第十二章全等三角形
一、结构梳理
二、知识梳理
（一）概念梳理
1．全等图形
定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形．
2．全等三角形
这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等．
（二）性质与判定梳理
1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．
全等三角形的对应边、对应角分别相等．
2．全等三角形的判定
这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有：
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA；
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS；
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS．
若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等．
（5）注意判定三角形全等的基本思路
从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有：
图
2
'.
'.
⎪⎩
⎪⎨
⎧→→SSS SAS 找另一边找夹角 ⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边找任一角边为角的对边 ⎩⎨⎧→→AAS
ASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素
辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角．
（三）基本图形梳理
注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：
1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型：
它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到．
2
．对称型 如图
4，下面几种图形属于对称型：
它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点．
3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在
对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析
1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例
（1两个三角形不一定全等；如图6（1角都是600
，但这两个三角形显然不全等；
（2）两边和其中一边的对角对应相等的两个 三角形不一定全等，如图6（2），中的△ABC 和△ABD 中， 虽然有AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，但它们显然不全等．
已知两边 已知一边一角 已知两角
图3 图4
Ｂ
Ｃ Ｄ
图6（2）
图6（1）
'.
2．在判定三角形全等时，还要注意的问题 在判定三角形全等时，应做到以下几点： （１）根据已知条件与结论认真分析图形； （２）准确无误的确定每个三角形的六个元素；
（３）根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边； （４）对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等； （５）想办法找出所需的条件来． 四、例题：
例1．如图7（1），E 、F 分别是四边形ABCD 的边BA 、DC 延长线上的点，AB//CD ，AD//BC ，且AE=CF ，EF 交AD 于G ，交BC 于H ．
（1）图中的全等三角形有 对，它们分别是 ；（不添加任何辅助线）
（2）请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明． 我选择的是： ．
解：（1）2，△AEG ≌△CFH 和△BEH ≌△DFG ． （2）如求证明：△AEG ≌△CFH ．
证明：在平行四边形ABCD 中，有∠BAG=∠HCD ， 所以∠EAG=1800－∠BAG=1800
－∠HCD=∠FCH ． 又因BA ∥DC ，所以∠E=∠F ．又因AE=CF ，所以△AEG ≌△CFH ．
点评：本题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力，
主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．
例2．如图8，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式： ○
1AB=AC ○2AD=AE ○31=∠2○4BD=CE. 请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论， 写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）． （提示：答案不唯一）．
点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学生的
创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中 有的是假命题，请同学们注意分辨．
例3．如图9，点E 在AB 上，AC=AD ，
请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。
所添条件为 ，
你得到的一对全等三角形是∆ ∆≅ ．
（提示：可选择BD BC DAB CAB DE CE =∠=∠=、、等条件中的一个。
可得到ADB ACB ADE ACE ∆≅∆∆≅∆或， 证明过程略）． 例4．如图10，AB=CD=ED ，AD=EB ，BE ⊥DE ，垂足为E ． (1)求证：△ABD≌△EDB
(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD 为矩形. 请加以证明.
提示：(1)证明略
(2)添加AB∥CD，或添加AD=BC 或BE=BC 或∠A=∠ADC 或∠ADC=90°或∠A=∠C 或∠
C=90°或∠ABD=∠BDC 或∠A=∠ABC 或∠ADB=∠DBC 或∠ABC=90°等.证明略.
H G F
E D C B A 图6 图7（2）
E C
D B
A
图10
2
1
E
C B A 图8
图10 图7（1）
