - 2x + 4 ≤ f (x ) ≤ 2x 2 - 4x + 5 成立，且 f (5) = 27 ，则f (11) = 。

上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。

2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题中，正确的是（ ）A.4xx+的最小值是4 +的最小值是2C.如果a b >，c d >，那么a c b d ->-D.如果22ac bc >，那么a b >【答案】D【解析】利用基本不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案. 【详解】选项A 中，若0x <，则无最小值，所以错误；选项B 中，2t ，则函数y =1y t t=+，在[)2,+∞上单调递增，所以最小值为52，所以错误；选项C 中，若,a c b d ==，则a c b d -=-，所以错误；选项D 中，如果22ac bc >，则0c ≠，所以20c >，所以可得a b >. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式，对勾函数的性质，不等式的性质，判断命题是否正确，属于简单题.2．设甲为“05x <<”，乙为“|2|3x -<”，那么甲是乙的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 【答案】A【解析】对命题乙进行化简，然后由命题甲和命题乙的范围大小关系，得到答案. 【详解】命题乙：|2|3x -<，解得15x -<<； 命题甲：05x <<；显然命题甲的范围比命题乙的范围要小，故由命题甲可以推出命题乙，而由命题乙不能推出命题甲， 所以甲是乙的充分非必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查解绝对值不等式，充分非必要条件，属于简单题. 3．非空集合A 、B 满足，A B =∅，{|}P x x A =⊆，{|Q x x =}B ，则下列关系一定成立的是（ ） A.A B P Q =U U B.PQ =∅ C.{}P Q =∅I D.A B P Q U【答案】B【解析】根据集合P 是集合A 的子集所构成的集合，集合Q 是集合B 的真子集所构成的集合，以及非空集合A 、B 满足A B =∅，从而可以得到集合P 与集合Q 没有相同元素，从而得到答案. 【详解】因为{|}P x x A =⊆，{|Q x x=}B所以可得集合P 是集合A 的子集所构成的集合， 集合Q 是集合B 的真子集所构成的集合 而非空集合A 、B 满足，AB =∅，可知集合A 与集合B 中没有相同元素， 则其各自的子集或真子集也不会由相同的集合， 所以可得P Q =∅，故选：B. 【点睛】本题考查元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系，属于简单题. 4．已知函数(1)y f x =+为偶函数，则下列关系一定成立的是（ ） A.()()f x f x =- B.(1)(1)f x f x +=-+ C.(1)(1)f x f x +=-- D.(1)()f x f x -+=【答案】B【解析】函数(1)y f x =+为偶函数，可得函数()y f x =的图像关于1x =对称，在四个选项中选择能表示函数()y f x =的图像关于1x =对称的，得到答案. 【详解】函数(1)y f x =+为偶函数，可得()y f x =的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称， 所以()y f x =的图像关于1x =对称，在所给四个选项中，只有选项B. (1)(1)f x f x +=-+也表示()y f x =的图像关于1x =对称，故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性，属于简单题.二、填空题 5．函数y=的定义域为 . 【答案】()0,+∞【解析】试题分析：函数y=的定义域为0{0x x ≥≠所以0x > 【考点】函数定义域的求法．6．已知{|12}A x x =-<<，2{|30,}B x x x x =-<∈R ，则A B =________【答案】(0,2)【解析】对集合B 中的不等式求出其解集，然后利用集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合2{|30,}{|03}B x x x x x x =-<∈=<<R ， 而集合{|12}A x x =-<< 所以{|02}A B x x ⋂=<< 故答案为：(0,2) 【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.7．当0x >时，函数1()f x x x -=+的值域为________ 【答案】[2,)+∞【解析】根据基本不等式，求出当0x >时，函数1()2f x x x -=+≥，得到答案.【详解】 因为0x >，所以函数1()2f x x x -=+=≥， 当且仅当1x x -=，即1x =时，等号成立. 所以函数1()f x x x -=+的值域为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞ 【点睛】本题考查求具体函数的值域，基本不等式求和最小值，属于简单题. 8．设{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ，2{|2150}A x x x =--=，{3,3,4}B =-，则U A B =I ð__【答案】{5}【解析】先对集合U 进行化简，然后根据集合U 和集合B ，由集合的补集运算计算出U B ð，再对集合A 进行化简，然后利用集合的交集运算，得到答案.【详解】集合{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ， 所以{}5,4,3,3,4,5U =--- 集合{3,3,4}B =-， 所以{}5,4,5U B =--ð，集合{}{}2|21503,5A x x x =--==-,所以{}5U A B =I ð， 故答案为：{}5. 【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于简单题.9．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为________ 【答案】{0,1,2}-【解析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分为B =∅和B ≠∅进行讨论，得到答案. 【详解】因为A B A ⋃=，所以得到B A ⊆， 集合{2,1}A =-，{|2}B x ax == 当B =∅时，0a =，当B ≠∅时，0a ≠，则2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭所以有22a =-或21a=，则1a =-或2a =， 综上0a =或1a =-或2a = 故答案为：{0,1,2}- 【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数的值，属于简单题.10．满足条件{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U 的所有集合A 的个数是________个 【答案】16【解析】先计算{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=，由结果可知集合A 中应有元素9，然后元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ，从而得到答案. 【详解】因为{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =U U ， 而{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=，所以可得集合A 中一定有元素9，所以元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ， 而集合{}1,3,5,7的子集有42=16个， 故满足要求的集合A 的个数是16. 故答案为：16. 【点睛】本题考查根据集合的运算结果求满足要求的集合个数，根据集合元素个数求子集的个数，属于简单题.11．已知不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是________ 【答案】3[,1)2-- 【解析】由题意可知，代入2x =可满足不等式，代入3x =则不满足不等式，从而得到关于a 的不等式组，解得a 的取值范围. 【详解】因为不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，所以可得代入2x =，不等式成立，即2022222a≤+⨯+，解得1a <-，代入3x =，不等式不成立，即2323032a+⨯>+，解得32a >-，且当32a =-时，3x =也不满足不等式， 综上，a 的范围为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题.12．若函数()f x =a 的取值范围为________ 【答案】1a >【解析】首先满足函数()f x 的定义域关于原点对称，得到a 的取值范围，再验证此时函数()f x 为偶函数而非奇函数，从而得到答案. 【详解】由函数()f x =0a ≥，函数()f x 要为偶函数， 则其定义域需关于原点对称，22100x a x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得11x x x ≤-≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或1≥，即1a ≥ 当1a =时，函数()0f x =。

一、选择题1．(0分)[ID ：11828]已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．(0分)[ID ：11827]设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}3．(0分)[ID ：11822]函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．(0分)[ID ：11819]在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭5．(0分)[ID ：11809]不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦6．(0分)[ID ：11775]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．(0分)[ID ：11758]已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞8．(0分)[ID ：11792]函数223()2xx xf x e+=的大致图像是（ ） A ． B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：11787]已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1- 10．(0分)[ID ：11766]函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）11．(0分)[ID ：11765]函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-12．(0分)[ID ：11764]已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞， C ．[1,1)- D ．(3,1]--13．(0分)[ID ：11740]三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>14．(0分)[ID ：11731]已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-15．(0分)[ID ：11754]若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题16．(0分)[ID ：11928]若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.17．(0分)[ID ：11918]函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 18．(0分)[ID ：11910]已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.19．(0分)[ID ：11888]若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．20．(0分)[ID ：11881]用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.21．(0分)[ID ：11845]2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）22．(0分)[ID ：11844]有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两 种都没买的有 人.23．(0分)[ID ：11842]非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．24．(0分)[ID ：11836]已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________25．(0分)[ID ：11863]若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题26．(0分)[ID ：12012]已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；27．(0分)[ID ：11961]已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．28．(0分)[ID ：11957]已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-.(1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围. 29．(0分)[ID ：11950]函数f(x)=2x −a2x 是奇函数． (1)求f(x)的解析式；(2)当x ∈(0,+∞)时，f(x)>m ⋅2−x +4恒成立，求m 的取值范围． 30．(0分)[ID ：11938]设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．C 3．B 4．C5．C6．A7．A8．B9．C10．B11．B12．D13．B14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：17．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填18．【解析】【分析】不等式的解集与f（x）g(x)0且g（x）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f（x）是偶函数g（x）是奇函数得到f（x）g（x）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部19．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值20．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与21．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是22．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系23．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【24．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围25．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.3．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．4．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.5．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.6．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .7．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．8．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．11．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.12．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．14．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。

2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．函数y＝的定义域为．2．已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，{x|x2﹣3x＜0，x∈R}，则A∩B＝．3．当x＞0时，函数f（x）＝x+x﹣1的值域为．4．设U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}，B＝{﹣3，3，4}，则A∩∁U B＝．5．已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为．6．满足条件{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}的所有集合A的个数是个．7．已知不等式的解集为A，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为．9．已知a、b是常数，且ab≠0，若函数的最大值为10，则f（x）的最小值为．10．设正实数a、b满足3a+ab+b＝24，那么的最小值为．11．已知函数f（x）＝，且f（0）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是．12．若方程ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，则实数a的取值范围为．二.选择题13．下列命题中，正确的是（）A．的最小值是4B．的最小值是2C．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＜b﹣dD．如果ac2＞bc2，那么a＞b14．设p：0＜x＜5，q：|x﹣2|＜3，那么p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要15．非空集合A、B满足，A∩B＝∅，P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，则下列关系一定成立的是（）A．A∪B＝P∪Q B．P∩Q＝∅C．P∩Q＝{∅}D．A∪B⫋P∪Q 16．已知函数y＝f（x+1）为偶函数，则下列关系一定成立的是（）A．f（x）＝f（﹣x）B．f（x+1）＝f（﹣x+1）C．f（x+1）＝f（﹣x﹣1）D．f（﹣x+1）＝f（x）三.解答题17．已知集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0，x∈R}．（1）求集合A；（2）若B∩（∁U A）＝B，求实数a的取值范围．18．己知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．（1）若a＝1，b＝2，求不等式f（x）≤5的解；（2）对任意a＞0，b＞0，试确定函数y＝f（x）的最小值M（用含a，b的代数式表示），若正数a、b满足a+4b＝2ab，则a、b分别取何值时，M有最小值，并求出此最小值．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20．已知函数f（x）＝（a＞0），且满足f（）＝1．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）设函数g（x）＝，求g（x）在区间[]上的最大值；（3）若存在实数m，使得关于x的方程2（x﹣a）2﹣x|x﹣a|+2mx2＝0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）＝mx+3，g（x）＝x2+2x+m．（1）求证：函数f（x）﹣g（x）必有零点；（2）设函数G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1．①若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；②是否存在整数a、b，以及实数m，使得不等式a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．函数y＝的定义域为（0，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则需x≥0且x≠0，即x＞0，则定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．2．已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，{x|x2﹣3x＜0，x∈R}，则A∩B＝（0，2）．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝（0，2）．故答案为：（0，2）．3．当x＞0时，函数f（x）＝x+x﹣1的值域为[2，+∞）．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）＝x+x﹣1＝x+．当且仅当x＝1时，上式“＝”成立．∴函数f（x）＝x+x﹣1的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．4．设U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}，B＝{﹣3，3，4}，则A∩∁U B＝{5}．【解答】解：∵U＝{x|﹣5≤x＜﹣2或2＜x≤5，x∈Z}＝{﹣5，﹣4，﹣3，3，4，5}，A＝{x|x2﹣2x﹣15＝0}＝{﹣3，5}，B＝{﹣3，3，4}，∴∁U B＝{﹣5，﹣4，5}，∴A∩∁U B＝{5}．故答案为：{5}．5．已知集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为{0，﹣1，2}．【解答】解：∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，a＝0；②B≠∅时，，则或，解得a＝﹣1或2，∴实数a值集合为{0，﹣1，2}．故答案为：{0，﹣1，2}．6．满足条件{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}的所有集合A的个数是16个．【解答】解：∵{1，3，5}∪A∪{3，5，7}＝{1，3，5，7，9}，∴集合A一定含元素9，可能含元素1，3，5，7，∴集合A的个数为24＝16个．故答案为：16．7．已知不等式的解集为A，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是．【解答】解：因为的解集为A，且2∈A，3∉A，所以≤0，①＞0，②3+2a＝0，③解①得：a＜﹣1．解②得：a＞﹣，解③得：a＝﹣，故实数a的取值范围为．故答案是：．8．若函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为a＞1．【解答】解：∵函数f（x）＝+为偶函数且非奇函数，∴f（﹣x）＝f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），又，∴a≥1．a＝1，函数f（x）＝+为偶函数且奇函数，故答案为：a＞1．9．已知a、b是常数，且ab≠0，若函数的最大值为10，则f（x）的最小值为﹣4．【解答】解：函数定义域为[﹣1，1]，设g（x）＝为奇函数，f（x）max＝g（x）max+3＝10，所以g（x）min＝﹣g（x）max＝﹣7，所以f（x）min＝﹣7+3＝﹣4，故答案为：﹣4．10．设正实数a、b满足3a+ab+b＝24，那么的最小值为．【解答】解：因为a，b为正数，满足3a+ab+b＝24，所以24＝3a+b+ab≥2+ab；令＝t，t＞0，则t2+2t﹣24≤0；解得0＜t≤2，即0＜ab≤12，所以，；所以的最小值为．故答案为：．11．已知函数f（x）＝，且f（0）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是[0，4]．【解答】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，则a≥0，当x＞0时，函数f（x）＝的最小值4+3a≥f（0），即4+3a≥a2，解得：﹣1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]12．若方程ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，则实数a的取值范围为（﹣3，1]．【解答】解：设f（x）＝ax2﹣（4﹣a2）x+2，若a＝0时，f（x）＝0，得x＝成立，若a≠0，ax2﹣（4﹣a2）x+2＝0在（0，2）内恰有一解，因为f（0）＝2＞0，所以只需f（2）＝4a﹣2（4﹣a2）+2≤0，则a2+2a﹣3≤0，得a∈[﹣3，1]，当a＝﹣3时，﹣3x2+5x+2＝0的根为x＝2或者x＝﹣不成立，所以a∈（﹣3，1]，故答案为：（﹣3，1]．二.选择题13．下列命题中，正确的是（）A．的最小值是4B．的最小值是2C．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＜b﹣dD．如果ac2＞bc2，那么a＞b【解答】解：A．x＜0时，不正确；B.＞2，最小值不为2，不正确；C．a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d即a﹣d＞b﹣c，因此不正确；D．∵ac2＞bc2，∴c2＞0，∴a＞b，正确．故选：D．14．设p：0＜x＜5，q：|x﹣2|＜3，那么p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：由|x﹣2|＜3，得：﹣3＜x﹣2＜3，即﹣1＜x＜5，即q：﹣1＜x＜5，故p是q的充分不必要条件，故选：A．15．非空集合A、B满足，A∩B＝∅，P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，则下列关系一定成立的是（）A．A∪B＝P∪Q B．P∩Q＝∅C．P∩Q＝{∅}D．A∪B⫋P∪Q 【解答】解：∵A∩B＝∅，∴A与B没有任何公共元素，∵P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，∅是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，∴P∩Q＝{x|x⊆A且x⫋B}＝{∅}，故选：C．16．已知函数y＝f（x+1）为偶函数，则下列关系一定成立的是（）A．f（x）＝f（﹣x）B．f（x+1）＝f（﹣x+1）C．f（x+1）＝f（﹣x﹣1）D．f（﹣x+1）＝f（x）【解答】解：∵y＝f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），故B正确，故选：B．三.解答题17．已知集合，集合B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0，x∈R}．（1）求集合A；（2）若B∩（∁U A）＝B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由得，；解得﹣1＜x≤2；∴A＝{x|﹣1＜x≤2}；（2）∁U A＝{x|x≤﹣1，或x＞2}；∵B∩（∁U A）＝B；∴B⊆∁U A；且B＝{x|a﹣1≤x≤a+1}；∴a﹣1＞2，或a+1≤﹣1；∴a＞3，或a≤﹣2；∴实数a的取值范围为{a|a≤﹣2，或a＞3}．18．己知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．（1）若a＝1，b＝2，求不等式f（x）≤5的解；（2）对任意a＞0，b＞0，试确定函数y＝f（x）的最小值M（用含a，b的代数式表示），若正数a、b满足a+4b＝2ab，则a、b分别取何值时，M有最小值，并求出此最小值．【解答】解：（1）数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|．由于a＝1，b＝2，所以|x﹣1|+|x+2|≤5，令x﹣1＝0，解得x＝1，令x+2＝0，解得x＝﹣2，故：①当x≤﹣2时，不等式转换为1﹣x﹣x﹣2≤5，解得﹣3≤x≤﹣2．当②﹣2＜x＜1时，不等式转换为x+2﹣1﹣x≤5，即1≤5，故不等式的解为﹣2＜x＜1．当③x≥1时，不等式转换为x﹣1+x+2≤5，解得x≤2，由①②③得：不等式的解集为：x∈[﹣3，2]；（2）对任意a＞0，b＞0，所以）|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|＝a+b．所以函数y＝f（x）的最小值M＝a+b，由于正数a、b满足a+4b＝2ab，整理得，所以＝＝当a＝43，时，M最小值为．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）＝8，得k＝40，因此．而建造费用为C1（x）＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）＝0，即．解得x＝5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．20．已知函数f（x）＝（a＞0），且满足f（）＝1．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）设函数g（x）＝，求g（x）在区间[]上的最大值；（3）若存在实数m，使得关于x的方程2（x﹣a）2﹣x|x﹣a|+2mx2＝0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（）＝＝1，得a＝1或0．因为a＞0，所以a＝1，所以f（x）＝．当x＞1时，f（x）＝＝1﹣为增函数，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝1﹣﹣1+＝，因为1＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数；（2）g（x）＝＝＝，当1≤x≤4时，g（x）＝＝﹣＝﹣（﹣）2+，因为≤≤1，所以当＝时，g（x）max＝；当≤x＜1时，g（x）＝＝（﹣）2﹣，因为≤x＜1时，所以1＜≤2，所以当＝2时，g（x）max＝2；综上，当x＝时，g（x）max＝2；（3）由（1）可知，f（x）在（1，+∞）上为增函数，当x＞1时，f（x）＝1﹣∈（0，1）．同理可得f（x）在（0，1）上为减函数，当0＜x＜1时，f（x）＝﹣1∈（0，+∞）．方程2（x﹣1）2﹣x|x﹣1|+2mx2＝0可化为2•﹣+2m＝0，即2f2（x）﹣f（x）+2m＝0，设t＝f（x），方程可化为2t2﹣t+2m＝0，要使原方程有4个不同的正根，则方程2t2﹣t+2m＝0在（0，1）有两个不等的根t1，t2，则有，解得0＜m＜，所以实数m的取值范围为（0，）．21．已知函数f（x）＝mx+3，g（x）＝x2+2x+m．（1）求证：函数f（x）﹣g（x）必有零点；（2）设函数G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1．①若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；②是否存在整数a、b，以及实数m，使得不等式a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：f（x）﹣g（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+3﹣m．令f（x）﹣g（x）＝0．则△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0恒成立，∴方程f（x）﹣g（x）＝0有解，即函数f（x）﹣g（x）必有零点；（2）①G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，令G（x）＝0，△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）（m﹣6）．当△≤0，即2≤m≤6时，G（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m≤0恒成立，∴|G（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．∵|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，∴≥0，解得m≥2．∴2≤m≤6．当△＞0，即m＜2或m＞6时，|G（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．∵|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，∴x2﹣（m﹣2）x+m﹣2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零且x＝≤﹣1．∴或解得m＞2或m≤0．∴m≤0或m＞6．∴m的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．②∵a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，∴即，消m，得ab﹣2a﹣b＝0，显然b≠2．∴a＝＝1+．∵a，b为整数，所以b﹣2＝±1或b﹣2＝±2．解得或或或，∵a＜b，且a≤≤b，∴或．。