高中数学阶段质量评估3北师大版选修2

2016-2017学年高中数学 阶段质量评估2 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b ＜0，〈a ，b 〉是钝角；③若a 是直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中错误命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析： ①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A 1B 1→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b＜0，即cos 〈a ，b 〉＜0⇒π2＜〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π；③错误；当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA 1→是不共面的．答案： D2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析： ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， 则32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152. 答案： D3．(2011·营口市高二期末)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 解析：如图：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝CB →－CA →－CC 1→＝－a ＋b －c ，故选D. 答案： D4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧22＋42＋x 2＝62，2×2＋4×y ＋x ×2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.∴x ＋y ＝1或－3.答案： A5．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( ) A.12 B.21015 C.23D.1115解析：以D 为原点，建系，设棱长为1，则DB ′→＝(1,1,1)，C (0,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0. 故cos 〈DB ′→，CM →〉＝1×1＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1×012＋12＋12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋02＝1515， ∴sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.故选B.答案： B6．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32D ．1解析： 由a ·b ＝0及(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，得3λa 2＝2b 2，又|a |＝2，|b |＝3，所以λ＝32，故选A.答案： A7．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD→的化简结果是( )A.AB → B ．2BD →C ．0D ．2DE →解析： 如图，F 是BC 的中点，E 为DF 的三等分点， ∴32DE →＝DF →， ∴12BC →＝BF →， 则AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →－AD → ＝AF →＋FD →－AD → ＝AD →－AD →＝0. 答案： C8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若A E →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝13解析： A E →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12A B →＋12A D →，故x ＝y ＝12.答案： C9．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1,0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析： 设n ＝(x ，y,1)是平面ABC 的一个法向量．∵A B →＝(－5，－1,1)，A C →＝(－4，－2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－5x －y ＋1＝0，－4x －2y －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－32，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1.又A D →＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝|A D →·n ||A D →||n |＝727＝12，∴θ＝30°.答案： A10．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)且BP →⊥平面ABC ，则BP →等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，－4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，－3C.⎝⎛⎭⎪⎫407，－157，4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3解析： ∵AB →⊥BC →， ∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，∴z ＝4，∴BC →＝(3,1,4)， 又BP →⊥平面ABC ， ∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →， ∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0x －＋y －12＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157，∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3. 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知a ＝(1,2，－2)，若|b |＝2|a |且a ∥b ，则b ＝________. 解析： ∵a ∥b ，∴b ＝λa ＝(λ，2λ，－2λ)， 又|b |＝2|a |，∴λ＝±2，∴b ＝(2,4，－4)或b ＝(－2，－4,4)． 答案： (2,4，－4)或(－2，－4,4)12.如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的大小是________．解析： 连接GB 1，CF ，B 1F ∵CG ＝1，CF ＝ 2 ∴GF ＝ 3∵GB 1＝2，B 1F ＝1＋22＝ 5∴GB 21＋GF 2＝B 1F 2∴∠B 1GF ＝π2即异面直线A 1E 与GF 所成的角是π2.答案： π213．设直线a ，b 的方向向量是e 1，e 2，平面α的法向量为n ，给出下列推理：①⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥e 2e 1∥n ⇒b ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥n e 2∥n ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥n b ⊄αe 1⊥e 2⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥e 2e 1∥n ⇒b ⊥α其中正确的是________．(填序号)解析： ①错，②③④均正确．答案： ②③④ 14.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，A C →，A D →}为基底，则G E →＝________.解析： G E →＝G A →＋A D →＋D E →＝－23A M →＋A D →＋14D B →＝－23×12(A B →＋A C →)＋A D →＋14(A B →－A D →)＝－112A B →－13A C →＋34A D →，故G E →＝－112A B →－13A C →＋34A D →.答案： －112A B →－13A C →＋34A D →三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分)如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA 1→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．解析： (1)如图所示，取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1， 则EF →＝12AA 1→＋BC →＋23AB →.(2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC 1→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC 1→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA 1→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34.16．(12分)四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ；AD ＝PD ，E 、F 分别为CD ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥平面PAB ；(2)设AB ＝2BC ，求AC 与平面AEF 夹角的正弦值．解析： (1)证明：以D 为原点，DA →，DC →，DP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD ＝1，AB ＝a .则C (0，a,0)，A (1,0,0)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，B (1，a,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a 2，12，P (0,0,1)， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，AB →＝(0，a,0)，PA →＝(1,0，－1)，∴EF →·AB →＝0，EF →·PA →＝0，即EF ⊥AB ，EF ⊥PA ， 又AB ∩PA ＝A ，∴EF ⊥平面PAB ，(2)∵AB ＝2BC ，∴a ＝2，AC →＝(－1，2，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0⇒12x ＋12z ＝0，n ·AE →＝0⇒－x ＋22y ＝0，令y ＝2，则x ＝1，z ＝－1， ∴平面AEF 的一个法向量n ＝(1，2，－1)．设AC 与平面AEF 的夹角为α，sin α＝|cos 〈AC →，n 〉|＝36，所以AC 与平面AEF 的夹角正弦值为36. 17．(12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.(1)求BF 的长；(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．解析： (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0，0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)，设F (0,0，z )．∵四边形AEC 1F 为平行四边形，∴由AF →＝EC 1→得(－2,0，z )＝(－2,0,2)，∴z ＝2，∴F (0,0,2)．∴BF →＝(－2，－4,2)．于是|BF →|＝26，即BF 的长为2 6. (2)设n 1为平面AEC 1F 的法向量，显然n 1不垂直于平面ADF ，故可设n 1＝(x ，y,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0×x ＋4×y ＋1＝0－2×x ＋0×y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－14，∴n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－14，1.又CC 1→＝(0,0,3)，设CC 1→与n 1的夹角为α，则cos α＝CC 1→·n 1|CC 1→|·|n 1|＝33×1＋116＋1＝43333.∴C 到平面AEC 1F 的距离为d ＝|CC 1→|cos α＝3×43333＝43311.18．(14分)(2011·辽宁卷改编)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求平面QBP 与平面BPC 夹角的余弦值．解析： 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .(1)证明：依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)， 则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →＝(－1,2，－1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0n ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－x ＋2y －z ＝0，因此可取n ＝(0，－1，－2)． 设m 是平面PBQ 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP →＝0m ·PQ →＝0，可取m ＝(1,1,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝－155. 故平面QBP 与平面BPC 夹角的余弦值为155.。

学业分层测评(建议用时：分钟)一、选择题．有两个分类变量与的一组数据，由其列联表计算得χ≈，则认为“与有关系”犯错误的概率为( )．．．．【解析】χ≈＞.这表明认为“与有关系”是错误的可能性约为，即认为“与有关系”犯错误的概率为.【答案】．在调查中发现名男人中有名患有色盲，名女人中有名患有色盲．下列说法正确的是( )．男、女患色盲的频率分别为．男、女患色盲的概率分别为，．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关【解析】男人中患色盲的比例为，要比女人中患色盲的比例大，其差值为≈ ，差值较大．【答案】．为了探究中学生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的名学习时间较长的中学生中有名学习成绩比较好，名学习时间较短的中学生中有名学习成绩比较好，那么你认为中学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为( )．．．．都不正确【解析】计算出χ与两个临界值比较，χ＝－×××)≈ ＞.所以有的把握说中学生的学习成绩与学习时间长短有关，故选.【答案】．某卫生机构对人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有人，不发病的有人；阴性家族史者糖尿病发病的有人，不发病的有人，有的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( )【导学号：】．．．．【解析】可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表χ＝≈＞.故我们有的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．【答案】．假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为{，}和{，}，其×列联表为：( ) ．＝，＝，＝，＝．＝，＝，＝，＝．＝，＝，＝，＝．＝，＝，＝，＝【解析】比较.选项中，＝；选项中，＝；选项中，＝；选项中，＝.故选.【答案】二、填空题．调查者通过随机询问名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名) 性别与喜欢文科还是理科列联表。

2016-2017学年高中数学章末质量评估3 北师大版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学章末质量评估3 北师大版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学章末质量评估3 北师大版选修1-2的全部内容。

第三章推理与证明(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面几种推理是合情推理的是( ）①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分;④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n－2）·180°。

A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③不是合情推理．答案：C2．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( ）①2 016能被2整除；②一切偶数都能被2整除;③2 016是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析: ②是大前提,③是小前提，①是结论．答案：C3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比推理，我们可以得到（)A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理,平面中的直线与空间中的平面类比．答案: D4．证明命题：“f（x)＝e x＋错误!在(0,＋∞）上是增函数”，现给出的证法如下：因为f（x）＝e x＋错误!，所以f′（x)＝e x－错误!，因为x〉0，所以e x〉1，0<错误!<1，所以e x－错误!〉0，即f′（x）〉0，所以f（x)在(0，＋∞）上是增函数，使用的证明方法是（)A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是解析：上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到结论，用了综合法．答案：A5．已知a1＝3,a n＋1＝错误!，试通过计算a2,a3，a4，a5的值推测出a n＝( ）A.错误!B．错误!C。

阶段质量检测(三)统计案例[考试时间：分钟试卷总分：分]第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(全国新课标)在一组样本数据(，)，(，)，…，(，)(≥，，，…，不全相等)的散点图中，若所有样本点(，)(＝，…，)都在直线＝＋上，则这组样本数据的样本相关系数为( )．－．．．已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程＝＋必过点( )．() ．()．() ．()．下列现象的相关程度最高的是( )．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为．流通费用率与商业利润之间的相关系数为－．商品销售额与商业利润之间的相关系数为．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为－．已知某车间加工零件的个数与所花费时间()之间的线性回归方程为＝＋，则加工个零件大约需要( )．．．．．设两个变量和之间具有线性相关关系，它们的相关系数是，关于的回归直线的斜率是，纵轴上的截距是，那么必有( )．与的符号相同．与的符号相同．与的符号相反．与的符号相反．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )①若散点图中的所有点都在一条直线附近，则这条直线的方程为回归方程②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的，，点③已知线性回归方程为＝－＋，则＝时，的估计值为④线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．．．．．某考察团对全国大城市的职工人均工资水平(千元)与居民人均消费水平(千元)进行统计调查，与具有相关关系，回归方程为＝＋.若某城市居民人均消费水平为千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )．．．．．两个相关变量满足如下关系：则两变量的回归方程为( )．＝＋．＝－．＝＋．＝＋.若线性回归方程中的回归系数＝时，则相关系数为( )．＝．＝－．＝．无法确定．某工厂为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了组观察值．计算知＝，＝，＝，＝，则对的线性回归方程是( )．＝＋．＝－＋．＝＋．＝－答题栏第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分，请把正确的答案填在题中的横线上)．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取名学生，得到如下×列联表：。

阶段质量评估(一)计数原理A卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果k∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6,8}，则直线y＝kx＋b共有()A．4条B．16条C．8条D．64条解析：确定直线y＝kx＋b需分两步．第一步：选k，有4种方法；第二步：选b，有4种方法．由乘法原理可知，直线y＝kx＋b共有4×4＝16条．答案：B2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合()A．24个B．36个C．26个D．27个解析：从三个集合中取出两个集合，有C23种取法，分别是集合A，B；集合A，C；集合B，C．当取出集合A，B时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有C14×C13＝12个；当取出集合A，C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有C14×C12＝8个；当取出集合B，C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有C13×C12＝6个．∵集合A，B，C的元素各不相同，∴一共可以组成12＋8＋6＝26个集合．故选C．答案：C3．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80 B．40C．20 D．10解析：(1＋2x)5的展开式的通项为T r＋1＝C r5(2x)r＝2r C r5·x r，令r＝2，得x2的系数为22×C25＝4×10＝40，故选B．答案：B4．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1～6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有( )A ．350种B ．300种C ．65种D ．50种解析：先给办公室选装饰石材，有5种选择，走廊、大厅、外墙从剩余的5种装饰石材中选取3种进行装饰，有A 35种方法，所以共有5A 35＝300种装饰效果．答案：B5．设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，那么a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A ．－122121B ．－6160C ．－244241D ．－1解析：令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，再令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35.两式相加除以2求得a 0＋a 2＋a 4＝122，两式相减除以2可得a 1＋a 3＋a 5＝－121．结合a 5＝－1，故a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3＝－6160．答案：B6．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元(金额相同视为相同红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有( )A ．36种B ．24种C ．18种D ．9种解析：甲、乙两人都抢到红包有三种情况．(1)都抢到2元红包，有C 23＝3种；(2)都抢到3元红包，有C 23＝3种；(3)一个抢到2元，一个抢到3元，有C 12A 23＝12种．故总共有18种情况．答案：C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育排在下午(后2节)，不同的排法种数是________．解析：由题意，要求数学课排在上午(前4节)，体育课排在下午(后2节)，有C 14C 12＝8种．再排其余4节，有A 44＝24种．根据乘法原理，共有8×24＝192种排法． 答案：1928．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法(用数字作答)．解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，我们把完成这件事分为三个步骤．第一步：在9个位置中取4个位置放白球；第二步：在余下的5个位置中取2个位置放红球；第三步：余下三个位置放黄球．由分步计数原理，可知共有C 49·C 25·C 33＝1 260种不同的排法．答案：1 2609．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017x 2 017 (x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 017)＝________(用数字作答)．解析：令x ＝0得a 0＝1，令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝－1，所以(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 017)＝2 016－1＝2 015．答案：2 015三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的常数项，求⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n 展开式中含a －1的项的二项式系数． 解：设⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝⎛⎭⎫－15b r ＝⎝⎛⎭⎫－15r ·45－rC r 5·b 10－5r6，(r ＝0,1,2,3,4,5)． 若它为常数项，则10－5r6＝0，∴r ＝2．代入上式，得T 3＝27． 即常数项是27，从而可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n中n ＝7， 同理⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7二项展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·37－r C r 7·a 5r －216，令5r －21＝－1，得r ＝4．故含a－1的项是第5项，其二项式系数是C 47＝C 37＝35．11．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型中的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．12．(本小题满分13分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定要担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．解：(1)先选后排，分两步．第一步：先选课代表人员的选法有(C35C23＋C45C13)种，第二步：再排列方法有A55种，所以满足题意的选法有(C35C23＋C45C13)A55＝5 400种．(2)除去该女生后，即相当于从剩余的7名学生中选4人担任四科的课代表，有A47＝840种选法．(3)先选后排．从剩余的7名学生中选出4名有C47种选法，排列方法有C14A44，所以选法共有C47C14A44＝3 360种．(4)先从除去该男生该女生的6人中选出3人，有C36种选法，该男生的安排方法有C13种，其余3人做全排列，有A33种选法．因此满足题意的选法共有C36C13A33＝360种．B卷(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种解析：分三种情况．恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C 24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．答案：C2．在二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋14x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项展开式中x－2项的系数为 ( ) A ．2 B ．4 C ．1D ．16 解析：由题意可得2n ，C 1n ·2n －1，C 2n ·2n －2成等差数列，∴2C 1n ·2n －1＝2n ＋C 2n ·2n －2，解得n ＝8.故展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·28－r ·x 4－3r 4，令4－3r 4＝－2，求得r ＝8，故该二项展开式中x －2项的系数为C 88·20＝1，故选C ． 答案：C3．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有( )A ．15种B ．18种C ．30种D ．36种解析：先把A ，B 放入不同盒中，有3×2＝6种放法，再放C ，D ， 若C ，D 在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；若C ，D 在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A 或B 的盒中，有2×2＝4种放法．故共有6×(1＋4)＝30种放法． 答案：C4．某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，则不同的选派方案共( )A ．243种B ．210种C ．150种D ．125种解析：3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，于是可以把5个村分为(1,1,3)和(1,2,2)两组，当为(1,1,3)时，有C 35A 33＝60种，当为(1,2,2)时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90种，根据分类计数原理可得60＋90＝150种． 答案：C5．在(1＋x )n 的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则(1－x 2)n 等于( ) A ．0B ．pqC．p2－q2D．p2＋q2解析：由于(1＋x)n与(1－x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x)n＝p －q，所以(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(p＋q)(p－q)＝p2－q2．答案：C6．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色给如图所示的四连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为()A．28 B．32C．44 D．56解析：根据题意，红色至少要涂两个圆，而且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则红色只能涂第一、三个圆，第二、四个圆或第一、四个圆，分3种情况讨论．①用红色涂第一、三个圆，此时第2个圆不能为红色，有4种涂色方法，第4个圆也不能为红色，有4种涂色方法，则此时共有4×4＝16种涂色方案；②同理，当用红色涂第二、四个圆也有16种涂色方案；③用红色涂第一、四个圆，此时需要在剩下的4种颜色中，任取2种，涂在第二、三个圆中，有A24＝12种涂色方案．则一共有16＋16＋12＝44种不同的涂色方案．答案：C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上)7．如图，在杨辉三角中，从上往下数共有n行(n∈N＋)，在这些数中，非1的数之和为________．解析：所求和S＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)＝2n－12－1－2n＋1＝2n－2n．答案：2n－2n8．某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成(不一定相邻)，其他工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有________种．(用数字作答)解析：B 与C 必须相邻，看做一个元素，与剩下三个元素排列共有A 44种排法，而B 与C 共有A 22种排法，因为A 必须在D 的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有A 44·A 22A 22＝24种．答案：249．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图所示)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．解析：把区域分为三部分，第一部分1,5,9，有3种涂法．第二部分4,7,8，当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；当5,7异色时，7有2种涂法，4,8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部一样，共6种涂法．由乘法原理可得共有3×6×6＝108种涂法．答案：108三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数是19(m ，n ∈N ＋)． (1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值；(2)当f (x )展开式中x 2的系数取最小值时，求f (x )展开式中x 7的系数． 解：(1)由题设条件，得m ＋n ＝19．∴m ＝19－n ，x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n ＝(19－n )(18－n )2＋n (n －1)2＝n 2－19n ＋171＝⎝⎛⎭⎫n －1922＋3234． ∵n ∈N ＋，∴当n ＝9或n ＝10时，x 2的系数取最小值⎝⎛⎭⎫122＋3234＝81．(2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2的系数取最小值，此时x 7的系数为C 710＋C 79＝C 310＋C 29＝156．11．(本小题满分12分)为了下一次的航天飞行，现准备从10名预备队员(其中男6人，女4人)中选4人参加“神舟十一号”的航天任务．(1)若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？(2)若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？(3)若选中的四个航天员被分配到A ，B ，C 三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？解：(1)若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选即可，即有C 28＝28种．(2)至少两名男航天员，可分为2名，3名，4名三类，利用分类加法计数原理可得C 26C 24＋C 36C 14＋C 46＝185种．(3)先选4名航天员，然后把这4名航天员分2,1,1三组，再分配到A ，B ，C 三个实验室去，共有C 410·C 24C 12C 11A 22·A 33＝7 560种．12．(本小题满分13分)规定C m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x＝1，这是组合数C mn (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求C 3－15的值．(2)设x ＞0，当x 为何值时，C 3x(C 1x )2取得最小值？(3)组合数的两个性质：①C m n ＝C n－mn；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，说明理由．解：(1)C 3－15＝(－15)(－16)(－17)3！＝－680．(2)C 3x(C 1x )2＝x (x －1)(x －2)6x 2＝16⎝⎛⎭⎫x ＋2x －3．∵x ＞0，∴x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2时，等号成立．∴当x ＝2时，C 3x(C 1x )2取得最小值．(3)性质①不能推广，例如当x ＝2时，C 12有定义，但C2－12无意义；性质②能推广，它的推广形式是C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1，其中x ∈R ，m 是正整数．事实上，当m ＝1时，有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1，当m ≥2时，C m x ＋C m －1x＝x (x －1)…(x －m ＋1)m ！＋x (x －1)…(x －m ＋2)(m －1)！＝x (x －1)…(x －m ＋2)(m －1)！ ·⎝⎛⎭⎫x －m ＋1m ＋1＝x (x －1)…(x －m ＋2)(x ＋1)m ！＝C mx ＋1．。

2016-2017学年高中数学 阶段质量评估3 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若拋物线y 2＝4x 上的一点P 到焦点的距离为10，则P 点的坐标是( )A ．(9,6)B ．(9，±6)C ．(6,9)D ．(6，±9)解析： 设P (x 0，y 0)，则x 0＋1＝10，∴x 0＝9，y 20＝36，∴y 0＝±6，故P 点坐标为(9，±6)．答案： B2．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析： sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案： C3．双曲线x24＋y2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析： ∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c2a2＝4－k 4∈(1,4)，k ∈(－12,0)． 答案： B4．以椭圆x216＋y29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( ) A.x216－y248＝1 B.x29－y227＝1 C.x216－y248＝1或y29－x227＝1 D ．以上都不对 解析： 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，x216－y248＝1； 当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，y29－x227＝1.选C. 答案： C5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析： 依题意知，|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段．答案： D6．设F 1和F 2为双曲线x24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．1 B.52C ．2 D. 5解析： 由方程知a ＝2，b ＝1，c ＝5，由定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4 ①又∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝20 ②由①、②可得：|PF 1|·|PF 2|＝2，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2＝1，故选A. 答案： A7．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为( )A.x212＋y29＝1B.x29＋y212＝1 C.x212＋y29＝1或y212＋x29＝1 D ．以上都不对 解析： ∵短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，∴2c ＝a ，又∵a －c ＝3，可知c ＝3，a ＝23，∴b ＝a2－c2＝3.∴椭圆方程为x212＋y29＝1或y212＋x29＝1. 答案： C8．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为( )A.53B.414C.54D.415解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9ab ＝20a ＞b可得a ＝5，b ＝4， ∴c 2＝a 2＋b 2＝41，∴c ＝41，e ＝415. 答案： D9．设F 1，F 2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析： 过F2作F 2A ⊥PF 1于A ，由题意知|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则|AF 1|＝2b ，∴|PF 1|＝4b ，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴4b －2c ＝2a ，c ＝2b －a ，c 2＝(2b －a )2，a 2＋b 2＝4b 2－4ab ＋a 2，解得b a ＝43， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选C. 答案： C10．(2011·浙江卷)已知椭圆C 1：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2 解析： 如图，设M ，N 为三等分点，N (x ，y )，由已知c ＝5，故a 2－b 2＝5，即b 2＝a 2－5，且双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，根据对称性，我们只需联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x2a2＋y2a2－5＝1即可，由以上方程组可得出x2a2＋4x2a2－5＝1，解得x 2＝－5a2－5， 又∵|ON |2＝x 2＋y 2＝5x 2＝5－5a2－5＝－a2－1＝a29， ∴a 2＝112，b 2＝a 2－5＝12. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．(2011·北京朝阳一模)已知拋物线y 2＝4x 上一点M 与该拋物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝________________________________________________________________________.解析： 拋物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据拋物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.答案： 312．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________________________________________________________________________．解析： 当0＜m ＜1时， y21m ＋x21＝1，e 2＝a2－b2a2＝1－m ＝34， m ＝14，a 2＝1m＝4，a ＝2；当m ＞1时， x21＋y21m＝1，a ＝1.应填1或2. 答案： 1或213．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________.解析： 圆的标准方程是(x －3)2＋y 2＝42，因此，圆心是(3,0)，半径r ＝4，故与圆相切且垂直于x 轴的两条切线x ＝－1，x ＝7.而y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2.依题意－p 2＝－1，得p ＝2，－p 2＝7，p ＝－14(不符合题意)，∴p ＝2. 答案： 214．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1、F 2，O 为坐标原点，点P 是椭圆上的一点，点M 为PF 1的中点，|OF 1|＝2|OM |，且OM ⊥PF 1，则该椭圆的离心率为________．解析： ∵OM 綊12F 2P ，又|OF 1|＝2|OM |， ∴|PF 2|＝2|OM |＝c ，∵PF 2⊥PF 1，∴(2a －c )2＋c 2＝(2c )2，∴e 2＋2e －2＝0，得e ＝3－1.答案： 3－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆：9x 2＋16y 2＝144.试探究当m 变化时，直线l 与椭圆的位置关系．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，9x2＋16y2＝144消去y ，得9x 2＋16(x ＋m )2＝144， 整理得25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0.因为Δ＝(32m )2－4×25×(16m 2－144)＝242(52－m 2)．当Δ＝0，即m ＝±5时，直线与椭圆相切；当Δ>0，即－5<m <5时，直线与椭圆相交；当Δ<0，即m <－5或x >5时，直线与椭圆相离．16．(12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 作y 轴的平行线交椭圆于M 、N 两点，若|MN |＝3，且椭圆离心率是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，求椭圆方程．解析： ∵右焦点为F (c,0)，把x ＝c 代入x2a2＋y2b2＝1中， 得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c2a2＝b4a2，∴y ＝±b2a . ∴|MN |＝2b2a＝3.① 又2x 2－5x ＋2＝0⇒(2x －1)(x －2)＝0，∴x ＝12或2，又e ∈(0,1)，∴e ＝12，即c a ＝12.② 又知a 2＝b 2＋c 2，③由①②③联立解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝1，b ＝3，∴椭圆方程为x24＋y23＝1. 17．(12分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜顶点的(即截得抛物线顶点)距离是多少？解析： 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB |＝24，灯深|OP |＝10，所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程是y 2＝2px (p >0)．由点A (10,12)在抛物线上，得122＝2p ×10，∴p ＝7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.18．(14分)已知，椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线的斜率AE 与AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析： (1)由题意，知c ＝1，可设椭圆方程为x21＋b2＋y2b2＝1 因为A 在椭圆上，所以11＋b2＋94b2＝1， 解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)． 所以椭圆的方程为x24＋y23＝1. (2)证明：设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x24＋y23＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0. 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上， 所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k2，y E ＝kx E ＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k2，y F ＝－kx F ＋32＋k . 所以直线EF 的斜率k EF ＝yF －yE xF －xE ＝－＋＋2k xF －xE ＝12， 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。

高中数学学习材料唐玲出品第一章一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法()A．13种B．16种C．24种D．48种解析：应用分类加法计数原理，不同走法共有8＋3＋2＝13种．答案： A2．某单位有15名员工，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名员工组成考察团外出参观学习，如果按性别同比例选取，则此考察团的组成方法种数是() A．C310B．C410C25C．C515D．A410A25解析：由题意知，要从男性10人中选取4人，女性5人中选取2人，故有C410C25种组团方法．答案： B3．组合数方程5C5n＋C4n＝C3n的解是()A．6 B．5C．5或1 D．以上都不对解析：代入法，经验证选B．答案： B4．6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有()A．30种B．144种C．5种D．4种解析：分两步完成：第一步，其余3人排列有A33种排法；第二步，从4个可插空档中任选3个给甲、乙、丙3人站有A34种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有A33A34＝144种．答案： B5．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有() A．60个B．48个C．36个D．24个解析：个位上数字只能从2与4中任选一个，有2种选法，万位上的数字有3种选法，其余位上的数字有6种选法，∴共计2×3×6＝36(个)．答案： C6．从6个人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有()A．96 B．180C．240 D．288解析：方法一：分三种情况：①甲，乙都不参加比赛有A44种；②甲、乙只有一人参加比赛有C12·C13·A34种；③甲、乙两人都参加比赛有A23·A24种．故共有A44＋C12·C13·A34＋A23·A24＝240(种)．方法二：若不考虑限制条件，从6人中选出4个参加四项比赛，共有A46种参赛方案，而其中甲参加了英语比赛的方案有A35种，乙参加了英语比赛的方案也有A35种．故甲、乙两人都不参加英语比赛的方案种数是A46－2A35＝360－120＝240(种)．答案： C7．在(x2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A．－7 B．7C．－28 D．28解析：只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，即n＝8，T r＋1＝C r8(x2)8－r(－13x)r＝C r8(－1)r·(12)8－r·x8－43r，当r＝6时为常数项，T7＝7.答案： B8．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有() A．30种B．36种C．42种D．48种解析：依题意，就乙是否值14日分类：第一类，乙值14日，则满足题意的方法共有C14·C24＝24种(注：C14表示从除甲、乙外的4人中任选一人参与14日的值班的方法数；C24表示从余下的4人中任选两人参与15日的值班的方法数)；第二类，乙不值14日，则满足题意的方法共有C24·C13＝18种(注：C24表示从除甲、乙外的4人中任选两人参与14日的值班的方法数；C13表示从余下的3人中任选一人与乙共同参与15日的值班的方法数)．因此，满足题意的方法共有24＋18＝42种．答案： C9．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是()A．－20 B．－15C．15 D．20解析：设第r＋1项为常数项，C r622x(6－r)(－2－x)r＝(－1)r·C r6212x－2rx－rx，∴12x－3rx＝0，∴r＝4.∴常数项为(－1)4C46＝15.答案： C10．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有()A．10个B．16个C．20个D．32个解析：和为11的数对有(1,10)、(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)，要使任何两个数的和不等于11，只需从5个数对中分别任取一个数．∴满足条件的子集有C12·C12·C12·C12·C12＝32个．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．从5名运动员中任选4名排在编号为1,2,3,4的四条跑道上(每条跑道只排一名)，其中某甲不能排在第1,2跑道上，那么不同的排法一共有____________种．解析：由题意优先考虑甲，分为二类，第一类为甲参加，有C34·C12A33＝48种；第二类，甲不参加，有C44A44＝24种．故有48＋24＝72种．答案：7212．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有____________种．(以数字作答)解析： 从10个球中任取3个，有C 310种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．∴共有2C 310＝240种方法．答案： 24013．(3x －123x)10的展开式中的有理项有____________项．解析： T r ＋1＝C r 10·(3x )10－r·(－123x )r ＝(－12)r ·C r 10·x 10－r 3·x －r 3＝(－12)r ·C r 10·x 10－2r 3. ∴当r ＝2,5,8，共3项． 答案： 314．若(2x －3)6＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 6(x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5＝____________. 解析： 令x ＝2得16＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6① 令x ＝0得(－3)6＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6② ①－②得1－36＝2(a 1＋a 3＋a 5)， ∴a 1＋a 3＋a 5＝1－362＝－364.答案： －364三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解析： 从O 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A 型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这种“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．16．(本小题满分12分)把4个男学生和4个女学生平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票体验活动，且把同样两人在不同汽车上服务算作不同情况．(1)有几种不同的分配方法？(2)男学生与女学生分别分组，有几种不同的分配方法？(3)每个小组必须是一个男学生和一个女学生，有几种不同的分配方法？解析： (1)男女合一起共8人，每车2人，可分四步完成，第一辆车有C 28种，第二辆车有C 26种，第三辆车有C 24种，第四辆车有C 22种，共有不同的分法C 28C 26C 24C 22＝2 520(种)．(2)男女分别分组，4个男的平均分成两组共有C 242＝3(种)，4个女的分成两组也有C 242＝3(种)，故分组方法共有3×3＝9(种)，对于每一种分法上4辆车，又有A 44种上法，因而不同的分配方法为9·A 44＝216(种)．(3)要求男女各1个，因此先把男学生安排上车共有A 44种方法，同理，女学生也有A 44种方法，男女各1人上车的不同分配方法为A 44A 44＝576(种)．17．(本小题满分12分)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0， 求(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.解析： (1)令x ＝0，则a 0＝－1， 令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128 ①∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0 ＝(－4)7②由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6 ＝12[(a 7＋a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0)＋(－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0)] ＝12[128＋(－4)7]＝－8 128. 18．(本小题满分14分)已知(12＋2x )n .(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解析： (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0.解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数＝C 37(12)4×23＝352， T 5的系数＝C 47(12)3×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8. 所以T 8的系数＝C 714(12)7×27＝3432. (2)因为 C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大． 因为(12＋2x )12＝(12)12(1＋4x )12，⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，所以9.4≤k ≤10.4. 又因为0≤k ≤12且k ∈N ，所以k ＝10.所以展开式中系数最大的项为T 11. T 11＝(12)12C 1012410x 10＝16 896x 10.)。

2016-2017学年高中数学模块综合质量评估北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学模块综合质量评估北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学模块综合质量评估北师大版选修2-2的全部内容。

模块综合质量评估（考试时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．i是虚数单位，若集合S＝｛－1,0,1},则( ）A．i∈S B．i2∈SC．i3∈S D.错误!∈S解析：∵i2＝－1,而集合S＝{－1，0，1｝，∴i2∈S.答案：B2．下列求导运算正确的是（）A.错误!′＝1＋错误!B．(log2x）′＝错误!C．（3x)′＝3x log3e D．（x2cos x）′＝2x sin x解析：∵错误!′＝1－错误!，∴A错．(log2x）′＝错误!·错误!＝错误!，∴B正确．故选B。

答案: B3．观察按下列顺序排列的等式:9×0＋1＝1,9×1＋2＝11，9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…,猜想第n(n∈N＋）个等式应为( ）A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9（n－1)＋n＝10n－9C．9n＋（n－1）＝10n－9D．9(n－1）＋(n－1）＝10n－10解析：分别观察乘数规律、加数规律和运算结果的规律,得出猜想结果．答案：B4．由曲线y＝错误!与x轴及x＝2所围成的图形绕x轴旋转一周后形成的几何体的体积为( )A．πB．2πC．3π D.错误!解析: V＝错误!πx d x＝π错误!x d x＝错误!x2|错误!＝2π（如图所示)．答案：B5．在用数学归纳法证明“已知f(n)＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!，求证：f(2n)＜n＋1”的过程中，由k推导k＋1时，原式增加的项数是( )A．1 B．k＋1C．2k－1 D．2k解析：f(2k)＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!,f（2k＋1）＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋…＋错误!，∴f(2k＋1）－f(2k)＝2k.答案: D6．设曲线y＝错误!在点（3,2）处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( ）A．2 B。

第三章 导数应用一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1x 2等于( ) A ．9 B ．－9 C ．1D ．－1解析： f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，则x 1x 2＝1. 答案： C2．函数y ＝x ＋e －x的增区间为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，1)解析： 由y ′＝1－e －x＞0解得x ＞0. 答案： B3．函数f (x )＝13x 3＋ax ＋1在(－∞，－1)上为增加的，在(－1,1)上为减少的，则f (1)等于( )A.73 B ．1 C.13D ．－1解析： ∵f ′(x )＝x 2＋a ， 又f ′(－1)＝0，∴a ＝－1，f (1)＝13－1＋1＝13.答案： C4．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c解析： 由f ′(x )的图像知：x ＝0是f (x )的极小值点， ∴f (x )min ＝f (0)＝c . 答案： D5．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图像如图所示．记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2,3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12∪[1,2) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，3解析： 由条件f ′(x )≤0知，选择f (x )图像的减区间即为解． 答案： A6．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析： y ′＝e x＋a ，令y ′＝0，得x ＝ln(－a )，易知x ＝ln(－a )为函数的极值点，所以ln(－a )＞0，解得a ＜－1，故选A.答案： A7．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是( ) A ．－π2B ．2C.π6＋3D.π3＋1 解析： f ′(x )＝1－2sin x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴f ′(x )＞0，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2. 答案： A8．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积为最大，则高为( ) A.33 cmB.1033cm C.1633cm D.2033cm解析： 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x2，其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20) V ′＝π3(400－3x 2)令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0，所以当x ＝2033(cm)时，V 取最大值．答案： D9．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x 且图像过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析： 由题意知f (x )＝x 4－2x 2－5， 令f ′(x )＝4x 3－4x ＝0，得x 的值为0，±1.答案： B10．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32解析： 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点， 所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立， 即f (x )≥－9恒成立， 所以3m －272≥－9，解得m ≥32.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 11．函数y ＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]的最大值为_______，最小值为_________． 解析： y ′＝3x 2－6x ＋6＝3[(x －1)2＋1]＞0，所以函数f (x )在[－1,1]上为增函数，最大值为f (1)＝2，最小值为f (－1)＝－12.答案： 2 －1212．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________________．解析： 由原函数有零点，可将问题转化为方程e x－2x ＋a ＝0有解问题，即方程a ＝2x －e x有解．令函数g (x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为：g (ln 2)＝2ln 2－2.因此，a 的取值范围就是函数g (x )的值域，所以，a ∈(－∞，2ln 2－2]．答案： (－∞，2ln 2－2]13.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图像如图，则函数y ＝x 2＋23bx ＋c 3的单调递增区间为____．解析： 由f (x )的图像可知：f (x )的减区间为[－2,3]． ∴f ′(x )＝0的两根为－2,3， 又∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3＝1c 3＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝－18.∴y ＝x 2＋23bx ＋c 3＝x 2－x －6，其增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 14．若函数f (x )＝－x 3＋6x 2＋a 的极大值等于13，则实数a ＝__________. 解析： f ′(x )＝－3x 2＋12x ， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或4， 由f ′(x )的图像(如图)，可知在x ＝4处f (x )取得极大值， ∴f (4)＝13，即－64＋96＋a ＝13， ∴a ＝－19. 答案： －19三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋1.求f (x )的单调区间和极值．解析： f ′(x )＝x 2－2x －3， 由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3. 列表如下：∴函数f (x )的极大值为3，极小值为－8，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1) 和(3，＋∞)，递减区间是(－1,3)．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )＜2|c |恒成立，求c 的取值范围． 解析： (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ， ∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a ，－1×3＝b3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：要使f (x )＜2|c |恒成立，只需c ＋54＜2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54＜2c ， ∴c ＞54；当c ＜0时，c ＋54＜－2c ，∴c ＜－18，∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．17．(本小题满分12分)已知某厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解析： (1)设平均成本为y 元，则 y ＝25 000＋200x ＋140x2x ＝25 000x ＋200＋x40.y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫25 000x ＋200＋x 40′＝－25 000x2＋140.令y ′＝0，得x 1＝1 000，x 2＝－1 000(舍去)．当在x ＝1 000附近左侧时，y ′＜0；在x ＝1 000附近右侧时，y ′＞0，故当x ＝1 000时，y 取得极小值，由于函数只有一个点使y ′＝0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值．因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为L ＝500x －⎝ ⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x240 ＝300x －25 000－x240，L ′＝⎝⎛⎭⎪⎫300x －25 000－x240′＝300－x 20.令L ′＝0，解得x ＝6 000.当在x ＝6 000附近左侧时，L ′＞0；在x ＝6 000附近右侧时，L ′＜0.故当x ＝6 000时，L 取得极大值．由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax ＋ax －3ln x .(1)当a ＝2时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )在[1，e]上为单调函数，求实数a 的取值范围． 解析： (1)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋2x－3ln x ，f ′(x )＝2－2x2－3x ＝2x2－3x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2或－12(∵x ＞0，舍去负值)，∴当a ＝2(2)∵f ′(x )＝ax2－3x －ax2，令h (x )＝ax 2－3x －a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32a 2－9＋4a24a ，要使f (x )在[1，e]上为单调函数，只需f ′(x )在(1，e)内满足：f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，且等号只在孤立点取得．∵h (1)＝－3＜0，∴h (e)＝a e 2－3e －a ≤0. ∴a ≤3ee2－1.①当0≤a ≤3ee2－1时，f ′(x )≤0恒成立．②当a ＜0时，x ＝32a∉[1，e]，∴h(x)＜0(x∈[1，e])．∴f′(x)＜0，符合题意．综上可知，当a≤3ee2－1时，f(x)在[1，e]上为单调函数．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第二章一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是( ) A ．38B ．12C ．58D ．78解析： P (至少有一枚正面)＝1－P (三枚均为反面)＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. 答案： D2．对于正态分布N (0,1)的概率密度函数f (x )＝12πe －x 22，下列说法不正确的是( )A ．f (x )为偶函数B ．f (x )的最大值为12πC ．f (x )在x >0时是单调减函数，在x ≤0时是单调增函数D ．f (x )关于σ＝1对称解析： X ～N (0,1)，∴曲线的对称轴为x ＝μ＝0. 答案： D3．甲、乙、丙三位同学解一道数学题，他们做对的概率都是0.8，则甲、乙、丙都做对的概率为( )A ．0.83B ．0.1×0.82C ．0.8＋0.8＋0.8D ．1－0.22解析： 记甲、乙、丙三位同学做对一道数学题分别为事件A 、事件B 、事件C ，则事件A 、事件B 、事件C 相互独立，所以同时发生的概率为0.83，选A ．答案： A4．将一颗质地均匀的骰子连掷6次，恰好3次出现6点的概率为( )A ．C 36⎝⎛⎭⎫163⎝⎛⎭⎫563 B ．C 56·16⎝⎛⎭⎫565C ．C 36⎝⎛⎭⎫163⎝⎛⎭⎫560D ．C 56⎝⎛⎭⎫165 解析： 易知一颗骰子连掷6次出现6点这一事件是独立重复试验，利用独立重复试验的概率公式，知恰有3次发生的概率为C 36⎝⎛⎭⎫163⎝⎛⎭⎫563.应选A ． 答案： A5．设ξ是随机变量，且D (10ξ)＝40，则D (ξ)＝( ) A ．0.4 B ．4 C ．40D ．400解析： ∵D (10ξ)＝102Dξ＝40，∴Dξ＝0.4. 答案： A6．设10件产品中有4件不合格，从中任意取2件，试求在所取得的产品中发现有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率是( )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5解析： 在所取的2件产品中发现有一件不合格(另一件合格与否不管)，这个条件下的基本事件总数为C 14C 16＋C 24＝30，其中，另一件也不合格的基本事件个数是C 24＝6， ∴P ＝630＝15＝0.2.答案： A7．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A ．13B ．25C ．56D ．34解析： 设事件A 在1次试验中出现的概率为p ，则在4次独立重复试验中事件A 至少发生1次的概率为1－C 04p 0(1－p )4＝1－(1－p )4，∴1－(1－p )4＝6581，解得p ＝13.答案： A8．设随机变量X ～B (n ，p )，且EX ＝1.6，DX ＝1.28，则( ) A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45解析： ∵X ～B (n ，p )∴EX ＝np ＝1.6，DX ＝np (1－p )＝1.28 ∴1.6(1－p )＝1.28， ∴p ＝0.2，n ＝1.60.2＝8.答案： A9. 已知三个正态分布密度函数f i (x )＝12πσi·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3解析： 正态分布密度函数f 2(x )和f 3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又f 2(x )的对称轴的横坐标值比f 1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数f 1(x )和f 2(x )的图像一样“瘦高”，f 3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.答案： D10．某中学在高二开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高二的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．设X 的甲、乙、丙这3个学生中选修数学史的人数，则EX 等于( )A ． 12B ． 43C ． 34D ．2解析： 由题意知X 的所有取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫ 343＝ 2764；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫ 14⎝⎛⎭⎫ 342＝ 2764； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫ 142⎝⎛⎭⎫ 34＝ 964； P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫ 143＝ 164. ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P27642764964164∴EX ＝0× 2764＋1× 2764＋2× 964＋3× 164＝ 34. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．甲、乙二人同时打靶，甲命中的概率为0.6，乙命中的概率为0.5，则靶被命中的概率为______________.解析： 设“甲命中”为事件A ，“乙命中”为事件B ，“靶被命中”为事件C ，则P (C )＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8. 答案： 0.812．已知A 、B 、C 相互独立，如果P (AB )＝ 16，P (B C )＝ 18，P (AB C )＝ 18，则P (AB )＝____________.解析： 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P (AB )＝16P (B C )＝ 18，P (AB C )＝ 18，解得P (A )＝ 13，P (B )＝ 12.∴P (A B )＝ 23× 12＝ 13.答案： 1313．由正态分布N (1,8)对应的曲线可知，当x ＝____________时，函数f (x )有最大值，为____________.解析： 由正态密度曲线的性质，可知此正态曲线关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ时曲线位于最高点，所以，当x＝1时，f(x)有最大值，且f(x)max＝12π8e－(1－1)22×8＝14π.答案：11 4π14．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x 12 3P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝____________.解析：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则Eξ＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.答案： 2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯炮寿命(单位：小时)X和Y的分布列分别为：X 900 1 000 1 100P 0.10.80.1Y 950 1 000 1 050P 0.30.40.3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？解析：由期望的定义，得EX＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，EY＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．由方差的定义，得DX＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，DY＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1500.∵DX>DY，∴乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．16．(本小题满12分)某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (A |B )． 解析： (1)X 的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35.P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为X 0 1 2 P153515(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ， 则P (C )＝C 34C 36＝420＝15；∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (AB )＝C 14C 36＝15.P (A |B )＝P (AB )P (B )＝25. 17．(本小题满12分)有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布，即X ～N (20,4)．若这批零件共有5 000个．试求：(1)这批零件中尺寸在18 mm ～22 mm 间的零件所占的百分比．(2)若规定尺寸在24 mm ～26 mm 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？解析： (1)∵X ～N (20,4)，∴μ＝20，σ＝2. ∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X 在18 mm ～22 mm 间的零件所占百分比大约是68.3%. (2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26， μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴零件尺寸X 在14 mm ～26 mm 间的百分比大约是99.7%. 而零件尺寸X 在16 mm ～24 mm 间的百分比大约是95.4%. ∴零件尺寸X 在24 mm ～26 mm 间的百分比大约是99.7%－95.4%2＝2.15%.因此尺寸在24 mm～26 mm间的大约有5 000×2.15%≈108(个)．18．(本小题满14分)袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值．解析：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C34·C13·C13·C13C312＝2755.(2)由题意X所有可能的取值为：1,2,3,4.P(X＝1)＝1C312＝1220；P(X＝2)＝C23·C13＋C23·C13＋C33C312＝19220；P(X＝3)＝C26·C13＋C16·C23＋C33C312＝64220＝1655；P(X＝4)＝C29·C13＋C19·C23＋C33C312＝136220＝3455.所以随机变量X的分布列为X 123 4P12201922016553455随机变量X的均值为E(X)＝1×1220＋2×19220＋3×1655＋4×3455＝15544.。