高中数学集合逻辑函数向量数列不等式立体几何综合

2023年高考数学试卷知识点分配
2023年高考数学试卷各部分知识点分配如下：
选择题40分，涉及集合、简易逻辑、数列、三角函数、立体几何、圆锥曲线、概率与统计、导数、算法、线性规划、不等式、向量、复数和三视图等知识点。

填空题30分，主要考察三角恒等变换的应用及正弦型函数的性质、数列知识点和几何计算等。

解答题80分，涉及三角函数、数列、统计与概率、立体几何、函数与导数和解析几何等知识点。

试题难度及分配比例为：较易试题占30%，中等试题占40%，较难试题占30%。

以上信息仅供参考，高考数学试卷的具体知识点分配可能会根据地区和考试科目的不同而有所差异。

建议查阅所在地区的高考数学大纲或考试说明，以获取更准确的信息。

高中数学知识点集合归纳总结高中数学是学生在中学阶段接触的较为深入的数学知识体系，它涵盖了代数、几何、概率统计等多个领域。

本文将对高中数学的主要知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这些概念。

一、代数代数部分是高中数学的核心内容之一，主要包括以下几个方面：1. 集合与函数- 集合的概念、运算及其性质。

- 函数的定义、性质和常见类型（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等）。

- 函数的图像、变换（平移、伸缩、对称）及其应用。

2. 代数式的运算- 整式的加减乘除、因式分解。

- 分式的运算法则及其化简。

- 二次根式的运算法则和化简。

3. 方程与不等式- 一元一次方程、一元二次方程的解法。

- 高次方程的解法（如因式分解、配方法）。

- 线性不等式及其解集的表示。

- 二次不等式的解法和图像表示。

4. 序列与数列- 等差数列、等比数列的定义、通项公式和求和公式。

- 数列的极限概念及其计算。

二、几何几何部分包括平面几何和立体几何，是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要内容：1. 平面几何- 平行线与垂线的性质。

- 三角形的分类、性质和面积计算。

- 圆的性质、圆周角定理、垂径定理等。

- 相似三角形和相似多边形的判定与性质。

2. 立体几何- 空间几何体的性质、表面积和体积计算。

- 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等立体图形的几何特征。

- 空间直线与平面的位置关系。

三、概率与统计概率与统计部分是高中数学中应用性较强的领域，涉及随机事件的概率计算、数据处理等：1. 概率- 随机事件的概率定义及其计算。

- 条件概率、独立事件的概率。

- 排列组合的基本原理和公式。

2. 统计- 数据的收集、整理和描述。

- 统计图表（如条形图、饼图、直方图）的绘制和解读。

- 样本与总体的概念，抽样分布，正态分布的特性。

四、微积分微积分是高中数学的进阶内容，主要介绍函数的极限、导数和积分的基本概念：1. 极限与连续- 函数极限的定义、性质和计算。

高中数学知识总结归纳（打印版）引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

系列4：由10个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质 示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B = A(B)或B A真子集 A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B(2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 名称 记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集U A ð{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ð 2()U A A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．()()()U U U A B A B =痧?()()()U U U A B A B =痧?②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．yxo利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y fx -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a ∆=-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f kxy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔x y1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k 0<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kxy1x 2x O ∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

高中数学大纲
高中数学大纲通常包括以下内容：
集合与逻辑：学生需要了解集合的基本概念、集合之间的关系，以及基本的逻辑概念。

函数与方程：学生需要理解函数的基本概念、函数的性质，以及如何求解方程。

不等式：学生需要掌握一元二次不等式、不等式的运算规则、不等式的解法等。

数列：学生需要了解等差数列、等比数列的基本概念、性质，以及如何求解数列的通项公式。

平面解析几何：学生需要掌握直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质，以及如何求解这些曲线的方程。

立体几何：学生需要了解平面、直线、圆、球等基本几何概念、性质，以及如何求解立体几何问题。

概率与统计：学生需要理解概率的基本概念、统计的方法，以及如何进行概率计算和统计分析。

导数与微积分：学生需要了解导数的概念、性质，以及如何求解函数的导数。

同时还需要掌握微积分的基本概念、性质，以及如何进行微积分计算。

算法与程序：学生需要了解算法的基本概念、程序的基本结
构，以及如何编写程序实现特定的算法。

数学建模：学生需要了解数学建模的基本概念、方法，以及如何应用数学建模解决实际问题。

以上是高中数学大纲的一般内容，具体的教学内容和难度可能会因学校和地区的不同而有所差异。

高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立体几何综合测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．1. 若非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则必有S a ∈-6，则所有满足上述条件的集合S 共有A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个 2. 命题P ：若函数()f x 有反函数，则()f x 为单调函数；命题Q ：111222a b c a b c == 是不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>(121212a a b b c c ，，，，，均不为零)同解的充要条件，则以下是真命题的为A ．P ⌝且QB ．P 且QC ．P ⌝或QD ．P 或Q3. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =A ．42 B ．22 C ．41 D ．21 4. 如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为C.32D. 3左视图主视图俯视图5. 已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线0223=+-y x 平行，若数列})(1{n f 的前n 项和为n S , 则2012S 的值为 A ．20102009 B ．20112010 C ．20122011 D ．201320126. 若m b a m a f 2)13()(-+-=，当]1,0[∈m 时，1)(≤a f 恒成立，则b a +的最大值为A ．31 B ．32 C ．35D ．37 7. 已知a 、b 是不共线的向量，()AB AC R λμλμ=+=+∈，，a b a b ，那么A B C 、、三点共线的充要条件为A ．1λμ=B ．1λμ=-C ．1=-μλD ．2λμ+=8. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+则ABC ∆的形状是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9. 设函数()(sin cos )(02011),xf x e x x x π=-≤≤则函数()f x 的各极大值之和为A.20122(1)1e e e πππ－－ B. 1006(1)1e e e πππ－－C. 10062(1)1e e e πππ－－D.20102(1)1e e eπππ－－ 10. ()x f y =的定义域为R ，且()(),22x f x f -=+()()x f x f -=+77在[]7,0上只有()()031==f f ，则()x f 在]2012,2012[-上的零点个数为A ．403B ．402C ．806D ．80511. 函数()22x xf x -=-的反函数为)(1x f-，则使不等式1()2f x ->成立的x 的取值范围为 A ．15(,)4-+∞ B ．15[0,)4C ．15(,0)4-D ． 15(,)4-∞-12. 已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---≤⎩，关于方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦（a 为正实数）的根的叙述有下列四个命题①存在实数a ，使得方程恰有3个不同的实根； ②存在实数a ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数a ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数a ，使得方程恰有6个不同的实根；其中真命题的个数是A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内． 13. 定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于)0,1(成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，ts的取值范围 ．14. 已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若9,3,1341≤>>S a a ，设122,n n n n b a b b b =+++则的结果为 ．15. 已知正项数列{}n a )0*,(>∈n a N n 的前n 项和n S 满足：12+=n n a S ；设392+-=n n a b ，则数列{}n b 的前n 项和的最大值为___________．16. 如图，直线l α⊥平面，垂足为O ，已知长方体1111ABCD A B C D -中，15,6,8AA AB AD ===该长方体做符合以下条件的自由运动：（1）A l ∈;（2）C α∈,则1,C O 两点间的最大距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本题满分10分）已知集合{}2150A x x px ⊆-+=，{}250B x x x q ⊆-+=，{}2,3,5A B =，{}3A B =，求集合A 和B.PABCC第20题图18. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,21=a ,点(1+n S , n S )在直线n n y n nx +=+-2)1((*N n ∈)上.a1=2（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设,211-+=++n n n n n S S S S T 证明：.334321<++++≤n T T T T 19. （本题满分12分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-==代入③得 sin sin 2sin cos22A B A BA B +-+=. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin22A B A BA B +--=-； (Ⅱ)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos 2cos 21cos 2A B C -=-,试判断ABC ∆的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)20. （本题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，22,4======BC AB AC PC PB PA .（1）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值； （3）若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角C PA M --的余弦值为322，求BM 的最小值. 21. （本题满分12分）已知正数数列}{n a 和{}n b 满足：对任意n ，1,,n n n a b a +成等差数列，且总有1n a +=（1）判断数列是否为等差数列；（2）若1121,2,3,a b a ===求数列}{n a 和{}n b 的通项公式．22. （本题满分12分）已知函数x x x f 2)(2-=, )(x g 是R 上的奇函数，且当]0,(-∞∈x 时，2)()(x x f x g =+．（Ⅰ）求函数)(x g 在R 上的解析式；（Ⅱ）若函数+-=)()([)(x f x g x x h λ23]在),0(+∞上是增函数，且0≤λ，求λ的取值范围．试题答案1-5BCBCD 6-10DABDD 11-12DA 13. 1[,1]2-14. 12n n +⋅ 15. 190 16. 255+ 17. 由3A ∈，{}2150A x x px ⊆-+=，得8;p =…….3分由3B ∈，{}250B x x x q ⊆-+=，得 6.q =………….6分{}2,2,2,2,3A B A B B ∈∉∴∈∴=………….8分 {}3,3,3,5,3A B B A A ∈∉∴∈∴=……….10分18. 解：（I ）n n y n nx S S n n +=+-+21)1(),(在直线 上，,111=-+∴+nS n S nn …………………………………………1分 ∴{nS n}构成以S 1=a 1=2为首项，公差为1的等差数列， 分而时当分6*).(2,2,2)1()1(,24.,1)1(212212 N n n a a n n n n n S S a n n n S n n nS n n n n n n∈=∴==----+=-=≥+=∴+=⨯-+=∴- 证明：（II ）n n S n +=2.322123)]211()4121()311[(210).1(34,0)2(4,*8,22222122122221121<+-+-=+-++-+-=+++==≥+++∴>+=∈+-=-+++-=-+++=∴n n n n T T T n T T T T n n T N n n n n n n n n n T n n n n 又分时取等号时分∴原不等式成立.……………………………………………………………………12分19. 解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------①cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，------②…………………1分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-.------③……………………2分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==， 代入③得cos cos 2sin sin22A B A BA B +--=-.………………………………5分 (Ⅱ)由二倍角公式,cos2cos21cos2A B C -=-可化为22212sin 12sin 112sin A B C --+=-+,…………………………………7分所以222sin sin sin A C B +=.…………………………………10分 设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可得222a cb +=.………………………………11分根据勾股定理的逆定理知ABC ∆为直角三角形.…………………………………12分 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2cos21cos2A B C -=-可化为()()22sin sin 112sin A B A B C -+-=-+，…………………………………7分因为A,B,C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=， 所以()()()2sin sin sin A B A B A B -+-=+. 又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠, 所以()()sin sin 0A B A B ++-=.从而2sin cos 0A B =.……………………………………………10分 又sin 0A ≠,所以cos 0B =，故2B π∠=.……………………………………11分所以ABC ∆为直角三角形. ………………………………12分 20. (满分12分)解：（1）取AC 中点O,因为AP=BP ，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC 为直角三角形， ∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB∴OP⊥平面ABC, ∵OP 在平面PAC 中，∴平面ABC ⊥平面APC 4分 （2） 以O 为坐标原点,OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0), C(0,2,0),P(0,0, 32), 5分 ∴)32,2,0(),32,0,2(),0,2,2(=-=-=→→→AP PB BC 设平面PBC 的法向量),,(1z y x n =，由0,011=∙=∙n n 得方程组⎩⎨⎧=-=+-0322022z x y x ，取)1,3,3(1=→n 6分∴ 721,cos 1>=<→→n AP ∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为721。

高中数学学什么内容？高中数学是学生接受高等教育的基础，它不仅为后续学习高等数学、物理、化学等学科打下良好基础，更能提升学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力。

那么，高中数学具体学什么内容呢？一、函数与方程函数是数学的核心概念之一，是解释变量之间关系的有力工具。

高中数学中，学生将学习多种函数类型，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并掌握其性质和应用。

同时，方程是函数的另一种表达形式，在高中数学中也扮演着重要角色。

学生将学习一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等，并掌握其解法和应用。

二、几何与向量几何是研究图形性质和空间关系的学科，高中数学中，学生将学习平面几何和立体几何，并掌握基本图形的性质和定理。

向量是描述力、速度等物理量的重要工具，在高中数学中也占有重要地位。

学生将学习向量的概念、运算和应用，并用向量解决几何问题。

三、数列与不等式数列是研究数的排列规律的学科，高中数学中，学生将学习等差数列、等比数列、等差数列等，并掌握其性质和应用。

不等式是比较大小关系的有力工具，在高中数学中也发挥着重要作用。

学生将学习不等式的性质、解法和应用，并用不等式解决问题。

四、概率与统计概率与统计是研究随机现象的学科，高中数学中，学生将学习概率的基本概念、计算方法和应用，并掌握数据的收集、整理、分析和推断等统计方法。

五、导数与积分导数与积分是微积分的重要组成部分，也是高等数学的基础。

高中数学中，学生将学习导数的概念、性质和应用，包括定积分的概念和简单的应用。

六、数学建模与应用数学建模是指用数学方法解决生活中的实际问题，高中数学中，学生将学习基本的数学建模方法，并尝试将数学知识应用到解决实际问题中。

总而言之，高中数学的内容涵盖了函数、方程、平面几何、向量、数列、不等式、概率、统计、导数、积分等多个方面，是学生接受高等教育和未来发展的重要基础。

学习高中数学，不仅能提升学生的数学素养，更能培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立体几何综合测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．1. 若非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则必有S a ∈-6，则所有满足上述条件的集合S 共有A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个 2. 命题P ：若函数()f x 有反函数，则()f x 为单调函数；命题Q ：111222a b c a b c == 是不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>(121212a a b b c c ，，，，，均不为零)同解的充要条件，则以下是真命题的为A ．P ⌝且QB ．P 且QC ．P ⌝或QD ．P 或Q3. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =A ．42 B ．22 C ．41 D ．21 4. 如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为C.32D. 3左视图主视图俯视图5. 已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线0223=+-y x 平行，若数列})(1{n f 的前n 项和为n S , 则2012S 的值为 A ．20102009 B ．20112010 C ．20122011 D ．201320126. 若m b a m a f 2)13()(-+-=，当]1,0[∈m 时，1)(≤a f 恒成立，则b a +的最大值为A ．31 B ．32 C ．35D ．37 7. 已知a 、b 是不共线的向量，()AB AC R λμλμ=+=+∈，，a b a b ，那么A B C 、、三点共线的充要条件为A ．1λμ=B ．1λμ=-C ．1=-μλD ．2λμ+=8. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+则ABC ∆的形状是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9. 设函数()(sin cos )(02011),xf x e x x x π=-≤≤则函数()f x 的各极大值之和为A.20122(1)1e e e πππ－－ B. 1006(1)1e e e πππ－－C. 10062(1)1e e e πππ－－D.20102(1)1e e eπππ－－ 10. ()x f y =的定义域为R ，且()(),22x f x f -=+()()x f x f -=+77在[]7,0上只有()()031==f f ，则()x f 在]2012,2012[-上的零点个数为A ．403B ．402C ．806D ．80511. 函数()22x xf x -=-的反函数为)(1x f-，则使不等式1()2f x ->成立的x 的取值范围为 A ．15(,)4-+∞ B ．15[0,)4C ．15(,0)4-D ． 15(,)4-∞-12. 已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---≤⎩，关于方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦（a 为正实数）的根的叙述有下列四个命题①存在实数a ，使得方程恰有3个不同的实根； ②存在实数a ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数a ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数a ，使得方程恰有6个不同的实根；其中真命题的个数是A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内． 13. 定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于)0,1(成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，ts的取值范围 ．14. 已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若9,3,1341≤>>S a a ，设122,n n n n b a b b b =+++则的结果为 ．15. 已知正项数列{}n a )0*,(>∈n a N n 的前n 项和n S 满足：12+=n n a S ；设392+-=n n a b ，则数列{}n b 的前n 项和的最大值为___________．16. 如图，直线l α⊥平面，垂足为O ，已知长方体1111ABCD A B C D -中，15,6,8AA AB AD ===该长方体做符合以下条件的自由运动：（1）A l ∈;（2）C α∈,则1,C O 两点间的最大距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本题满分10分）已知集合{}2150A x x px ⊆-+=，{}250B x x x q ⊆-+=，{}2,3,5A B =，{}3A B =，求集合A 和B.PABCC第20题图18. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,21=a ,点(1+n S , n S )在直线n n y n nx +=+-2)1((*N n ∈)上.a1=2（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设,211-+=++n n n n n S S S S T 证明：.334321<++++≤n T T T T 19. （本题满分12分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-==代入③得 sin sin 2sin cos22A B A BA B +-+=. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin22A B A BA B +--=-； (Ⅱ)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos 2cos 21cos 2A B C -=-,试判断ABC ∆的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)20. （本题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，22,4======BC AB AC PC PB PA .（1）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值； （3）若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角C PA M --的余弦值为322，求BM 的最小值. 21. （本题满分12分）已知正数数列}{n a 和{}n b 满足：对任意n ，1,,n n n a b a +成等差数列，且总有1n a +=（1）判断数列是否为等差数列；（2）若1121,2,3,a b a ===求数列}{n a 和{}n b 的通项公式．22. （本题满分12分）已知函数x x x f 2)(2-=, )(x g 是R 上的奇函数，且当]0,(-∞∈x 时，2)()(x x f x g =+．（Ⅰ）求函数)(x g 在R 上的解析式；（Ⅱ）若函数+-=)()([)(x f x g x x h λ23]在),0(+∞上是增函数，且0≤λ，求λ的取值范围．试题答案1-5BCBCD 6-10DABDD 11-12DA 13. 1[,1]2-14. 12n n +⋅ 15. 190 16. 255+ 17. 由3A ∈，{}2150A x x px ⊆-+=，得8;p =…….3分由3B ∈，{}250B x x x q ⊆-+=，得 6.q =………….6分{}2,2,2,2,3A B A B B ∈∉∴∈∴=………….8分 {}3,3,3,5,3A B B A A ∈∉∴∈∴=……….10分18. 解：（I ）n n y n nx S S n n +=+-+21)1(),(在直线 上，,111=-+∴+nS n S nn …………………………………………1分 ∴{nS n}构成以S 1=a 1=2为首项，公差为1的等差数列， 分而时当分6*).(2,2,2)1()1(,24.,1)1(212212 N n n a a n n n n n S S a n n n S n n nS n n n n n n∈=∴==----+=-=≥+=∴+=⨯-+=∴- 证明：（II ）n n S n +=2.322123)]211()4121()311[(210).1(34,0)2(4,*8,22222122122221121<+-+-=+-++-+-=+++==≥+++∴>+=∈+-=-+++-=-+++=∴n n n n T T T n T T T T n n T N n n n n n n n n n T n n n n 又分时取等号时分∴原不等式成立.……………………………………………………………………12分19. 解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------①cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，------②…………………1分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-.------③……………………2分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==， 代入③得cos cos 2sin sin22A B A BA B +--=-.………………………………5分 (Ⅱ)由二倍角公式,cos2cos21cos2A B C -=-可化为22212sin 12sin 112sin A B C --+=-+,…………………………………7分所以222sin sin sin A C B +=.…………………………………10分 设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可得222a cb +=.………………………………11分根据勾股定理的逆定理知ABC ∆为直角三角形.…………………………………12分 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2cos21cos2A B C -=-可化为()()22sin sin 112sin A B A B C -+-=-+，…………………………………7分因为A,B,C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=， 所以()()()2sin sin sin A B A B A B -+-=+. 又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠, 所以()()sin sin 0A B A B ++-=.从而2sin cos 0A B =.……………………………………………10分 又sin 0A ≠,所以cos 0B =，故2B π∠=.……………………………………11分所以ABC ∆为直角三角形. ………………………………12分 20. (满分12分)解：（1）取AC 中点O,因为AP=BP ，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC 为直角三角形， ∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB∴OP⊥平面ABC, ∵OP 在平面PAC 中，∴平面ABC ⊥平面APC 4分 （2） 以O 为坐标原点,OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0), C(0,2,0),P(0,0, 32), 5分 ∴)32,2,0(),32,0,2(),0,2,2(=-=-=→→→AP PB BC 设平面PBC 的法向量),,(1z y x n =，由0,011=∙=∙n n 得方程组⎩⎨⎧=-=+-0322022z x y x ，取)1,3,3(1=→n 6分∴ 721,cos 1>=<→→n AP ∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为721。

1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

系列4：由10个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用第 - 2 -页共 110页⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M，或者a M，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质第 - 3 -页共 110页示意图A(B)A B子集（或(1)A AA中的任一元素都属于B(2) A(3)若A B且B C，则A C (4)若A B且B A，则A BAB A)A B或A（A为非空子集） A B，且B中至（1）BA真子集少有一元素不属于（或B A） A(2)若A B且B C，则A C集合相等A BA中的任一元素都(1)A B属于B，B中的任一(2)B A元素都属于AnnnA(B)n（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2个子集，它有21个真子集，它有21个非空子集，它有22非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质（1）AI（2）AI（3）AI AI示意图交集AIB{x|x A,且x B} {x|x A,或x B}并集A AB A B B（1）AUA A （2）AU A （3）AUB A AUB B1痧U(AIB)(UA)U(?UB)痧U(AUB)(UA)I(?UB)AI(ðUA)ABAB补集ðUA{x|x U,且x A}2AU(ðUA)U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a0) {x|a x a}|x|a(a0) x|x a或x a}把ax b看成一个整体，化成|x|a，|ax b|c,|ax b|c(c0)|x|a(a0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法第 - 4 -页共 110页判别式b24ac二次函数0 0y ax2bx c(a0)的图象一元二次方程Oax2bx c0(a0)的根b b24acx1,22a（其中x1x2)x1x2b 2a无实根ax2bx c0(a0)的解集{x|x x1或x x2}{x|xb} 2aRax2bx c0(a0)的解集{x|x1x x2}〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:A B．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设a,b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b，或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x a,x a,x b,x b的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：对于集合{x|a x b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a b．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：第 - 5 -页共 110页①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤y tanx中，x k2(k Z)．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a g(x)b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数y f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x b(y)x c(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有b(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的第 - 6 -页共 110页22元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:A B．②给定一个集合A到集合B的映射，且a A,b B．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x<1．．．x时，都有f(x)<f(x)，212．．．．．．．．．．．．．那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x<1．．．x时，都有f(x)>f(x)，212．．．．．．．．．．．．．那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．图象判定方法（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数yy=f(X)f(x )1f(x )2ox1x2x函数的单调性yf(x )1y=f(X)f(x )2ox1x2x②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数y f[g(x)]，令u g(x)，若y f(u)为增，u g(x)为增，则y f[g(x)]为增；若y f(u)为减，u g(x)为减，则y f[g(x)]为增；若y f(u)为增，u g(x)为减，则y f[g(x)]为减；若y f(u)为减，u g(x)为增，则y f[g(x)]为减．a（2）打“√”函数f(x)x(a0)的图象与性质xf(x)分别在(,a]、[a,)上为增函数，分别在[a,0)、(0,a]上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数M第 - 7 -页共 110页yo x满足：（1）对于任意的x I，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M．那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作fmax(x)M．②一般地，设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x I，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函．．．．．．．．．．．数f(x)叫做奇函数．．．．函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数．．．．．．．．．．f(x)叫做偶函数．．．．②若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换h0,左移h个单位k0,上移k个单位y f(x)y f(x h)y f(x)y f(x)kh0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位图象判定方法（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②伸缩变换01,伸y f(x)y f(x) 1,缩第 - 8 -页共 110页0A1,缩y f(x)y Af(x) A1,伸③对称变换y轴x轴y f(x) y f(x)y f(x) y f(x)直线y x原点y f(x)y f(x) y f(x)y f1(x) 去掉y轴左边图象y f(x)y f(|x|) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y f(x)y|f(x)| 将x轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果x a,a R,x R,n1，且n N，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．③根式的性质：(na)n a；当n为奇数时，a a；当n为偶数时，nan|a|（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：a②正数的负分数指数幂的意义是：amnnnna(a0)．a(a0)nam(a0,m,n N,且n1)．0的正分数指数幂等于0．mn1m1()n n()m(a0,m,n N,且n1)．0的负分数指数幂aa 没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①a a arrsr s(a0,r,s R) ②(ar)s ars(a0,r,s R)③(ab)ab(a0,b0,r R)第 - 9 -页共 110页rr【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称定义x指数函数函数y a(a0且a1)叫做指数函数a 1y y ax(0,1)0a 1y axy图象y1y1(0,1)O定义域值域过定点奇偶性单调性在R上是增函数xR(0,)Ox图象过定点(0,1)，即当x0时，y1．非奇非偶在R上是减函数ax1(x0)函数值的变化情况ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低． a变化对〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义x①若a N(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．x③对数式与指数式的互化：x logaN a N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式loga10，logaa1，logaab b．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e 2.71828…）．第 - 10 -页共 110页（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaM logaN loga(MN) ②减法：logaM logaN logalogNn③数乘：nlogaM logaM(n R) ④aa NM N⑤logabMnlogbNn(b0,且b1) logaM(b0,n R) ⑥换底公式：logaN logabb【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称定义对数函数函数y logax(a0且a1)叫做对数函数a 1 0a 1y logaxy图象x 1y1xO(1,0)xOy logax(1,0)x定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)图象的影响 a变化对(6)反函数的概念在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．设函数y f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y第 - 11 -页共 110页11的函数，函数x(y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f(y)，习惯上改写成y f(x)．（7）反函数的求法1①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f(x)中反解出x f(y)；11③将x f(y)改写成y f(x)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质1①原函数y f(x)与反函数y f(x)的图象关于直线y x对称．1②函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f(x)的值域、定义域．'1③若P(a,b)在原函数y f(x)的图象上，则P(b,a)在反函数y f(x)的图象上．④一般地，函数y f(x)要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象第 - 12 -页共 110页（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpq（其中p,q互质，ppqp和q Z），若p为奇数q为奇数时，则y x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y x是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y x是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数y x,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线y x下方，若x1，其图象在直线y x上方，当1时，若0x1，其图象在直线y x上方，若x1，其图象在直线y x下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)ax bx c(a0)②顶点式：f(x)a(x h)k(a0)③两根式：22qpf(x)a(x x1)(x x2)(a0)（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．（3）二次函数图象的性质第 - 13 -页共 110页b,顶点坐标是2a①二次函数f(x)ax bx c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x2b4ac b2(,)． 2a4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,bbb时，]上递减，在[,)上递增，当x2a2a2a4ac b2bbbfmin(x)；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,在[当x]上递增，,)上递减，4a2a2a2a4ac b2时，fmax(x)．4a③二次函数f(x)ax bx c(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点2M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|2． |a|（4）一元二次方程ax bx c0(a0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．22设一元二次方程ax bx c0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x)ax bx c，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x①k＜x1≤x2 b③判别式：④端点函数值符号． 2ayf(k)0•ya0xb2ax2kx1Ox2xk•x1Oxbx2af(k)0a0②x1≤x2＜k第 - 14 -页共 110页ya0f(k)0•yx Ob2ax1Ox2x1x2•kxbx2aa0f(k)0③x1＜k＜x2 af(k)＜0 ya0y•f(k)0x2x1Okx2xx1Okx•f(k)0a0④k1＜x1≤x2＜k2y•f(k1)0•a0f(k2)0x2k2yk1xb2ak2Ok1x1xO•x1f(k1)0•xbx2af(k2)0a0⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合y•f(k1)0a0yf(k1)0•Ok1x1•k2x2xOx1k1x2•k2xf(k2)0a0f(k2)0⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数f(x)ax bx c(a0)在闭区间[p,q]上的最值设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0第 - 15 -页共 110页21(p q)． 2（Ⅰ）当a0时（开口向上）①若bbbbq，则m f(q) p，则m f(p) ②若p q，则m f() ③若2a2a2a2af(q)Of(p)xOf(b)2af(q)xf(p)Ofbf((p) )2axb)2aff((q)bb①若x0，则M f(q) ②x0，则M f(p)2a2aff(p) x0gxOx(q)0gxb)2afbf((p) )2aff((q)(Ⅱ)当a0时(开口向下)①若bf()2af (p) Oxf (q) ①若bf()2abbbbq，则M f(q) p，则M f(p) ②若p q，则M f() ③若2a2a2a2aff(b)2af(p)O(q)xOxf(q)f(p)bb x0，则m f(q) ②x0，则m f(p)． 2a2af(b)2af(p)ff(b)2a(q)x0gxx0f(q)gOxf(p)第三章函数的应用第 - 16 -页共 110页一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y f(x)(x D)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数y f(x)(x D)的零点。