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绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{1,1,2,3,5}A=-，{2,3,4}B=，{|13}C x x=∈≤<R，则()A C B=I U（）A.{2}B.{2,3}C.{1,2,3}- D.{1,2,3,4}2.设变量x y⋅满足约束条件20,20,1,1,x yx yxy+-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y=-+的最大值为（）A.2B.3C.5D.63.设x∈R，则“05x<<”是“|1|1x-<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A.5B.8C.24D.295.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c b a <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 6.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =∣∣∣∣（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）C.27.已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><∣∣是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x．若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A.2-B.D.28.已知函数()011,1x f x x x⎧≤<⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()14f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A.59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C.{}59,144⎛⎤ ⎥⎝⎦UD.{}59,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦U第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分。
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷1至2页，第II卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利第I卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：.如果事件』，B互斥,那么户(A B)=P(A)+P(B).•圆柱的体积公式V=Sh,其中S表示圆柱的底面面积，力表示圆柱的高•棱锥的体积公式V=-Sh，其中S表示棱锥的底面面积，力表示棱锥的高3一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4),c={xe>|L,x<3},则(A C)B=(A){2}(B)(2,3)(C)(-1,2,3)(D){1,2,3, 4)•X+y—2W0,尤一y+2N0,(2)设变量满足约束条件则目标函数z=-^x+y的最大值为x..1,(A)2(B)3(C)5(D)6(3)设xeR,贝U“0<x<5"是"|x—1|<1"的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(O 充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为(A) 5 (B) 8(5)已知 a = log 2 7 , b = log 38 ,(A) c<b<a (c) b<c<a(C) 24 (D) 29c = 0.3°2 ,则ct,b,c 的大小关系为2 2⑹己知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为/.若与双曲线亳—有=1(。
2019年全国高考试题文科数学天津卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高 ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，}31|{<≤∈=x R x C ，则=⋃⋂B C A )( （A ）{2}（B ）{2，3}（C ）{-1，2，3}（D ）{1，2，3，4}答案：D解析：集合}2,1{=⋂C A ,则集合}4,3,2,1{)(=⋃⋂B C A 故答案选D （2）设变量,x y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≥≥+-≤-+110202y x y x y x 则目标函数4z x y =-+的最大值为（A ）2 （B ）3（C ）5（D ）6答案：C解析：本题主要考察线性规划.记y x z +-=4，则约束条件的可行域由图像表示.由图可知，当直线z x y +=4经过点()1,1-时，z 取最大值，则最大值为514max =+=z . 故答案选C（3）设x R ∈，则“05x <<”是“11x -<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件答案：B解析：本题主要考察充分条件与必要条件，解不等式. 由250x x -<可推出50<<x ；由|1|1x -<可推出20<<x . 充分性：由50<<x 不可推出20<<x ，所以充分性不成立； 必要性：由20<<x 可推出50<<x ，所以必要性成立 . 即250x x -<是|1|1x -<的必要不充分条件.故答案选B （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（A ）5 （B ）8 （C ）24 （D ）29答案：B解析：本题主要考察程序框图. 初始：.0,1==S i 第一次循环：;2,1==i S 第二次循环：;3,5,1===i S j第三次循环：,4,8==i S 满足条件，输出8=S .故答案选B （5）已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为（A ）c b a << （B ）a b c << （c ）b c a <<（D ）c a b <<答案：A解析：212log 2log 025=<<<a ;15log 2.0log 25.0>==b ;15.0212.0<=<c 所以b c a <<故答案选A（6）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（A（B（C ）2（D答案：D解析：本题主要考察双曲线与抛物线的性质.抛物线x y 42=的焦点)0,1(F ，准线1-=l ，则4||,4||,1||===OF AB OF ，且A 点和B 点关于x 轴对称，则)2,1(),2,1(---B A .设双曲线渐近线方程为x a b y ±=，则B 点在渐近线x a b y =上，将B 点坐标代入渐近线方程得2=ab所以5122222=+==aa c eb ，则5=e .故答案选D（7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）-2（B）（C（D ）2答案：C解析：本题主要考察三角函数的图像变换,函数的奇偶性由f(x)是奇函数,可知f(0)=0,即0sin =ϕ且πϕ<||,所以0=ϕ.f(x)横坐标伸长到原来的2倍得到g(x),所以g(x)=Asin(2x ω)又g(x)最小正周期为2π,所以2=ω,x A x g sin )(= ,222)4(==A g π所以A=2,f(x)=2sin2x 所以243sin 2)83(==ππf 由上可知,故答案选C （8）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=1,110,2)(x xx x x f 若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 （A ）59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）59,{1}44⎛⎤ ⎥⎝⎦ （D ）59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：D解析：本题主要考察函数交点问题,几何图形问题 记R a a x x g ∈+-=,41)(,如图函数f(x)的图形 转化为求解函数f(x)与g(x)有两个相交点时,a 的取值范围 当函数g(x)经过点(1.2),此时49=a ,由图可知有两个交点,此时a 为的最大临界状态 函数g(x)经过点(1.1),此时45=a ，由图可知有两个交点,此时满足题目条件; 当函数g(x)与)1(1)(>=x xx f 相切时,也满足条件,此时可求得a=1综上,a 的取值范围为59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案选D第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年天津高考试题（文数，word 解析版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！数学〔文科〕本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共150分，考试用时120分钟。
第一卷1至2页，第二卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第一卷本卷须知1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每题5分，共40分。
参考公式：﹒如果事件A,B 胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V=13Sh 其中S 表示圆锥的底面面积， H 表示圆锥的高。
2.本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本答题共6小题，每题5分，共30分。
〔9〕集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位.【解析】3-不等式52≤-x ，即525≤-≤-x ，73≤≤-x ，所以集合}73{≤≤-=x x A ，所以最小的整数为3-。
【答案】3-〔10〕一个几何体的三视图如下图〔单位：m 〕,那么该几何体的体积3m.【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。
长方体的体积为24243=⨯⨯，五棱柱的体积是6412)21(=⨯⨯+，所以几何体的总体积为30。
【答案】30 〔11〕双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,那么a =b =【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-by a x 的渐近线为x a b y ±=，所以有2=ab，a b 2=，又双曲线12222=-by a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a 。
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U .·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈<… ，则()A C B =I U A. {2} B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}【答案】D【思路引导】先求A C I ，再求()A C B I U 。
【解析】因为{1,2}A C =I ，所以(){1,2,3,4}A C B =I U . 故选D 。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为 A. 2 B. 3C. 5D. 6【答案】C【思路引导】画出可行域，用截距模型求最值。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学第Ⅰ卷参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么.·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高 ·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合， ， ，则（ ） （A ）{2}（B ）{2，3}（C ）{-1，2，3}（D ）{1，2，3，4}则目标函数的最大值为（2）设变量满足约束条件（ ） （A ）2（B ）3（C ）5（D ）6（3）设，则“”是“”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（ ）()()()P AB P A P B =+V Sh =S h 13V Sh =S h {}1,1,2,3,5A =-{}2,3,4B ={|13}C x R x =∈<…()A C B =,x y 4z x y =-+x R ∈05x <<11x -<S（A ）5（B ）8（C ）24（D ）29（5）已知，，，则的大小关系为（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）（6）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）（A（B（C）2（D （7）已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若（ ） （A ）-2（B ）（C（D ）2（8）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为（ ）2log 7a =3log 8b =0.20.3c =,,a b c c b a <<a b c <<b c a <<c a b <<24y x =F l 22221(0,0)x y a b a b-=>>||4||AB OF =O ()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><()f x π()y f x =()g x 4g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭01,()1,1.x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩剟x 1()()4f x x a a R =-+∈a（A ）（B ）（C ） （D ）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学本试卷共20题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =−==∈<R …，则()A C B =（A ）{2}（B ）{2，3}（C ）{-1，2，3}（D ）{1，2，3，4}（2）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +−≤⎧⎪−+≥⎪⎨−⎪⎪−⎩……则目标函数4z x y =−+的最大值为（A ）2（B ）3（C ）5（D ）6（3）设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x −<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（A ）5 （B ）8（C ）24 （D ）29（5）已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）c b a << （B ）a b c << （c ）b c a <<（D ）c a b <<（6）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别交于点A和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 （A（B（C ）2（D（7）已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）-2（B）（C（D ）2（8）已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =−+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 （A ）59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）59,44⎛⎤⎥⎝⎦（C ）59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦（D ）59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年高考文数真题试卷（天津卷）原卷+解析一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
1.（2019•天津）设集合，，，则（）A. {2B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}【答案】 D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】，故答案为：D【分析】利用集合交并运算性质即可得出答案。
2.（2019•天津）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】 C【考点】简单线性规划的应用【解析】【解答】作出不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示，由得，平移直线，可知当直线，经过直线与的交点时，直线的截距最大，此时最大由解得此时直线与的交点为此时的最大值为故答案为：C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出的最大值。
3.（2019•天津）设，则“ ”是“ ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由得，由“小范围”推出“大范围”得出可推出故“ ”是“ ”的必要而不充分条件。
故答案为：B【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。
4.（2019•天津）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（）A. 5B. 8C. 24D. 29【答案】 B【考点】程序框图【解析】【解答】该程序框图共运行3次：第1次，，1非偶数，，；第2次，，2是偶数，，，；，3非偶数，，成立，结束循环，故输出。
故答案为：B【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断值的变化规律以及对应的赋值语句即可得出答案。
5.（2019•天津）已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】 A【考点】不等式比较大小【解析】【解答】，，且故故答案为：A【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定的大小关系即可。
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么.·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高 ·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合， ， ，则（A ）{2}（B ）{2，3}（C ）{-1，2，3}（D ）{1，2，3，4}（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（A ）2（B ）3（C ）5（D ）6()()()PA B P A P B =+V Sh =S h 13V Sh =S h {}1,1,2,3,5A =-{}2,3,4B ={|13}C x R x =∈<…()A C B =,x y 20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩……≤≥4z x y =-+（3）设，则“”是“”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（A ）5（B ）8（C ）24（D ）29（5）已知，，，则的大小关系为 （A ） （B ） （c ）（D ）（6）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为 （A（B（C）2 （D（7）已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图x R ∈05x <<11x -<S 2log 7a =3log 8b =0.20.3c =,,a b c c b a <<a b c <<b c a <<c a b <<24y x =F l 22221(0,0)x y a b a b-=>>||4||AB OF =O ()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><()f x π()y f x =象对应的函数为.若（A ）-2（B ）（C（D ）2（8）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 （A ）（B ）（C ）（D ）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）是虚数单位，则的值的值为__________. （10）设，使不等式成立的的取值范围为__________. （11）曲线在点处的切线方程为__________. （12.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.（13）设，，，则的最小值为__________.()g x 4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭01,()1,1.x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩剟x 1()()4f x x a a R =-+∈a 59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦59,44⎛⎤⎥⎝⎦59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦i 51ii-+x R ∈2320x x +-<x cos 2xy x =-()0,10x >0y >24x y +=(1)(21)x y xy++（14）在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如右表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii ）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.（16）（本小题满分13分） 在中，内角所对的边分别为.已知，.（Ⅰ）求的值；ABCD AD BC ∥AB =5AD =30A ∠=︒E CB AE BE =BD AE ⋅=72,108,12025,,,,,A B C D E F ○M M ABC A B C ，，,,a b c 2b c a +=3sin 4sin c B a C =cosB（Ⅱ）求的值.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.（18）（本小题满分13分） 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，. （Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求.（19）（本小题满分14分）设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为B .已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程. （20）（本小题满分14分 设函数，其中.sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭P ABCD -ABCD PCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD=G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC {}n a {}n b 0113a b ==23b a =3243b a =+{}n a {}n b {}n c 21,,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶为数为数()*112222n na c a c a c n N +++∈22221(0)x y a b a b+=>>FA |2||OA OB =O F34l x P C x l C 4x =OC AP ∥()ln (1)x f x x a x e =--a R ∈（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若， （i ）证明恰有两个零点（ii ）设为的极值点，为的零点，且，证明.0a ≤()f x 10a e<<()f x x ()f x 1x ()f x 10x x >0132x x ->绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分 （1）D （2）C （3）B （4）B （5）A（6）D（7）C（8）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分 （9（10）（11） （12）（13）（14）三.解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，满分13分. 解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人. （Ⅱ）（i ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为，共15种.（ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为，共11种.所以，事件发生的概率 （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分13分. （1）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得 21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭220x y +-=4π921-6:9:10{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{},,,,,A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F ，，{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A D A E A F B D B E B F C E C F D F E F M 11()15P M =ABC sin sin b cB C=sin sin b C c B =3sin 4sin c B a C =3sin 4sin b C a C =34b a =2b c a +=43b a =23c a =.（Ⅱ）解：由（1）可得 ，从而，，故. （17）本小题主要考查直线与平面平行直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力满分13分.（Ⅰ）证明：连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）证明：取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，交平面，故.又已知，，所以平面.（Ⅲ）解：连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，因为为等边三角形，且为的中点，所以.又，在中，222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅sin 4B ==sin 22sin cos B B B ==227cos 2cos sin 8B B B =-=-71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=-⨯=⎪⎝⎭BD AC BD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ⊄PAD PD ⊂PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD PACPCD PC =DN ⊥PAC PA ⊂PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PACPCD 2CD =N PC DN =DN AN ⊥Rt AND sin DN DAN AD ∠==所以，直线与平面（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为依题意，得，解得，故，.所以，的通项公式为，的通项公式 为.（Ⅱ）解：. ① ， ②②-①得，. 所以，. （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力，满分14分.（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，又由，消去得AD PAC n {}n a d {}n b q 23323154q dq d =+⎧⎨=+⎩33d q =⎧⎨=⎩33(1)3n a n n =+-=1333n nn b -=⨯={}n a 3n a n ={}n b 3n n b =112222n n a c a c a c ++⋯+()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯++++++()123(1)3663123183...632n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯1213233n nT n =⨯+⨯+⋯+⨯2331313233nT n +=⨯+⨯++⨯()12311313(21)3323333..3313.2n n nn n n n T n n +++--+=----+=-⨯=-+⨯-1221122202(21)33 (36332)n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯()22*(21)3692n n n n N +-++=∈c 2b =222a b c =+b，解得. 所以，椭圆的离心率为. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，， ，故椭圆方程为.由题意，，则直线的方程为.点P 的坐标满足，消去并化简，得到，解得，，代入到的方程，解得，.因为点在轴上方，所以.由圆心在直线上，可设.因为，且由（Ⅰ）知，故，解得.因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，又由圆与，可得.所以，椭圆的方程为. （20）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：由已知，的定义域为，且因此当时， ，从而，所以在内单调递增.（Ⅱ）证明：（i ）由（Ⅰ）知.令，由，可知在内单调递减，又，且2222a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭12c a =122a c =b =2222143x y c c+=(),0F c -l 3()4y x c =+22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，y 2276130x cx c +-=1x c =2137c x =-l 132y c =2914y c =-P x 3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭C 4x =()4,C t OC AP ∥()2,0A c -3242c tc c=+2t =Cx C l 2=2c =2211612x y +=()f x (0,)+∞211e ()e (1)e x x xax f x a a x x x'-⎡⎤=-+-=⎣⎦0a ≤21e 0x ax ->()0f x '>()f x (0,)+∞21()x ax e f x x '-=2()1x g x ax e =-10a e<<()g x (0,)+∞(1)10g ae =->. 故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则.当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，，故在内单调递减，从而当时， ，所以.从而， 又因为，所以在内有唯零点.又在内有唯一零点1，从而，）在内恰有两个零点.（ii ）由题意，即，从而，即.因为当时， ，又，故，两边取对数，得，于是，整理得. 221111ln 1ln 1ln 0g a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()0g x =(0,)+∞()0f x '=(0,)+∞0x 011ln x a<<()00,x x ∈()0()()0g x g x f x x x '=>=()f x ()00,x 0(),x x ∈+∞()0()()0g x g x f x x x'=<=()f x 0(),x +∞0x ()f x ()ln 1h x x x =-+1x >1()10h x x '=-<()h x (1,)+∞1x >()()10h x h <=1lnx x <-1ln 111111ln ln ln ln 1e ln ln ln 1ln 0a f a h a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()0(1)0f x f >=()f x (1,)+∞()f x ()00,x ()f x (1,)+∞()()010,0,f x f x '⎧=⎪⎨=⎪⎩()120111ln 1x x ax e x a x e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩1011201ln x x x x e x --=102011ln 1x x x x e x -=-1x >ln 1x x <-101x x >>()102012011e 1x x x x x x --<=-1020ln ln x x e x -<()10002ln 21x x x x -<<-0132x x ->。
