全等三角形知识点梳理.pdf

第十二章全等三角形

2018.9 杨1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．对应边相等。

2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．对应角相等。

证明三角形全等基本思路：

三角形全等的判定(1)

三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS．

1.如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)∠B＝∠D.

证明：(1)连接AC，在△ABC与△ADC中，

∴△ABC≌△ADC(SSS)．

(2)∵△ABC≌△ADC，∴∠B＝∠D.

2.已知在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,,求证AD//BC

A D 做辅助线，连接AC，利用SSS证明全等，得到∠

DAC=∠ACB ，从而证明平行

B C

三角形全等的判定(2)

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)．

两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠

ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE，CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论．

解：结论：AE＝CD，AE⊥CD.

证明：延长AE交CD于F，在△ABE与△CBD中AB＝CB，

∠ABE＝∠CBD，

BE＝BD，

，

∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，

∵∠DCB＋∠CDB＝90°，∴∠EAB＋∠CDB＝90°，

∴∠AFD＝90°，∴AE⊥CD. F

2.在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，AE与BD交与点 F

（1）求证：△ACE≌△BCD

（2）求证：AE⊥BD

1,利用SAS证明全等，

AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE

2，全等得到角相等∠CAE=∠DCB

∠CAB+∠EAB+∠ABC=90°

∠DCB∠EAB+∠ABC=90°

三角形全等的判定(3)

两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边

角或ASA．

两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称

角角边或AAS．

求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等．

如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，求证：BE＝CF.

证法1：

∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED与△CFD中∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，

∴△BED≌△CFD(AAS)，∴BE＝CF.

证法2：∵Ｓ△ABD＝1

2

AD·BE，S△ACD＝

1

2

AD·CF，

且S△ABD＝S△ACD(等底同高的两个三角形面积相等)，

∴1

2

AD·BE＝

1

2

AD·CF，∴BE＝CF.

三角形全等的判定(4)

斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”．

如图，E，F分别为线段AC上的两点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF，BD交AC于点M. 求证：BM＝DM，ME＝MF.

证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF∴AF＝CE.

在Rt△ABF与Rt△CDE中AB＝CD，AF＝CE，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H L)，

∴BF＝DE.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°.

在△BFM与△DEM中∠BFM＝∠DEM，∠BMF＝∠DME，BF＝DE，

∴△BFM≌△DEM(A AS)，

∴BM＝DM，ME＝MF.

角的平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

文字命题的证明方法：

a.明确命题中的已知和求证；

b.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

c.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．

方法总结：

（1）角平分线的性质是证明线段相等的另一途径．

（2）在已知角平分线的条件下，也可想到翻折构造全等的方法．角平分线的性质是证线段相等

的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上

一点作角两边的垂线段是常用的辅助线．

1.在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝

180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由．

解：结论：DE＝DF.

证明：过点D作DG⊥AB于点G，作DH⊥AC于点C，

∵AD是△ABC的角平分线，∴DG＝DH.

∵∠DGA＝∠DHA＝90°，∴∠GDH＋∠BAC＝180°，

∵∠EDF＋∠EAF＝180°，∴∠GDH＝∠EDF，

∴∠GDH－∠EDH＝∠EDF－∠EDH，∴∠GDE＝∠FDH.

在△DGE与△DHF中，∠DGE＝∠DHF＝90°，

DG＝DH，

∠GDE＝∠HDF，

∴△DGE≌△DHF(ASA)，

∴DE＝DF

2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的中线．

利用AAS证明全等

∠BDE=∠F

∠BDE=∠CDF

BE=CF

利用全等证明垂直

此类题目中必有垂直，利用垂直角度和是90°，再根据全等转换一个角，达到另外的两个角度

和是90°，得到第三个角是90°，进一步证明线的垂直关系。

1.将两块全等的直角三角形如图1摆放，其中∠DCE=∠ACB=90°∠Ｄ=∠A.

2.(1)求证:AB⊥DE;

3.(2)将图中的ADCE绕点C顺时针旋转45’得到图2,AB.CD交于点N,DE,BC交于M.求

证:CM=CN

4.

5.

第一问中延长

AB交DE于F，

已经知道全等，

知道垂直，

就可以将∠

D+∠E=90°转

化为∠A+∠E=90°

得到∠AFE=90°进而证明了垂直

第二问中，利用ASA证明相等

旋转角度是45°∠MCD=∠DCA=45°∠A=∠D CD=CA

得到△CMD≌△CNA(ASA)

从而证明CM=CN