向量与不等式

高中数学不等式与向量教案
教学内容：不等式与向量
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握不等式的基础知识，能够解决一元不等式、二元不等式等基础问题，并且能够应用向量的基础知识解决简单问题。

教学重点：不等式的解法；向量的基础知识
教学难点：不等式的应用问题；向量的实际问题
教学过程：
1. 导入新知识（5分钟）：通过举例引出不等式的概念，并与学生讨论不等式的性质和解法。

2. 不等式的解法（15分钟）：介绍一元不等式和二元不等式的解法方法，让学生通过练习题来巩固对不等式解法的理解和掌握。

3. 向量的基础知识（10分钟）：引入向量的概念，讨论向量的性质和表示方法，让学生熟悉向量的基本概念。

4. 课堂练习（15分钟）：让学生进行一些不等式和向量的练习题，帮助他们巩固所学知识。

5. 应用实例（10分钟）：通过一些实际问题让学生应用所学知识解决问题，提高他们的应用能力。

6. 总结回顾（5分钟）：总结本节课所学内容，让学生复习并巩固知识点。

作业布置：布置一些不等式和向量的练习题，让学生在家中进行练习并完成。

教学反思：本节课主要是让学生掌握不等式和向量的基础知识，并且能够应用所学知识解决实际问题。

通过练习题和应用实例的训练，可以提高学生的解题能力和思维能力，为进一步学习数学打下良好的基础。

柯西不等式向量形式证明柯西不等式是线性代数中的重要定理，它用于衡量向量内积的大小关系。

柯西不等式的向量形式可以用于证明不等式的成立。

本文将就柯西不等式的向量形式进行证明，并阐述其应用。

柯西不等式的向量形式如下：对于任意的n维实数向量x和y，有：|(x, y)| ≤ ||x|| ||y||在这个不等式中，x和y表示n维实数向量，(x, y)表示向量x和y 的内积，||x||表示向量x的模。

柯西不等式说明了向量内积的大小关系，即向量内积的绝对值不大于向量模的乘积。

为了证明柯西不等式的向量形式，我们可以利用向量的性质和数学推理进行证明。

首先，我们可以将向量x和y表示为它们的分量形式，即：x = (x1, x2, ..., xn)y = (y1, y2, ..., yn)根据向量内积的定义，我们可以将向量x和y的内积表示为：(x, y) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn根据向量模的定义，我们可以将向量x和y的模表示为：||x|| = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)||y|| = √(y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)接下来，我们可以利用数学推理证明柯西不等式的向量形式。

我们可以将向量x和y的内积表示为它们的模和夹角的余弦值的乘积：(x, y) = ||x|| ||y|| cosθ其中，θ表示向量x和y之间的夹角。

根据三角函数的性质，夹角的余弦值不大于1，即：cosθ ≤ 1将上述不等式代入前面的等式中，可以得到：(x, y) ≤ ||x|| ||y||因此，柯西不等式的向量形式成立。

柯西不等式的向量形式在线性代数中具有广泛的应用。

它可以用于衡量向量的相似度、判断向量是否正交、估计向量的模等。

例如，在信号处理中，柯西不等式可以用于衡量信号的相似度，从而实现信号的匹配和分类。

此外，在优化问题中，柯西不等式可以用于构造优化算法的目标函数，从而实现最优化。

向量法证明不等式(精选多篇)向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈r，i=1，…，n)规定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即例1设a，b，c∈r+，求证：(a+b+c)≤++≤.证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，则由综上，原不等式成立.点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.作单位向量j⊥acj(ac+cb)=jabjac+jcb=jabjcb=jab|cb|cos(π/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)即|cb|sinc=|ab|sinaa/sina=c/sinc其余边同理在三角形abc平面上做一单位向量i,i⊥bc,因为ba+ac+cb=0恒成立，两边乘以i得i*ba+i*ac=0①根据向量内积定义，i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。

构造向量巧解有关不等式问题新教材中新增了向量的内容，其中两个向量的数量积有一个性质：a b a b ⋅=⋅||||cos θ（其中θ为向量a 与b 的夹角），则|||||||cos |a b a b ⋅=⋅θ，又-≤≤11cos θ，则易得到以下推论：（1）a b a b ⋅≤⋅||||；（2）||||||a b a b ⋅≤⋅；（3）当a 与b 同向时，a b a b ⋅=⋅||||；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-⋅||||； （4）当a 与b 共线时，||||||a b a b ⋅=⋅。

下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。

一、证明不等式例1 已知a b R a b a b 、，，求证：∈+=+++≤+1212122。

证明：设m=（1，1），n a b =++()2121，，则m n a b ⋅=+++2121||||m n a b ==+++=221212，由性质m n m n ⋅≤⋅||||，得212122a b +++≤ 例2 已知x y z x y z ++=++≥113222，求证：。

证明：设m=（1，1，1），n=（x ，y ，z ），则 m n x y z m n x y z ⋅=++===++13222||||， 由性质||||||m n m n x y z ⋅≤++≥22222213，得 例3 已知a ，b ，c ∈+R ，求证：a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++。

证明：设m a b c b c a c a b=+++()222，，，n b c a c a b =+++()，，， 则m n a b c ⋅=++||||()m a b c b a c c a bn a b c =+++++=++2222，由性质||||||m n m n ⋅≤222，得a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++ 例4 已知a,b 为正数，求证：()()()a b a b a b 4422332++≥+。

三角不等式向量形式摘要：一、三角不等式的基本概念1.三角不等式的定义2.三角不等式的几何意义二、向量形式的三角不等式1.向量形式的定义2.向量形式的几何意义三、三角不等式在向量中的应用1.向量加法2.向量数乘3.向量模长的比较四、结论1.三角不等式向量形式的重要性2.三角不等式向量形式在实际问题中的应用正文：一、三角不等式的基本概念三角不等式，又称为三角形不等式，是指对于任意实数a、b，都有a + b > |a - b|。

这个不等式在数学中有着广泛的应用，特别是在几何和向量分析中。

从几何角度理解，三角不等式表示的是在平面上任取两点，连接这两点的线段长度总是大于或等于这两点间的距离。

这个不等式揭示了距离与角度之间的关系，是理解向量概念的重要工具。

二、向量形式的三角不等式向量形式的三角不等式是指对于任意两个向量a 和b，都有|a + b| <= |a| + |b|。

这里，|a|和|b|分别表示向量a 和向量b 的模长。

从几何角度理解，向量形式的三角不等式表示的是在平面上任取两个向量，这两个向量首尾相接所构成的三角形的周长总是小于或等于这两个向量的模长之和。

三、三角不等式在向量中的应用三角不等式在向量分析中有广泛的应用，以下是一些具体的例子：1.向量加法：在向量加法中，三角不等式可以用来证明向量的三角形法则，即对于任意两个向量a 和b，都有|a + b| <= |a| + |b|。

2.向量数乘：在向量数乘中，三角不等式可以用来证明向量的数乘公式，即对于任意向量a 和标量c，都有|c * a| = |c| * |a|。

3.向量模长的比较：在比较两个向量的模长时，三角不等式可以用来证明对于任意两个向量a 和b，都有|a| <= |a + b| <= |a| + |b|。

四、结论总的来说，三角不等式向量形式是理解向量和几何关系的重要工具。

它在向量加法、向量数乘、向量模长的比较等问题中都有重要的应用。

向量的三角不等式证明1. 引言大家好！今天咱们要聊的这个话题可能听起来有点高深，但别担心，我会尽量让它变得简单明了。

我们要谈论的就是“向量的三角不等式”。

没错，就是数学里那个看起来很复杂的概念，但其实只要我们用简单的语言来解释，它就会变得像吃糖果一样简单。

2. 向量的基本概念在开始之前，我们先得搞清楚“向量”是什么。

你可以把向量想象成一个有方向的箭头。

举个例子，假设你在一个广阔的草地上，想象你从一个点出发，朝着另一个点走，这个过程就好比是一个向量。

它不仅告诉你要走多远，还告诉你走的方向。

2.1 向量的加法现在，假设你要从家里出发，到学校去。

你可以先走到公园，然后再从公园走到学校。

这两个过程可以合起来，形成一个从家到学校的直线路程。

这个合成的过程就像是向量的加法。

如果你把它们放在一起，这个合成向量就等于你从家到学校的直线距离。

2.2 向量的长度向量的长度（或者说“模”）就是你从出发点到终点的实际距离。

就像你从家到学校的距离，不管你是绕路还是直走，最终的距离还是你实际走过的长度。

3. 三角不等式的内容现在我们进入正题——三角不等式。

这个不等式就像是一个简单的规则，告诉我们两个向量加起来的长度永远不会超过这两个向量各自长度的和。

3.1 三角不等式的直观理解想象一下，你正在玩一场接力赛。

你和你的队友每个人都需要跑一定的距离。

现在，假设你们可以选择最短的跑法，那么你们总能跑得比直接从起点到终点更快。

换句话说，跑两段距离的总和总是大于等于从起点到终点的直线距离。

这就是三角不等式的直观感受。

3.2 三角不等式的数学证明接下来，我们用一点点数学来证明这个不等式。

假设你有两个向量 ( mathbf{a} ) 和( mathbf{b} )。

我们要证明的是：[ | mathbf{a} + mathbf{b} | leq | mathbf{a} | + | mathbf{b} | ]。

其中，( | mathbf{a} | ) 和 ( | mathbf{b} | ) 分别是向量 ( mathbf{a} ) 和 ( mathbf{b} )的长度。

向量解决不等式
向量在解决不等式问题时，主要用途是作为连接不同问题之间的桥梁，或者作为创造新的解题方法的工具。

以下是一个使用向量来解决不等式问题的简单例子。

例题：设a, b, c, d是实数，且a²+ b²= c²+ d²。

我们需要证明：ac + bd ≥√(a²+ b²) * √(c²+ d²)。

证明：为了证明这个不等式，我们可以构造两个向量并用向量的点积来进行证明。

设向量A = (a, b)，向量B = (c, d)。

根据向量点积的定义，向量A与向量B的点积为a*c + b*d。

由于$a^2 + b^2 = c^2 + d^2$，根据向量的模长公式，我们可以得到向量A 的模为√(a²+ b²)，向量B的模为√(c²+ d²)。

根据向量点积的性质，当两个向量的模长确定时，它们的点积取得最大值当且仅当这两个向量是共线的，并且它们的方向相同。

因此，向量A与向量B的点积不大于√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2)。

整理上述不等式，我们可以得到ac + bd ≥√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d²)。

因此，我们证明了给定的不等式。

向量三角不等式是：
将两个向量换为任意两个复数，定理仍成立。

三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。

三角不等式虽然简单，但却是平面几何不等式里最为基础的结论。

三角不等式来自于这样一个我们日常生活的经验：
两点之间直线段最短，或者说三角形任意两边之和大于第三边。

用数学语言描述，就是：d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。

三角不等式在不同的内积空间有不同的形式，我们最熟悉的就是绝对值不等式：|x-y|≤|x-z|+|z-y|，这里令x-z=a，z-y=b，有：|a+b|≤|a|+|b|。

真题四 平面向量与不等式一、单选题1．已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =（ ） A 2B ．2 C ．2D ．50【答案】A 【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-， 所以22||(1)12a b -=-+=故选A2．已知向量()2,3a =，()1,b λ=-，若向量2a b -与向量a 共线，则b =（ ） A ．32-B ．132 C 13 D ．134【答案】B 【解析】由向量坐标运算得到2a b -，根据向量共线可构造方程求得λ，由模长的坐标运算得到结果. 【详解】()24,32a b λ-=-，又向量2a b -与向量a 共线，()432λλ∴=--，解得：32λ=-，()2239131124b ⎛⎫∴=-+-=+= ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】结论点睛：若()11,a x y =与()22,b x y =共线，则1221x y x y =. 3．在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C4.已知,,a b c 均为单位向量，且22a b c +=，则a c ⋅=（ ） A ．12-B ．14-C ．14D ．12【答案】C 【解析】由22a b c +=两边平方得14-⋅=a b ，又因为22a b c +=可得()1=22+c a b ，再计算a c ⋅即可得结果． 【详解】 由()()2222+=a bc 得222444++⋅=ab a b c因为,,a b c 均为单位向量，则1a b c ===，所以14-⋅=a b ， 又()1=22+c a b ，所以()()21111122122224⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=-= ⎪⎝⎭a c a a b a a b故选：C ．5．已知,a b 是相互垂直的单位向量，与,a b 共面的向量c 满足2,a c b c ⋅⋅＝＝则c 的模为（ ） A ．1 B 2C ．2D ．22【答案】D 【解析】根据,a b 是相互垂直的单位向量，利用坐标法以及数量积的坐标表示，建立方程进行求解即可. 【详解】,a b 是相互垂直的单位向量，不妨设()1,0a =，()0,1b =， 设(),c x y =，由2,a c b c ⋅⋅＝＝ 可得2x y ==，即()2,2c =， 则c 的模为2222822c =+==.故选：D6．若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】B 【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B.7．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D 【解析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意；D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.故选：D.8．已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ） A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=. ()22222526367a b a b a a b b +=+=+⋅+=-⨯+，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.9．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)-【答案】A 【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.10．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ） A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C 【解析】 由题意1,11yy x y -≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.11．设2log 3a =，24log 3b =，则2a b +，ab ，ba 的大小关系为（ ） A ．2ab b ab a +>> B ．2a b b ab a +>> C ．2a b b ab a +>> D ．2b a bab a +>> 【答案】C 【解析】由已知得1,0a b >>且2a b +=，然后结合基本不等式与中间值1比较，用不等式的性质比较大小可得． 【详解】易知：0,0a b >>,12a b +=，()214a b ab +<=，1b ab a a >⇔>，显然成立. 所以2a b bab a+>>．故选：C ．12．已知,a b 是平面向量，满足||2,||1a b =≤，且322b a -≤，记a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值是（ ） A ．1116B ．78C 15D 315【答案】B 【解析】先给322b a -≤两边平方然后展开，代入2a =，得到2143a b b⋅≥+，然后利用23||113||4cos 8||||2||2||b a b b a b b b θ+⋅=≥=+⋅，然后当1b ≤时，求解cos θ的最小值. 【详解】由322b a -≤得，()2223294124b ab a a b -=+-⋅≤，所以2143a b b ⋅≥+.则23||113||4cos 8||||2||2||b a b b a b b b θ+⋅=≥=+⋅⋅ 令函数13()28xf x x =+，因为()f x 在[]0,1上单调递减. 又因为1b ≤，故当1b =时，cos θ取得最小值，最小值为78. 故选：B 【点睛】本题考查向量间夹角余弦值的取值范围的计算问题，解答的一般思路为：当已知a ，b 和a b λμ+(其中,λμ为常数)时，一般采用平方法，得到2a b λμ+然后展开，得到cos θ的值.13．已知a ，b ，R c ∈，若关于x 不等式01a cx b x x≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（ ）A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= 【答案】D 【解析】根据1>0x ，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论． 【详解】由题意不等式20x bx a c x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，即220x bx a x bx a c x ⎧++≥⎨++≤-⎩的解集是[]{}123,x x x ⋃，则不等式20x bx a ++≥的解是{|x 2x x ≤或3x x ≥}，不等式2x bx a c x ++≤-的解集是13{|}x x x x ≤≤， 设1x m =，21x m =+，3x n =(1)m n +<， 所以0c n -=，n c =，1m +和n 是方程20x bx a ++=的两根，则11b m n m c -=++=++，(1)a m n mc c =+=+， 又22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-， 所以m 是2x bx a c x ++=-的一根， 所以存在无数对(,,)a b c ，使得211x x -=． 故选：D ．14．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A ．a <0 B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C 【解析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点 为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C15．已知22220,0,3,3a b a b ab a b >>+-=-≤，则+a b 的最小值是（ ）A ．22B ．3C ．23D ．4【答案】B 【解析】将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，令3233ba θθ⎧-=⎪⎪=，根据0,0a b >>确定203θπ<<，得到22a b -2323πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后由223a b -≤，，进一步确定62ππθ≤≤，然后由33sin 236a b πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数性质求解.【详解】因为222222344b b a b ab a b ab +-=+-++， 223324b b a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，令3233ba θθ⎧-=⎪⎪=，则3sin 2sin 32sin a b πθθθθ⎧⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩， 因为0,0a b >>，所以sin 03sin 0πθθ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，即030πθπθπ⎧<+<⎪⎨⎪<<⎩， 解得203θπ<<， 所以)()22223sin 2sin a b θθθ-=+-，2223cos 23sin cos sin 4sin θθθθθ=++-，()223cos sin 23cos θθθθ=-+3cos23sin 2θθ=，2323πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为203θπ<<， 所以52333ππθπ<+<，因为223a b -≤，所以33sin 23πθ⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭ 解得242333ππθπ≤+≤， 所以62ππθ≤≤，则2363πππθ≤+≤， 所以33sin 233,236a b πθθθ⎛⎫⎡⎤+=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭， 所以+a b 的最小值是3， 故选：B关键点点睛：本题关键是将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，利用三角换元，转化为三角函数求解. 二、多选题16．已知0a b c >>>且1abc =，则下列结论中一定成立的是（ ） A ．1b = B ．1ab >C ．01bc <<D ．22a c +>【答案】BCD 【解析】由0a b c >>>且1abc =，可以得到1a >，01c <<，然后结合不等式的性质容易对A ，B ，C 选项进行判断，然后利用基本不等式可对D 选项进行判断. 【详解】A ：因为0a b c >>>且1abc =，所以331c abc a <=<，即1a >，01c <<，b 不一定等于1，故A 项不一定成立；B ：因为01c <<，所以11ab c =>，所以B 项一定成立； C ：因为1a >，所以101bc a<=<，C 项一定成立；D ：22211222a a c a a ab ab b+=+≥⋅，D 项一定成立. 17．已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则（ ） A ．ab 的最大值为14B ．2b a b+的最小值为22C ．221155a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为15D ．2221a b a b +++的最小值为94 【答案】AC 【解析】对于选项A ，直接根据基本不等式可求得结果；对于选项B ，化为积为定值的形式后，根据基本不等式求出最小值可得答案； 对于选项C ，变形后利用二次函数求出最小值可得答案； 对于选项D ，变形后利用基本不等式求出最小值可得答案. 【详解】对于选项A ，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取“=”，故A 正确；对于选项B ，22222b b a b b aa b a b a b++=+=++≥222， 当且仅当222b a ==“=”，故B 错误；对于选项C ，22222111()55525a b a b ab +⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222121111()()5525555ab a b ab ab ⎛⎫=++-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当15ab =时取“=”，故C 正确； 对于选项D ，22a a ++222(22)(11)121b a b b a b +-+-=++++ 41241221a b a b =+-+++-+++ 41221a b =+-++， 令2s a =+，1t b =+，则4s t +=，所以4121a b +++=141(4s s t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭14)414t s t s t ⎛⎫=+++⎪⎝⎭ 1495244t s s t ⎛≥+⋅= ⎝， 当且仅当2s t =，即43t =，83s =时取“=”，所以41221a b +-++91244≥-=， 所以221214a b a b +≥++，当且仅当23a =，13b =时取“=”，故选项D 错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题常采用常数代换法，其解题步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；（4）利用基本不等式求解最值． 18．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D 2a b 【答案】ABD 【解析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(21212a bab a b =+≤++=，2a b 12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD 三、填空题19．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，且a b ⊥，则a b -=___________. 10【解析】由垂直的坐标表示求得x ，再由模的坐标运算求解． 【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，2x =，则(1,3)a b -=，所以221310a b -=+= 10．20．已知点(),C x y 在线段():41,AB x y x y ++=∈R 上运动，则xy 的最大值是____________．【答案】116【解析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：由题设()41,x y x y ++=∈R 可得：4124x y xy +=≥142xy ≤， ∴144xy ≤，即116xy ≤，当且仅当142x y ==时取“=”， 故答案为：116．21．已知a ，b 为实数，则221214a b ++______2ab a +．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）【答案】≥ 【解析】利用作差法，配方即可比较大小. 【详解】()2222112121042a b ab a a b a ⎛⎫++--=-+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =，2b =取等号． 故答案为：≥22．若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．【答案】8 【解析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x =-，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x =-，当直线经过点A 时，直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y -=-⎧⎨-=⎩的解，解得：23x y =⎧⎨=⎩，因此2z x y =+的最大值为：2238+⨯=. 故答案为：8.23．若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最大值是___________.【答案】1- 【解析】根据约束条件作出可行域以及直线3z x y =-过点A 时在y 轴上的截距最小，z 有最大值，得出答案. 【详解】根据约束条件02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图所示，由2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得()2,1A将目标函数3z x y =-化为133z y x =-， z 表示直线133z y x =-在y 轴上的截距的相反数的13故当直线133zy x =-在y 轴上的截距最小时，z 有最大值.当直线133zy x =-过点（2,1）时在y 轴上的截距最小，z 最大，由A (2,1)知z 的最小值为2311-⨯=- 故答案为：1-24．已知向量a ，b 满足3a b +=，0a b ⋅=．若()1c λa λb =+-，且c a c b ⋅=⋅，则c 的最大值为______． 【答案】32【解析】令M a A =，MB b =，利用已知作出以AB 为直径作直角三角形ABM 的外接圆O ，令AN MB =，连接MN ．设c AC =，由已知点C 在直线MN 上，【详解】令M a A =，MB b =，则a b AM MB AB =++=，故3AB =，又0a b ⋅=，所以AM MB ⊥．以AB 为直径作直角三角形ABM 的外接圆O ，进而得出当NM AB ⊥时，AC 即c 取得最大值．令AN MB =，连接MN ．设c AC =，因为()1c λa λb =+-⋅，所以点C 在直线MN 上，又c a c b ⋅=⋅，所以()0c a b ⋅-=，即0AC NM ⋅=，所以AC NM ⊥．结合图形可知，当NM AB ⊥时，AC 即c 取得最大值，且32c AO ==．故答案为：3225．已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】22【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值. 【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22． 26．设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________. 3【解析】整理已知可得：()2a b a b +=+，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形可得：222a b a a b b -=-⋅+，问题得解.【详解】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=327．平面向量OA ､OB ､OC ，满足24OA OB ==，()()20OC OA OC OB -⋅-=，0OA OB ⋅=，则对任意[]0,2θπ∈，11cos sin 42OC OA OB θθ--⋅的最大值为___________. 【答案】221 【解析】建立平面直角坐标系，可得点C 的轨迹方程为()()22112x y -+-=，然后化简所求式子，转化为两个圆的点之间的最大值问题，简单判断即可. 【详解】由0OA OB ⋅=，24OA OB ==，可设()()()4,0,0,2,,A B C x y由()()20OC OA OC OB -⋅-=，把坐标代入化简可得：()()22112x y -+-= 所以点点C 的轨迹方程为()()22112x y -+-= 又()()11cos sin ,cos ,sin 42OC OA OB x y θθθθ--⋅=-， 所以求11cos sin 42OC OA OB θθ--⋅的最大值即两个圆()()22112x y -+-=、221x y +=上动点最大值，如图所示;当过两圆的圆心时，有最大即221MN = 故答案为：22128．已知向量a ，b ，c 满足22a b c b -+==，b a -与a 的夹角为34π，则c 的最大值为______．【答案】22【解析】根据题意设OA b a =-，OB b =，OC c =，则a AB =，b a c OA OC CA --=-=，1OB =，2CA =由条件可得4OAB π∠=，1OB =后能结合正弦定理得到动点A 的轨迹，利用2CA =C 的轨迹，然后数形结合得到OC 的最大值，即c 的最大值. 【详解】 因为22a b c b -+==，所以2a b c -+=，1b =．设OA b a =-，OB b =，OC c =，则a AB =，b ac OA OC CA --=-=，1OB =，2CA =因为b a -与a 的夹角为34π，所以4OAB π∠=，OAB 的外接圆的直径为：122sin sin4OB R AOB π===∠ 则动点A 2D 中的优弧OB （不含点O ，B ）， 由2CA =C 的轨迹是以A 2结合图形可知，当点O ，D ，A ，C四点共线，且C 在线段OA 的延长线上时，OC 最大，且最大值是22 故c 的最大值为22 故答案为：22【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算和模长的最值问题，解答本题的关键是在OAB 中，根据题意得到4OAB π∠=，1OB =后能结合正弦定理得到动点A 的轨迹，利用2CA =C 的轨迹，然后数形结合得到OC 的最大值，即c 的最大值．属于中档题.29．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m （单位：万件）与广告费用x （单位：万元）符合函数模型231m x =-+．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入_______万元． 【答案】3 【解析】设李明获得的利润为()f x 万元，求出()f x 关于x 的表达式，利用基本不等式可求得()f x 的最小值及其对应的x 的值. 【详解】设李明获得的利润为()f x 万元，则0x ≥， 则()()()21616168832425125211111f x m x x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--=--=-++≤-+ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦25817=-=，当且仅当1611x x +=+，因为0x ≥，即当3x =时，等号成立. 故答案为：3.30．已知正实数x ，y ，a ，b 满足a bx yxy ==，其中1x >，1y >，则4911a b +--的最小值为______. 【答案】12 【解析】 解法一根据ab x y xy ==可知11()a b xy xy +=，得到a b ab +=，然后变形所求的式子并结合基本不等式可知结果. 解法二对a b x y xy ==取对数可知lg lg lg x y a x +=，lg lg lg x yb y+=，然后代入所求式子并结合基本不等式可知结果. 【详解】解法一 由abxyxy ==得1()a xy x =，1()b xy y =，所以11()a b xy xy +=，所以111a b+=，即a b ab +=，所以4949139413941311(1)(1)()1b a a b a b a b a b ab a b +-+-+===+------++. 因为111a b +=，所以114994(94)1325b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当49b a a b =时等号成立.故491211a b +≥--，所以4911a b +--的最小值为12. 解法二 对a b x y xy ==两边同时取对数，得lg lg lg x y a x +=，lg lg lg x yb y+=，所以494lg 9lg 1211lg lg x y a b y x +=+≥--，当且仅当23x y =时等号成立，所以4911a b +--的最小值为12. 故答案为：12 【点睛】关键点定睛：解法一关键在于得到111a b+=，解法二结合对数，同时两种解法都使用基本不等式. 31．已知数列{}n a 是等差数列，11a ≥-，22a ≤，30a ≥，则153z a a =-的最大值是______． 【答案】16 【解析】由等差数列得通项公式可的1111220a a d a d ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩设1a x =，d y =，则不等式组等价为1220x x y x y ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，15324z a a x y =-=-，利用线性规划知识求最值即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，1111220a a d a d ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，设1a x =，d y =，则不等式组等价为1220x x y x y ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，对应的可行域为如图所示的三角形ABC 及其内部，由15132424a a a d x y -=-=-，由24z x y =-可得124z y x =-， 作12y x =沿着可行域的方向平移，当直线过点A 时，z 取得最大值． 由220x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得()4,2A -， 所以 ()max 244216z =⨯-⨯-=， 故答案为：1632．设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 【答案】2829【解析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得1234e e ⋅≥，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 四、双空题33．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132【解析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC ABλλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()22253332113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 五、解答题34．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）（1）写单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩（2）故当施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元． 【解析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；（2）分段判断()f x 的单调性，及利用基本不等式求出()f x 的最大值即可． 【详解】（1）依题意()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x xx x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩ 所以27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩．（2）当02x 时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15x =， ()f x ∴在[0，1]5上单调递减，在1(5，2]上单调递增，()f x ∴在[0，2]上的最大值为()2465f =．当25x <时，2525()78030(1)78030(1)48011f x x x x x=-++-⨯+++， 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()480max f x =．答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．。