八级上册数学全等三角形知识点与练习

第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

(3)全等三角形的周长相等、面积相等。

(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.证明两个三角形全等的基本思路：5.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等6.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.学习全等三角形应注意以下几个问题：(1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。

八上数学全等三角形章节复习及经典例题【知识梳理】一、全等三角形1.概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2.全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等、对应角相等。

②全等三角形的周长相等、面积相等。

③全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3.全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4.证明两个三角形全等的基本思路：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSS HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边二、角的平分线：1.（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”【例题精讲】例1．如图，在ABC ∆中, 90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。

BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

第十二章一、：：二、：：1.：：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.：：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解：：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

(3)全等三角形的周长相等、面积相等。

(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3.全等三角形的判定定理：：⑴边边边（ SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（ SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等..4.：：5.：：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等6.：：⑴明确命题中的已知和求证. （包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.：：(1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。

八年级数学上册知识总结与相关练习第十一章全等三角形一、全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形。

二、全等三角形１、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

注意：（１）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

（２）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，能够完全重合。

２、全等三角形的符号表示、读法△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于” 。

注意：（１）两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。

（２）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。

（３）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。

３、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。

４、三角形全等的识别方法（１）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“ＳＳＳ” 。

（２）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“ＳＡＳ”。

（３）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ＡＳＡ”。

（４）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“ＡＡＳ”。

（５）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“ＨＬ”。

注意：ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

５、三角形全等的证明思路找夹角——ＳＡＳ（１）已知两边都是直角三角形——ＨＬ找另一边——ＳＳＳ找边的对角——ＡＡＳ（２）已知一边一角找夹角的另一边——ＳＡＳ找夹边的另一角——ＡＳＡ（３）已知两角找夹边——ＡＳＡ找其他任意一边——ＡＡＳ６、全等变换一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：（１）旋转；（２）翻折；（３）平移。

T——全等三角形课堂导入形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形一、知识梳理：1、能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形（1）“全等”用符号________来表示，读作“全等于”。

（2）记作:△ABC≌△DEF，读作 : _________________互相重合的顶点叫做___________互相重合的边叫做_________互相重合的角叫做_____________2、全等三角形的性质:（1）.全等三角形的对应边_______；（2）.全等三角形的对应角_________。

二、考点分类考点一：判断全等【例】1.下列图形中，和所给图形全等的图形是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的有（）①两个图形全等，它们的形状相同；②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全等．A．1个B．2个 C．3个D．4个考点二：对应关系【例2】如图（1），△AOB ≌△COD ，∠AOB =∠COD ，∠A =∠C ，则∠D 的对应角是__________，图中相等的线段有__________图（1） 图（2）【变式训练】如图（2），△ABC ≌△AED ，∠C =40°，∠EAC =30°，∠B =30°，则∠EAD =___________.考点三：全等三角形性质【例5】如图(3)，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N 的距离，如果△PQO ≌△NMO ，则只需测出其长度的线段是_____________.图（3） 图（6） 图（7）【变式训练】如图（6），△ABE ≌△ACD ，AE =5 cm ，∠A =60°，∠B =30°，则∠ADC =__________°，AD =__________cm ．3、如图（7），已知，△ABC ≌△BAE ，∠ABE =60°，∠E =92°，则∠ABC 的度数为__________度．如图，ΔABC ≌ΔDEF ，∠A =25°，∠B =65°，BF =3 cm ，求∠DFE 的度数和EC 的长．强化练习C——边边边、边角边一、知识梳理：全等三角形的条件（1）、三角形全等的判定------三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）（2）、三角形全等的判定-----两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。

数学--八年级上册全等三角形一、全等三角形及其判定（一）知识总结（二）例题精讲知识点三：三角形全等的开方性探索知识点二：三角形全等的判定知识点一：全等三角形的性质知识点一：全等三角形的性质A、夯实基础例1:已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠OAD＝_____度.【解析】此题可根据全等三角形的对应角相等得∵△OAD≌△OBC∴∠OAD=∠OBC=180°－70°－25°=85°.【解答】85°B、双基固化例2:如图，△ABC≌△DEF,则有下列判断正确的是( )。

A.AB=DFB.AC=DFC.∠A=∠FD.∠B=∠D【解析】本题根据全等三角形的对应边相等,对应角相等判断即可.【解答】B.C、能力提升例3:如图,△ABC≌△AED,B和E是对应顶点,写出图中相等的线段和相等的角.【解析】根据全等三角形的对应边相等,对应角相等判断即可.关键要做到不重不漏. 【解答】相等的线段有:AB=AE,AC=AD,BC=DE，BD=EC相等的角有:∠B=∠E,∠BAC=∠EAD,∠ACB=∠ADE。

知识点二：三角形全等的判定A、夯实基础例4:如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△ CEB全等吗？为什么？【解答】△AFD≌△ CEB理由：∵AE=CF∴AE－FE=CF－EF，即AF=CE在△AFD和△ CEB中AF=CE∠AFD=∠CEB，DF=BE∴△AFD≌△CEB（SAS）B、双基固化例5:（2010年福州）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D。

求证：△ABC≌△DEF。

【解答】证明：∵ AB∥DE，∴∠B=∠DEF在△ABC和△DEF中，B=∠DEF∠A=∠DBC=EF∴△ABC≌△DEF（AAS）C、能力提升例6:（2010年宁德市）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：____________，并给予证明.【解答】解法一：添加条件：AE＝AF证明：在△AED与△AFD中，∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（SAS）.解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA证明：在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA，∴△AED≌△AFD（ASA）.知识点三：三角形全等的开方性探索A、夯实基础例7:如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个条件_____，使△ABC≌△DCB。

第十二章全等三角形一．知识框架二．知识概念1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。

2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

3.三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。

除了边边角和角角角。

4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。

通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。

在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。

【同步练习（§12.1～12.2）】一、填空题（每题3分，共30分）32681．如图，△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B=，∠A=，AB=13cm，则∠F=______度，ADE =______cm ．2．由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片 全等图形（填“是”或“不是”）.3．如图，△ABC 与△DBC 能够完全重合，则△ABC 与△DBC 是____________，表示为△ABC ____△DBC ．4．如图，已知△ABC ≌△BAD ，BC =AD ，写出其他的对应边 和对应角 ．5．如图所示，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为 ．6．如图，已知，垂足为，，垂足为，，，则＝___________．7．如图，已知，，，经分析 ．此时有 ． 8．如图所示，AB ，CD 相交于O ，且AO ＝OB ，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是________，联想到SAS ，只需补充条件________，则有△AOC ≌△________．9．如图所示，有一块三角形的镜子，小明不小心弄破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上________块，其理由是__________． 10．如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测的长量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳）只要量出度，就可以知道工件的内径是否符合标准，你能简要说出工人这ABC ADE △≌△BC DA F DE G 105ACB AED ∠=∠=15CAD ∠=30B D ∠=∠=1∠AB BD ⊥B ED BD ⊥D AB CD =BC DE =ACE ∠AF BE =A B ∠=∠AC BD =≌F ∠=AA 'BB 'O A B ''AB A BC OD （第4题）A F CB DG E 1 （第5题）AEC （第6题）CEF（第7题）ACODBB A1 2（第8题） （第9题）样测量的道理吗？．二、选择题（每题3分，共24分）11．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）Ａ．①②③④Ｂ．①③④Ｃ．①②④Ｄ．②③④12．如果是中边上一点，并且，则是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．钝角三角形Ｃ．直角三角形Ｄ．等腰三角形13．一个正方形的侧面展开图有（）个全等的正方形.A．2个 B．3个 C．4个 D．6个14．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个15．如图，在和中，已知，，根据（SAS）判定，还需的条件是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．以上三个均可以16．下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件的是（）Ａ．AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EFＢ．AB＝BC，∠B＝∠E，DE＝EFC．AB＝EF，∠A＝∠D，AC＝DFＤ．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF17．如图，相交于点，，．下列结论正确的是（）A．． B． C． D．18．如图，已知，，．下列结论不正确的有（）．A． B． C．AB=BC D．三、解答题（共46分）19．（7分）找出下列图形中的全等图形．D ABC△BC ADB ADC△≌△ABC△ABC△DEF△AB DE=BC EF=ABC DEF△≌△A D∠=∠B E∠=∠C F∠=∠AD BC，O OA OD=OB OC=AOB DOC△≌△ABO DOC△≌△A C∠=∠B D∠=∠AB AC=AD AE=BAC DAE∠=∠BAD CAE∠=∠ABD ACE△≌△BD CE=（第15题）（第17题）（第18题）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）20．（7分）如图，AB=DC，AC=DB，求证AB∥CD．21．（8分）如图，已知AB∥DC，AD∥BC.证明：（1）AB=CD；（2）AD=BC．D CBA22．（8分）如图，点在一条直线上，△△你能得出哪些结论?（请写出三个以上的结论）23．（8分）如图，点分别在上，且，．求证：．24．（8分）如右图，已知DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，AE=CF，DC∥AB，（1）试证明：DE=B F；（2）连接DF、BE，猜想DF与BE的关系？并证明你的猜想的正确性．【同步练习§12.1】一、填空题（每题3分，共30分）1．到一个角的两边距离相等的点都在_________.2．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.A B C D，，，ABF≌DCE，D E，AB AC，AD AE=BDC CEB∠=∠BD CE=DFCBAE④①② ③ （第14题）3．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.4．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_________ cm ． 5．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，过E 作∠AEC 及∠AED 的平分线PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________． 6．三角形内一点到三角形的三边的距离相等，则这个点是三角形_________的交点． 7．△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，且BD ：CD =3：2，BC =15cm ，则点D 到AB 的距离是__________． 8．角平分线的性质定理：角平分线上的点_____________________________． 9．（1）如图，已知∠1 =∠2，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则DE ____DF ．（2）已知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别 为E 、F ，且DE = DF ，则∠1_____∠2．10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度．二、选择题（每题3分，共24分）11．如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PC = PDB ．OC = OD C ．∠CPO = ∠DPO D ．OC = PC12．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm13．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点 14． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 15．给出下列结论，正确的有（ ）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与 三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的 （第3题） （第4题） （第5题） 21A BCDEF（第9题）A BC DO P（第11题）ED CB A （第12题）逆命题一定是假命题A．1个B．2个C．3个D．4个16．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（）A．18 B．16 C．14 D．1217．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）A．两个三角形全等B．两个三角形一定不全等C．如果还有一角相等，两三角形就全等D．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等18．如图，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为（）A．2α－βB．α－βC．α+βD．2α三、解答题（共46分）19．（7分）如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数．20．（7分）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）（第18题）21．（8分）如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF 于F ．求证：CE = CF22．（8分）已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + AD23．（8分）如图，PB 和PC 是△ABC 的两条外角平分线． ①求证：∠BPC =90°-∠BAC ． ②根据第①问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？12F A B EC D D AC PC B AD E24．（8分）如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP是△ABC的外角平分线．。

八年级数学上册第十二章全等三角形知识点汇总单选题1、如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（）A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF答案：D分析：根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，故只能添上斜边这一条件，即可解答．解：∵∠B=∠E=90°，AB=DE，∴添加条件AC=DF，根据“HL”即可判定Rt△ABC≌Rt△DEF；或添加条件AD=CF，也可得出AC=DF，根据“HL”即可判定Rt△ABC≌Rt△DEF，故D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键．2、如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°答案：B分析：由BD、CE是高，可得∠BDC=∠CEB=90°，可求∠BCD＝70°，可证Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），得出∠BCD ＝∠CBE＝70°即可．解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，在Rt△BEC和Rt△CDB中，{CE=BDBC=CB，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），∴∠BCD＝∠CBE＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．小提示：本题考查三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式，掌握三角形高的定义，三角形全等判定与性质，三角形内角和公式是解题关键．3、如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（）A．SASB．SSSC．ASAD．AAS答案：A分析：已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．解：在△ADC与△ABC中，{CD=CB∠ACD=∠ACBAC=AC．∴△ADC≌△ABC（SAS）．故选：A．小提示：此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4、为了测量工件的内径，设计了如图所示的工具，点O为卡钳两柄的交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，只要量得CD之间的距离，就可知工件的内径AB．其数学原理是利用△AOB≌△COD，判断的依据是（）A．SSSB．SASC．ASAD．AAS答案：B分析：利用“边角边”证明△ABO和△CDO全等，根据全等三角形对应边相等解答．解：在△ABO和△CDO中{OA=OC ∠AOB=COD OB=OD∴△ABO≌△CDO（SAS）故选B小提示：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．5、观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（）A．B．C ．D ．答案：C 分析：根据角平分线画法逐一进行判断即可．A ：所作线段为AB 边上的高，选项错误；B ：做图痕迹为AB 边上的中垂线，CD 为AB 边上的中线，选项错误；C ：CD 为∠ACB 的角平分线，满足题意。

八年级数学全等三角形知识点归纳及分类练习、.知识框架:二、知识概念：1 .根本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形^⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形^⑶对应顶点：全等.三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角^2 .根本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大,小就全确定,这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等^3 .全等三角形的判定定理：⑴边边边〔S SS〕：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边〔SAS〕：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等^⑶角边角〔ASA〕：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等^⑷角角边〔AAS〕：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等^⑸斜边、直角边〔HL〕：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.1性质定理：角平分线上.的点到角的两边的距离相等.2性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证实的根本方法：⑴明确命题中的和求证.〔包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系〕⑵根据题意,画出图形,并用数字符号表示和求证^⑶经过分析,找出由推出求证的途径,写出证实过程 ^练习一12.1全等三角形、根底达标1 .如图12-1-4 所示,AACB^A ACB ； / BCB'= 30°,那么/ACA 的度数为〔〕图12-1-4A. 20° B, 30°C. 35° D, 40°2.如图12-1-5所示,AABC^ACDA ,那么以下结论错误的选项是〔〕图12-1-5A. / 1= / 2B. AC=CAC. / D= / BD. AC=BC3.如图12-1-6, Z^ABC^A DEF, BE= 4, -AE= 1 ,那么DE 的长是〔〕A. 5B. 4C. 3 D . 2图12-1-64 . [2021 成都]如图12-1-7, Z^ABC^A A BC；其中/A=36°, / C'= 24°,那么 / B =C C图 12-1-75 .如图 12-1-8, Z^AOC^A BOD ,试证实 AC // BD.二、水平提升6 .如图 12-1-9, AABC^A DCB.⑴分别写出它们的对应角和对应边;(2)请说明/ 1= /2的理由.7.如图 12-1-10, AACEZ^DBF,CE=BF, AE=DF, AD = 8, BC=2.1V图 12-1-8⑴求AC的长度；(2)求证:CE//BF.三、创新题型8.如图12-1-11,△ABC^A DEB ,点E在AB上,DE与AC相交于点F.(1)当DE=8, BC = 5时,线段AE的长为 .(2)/D=35°, /C=60°.①求/DBC的度数；②求/AFD的度数.图12-1-11参考答案【知识治理】1.完全重合2.完全重合顶点边角全等于对应顶点3.相等相等【归类探究】4 1 AC的对应边是DE , AB的对应边是DF , CB的对应边是EF; Z A与/ D, Z C与/DEF, / ABC与/ F是对应角.5 2 A【当堂测评】1. B 2,C 3.61 ° 15【分层作业】1. B2.D3.A4.120 °5.略6. (1)对应角是/A和/D, /1和/2, /ABC和/DCB,对应边是AB和DC, AC和DB , BC和CB ;(2)理由：全等三角形的对应角相等.7. (1)AC= 5 (2)略8. (1)3 (2)/DBC=25°; /AFD=130°.练习二12.2三角形全等的判定三角形全等的判定(SSS)、根底达标1.如图12-2-6所示,在那BC中,AB=AC, BE = CE ,那么由“SSStf以判定()图12-2-6A. AABD0^ACDB. ABDE^A CDEC, 9BEACE -D,以上都不正确2 .如图12-2-7,点D, E 在线段BC 上,AB =AC, AD = AE , BE = CD,要判定ZxABD^AACE ,较为快捷的判定依据是.图12-2-73 . 一个平分角的仪器如图12-2-8所示,其中AB = AD , BC = DC.求证：/ BAC = / DAC.图12-2-84 .如图12-2-9,四边形ABCD 中,AB = CD, CB = AD.求证：Z^ABC CDA.图 12-2-9二、水平提升5 .如图 12-2-10, AB=AC, AE=AD, BD = CE,求证：AAEB ADC.6 .如图 12-2-11,点 B, E, C, F 在同一直线上, AB = DE , AC = DF, BE=CF,求证：AC三、创新题型7 .如图 12-2-12 所示,AB=AE, BC=ED, CF=DF, AC =AD.图 12-2-10 DF. 图 12-2-11fiI)图12-2-12求证：/BAF=/EAF.【知识治理】2.相等【归类探究】例1 略例2 (1)略(2)AB //DE , AC// DF.理由略.【当堂测评】1. D2.SSS3.36 °4.AB = DC三角形全等的判定(SAS)、根底达标1.如图12-2-18所示,/1=/2,假设用“SAS证实△ACB^A BDA ,还需要-加上条件()图12-2-18A. AD = BCB. AC = BDC. / C= / DD. OA = OB2 .如图12-2-19 所示,BE=CD, AE=AD , / 1 = /2, Z 2= 100°, / BAE =60°,贝U / CAE 的度数为〔〕B D E C图12-2-19A. 20° B, 30° C. 40° D, 50°3 .如图12-2-20,点B, E, C, F在同一直线上, AB = DE , BE = CF.请你添加一个条件：〔只需添加一个即可〕,使那BC叁' DEF.8 E C F图12-2-204 .如图12-2-21, C 是线段AB 的中点,CD = BE, CD // BE.求证：/ D = / E.图1 2-2-21二、水平提升5 .如图12-2-22,点A, F, C, D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB = DE, Z A =ZD, AF= DC.求证：BC // EF.图12-2-226 .如图12-2-23,在AABC中, AB = AC , AD平分/ BAC ,点M , N分别在AB , AC边上,AM = 2MB , AN=2NC.求证：DM = DN.图1 2-2-23三、创新题型7 .如图12-2-24,点A, B, C, D 在同一直线上, CE//DF, EC=BD, AC = FD.求证：AE = FB.图12-2-24参考答案【知识治理】1 .唯一确定2 .夹角对应关系【归类探究】例1 略例2 △OAB^^ODC,那BC^A DCB.理由略.【当堂测评】1. A2.D3.〔1〕〔3〕4.不是AC=DF【分层作业】1. B2.C3.AC= DF 或/B=/DEF 或AB // DE三角形全等的判定〔ASA, AAS〕一■、根底达标1 .如图12-2-30,/ABC=/BAD,添加以下条件还不能判定AABC BAD的是〔〕D图12-2-30A . AC = BDB . / CAB = / DBAC. ZC=ZDD. BC = AD2.如图12-2-31 ,点D, E分别在线段AB , AC上,AE = AD ,不添加新的线段和字母,要使AABE^AACD ,需添加的一个条件是_ _〔只写一个条件即可〕.图12-2-313 . [2021 福州]如图12-2-32, 3 1=/2, /3=/4,求证：AC = AD.图12-2-32三、水平提升4 .如图12-2-33,/AOD=/COB, / A= / C, O 是AC 的中点.图12-2-33求证：△AOB^^COD.5 .如图12-2-34, BD^AC 于点D, CEL AB 于点E, AD=AE.求证：BE = CD.图12-2-34四、创新题型6 .两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图12-2-35所示的方式叠放,阴影局部为重叠局部,点O为边AC和DF的交点.不重叠的两局部AAOF与4DOC是否全等？为什,么？图12-2-35参考答案【知识治理】2 .夹边3 .对边【归类探究】例1 略例2 〔1〕略〔2〕/D=75°【当堂测评】1. D 2,B 3.D 4.B【分层作业】1. A2./ADC = / AEB 或 / CEB= / BDC 或 / C= / B 或AB =AC 或BD = CE3.略4.略5.略6. AAOF与4DOC全等.理由略.直角三角形全等的判定〔HL〕一根底过关1 .在9BC和4DEF中,/A=/D=90°,那么以下条件中不能判定AABC和4DEF全等白^是〔〕A . AB = DE , AC = DF B. AC = EF, BC = DFC. AB = DE , BC= EFD. /C=/F, BC = EF2.如图12-2-40, AB LAC于A, BD^CD于D,假设AC = DB ,那么以下结论中不正确的选项是〔〕I〕c图12-2-40A. /A=/DB. / ABC = / DCBC. OB = ODD. OA = OD3.如图12-2-41,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角/ AB C和/ DFE之间的关系是〔〕图12-2-41A. /ABC = ZDFEB . / ABC> / DFEC. /ABC</DFED. /ABC +/DFE = 90 °4 .如图12-2-42, AABC 中,AD^BC 于D,要使^ABD ACD ,假设根据“HL判定,假设加条件/B=/C,那么可用判定.5 .如图12-2-43, AB = CD , DE ±AC , BFXAC , E, F 是垂足,DE = BF.求证:图12-2-43 (1)AF = CE;(2)AB // CD.、水平提升6 .如图12-2-44,/A=/D=90°, E, F 在线段BC 上,DE 与AF 交于点O,且AB = DC , BE = CF.还需要加条件IIIK 图12-2-42图122-44求证：RtAABF 色 RtADCE.三、创新题型7 .如图12245,在4ABC中,AB =AC, DE是过点A的直线,BD,DE于点D, CEL DE于点E.(1)假设B, C 在DE 的同侧(如图12-2-45(1)所示),AD = CE.求证：AB XAC.(2)假设B, C在DE的两侧(如图12-2-45(2)所示),AD=CE, AB与AC仍垂直吗？假设是,请给出证实；假设不是,请说明理由.(2)参考答案【知识治理】2. 一条直角边【归斜边、直角边(或HL)类探究】例1 AD是4ABC的中线,理由略.例2 (1)3 对,分别是：AABD0^ACD, AADE0^ADF, ABDE^A CDF.(2)答案不唯一,略.【当堂测评】1. B2.A3.A4.HL【分层作业】1. B2.C3.D4.AB = AC AAS5. (1)略(2)略6.略7. (1)略(2)AB ±A C.证实略.角的平分线的性质一、根底过关1 .如图12-3-6,在RtAABC中,ZC=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC, AB于1 .......................................... ......................点M , N,再分别以点M, N为圆心,大于2MN的长为半径回弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,假设CD =4, AB = 15,那么4ABD的面积是()图12-3-6A. 15B. 30C. 45D. 602 .如图12-3-7,在GABC 中,ZC=90°, AC = BC , AD 平分 / BAC 交BC 于D , DELAB 于E,假设^BDE 的周长是5 cm,那么AB的长为图12-3-73 .证实命题角的平分线上的点到角的两边的距离相等〞,要根据题意,画出图形,并用符号表示和求证,写出证实过程.下面是小明同学根据题意画出的图形,并写出了不完整的和求证.：如图12-3-8, /AOC=/BOC,点P 在OC 上.求证:请你补全和求证,并写出证实过程.⑴求DE的长；(2)求那DB的面积.中,ZC=90°, AD 平分 / CAB , DEXAB 于E,假设AB = 10, CD 3.图12-3-8二、水平提升5 .如图12-3-10, PB, PC分别是那BC的两个外角的平分线且相交于点P.求证：点P在/ A的平分线上.图12-3-106 .如图12-3-11,BD为/ABC的平分线,AB = BC ,点P在BD上,PMLAD于M, PNLCD于N, 求证：PM =PN.If图12-3-11三、创新题型7.如图12-3-12,在那BC中,D是BC的中点,DE^AB, DFXAC,垂足分别是E, F, BE=CF.H图12-3-12求证：AD是4ABC的角平分线.【知识治理】1 .距离相等2 .角的平分线上3 .相等【归类探究】例1 略例2 略【当堂测评】1. B 2,B 3.A 4.3【分层作业】1. B2.5 cm3. PDXOA , PEXOB,垂足分别为D, E. PD = PE.证实略.4. (1)DE = 3 (2)SAADB =155.略6.略7.略。