二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；(2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角.以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明.1定理判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

（可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB⨯DC+BC⨯AD=AC⨯BD.例题:证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。

解答:归纳法。

我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。

n=1，n=2很轻松。

当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形.我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。

假设对于n大于等于3成立,我们来证明n+1。

假设直径为r（整数）.找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC(边长a〈b<c）.把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra〈rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。

这个三角形在圆上面对应了第n+1个点,记为P。

于是根据Ptolomy 定理,P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。

(考虑P，这个点Q和直径两端的四个点,这四点共圆,于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。

二次曲线上的四点共圆问题的研究
《关于二次曲线上的四点共圆问题的研究》
二次曲线上的四点共圆问题是有许多学界关注的一个重要课题。

研究者们从完全不同的视
角讨论了从未有过的知识。

值得说明的是，在其发展过程中，研究者们得到了不少的成果。

首先，二次曲线上的四点共圆问题的理论基础已经建立起来。

具体来说，即将分析研究得到的结论应用于不规则多边形研究中，推动几何学与它相关的研究建立充分的理论框架，
以实现更快速更准确的结果。

此外，二次曲线上的四点共圆问题也开发出了一些实用性算法，可有效地解决四点共圆问题。

例如研究者提出了一种从几何变换到数值解决方案的框架，可以有效地求解四点共圆的问题。

更进一步，研究者们还应用二次曲线上的四点共圆问题的结果，探索它在工程设计和数学
中的应用，以及在其他领域的发展，进一步促进了研究。

综上，二次曲线上的四点共圆问题的研究取得了重要的进展，为今后的发展提供了理论框架，并将其用于工程设计和数学的应用，以及其他领域的发展，进一步促进研究。

用非圆二次曲线上四点共圆定理解题随着现代数学教育不断发展，许多理论中的定理和理论也不断出现，而“用非圆二次曲线上四点共圆定理”就是其中一个相当重要的内容。

这个定理的定义是：在某一个二次曲线上，若能将这条曲线上任意四点连成一个圆，则这条曲线必定是一条非圆二次曲线。

下面就来探讨下这个定理的证明。

假设二次曲线上四点能够形成一个圆，其中心为$O(x_o,y_o)$，半径为$R$，四点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，$D(x_4,y_4)$。

那么可以得到：$${left| overrightarrow {OA} right|} ^2 = {R^2} , {left| overrightarrow {OB} right|} ^2 = {R^2} , {left| overrightarrow {OC} right|} ^2 = {R^2} , {left| overrightarrow {OD} right|} ^2 = {R^2}$$因此，我们可以得到：$$begin{array}{l}(x_1-x_o)^2 + (y_1-y_o)^2 = R^2(x_2-x_o)^2 + (y_2-y_o)^2 = R^2(x_3-x_o)^2 + (y_3-y_o)^2 = R^2(x_4-x_o)^2 + (y_4-y_o)^2 = R^2end{array}$$同时，我们知道，任意一条二次曲线都可以用一般形式表达，即：$$ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$由此，我们可以用4个方程和4个未知数$x_o, y_o, a, b, c, d, e, f$来求解这条曲线，其中，$x_o,y_o$分别为曲线上四点的共圆中心，而$a,b,c,d,e,f$是曲线的参数，我们可以通过求解它们的值来确定曲线的位置和形状。

因此，若两条曲线的参数相同，那么它们就是一条曲线；若不同，则不是一条曲线。

老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界（下篇）老师们：四点共圆是一个经典问题，很多优秀老师都以此做为切入点发表研究文章。

本文为您收集四点共圆问题的研究现状，尝试剖析作者的研究思路。

四点共圆问题有两个研究方向：求证四个点共圆和推导四点共圆的充要条件。

以下从三个角度来梳理研究思路。

第一境界：掌握已有的解题技巧；第二境界：剖析背后的思维方法；第三境界：分享自己的研究成果。

纯几何角度在小编多方查证下：四点共圆问题在80，90年代还曾入选过《初级中学课本_几何》中。

（那个时候小编还没出生！所以对于更早的课本有没有四点共圆问题小编就不知道了，在网上只找到了89年版的）以下是该书中涉及证明四个点共圆的定理：图1：对角互补图2：公共弦图3：外角等于内对角图4：相交弦定理?图5：切割线定理可以看出这些证明四点共圆的方法都是纯几何证法。

在初中范围内，证明四点共圆的方法一般有7种[1]：1，圆的定义法：根据圆的定义“到定点的距离等于定长的集合为圆”。

首先寻找圆心，之后去求出各点到圆心的长度。

在高中遇到四点共圆问题时，很多学生和老师的思路也是如此。

2，对角互补法：利用“如果一个四边形的对角互补，那么它内接于圆。

”进行证明。

找出四边形的一组对角，之后证明它们互补，进而得出四个点共圆。

3，公共边法：利用“有相同边的两个三角形，且公共边的对应的角相等且在边的同一侧，那么这两个三角形内接于同一个圆”，进行证明。

4，外角等于它的内对角法：找到一个角的外角和其内对角相等即可得证。

其原理和对角互补法相似，不过多阐述。

5，圆幂定理：圆幂定理即为相交弦定理，切割线定理和割线定理的统一形式。

它的具体内容为：如果交点为P的两条相交直线与圆O 相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。

一般运用其逆定理证明四点共圆，很多高中老师都是运用圆幂定理去推导四点共圆的充要条件。

6，证明四点组成的图形是矩形，等腰梯形等必有外接圆的图形[2]。

四点共圆怎么判定
四点共圆的判定方法：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆等。

扩展资料
判定定理
方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的`同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）
相关计算
圆的半径：r。

直径：d。

圆周率：π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数)，通常采用3.14作为π的数值。

圆面积：S=πr2；S=π(d/2)2。

半圆的面积：S半圆=(πr2；)/2。

圆环面积：S大圆-S小圆=π(R2-r2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。

圆的周长：C=2πr或c=πd。

半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。

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双曲线中的斜率和（积）问题例1.（2022新高考1卷）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．求l 的斜率.（2）若tan PAQ ∠=PAQ ∆的面积．解法1：（设点解点）设直线AP 的方程为1)2(+-=x k y ，与双曲线C 的方程1222=-y x 联立，消去y 得到0488)12(4)21(222=-+--+-k k x k k x k ，根据韦达定理，得2221488k k k x x P A --+-=，故1224422-+-=k k k x P ，从而22211421)2(kk k x k y P P -+-=+-=.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，所以直线AQ 的方程为1)2(+--=x k y ，同理，可得：1224422-++=k k k x Q ，2221142k k k y Q -++=. 所以直线l 的斜率为11224412244211422114222222222-=-++--+--++--+-=--k k k k k k k k k k k k x x y y Q P Q P 解法2：设),(),,(2211y x Q y x P ，由点A Q P ,,都在双曲线C 上，得12,1222222121=-=-y x y x ，112222=-，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得： )1(22211111++=--=y x x y k PA ，)1(22212222++=--=y x x y k QA .因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，即QA PA k k -=，所以， 由)1(22212211++-=--y x x y 得)422()1(221212121--+-=--+x x x x y y y y . ② 由)1(22211122++=--y x x y 得)422()1(212211221--+-=--+x x x x y y y y . ③ 由②-③，得1221x x y y -=-，从而12121-=--=x x y y k PQ ，即l 的斜率为1-.解法3：（设而不求）将点A 代入双曲线方程得224111a a -=-，化简得42440a a -+=，22a ∴=，故双曲线方程为2212x y -=，由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设1(P x ，12)(y Q x ，2)y ，则联立双曲线得：222(21)4220k x kmx m -+++=，故122421km x x k +=--，21222221m x x k +=-，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----， 化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=， 故2222(22)4(12)()4(1)02121k m km m k m k k ++-----=--， 即(1)(21)0k m k ++-=，当012=-+k m 时，直线1)2(:+-=x k y l 过点A ，不合题意，舍去.,故1k =-.方法4.（同构双斜率）设过点A 的直线方程为1)2(+-=x k y ，直线l 的方程为m x k y +=0，联立解得00002,12k k mk k kk y k k k m x P P -+-=--+=，代入双曲线C 的方程1222=-y x 中，整理得0]4)1[(])2()1[(4]2)2(24[202000220=--++++-+-+-k m k k m k k m k m k ，这是关于k 的一元二次方程，方程的两根21k k 、分别为直线AQ AP 、的斜率.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，即021=+k k ，所以0)2()1(000=+++-k m k k m ，整理后分解得0)12)(1(00=-++m k k .因为直线l 不经过点A ，所以120≠+m k ，从而10-=k ，即l 的斜率为1-.方法5（齐次化联立） 双曲线方程为2212x y -=，设()()1122,,,P x y Q x y ， ∵AP,AQ 的斜率之和为0，∴12121211022y y k k x x --+=+=--， 故将双曲线方程为2212x y -=变形为：()()22221112x y -+--+=()*， 且设直线()():211l m x n y -+-=，由()*式有：()()()()222214210x y x y ---+---=⎡⎤⎣⎦⇒()()()()()()22221421210x y x y m x n y ---+---⨯-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⇒()()()()()()()2241242144210m x n y m n x y +--+-----= ⇒()()()()()2211424441022y y n m n m x x --++--+=--,（两边同除以()22x -）， 即()()()24244410n k m n k m ++--+=，而12,k k 是此方程的两根. ∴1244042n m k k n -+==+m n ⇒=，故直线l 斜率为−1. 方法6：（曲线系）点A 处的切线方程为01=--y x ，设直线AP 的方程为)2(11-=-x k y ，AQ 的方程为)2(12-=-x k y ，PQ 的方程b kx y +=，则过这四条直线交点的二次曲线方程为0]1)1([]1)1([)1)((21=+--⋅+--+----y x k y x k y x b y kx λ.又因为双曲线过这些交点，比较xy 的系数得0)(121=--+--k k k λ.又由021=+k k ，所以1-=k .这样的话，本文就展示了这道题目的6种解法，其实无所谓好坏之分，都是很好的方法，都体现了对运算对象和运算规则较为精准的把握. 但是，在考场时间如此紧张的条件下，又快又准的解题却是关键，方法1,3为通法，是多数考生的选择，这样的方法就是套路感强，我们练习的最多，但是过多的沉迷于这些方法会让我们对解析几何的理解就定位在“暴力运算”，我觉得，如果时间允许，去探寻思考方法2和方法4也是不错的选择.方法5,6就是所谓的“秒杀神技”，但是我个人觉得这两个方法还是有风险的，因为它们技巧性很强，可能对很多学生而言都很难想清楚这个平移坐标系究竟是个什么“梗”，这两个方法很多人都可能学个“四不像”，徒劳无功！所以，对解析几何运算的核心还在于去思考，理解运算对象，这个板块的特点就是翻译：几何问题代数化，代数问题坐标化，不同的理解就会有不同的处理思路，我们要基于常见的二级结论，首先对问题有一个宏观认知，其次的关键就是理解，一些传统的几何问题正变着花样出现，比如2020年山东卷22题. 给学生多一些动手练习，思考探寻不同解法的机会，让他们在探寻各种解法的过程中慢慢提升对解析几何的理解和热爱.把解析几何理解为一门关于运算的艺术，我想才是破解这个板块的核心密码！例2.（2021新高考1卷）在平面直角坐标系xoy 中，已知点)0,17(),0,17(21F F -，且动点M 满足：2||||21=-MF MF ，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线21=x 上，过T 的两条直线分别交C 于B A ,两点和Q P ,两点，且满足 ||||||||TQ TP TB TA ⋅=⋅，求直线AB 与直线PQ 的斜率之和.解析：（1）因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F ，2F 为左右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设1(,)2T n ，设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-． 联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=，则 22211112122*********,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x -=-． 则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-． 设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-． 因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--， 所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=．。

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论甘志国(该文已发表 数学通讯，2013(7下)：40-41)百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθ)(sin cos,(b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线22y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ① 式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''-=-,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.证明 由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b aλ-=-. 此时曲线③即 220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立.推论 2 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.证明 设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：高考题1 (2009·辽宁·理·20(2)) 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：21.) 高考题 2 (2004·北京·理·17(2))如图1，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：0212y p k y y y AB -=-=+；.)图1高考题3 (2004·北京·文·17(2))如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421-=-=+AB k y y ；.)推论 4 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.参考文献1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：332 甘志国著.初等数学研究(II)下[M ] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.62-63 3 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):214 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-385 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-10。

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθθ)(sin ,cos (b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]2016年高考四川卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线22y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ①式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''-=-,此时曲线①即220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.证明 由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b aλ-=-. 此时曲线③即220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立. 高考题1 (2016年高考四川卷文科第20题)已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅.解 (1)(过程略)椭圆E 的方程是2214x y +=. (2)设1,1()A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,)M x y . 可得222212121,144x x y y +=+=，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得 12121212()()()()4x x x x y y y y +-=-+- 0121212120124()4AB x y y x x k x x y y y -+====--+-0012CD y k x ==- 所以0AB CD k k +=，由推论1得,,,A B C D 四点共圆. 再由相交弦定理，立得=MA MB MC MD ⋅⋅.竞赛题1 (2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题)设A 、B 为双曲线λ=-222y x 上的两点，点N (1,2)为线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点.(1)确定λ的取值范围；(2)试判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？并说明理由.简解 (1)用点差法可求得直线AB 的方程是1+=x y ，由直线AB 与双曲线λ=-222y x 交于不同的两点，可得1->λ且0≠λ.得直线CD 的方程是3+-=x y ，由直线CD 与双曲线λ=-222y x 交于不同的两点，可得9->λ且0≠λ.所以λ的取值范围是),0()0,1(+∞⋃-.(2)在(1)的解答中已0AB CD k k +=，所以由推论1立得,,,A B C D 四点共圆.笔者还发现还有一道竞赛题和四道高考题及均是二次曲线上的四点共圆问题，所以用以上定理的证法均可给出它们的简解.这五道题及其答案分别是：高考题2 (2014年高考全国大纲卷理科第21题(即文科第22题))已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且PQ QF 45=. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于B A ,两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于N M ,两点，且N B M A ,,,四点在同一圆上，求l 的方程.(答案：(1)x y 42=；(2)01=--y x 或01=-+y x .)高考题3 (2011年高考全国大纲卷理科第21题(即文科的22题))如图1所示，已知O为坐标原点，F 为椭圆12:22=+y x C 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于B A ,两点，点P 满足=++OP OB OA 0.图1(1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：Q B P A ,,,四点在同一圆上.高考题4 (2005年高考湖北卷文科第22题(即理科第21题))设B A ,是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与该椭圆交于D C ,两点.(1)确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；(2)试判断是否存在这样的λ，使得D C B A ,,,四点在同一圆上？并说明理由.(答案：(1)λ的取值范围是),12(+∞，直线AB 的方程是04=-+y x ；(2)当12>λ时时，均有D C B A ,,,四点在同一圆上.)高考题5 (2002年高考江苏卷第20题)设B A ,是双曲线1222=-y x 上的两点，点N )2,1(N 是线段AB 的中点.(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于D C ,两点，那么D C B A ,,,四点是否共圆？为什么？(答案：(1)1+=x y ；(2)是.)竞赛题2 (2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题)如图2所示，抛物线22y x =及点(1,1)P ，过点P 的不重合的直线12l l 、与此抛物线分别交于点,,,A B C D .证明：,,,A B C D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补.图2推论 2 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.证明 设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：高考题6 (2009年高考辽宁卷理科第20(2)题)已知⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：21.) 高考题7 (2004年高考北京卷理科第17(2)题)如图3，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：00212y p k y y y AB -=-=+；.)图3高考题8 (2004年高考北京卷文科第17(2)题)如图3，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421-=-=+AB k y y ；.)推论 4 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.(本文中的所有结论及部分题目在文献[6]中均有论述.)参考文献1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：332 甘志国著.初等数学研究(II)下[M ] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.62-633 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):214 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-385 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-106 甘志国.二次曲线上的四点共圆问题的完整结论[J].数学通讯，2013(7下):40-41。

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材《坐标几何》(Loney著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是2 2这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆笃£ 1(a 0,b 0)上任一点A的坐标可a2 b2以表示为(acos , bsin )( R)，角就叫做点A的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理•这一条件是否充分，一直是悬案•在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决•到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.［1,2］2016年高考四川卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献［3,4］).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线h : y y0 k, (x x0)(i 1,2) 与二次曲线2 2:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k1 k20.文献［2］还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍” •文献［5］用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8):结论1抛物线y2 2px的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补结论2圆锥曲线mx2 ny21(mn 0,m n)的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补请注意，文献［5］中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确•但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论 4.定理 1 若两条二次曲线ax2 by2 cx dy e 0(a b)，a x2 b y2 cx d y e 0 有四个交点，则这四个交点共圆.证明过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为0):2 2 2 2(ax by cx dy e) (ax b y cx d y e) 0 ①式①左边的展开式中不含xy的项，选1时，再令式①左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，得也一？，此时曲线①即2 2xycxdyeO ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹•而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆•这就证得了四个交点共圆•定理2若两条直线l i : a x b i y c i 0(i 1,2)与二次曲线2 2:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是aQ? a2d 0.证明由组成的曲线即(a i x biy C i)(a2X b2y C2) 0所以经过它与的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为0):2 2(ax by cx dy e) (a i x biy C i)(a2X b2y C2) 0 ③必要性•若四个交点共圆，则存在，使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy0 (否则③表示曲线，不表示圆)，所以a i b? a?b i 0.项的系数(a1b2 a2d) 0.而充分性•当a i b2 azb 0时，式③左边的展开式中不含xy的项，选I时，再令式③左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，即 a a i a2 b db2，得—•b a此时曲线③即x2 y2 cx dy e 0 ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹•而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆•这就证得了四个交点共圆•推论i若两条直线与二次曲线:ax2 by2 cx dy e 0(a b)有四个交点，贝U这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数•证明设两条直线为|j：ax b i y c i 0(i i,2)，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是a id a?b i 0 •(i)当l i //I2即a i b2 a2t i时，得四个交点共圆的充要条件即a i b2 a2t i 0也即a i a20 或b b20 •⑵当l i与l2不平行即a i b2 a2“时，由a4 a20 0得a4 0, a2 0 0，所以四个交点共圆的充要条件即 ai a20也即直线l 1,l 2的斜率均存在且均不为0且互为b i b 2相反数•由此可得欲证成立.个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P .3,- 在椭圆E 上.2(1) 求椭圆E 的方程；1(2) 设不过原点O 且斜率为一的直线I 与椭圆E 交于不同的两点 A , B ，线段AB 的中2点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C , D ，证明：MA MB MC MD .2解(1)(过程略)椭圆E 的方程是 —y 2 1.4⑵设A(X 1,yJ , Bgy)，线段AB 的中点为M(x °,y 。