人教教材《全等三角形》课件详解

解：(1)证明：在△ABD 和△CBD 中，
AD＝CD，
AB＝CB， BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SSS)．
∴∠ABD＝∠CBD. (2)△ABO≌△CBO，△OAD≌△OCD，△OAE≌△OCF，
△EBO≌△FBO.
类型 3 旋转模型
【例 3】 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如 图 1，已知在△ABC 中，AB＝AC，P 是△ABC 内任意一点，将 AP 绕点 A 顺时针旋转至 AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接 BQ，CP，则 BQ ＝CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图 1 的分析，证明了△ABQ ≌△ACP，从而证得 BQ＝CP.之后，他将点 P 移到等腰△ABC 外，原 题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图 2 给出证明．
∠ABD＝∠CAE，
∠BDA＝∠AEC， AB＝CA，
∴△ADB≌△CEA(AAS)． ∴BD＝AE，AD＝CE. ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
类型 5 综合模型 平移＋旋转模型：
平移＋对称模型：
【例 5】 如图 1，点 A，B，C，D 在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF， 且 DE＝AF. (1)求证：△AFC≌△DEB； (2)如果将 BD 沿着 AD 边的方向平行移动至图 2，3 的位置时，其余条 件不变，(1)中的结论是否依然成立？如果成立，请予以证明；如果不 成立，请说明理由．
(2)如图 2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB＝AC，D，A，E 三 点都在直线 m 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中 α 为任 意钝角，请问结论 DE＝BD＋CE 是否成立？若成立，请给出证明；若 不成立，请说明理由．
解：(1)证明：∵BD⊥直线 m，CE⊥直线 m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°.∴∠BAD＋∠ABD＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°. ∴∠ABD＝∠CAE.
证明：由题意，可知 AP＝AQ， ∵∠QAP＝∠BAC， ∴∠QAP＋∠PAB＝∠PAB＋∠BAC， 即∠QAB＝∠PAC.
AQ＝AP，
在△ABQ 和△ACP 中，∠QAB＝∠PAC， AB＝AC，
∴△ABQ≌△ACP(SAS)． ∴BQ＝CP.
类型 4 一线三等角模型
【例 4】 (1)已知，如图 1，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC， 直线 m 经过点 A，BD⊥直线 m，CE⊥直线 m，垂足分别为 D，E.求 证：DE＝BD＋CE.
解：(1)证明：∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即 AC＝DB.
∵DE∥AF，∴∠A＝∠D.
AF＝DE，
在△AFC 和△DEB 中，∠A＝∠D， AC＝DB，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
(2)在图 2，3 中结论依然成立．
证明：在图 2 中，∵DE∥AF，
∴∠A＝∠D.
AF＝DE，
在△AFC 和△DEB 中，∠A＝∠D， AC＝DB，
类型 2 对称模型
所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶 点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边 或公共角相等．
【例 2】 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边 形 ABCD 是一个筝形，其中 AD＝CD，AB＝CB. (1)求证：∠ABD＝∠CBD； (2)设对角线 AC，BD 相交于点 O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是 E， F.请直接写出图中的所有全等三角形(△ABD≌△CBD 除外)．
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
在图 3 中，∵AB＝CD，
∴AB－BC＝CD－BC，即 AC＝BD.
∵AF∥DE，∴∠A＝∠D.
AF＝DE，
在△AFC 和△DEB 中，∠A＝∠D， AC＝DB，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
【变式】 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE 于点 E，AD⊥CE 于点 D. (1)求证：△ACD≌△CBE； (2)若 AD＝12，DE＝5，求 BE 的长．
数学
第十二章 全等三角形 专题课 全等三角形的基本模型
01 课堂精讲精练
类型 1 平移模型
此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，需要 在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到 对应角相等．
【例 1】 (南充中考)如图，点 O 是线段 AB 的中点，OD∥BC 且 OD ＝BC. (1)求证：△AOD≌△OBC； (2)若∠ADO＝35°，求∠DOC 的度数．
∠ABD＝∠CAE，
在△ADB 和△CEA 中，∠BDA＝∠AEC， AB＝CA，
∴△ADB≌△CEA(AAS)． ∴BD＝AE，AD＝CE. ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)结论 DE＝BD＋CE 成立． 证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α. ∴∠ABD＝∠CAE. 在△ADB 和△CEA 中，
解：(1)证明：∵点 O 是线段 AB 的中点， ∴AO＝OB.
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠OBC.
AO＝OB，
在△AOD 和△OBC 中，∠AOD＝∠OBC， OD＝BC，
∴△AOD≌△OBC(SAS)．
(2)∵△AOD≌△OBC， ∴∠ADO＝∠OCB＝35°. ∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°.
∴CD＝BE，CE＝AD＝12.
∴CD＝CE－DE＝12－5＝7.
∴BE＝7.
02 分层检测
A组 1．如图，AC＝DF，AD＝BE，BC＝EF.求证： (1)△ABC≌DEF； (2)AC∥DF.
证明：(1)∵AD＝BE， ∴AD＋DB＝BE＋DB，
即 AB＝DE.
在△ABC 和△DEF 中，
解：(1)证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°. ∴∠ACD＋∠A＝90°. 又∵∠ACB＝∠ACD＋∠BCE＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD. 在△ACD 和△CBE 中，
∠ADC＝∠E，
∠CAD＝∠BCE， AC＝BC， ∴△ACD≌△CBE(AAS)． (2)∵△ACD≌△CBE，