江苏省南通市海安县实验中学高二数学期中复习概率统计 苏教版

实验中学2015—2016学年度第一学期期中考试试题高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 命题“”的否定是 .2. 直线,分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则与的位置关系为 .3. 抛物线的准线方程为 ．4. “”是“方程表示椭圆”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）5. 已知直线,平面,且,给出下列命题:①若∥，则m ⊥； ②若⊥，则m ∥; ③若m ⊥，则∥④若m ∥，则⊥其中正确的命题是 (填序号) ．6. 若圆锥的侧面展开图圆心角为，则圆锥的底面半径和母线之比为 .7. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的方程为 .8. 已知或x > 3，q : a < x <3a (a >0).若是q 的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 9. 长、宽、高分别为4，3，的长方体的外接球的表面积为 .10. 设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点 到的距离，则椭圆的离心率是．11. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为．12. 在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 .13. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ． 14. 已知是双曲线的右焦点，P 是C 左支上一点， ，当 周长最小时，该三角形的面积为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. (本题满分14分) 已知命题p ：；命题q ：2220，x x ax a ∃∈++-=R ．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．16. (本题满分14分) 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行.17. (本题满分15分) 如图，三棱台的底面是直角三角形，为直角，侧棱底面.(1) 求证：侧面；（2）已知,,求这个棱台的侧面积.18. (本题满分15分) 如图，三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、C A 的中点.（1）证明：平面PBE ⊥平面P AC ；（2）如何在BC 上找一点F ，使A D//平面PE F ？并说明理由；（3）若P A =AB =2，对于（2）的点F ，求三棱锥B —PEF 的体积.19. (本题满分16分) 如图，F 1、F 2分别为椭圆C ：ACA 1B 1C 1)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点到F 1、F 2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标，离心率，准线方程；（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点， 求△F 1PQ 的面积.（3）若点N (1,1）,试在椭圆上找一点M,使MN +2MF 2最小,并求出该最小值.20. (本题满分16分) 在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆T 的中心在坐标原点,一条准线方程为,且经过点(1,0).(1) 求椭圆T 的方程;(2) 设四边形ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆T 相切. ① 求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ② 求矩形ABCD 面积S 的取值范围.实验中学2015—2016学年度第一学期期中考试试题高二数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 命题“”的否定是 .2. 直线,分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则与的位置关系为 .相交或异面3. 抛物线的准线方程为 ．4. “”是“方程表示椭圆”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”） 必要不充分 ．5. 已知直线,平面,且,给出下列命题:①若∥，则m ⊥； ②若⊥，则m ∥; ③若m ⊥，则∥④若m ∥，则⊥其中正确的命题是 (填序号) ①④．6. 若圆锥的侧面展开图圆心角为，则圆锥的底面半径和母线之比为 .7. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的方程为8. 已知或x > 3，q : a < x <3a (a >0).若是q 的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 9. 长、宽、高分别为4，3，的长方体的外接球的表面积为10. 设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点 到的距离，则椭圆的离心率是．11. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为12. 在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 .13. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 2 ． 14. 已知是双曲线的右焦点，P 是C 左支上一点， ，当 周长最小时，该三角形的面积为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. (本题满分14分) 已知命题p ：；命题q ：2220，x x ax a ∃∈++-=R ． 若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 【解】： p 是真命题对恒成立．而函数的最小值为1， 所以使p 为真命题的a 的取值范围是．………5分q 是真命题关于x 的方程有解，即2(2)4(2)4(2)(1)0a a a a ∆=--=+-≥，亦即． 所以使q 为真命题的a 的取值范围是． ………10分 命题“p 且q ”是真命题p ，q 都是真命题．………12分 故使p 和q 为真命题的a 的取值范围是．………14分16. (本题满分14分) 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行.解：建立直角坐标系，设抛物线型拱桥方程为， 过，. ,………5分 由于小船宽，当时，，即当船顶距抛物线拱顶为m 时，小船恰好能通过.………10分 又载货后，船露出水面上的部分高m.当水面距抛物线拱顶距离时，小船恰好能通行.………13分答：当水面上涨到与抛物线拱顶相距时，小船恰好能通行.………14分17. (本题满分15分) 如图，三棱台的底面是直角三角形，为直角，侧棱底面.(1) 求证：侧面；（2）已知,,求这个棱台的侧面积. 【证】：（1）∵底面， ∴,又为直角， ∴,又,∴ ………7分 【解】(2) 在平面为垂足中，作H AB H B B A ,11⊥. ∵ ∴244111====B B A A H B BH ，. 又4811==B A AB ，因而，故直角梯形.24111=S ABB A 的面积为 ………9分 由于～,且由4,6811===B A BC AB ，，ACA 1B 1C 1可知5C A 3,C 10.B AC 1111===, 而由B B BC 111,ABB A BC ⊥⊥得到平面, 故直角梯形218BCC B 211=S 的面积为. ………12分 又直角梯形，的面积为30ACC A 311=S)23(18S 321+=++=∴S S S 侧 ………15分18. (本题满分15分) 如图，三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、C A 的中点.（1）证明：平面PBE ⊥平面P AC ；（2）如何在BC 上找一点F ，使A D//平面PE F ？并说明理由；（3）若P A =AB =2，对于（2）的点F ，求三棱锥B —PEF 的体积.【证】（1）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA.又PACA=A ，∴BE ⊥平面PAC ………3分 ∵BE 平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC ………5分 【解】（2）取CD 的中点F ，则F 即为所求 ………7分 ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD.又EF 平面PEF ，AD 平面PEF ，∴AD//平面PEF ………10分 （3）1113332.3322B PEF P BEF BEF V V PA S --==⋅=⋅⋅⋅⋅= ………15分 19. (本题满分16分) 如图，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点到F 1、F 2两点的距离之和为4. （1）求椭圆C 的方程和焦点坐标，离心率，准线方程；（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.（4）若点N (1,1）,试在椭圆上找一点M,使MN +2MF 2最小,并求出该最小值.解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2；………1分将点代入椭圆方程得， 解得b 2 = 3；∴c 2 = a 2－b 2 = 4－3 = 1， 故椭圆方程为，焦点F 1、F 2的坐标分别为（-1，0）和（1，0）， ，准线方程………5分 （2）由（1）知， ， ∴PQ 所在直线方程为, 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=134)1(2322y x x y 得 ，………7分 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则89,232121-=⋅-=+y y y y ，………8分 221894434)(2122121=⨯+=-+=-∴y y y y y y ，.2212212212121211=⨯⨯=-⋅=∴∆y y F F S PQ F ………11分 (3) , ………16分20. (本题满分16分) 在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆T 的中心在坐标原点,一条准线方程为,且经过点(1,0).(1)求椭圆T 的方程;(2)设四边形ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆T 相切. ①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ②求矩形ABCD 面积S 的取值范围.【解】(1)因为椭圆T 的中心在坐标原点,一条准线方程为有y =2,所以椭圆T 的焦点在y 轴上,于是可设椭圆T 的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0).………………2分因为椭圆T 经过点(1, 0),所以2222011a b =⎪+=⎪⎩，， 解得故椭圆T 的方程为.………………4分 (2)由题意知,矩形ABCD 是椭圆的外切矩形,①(i)若矩形ABCD 的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为, 则由2212y x y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(2)220k x kmx m +++-=,………………6分于是222244(2)(2)0k m k m∆=-+-=,化简得.所以矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为,即,则另一组对边所在直线的方程为,于是矩形顶点坐标(x,y)满足2222()()(2)(12)y kx ky x k k-++=+++,即2222(1)()3(1)k x y k++=+,亦即.………………8分(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴平行,则四个顶点显然满足.故满足条件的所有矩形的顶点在定圆上.………………10分②当矩形ABCD的边与坐标轴不平行时,由①知,一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边长,于是矩形的一条边长为,=所以S===………………12分令,则,于是(6S⎤==⎦.………14分②若矩形ABCD的边与坐标轴平行,则.故S的取值范围是.………………16分。

2022-2023学年江苏省南通市海安市高二（下）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |x 2≤x }，B ＝{x |y ＝log 2（x ﹣1）}，则A ∪B ＝（ ） A ．[1，+∞）B ．[0，+∞）C ．（0，1）D ．[0，1]2．已知复数z 满足z （1+i ）＝（z +1）（2i ﹣1），则复数z 的实部与虚部的和为（ ） A ．1B ．﹣1C ．15D ．−153．使命题“∀x ∈[1，2），x 2﹣a ≤0”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥4D ．a ＞44．为了远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A 340，它是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A 310，假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知A 340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A 310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行，若要使A 340飞机比A 310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（ ） A ．(23，1)B ．(13，1)C ．（0，23）D ．（0，13）5．为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩X ～N （70，100），其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ） 附：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ≤X ＜μ+2σ）＝0.9544． A ．该校学生体育成绩的方差为10B ．该校学生体育成绩的期望为85C ．该校学生体育成绩的及格率小于85%D ．该校学生体育成绩的优秀率大于3%6．“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到A ，B ，C 三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（ ） A ．72B ．36C ．48D ．187．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ） A ．0.155B ．0.175C ．0.016D ．0.0968．在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2BC ＝2，∠ABC ＝60°，设侧面PBC 与底面ABC 的夹角为α，若三棱锥P﹣ABC 的体积为√33，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，tan α＝（ ） A ．4√33B ．√34C ．√3D ．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省海安县实验中学高二数学期中考试试卷命题/校对：风雨无阻本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列图形符号中，表示输入输出框的是 （ ）2．条件语句的一般形式是“If A Then B Else C ”，其中B 表示的是 （ ） A ．满足条件时执行的内容 B ．条件语句 C ．条件 D ．不满足条件时执行的内容3．若动圆与圆(x-2)2+y 2=1外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B.抛物线 C.双曲线的一支 D.圆4．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ） A ．至少有1个白球，都是白球 B ．至少有1个白球，至少有1个红球 C ．恰有1个白球，恰有2个白球 D ．至少有1个白球，都是红球 5．右面的伪代码输出的结果是 （ ）A. 3B. 5C. 9D. 136．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是 （ ）A ．70，75B ．70，50C ．75，1.04D ．65, 2.357．在下列结论中，正确的是 （ ）①""p q ∧为真是""p q ∨为真的充分不必要条件；②""p q ∧为假是""p q ∨为真的充分不必要条件； ③""p q ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件； ④""p ⌝为真是""p q ∧为假的必要不充分条件； A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④8．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以0.7为概率的事件 是 （ ） A. 都不是一等品 B. 恰有1件一等品 C. 至少有1件一等品 D. 至多有1件一等品 9．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有 （ ） A ．a>b>c B ．b>c>a C ．c>a>b D ．c>b>a10．已知函数f(x)与g(x)的定义域都是R ，则f(x)>g(x)恒成立的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，f(x)>g(x) B. 存在无数个x ∈R,使得f(x)>g(x) C ．∀x ∈R ，都有f(x)>g(x)+1 D. 不存在x ∈R,使f(x)≤g(x) 11．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的. 二进制即“逢2进1”，如（1101）2表示二进制数,将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13， 那么将二进制数220061(11111)个转换成十进制数是（ ） A ．22005－2 B ．22006－2C ．22005－1D ．22006－112． 已知实数x 、y 可以在02x <<，02y <<的条件下随机取数，那么取出的数对(,)x y 满足22(1)(1)1x y -+-<的概率是 （ ） A4π B 4π C 2π D 3π 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本大题共6小题；每小题5分，共30分） 13．右面的伪代码输出的结果S 为 ． 14．x y >，0xy >是11x y<的 条件. 15．移动公司出台一项新的优惠政策：若顾客该月接听电话时间不超过500分钟，则收取8 元的费用，超过500分钟的，超过部分按每分钟0.2元计（不足1分钟按1分钟计）。

江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高二上学期第一次学情检测（10月）数学试题一、单选题1．直线142x y-=在y 轴上的截距为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．42．若直线1l ：220x ay +-=与直线2l ：0x y a -+=平行，则直线1l 与2l 之间的距离为（ ）AB C D 3．已知椭圆C ：22135x y k k+=-+的焦点在y 轴上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．()5,1--C ．()5,3-D ．()()5,11,3---U4．已知直线3440x y +-=与圆C 相切于点()0,1T ，圆心C 在直线0x y -=上，则圆C 的方程为（ ）A ．()()223313x y -+-= B ．()()223325x y -++= C ．()()223313x y ++-=D ．()()223325x y +++=5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，P '为垂足，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）6．已知椭圆C ：221128x y +=的左焦点为F ，P 为C 上一动点，定点(A -，则PF PA+的最大值为（ ）A ．B ．C ．2+D ．2+7．如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中θ为参数，θ∈R ），能形成这种效果的只可能是（ ）A ．cos sin y x θθ=+B ．cos y x θ=+C ．sin 1y x θ=+D ．2cos 2sin 10x y θθ++=8．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，直线y =与C 交于,A B 两点.若ABF △的周长为7a ，则C 的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．65D二、多选题9．已知椭圆22:14x y C m+=的离心率为12，则实数m =（ ）A ．1B ．3C ．163D ．1610．已知点P 在圆22:(6)(5)16C x y -+-=上，直线:312l x y +=与x 轴､y 轴分别交于,A B 两点，则（ ）A ．直线l 与圆相离B ．点P 到直线l 的距离小于7C ．当∠PAB 最大时，PA =D ．以BC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在直线的方程为6250x y +-=11．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线的方程为0x =，1F ，2F是C 的左、右焦点，12A ⎫⎪⎪⎝⎭是C 上一点，连结2AF 交C 于点B ，则（ ）A ．CB ．12AF AF ⊥C ．12F AF V 的周长为2D ．1F AB V三、填空题12．已知入射光线经过点()3,4M -，被直线:30l x y -+=反射，反射光线经过点()3,7N ，则反射光线所在直线的方程为.13．设双曲线C :22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，P 是C上一点，且12F P F P ⊥. 若12PF F V 的面积为3，则双曲线的方程为.14．已知圆22:430C x y x +-+=，若直线()1y k x =+上存在一点P ，且过点P 所作的圆的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围为.四、解答题15．已知直线()():211740l m x m y m +++--= (1)求证：不论实数m 取何值，直线l 恒过一定点；(2)若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求l 的方程.1620y -=，且点(-在双曲线上. (1)求双曲线标准方程，(2)若双曲线的左顶点为1A ，右焦点为2,F P 为双曲线右支上任意一点，求12PA PF ⋅u u u r u u u u r的最小值.17．已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()0,1A -的距离与到定点()0,1B (1)求曲线C 的方程；(2)过点()2,1M 的直线l 与曲线C 交于两点M N ､，若4MN =，求直线l 的方程.18．已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，斜率不为0的直线l 与C 交于,A B 两点.(1)若11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是线段AB 的中点，求直线l 的方程；(2)若直线l 经过点()4,0Q （点A 在点,B Q 之间），直线FA 与直线FB 的斜率分别为,FA FB k k ，求证：FA FB k k +为定值.19．已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点B，且ABPV的面积为9，求l的方程．。

南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，若，则（ ）A. B. C. 4D. 22. 记函数的导函数为.若，则（ ）A. B. 0C. 1D. 23. 某产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系：2456830405060已知与的线性回归方程为，则等于（ ）A. 68B. 69C. 70D. 714. 已知函数，则的图象大致为（ ）A. B.(1,,2)a m = (2,4,)b n =- //a bm n +=4-6-()f x ()f x '()sin f x x x =+()0f '=1-x y x yay x 715y x =+a ()ln f x x x =-()f xC. D.5. 在的展开式中，含项的系数为（ ）A 16B. -16C. 8D. -86. 甲､乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮2次，则甲与乙进球数相同的概率为（ ）A.B.C. D.7. 今年春节，《热辣滚汤》､《飞驰人生2》､《熊出没之逆转时空》､《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影.若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）A.B.C.D.8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ）A. 共有120种不同的排法B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法.4(1)(2)x x -+3x 121373611361336173696491619324564()21ln 2f x a x x =+1x ()212x x x ≠()()12121f x f x x x ->-10,4⎛⎤ ⎝⎦10,4⎛⎫⎪⎝⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭10. 已知，则（ ）A. 展开式各项的二项式系数的和为B. 展开式各项的系数的和为C.D. 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（ ）A. 平面平面B. 为的中点时，C. 存在点，使得直线与的距离为D. 存在点，使得直线与平面所成的角为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量，且，则__________.13. 已知事件相互独立.若，则__________.14. 若函数有绝对值不大于1的零点，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在上的最值.1002100012100(12)x a a x a x a x -=++++ 10021-024********a a a a a a a a ++++>++++ 123100231000a a a a ++++< ABF DCE -AB AF ⊥4AB AD AF ===G »CDADG ⊥BCGG »CD//BF DG G EFAG G CF BCG 60()22,X N σ:(1)0.7P X >=(23)P X <<=,A B ()()0.6,0.3P A P B A ==()P AB =()334f x x x a =-+a ()()1e xf x x =-()y f x =()()1,1f ()f x []1,2-16. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角正弦值.17. “五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青､老年游客各120名进行调查，得到下表：满意不满意青年8040老年10020（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为，求的分布列与数学期望.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数.（1）讨论单调性；的的1111ABCD A B C D -ABCD //AB ,DC DA DC ⊥111,2AD DD CD AB E ====AB C 1BC D 1B C D E --0.005α=X X ()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()20P x χ≥0x 21()(1)ln ,R 2f x ax a x x a =+--∈()f x（2）当时，证明：；（3）若函数有两个极值点，求的取值范围.19. 现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.（1）当时，①假设已知选中恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；（2）记第三次取到白球的概率为，证明：.的0a >3()22f x a≥-2()()F x ax x f x =--11222,()3x x x x <<12()()F x F x -()1,2,3,,3n n ≥ n ()1,2,3,,k k n = k n k -4n =p 2p 1<南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学简要答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】AB三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）；（2），.【16题答案】【答案】（1（2）.【17题答案】【答案】（1）能认有关 （2）分布列略，【18题答案】【答案】（1）答案略； （2）证明略； （3）.【19题答案】【答案】（1）①；② （2）证明略为0.2150.1232511,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦e e 0x y --=2max ()(2)e f x f ==min ()(0)1f x f ==-13()34E X =3(0,ln 2)4-1216。

2024~2025学年度第一学期期中学业质量监测试卷高二数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.22.若直线与平行，则（ ）A.B.C. D.23.已知数列满足，且，则（ ）A.B.0C.1D.24.已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（ ）A.B.30C.80D.不存在5.已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（ ）B.D.36.如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（）(),2A m ()1,21B m -135 m =4-2-431:210l x y -+=()2:110l ax a y +-+=a =1-1323{}n a ()111nn n a a +=-+21a =6a =1-{}n a 2-{}n a n 1214()2222:10,0x y C a b a b-=>>212y x =C 32C CA. B.C.D.7.已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（）A.5B.D.108.已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，，使得为钝角，则的取值范围是（）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.斜率之积为的两直线相互垂直C.在两坐标轴上截距相等的直线斜率为D.直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线10.下列四个命题中，正确的是（ ）A.要唯一确定圆，只需给出圆上三点B.要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线C.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点11.设数列的前项和为，则数列为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一个充分条件是（）221x y x y +-=221x y x y ++=221x y x y +-=221x y x y ++=22:14520y x C +=F C A B ABF V AB =MN 22:4O x y +=60MON ∠= P MN MN O :4l y x =-A B APB ∠AB (0,-()+∞(0,()++∞[]0,π1-1-{}n a n n S {}n aA. B.C.D.，三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________.13.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为__________.14.已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则__________；若为上的动点，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，.（1）若直线的斜率为1，求；（2）求证：.16.（15分）已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列.17.（15分）已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程.18.（17分）n S n =11n n S S +=+n n S na =()1122n n n S S S n +-=-≥12a a =()()22:124C x y -+-=x C {}n a 51a =-108a =2:4C x y =F Q ()22:54M x y +-=(0,4)A QA QF=P C 12PF PQ QF ++xOy ()3,0T l 2:3C y x =A B l AB OA OB ⊥{}n a n n S 24a =530S ={}n a nn S b n c=+*n ∈N 1b 2b 3b c {}n b P ()22:116M x y ++=()1,0N PN PM Q Q C C N l x C D E l y B BD EN =l已知等轴双曲线的左､右焦点分别，，且焦距为，，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且.（1）求的方程；（2）若直线的斜率为，求直线的斜率；（3）若四边形的面积为的方程.19.（17分）记等差数列的前项和为，公差为.（1）证明：是关于的不含常数项的二次函数；（2）等差数列的公差为，且.①求的通项公式；②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由.()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 2F A B Γ12AF BF ∥ΓAB 131AF 12AF F B 1AF {}n a n n S ()110d d ≠n S n {}n b 2d n n n S a b ={}n b ,,,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}n c n n T 1d ∈Z *k ∈N 1692k T =1d k高二参考答案与评分建议一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1DACB AADD二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BD10.ABD11.ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案不唯一，，13.714.；四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）15.解：（1）设，依题意，直线的方程为：.与联立方程组并消去，得，所以.所以.（2）设直线的方程为：.与联立方程组并消去，得.所以.所以8-2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -++=-+-=2222(1(1)1,(1(1)1x y x y --+-=-++-=125()()1122,,,A x y B x y AB 3x y =+23y x =x 2390y y --=12y y -=2AB y =-=∣AB 3x my =+23y x =x 2390y my --=12123,9y y m y y +==-1212OA OB x x y y ⋅=+，，所以.16.解：（1）设等差数列的公差为.因为，所以，解得，所以.（2）由（1）知，，所以.因为成等差数列，所以，即.化简得，，解得或.当时，，所以；当时，，所以.所以数列均为等差数列.17.解：（1）连结.因为线段的垂直平分线与交于点，所以.丁是.根据椭圆的定义，知点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆.设焦距为，则.又设椭圆的方程为：，()()121233my my y y =+++()()21212139m y y m y y =++++()()219339m m m =+⨯-+⨯+0=OA OB ⊥{}n a d 254,30a S ==114,51030a d a d +=+=12a d ==2n a n =()2222n n n S n n +==+()1nn n n S b n c n c+==++123,,b b b 2132b b b =+62122213c c c⨯=++++20c c -=0c =1c =0c =1n b n =+11n n b b +-=1c =n b n =11n n b b +-={}n b QN PN PM Q QN QP =42QM QN QM QP MP MN +=+==>=Q ,M N 2c 22c =C ()222210x y a b a b+=>>则，故.所以的方程为.（2）由题意，知直线的斜率存在，不妨设的方程为：，则.又设.联立与并消去，得，所以又，则，故.所以，解得.所以的方程为.18.解：（1）因为等轴双曲线的焦距为，所以，又，所以，所以的方程：.（2）法1：延长，与分别交于点.根据对称性，知，且.所以四边形为平行四边形，且和均关于原点对称.设，则，且.于是，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3.法2：设，又设直线的方程为，由题意，.24a =2223b a c =-=C 22143x y +=l l ()1y k x =-()0,B k -()()1122,,,D x y E x y ()1y k x =-22143x y +=y ()22223484120k xk x k +-+-=2122834k x x k +=+BD EN =()()1122,1,x y k x y +=--121x x =-21228134k x x k +==+k =z )1y x =-()2222Γ:10,0x y a b a b-=>>,a b c ==222c a b =+1a b ==Γ221x y -=12,AF BF Γ,A B ''1221,AF B F BF A F =='',AA BB AA ='''∥BB 'AA B B '',A B ',B A 'O ()()1122,,,A x y B x y ()22,A x y --'222211221,1x y x y -=-=()()()()()()12222121212121222212121212111AB AFAB A x x y y y y y y k k k k x x x x x x x x '----+-=====-+--AB 131AF ()()1122,,,A x y B x y AB 13y x t =+0t >直线与双曲线联立方程组消去，得，则②，因为，则，即，即，化简得，由①得，③，由①③得，则，所以直线的斜率为3.（3）设直线的方程为：，与联立方程组并消去，得的两根为.结合（2）法1知，所以.所以，解得或因为分别是在第二象限和第一象限上一点，所以不符合题意；所以直线的方程为.19.（17分）AB221,31,y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩y 2286990x tx t ---=()212123991,48r x x t x x ++=⋅=1AF ∥2BF 12AF BF k k ==((1221y x y x =((12211133x t x x t x ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭())2112t x x x x -=++21x x -=123838x t x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩113383AFt t k ⎛+ =====1AF 1AF )1x my m =≠±221x y -=x ()22110m y --+=12,y y -12y y +=()111211212222AA O AF O A F O AF F B S S S S OF y y ''==+=⨯⨯⨯+V V V 梯形m =m =,A B Γm =1AF x y =-证明：（1）依题意，等差数列的前项和又因为，所以是关于的不含常数项的二次函数.（2）①法1：因为，由（1）知，，故或.由①知，，即，故或.若，因为，所以，于是.由①知，，所以.又，故，即.所以，从而.若，当时，由①知，，即，所以，因为，所以.所以，从而.当时，则.由①知，，即，故，这与矛盾；综上，的通项公式为或.法2：因为，则，故或若，则当时，，即，{}n a n ()1112n n n S na d -=+2111.22d d n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭10d ≠n S n n n nS a b =()()111211a n d b n d ⎡⎤⎡⎤=+-+-⎣⎦⎣⎦()()()()2121121211112d d n a d d b d d n a d b d ⎡⎤=+---+--⎣⎦()()11120a d b d --=11a d =12b d =111a a b =()1110a b -=10a =11b =1 10a =10d ≠11a d ≠12b d =1222a a a b +=()2210a b -=21110a a d d =+=≠21b =121b d +=1212b d ==2n nb =2 11b =11a d =1222a a a b +=()111122a d a d b +=+11232d d b =10d ≠232b =22112d b b =-=12n n b +=12b d =221,2d b ==1222a a a b +=1222a a a +=12a a =10d ≠{}n b 2n n b =12n n b +=n n n s a b =111a a b =10a =11b =1 10a =2n =222S a b =1222a a a b +=因为，所以，当时，，即，即，所以，所以，所以；若，则，当时，，即，即①，当时，，即，即②由①②，得，因为，所以，所以；综上，的通项公式为或.法3：因为，所以，整理得，.因为，所以因为，由①得，.将代入②③，整理得.当时，；当时，由，有，因为，所以；综上，的通项公式为或②由①知，或21110a a d d =+=≠21b =3n =333S a b =()11113332a d a d b +=+11332d d b =332b =23212d b b =-=()21222n n b b n =+-⋅=2 10a ≠11b =2n =222S a b =()()1111221a d a d d +=++11212a a d d d =+3n =333S a b =()()1111233212a d a d d +=++111212224a d a d d d +=+1122d d d =10d ≠212d =()111122n n b n +=+-⋅={}n b 2n n b =12n n b +=n n n s a b =()()()1111121112n n na d a n d b n d -⎡⎤⎡⎤+=+-+-⎣⎦⎣⎦()()()22111121211121112222d d n a n d d n a d b d d d n a d b d ⎛⎫+-=++-+-- ⎪⎝⎭*n ∈N ()()112111211121112,22,20.d d d d a a d b d d d a d b d ⎧=⎪⎪⎪-=+-⎨⎪--=⎪⎪⎩10d ≠212d =212d =111a a b =10a ≠()1111,1122n n b b n +==+-⋅=10a =()()11120a d b d --=()1120d b d -=10d ≠()12111,12222n n b d b n ===+-⋅={}n b 2n n b =12n n b +=()11,2n n n a n d b =-=11,2n n n a d n b +==若，此时各项都是整数，故必为整数，所以.若①当为偶数时，设，则，整理得，，经检验，只能解得②当为奇数时，设，则由（1）知，，整理得，，即，此时不存在满足上式.综上，存在，使得.1 ()11,,,,2n n d n c n n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数n c k T 1692k T ≠2 1,,1,,2n nd n c n n ⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数n *2,n k k =∈N ()()211111316921122222k k k k k k T kd d k k kd ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫=+⋅+⋅+⨯=++=⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()*1122169,,k kd k k d ++=∈∈N Z 11,22169,k kd k =⎧⎨++=⎩11,83k d =⎧⎨=⎩n *21,n k k =-∈N 2221221121116912222k k k k k k T T c k kd k d -+-⎛⎫=-=++-=+= ⎪⎝⎭()2121170k d +=()2121257k d +=⨯⨯*1,k d ∈∈N Z 183d =21692T =。

2022-2023学年江苏省南通市海安实验中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |2x ＞1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，3]2．已知复数z 满足|z |+z ＝8+4i ，则z ＝（ ） A ．3+4iB ．3﹣4iC ．﹣3+4iD ．﹣3﹣4i3．椭圆x 2+2y 2＝4的焦点坐标为（ ） A ．(√2，0)，(−√2，0) B ．(0，√2)，(0，−√2) C ．(√6，0)，(−√6，0)D ．(0，√6)，(0，−√6)4．已知直线l 1：3x +ay +1＝0，l 2：（a +2）x +y +a ＝0．当l 1∥l 2时，a 的值为（ ） A ．1B ．﹣3C ．﹣3或1D ．−325．直线l 分别交x 轴和y 轴于A 、B 两点，若M （2，1）是线段AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣3＝0 B ．2x +y ﹣5＝0C ．x +2y ﹣4＝0D ．x ﹣2y +3＝06．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．x 24−y 212=1 B ．x 212−y 24=1C ．x 23−y 2=1D ．x 2−y 23=17．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）＝3x +a ，则f （2022）+f （2023）＝（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．48．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ﹣2）2＝1，点A （0，3），若圆C 上存在点M ，满足|MA |＝2|MO |（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣3，0] B ．（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞） C ．[0，3]D ．（﹣∞，0]∪[3，+∞）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分不选或有选错的得0分. 9．已知直线l ：ax +y ﹣2﹣a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣210．若{a n }为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ） A ．{a n 2} B ．{k •a n }（其中k ∈R 且k ≠0） C ．{1a n}D ．{lna n }11．设椭圆C ：x 22+y 2=1的左右焦点为F 1，F 2，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．|PF 1|+|PF 2|=2√2B ．离心率e =√62C ．△PF 1F 2面积的最大值为√2D ．以线段F 1F 2为直径的圆与直线x +y −√2=0相切12．已知首项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，曲线∁n ：a n x 2+a n +1y 2＝1，则下列叙述正确的有（ ） A ．q ＝1，∁n 为圆 B ．q ＝﹣1，∁n 离心率为2 C ．q ＞1，∁n 离心率为√1−1qD ．q ＜0，∁n 为共渐近线的双曲线三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝6，则S 6＝ ． 14．写出一个同时满足以下条件的抛物线C 的方程为 ． ①C 的顶点在坐标原点； ②C 的对称轴为坐标轴； ③C 的焦点到其准线的距离为34．15．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n =1−1a n−1(n ≥2)，则a 2021＝ ．16．已知焦点为F 1，F 2的双曲线C 的离心率为√5，点P 为C 上一点，且满足2|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2√5，则双曲线C 的实轴长为 ．四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，18-22题均为12分）.17．（10分）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 5＝25，求： （1）数列{a n }的通项公式； （2）数列{1a n a n+1}的前n 项和T n ．18．（12分）已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上．（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l ：3x +4y ﹣11＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长|AB |的值．19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asin2B −√3bsinA =0． （1）求角B 的大小；（2）给出三个条件：①b =√3；②a +c =3+√3；③c sin C ＝sin A ，试从中选出两个条件，求△ABC 的面积．20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0，S n =(a n +12)2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n ⋅2a n }的前n 项和．21．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px 过点A(1，√2)． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点P （2，0）且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点．，求证：OM ⊥ON ． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A （0，1），离心率为√32． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过A 作斜率为k 1，k 2的两条直线．分别交椭圆于M ，N ，且k 1+k 2＝2．证明：直线MN 过定点并求定点坐标．2022-2023学年江苏省南通市海安实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |2x ＞1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，3]解：由已知可得集合A ＝{x |﹣1＜x ＜﹣3}，集合B ＝{x |x ＞0}， 则∁R B ＝{x |x ≤0}，所以A ∩（∁R B ）＝{x |﹣1＜x ≤0}， 故选：C ．2．已知复数z 满足|z |+z ＝8+4i ，则z ＝（ ） A ．3+4iB ．3﹣4iC ．﹣3+4iD ．﹣3﹣4i解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 所以a +bi +√a 2+b 2=8+4i ，故{a +√a 2+b 2=8b =4， 解得：{a =3b =4，故z ＝a +bi ，故选：A ．3．椭圆x 2+2y 2＝4的焦点坐标为（ ） A ．(√2，0)，(−√2，0) B ．(0，√2)，(0，−√2) C ．(√6，0)，(−√6，0)D ．(0，√6)，(0，−√6)解：椭圆x 2+2y 2＝4的标准方程为：x 24+y 22=1，可得a ＝2，b =√2，c =√2，所以椭圆的焦点坐标(√2，0)，(−√2，0)． 故选：A ．4．已知直线l 1：3x +ay +1＝0，l 2：（a +2）x +y +a ＝0．当l 1∥l 2时，a 的值为（ ） A ．1B ．﹣3C ．﹣3或1D ．−32解：因为直线l 1：3x +ay +1＝0，l 2：（a +2）x +y +a ＝0， 令a （a +2）﹣3×1＝0，得a 2+2a ﹣3＝0，解得a ＝﹣3或a ＝1，当a ＝﹣3时，直线l 1：3x ﹣3y +1＝0，l 2：﹣x +y ﹣3＝0，l 1∥l 2，满足题意；当a ＝1时，直线l 1：3x +y +1＝0，l 2：3x +y +1＝0，l 1与l 2重合，应舍去； 所以a 的值为﹣3． 故选：B ．5．直线l 分别交x 轴和y 轴于A 、B 两点，若M （2，1）是线段AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣3＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．x +2y ﹣4＝0D ．x ﹣2y +3＝0 解：设A （a ，0），B （0，b ），（a ，b ≠0），则直线l 的方程为 x a+y b=1，∵M （2，1）为AB 中点，∴a2=2，b2=1，∴a ＝4，b ＝2， 则直线l 的方程为：x4+y 2=1，即x +2y ﹣4＝0，故选：C ． 6．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．x 24−y 212=1 B ．x 212−y 24=1C ．x 23−y 2=1D ．x 2−y 23=1解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点）， 可得c ＝2，ba =√3，即b 2a 2=3，c 2−a 2a 2=3，解得a ＝1，b =√3，双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线方程为：x 2−y 23=1． 故选：D ．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）＝3x +a ，则f （2022）+f （2023）＝（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4解：定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （x ）， 所以f （2+x ）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （4+x ）＝﹣f （x +2）＝f （x ）， 因为当0≤x ≤1时，（x ）＝3x +a ， 由奇函数性质，得f （0）＝1+a ＝0， 所以a ＝﹣1，所以当0≤x ≤1时，f （x ）＝3x ﹣1， 所以f （1）＝2，f （2）＝﹣f （0）＝0， 则f （2021）+f （2022）＝f （1）+f （2）＝2． 故选：C ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ﹣2）2＝1，点A （0，3），若圆C 上存在点M ，满足|MA |＝2|MO |（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣3，0] B ．（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞） C ．[0，3]D ．（﹣∞，0]∪[3，+∞）解：设M （x ，y ），则|MA |=√x 2+(y −3)2，|MO |=√x 2+y 2， ∵|MA |＝2|MO |，∴x 2+（y ﹣3）2＝4（x 2+y 2）， 整理得：x 2+（y +1）2＝4，M 的轨迹是以N （0，﹣1）为圆心，以2为半径的圆N ， 又∵M 在圆C 上， ∴圆C 与圆N 有公共点， ∴1≤|CN |≤3，即1≤√a 2+(a +3)2≤3， 解得﹣3≤a ≤0． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分不选或有选错的得0分. 9．已知直线l ：ax +y ﹣2﹣a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2解：根据题意a ≠0，由直线l ：ax +y ﹣2﹣a ＝0， 令y ＝0，得到直线在x 轴上的截距是2+a a，令x ＝0得到直线在y 轴上的截距是2+a ， 根据题意得：2+a a=2+a ，即a 2+a ﹣2＝0，分解因式得：（a +2）（a ﹣1）＝0， 解得：a ＝﹣2或a ＝1， 故选：AD ．10．若{a n }为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（ ）A ．{a n 2}B ．{k •a n }（其中k ∈R 且k ≠0）C ．{1a n}D ．{lna n }解：由于{a n }为等比数列，所以a n a n−1=q(常数)，所以：对于A ：a n 2a n−12=q 2（常数），故A 正确；对于B ：ka nka n−1=q （常数），故B 正确；对于C ：1a n1a n−1=1q（常数），故C 正确；对于D ：lna n 满足lna n ﹣lna n ﹣1＝lnq （常数），故lna n 为等差数列，故D 错误． 故选：ABC ．11．设椭圆C ：x 22+y 2=1的左右焦点为F 1，F 2，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．|PF 1|+|PF 2|=2√2 B ．离心率e =√62C ．△PF 1F 2面积的最大值为√2D ．以线段F 1F 2为直径的圆与直线x +y −√2=0相切 解：由椭圆C ：x 22+y 2=1可知，a =√2，b ＝1，c ＝1， 所以左、右焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 根据椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=2a =2√2，故A 正确； 离心率e =c a =√22，故B 错误； 所以△PF 1F 2面积的最大值为12×2c ×b ＝bc ＝1，故C 错误； 由原点（0，0）到直线x +y −√2=0的距离d =√2√1+1=1＝c ，所以以线段F 1F 2为直径的圆与直线x +y −√2=0相切，故D 正确； 故选：AD ．12．已知首项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，曲线∁n ：a n x 2+a n +1y 2＝1，则下列叙述正确的有（ ） A ．q ＝1，∁n 为圆 B ．q ＝﹣1，∁n 离心率为2 C ．q ＞1，∁n 离心率为√1−1qD ．q ＜0，∁n 为共渐近线的双曲线解：对于选项A ，当q ＝1时，a n ＝a 1＞0，所以曲线∁n ：a 1x 2+a 1y 2＝1，即x 2+y 2=1a 1表示圆，故A 正确；对于选项B ，当q ＝﹣1时，a n ＝a 1•（﹣1）n ﹣1，a n +1＝a 1•（﹣1）n ，当n 为奇数时，a n ＝a 1，a n +1＝﹣a 1，所以曲线∁n ：a 1x 2﹣a 1y 2＝1，所以a 2=b 2=1a 1，所以c 2＝a 2+b 2=2a 1，所以∁n 离心率为e =ca =√2，故选项B 错误；对于选项C ，当q ＞1时，a n ＝a 1•q n ﹣1，a n +1＝a 1•q n ，所以曲线∁n ：a 1•q n ﹣1x 2+a 1•q n y 2＝1，所以a 2=1a 1q n−1，b 2=1a 1q n， 所以c 2＝a 2﹣b 2=1a 1q n−1−1a 1qn =q−1a 1q n ，所以曲线∁n 的离心率为e =c a =√q−1q ，故C 正确； 对于选项D ，当q ＜0时，a n ＝a 1•q n ﹣1，a n +1＝a 1•q n ，当n 为奇数时，a n ＝a 1•q n ﹣1＞0，a n +1＝a 1•q n ＜0，所以曲线∁n ：a 1•q n ﹣1x 2﹣（﹣a 1•q n ）y 2＝1，其渐近线的方程为x ±qy ＝0；当n 为偶数时，a n ＝a 1•q n ﹣1＜0，a n +1＝a 1•q n ＞0，所以曲线∁n ：a 1•q n y 2﹣（﹣a 1•q n ﹣1）x 2＝1，所以其渐近线的方程为√−q y ±x ＝0，故D 正确， 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上. 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝6，则S 6＝ 12 ． 解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4也成等差数列，即2（S 4﹣S 2）＝S 2+S 6﹣S 4， ∵S 2＝2，S 4＝6，∴2×4＝2+S 6﹣6，解得S 6＝12． 故答案为：12．14．写出一个同时满足以下条件的抛物线C 的方程为 y 2=32x ． ①C 的顶点在坐标原点； ②C 的对称轴为坐标轴； ③C 的焦点到其准线的距离为34．解：由①②可知C 的方程为抛物线的标准方程，由③可知，p =34， 所以抛物线C 的方程可以为y 2=32x ．故答案为：y 2=32x （答案不唯一）． 15．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n =1−1a n−1(n ≥2)，则a 2021＝ 12．解：∵数列{a n }中，a 1＝2，a n =1−1a n−1(n ≥2)，∴a 2＝1−12=12， a 3＝1−112=−1，a 4＝1−1−1=2， ......．∴数列{a n }是周期为3的数列， 又2021＝3×673+2， ∴a 2021＝a 2=12， 故答案为：12．16．已知焦点为F 1，F 2的双曲线C 的离心率为√5，点P 为C 上一点，且满足2|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2√5，则双曲线C 的实轴长为 √2 ． 解：∵2|PF 1|＝3|PF 2|，设|PF 1|＝3t ，|PF 2|＝2t ， 则2a ＝|PF 1|﹣|PF 2|＝t ， 又e =2c 2a =2c t =√5，∴t =2c √5， ∴|PF 1|=6c √5，|PF 2|=4c√5，|F 1F 2|＝2c ， ∴|PF 1|：|PF 2|：|F 1F 2|＝3：2：√5， ∴cos ∠F 1PF 2=9+4−52×3×2=23，∴sin ∠F 1PF 2=√53，∴△PF 1F 2的面积为12×3t ×2t ×√53=2√5，∴t =√2，∴双曲线C 的实轴长2a ＝t =√2， 故答案为：√2．四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，18-22题均为12分）.17．（10分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S5＝25，求：（1）数列{a n}的通项公式；（2）数列{1a n a n+1}的前n项和T n．解：（1）设等差数列a n的公差为d，则S5=5a1+5×42d=5×1+10d=25，所以d＝2．所以a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，即a n＝2n﹣1；（2）由（1）知，1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n=12×(11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12×(1−12n+1)=n2n+1．18．（12分）已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l：3x+4y﹣11＝0与圆C相交于A、B两点，求所得弦长|AB|的值．解：（1）由题意可得，圆心为（2，0），半径为2．则圆的方程为（x﹣2）2+y2＝4．（2）圆心（2，0）到l的距离为d，d=|6−11|5=1，∴|AB|=2√r2−d2=2√3．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin2B−√3bsinA=0．（1）求角B的大小；（2）给出三个条件：①b=√3；②a+c=3+√3；③c sin C＝sin A，试从中选出两个条件，求△ABC的面积．解：（1）在△ABC中分别a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足a sin2B−√3b sin A＝0．利用正弦定理和倍角公式得：2sin A sin B cos B=√3sin B sin A，∵sin B sin A≠0，∴cos B=√32，由于B∈（0，π），所以B=π6；（2）选①b=√3，②a+c＝3+√3时，由（1）得：B=π6，由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得，3＝（3+√3）2﹣（2+√3）ac，解得，ac＝3√3，所以S△ABC=12ac sin B=3√34．选：①b=√3；③c sin C＝sin A时，③由正弦定理得，c2＝a，利用余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，整理得：3＝a2+a﹣2a 32×√32，∴a2−√3a 32=3﹣a，a 32（a12−√3）＝﹣（√3+a12）（a12−√3）故a 12=√3，∴a＝3，c=√3，所以S△ABC=12ac sin B=3√34．选：②a+c＝3+√3，③c sin C＝sin A时，③由正弦定理得，c2＝a，代入②得，c2+c＝3+√3，故c=√3，a＝3，所以S△ABC=12ac sin B=3√34．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，S n=(a n+12)2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n⋅2a n}的前n项和．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，S n=(a n+12)2，①，当n＝1时，解得a1＝1；当n≥2时，S n−1=(a n−1+12)2，②，①﹣②得：a n=(a n+12)2−(a n−1+12)2，整理得：a n﹣a n﹣1＝2（常数）；所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）由（1）得：b n=(2n−1)⋅22n−1，所以S n=1×21+3×23+...+(2n−1)⋅22n−1，①，4S n=1×23+3×25+...+(2n−1)⋅22n+1，②，①﹣②得：−3S n=21+2×23+...+2×22n−1−(2n−1)×22n+1，整理得：S n =(n 3−518)⋅22n+2+109．21．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px 过点A(1，√2)．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P （2，0）且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点．，求证：OM ⊥ON ．解：（1）因为抛物线C ：y 2＝2px 过点A(1，√2)，所以2＝2p ，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x ；（2）证明：过点P （2，0）且斜率为k 的直线l 设为：x ＝ty +2（t ≠0），联立{x =ty +2y 2=2x，得y 2﹣2ty ﹣4＝0， 有Δ＝4t 2+16≥0，y 1y 2＝﹣4，所以x 1x 2=y 122×y 222=(y 1y 2)24=4，OM →=(x 1，y 1)，ON →=(x 2，y 2)， 所以OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=0，所以OM ⊥ON ．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A （0，1），离心率为√32． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过A 作斜率为k 1，k 2的两条直线．分别交椭圆于M ，N ，且k 1+k 2＝2．证明：直线MN 过定点并求定点坐标．解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点A （0，1），即1b 2=1，∴b ＝1； ∵e =c a =√32，又a 2﹣b 2＝c 2，∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为：x 24+y 2＝1；证明：（2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为x ＝t ，则M （t ，s ），N （t ，﹣s ），则k 1+k 2=1−s −t +1+s −t =2，解得：t ＝﹣1，∴直线方程为x ＝﹣1；当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y ＝kx +m ，联立方程组得：（4k 2+1）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m2−44k 2+1（*），则k 1+k 2=y 1−1x 1+y 2−1x 2=y1x 2+x 1y 2−(x 1+x 2)x 1x 2=2kx1x 2+(m−1)(x 1+x 2)x 1x 2， 将*式代入化简可得：8km−8k4m 2−4=2，即（k ﹣m ﹣1）（m ﹣1）＝0，整理得：k ＝m +1，代入直线MN 方程得：y ＝（m +1）x +m ＝m （x +1）+x ，即m （x +1）+x ﹣y ＝0，联立方程组，解得：x ＝﹣1，y ＝﹣1，∴直线MN 恒过定点（﹣1，﹣1）； 综上所述：直线MN 恒过定点（﹣1，﹣1）．。

江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．今天是星期二，经过1008天后是星期（ ） A ．三B ．四C ．五D ．六2．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A ．0.92B ．0.93C ．0.94D ．0.953．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（ ） A ．20种B ．14种C ．12种D ．10种4．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng ）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中BCF n 是正三角形，平面BCF ⊥平面ABCD ，22AB BC EF ==，则直线BF 与直线DE 所成角的余弦值为（ ）A B ．13C D ．145．已知离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量21Y X =+，则()3P Y ≥=（ ） A ．13B ．12C ．23D ．346．如图，在棱长均相等的四面体O ABC -中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设OA a,OB b,OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则OE =u u u r（ ）A ．111663a b c ++r r rB ．111333a b c ++r r rC ．111663a b c +-r r rD ．112663a b c ++r r r7．若2017220170122017(12)()x a a x a x a x x -=++++∈R L ，则20171222017222a a a +++L 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1D ．－28．如图，在三棱锥O ABC -中，点G 为底面ABC V 的重心，点M 是线段OG 上靠近点G 的三等分点，过点M 的平面分别交棱OA ，OB ，OC 于点D ，E ，F ，若O D k O A =u r u u r ，OE mOB =u u u r u u u r，OF nOC =u u u r u u u r ，则111k m n++=（ ）A ．133B ．23C ．32D ．92二、多选题9．设{},,a b c r r r构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A ．存在不全为零的实数x ，y ，z ，使得0xa yb zc ++=r r r rB ．对空间任一向量p u r，总存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++u r r r rC ．在,,a b c r r r 中，能与a b +r r ，a b -r r 构成空间另一个基底的只有c rD ．存在另一个基底{},,a b c '''u r u r u r ，使得2323a b c a b c '''++=++r r r u r u r u r10．某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以A B C D E F G H 、、、、、、、区分，现安排专家发言顺序，则（ ）A ．F 专家和C 专家发言中间必须间隔1个人，共有6262A A 种排法B ．E 专家和G 专家发言不相邻，共有6267A A 种排法C ．、、A B C 三位专家的发言必须相邻，共有720种排法D ．D 专家不第一个发言，H 专家不最后一个发言，共有71167666A C C A +种排法11．已知事件A ，B ，且()13P A =，()15P B A =，()35P B A =，则（ ） A ．()115P AB = B ．()25P B A = C ．()13P B =D ．()35P B =三、填空题12．262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．13．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为23，则此人试验次数ξ的均值是． 14．如图，长方体1111ABCD A B C D -的顶点A 在平面α内，其余顶点均在平面α的同侧，12,4,3AB AD AA ===．若顶点B 到平面α的距离为1，顶点D 到平面α顶点1A 到平面α的距离为．四、解答题 15．(1)若33210n n A A =，求正整数n ；(2)已知56711710n n n C C C -=，求8nC . 16．已知函数()ln 3,f x x ax a =-+∈R . (1)当1a =时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间.17．如图，在四面体-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，22AB AC PA ===，点D 在线段AC 上．(1)当D 是线段AC 中点时，求AP 与平面PBD 所成角的正弦值； (2)若二面角A PD B --的余弦值为13，求AD AC的值．18．在二项式()()()*32N nf x x n =-∈的展开式中，第5项和第6项的二项式系数相同， (1)求所有偶数项的二项式系数的和； (2)求各项系数绝对值之和．(3)若记()()()()201232111nnn x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++，求展开式中()0,1,2,k a k n =⋅⋅⋅中取最大项时k 的值．19．为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有12，13，14的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6:7:8.(1)现从三个班中随机抽取一位同学： （i ）求该同学有购买意向的概率；（ii ）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.。

2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4，5}，B ＝{1，3}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{6}B ．{2，4，6}C ．{2，4，5}D ．{2，4，5，6}2．已知复数z ＝（a +1）﹣ai （a ∈R ），则a ＝﹣1是|z |＝1的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．某班60名学生某次考试的数学成绩ξ～N （110，σ2），若P （100≤ξ≤110）＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．104．2020年12月1日，某市开始实行生活垃圾分类管理，某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有（如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑）（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种5．随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为34，超过1000次的概率为12，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1000次的概率是（ ） A ．38B ．23C ．12D ．136．在锐角△ABC 中，若cosA a+cosC c=sinBsinC 3sinA，且√3sin C +cos C ＝2，则a +b 的取值范围是（ ）A ．（6，2√3]B ．（0，4√3]C ．（2√3，4√3]D ．（6，4√3]7．“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩㻻”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为16，出厂时每箱装有6个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中k （0≤k ≤6，k ∈N ）个隐藏款的概率最大，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．若函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ，a ＞0，若f （x ）有两个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（0，1]C ．(1e，e]D ．[1e，e]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x 10，y 10）求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A ．若所有样本点都在直线y ＝﹣2x +1上，则r ＝1 B ．若所有样本点都在直线y ＝﹣2x +1上，则r ＝﹣2C ．若|r |越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若|r |越小，则变量x 与y 的线性相关性越强10．若（2x 1√x ）n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1211．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是12．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ）A ．恰有四支球队并列第一名为不可能事件B ．有可能出现恰有三支球队并列第一名C ．恰有两支球队并列第一名的概率为14D ．只有一支球队名列第一名的概率为1212．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为4π3，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．则下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆的面积为π4B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．直线AD 与平面DEF 所成的角为π3D ．球离球托底面DEF 的最小距离为√3+√63−1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（6，2），与a →共线且方向相反的单位向量b →= ．14．某校将13名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班级至少1个，则不同的分配方案有 种．15．设函数f （x ）（x ∈R ）的导函数为f ′（x ），f （0）＝2020，且f ′（x ）＝f （x ）﹣2，则f （x ）＝ ，f （x ）+4034＞2f ′（x ）的解集是 ．16．已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝1，以P 为球心，√22为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且（c ﹣b ）sin C ＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ）． （1）求A ；（2）若b ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的面积S 的取值范围．18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D ﹣AE ﹣C 为60°，AP ＝1，AD =√3，求三棱锥E ﹣ACD 的体积．19．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣1，g （x ）＝lnx ﹣1，其中e 为自然对数的底数．（1）当x ＞0时，求证：f （x ）≥g （x ）+2；（2）是否存在直线与函数y ＝f （x ）及y ＝g （x ）的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．20．（12分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X 表示被抽到的男性观众的人数，求X 的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m （m ∈N *）人．现从这（10+m ）人中，随机抽出2人，用随机变量Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y 的数学期望不小于1，求m 的最大值．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．参考数据：21．（12分）如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AD ＝CD =12AB ，平面P AD ⊥平面P AB ，P A ⊥PB ． （1）求证：平面P AD ⊥平面PBC ； （2）若二面角P ﹣AB ﹣D 的余弦值为√33，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小．22．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p （0＜p ＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f （p ），求f （p ）的最大值点p 0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3}，则A∩（∁U B）＝（）A．{6}B．{2，4，6}C．{2，4，5}D．{2，4，5，6}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{1，3}，∴∁U B＝{2，4，5，6}，∴A∩（∁U B）＝{2，4，5}，故选：C．2．已知复数z＝（a+1）﹣ai（a∈R），则a＝﹣1是|z|＝1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵z＝（a+1）﹣ai（a∈R），|z|＝1，∴（1+a）2+a2＝1，解得a＝0或a＝﹣1，故a＝﹣1是|z|＝1的充分不必要条件，故选：A．3．某班60名学生某次考试的数学成绩ξ～N（110，σ2），若P（100≤ξ≤110）＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．7B．8C．9D．10解：∵考试的数学成绩ξ～N（110，σ2），∴考试的成绩ξ关于ξ＝110对称，∵P（100≤ξ≤110）＝0.35，∴P（ξ＞120）＝P（ξ＜100）＝0.5﹣0.35＝0.15，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9．故选：C．4．2020年12月1日，某市开始实行生活垃圾分类管理，某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有（如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑）（）A．18种B．24种C．36种D．72种解：根据题意，分2步进行分析：①先将4个垃圾桶分成2、1、1的三个小组，有C 42＝6种分组方法， ②将分好的三组全排列，对应三个固定角落，有A 33＝6种情况， 则有6×6＝36种摆放方法． 故选：C ．5．随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为34，超过1000次的概率为12，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1000次的概率是（ ） A ．38B ．23C ．12D ．13解：根据题意，设事件A ＝充电宝循环充电超过500次，事件B ＝充电宝循环充电超过1000次，则P （A ）=34，P （B ）＝P （AB ）=12，P （B |A ）=P(AB)P(A)=1234=23．故选：B ．6．在锐角△ABC 中，若cosA a+cosC c=sinBsinC 3sinA，且√3sin C +cos C ＝2，则a +b 的取值范围是（ ）A ．（6，2√3]B ．（0，4√3]C ．（2√3，4√3]D ．（6，4√3]解：由√3sin C +cos C ＝2sin （C +π6）＝2，得C +π6=π2+2k π，k ∈Z ， ∵C ∈（0，π2），∴C =π3．由正弦定理知，sinB sinA=ba，由余弦定理知，cos A =b 2+c 2−a 22bc， ∵cosA a+cosC c=sinBsinC 3sinA，∴b 2+c 2−a 22bc×1a+12c=b 3a×√32，化简整理得，b （2√3−c ）＝0， ∵b ≠0，∴c =2√3， 由正弦定理，有asinA=b sinB=c sinC=√3√32=4，∴a ＝4sin A ，b ＝4sin B ，∵锐角△ABC ，且C =π3，∴A ∈（0，π2），B =2π3−A∈（0，π2），解得A ∈（π6，π2）， ∴a +b ＝4（sin A +sin B ）＝4[sin A +sin （2π3−A ）]＝4（sin A +√32cos A +12sin A ）＝4√3sin （A +π6），∵A ∈（π6，π2），∴A +π6∈（π3，2π3），sin （A +π6）∈（√32，1]， ∴a +b 的取值范围为（6，4√3]．故选：D ．7．“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩㻻”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为16，出厂时每箱装有6个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中k （0≤k ≤6，k ∈N ）个隐藏款的概率最大，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：由P （ξ＝k ）=C 6k(16)k (56)6−k ，0≤k ≤6，k ∈N ，由题意可得：P （ξ＝k ）≥P （ξ＝k +1），P （ξ＝k ）≥P （ξ＝k ﹣1），∴C 6k (16)k (56)6−k ≥C 6k+1(16)k+1(56)5−k ，C 6k (16)k (56)6−k ≥C 6k−1(16)k−1(56)7−k ，解得：k ＝1， 故选：B ．8．若函数f （x ）＝ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ，a ＞0，若f （x ）有两个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，1）B ．（0，1]C ．(1e，e]D ．[1e，e]解：f ′（x ）＝2ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣1＝（2e x +1）（ae x ﹣1）． a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在R 上单调递减， 此时函数f （x ）最多有一个零点，不满足题意，舍去．a ＞0时，f ′（x ）＝2ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣1＝（2e x +1）（ae x ﹣1）． 令f ′（x ）＝0，∴e x =1a ，解得x ＝﹣lna ．∴x ∈（﹣∞，﹣lna ）时，f ′（x ）＜0，∴函数f （x ）在（﹣∞，﹣lna ）上单调递减； x ∈（﹣lna ，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴函数f （x ）在（﹣lna ，+∞）上单调递增． ∴x ＝﹣lna 时，函数f （x ）取得极小值， ∵f （x ）有两个零点，∴f （﹣lna ）＝a ×1a 2+（a ﹣2）×1a +lna ＝1−1a +lna ＜0，令u （a ）＝1−1a+lna ，u （1）＝0． u ′（a ）=1a 2+1a＞0，∴函数u （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴0＜a ＜1．又x →﹣∞时，f （x ）→+∞；x →+∞时，f （x ）→+∞． ∴满足函数f （x ）有两个零点． ∴a 的取值范围为（0，1）， 故选：A ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x 10，y 10）求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A ．若所有样本点都在直线y ＝﹣2x +1上，则r ＝1 B ．若所有样本点都在直线y ＝﹣2x +1上，则r ＝﹣2C ．若|r |越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若|r |越小，则变量x 与y 的线性相关性越强解：当所有样本点都在直线y ＝﹣2x +1上时，样本点数据完全负相关，其相关系数r ＝﹣1，所以A 、B 都错误；相关系数|r |值越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 正确； 相关系数|r |值越小，则变量x 与y 的线性相关性越弱，D 错误． 综上知，以上错误的说法是ABD ． 故选：ABD ． 10．若（2x √x）n的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12解：当n 为偶数时，若n ＝10时，第6项的二项式系数最大，B 正确， 若n ＝12时，第7项的二项式系数最大，D 错误，当n 为奇数时，若n ＝9时，第5项或第6项的二项式系数最大，满足题意，A 正确， 若n ＝11时，第6项或第7项的二项式系数最大，满足题意，C 正确， 故选：ABC ．11．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是12．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ）A ．恰有四支球队并列第一名为不可能事件B ．有可能出现恰有三支球队并列第一名C ．恰有两支球队并列第一名的概率为14D ．只有一支球队名列第一名的概率为12解：4支足球队进行单循环比赛共有C 42=6场比赛，比赛的所有结果共有26＝64种，选项A ：这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，所有A 正确；选项B ：在（a ，b ），（b ，c ），（c ，d ），（d ，a ），（a ，c ），（d ，b ）6场比赛中，依次获胜的可以是a ，b ，c ，a ，c ，b ，此时3对都获得2分，并列第一名，所有B 正确；选项C ：在（a ，b ），（b ，c ），（c ，d ），（d ，a ），（a ，c ），（d ，b ）6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有C 42=6种可能，若选中a ，b ，其中第一类a 赢b ，有a ，b ，c ，d ，a ，b 和a ，b ，d ，c ，a ，b 两种情况，同理第二类b 赢a ，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为6×464=38，所以C 错误；选项D ：从4支球队中选一支为第一名有4种可能，这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有23＝8种，故只有一支球队名列第一名的概率为864×4=12，所以D 正确；故选：ABD ．12．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为4π3，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．则下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆的面积为π4B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．直线AD 与平面DEF 所成的角为π3D ．球离球托底面DEF 的最小距离为√3+√63−1 解：设球的半径为R ，因为球的体积为4π3，所以4π3R 3=4π3，解得R ＝1，对于A ，经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆， 即是与△A ′B ′C ′全等的三角形的外接圆，其半径为r =23⋅1⋅sin60°=√33，则其面积为πr 2=π3≠π4，所以A 错；对于B ，作辅助线如图②，PD ∥CF ，PD ＝CF ，所以∠PDA 为AD 与CF 成角， △EQD ≌△CDF ，M 、N 分别为QD 、DE 边中点， 所以AP ＝MN ＝2•1•sin60°=√3，所以cos ∠PDA =22+22−(√3)22⋅2⋅2=58，所以B 对； 对于C ，如图②，AN ⊥平面EDF ，所以DE 为AD 在平面DEF 内射影， 于是∠ADE 即为直线AD 与平面DEF 所成的角，大小为π3，所以C 对；对于D ，如图③，O 1O =√R 2−r 2=√23，O 1G ＝R ﹣O 1O ＝1−√23，AN ＝2•sin60°=√3， 所以球离球托底面DEF 的最小距离为AN ﹣O 1G =√3+√63−1，所以D 对．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=（6，2），与a →共线且方向相反的单位向量b →= （−3√1010，−√1010） ． 解：∵向量a →=（6，2），∴与a →共线且方向相反的单位向量b →=1√6+2（6，2）＝（−3√1010，−√1010），故答案为：（−3√1010，−√1010）． 14．某校将13名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班级至少1个，则不同的分配方案有 220 种．解：将13名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班级至少一个，则不同的分配方案有C 123=220种．故答案为：220．15．设函数f （x ）（x ∈R ）的导函数为f ′（x ），f （0）＝2020，且f ′（x ）＝f （x ）﹣2，则f （x ）＝ 2+2018e x ，f （x ）+4034＞2f ′（x ）的解集是 （﹣∞，ln 2） ．解：设h （x ）=f(x)−2e x ，h ′（x ）=f′(x)e x −[f(x)−2]e x (e x )2=f′(x)−f(x)+2e x ，∵f ′（x ）＝f （x ）﹣2，∴h ′（x ）＝0，h （x ）为常函数， 设h （x ）＝c ，则h （x ）=f(x)−2e x=c ， ∴f （x ）＝ce x +2，∵f （0）＝2020，∴c +2＝2020，c ＝2018， ∴f （x ）＝2+2018e x ， ∴f ′（x ）＝2018e x ，f （x ）+4034＞2f ′（x ），即4036+2018e x ＞2×2018e x ， 解得e x ＜2，x ＜ln 2．故答案为：2+2018e x ；（﹣∞，ln 2）．16．已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝1，以P 为球心，√22为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为 (9√2+4√6)π12．解：如图所示，设BC 、CA 、AB 的中点分别为D 、E 、F ，P 在平面ABC 内的射影为O 1，所以O 1是正三角形ABC 的中心； 因为三棱锥P ﹣ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝1， 所以AB ＝BC ＝CA =√2，PD ＝PE ＝PF =√22，O 1D ＝O 1E ＝O 1F =13×√32×√2=√66； 以P 为球心，√22为半径的球面与该三棱锥表面的交线， 是各侧面内以P 为圆心，以√22为半径3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC 内切圆；所以交线的长度之和为3×π2×√22+2π×√66=(9√2+4√6)π12． 故答案为：(9√2+4√6)π12．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且（c ﹣b ）sin C ＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ）． （1）求A ；（2）若b ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 的面积S 的取值范围． 解：（1）△ABC 中，（c ﹣b ）sin C ＝（a ﹣b ）（sin A +sin B ）， 由正弦定理得（c ﹣b ）c ＝（a ﹣b ）（a +b ）， 整理得c 2+b 2﹣a 2＝bc ，所以cos A =c 2+b 2−a 22bc =bc 2bc =12；又A ∈（0，π）， 所以A =π3；（2）由△ABC 为锐角三角形，且A =π3， 所以{0＜C ＜π20＜2π3−C ＜π2，解得π6＜C ＜π2， 因为b ＝2，由正弦定理得asinπ3=2sin(2π3−C)=c sinC，所以c =2sinCsin(2π3−C)，所以△ABC 的面积为 S =12bc sin A =12×2×2sinCsin(2π3−C)×√32=√3sinC 32cosC+12sinC=√332tanC +12，由tan C ＞tan π6=√33， 所以1tanC∈（0，√3），所以√32tanC +12∈（12，2），所以√3√32tanC +12∈（√32，2√3）； 即△ABC 面积S 的取值范围是（√32，2√3）． 18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D ﹣AE ﹣C 为60°，AP ＝1，AD =√3，求三棱锥E ﹣ACD 的体积．（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD＝60°，∵AP＝1，AD=√3，∠ADP＝30°，∴PD＝2，E为PD的中点．AE＝1，∴DM=√32，CD=√32×tan60°=32．三棱锥E﹣ACD的体积为：13×12AD⋅CD⋅12PA=13×12×√3×32×12×1=√38．19．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣1，g（x）＝lnx﹣1，其中e为自然对数的底数．（1）当x＞0时，求证：f（x）≥g（x）+2；（2）是否存在直线与函数y＝f（x）及y＝g（x）的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．证明：（1）要证明f（x）≥g（x）+2，即证明e x﹣1≥lnx+1，于是构造函数h（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣1，x＞0，则h'（x）＝e x﹣1−1 x ，注意：h'（x）是单调递增函数，且h'（1）＝0，令h'（x）＝0得：x＝1，所以当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；所以h（x）min＝h（1）＝0，所以h（x）≥0，即e x﹣1≥lnx+1．（2）存在最多两条不同的直线与函数y＝f（x）及y＝g（x）的图象均相切，证明如下：设直线与函数f（x）＝e x﹣1相切于点（t，e t﹣1），则f'（t）＝e t﹣1，所以切线方程为：y﹣e t﹣1＝e t﹣1（x﹣t），即y＝e t﹣1x+e t﹣1（1﹣t），又因为直线与y＝g（x）的图象相切，且直线和函数g（x）均为单调增函数，所以该直线与函数y＝g（x）的图象相切的充要条件为关于x的方程e t﹣1x+e t﹣1（1﹣t）＝lnx﹣1，即e t﹣1x+e t﹣1（1﹣t）﹣lnx+1＝0有且仅有1个解．令m（x）＝e t﹣1x+e t﹣1（1﹣t）﹣lnx+1，则m'（x）＝e t﹣1−1x，令m'（x）＝0得：x=1e t−1，所以当0＜x＜1e t−1时，m'（x）＜0，m（x）单调递减；当x＞1e t−1时，m'（x）＞0，m（x）单调递增，要使得e t﹣1x+e t﹣1（1﹣t）﹣lnx+1＝0有且仅有1个解，则m（1e t−1）＝0，即e t﹣1×（1e t−1）+e t﹣1（1﹣t）﹣ln（1e t−1）+1＝0，即1+e t﹣1（1﹣t）﹣（1﹣t）+1＝0，即e t﹣1﹣te t﹣1+t+1＝0．令n（t）＝e t﹣1﹣te t﹣1+t+1，则n'（t）＝1﹣te t﹣1，令n'（t）＝0得：t＝1，所以当t＜1时，n'（t）＞0，n（t）单调递增；当t＞1时，n'（t）＜0，n（t）单调递减；所以n（t）的最大值为n（1）＝2．又因为当t趋近于﹣∞时，n（t）趋近于﹣∞；当t趋近于+∞时，n（t）趋近于﹣∞，所以存在两个不同的t使得：n（t）＝0，即m（1e t−1）＝0，所以存在最多两条不同的直线使得直线与函数y＝f（x）及y＝g（x）的图象均相切．20．（12分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如表所示（单位：人）：（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X 表示被抽到的男性观众的人数，求X 的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m （m ∈N *）人．现从这（10+m ）人中，随机抽出2人，用随机变量Y 表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y 的数学期望不小于1，求m 的最大值．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．参考数据：解：（1）2×2列联表补充完整如下：K 2=216(60×68−40×48)2100×116×108×108≈7.448＞6.635，因此有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”．（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率=40100=25，且各次抽取之间互相独立，故X ～B （3，25），其概率P （X ＝k ）=C 3k (25)k (35)3−k ，k ＝0，1，2，3．其分布列为：（3）随机变量Y 的取值为0，1，2， 则P （Y ＝0）=C 4+m 2C 10+m 2，P （Y ＝1）=C 4+m 1C 61C 10+m2，P （Y ＝2）=C 62C 10+m2，∴E （Y ）＝0×C 4+m 2C 10+m2+1×C 4+m 1C 61C 10+m2+2×C 62C 10+m2≥1，化为：m 2+7m ﹣18≤0，解得﹣9≤m ≤2， 又m ∈N *，∴1≤m ≤2，故m 的最大值为2．21．（12分）如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AD ＝CD =12AB ，平面P AD ⊥平面P AB ，P A ⊥PB ． （1）求证：平面P AD ⊥平面PBC ； （2）若二面角P ﹣AB ﹣D 的余弦值为√33，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小．（1）证明：因为平面P AD ⊥平面P AB ，平面P AD ∩平面P AB ＝P A ，P A ⊥PB ，PB ⊂平面P AB ， 所以PB ⊥平面P AD ，又因为PB ⊂平面PBC ， 所以平面P AD ⊥平面PBC ．（2）解：过D 作DH ⊥P A ，DO ⊥AB ，垂足分别为H ，O ，连接HO ，因为平面P AD ⊥平面P AB ，平面P AD ∩平面P AB ＝P A ，DH ⊥P A ，DH ⊂平面P AD ， 所以DH ⊥平面P AB ，又AB ⊂平面P AB ，所以DH ⊥AB ，又DO ⊥AB ，且DO ∪DH ＝O ，DO ，DH ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ， 因为HO ⊂平面P AD ，所以AB ⊥HO ，即∠DOH 即为二面角P ﹣AB ﹣D 的平面角， 不妨设AB ＝4，则可知AD ＝CD ＝BD ＝2，且AO ＝1，OD =√3， 因为cos ∠DOH =√33，所以OH ＝1，所以∠BAP =π4，过O 作OM ⊥平面P AB ，分别以OA →，OH →，OM →为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则D(0，1，√2)，P （﹣1，2，0），B （﹣3，0，0），C(−2，1，√2)， 所以PD →=(1，−1，√2)，BP →=(2，2，0)，CP →=(1，1，−√2)，设平面PBC 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅BP →=2x +2y =0m →⋅CP →=x +y −√2z =0，令x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝0，所以m →=(1，−1，0)， 设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=|m →⋅PD →||m →|⋅|PD →|=1+1⋅1+1+2=√22，即θ=π4．22．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），则f（p）=C202p2(1−p)18，∴f′(p)=C202[2p(1−p)18−18p2(1−p)17]=2C202p(1−p)17(1−10p)，令f′（p）＝0，得p＝0.1，当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，∴f（p）的最大值点p0＝0.1．（2）（i）由（1）知p＝0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×0.1＝490．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E（X）＝490＞400，∴应该对余下的产品进行检验．。

2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ，N 满足M ∩N ≠∅，则（ ） A ．∀x ∈M ，x ∈N B ．∀x ∈M ，x ∉N C ．∃x ∈M ，x ∈N D ．∃x ∈M ，x ∉N2．复数1+i i 3（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设m 为实数，已知直线l 1：2x +3y ﹣2＝0，l 2：mx +（2m ﹣1）y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为144πcm 3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为1.5g /cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（1.5π≈4.7）（ ）A ．3045.6gB ．1565.1gC ．972.9gD ．296.1g6．已知函数f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32，则下列说法正确的是（ ）A ．f(x)=sin(2x −π3) B ．函数f （x ）的最小正周期为πC ．函数f （x ）的对称轴方程为x =kπ+5π12(k ∈Z) D ．函数f （x ）的图象可由y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到7．已知在各项为正的等比数列{a n }中，a 2与a 8的等比中项为8，则4a 3+a 7取最小值时首项a 1 等于（ ） A ．8B ．4C ．2D ．18．曲线y =1+√4−x 2与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ）A ．k ≥34B ．−34≤k ＜−512C ．k ＞512D ．512＜k ≤34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或错选不得分． 9．已知椭圆mx 2+y 2＝1的离心率为2√55，则m 的值可能为（ ） A ．√55B ．15C ．5D ．2510．已知直线（2m +1）x +（1﹣m ）y ﹣m ﹣2＝0（m ∈R ）与圆C ：x 2﹣4x +y 2＝0，则（ ） A ．对∀m ∈R ，直线恒过一定点B ．∃m ∈R ，使直线与圆相切C ．对∀m ∈R ，直线与圆一定相交D ．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为2√2 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下命题正确的有（ ） A ．若数列{a n }为等差数列，则{2a n }为等比数列B ．若数列{a n }为等差数列，S n ＞0恒成立，则{a n }是严格增数列C ．若数列{a n }为等比数列，则S 2023•a 2023＞0恒成立D ．若数列{a n }为等差数列，a 1＞0，S 6＝S 11，则S n 的最大值在n 为8或9时取到12．已知抛物线C ：x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上异于点O 的两点（O 为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）A ．若A 、F 、B 三点共线，则|AB |的最小值为2 B ．若|AF |=32，则△AOF 的面积为√24C ．若OA ⊥OB ，则直线AB 过定点（2，0）D ．若∠AFB ＝60°，过AB 的中点D 作DE ⊥l 于点E ，则|AB||DE|的最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{a n }中，a 4a 5＝32，log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 8＝ ．14．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一段，宽6m ，高0.5m ，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为 ．15．圆心在直线x ﹣y +4＝0上，且经过圆x 2+y 2﹣4x ﹣6＝0与x 2+y 2﹣4y ﹣6＝0的交点的圆的标准方程是 ．16．已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，△AF 1F 2与△BF 1F 2的内切圆圆心均在直线x ＝a 上，且r 1r 2≤3a 2，则此双曲线离心率的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0．（1）直线l 的方程为x −√3y =0，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的值； （2）从圆C 外一点P （4，4）引圆C 的切线，求此切线方程．18．（12分）已知等差数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，又a 2＝4，S 9＝90． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）设b n ＝|9﹣a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sinA−sinB sinC=a−c a+b．（1）求角B 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝2，求△ABC 的面积S 的取值范围． 20．（12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝10． （1）若S 20＝590，求{a n }的公差；（2）若a 1∈Z ，且S 7是数列{S n }中最大的项，求a 1所有可能的值． 21．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A （0，√2），右焦点为F （c ，0），直线AF 交椭圆于B 点，且满足|AF |＝2|FB |，|AB |=3√32． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆相交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．22．（12分）对于椭圆：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，我们称双曲线：y 2a 2−x 2b 2=1为其伴随双曲线．已知椭圆C ：y 23+x 2b 2=1（0＜b ＜√3），它的离心率是其伴随双曲线Γ离心率的√22倍． （1）求椭圆C 伴随双曲线Γ的方程；（2）如图，点E ，F 分别为Γ的下顶点和上焦点，过F 的直线l 与Γ上支交于A ，B 两点，设△ABO 的面积为S ，∠AOB ＝θ（其中O 为坐标原点）．若△ABE 的面积为6+3√3，求S tanθ．2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ，N 满足M ∩N ≠∅，则（ ） A ．∀x ∈M ，x ∈NB ．∀x ∈M ，x ∉NC ．∃x ∈M ，x ∈ND ．∃x ∈M ，x ∉N解：∵集合M ，N 满足M ∩N ≠∅， ∴由交集合定义得∃x ∈M ，x ∈N ． 故选：C ． 2．复数1+i i 3（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：因为复数1+i i 3=1+i −i=(1+i)i −i⋅i=−1+i ，所以复数1+i i 3在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B ．3．设m 为实数，已知直线l 1：2x +3y ﹣2＝0，l 2：mx +（2m ﹣1）y +1＝0，若l 1∥l 2，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：由题意l 1∥l 2，可得m 2=2m−13≠1−2，解得m ＝2，故选：B ．4．“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：若方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆，则{m +1＞07−m ＞0m +1≠7−m，解得﹣1＜m ＜3或3＜m ＜7， 故“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的充分不必要条件．故选：A ．5．某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为144πcm 3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为1.5g /cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（1.5π≈4.7）（ ）A ．3045.6gB ．1565.1gC ．972.9gD ．296.1g解：由于半球的体积为144πcm 3，设球的半径为R ， 所以23⋅π⋅R 3=144π，解得R ＝6，故圆台的上底面半径和圆台的高都为3，故V 圆台=13×(S 上+√S 上⋅S 下+S 下)⋅ℎ=13×(32π+√32π⋅62⋅+62π)×3=63πcm 3， 模型的体积V =V 圆台+V 半球=144π+63π=207πcm 3， 故模型的质量为207π×1.5＝207×4.7＝972.9g ． 故选：C ．6．已知函数f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32，则下列说法正确的是（ ）A ．f(x)=sin(2x −π3) B ．函数f （x ）的最小正周期为π C ．函数f （x ）的对称轴方程为x =kπ+5π12(k ∈Z) D ．函数f （x ）的图象可由y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 解：依题意，f(x)=12sin2x −√3⋅1+cos2x 2+√32=12sin2x −√32cos2x =sin(2x −π3)，A 正确； 函数f （x ）的最小正周期为2π2=π，B 正确；由2x −π3=π2+kπ，k ∈Z ，得x =5π12+kπ2，k ∈Z ，则函数f （x ）的对称轴方程为x =5π12+kπ2，k ∈Z ，C 错误；函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6，得y =sin2(x −π6)=sin(2x −π3)，因此函数f （x ）的图象可由y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，D 正确．故选：ABD ．7．已知在各项为正的等比数列{a n }中，a 2与a 8的等比中项为8，则4a 3+a 7取最小值时首项a 1 等于（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1解：由题意知a 2a 8＝82=a 52，解得a 5＝8，设公比为q （q ＞0）， ∴4a 3+a 7=4a 5q 2+a 5q 2=32q 2+8q 2≥2√32q 2×8q 2=32， 当且仅当32q 2=8q 2，即q 2＝2时取等号，此时a 1=a 5q 4=2． 故选：C ．8．曲线y =1+√4−x 2与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ） A ．k ≥34 B ．−34≤k ＜−512 C ．k ＞512D ．512＜k ≤34解：y =1+√4−x 2与可化为x 2+（y ﹣1）2＝4，y ≥1， 所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y ≥1的部分． 直线y ＝k （x ﹣2）+4过定点p （2，4），由图知，当直线经过A （﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个， ∵k AP =4−12+2=34，由直线与圆相切得d =|−1+4−2k|√1+k =2，解得k =512，则实数k 的取值范围为512＜k ≤34．故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或错选不得分． 9．已知椭圆mx 2+y 2＝1的离心率为2√55，则m 的值可能为（ ） A ．√55B ．15C ．5D ．25解：mx 2+y 2＝1化为标准形式为x 21m+y 2=1，当m ＞1时，0＜1m ＜1，表示焦点在y 轴上的椭圆，a 2＝1，b 2=1m ，离心率为√1−1m =2√55，解得m＝5；当0＜m ＜1时，1m ＞1，表示焦点在x 轴上的椭圆，此时a 2=1m ，b 2＝1，离心率为e =√1m −1√1m=√1−m =2√55，解得m =15． 故选：BC ．10．已知直线（2m +1）x +（1﹣m ）y ﹣m ﹣2＝0（m ∈R ）与圆C ：x 2﹣4x +y 2＝0，则（ ） A ．对∀m ∈R ，直线恒过一定点B ．∃m ∈R ，使直线与圆相切C ．对∀m ∈R ，直线与圆一定相交D ．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为2√2解：直线（2m +1）x +（1﹣m ）y ﹣m ﹣2＝0（m ∈R ）是直线系，{2x −y −1=0x +y −2=0，解得x ＝1，y ＝1，恒过（1，1），所以A 正确；圆C ：x 2﹣4x +y 2＝0的圆心为（2，0），半径为2，（1，1）在圆内，所以B 不正确；C 正确； 直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长：2√22−(√(1−2)2+12)2=2√2，所以D 正确； 故选：ACD ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下命题正确的有（ ） A ．若数列{a n }为等差数列，则{2a n }为等比数列B ．若数列{a n }为等差数列，S n ＞0恒成立，则{a n }是严格增数列C ．若数列{a n }为等比数列，则S 2023•a 2023＞0恒成立D ．若数列{a n }为等差数列，a 1＞0，S 6＝S 11，则S n 的最大值在n 为8或9时取到 解：选项A ：若{a n }为等差数列，设公差为d ，则2a n+12a n=2a n+1−a n =2d ，为常数，则{2a n }为等比数列，故A 正确；选项B ：若数列{a n }为等差数列，设公差为d ，首项为a 1，则a 1＞0，当d ＝0时，S n ＞0恒成立，数列{a n }为常数列，则{a n }不是严格增数列，故B 不正确； 选项C ：若数列{a n }为等比数列，设首项为a 1≠0，公比为q ，q ＝1时，{a n }为常数列，a 1＝a 2023，所以，S 2023⋅a 2023=2023⋅a 1⋅a 1=2023a 12，q ≠1时，S 2023⋅a 2023=a 1(1−q 2023)1−q ⋅(a 1⋅q 2022)=a 12⋅q 2022⋅1−q 20231−q＞0， 所以若数列{a n }为等比数列，则S 2023•a 2023＞0恒成立，故C 正确；选项D ：若数列{a n }为等差数列，a 1＞0，S 6＝S 11，可得a 7+a 8+a 9+a 10+a 11＝0， 又等差数列性质有5a 9＝0，a 9＝0，由a 1＞0可知d ＜0， 所以S n 的最大值在n 为8或9时取到，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知抛物线C ：x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上异于点O 的两点（O 为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）A ．若A 、F 、B 三点共线，则|AB |的最小值为2 B ．若|AF |=32，则△AOF 的面积为√24C ．若OA ⊥OB ，则直线AB 过定点（2，0）D ．若∠AFB ＝60°，过AB 的中点D 作DE ⊥l 于点E ，则|AB||DE|的最小值为1解：对于A 选项，易知抛物线C 的焦点为F(0，12)，当直线AB 与y 轴重合时，直线AB 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意， 设直线AB 的方程为y =kx +12，设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）， 联立{y =kx +12x 2=2y，可得x 2﹣2kx ﹣1＝0，Δ＝4k 2+4＞0，由韦达定理可得x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣1，则y 1y 2=x 12x 224=14， 易知y 1＞0，y 2＞0，所以，|AB|=y 1+y 2+1≥2√y 1y 2+1=2， 当且仅当y 1=y 2=12时，等号成立，故|AB |的最小值为2，A 对；对于B 选项，设点A(x 1，y 1)，|AF|=y 1+12=32，可得y 1＝1，所以，x 12=2y 1=2，则|x 1|=√2，所以，S △AOF =12|OF|⋅|x 1|=12×12×√2=√24，B 对； 对于C 选项，易知AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx +b ， 设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由于直线AB 不过原点，所以，b ≠0， 联立{y =kx +b x 2=2y，可得x 2﹣2kx ﹣2b ＝0，Δ＝4k 2+8b ＞0，由韦达定理可得x 1x 2＝﹣2b ，所以，y 1y 2=x 12x 224=b 2，因为OA ⊥OB ，则OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=−2b +b 2=0，解得b ＝2， 所以，直线AB 的方程为y ＝kx +2，故直线AB 过定点（0，2），C 错； 对于D 选项，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设|AF |＝m ，|BF |＝n ，所以|DE|=|AA 1|+|BB 1|2=m+n 2， 因为|AB |2＝m 2+n 2﹣2mn cos ∠AFB ＝m 2+n 2﹣mn ＝（m +n ）2﹣3mn≥(m +n)2−3(m+n)24=(m+n 2)2=|DE|2， 所以|AB |≥|DE |，则|AB||DE|的最小值为1，当且仅当m ＝n 时，等号成立，D 对．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{a n }中，a 4a 5＝32，log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 8＝ 20 ． 解：正项等比数列{a n }中，∵log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 8＝log 2[a 1a 8•a 2a 7•a 3a 6•a 4a 5]＝log 2（a 4a 5）4 ＝log 2324＝20， 故答案为：2014．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一段，宽6m ，高0.5m ，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为 y =−92 ．解：根据题意，设抛物线方程为x 2＝2py （p ＞0），则B 的坐标为（3，12），则有32＝2p ×12，解可得p ＝9，抛物线的方程为x 2＝18y ， 则其准线的方程为y =−92， 故答案为：y =−92．15．圆心在直线x ﹣y +4＝0上，且经过圆x 2+y 2﹣4x ﹣6＝0与x 2+y 2﹣4y ﹣6＝0的交点的圆的标准方程是 （x +1）2+（y ﹣3）2＝16 ．解：联立圆x 2+y 2﹣4x ﹣6＝0与x 2+y 2﹣4y ﹣6＝0的方程可得x ＝y ， 由{x =y x 2+y 2−4x −6=0，可得x ＝y ＝3或x ＝y ＝﹣1， 即两圆的交点为（3，3），（﹣1，﹣1）， 因为两圆的圆心分别为（2，0）和（0，2）， 故两圆的连心线为x +y ﹣2＝0， 因为圆心在直线x ﹣y +4＝0上，联立{x +y −2=0x −y +4=0，可得x ＝﹣1，y ＝3，即所求圆的圆心（﹣1，3），半圆r =√(3+1)2+(−1+1)2=4，所以圆的方程为（x +1）2+（y ﹣3）2＝16． 故答案为：（x +1）2+（y ﹣3）2＝16． 16．已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，记△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，△AF 1F 2与△BF 1F 2的内切圆圆心均在直线x ＝a 上，且r 1r 2≤3a 2，则此双曲线离心率的取值范围为 （1，√3+1] ． 解：设△AF 1F 2、△BF 1F 2的内切圆圆心分别为O 1、O 2， 设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，由切线长定理，可得|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1G|，|F2G|＝|F2N|，∴|AF2|+|F1F2|﹣|AF1|＝（|AN|+|F2N|）+（|F1G|+|F2G|）﹣（|AM|+|F1M|）＝|F2N|+|F2G|＝2|F2G|＝2c﹣2a，则|F2G|＝c﹣a，∴点G的横坐标为c﹣（c﹣a）＝a．故点O1的横坐标也为a，同理可知点O2的横坐标为a，故O1O2⊥x轴，故圆O1和圆O2均与x轴相切于G（a，0），圆O1和圆O2两圆外切．在△O1O2F2中，∠O1F2O2=∠O1F2G+∠O2F2G=12(∠AF2F1+∠BF2F1)=90°，O1O2⊥F2G，∴∠GO1F2＝∠F2O1O2，∠O1GF2＝∠O1F2O2＝90°，∴△O1GF2∽△O1F2O2，∴|O1G||O1F2|=|O1F2||O1O2|，则|O1F2|2=|O1G|⋅|O1O2|，∴|F2G|2=|O1F2|2−|O1G|2=|O1G|⋅|O1O2|−|O1G|2=|O1G|⋅|O2G|，即（c﹣a）2＝r1•r2，∴（c﹣a）2≤3a2，可得c﹣a≤√3a，可得c≤（√3+1）a，则a＜c≤（√3+1）a，因此e=ca∈（1，√3+1]．故答案为：（1，√3+1]．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0．（1）直线l的方程为x−√3y=0，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的值；（2）从圆C外一点P（4，4）引圆C的切线，求此切线方程．解：（1）化圆C：x2+y2﹣4x＝0为：（x﹣2）2+y2＝4，知圆心（2，0）为半径为2，故圆心到直线的距离d=23+1=1，∴|AB|=2√R2−d2=2√3；（2）当斜率不存在时，过P（4，4）的直线是x＝4，显然是圆的切线；当斜率存在时，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣4）．由√k2+1=2，解得k=34．此时切线方程为3x﹣4y+4＝0．综上所述，切线方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0．18．（12分）已知等差数列{a n}，前n（n∈N*）项和为S n，又a2＝4，S9＝90．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n ＝|9﹣a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）等差数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，又a 2＝4，S 9＝90． 设首项为a 1，公差为d ，所以{a 1+d =49a 1+9×82d =90，解得{a 1=2d =2． 故a n ＝2n ；（2）由（1）得：b n ＝|9﹣a n |＝|9﹣2n |； 当n ≤4时，T n =7+9−2n2⋅n =8n −n 2， 当n ≥5时，T n ＝（b 1+b 2+b 3+b 4）﹣（b 5+b 6+...+b n ）＝32﹣（8n ﹣n 2）＝n 2﹣8n +32． 故T n ={8n −n 2(n ≤4的正整数)n 2−8n +32(n ≥5的正整数)．19．（12分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sinA−sinB sinC=a−c a+b．（1）求角B 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝2，求△ABC 的面积S 的取值范围． 解：（1）由已知及正弦定理，得a−b c=a−c a+b，即（a ﹣b ）（a +b ）＝c （a ﹣c ），即a 2﹣b 2＝ac ﹣c 2，即a 2+c 2﹣b 2＝ac ．由余弦定理，得cosB =a 2+c 2−b 22ac =12，因为B ∈（0°，180°）， 所以B ＝60°．（2）因为A +C ＝120°，c ＝2，由正弦定理，得a =csinAsinC =2sin(120°−C)sinC =√3cosC+sinCsinC =√3tanC+1． 所以S =12acsinB =asin60°=√32(√3tanC +1)．因为△ABC 为锐角三角形，则30°＜C ＜90°，从而tanC ∈(√33，+∞)，所以S ∈(√32，2√3)．20．（12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝10． （1）若S 20＝590，求{a n }的公差；（2）若a 1∈Z ，且S 7是数列{S n }中最大的项，求a 1所有可能的值． 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 4=a 1+3d =10S 20=20a 1+190d =590，解得d ＝3． （2）由（1）得a 4＝a 1+3d ＝10，d =10−a 13， 由于S 7是数列{S n }中最大的项，d =10−a 13＜0，a 1＞10， 所以{a 7≥0a 8≤0，即{a 1+6d ≥0a 1+7d ≤0，即{a 1+6×10−a13=20−a 1≥0a 1+7×10−a 13=70−4a 13≤0， 解得352≤a 1≤20，由于a 1是整数，所以a 1的可能取值是18，19，20．21．（12分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A （0，√2），右焦点为F （c ，0），直线AF 交椭圆于B 点，且满足|AF |＝2|FB |，|AB |=3√32． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆相交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（Ⅰ）因为点A （0、√2）为椭圆C 上一点，∴b =√2，又|AF |＝2|FB |，|AB|=3√32可得|AF|=√3，即 a =√3，所以椭圆C 的标准方程是x 23+y 22=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知F （1，0），A(0，√2)，∴直线AF 的方程为√2x +y −√2=0，联立{x 23+y 22=1√2x +y −√2=0， 整理得4x 2﹣6x ＝2（2x 2﹣3x ）＝0，解得x 1＝0，x 2=32，∴B(32，−√22)， 设点A(0，√2)，B(32，−√22) 到直线y ＝kx （k ＞0）的距离为d 1 和 d 2， 则d 1=2√k +1，d 2=3k+22√k +1，∵直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆相交于C ，D 两点，联立 {x 23+y 22=1y =kx，整理得：（3k 2+2）x 2＝6，解得：x 3=√6√3k +2，x 4=√6√3k +2，|CD|=√k 2+1|x 3−x 4|=√6√2√3k +2，设四边形ACBD 面积为S ，则S =12|CD|(d 1+d 2)=√6√2√3k +23(k+√2)2√k +1=3√62k+√2√3k +2＞0)，设t =k +√2∈(√2，+∞)，则 k =t −√2， ∴S =3√62t √3(t−√2)+2=3√62⋅t √3t −6√2t+8=3√621√3−6√21t +8⋅1t2=3√621√8(1t−3√28)2+34≤3√2， 所以当1t=3√28，即t =83√2=4√23=k +√2，即k =√23 时，四边形ACBD 面积有最大值 3√2．22．（12分）对于椭圆：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，我们称双曲线：y 2a 2−x 2b 2=1为其伴随双曲线．已知椭圆C ：y 23+x 2b 2=1（0＜b ＜√3），它的离心率是其伴随双曲线Γ离心率的√22倍． （1）求椭圆C 伴随双曲线Γ的方程；（2）如图，点E ，F 分别为Γ的下顶点和上焦点，过F 的直线l 与Γ上支交于A ，B 两点，设△ABO 的面积为S ，∠AOB ＝θ（其中O 为坐标原点）．若△ABE 的面积为6+3√3，求S tanθ．解：（1）设椭圆C 与其伴随双曲线Γ的离心率分别为e 1，e 2， 依题意可得a 2＝3，e 1=√22e 2，即e 12=12e 22，即3−b 23=12×3+b 23，解得b 2＝1， 所以椭圆C ：y 23+x 2=1，则椭圆C 伴随双曲线Γ的方程为y 23−x 2=1．（2）由（1）可知F （0，2），E(0，−√3)，设直线l 的斜率为k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则直线l 的方程y ＝kx +2，与双曲线y 23−x 2=1联立并消去y 得（k 2﹣3）x 2+4kx +1＝0，则Δ＝12k2+12＞0，所以x1+x2=−4kk2−3，x1x2=1k2−3＜0，则k2＜3，又|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√3√2√(k2−3)2=2√3√k2+13−k2，又|EF|=2+√3，∴S△ABE=12|EF|⋅|x1−x2|=12(2+√3)2√3√k2+13−k2=6+3√3，解得k2＝2或k2=133（舍去），又Stanθ=12|OA||OB|sinθtanθ=12|OA||OB|cosθ=12OA→⋅OB→=12(x1x2+y1y2)=12[x1x2+(kx1+2)(kx2+2)]=12[(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4]=12(4+−7k2+1k2−3)，∴Stanθ=12(4+13)=172．。