2018届高考数学(理)大一轮复习顶层设计作业 29平面向量的应用 Word版 含解析

1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →|＝36＋36＝62，∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC→＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.3．(2017·武汉质检)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________． 答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4， 即x ＋2y ＝4.4．(2016·银川模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________． 答案 4解析 设a 与b 夹角为α， ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2 ＝8－4|a||b |cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]， ∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a －b |2∈[0,16]， ∴|2a －b |∈[0,4]． ∴|2a －b |的最大值为4.5．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J. 答案 300解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).题型一 向量在平面几何中的应用例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA→＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 答案 (1)12(2)C解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 答案 (1)A (2)5解析 (1)AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线．因为(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． (2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )，P A →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， 则P A →＋3PB →＝(5,3a －4y )， 即|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2， 由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|P A →＋3PB →|2的最小值为25.故|P A →＋3PB →|的最小值为5. 题型二 向量在解析几何中的应用例2 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx ＝________________________________________________________________________. 答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx＝±3.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，乘积最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.题型三 向量的其他应用 命题点1 向量在不等式中的应用 例3 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是________． 答案 18解析 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18.命题点2 向量在解三角形中的应用例4 (2016·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于( ) A.45 B.34 C.35 D.74答案 C解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0， ∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35，故选C.命题点3 向量在物理中的应用例5 如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．27B ．2 5C ．2D ．6答案 A解析 如题图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，即F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝28.故|F 3|＝27. 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．(1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．(2)已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 (1)3 (2)3解析 (1)由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. (2)∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎨⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.三审图形抓特点典例 (2016·太原一模)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6E 为函数图象的对称中心，C 为图象最低点―――――――――――→作出点C 的对称点MD 、B 两点对称 CD 和MB 对称―――――――――――→CD →在x 轴上的投影是π12BM 在x 轴上的投影OF ＝π12――――――→A (－π6，0)，AF ＝π4―→T ＝π―→ω＝2――――――――→y ＝sin (2x ＋φ)和y ＝sin 2x 图象比较φ2＝π6―→φ＝π3解析 由E 为该函数图象的一个对称中心，作点C 的对称点M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 A1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0， 即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0， 由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.3．(2016·南宁模拟)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)且a ∥b ，则sin 2α等于( ) A ．3B ．－3C.45 D ．－45答案 D解析 由a ∥b 得cos α＋2sin α＝0，∴cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，cos 2α＝45，sin 2α＝2sin αcos α＝－cos 2α＝－45.4．(2016·武汉模拟)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 C解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3. 5．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案 D解析 ∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．*6.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析 如图，向量α与β在单位圆O 内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为两边的三角形的面积为14，故β的终点在如图所示的线段AB 上(α∥AB →，且圆心O 到AB 的距离为12)，因此夹角θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.7．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得：a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______． 答案3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.9．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a 与b的夹角的范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤π3，π解析 设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x ，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a |2－4a ·b ＞0，∴a ·b ＜a 24，又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π.*10.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________． 答案 6解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1， ∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，则PE →·PF →最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HF ＝HE ＝HC 2－CE 2＝16－4＝23，sin ∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos ∠EHF ＝cos 2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|·cos ∠EHF ＝23×23×12＝6.11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y3.∴b ＞0，y ＞0，把a ＝－x 2代入①，得－x2⎝⎛⎭⎫x ＋x 2＋3y ＝0， 整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其所对边长，向量m ＝(23sin A2，cos 2A 2)，n ＝(cos A2，－2)，m ⊥n .(1)求角A 的大小； (2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长． 解 (1)已知m ⊥n ，所以m·n ＝(23sin A 2，cos 2A 2)·(cos A2，－2)＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，即3sin A －cos A ＝1，即sin(A －π6)＝12，因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6.所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63.由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，所以b ＝a ·sin Bsin A ＝2×6332＝423.*13.已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(2－x )2＋(－y )2－14(8－x )2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴动点P 在椭圆上，其轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →， 且NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝(－x )2＋(1－y )2－1 ＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19， 当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3. 综上，PE →·PF →的最大值为19，最小值为12－4 3.。

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2018高考分类汇编 —-平面向量1、【北京理】6．设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“⊥a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C ；解析：33-=+a b a b 等号两边分别平方得0⋅=a b 与⊥a b 等价，故选C 。

考点：考查平面向量的数量积性质及充分必要条件的判定; 备注：高频考点.2、【北京文】设向量(,),(,)101==-a b m ，若()⊥-a ma b ，则=m答案：1-【解析】因为(,),(,),101a b m ==- 所以(,)(,)(,).011ma b m m m m -=--=+- 由()⊥-a ma b 得()0a ma b ⋅-=，所以()10a ma b m ⋅-=+=，解得.1m =-【考点】本题考查向量的坐标运算,考查向量的垂直。

3、【1卷文7理6】6.在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC - B 。

1344AB AC - C 。

3144AB AC + D 。

1344AB AC + 答案:A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ．4、【2卷理】4．已知向量a ，b 满足||1=a ,1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B【解析】2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．5、【2卷文】4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B解析：向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-,则2(22213a a b a a b ⋅-=-⋅=+=），故选B ．6、【3卷文理】13．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=,解得12λ=． 点评：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题． 7、【上海】8．在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点,且2EF =,则AE BF ⋅的最小值为 ． 答案：3-解析:设(0,),(0,2)E m F m +,则(1,),(2,2)AE m BF m ==-+，2(2)AE BF m m ⋅=-++2222(1)3m m m =+-=+-，最小值为3-．解法2：()()2AE BF AO OE BO OF AO BO AO OF OE BO OE OF OE OF ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅-取EF 中点G ,则21OE OF OG ⋅=-．显然20OG ≥(当E F 、关于原点对称）． 所以1OE OF ⋅-≥．则3AE BF ⋅-≥．8、【天津理】8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥,AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为( ） A ．2116 B ．32 C ．2516D ．3BCDE【答案】A【基本解法1】连接AC ,则易证明ABC ADC △≌△，所以60DAC BAC ∠=∠=︒所以BC CD ==(01)DE DC λλ=<<， 则()()()()(1)AE BE AD DE BC CE AD DC BC DC λλ⋅=+⋅+=+⋅--2(1)AD BC DC BC DC λλλ=⋅+⋅--2cos30cos 60(1)AD BC DC BC DC λλλ=⋅︒+⋅︒--22331213322416λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当14λ=时,AE BE ⋅取得最小值，最小值为2116．【基本解法1】连接AC ,则易证明ABC ADC △≌△，所以60DAC BAC ∠=∠=︒， 所以BC CD ==D为坐标原点，,DA DC 所在方向为,x y 轴正方向 建立如图所示平面直角坐标系，过B 作BF x ⊥轴于点FBD则1cos 60,sin 602AF AB BF AB =︒==︒=32B ⎛ ⎝⎭, BCDE设(0DEλλ=<<，则(1,0),(0,)A Eλ，223321(1,),2222416AE BEλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-+=-+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当4λ=时,AE BE⋅取得最小值，最小值为2116．9、【天津文】8．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON==∠=︒，2,2BM MA CN NA==,则BC OM⋅的值为（ )A．15-B．9- C．6- D．0ABCMNO【答案】C解析:)(333-=+-=+=)(33-==，则633)(32-=-⋅=⋅-=⋅．10、【浙江卷】9．已知a b e，，是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为3π,向量b满足2430b e b-⋅+=，则a b-的最小值是（）A1 B1 C．2 D．2【答案】A解析：解法1:（配方法）由2430b e b-⋅+=得22441b e b e-⋅+=,即()221b e-=，因此21b e-=．如图，OE e=，2OF e=，3POEπ∠=，则向量b的终点在以F为圆心,1为半径的圆上,而a的终点A在射线OP上，a b AB-=,问题转化为圆上的点与射线上的点连线长度最小，显然其最小值为圆心到射线的距离减去半径即为1．H解法2:(向量的直径圆式)由2430b e b -⋅+=，得22430b e b e -⋅+=，所以()()30b e b e -⋅-=， 如图，,3,OE e OH e OB b ===,则0EB EH ⋅=，即终点B 在以EH 为直径的圆上,以下同解法1． 解法3:(绝对值性质的应用）由2430b e b -⋅+=，得22441b e b e -⋅+=，即()221b e -=， 因此21b e -=,而由图形得23a e -≤，所以()()222231a b a e b e a e b e -=------=-≥，所以a b -的最小值为1．解法4：（坐标法）设a b e ，，起点均为原点，设(1,0)e =,(,)b x y =，则a 的终点A 在射线(0)y x =>上，由2430b e b -⋅+=，得22430x y x +-+=,即22(2)1x y -+=,所以向量b 的终点在圆22(2)1x y -+=上，a b -的最小值即为求圆上一点到射线(0)y x =>上一点的最小距离，1．。

A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．(2016·安徽皖江名校联考)在△ABC 中，已知向量AB →＝(2，2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( )A ．4B ．5C ．2D ．3【解析】 ∵AB →＝(2，2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.【答案】 C2．(2017·安徽江淮十校第一次联考)在等腰△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →的值为( )A ．－43B ．－13C.13D.43【解析】 由已知得AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎪⎫BA →＋13AC →＝－12AB →2＋16AB →·AC →＋12AC →·BA →＋16AC→2.①因为△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，所以①式＝－12×22＋0＋0＋16×22＝－43.故选A. 【答案】 A3．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若a 与b 的夹角为60°，则直线x cos α－y sin α＋12＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12的位置关系是( )A ．相交B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离【解析】 ∵a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，∴|a |＝2，|b |＝3.∴a ·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)． 而a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3， ∴6cos(α－β)＝3⇒cos(α－β)＝12.则圆心(cos β，－sin β)到直线x cos α－y sin α＋12＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αcos β＋sin αsin β＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos （α－β）＋12＝1＞22＝r ，∴相离． 【答案】 D4．(2016·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 【解析】 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →， ∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选C. 【答案】 C5．(2015·辽阳一模)在△ABC 中，如图，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109C.259 D.269【解析】 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC→＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B. 【答案】 B6．(2016·合肥联考)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 上的投影为________．【解析】 ∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋2×1×2×12＝7，∴|a ＋b |＝7，cos 〈a＋b ，a 〉＝（a ＋b ）·a |a ＋b |·|a |＝1＋17＝277.∴a ＋b 在a 上的投影为|a ＋b |·cos 〈a ＋b ，a 〉＝7×277＝2.【答案】 27．(2015·潍坊模拟)如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________．【解析】 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，所以AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.【答案】1328．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)．【解析】 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线． 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心． 【答案】 垂心9．(2017·上海静安区一模)如图，已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3cos x ，3sin x )，OB →＝(3cos x ，sin x )，OC →＝(3，0)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求证：(OA →－OB →)⊥OC →；(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值． 【解析】 (1)证明 ∵OA →－OB →＝(0，2sin x )，∴(OA →－OB →)·OC →＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA →－OB →)⊥OC →.(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ， ∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ， 整理得2cos 2x －3cos x ＝0， 解得cos x ＝0，或cos x ＝32. ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，x ＝π6.10．(2015·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 【解析】 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，所以AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，所以x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.【答案】 B12．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94【解析】 方法一 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，∴t m ·n ＋n 2＝0.∵4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，∴t |m ||n |×13＋n 2＝0，∴13×34|n |2t ＋n 2＝0.∵|n |≠0，∴t ＝－4.故选B.方法二 ∵4|m |＝3|n |，∴设|m |＝3k ，|n |＝4k (k ＞0)． ∵n ⊥(t m ＋n )＝0，∴t m ·n ＋n 2＝0，∴12k 2t ×13＋16k 2＝0，解得t ＝－4.故选B.【答案】 B13．(2016·北京)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 若|a |＝|b |，则(a ＋b )·(a －b )＝0，不一定有|a ＋b |＝|a －b |，故充分条件不成立；若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0，不一定有|a |＝|b |，因此必要条件也不成立．故选D.【答案】 D14．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．【解析】 设BD →＝a ，DF →＝b ，则BA →·CA →＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2－|a |2＝4，BF →·CF →＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b |2－|a |2＝－1，解得|a |2＝138，|b |2＝58.则BE →·CE →＝(a ＋2b )·(－a ＋2b )＝4|b |2－|a |2＝78.【答案】 7815．(2016·宣城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1.(1)判断△ABC 的形状； (2)求边长c 的值；(3)若|AB →＋AC →|＝22，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)由AB →·AC →＝BA →·BC →＝1， 得bc ·cos A ＝ac ·cos B ，由正弦定理， 即sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，即△ABC 是等腰三角形． (2)由AB →·AC →＝1，得bc ·cos A ＝1，又bc ·b 2＋c 2－a 22bc＝1，则b 2＋c 2－a 2＝2，又a ＝b ，∴c 2＝2，即c ＝ 2.(3)由|AB →＋AC →|＝22，得2＋b 2＋2＝8， ∴b ＝2，又c ＝2， ∴cos A ＝24，sin A ＝144， ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×2×144＝72.。

第五章平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示．(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．2．数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．(2)了解复数的代数表示法及其几何意义．(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．5．1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB →的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的____________．-a|a |是一个与a ________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫_________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________．(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．2．向量的加法和减法 (1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1)．推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n-1A n →＝____________.图1图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的__________就是a 与b 的和(如图2)．在图2中，BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)；a ＋0＝____________＝a .(2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a -b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4．两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．自查自纠1．(1)大小 方向 长度 ||AB → (2)长度为0任意(3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标2．(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC →③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a -b 3．(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4．b ＝λa设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则当a 为零向量时，a 的方向任意；当a 不为零向量时，a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝-|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D .设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝-13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →-43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →-13AC →解：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →-AB →)＝-13AB→＋43AC →.故选A .(2015·湖北联考)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →-OB →B ．-OA →＋2OB →C.23OA →-13OB →D ．-13OA →＋23OB →解：由2AC →＋CB →＝0得2OC →-2OA →＋OB →-OC →＝0，故OC →＝2OA →-OB →.故选A .在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM→＝mAB →，AN →＝nAD →(mn ≠0)，若MN →∥BE →，则n m＝________.解：MN →＝AN →-AM →＝nAD →-mAB →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →-12AB →，因为MN →∥BE →，且向量AD →和AB →不共线，所以n 1＝-m -12，解得nm＝2.故填2.直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP→|＝________.解：如图，取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →＝OA →＋AD →⇒OP →-OA →＝AD→⇒AP →＝AD →，因此|AP →|＝|AD →|＝1.故填1.类型一 向量的基本概念给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形； ④在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确．若AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B .【点拨】从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察．(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b 为零向量，则a 与c 不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.类型二 向量的线性运算在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解法一：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →-AB →)＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →-AB →＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b.解法二：由于G 是△ABC 的中线BE 与CF 的交点，所以G 为△ABC 的重心．延长AG 交BC 于H ，由重心的性质知，AG →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b .【点拨】(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论．(1)设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝解：如图，根据向量加法的几何意义有BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故PC →＋PA →＝0.故选B .(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD → C.BC →D.12BC → 解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A . 类型三 向量共线的充要条件及其应用已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性．若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →， 所以存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →-OB →＝m (OB →-OA →)，所以OC →＝-mOA →＋(1＋m )OB →.令λ＝-m ，μ＝1＋m ，则λ＋μ＝-m ＋1＋m ＝1， 即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(2)再证充分性．若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，则OC →＝λOA →＋(1-λ)OB →，所以OC →-OB →＝λ(OA →-OB →)，即BC →＝λBA →， 所以BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 综合(1)(2)可知，原命题成立．【点拨】证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝-5a ＋6b ，CD →＝7a -2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(-5a ＋6b )＋(7a -2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线．故选A .(2)设两个非零向量a 与b 不共线，若k a ＋b 和a ＋k b 共线，则实数k ＝________.解：因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .所以(k -λ)a ＝(λk -1)b .因为a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k -λ＝λk -1＝0，所以k 2-1＝0.所以k ＝±1.故填±1.(3)如图，在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点．若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为()A ．12B ．13C ．14D ．1解：由N 为AM 的中点，可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由B ，M ，C 三点共线可得2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.故选A .1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形； (2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |⇒/ a ＝±b ；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a ，a||a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的； (2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线．因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件“a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件．1．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a|a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝-b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解：由题意a |a |＝b|b |表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线．故选C .2．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a -b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝-1且c 与d 同向D ．k ＝-1且c 与d 反向解：因为c ∥d ，所以存在实数λ，使得c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a -b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝-λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝-1，λ＝-1. 此时c ＝-d .所以c 与d 反向．故选D .3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1-λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →-OA →＝λ(OB →-OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，所以点B 在线段AM 上．故选B .4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( )A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →解：因为D 为BC 的中点，所以由2OA →＋OB →＋OC →＝0得OB →＋OC →＝-2OA →＝2AO →，即2OD →＝2AO →，所以AO →＝OD →.故选B .5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解：由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →-AB →)＝CB →＋23BC →＝-13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．故选A .6．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n的值为( )A ．-2B ．-12C ．2D.12解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则EF →＝m a ＋n b ，BE →＝AE →-AB →＝12b -a ，由向量EF →与BE →共线可知存在非零实数λ，使得EF →＝λBE →，即m a ＋n b ＝12λb -λa ，又a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝-λ，n ＝12λ， 消去λ得m n ＝-2.故选A .7．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD →＝12AB →，BE →＝23BC →.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解：DE →＝BE →-BD →＝23BC →-12BA →＝23(AC →-AB →)＋12AB →＝-16AB→＋23AC →， 因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，所以λ1＝-16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.故填12.8．已知D 为△ABC 的BC 边上的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．解：PA →＋BP →＋CP →＝0，则CA →＋BP →＝0，即CA →＝PB →，则P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，如图所示．因此AP →＝-2PD →，则λ＝-2. 故填-2.9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝-a ＋b ＋12a ＝b -12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝-14a ＋(-b )＋12a ＝14a -b .10．设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a -b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线． 解：(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a -b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a -b ) ＝2a ＋8b ＋3a -3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. 所以AB →，BD →共线，又因为它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，所以(k -λ)a ＝(λk -1)b ， 因为a ，b 是不共线的两个非零向量，所以k -λ＝λk -1＝0，即k 2-1＝0，所以k ＝±1.11．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解：因为A ，M ，D 三点共线， 所以OM →＝λ1OD →＋(1-λ1)OA → ＝12λ1b ＋(1-λ1)a ，① 因为C ，M ，B 三点共线，所以OM →＝λ2OB →＋(1-λ2)OC →＝λ2b ＋1-λ24a ，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧12λ1＝λ2，1-λ1＝1-λ24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝67，λ2＝37. 故OM →＝17a ＋37b.设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，若C ，D 同时在线段AB上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C选项错误；对于选项D，若C，D同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确．故选D.。

2018版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举例真题演练集训 理 新人教A 版1．[2016·四川卷]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋2334答案：B解析：由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE |＋12＝72，则|BM →|2max ＝494，故选B. 2．[2015·福建卷]已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案：A解析：∵ AB →⊥AC →，故以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t 1t＋4 t ，0 t ＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1)．PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13.当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.3．[2015·天津卷]在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．答案：2918解析：在等腰梯形ABCD 中，由AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得AD ＝DC ＝1. 建立平面直角坐标系如图所示，则A (0,0)，B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32－(2,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32， DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝(1,0)． ∵ BE →＝λBC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12λ，32λ，∴ E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ.∵ DF →＝19λDC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19λ，0，∴ F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32.∴ AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ ≥1718＋229λ·12λ＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时等号成立，符合题意．∴ AE →·AF →的最小值为2918.4．[2016·江苏卷]如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案：78解析：解法一：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设B (－a,0)，C (a,0)，A (b ，c )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ，23c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，13c ，BA →＝(b ＋a ，c )， CA →＝(b －a ，c )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b3＋a ，c 3，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3－a ，c 3，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ＋a ，23c ，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23b －a ，23c ，由BA →·CA →＝b 2－a 2＋c 2＝4，BF →·CF →＝b 29－a 2＋c 29＝－1，解得b 2＋c 2＝458，a 2＝138，则BE →·CE →＝49(b 2＋c 2)－a 2＝78.解法二：设BD →＝a ，DF →＝b ，则BA →·CA →＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2－|a |2＝4，BF →·CF →＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b |2－|a |2＝－1，解得|a |2＝138，|b |2＝58， 则BE →·CE →＝(a ＋2b )·(－a＋2b )＝4|b |2－|a |2＝78.课外拓展阅读巧解平面向量高考题的5种方法向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题．在历年高考中都会对该部分内容进行考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决．基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．下面对辽宁省的一道高考试题采用5种不同的求解方法进行解答．[典例] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．2解法一：目标不等式法 [思路分析][解析] 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝2.展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.[答案] B解法二：向量基底法[思路分析][解析]取向量a，b作为平面向量的一组基底，设c＝m a＋n b.由|c|＝1，即|m a＋n b|＝1，可得(m a)2＋(n b)2＋2mn a·b＝1，由题意知，|a|＝|b|＝1，a·b＝0.整理，得m2＋n2＝1.而a－c＝(1－m)a－n b，b－c＝－m a＋(1－n)b，故由(a－c)·(b－c)≤0，得[(1－m)a－n b]·[－m a＋(1－n)b]≤0，展开，得m(m－1)a2＋n(n－1)b2≤0，即m2－m＋n2－n≤0.又m2＋n2＝1，故m＋n≥1.而a＋b－c＝(1－m)a＋(1－n)b，故(a＋b－c)2＝[(1－m)a＋(1－n)b]＝(1－m)2a2＋2(1－m)(1－n)a·b＋(1－n)2b2＝(1－m)2＋(1－n)2＝m2＋n2－2(m＋n)＋2＝3－2(m＋n)．又m＋n≥1，所以3－2(m＋n)≤1.故|a ＋b －c|2≤1，即|a ＋b －c|≤1. [答案] B 解法三：坐标法 [思路分析][解析] 因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0， 所以〈a ，b 〉＝π2.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为a⊥b ，所以OA ⊥OB .分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则A (1,0)，B (0,1)．设C (x ，y )，则c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1. 则a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )， 故由(a －c )·(b －c )≤0，得 (1－x )×(－x )＋(－y )×(1－y )≤0， 整理，得1－x －y ≤0，即x ＋y ≥1. 而a ＋b －c ＝(1－x,1－y )，则|a ＋b －c |＝ 1－x 2＋ 1－y 2＝3－2 x ＋y . 因为x ＋y ≥1，所以3－2(x ＋y )≤1，即|a ＋b －c|≤1. 所以|a ＋b －c |的最大值为1. [答案] B解法四：三角函数法 [思路分析][解析] 因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0， 所以〈a ，b 〉＝π2.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为a⊥b ，所以OA ⊥OB .分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)．因为|c|＝1，设∠COA＝θ，所以C点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a－c＝(1－cos θ，－sin θ)，b－c＝(－cos θ，1－sin θ)，故由(a－c)·(b－c)≤0，得(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0，整理，得sin θ＋cos θ≥1.而a＋b－c＝(1－cos θ，1－sin θ)，则|a＋b－c|＝ 1－cos θ 2＋ 1－sin θ 2＝3－2 sin θ＋cos θ .因为sin θ＋cos θ≥1，所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1，即|a＋b－c|≤1.所以|a＋b－c|的最大值为1.[答案] B解法五：数形结合法[思路分析][解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 因为|a|＝|b|＝|c|＝1，所以点A ，B ，C 在以O 为圆心、1为半径的圆上．易知CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，|c |＝|OC →|. 由(a －c )·(b －c )≤0，可知CA →·CB →≤0，则π2≤∠BCA <π(因为A ，B ，C 在以O 为圆心的圆上，所以A ，B ，C 三点不能共线，即∠BCA ≠π)，故点C 在劣弧AB 上． 由a·b ＝0，得OA ⊥OB ， 设OD →＝a ＋b ，如图所示，因为a ＋b －c ＝OD →－OC →＝CD →， 所以|a ＋b －c |＝|CD →|，即|a ＋b －c |为点D 与劣弧AB 上一点C 的距离，显然，当点C 与A 或B 点重合时，CD 最长且为1，即|a ＋b －c |的最大值为1. [答案] B。

1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题. 2.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题. 【知识拓展】1.若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2.若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线.( √ )(2)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角.( × ) (3)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形.( × )(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________. 答案 4解析 设a 与b 夹角为α， ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2 ＝8－4|a||b |cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]， ∴8－8cos α∈[0,16]， 即|2a －b |2∈[0,16]， ∴|2a －b |∈[0,4]. ∴|2a －b |的最大值为4.2.设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________. 答案 1∶2解析 设D 为AC 的中点， 如图所示，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →. 又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－OB →，即O 为BD 的中点，从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2.3.(2016·泰州模拟)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________(填“内心”、“外心”、“重心”或“垂心”). 答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4， 即x ＋2y ＝4.4.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)＝________. 答案 －49解析 因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →， 所以P A →·(PB →＋PC →)＝－23AM →·23AM →＝－49.5.如图，△ABC 是边长为23的等边三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则(AP →·BP →)min ＝__________.答案 1解析 取AB 的中点D ，连结CD 、CP (图略). 所以AP →·BP →＝(AC →＋CP →)·(BC →＋CP →) ＝AC →·BC →＋CP →·(AC →＋BC →)＋CP →2 ＝(23)2×12－CP →·2CD →＋1＝7－6cos 〈CP →，CD →〉，当cos 〈CP →，CD →〉＝1时，AP →·BP →取得最小值1.题型一 向量在平面几何中的应用例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________.(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)答案 (1)12(2)重心解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心. 引申探究在本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的______.(填“内心”“外心”“重心”“垂心”) 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC的内心.思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状为__________三角形.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________. 答案 (1)等边 (2)5解析 (1)AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线.因为(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )， P (0，y )，P A →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， 则P A →＋3PB →＝(5,3a －4y )， 即|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2， 由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|P A →＋3PB →|2的最小值为25.故|P A →＋3PB →|的最小值为5. 题型二 向量在解析几何中的应用例2 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________.(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx ＝________________________________________________________________________. 答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝±3.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.(2016·盐城模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________.答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，乘积最小.由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.题型三 向量的其他应用命题点1 向量在不等式中的应用 例3 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是________. 答案 18解析 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18.命题点2 向量在解三角形中的应用例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于________. 答案 35解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0， ∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a＝45，∴sin A ＝35.思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.(2016·扬州模拟)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A到m ，n 的距离分别为1,3.点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是______.答案214解析 方法一 以直线n 为x 轴，过A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则A (0,3)，B (x 1，2)，C (x 2,0)，从而AB →＝(x 1，－1)，AC →＝(x 2，－3)，则AB →·AC →＝x 1x 2＋3，又因为|AB →＋AC →|＝5，即(x 1＋x 2)2＋16＝5，故(x 1＋x 2)2＝9≥4x 1x 2，从而x 1x 2≤94，此时AB →·AC→＝x 1x 2＋3≤214，当且仅当x 1＝x 2时等号成立.方法二 设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →， 从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52，又AB →·AC →＝(AP →＋PB →)·(AP →＋PC →) ＝AP →2－PB →2＝254－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →·AC →≤254－1＝214，当且仅当|BC →|＝2时等号成立.三审图形抓特点典例 (2016·苏州一模)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的 最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值分别为______________.E 为函数图象的对称中心，C 为图象最低点――――――――→作出点C 的对称点MD 、B 两点对称 CD 和MB 对称――――――→CD →在x 轴上的投影是π12BM 在x 轴上的投影OF ＝π12――――→A (－π6，0)AF ＝π4―→T ＝π―→ω＝2――――――――→y ＝sin (2x ＋φ)和y ＝sin 2x 图象比较φ2＝π6―→φ＝π3解析 由E 为该函数图象的一个对称中心，作点C 的对称点M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图.B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 2，π31.(教材改编)已知平面向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝2，a·b ＝－3，则|a ＋2b |＝________. 答案7解析 由题意可得|a ＋2b |＝(|a ＋2b |)2 ＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝7.2.(教材改编)已知|a |＝1，|b |＝ 2 ，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为________. 答案 π4解析 ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a·b ＝0， ∴a·b ＝a 2，∵|a |＝1，|b |＝2， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝a 2|a ||b |＝22，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴向量a 与向量b 的夹角为π4.3.(2016·南京模拟)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)且a ∥b ，则sin 2α＝________. 答案 －45解析 由a ∥b 得cos α＋2sin α＝0， ∴cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，cos 2α＝45，sin 2α＝2sin αcos α＝－cos 2α＝－45.4.设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝________. 答案2π3解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3. 5.已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是________. 答案 抛物线解析 ∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线.6.已知A (－1，cos θ)，B (sin θ，1)，若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点)，则锐角θ＝________. 答案 π4解析 方法一 由向量的几何意义可知，OA →＋OB →是以OA 、OB 为邻边作平行四边形OADB的对角线向量OD →，OA →－OB →则是对角线向量BA →，于是对角线相等的平行四边形为矩形，故OA ⊥OB .因此OA →·OB →＝0，所以cos θ－sin θ＝0，即sin θ＝cos θ， 又因为θ为锐角，所以θ＝π4.方法二 ∵OA →＋OB →＝(sin θ－1，cos θ＋1)， OA →－OB →＝(－sin θ－1，cos θ－1)，由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|可得(sin θ－1)2＋(cos θ＋1)2＝(－sin θ－1)2＋(cos θ－1)2， 整理得sin θ＝cos θ，于是锐角θ＝π4.7.在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得：a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8.(2016·南京模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______. 答案3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.9.设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________. 答案 2 解析 |x ||b |＝|x ||x e 1＋y e 2|＝|x |x 2＋y 2＋3xy ＝1x 2＋y 2＋3xyx 2＝1(y x )2＋3y x＋1＝1(y x ＋32)2＋14.因为(y x ＋32)2＋14≥14，所以|x ||b |的最大值为2.10.(2016·常州期末)如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB→＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________.答案7＋434解析 方法一 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，D (0,4)，C (1,4).又k BC ＝－43，故BC ：y ＝－43(x －4).又AP →＝mAB →＋nAD →，AB →＝(4,0)，AD→＝(0,4)，所以AP →＝(4m,4n )，故P (4m,4n )，又点P 在直线BC 上，即3n ＋4m ＝4，即4(1m ＋1n )＝(3n ＋4m )·(1m ＋1n )＝7＋3n m ＋4mn≥7＋212＝7＋43，所以(1m ＋1n )min ＝7＋434，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3n 2＝4m 2，3n ＋4m ＝4，即m ＝4－23，n ＝83－123时取等号(因为m ，n 均为正实数).方法二 因为AP →＝mAB →＋nAD →， 所以AP →＝mAB →＋n (AC →＋CD →)＝mAB →＋nAC →－n 4AB →＝(m －n 4)AB →＋nAC →.又C ，P ，B 三点共线，故m －n 4＋n ＝1，即m ＋3n4＝1，以下同方法一.11.已知向量a ＝(sin(α＋π6)，3)，b ＝(1,4cos α)，α∈(0，π2).(1)若a ⊥b ，求tan α的值；(2)若a ∥b ，求α的值. 解 (1)因为a ⊥b ，所以sin(α＋π6)＋12cos α＝0，即32sin α＋12cos α＋12cos α＝0， 即32sin α＋252cos α＝0， 又由题意得cos α≠0，所以tan α＝－2533.(2)若a ∥b ，则4cos αsin(α＋π6)＝3，即4cos α(32sin α＋12cos α)＝3， 所以3sin 2α＋cos 2α＝2. 所以sin(2α＋π6)＝1.因为α∈(0，π2)，所以2α＋π6∈(π6，7π6)，所以2α＋π6＝π2，即α＝π6.12.已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值. (1)证明 由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解 因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0<β<π，得0<π－β<π， 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.13.在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，若|m ＋n |＝2. (1)求内角A 的大小；(2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积.解 (1)|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos(π4＋A ).∵4＋4cos(π4＋A )＝4，∴cos(π4＋A )＝0.∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，A ＝π4.(2)由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即a 2＝(42)2＋(2a )2－2×42×2a cos π4，解得a ＝42，∴c ＝8.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×22＝16.14.设向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，－1)，b ＝(2sin ωx ，－1)，其中ω>0，x ∈R ，已知函数f (x )＝a·b 的最小正周期为4π. (1)求ω的值；(2)若sin x 0是关于t 的方程2t 2－t －1＝0的根，且x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求f (x 0)的值. 解 (1)f (x )＝a·b ＝(cos ωx －sin ωx ，－1)·(2sin ωx ，－1)＝2sin ωx cos ωx －2sin 2ωx ＋1 ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4. 因为T ＝4π，所以2π2ω＝4π，ω＝14.(2)方程2t 2－t －1＝0的两根为t 1＝－12，t 2＝1.因为x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以sin x 0∈(－1,1)， 所以sin x 0＝－12，即x 0＝－π6.又由(1)知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x 0＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π12＋π4＝2sin π6＝22.。

§5.4平面向量应用举例考纲展示► 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．考点1向量在平面几何中的应用向量在几何中的应用a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb⇔____________(b≠0)．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔____________.(3)平面几何中夹角与线段长度计算：a·b①cos a，b＝＝________________；|a||b|→→②|AB|＝|AB|＝|AB|2＝____________.答案：(1)x1y2－x2y1＝0(2)x1x2＋y1y2＝0x1x2＋y2y2(3)①x21＋y21·x2＋y2②x2－x12＋y2－y12[典题1]已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满→→→→足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的() A．内心B．外心C．重心D．垂心[答案] C→→→→→→→→→→→[解析]由OP＝OA＋λ(AB＋AC)，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)．根据平行→→→ 四边形法则知，AB＋AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的- 1 -轨迹必过△ABC的重心．→→ABAC→→( |)[题点发散1]在本例中，若动点P满足OP＝OA＋λ＋，λ∈(0，＋∞)，则如→→|AB| |AC何选择？答案：A→→ABAC→→( |)解析：由条件，得OP－OA＝λ＋，|AB| |AC→→→→ABAC→( |)即AP＝λ·＋.|AB| |AC→→→→→→AB AC ABAC→→而和分别表示平行于AB，AC的单位向量，故＋平分∠BAC，→→→→|AB| |AC| |AB| |AC|→即AP平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．→→ABAC→→( |cos C)[题点发散2]在本例中，若动点P满足OP＝OA＋λ＋，λ∈(0，＋→→|AB|cos B|AC∞)，则如何选择？答案：D解析：由条件，得→→ABAC→( |cos C)AP＝λ＋，→→|AB|cos B|AC→→→→AB·BC AC·BC→→( |cos C)从而AP·BC＝λ＋→→|AB|cos B|AC- 2 -→→|AB||BC|cos180°－B→→|AC||BC|cos C＝λ·＋λ·→|AB|cos B→|AC|cos C＝0，→→∴AP⊥BC，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．[点石成金]向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝→→λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为________．答案：2→→→→1→ 解析：解法一：如图，AE＝AB＋BE＝AB＋BC，3→→ 1 → 1→→→→ AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝BC＋AB，λλ→→→→→→1 1∴AE·＝(AB＋)·(BC＋AB)AF BC3 λ1→→ 1 →→ 1＝( ·＋2＋ 21＋3λ)AB BC AB BCλ 31 4 4＝(1＋3λ)×2×2×cos120°＋＋＝1，λ 3解得λ＝2.解法二：建立如图所示平面直角坐标系．- 3 -由题意知，A (0,1)，C (0，－1)，B (－ 3，0)，D ( 3，0)．由 BC ＝3BE ，DC ＝λDF 可求，2 31点 E ，F 的坐标分别为 E(3)， － ，－31 1F (3( λ)λ)，1－ ，－→ →2 3 41 1 1 4 1 ∴AE ·AF ＝ － ，－ · 1－ ，－ ＝－21－ ＋ 1＋ ＝1，(3) (3( λ)－1) ( λ) 3( λ)3λ解得 λ＝2.考点 2 平面向量在三角函数中的应用[典 题 2] 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 向 量 m ＝(sin A ，cos 2 AA A 2 → → 2) (，－cos ，n ＝ cos ，且 2m·n ＋|m |＝ ， · ＝1.2)AB AC22(1)求角 A 的大小； (2)求△ABC 的面积 S .A A Aπ[解] (1)因为 2m·n ＝2sin cos －2cos 2 ＝sin A －(cos A ＋1)＝ sin4)－1，2(A －2 22 π2π 1又|m|＝1，所以 2m·n ＋|m |＝2sin(＝ ，即 sin＝ .A－4) 2 ( 4 )A－2因为0＜A＜π，ππ3π所以－＜A－＜，4 4 4ππ5π所以A－＝，即A＝.4 6 125πππ(2)cos A＝cos 12＝cos( ＋4 )6- 4 -π π π ＝cos cos －sin sin 6 4 6 π 46－ 2 ＝ ， 4 → →因为AB ·AC ＝bc cos A ＝1， 所以 bc ＝ 6＋ 2.5ππ π 6＋ 2又 sin A ＝sin＝sin 4)＝，12(＋641 1 6＋2 2＋3 所以△ABC 的面积 S ＝ bc sin A ＝ ( 6＋ 2)× ＝ . 2 24 2[点石成金] 1.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化 简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．2．熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量的模、夹角的坐标运算公式以 及三角恒等变换、正余弦定理等知识.1.已知 a ，b ，c 为△ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ＝( 3，－1)，n ＝(cos A ，sinA )．若 m⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角 A ，B 的大小分别为( )π π 2π π A. ， B. ， 6 3 3 6 π π π π C. ， D. ， 3 6 3 3答案：C解析：由 m⊥n ，得 m·n ＝0， 即 3cos A －sin A ＝0，π即 2cos(6)＝0.A ＋π π 7π ∵ <A ＋ < ， 6 6 6 π π π ∴A ＋ ＝ ，即 A ＝ . 6 2 3又 a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ， 且 a cos B ＋b cos A ＝c sin C ， 即 c ＝c sin C ，- 5 -∴sin C＝1，又C∈(0，π)，π∴C＝，2πππ∴B＝π－－＝.3 2 62．△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n ＝( 3a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．5π答案：6解析：∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－( 3a＋c)sin C＝0，a b c又∵＝＝，sin A sin B sin C化简，得a 2＋c2－b2＝－3ac，a 2＋c2－b2 3∴cos B＝＝－.2ac 25π∵0<B<π，∴B＝.6考点3向量在解析几何中的应用[典题3]已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，→→→→1 1垂足为Q，且( ·＝0.PC＋PQ－PQ) (PC)2 2(1)求动点P的轨迹方程；→→(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任意一条直径，求PE·PF的最值．[解](1)设P(x，y)，则Q(8，y)．→→→→1 1由( )·( )＝0，得PC＋PQ PC－PQ2 2→ 1→|PC|2－|PQ|2＝0，41即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，4x2 y2化简得＋＝1.16 12x2 y2所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.16 12- 6 -→→→→→→ (2)因为PE·PF＝(NE－NP)·(NF－NP)→→→→→→→ ＝(－NF－NP)·(NF－NP)＝NP2－NF2＝NP2－1，x2 y2P是椭圆＋＝1上的任意一点，16 12x20y204y20设P(x0，y0)，则有＋＝1，即x＝16－，0216 12 3→1 1又N(0,1)，所以NP2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)2＋20.20023 3因为y0∈[－2 3，2 3 ]，→所以当y0＝－3时，NP2取得最大值20，→→故PE·PF的最大值为19；→→→当y0＝2 3时，NP2取得最小值为13－4 (此时x0＝0)，故·的最小值为12－4 .3 PE PF 3[点石成金]向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题．特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.x2→→ 如图所示，直线x＝2与双曲线C：－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点．记＝e1，＝OE1 OE24→e2，任取双曲线C上的点P，若OP＝a e1＋b e2(a，b∈R)，则ab＝()- 7 -1A. B．141 1C. D.2 8答案：A解析：由题意易知，E1(2,1)，E2(2，－1)，∴e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，→故OP＝a e1＋b e2＝(2a＋2b，a－b)．又点P在双曲线上，2a＋2b2∴－(a－b)2＝1，41整理可得，4ab＝1，∴ab＝.4[方法技巧] 1.用向量解决问题时，应注意数形结合思想和转化与化归思想的应用．一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决．2．牢记以下4个结论→→→→ 1 →→→(1)重心：若点G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0或PG＝(PA＋PB＋PC)(其中P为平面3→→→内任意一点)；反之，若GA＋GB＋GC＝0，则点G是△ABC的重心．→→→→→→→→→→→ (2)垂心：若点H是△ABC的垂心，则HA·HB＝HB·HC＝HC·HA或HA2＋BC2＝HB2＋CA2＝HC→→→→→→→2＋AB2；反之，HA·HB＝HB·HC＝HC·HA，则点H是△ABC的垂心．→→→→→→→ (3)内心：若点I是△ABC的内心，则有|BC|·IA＋|CA|·IB＋|AB|·IC＝0；反之，若|BC- 8 -→→→→→|·IA＋|CA|·IB＋|AB|·IC＝0，则点I是△ABC的内心．→→→→→→→→→(4)外心：若点O是△ABC的外心，则(OA＋OB)·BA＝(OB＋OC)·CB＝(OC＋OA)·AC＝0或→→→→→→|OA|＝|OB|＝|OC|；反之，若|OA|＝|OB|＝|OC|，则点O是△ABC的外心．[易错防范] 1.对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等．2．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．3．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和a·b＞0不等价．4．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况．真题演练集训→→→→→→→ 1．[2016·四川卷]在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|＝|DB|＝|DC|，DA·DB＝DB·DC→→→→→→＝DC·DA＝－2，动点P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是()43 49A. B.4 437＋6 3 37＋2 33C. D.4 4答案：B→→→解析：由|DA|＝|DB|＝|DC|知，D为△ABC的外心．→→→→→→由DA·DB＝DB·DC＝DC·DA知，D为△ABC的内心，所以△ABC为正三角形，易知其边长1 71 → 1为2 3.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EM＝AP＝，所以| |max＝|BE|＋＝，BM2 2 2 2→49则|BM| ＝，故选B.m a2x4→→→ 1→2．[2015·福建卷]已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，t→→AB4AC→→→且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于()→→|AB| |AC|A．13 B．15C．19 D．21- 9 -答案：A→ →解析：∵ AB ⊥AC ，故以 A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨1→( t )0，14t ，0设 B( t )，C (t,0)，则＝ ＋ ＝(4,1)，0， AP1 tt故点 P 的坐标为(4,1)． → →11PB ·＝(－1)·(t －4，－1)＝－4t － ＋17PC －4，tt1＝－(＋17≤－2 ＋17＝13.4t ＋t)41 1当且仅当 4t ＝ ，即 t ＝ 时(负值舍去)取得最大值 13. t 23．[2015·天津卷]在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动 → → → 1 → → →点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且BE ＝λBC ，DF ＝ DC ，则AE ·AF 的最小值为________．9λ29答案： 18解析：在等腰梯形 ABCD 中，由 AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得 AD ＝DC ＝1. 建立平面直角坐标系如图所示，3 31 3则 A (0,0)，B (2,0)，C(，D ，， 2) ( ， 2)22→3 31 3BC2) (－＝ －(2,0)＝，( ，，2)22→3 31 3 DC ＝(－＝(1,0)．， 2) (2)， 2 2→→13∵ BE ＝λ ＝λ， λ)，BC(－ 2213∴ E (2－.λ， λ)22- 10 -→ 1→1 1 1 3∵DF＝DC＝，∴F2).( ，0) (＋，9λ9λ 2 9λ→→1 3 1 1∴AE·＝λ，λ)·( ＋，AF(2－2 2 2 9λ1 1 1 3 172 1＝( ＋＋λ＝＋＋λ2 2 4 18 9λ 22－λ)(9λ)32)17 2 1 29≥＋2 ·λ＝，18 9λ 2 182 1 2→→29 当且仅当＝λ，即λ＝时等号成立，符合题意．∴AE·AF的最小值为.9λ 2 3 18 4．[2016·江苏卷]如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，→→→→→→BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．7答案：8解析：解法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，2 2 1 1→则E( ，F，＝(b＋a，c)，b，c) (b，c) BA3 3 3 3→→b cCA＝(b－a，c)，BF＝( 3)，＋a，3→→b c 2 2CF＝( 3)，BE＝( b＋a，c)，－a，3 3 3→2 2CE b－a，c)＝( ，3 3→→由BA·CA＝b2－a2＋c2＝4，- 11 -→→b2c2BF·CF＝－a2＋＝－1，9 945 13解得b2＋c2＝，a2＝，8 8→→ 4 7则BE·CE＝(b2＋c2)－a2＝.9 8→→→→→→ 解法二：设BD＝a，DF＝b，则BA·CA＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，BF·CF＝13 5(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝，则BE·CE＝(a＋2b)·(－a＋8 8→→72b)＝4|b|2－|a|2＝.8课外拓展阅读巧解平面向量高考题的5种方法向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题．在历年高考中都会对该部分内容进行考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决．基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．下面对辽宁省的一道高考试题采用5种不同的求解方法进行解答．[典例]若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A. 2－1 B．1C. 2 D．2解法一：目标不等式法[思路分析]- 12 -展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.[答案] B解法二：向量基底法[思路分析][解析]取向量a，b作为平面向量的一组基底，设c＝m a＋n b.由|c|＝1，即|m a＋n b|＝1，可得(m a)2＋(n b)2＋2mn a·b＝1，由题意知，|a|＝|b|＝1，a·b＝0.整理，得m2＋n2＝1.而a－c＝(1－m)a－n b，b－c＝－m a＋(1－n)b，故由(a－c)·(b－c)≤0，得[(1－m)a－n b]·[－m a＋(1－n)b]≤0，展开，得m(m－1)a2＋n(n－1)b2≤0，即m2－m＋n2－n≤0.又m2＋n2＝1，故m＋n≥1.而a＋b－c＝(1－m)a＋(1－n)b，故(a＋b－c)2＝[(1－m)a＋(1－n)b]＝(1－m)2a2＋2(1－m)(1－n)a·b＋(1－n)2b2＝(1－m)2＋(1－n)2＝m2＋n2－2(m＋n)＋2＝3－2(m＋n)．又m＋n≥1，所以3－2(m＋n)≤1.故|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.[答案] B解法三：坐标法[思路分析][解析]因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，π所以〈a，b〉＝.2→→→ 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，因为a⊥b，所以OA⊥OB.分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)．设C(x，y)，则c＝(x，y)，且x2＋y2＝1.则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，故由(a－c)·(b－c)≤0，得(1－x)×(－x)＋(－y)×(1－y)≤0，整理，得1－x－y≤0，即x＋y≥1.而a＋b－c＝(1－x,1－y)，则|a＋b－c|＝1－x2＋1－y2＝3－2x＋y.因为x＋y≥1，所以3－2(x＋y)≤1，即|a＋b－c|≤1.所以|a＋b－c|的最大值为1.[答案] B解法四：三角函数法[思路分析][解析]因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，π所以〈a，b〉＝.2→→→ 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，因为a⊥b，所以OA⊥OB.分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)．因为|c|＝1，设∠COA＝θ，所以C点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a－c＝(1－cos θ，－sin θ)，b－c＝(－cos θ，1－sin θ)，故由(a－c)·(b－c)≤0，得(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0，整理，得sin θ＋cos θ≥1.而a＋b－c＝(1－cos θ，1－sin θ)，则|a＋b－c|＝1－cos θ2＋1－sin θ2＝3－2sin θ＋cos θ.因为sin θ＋cos θ≥1，所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1，即|a＋b－c|≤1.所以|a＋b－c|的最大值为1.[答案] B解法五：数形结合法[思路分析]→→→[解析]设OA＝a，OB＝b，OC＝c，因为|a|＝|b|＝|c|＝1，所以点A，B，C在以O为圆心、1为半径的圆上．→→→ 易知CA＝a－c，CB＝b－c，|c|＝|OC|.由(a－c)·(b－c)≤0，→→ 可知CA·CB≤0，π则≤∠BCA<π(因为A，B，C在以O为圆心的圆上，所以A，B，C三点不能共线，即∠2BCA≠π)，故点C在劣弧AB上．由a·b＝0，得OA⊥OB，→设OD＝a＋b，如图所示，→→→ 因为a＋b－c＝OD－OC＝CD，→ 所以|a＋b－c|＝|CD|，即|a＋b－c|为点D与劣弧AB上一点C的距离，显然，当点C与A或B点重合时，CD最长且为1，即|a＋b－c|的最大值为1. [答案] B。

素质能力检测（五）一、选择题（每小题5分，共60分）1.点M （4，－3）关于点N （5，－6）的对称点是 A.（4，3） B.（29，0） C.（－21，3）D.（6，－9）解析：设M 关于N 的对称点为M '（x ，y ），MN =M N ，把坐标代入即可. 答案：D2.有三个命题：①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=.其中正确的是A.②B.③C.①③D.②③解析：①与共线，AB 与CD 也可以平行.②中a 与b 也可能为0.选B. 答案：B3.已知A （1，2），B （4，2），则向量按向量a =（－1，3）平移后得到的向量坐标是 A.（3，0） B.（3，5） C.（－4，3）D.（2，3）解析：=（3，0），向量按任何方向平移后坐标不变. 答案：A4.已知|a |=4，|b |=8且a 与2b －a 互相垂直，则向量a 与b 的夹角是 A.arccos 41 B.π－arccos 41 C.3πD.6π 解析：由a ⊥（2b －a ）得a ·（2b －a ）=0，∴2|a ||b |cos θ－|a |2=0.∴cos θ=41. 又0≤θ≤π，∴θ=arccos41. 答案：A5.△ABC 中，已知b =10，c =15，C =30°，则此三角形的解的情况是 A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定 解析：由b ＜c 得B ＜C ，B 必为小于30°的锐角. 答案：A6.下列命题：①k ∈R ，且k b =0，则k =0或b =0； ②若a ·b =0，则a =0或b =0；③若不平行的两个非零向量a 、b ，满足|a |=|b |，则（a +b ）·（a －b ）=0； ④若a 与b 平行，则|a ·b |=|a ||b |； ⑤a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：①正确；②错误，若a ⊥b ，则a ·b =0；③正确，因为（a +b ）·（a －b ）=|a |2－|b |2=0；④正确，可设a =λb ，则a ·b =λb ·b =λ|b |2；⑤错误，若b =0，则对任意a 与c ，均有a ∥b ，b ∥c 成立.答案：C7.已知点P （cos α，sin α），Q （cos β，sin β），则|PQ |的最大值是 A.2B.2C.4D.不存在解析：|PQ |2=（cos β－cos α）2+（sin β－sin α）2=2－2（cos αcos β+sin αsin β）= 2－2cos （α－β），故当cos （α－β）=－1时，|PQ |取最大值2.答案：B8.在△ABC 中，a 2+b 2－c 2=ab ，则角C 为 A.60° B.45°或135° C.120° D.30°解析：cos C =ab c b a 2222-+=21，C =60°.答案：A9.点P 1，P 2，…，P n 是线段AB 的n 个n +1等分点，P ∈{P 1，P 2，…，P n }，则P 分有向线段AB 的比λ的最大值和最小值分别是A.n +1，21+n B.n +1，11+n C.n ，n1D.n －1，11-n 解析：由=λ知λ取得最大值时P 为距点B 最近的点P n ，取最小值时为P 1. 答案：C10.若a 与b 的夹角为60°，|b |=2，（a +b ）·（a －2b ）=－2，则向量a 的模是 A.2 B.5 C.3 D.6 解析：由题意知a 2－a ·b －2b 2=－2，|b |=2，cos60°=21，代入得|a |2－|a |－6=0. ∴|a |=3或|a |=－2（舍去）. 答案：C11.命题p ：|a |=|b |且a ∥b ；命题q ：a =b ，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分要件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件解析：当a ∥b 且a 与b 方向相反时，即使|a |=|b |，也不能得到a =b ，故|a |=|b |且a ∥b 不是a =b 的充分条件，而是必要不充分条件.答案：B12.在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =a ，OB =b ，对任意一点M ，它关于A 的对称点为S ，S 关于点B 的对称点为N ，则用a 、b 表示为A.2（b －a ）B.21（a －b ） C.a +bD.21（a +b ） 解析：MN =MS +SN =2AS +2SB =2OB －2OA .（四边形OASB 是平行四边形） 答案：A二、填空题（每小题4分，共16分） 13. =3e 1，=3e 2，且=21，则=____________. 解析：=3e 2－3e 1，=31=e 2－e 1，=+=2e 1+e 2. 答案：2e 1+e 214.已知向量a =（1，2），b =（－2，1），若正数k 和t 满足x =a +（t 2+1）b 与y =－k a +t1b 垂直，则k 的最小值是____________.解析：x =（1－2－2t 2，1+2+t 2），y =（－k －t 2，－2k +t1），由x ⊥y 得x ·y =0.又t ＞0，∴k =t +t1≥2.∴当t =1时，k 的最小值为2.答案：215.在△ABC 中，记BC =a ，AC =b ，AB =c ，若9a 2+9b 2－19c 2=0，则B A C c o tc o t c o t+=____________.解析：B A C cot cot cot +=B BA A C Csin cos sin cos sin cos +=C CB A 2sin cos sin sin =ab c b a c ab 22222-+⋅=22222cc b a -+ =222218999c c b a -+=22218919c c c -=95.答案：9516.已知直线l 1过点（0，t ），方向向量为（1，1），直线l 2过点（t ，1），方向向量为（1，－2），P 为l 1、l 2的交点，当t 变化时，P 的轨迹方程为____________.解析：l 1方程为x －y +t =0，l 2方程为2x +y －1－2t =0，两式消去t 即得P 的轨迹方程. 答案：4x －y －1=0三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17.（12分）已知向量a =（3，－4），求： （1）与a 平行的单位向量b ； （2）与a 垂直的单位向量c ；（3）将a 绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量e 的坐标.解：（1）设b =λa ，则|b |=1，b =（53，－54）或b =（－53，54）. （2）由a ⊥c ，a =（3，－4），可设c =λ（4，3），求得c =（54，53）或c =（－54，－53）.（3）设e =（x ，y ），则x 2+y 2=25. 又a ·e =3x －4y =|a ||e |cos45°，即3x －4y =2225，由上面关系求得e =（227，－22），或e =（－22，－227）， 而向量e 由a 绕原点逆时针方向旋转45°得到，故e =（227，－22）.18.（12分）向量a =（1，cos2θ），b =（2，1），c =（4sin θ，1），d =（21sin θ，1），其中θ∈（0，4π）. （1）求a ·b －c ·d 的取值范围；（2）若函数f （x ）=|x －1|，判断f （a ·b ）与f （c ·d ）的大小，并说明理由. 解：（1）a ·b =2+cos2θ，c ·d =2sin 2θ+1=2－cos2θ. ∵a ·b －c ·d =2cos2θ，∴0＜θ＜4π.∴0＜2θ＜2π. ∴0＜cos2θ＜1.∴0＜2cos2θ＜2. ∴a ·b －c ·d 的取值范围是（0，2）.（2）f （a ·b ）=|2+cos2θ－1|=|1+cos2θ|=2cos 2θ， f （c ·d ）=|2－cos2θ－1|=|1－cos2θ|=2sin 2θ.于是有f （a ·b ）－f （c ·d ）=2（cos 2θ－sin 2θ）=2cos2θ. ∵0＜θ＜4π，∴0＜2θ＜2π. ∴2cos2θ＞0.∴f （a ·b ）＞f （c ·d ）.19.（12分）△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足下列条件： ①A ＜B ＜C ；②A 、B 、C 成等差数列；③tan A ·tan C =2+3. （1）求A 、B 、C 的大小；（2）若AB 边上的高为43，求a 、b 、c 的大小.解：（1）由题意知B =60°，A +C =120°，tan （A +C ）=CA CA tan tan 1tan tan -+=－tanB =－3，∴tan A +tan C =3+3.故⎪⎩⎪⎨⎧+==32tan 1tan C A ，或⎪⎩⎪⎨⎧=+=1tan 32tan C A ，（舍），故A =45°，B =60°，C =75°.（2）过C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝43，在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，由正弦定理得a =B CD sin =8，b =ACDsin =46，c =AD +DB =43+4. 20.（12分）已知a =（cos θ，sin θ），b =（cos β，sin β），a 与b 之间有关系式|k a +b |=3|a －k b |（k ＞0）.（1）用k 表示a ·b ；（2）求a ·b 的最小值，并求此时a 与b 夹角的大小.解：（1）将|k a +b |=3|a －k b |两边平方得a ·b =k k k 81332222b a ）（）（-+-=kk 412+.（2）∵（k －1）2≥0， 又k ＞0，∴k k 412+≥k k 42=21，即a ·b ≥21，cos α=21.又0°≤α≤180°，故a 与b 的夹角为60°.21.（12分）已知矩形ABCD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：对角线AC ⊥BE ，AC ⊥DF 的充要条件是AB ∶BC =1∶2.证明：设BA =a ，BC =b ，则a ⊥b . AE =21b ，AC =b －a ，BE =BA +AE =a +21b . （1）必要性：∵⊥，∴（b －a ）·（a +21b ）=0， 即a ·b +21b 2－a 2－21a ·b =0. ∵a ⊥b ，∴a ·b =0. ∴21b 2－a 2=0，即21b 2=a 2，得b 2=2a 2，|b |=2|a |. ∴AB ∶BC =1∶2.（2）充分性：∵AC ·BE =（b －a ）·（a －21b ）=a ·b +21b 2－a 2－21a ·b ， 又∵a ⊥b ，∴a ·b =0. ∴·=21b 2－a 2=21|b |2－|a |2. ∵AB ∶BC =1∶2，∴|a |∶|b |=1∶2.∴|a |2=21|b |2.∴AC ·BE =0. 故AC ⊥BE .同理可证·=0，则⊥.综合（1）（2）知AC ⊥BE ，AC ⊥DF 的充要条件是AB ∶BC =1∶2.22.（14分）设坐标平面上全部向量的集合为V ，a =（a 1，a 2）为V 的一个单位向量.已知从V 到V 的映射f 由f （x ）=－x +2（x ·a ）a （x ∈V ）确定.（1）若x 、y ∈V ，求证：f （x ）·f （y ）=x ·y ； （2）对于x ∈V ，计算f ［f （x ）］－x ； （3）设u =（1，0），v =（0，1），若f （u ）=v ，求a . （1）证明：f （x ）·f （y ）=［－x +2（x ·a ）a ］·［－y +2（y ·a ）a ］ =x ·y －4（x ·a ）（y ·a ）+4（x ·a ）（y ·a ）a 2=x ·y . （2）解：∵f ［f （x ）］=f ［－x +2（x ·a ）a ］ =－［－x +2（x ·a ）a ］+2{［－x +2（x ·a ）a ］·a }a =x －2（x ·a ）a +2［－x ·a +2（x ·a ）a 2］a =x －2（x ·a ）a +2（x ·a ）a =x ， ∴f ［f （x ）］－x =0.（3）解：由f （u ）=v ，得⎪⎩⎪⎨⎧==-.120122121a a a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==222221a a ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.222221a a ， ∴a =（22，22）或a =（－22，－22）.。