向量三角不等式题目提高

丰城九中校本资料丰城九中校本资料高三数学三角函数、平面向量与解三角形专题一．【考纲要求】1、三角函数的图象和性质，特别是y =A sin （w x +φ）的图象及其变换；2、重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线、垂直的充要条件、向量的坐标运算及向量的应用等；3、三角函数的化简、给值求值及三角恒等式的证明；4、正弦、余弦定理及应用 第1讲 三角函数的图象与性质例题1.已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象；若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值= 变式：江西卷)已知函数f (x )＝(a ＋2cos2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．变式2：:已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02πϕ<<.()y f x =的部分图像，如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A .下题2图（1）求()f x 的最小正周期及ϕ的值；（2）若点R (1,0)，23PRQ π∠=，求A 的值.课时1练习1、已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值为________．2. 已知函数()2sin()f x x ωφ=+ 的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭. 3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，x ∈[0，π]的增区间是 ( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 4、若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在[0，π2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．5．已知函数)0,)(4sin()(>∈+=w R x wx x f π的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ） A .2π B . 83π C. 4π D.8π8.（2014全国理数）16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .9.（2014上海理数）12.设常数a 使方程sin 3x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= 。

专题集训·作业(九)一、选择题1．平行六面体的各棱长均为4，在其顶点P 所在的三条棱上分别取P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则棱锥P －ABC 的体积是平行六面体的体积的( )A.164 B.364 C.132 D.332答案 A解析 由已知可将平行六面体模型化为正方体，则有V 正方体＝64，V P －ABC ＝13×12×1×2×3＝1，故选A.2．(2014·合肥一中模拟)e ，π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式不成立的是( )A ．log πe ＋(log e π)2>2B ．log πe ＋log e π>1C ．e e －e>e π－πD ．(e ＋π)3<4(e 3＋π3)答案 C解析 设f (x )＝e x －x (x >0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (π)>f (e)，即e π－π>e e －e.3．(2014·鄂西示范性学校联考)命题“∀x ∈R ，x 2－3x ＋2≥0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0B ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2>0C ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≥0 答案 A解析 求全称命题的否定时，需要先把全称量词改写为存在量词，再对结论进行否定，所以原命题的否定为“∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0”．4．(2014·襄阳五校联考)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率为2，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过F 1作一条斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线交于两个点M ，N ，则∠MAN ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 D解析 由离心率为2，可得c ＝2a ，b 2＝3a 2，则双曲线方程为3x 2－y 2＝3a 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为x ＝my －2a ，与双曲线方程联立得(3m 2－1)y 2－12amy ＋9a 2＝0，从而有3m 2－1≠0，y 1＋y 2＝12am 3m 2－1，且y 1y 2＝9a 23m 2－1.则AM →·AN→＝(x 1－a )(x 2－a )＋y 1y 2＝(my 1－3a )(my 2－3a )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－3am (y 1＋y 2)＋9a 2＝9a 2(m 2＋1)3m －1－36a 2m23m －1＋9a 2＝0，故选D. 5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为( )A.32π B.3π C ．23π D ．33π答案 A解析 由正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，可得该几体体是一个四棱锥(如图所示)，底面BCDE 是边长为1的正方形，侧棱AE ⊥底面BCDE ，所以根据球与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC .根据勾股定理知AC＝1＋1＋1＝3，所以外接球半径为32，于是该几何体的外接球体积V ＝43π×(32)3＝32π.故选A.6．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <2或x >2答案 B解析 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 7．已知在正三棱锥S －ABC 中，E 是侧棱SC 的中点，且SA ⊥BE ，则SB 与底面ABC 所成角的余弦值为( )A.12B.23C.23D.63答案 D解析 如图所示，在正三棱锥S －ABC 中，作SO ⊥平面ABC ，连接AO ，则O 是△ABC 的中心，所以SO ⊥BC ，AO ⊥BC .由此可得BC ⊥平面SAO ，所以SA ⊥BC .又SA ⊥BE ，所以SA ⊥平面SBC ，故正三棱锥S －ABC 的各侧面全等且均是等腰直角三角形．连接OB ，则∠SBO 为SB 与底面ABC 所成的角．设SA ＝a ，则AB ＝2a ，BO ＝63a ，所以cos ∠SBO ＝63.8．定义在R 上的可导函数f (x )，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )恒成立，若a ＝f (2)，b ＝12f (3)，c ＝(2＋1)f (2)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <b <a答案 A解析 设g (x )＝f (x )x －1，则g ′(x )＝f ′(x )(x －1)－f (x )(x －1)2.由于f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )，即f ′(x )(x －1)－f (x )>0，因此g (x )＝f (x )x －1在(1，＋∞)上为增函数，故c <a <b .9．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与直线AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 D解析 本题考查了空间直线与直线所成角问题，考查空间想象能力．显然正方体的对角线AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，将该正方体以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1分别为坐标轴建立空间直角坐标系，则可以得到8个象限，其中在平面ABCD 上方的四个象限内的每一个象限内均有一条与AC 1相似的对角线与此三条棱成等角，即这样的直线l 有4条，故应选D.10．(2014·芜湖三校一模)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2.若b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，则数列{b n }的通项公式为( )A ．nB ．n －1C ．2nD ．2n －1答案 A解析 ∵f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2，∴f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2f (2n )＋2n ＋1.∵b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，又f (2n ＋1)2n ＋1＝f (2n)2n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1，∴{b n }成等差数列，且b 1＝f (2)2＝1，∴b n ＝b 1＋(n －1)×1＝1＋n －1＝n ，n ∈N *.11．(2014·孝感市质检)若函数f (x )＝x －1＋1e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)的图像与直线l ：y ＝kx －1没有公共点，则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．－1 D.1e答案 B解析 令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1e x ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．假设k >1，此时g (0)＝1>0.g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0.又函数g (x )的图像是连续的，由零点存在性定理，可知g (x )＝0在R 上至少有一个解，与方程g (x )＝0在R 上没有实数解矛盾，故k ≤1.又k ＝1时，g (x )＝1e x >0，易知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以实数k 的最大值为1.12．(2014·武汉部分学校调研)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，若点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1]答案 B解析 椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，所以kP A 2·kP A 1＝y 20x 20－4＝－34.又kP A 2∈[－2，－1]，所以kP A 1∈[38，34]．二、填空题13．已知函数f (x )＝3x ＋sin x ＋1，若f (t )＝2，则f (－t )＝________. 答案 0解析 由于g (x )＝3x ＋sin x 为奇函数，且f (t )＝3t ＋sin t ＋1＝2，所以3t ＋sin t ＝1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.14．(2014·皖西四校联考)若正数x ，y 满足2x ＋3y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________．答案 7＋433解析 由2x ＋3y －3＝0，得1＝2x ＋3y 3.于是x ＋2y xy ＝1y ＋2x ＝(1y ＋2x )·2x ＋3y 3＝13(7＋2x y ＋6y x )≥13×(7＋43)＝7＋433，当且仅当⎩⎨⎧2x y ＝6y x，2x ＋3y －3＝0，即x ＝6－33，y ＝23－3时，等号成立．故最小值为7＋433.15．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案 (－2,1)解析 方法一 由题意可知，当x ≥0时，g (x )＝－g (－x )＝－[－ln(1＋x )]＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.当x ≤－2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>x 3，因为f (x )＝x 3在R 上为增函数，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即－2<x ≤－ 2.当－2<x ≤0时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>x 3，即－2<x ≤0.当0<x <2时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>ln(1＋x )，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即0<x <1.当x ≥2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>ln(1＋x )，无解．综上得－2<x <1.方法二 同上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.易知f (x )在R 上是增函数，由f (2－x 2)>f (x )，得2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，∴－2<x <1.16．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．答案 (1,3]解析 ∵P 为双曲线左支上一点，∴|PF 2|－|PF 1|＝2a .∴|PF 2|＝|PF 1|＋2a .∴|PF 2|2|PF 1|＝(|PF 1|＋2a )2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ，当且仅当4a 2|PF 1|＝|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号，故|PF 2|＝4a .当点P 在x 轴上时，|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，即2a ＋4a ＝2c ，此时e ＝3；当点P 不在x 轴上时，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，即2a ＋4a >2c ，此时e <3，∴e ≤3.又e >1，于是1<e ≤3.。

数列、向量、斜三角形、均值不等式(易错题警示)1．设｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝为等比数列，其公比q ≠1, 且b i ＞0(i=1、2、3 …n) 若a 1=b 1,a 11=b 11则 ( )A a 6=b 6B a 6＞b 6C a 6＜b 6D a 6＞b 6或 a 6＜b 62．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）A. 22B. 21C. 19D. 183．已知S k 表示{a n }的前K 项和，S n —S n+1=a n （n ∈N +），则{a n }一定是( )A 、等差数列B 、等比数列C 、常数列D 、以上都不正确4．已知数列—1，a 1，a 2，—4成等差数列,—1，b 1,b 2,b 3,—4成等比数列，则212b a a -的值为( ) A 、21 B 、—21 C 、21或—21 D 、41 5．数列{}n a 的前n 项和为s n =n 2+2n-1，则a 1+a 3+a 5+……+a 25=( )A 350B 351C 337D 3386．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则在S n 中最大的负数为（ ）A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 207．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．88．数列}{n a 满足121,12210,2{1<≤-<≤=+n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2004a 的值为（ ） A.76 B. 75 C. 73 D.71 9．已知数列}{n a 的前n 项和为)15(21-=n n S n ，+∈N n ，现从前m 项：1a ，2a ，…，m a 中抽出一项（不是1a ，也不是m a ），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是( )A ．第6项B ．第8项C ．第12项D ．第15项10.}{n a 是实数构成的等比数列，S n 是其前n 项和，则数列}{n S 中 （ ）A 、任一项均不为0B 、必有一项为0C 、至多有有限项为0D 、或无一项为0，或无穷多项为011．数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+4+…+2n 各项和为（ C ）A 、2n+1－2－nB 、2n －n －1C 、2n+2－n －3D 、2n+2－n －212.．在∆ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（ ）。

专题06 三角不等式------121212||－－＋≤≤Z Z Z Z Z Z[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中对于复数的几何意义涉及不多．而新教材将复数的学习安排在了向量及三角函数之后，使复数的学习与向量及三角函数进行了融合，提升了复数的应用价值．1．复数加法与减法的几何意义 z 1，z 2，z 3∈C ，设，分别与复数z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )相对应，且，不共线复数的和z 1＋z 2与向量＋＝的坐标对应复数的差z 1－z 2与向量－＝的坐标对应2．复数三角不等式若12,Z Z 是复数，则121212||－－＋≤≤Z Z Z Z Z Z ．注：当,a b 为实数或向量时，a b a b a b -≤±≤+结论也成立． 推论1：1212≤n n a a a a a a ++++++推论2：如果a b c 、、是实数，那么a c a b b c -≤-+-，当且仅当()()0≥a b b c --时，等号成立． [新增内容的考查分析]1．运用三角不等式求最值(由三角不等式，借助其几何意义及性质，可消减变量从而求出最值．)【考法示例1】若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2，则|a +b |的最大值是 ，最小值是 ． 5； 1因为|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，所以1=3-2≤|a +b |≤3+2=5． 【考法示例2】函数的最小值及取得最小值时的值分别是（ ） A.1， B.3，0 C.3，D.2，C利用三角不等式，求得函数的最小值，并求得对应的值． 依题意，当且仅当，即12x -≤≤时等号成立，故选C ．2．应用三角不等式求参数（关键是能够运用三角不等式求得函数的最值，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题．） 【考法示例3】如果关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．利用三角不等式可求得，根据不等式解集不为空集可得根式不等式，根据根式不等式的求法可求得结果． 由三角不等式得：，即．原不等式解集不是空集，，即当时，不等式显然成立； 当时，，解得：； 综上所述：的取值范围为．【考法示例4】若存在(其中)使得不等式成立，则的取值范围是__________．先利用绝对值三角不等式求出的最大值为3，从而得，进而可求出的取值范围，当且仅当或时取等号，所以右式最大值为3， 从而，解得．故的取值范围为，或者[]1,2t ∈-．[新增内容的针对训练]1. 11a b a b -≤-+-取等号的条件是 A. ()()110a b --< B. ()()110a b --> C. ()()110a b --≤ D. ()()110a b --≥【答案】C 【解析】【详解】分析：利用绝对值不等式||||||a b a b +≥+（当且仅当0ab ≥时取等号）即可求得答案. 详解：()()111111a b a b a b a b -+-=-+-≥-+-=-：当且仅当()()110a b --≥：即()()110a b --≤时取等号. 故选：C.点睛：本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式取等号的条件，属于中档题. 2. 已知x∈R ，y∈R ，则|x|＜1，|y|＜1是|x ＋y|＋|x －y|＜2的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】D 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式及充分条件和必要条件进行判断．【详解】若|x|：1：|y|：1，则当(x：y)(x：y)≥0时，|x：y|：|x：y|：|(x：y)：(x：y)|：2|x|：2；当(x：y)(x：y)：0时，|x：y|：|x：y|：|(x：y)：：(x：y)|：2|y|：2.若|x：y|：|x：y|：2，则2|x|：|(x：y)：(x：y)|：|x：y|：|x：y|：2，即|x|：1：2|y| ：|(x：y)：(x：y)|：|x：y|：|x：y|：2，即|y|：1.【点睛】本题考查绝对值不等式的性质的应用，属于基础题.3. 关于x 的不等式|||2|4x m x -++<的解集不为∅，则实数m 的取值范围是 A. ()2,6-B. (,2)(6,)-∞-⋃+∞C. (,6)(2,)-∞-⋃+∞D. (6,2)-【答案】D 【解析】 【分析】关于x 的不等式|x ﹣m |+|x +2|＜4的解集不为∅⇔（|x ﹣m |+|x +2|）min ＜4，再根据绝对值不等式的性质求出最小值，解不等式可得．【详解】关于x 的不等式|x ﹣m |+|x +2|＜4的解集不为∅⇔（|x ﹣m |+|x +2|）min ＜4， ∵|x ﹣m |+|x +2|≥|（x ﹣m ）﹣（x +2）|＝|m +2|， ∴|m +2|＜4，解得﹣6＜m ＜2， 故选D ．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，考查了转化思想，属于基础题． 4. 若关于x 的不等式|1||1|2x ax x -+-≥对于任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】1a ≤-或3a ≥ 【解析】【分析】将绝对值不等式等价转化，利用绝对值三角不等式即可求得关于a 的不等式即可.【详解】11|1||1|212|1|||2(0)x ax x a t t a t x x-+-≥⇔-+-≥⇔-+-≥>． 所以min (|1|||)(1)()1|2t t a t t a a -+-=|---|=|-≥， 解得1a ≤-或3a ≥． 故答案为：1a ≤-或3a ≥.【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立求参数范围的问题，涉及绝对值三角不等式的利用，属中档题.5. 已知α，β是实数，给出三个论断： ：|α＋β|＝|α|＋|β|； ：|α＋β|>5；：|α|>|β|>以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________. 【答案】：：：： 【解析】【分析】根据绝对值的性质判断或举反例说明．【详解】：，：成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β>5， 若：：成立，如10,1αβ==，但：不成立， 若：：成立，如20,5αβ==-，但：不成立． 故答案为：：：：：．6. 若不等式2213111a a x x x x a+--+-+++≥对任意使式子有意义的实数a 恒成立,则实数x 的取值范围是__________ 【答案】(,2][1,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】 首先求得131a a a+--的最大值max ，然后解不等式22|1||1|max x x x x +-+++≥．【详解】131a a a +--1111111313(1)(3)4a a a a a a =+--=+--≤+--=．当且仅当113a -≤≤时等号成立．：131a a a +--的最大值为4．下面解不等式22|1||1|4x x x x +-+++≥，：22111()244x x x +=+-≥-，：210x x ++>，：不等式22|1||1|4x x x x +-+++≥为不等式22|1|14x x x x +-+++≥， 即22|1|3x x x x +-≥--+，：2213x x x x +-≥--+或2213x x x x +-≤+-， 解得1≥x 或2x -≤或x ∈∅， ：x 的取值范围是(,2][1,)-∞-+∞． 故答案为：(,2][1,)-∞-+∞．【点睛】本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式的性质．首先不等式恒成立问题转化为求最值．其次解绝对值不等式时，绝对值性质x a >等价于x a >或x a <-中可以不讨论a 的正负，直接用来解不等式，即不等式()()f x g x >直接转化为()()f x g x >或()()f x g x <-，不需要按()0,()0g x g x ≥<分类，大家可以从集合的分析．7. 设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：：1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤：：2：()1f x ≤等价于24x a x ++-≥：而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立：故()1f x ≤等价于24a +≥： 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞： 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 8. 已知a 和b 是任意非零实数．：1）求|2||2|||a b a b a ++-的最小值．：2）若不等式22(22)a b a b a x x ++-≥++-恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】（1）4；（2）22x -≤≤ 【解析】【详解】试题分析：：1）利用绝对值不等式的性质可得 22224a b a b a b a b a ++-≥++-=,所以|2||2|||a b a b a ++-的最小值等于4；：2：由：1：转化为有x 的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集，解绝对值不等式求得实数x 的取值范围．试题解析：：1：：22224a b a b a b a b a ++-≥++-=对于任意非零实数a 和b 恒成立，当且仅当(2)(2)0a b a b +-≥时取等号，∴|2||2|||a b a b a ++-的最小值等于4.（2）∵2222a b a bx x a++-++-≤恒成立，故22x x ++-不大于|2||2|||a b a b a ++-的最小值由（1）可知|2||2|||a b a b a ++-的最小值等于4实数x 的取值范围即为不等式224x x ++-≤的解. 解不等式得22x -≤≤，[2,2]x ∈-.。

第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用常熟市中学 蔡祖才一、高考要求平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）(A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=02．函数y =sin x 的图象按向量a =（32π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +23．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为．4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN u u u u r u u u r与的夹角余弦值为 ．四、典型例题例1 已知a =（3sin ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ）(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=ω ( D) 32=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ （ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π例3 设向量a r ＝(sin x ，cos x )，b r ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a r ·(a r ＋b r)．使不等式f (x )≥23成立的x 的取值集合为 ．例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ⋅u u u r u u u r u u u r+的最小值是 ．例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （4π，1）,且当x ∈［0, 4π］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由．例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈，且| m + n |=,5求cos()28θπ+的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习1．已知i r ，j r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，且||||a b r r与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）),21(+∞ （B ）)21,2()2,(-⋃--∞ （C ）),32()32,2(+∞⋃- （D ）)21,(-∞2．在直角坐标系中，O 是原点，OQ =(－2＋cos θ，－2＋sin θ) (θ∈R)，动点P 在直线x =3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）（A ） 4 （B ） 5 （C ） 26 （D ）263．已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根，则a r 与b r 的夹角的取值范围是 （ ）（A ）[0，6π] （B ）[,]3ππ （C ）2[,]33ππ （D ）[,]6ππ 4．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=u u u r u u u r，若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ的取值范围是 （ ）（A ）112λ≤≤ （B ）11λ-≤≤（C ）1122λ≤≤+ （D ）1122λ-≤≤+ 5． 已知向量a r =(cos α，sin α)，b r =(cos β，sin β)，且a b ≠±r r ，那么a b +r r 与a b-r r的夹角的大小是 ．6． 已知向量].2,0[),2sin ,2(cos ),23sin,23(cos π∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为32-，则λ的值为 ．7．已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n ⋅=u r r（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tanC ． 8．设函数f (x )=a b ⋅r r ，其中向量a r =(2cos x ，1)，b r=(cos x ，3sin2x )，x ∈R ．（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c r =(m ，n )(|m |<2π)平移后得到函数y =f (x )的图象，求实数m 、n 的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案课前训练部分1.C2.D3.4.1517典型例题部分例1 A例2 1111sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ∆=----- 当2θπ=即2πθ=时,面积最大.例3 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(=.222-=⋅- 即)(+⋅的最小值为:-2.例5 （Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+,1,1b a c a ∴b =c =1－a , ∴f (x )=a +2(1－a )sin(2x +4π).∵x∈［0,4π］, ∴2x +4π∈［4π,4π3］.当1－a ＞0时，由a +2(1－a )=22－1, 解得a =－1; 当1－a ＜0时， a +2(1－a )·22=22－1,无解; 当1－a =0时，a =22－1，相矛盾. 综上可知a =－1. ∴f (x )=－1+22sin(2x +4π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数，将g (x )的图象向左平移8π个单位，再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此，将f (x )的图象向右平移8π个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m u r =(8π，1)是满足条件的一个向量.例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-++u r rm n +=u r r由已知m n +=u r r ,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+- 过关练习部分1.B2.C3.B4.B 5、2π6. 217（Ⅰ）∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π= （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =8．（Ⅰ）依题设可知，函数的解析式为f (x )=a b ⋅r r ＝2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由1+2sin(2x +6π)=1－3，可得三角方程sin(2 x +6π)=－23．∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π． （Ⅱ）函数y =2sin2x 的图象按向量c r=(m ，n )平移后得到函数y =2sin2(x －m )+n 的图象，即函数y =f(x)的图象.由（１）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m |<2π，∴12m π=-， 1.n =。

一、不等式的解法：1.一元一次不等式：Ⅰ、(0)ax b a >≠：⑴若0a >，则 ；⑵若0a <，则 ；Ⅱ、(0)ax b a <≠：⑴若0a >，则 ；⑵若0a <，则 ；2.一元二次不等式：0a >时的解集与∆有关 （数形结合:二次函数、方程、不等式联系）3. 高次不等式：数轴标根 步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶不穿），定解.4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； ⑴()0()f x g x >⇔；⑵()0()f x g x <⇔； ⑶()0()f xg x ≥⇔ ；⑷()0()f xg x ≤⇔；5.解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为12,x x （或更多）但含参数，要分12x x >、12x x =、12x x <讨论。

例：解关于x 的不等式： 2(1)10ax a x -++< （)R a ∈）例：实系数方程2()20f x x ax b =++=的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则21b a --∈；22(1)(2)a b -+- ∈ ；3a b +- ∈二、不等式的性质 （几个重要不等式） （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab baab ba Rb a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.常用的方法为：拆、凑、平方；例1:设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21212()a a b b +的取值范围是___ 。

高中数学专题复习《函数不等式三角向量数列算法等大综合问题》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1(汇编江苏) 2．(汇编辽宁理)ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ． 2πD ． 23π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题oyxb nb n-1b 2b 3b 1a 3a 2a 1a n-1a n......3．已知集合{}{}22|230,|0A x x x B x x ax b =-->=++≤，AB R =，{}|34A B x x =<≤，则sin cos a x b x +的最小值是分析：根据条件求出,a b 的值，则函数sin cos a x b x +的最小值为22a b -+。

4．已知集合(){}(){}1,,,+====x a y y x Q k y y x P ,且φ=Q P .那么k 的取值范围是5． 设x x x f sin cos )(-=，把)(x f 的图象向右单位平移m （m>0）个单位后，图象恰好为函数)(x f y '-=的图象，则m 的最小值为________.6．已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++，223L b b =+,n b ++，n n L b =.某人用右图分析得到恒等式：1122n n a b a b a b +++=112233a L c L c L +++k kc L +n n c L ++，则k c = ▲ (2)k n ≤≤.评卷人得分三、解答题7．已知向量()()sin ,cos ,1,2θθ==-a b ，且⋅=0a b ， （1）求tan θ的值；（2）求函数()()2cos tan sin f x x x x R θ=+∈，的值域．-1 3 48．设平面向量a ＝(cos ,sin )x x ，(cos 23,sin )b x x =+，(sin ,cos )c αα=，x R ∈，⑶a c ⊥，求cos(22)x α+的值；⑵若(0,)2x π∈，证明:a 和b 不可能平行；⑶若0α=，求函数()(2)f x a b c =-的最大值，并求出相应的x 值．(汇编年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)（14分） 9．1．已知向量(sin ,3)a θ=,(1,cos )b θ=,,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. （1）若a b ⊥,求θ； （2）求||a b +的取值范围10．已知集合23{|log (33)0},{|20}A x x x B x mx =-+==-=，且AB B =，求实数m 的值．11．记f (x )=lg(3－|x －1|)的定义域为A ，集合B ={x |x 2－(a +5)x +5a <0}. (1）当a =1时，求A ∩B ；(2）若A ∩B =A ，求a 的取值范围．12．已知(cos 2,3sin )a x x =，(1,2cos )b x =，设函数()f x a b =⋅，()f x 的最大值为M ，最小正周期为T ， (Ⅰ）求M 、T ；(Ⅱ）10个互不相等的正数i x 满足(),10(1,2,i i f x M x i π=<=且，求1021x x x +++ 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．A 2．B解析：B 222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B 。

客观题专练四 不等式、平面向量、解三角形一、选择题 (共12小题，每题5分。

每道题只有一个正确选项。

)1．(2016·全国Ⅰ理，1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，32．(2016·全国Ⅰ理，8)若a >b >1,0<c <1，则( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c3．(2016·全国Ⅲ，1)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T 等于( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0,2]∪[3，＋∞)4．(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝⎛⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．(2016·全国Ⅲ，6)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b6．(2016·全国Ⅲ，8)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－310107．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－949．(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B.18 C.14 D.11810.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,=3 ,则( ) A =-BCD11. (2014课标全国Ⅰ,理1)已知集合A={|}，B=，则=（ ） .[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n=1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=,c n+1=,则( ).A .{S n }为递减数列B .{S n }为递增数列C .{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D .{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列二、填空题（共4道小题，每题5分，请将正确的结果填到横线上。

详细介绍三角不等式
三角不等式是数学中的一个基本定理，它是指：对于任意的三角形ABC，AB+BC>AC、AC+CB>AB、BC+AB>AC。

这个定理的意义在于，它告诉我们三条边之间的关系，使我们能够更好地理解和解决与三角形有关的问题。

三角不等式的证明方法有很多种，其中一种比较简单的方法是使用向量。

假设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为
A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则AB、BC、AC所对应的向量分别为AB=(x2-x1,y2-y1)，BC=(x3-x2,y3-y2)，AC=(x3-x1,y3-y1)。

根据向量的加法和模长的定义，我们可以得到：
|AB+BC| ≤ |AB|+|BC|
|BC+AC| ≤ |BC|+|AC|
|AC+AB| ≤ |AC|+|AB|
由于三角形ABC的三边的长度分别为|AB|、|BC|、|AC|，因此上述不等式可以改写为：
BC<AB+AC
AC<AB+BC
AB<AC+BC
这就是三角不等式的向量证明方法，它利用了向量的几何性质，简单而且直观。

除了向量证明方法外，还有很多其他的证明方法，例如几何证明、代数证明和不等式证明等。

无论采用哪种方法，都要注意证明过程的
严谨性和清晰性，以确保结论的正确性。

总之，三角不等式是数学中的一个基本定理，它对于解决与三角形有关的问题非常重要。

掌握了三角不等式，我们可以更好地理解三角形的性质和特点，从而更加熟练地处理与三角形有关的各种问题。

知识点 绝对值三角不等式3.11定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当 ab ≥0 时，等号成立. 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .当a 与b 不共线时，有|a ＋b |＜|a |＋|b |，其几何意义为三角形的两边之和大于第三边； 若a ，b 共线，当a 与b 同向 时， |a ＋b |=|a |＋|b | ；由于定理1.定理1ab 同号取等，左边ab 同号取等）证明：把-b 代回到第一个式子的b 里面来证明第二个定理2（当且仅当 (a －b )(b －c )≥0 时，几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | = |a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：(1)点B 在A 或C 上时，|a －c | = |a －b |＋|b －c |；(2)点B 不在A ，C 上时，|a －c | ＜ |a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.题型一 含绝对值不等式的证明例1 设函数f (x )＝x 2－2x ，实数a 满足|x －a |＜1. 求证：|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.证明 ∵f (x )＝x 2－2x ，且|x －a |＜1， ∴|f (x )－f (a )|＝|x 2－2x －a 2＋2a | ＝|(x ＋a )(x －a )－2(x －a )|＝|(x －a )(x ＋a －2)|＝|x －a |·|x ＋a －2| ＜|x ＋a －2|＝|(x －a )＋(2a －2)| x 并运用绝对值三角不等式 ≤|x －a |＋|2a －2|＜1＋|2a -2|≤1＋|2a|+|-2|=2|a|＋3，∴|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.题型二 利用绝对值三角不等式求最值例2 (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值；答||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，▲定理1推论左边∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.例3 设函数f (x )＝＋|x －a |(a ＞0)， (1)证明：f (x )≥2；证明 由a ＞0，可得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥|x+1a -（x-a ）|正负以消元为目的＝1a ＋a ≥2，。