最新整理高二数学教案导数的计算导学案及练习题_1.docx

导数的背景（5月4日）教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题1: 一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是s *gt2（其中g是重力加速度）.当时间增量t很小时，从3秒到（3+ t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到(3+ t）秒这段时间内位移的增量：s s(3t)s(3) 4.9(3 t)2 4.9 3229.4 t 4.9( t)2从而，V s t29.4 4.9 t.从上式可以看出，t越小，工越接近29.4米/秒；当t无限趋近于0时，」t t 无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当t趋向于0时，一^勺极限是29.4.s当t趋向于0时，平均速度一S的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做t瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是s= s （t），则物体在t到（t + t）这段时间内的平均速度为—s（t—.如果t无限趋近于0时，」无限趋近于t t t某个常数a,就说当t趋向于0时，」的极限为a,这时a就是物体在时刻tt的瞬时速度.2.切线的斜率问题2: P （1,1）是曲线y x2上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.析：设点Q的横坐标为1+ x，则点Q的纵坐标为(1+ x) 2,点Q对于点P 的纵坐标的增量(即函数的增量) y (1 x)2 1 2 x ( x)2,2所以，割线PQ的斜率k pQ 丄(x)2 x. x x由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，x变得越来越小，k pQ越来越接近2;当点Q无限接近于点P时，即x无限趋近于0时，k pQ无限趋近于2. 这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线•由点斜式，这条切线的方程为：y 2x 1.一般地，已知函数y f (x)的图象是曲线C,P(x0,y0 ),Q(x0 x, y0 y) 是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲线无限接近点P,即x趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率k PQ 丄无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当x趋向于0时，割线xPQ的斜率k pQ 」的极限为k.x3. 边际成本问题3：设成本为C，产量为q,成本与产量的函数关系式为C(q) 3q210，我们来研究当q = 50时，产量变化q对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：2 2 2C C(50 q) C(50) 3(50 q) 10 (3 50 10) 300 q 3( q).产量变化q对成本的影响可用：一—300 3 q来刻划，q越小，一C越接近q q300;当q无限趋近于0时，上无限趋近于300,我们就说当q趋向于0时，q的极限是300.—我们把——的极限300叫做当q = 50时C(q) 3q210的边际成本.q般地，设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为 C 二C （q ）,当产量为q o 时，产量变化 q 对成本的影响可用增量比刻划.如果q 无限趋近于0时，一C 无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际q成本.它表明当产量为q o 时，增加单位产量需付出成本 A （这是实际付出成本 的一个近似值）. 二、 小结瞬时速度是平均速度 —当t 趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，t 切线的斜率是割线斜率 乂当x 趋近于0时的极限；边际成本是平均成本—当xqq 趋近于0时的极限.三、 练习与作业：1. 某物体的运动方程为s （t ） 5t 2 （位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t = 2s 时的速度.2. 判断曲线y 2x 2在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为C 2q2 5，求当产量q = 80时的边际 成本.4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为h t 2，求t =4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.C C （q 。

高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修3、2 导数的计算【成功细节】张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9)已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。

如，这个题主要考查基本初等函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。

叶圣陶【关注、思考】1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、【领会、感悟】1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【领会感悟】2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。

高中数学导数的运算教案一、知识点概述导数是描述函数在某一点上变化率的量，也可以理解为切线的斜率。

在高中数学中，我们主要学习一阶导数的计算和运用。

本节课的知识点包括：1. 导数的定义和性质2. 函数的导数运算法则3. 求导数的方法和技巧4. 导数的应用二、教学目标1. 了解导数的定义和性质，能够正确应用导数运算法则计算函数的导数2. 熟练掌握求导数的方法和技巧，能够独立完成导数计算题目3. 能够灵活运用导数解决实际问题三、教学过程1. 导入通过引导学生回顾函数的概念和图像，引出函数的变化率和导数的概念。

2. 导数的定义和性质- 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为极限$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$- 导数的性质：导数的性质包括线性性质、求和、乘积和商的导数法则等。

3. 函数的导数运算法则- 常数函数导数法则：$$(c)' = 0$$- 幂函数导数法则：$$(x^n)' = nx^{n-1}$$- 指数函数导数法则：$$(a^x)' = a^x \ln a$$- 对数函数导数法则：$$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$4. 求导数的方法和技巧- 利用导数定义和性质进行导数计算- 使用导数运算法则简化导数计算过程- 注意特殊函数的导数计算方法5. 导数的应用- 导数在函数的极值问题中的应用- 导数在函数的图像研究中的应用- 导数在实际问题中的应用6. 拓展练习设计一些综合性的导数计算题目，让学生灵活应用所学知识进行解答。

7. 练习与总结布置一定数量的导数计算题目，学生在课后完成并批改。

总结本节课的重点知识，巩固所学内容。

四、评价方式通过课堂练习和课后作业检查学生对导数的理解和掌握程度，评价学生的学习效果。

可以采用量化评价和质性评价相结合的方式进行评价。

3.3计算导数教学目标：知识与技能目标：（1）能够用定义求四个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。

（2）使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y =c 、y =x 、2y =x 、1y =x的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数y =c 、y =x 、2y =x 、1y =x的导数公式及应用 教学过程：一、复习回顾：1．求f(x)在x 0处的导数的步骤为： 1）求增量：Δy=f(x+Δx)-f(x) 2)算比值：Δy f(x +Δx)-f(x)=Δx Δx3）求极限：y ’=Δx →0ΔylimΔx2．导数的几何意义。

二．创设情景，新课引入我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率．那么，对于函数y =f(x)，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法，用常用的函数的导函数计算导数． 三．新课探究：1．函数y =f(x)=c 的导数根据导数定义，因为Δy f(x +Δx)-f(x)c -c===0Δx Δx Δx所以'Δx →0Δx →0Δyy =lim=lim 0=0'y =0表示函数y 0．2．函数y =f(x)=x 的导数因为Δy f(x +Δx)-f(x)x +Δx -x===1Δx Δx Δx所以'Δx →0Δx →0Δyy =lim=lim 1=1Δx'y =1表示函数y 1． 3．函数2y =f(x)=x 的导数因为22Δy f(x +Δx)-f(x)(x +Δx)-x ==Δx Δx Δx222x +2x Δx +(Δx)-x ==2x +Δx Δx所以'Δx →0Δx →0Δy y =lim =lim(2x +Δx)=2x'y =2x 表示函数y =x 图像（图3.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x <0时，随着x 的增加，函数2y =x 减少得越来越慢；当x >0时，随着x 的增加，函数2y =x 增加得越来越快．4．函数1y =f(x)=x的导数因为11-Δy f(x +Δx)-f(x)x +Δx x==Δx Δx Δx2x -(x +Δx)1==-x(x +Δx)Δx x +x Δx 所以'22Δx →0Δx →0Δy 11y =lim =lim(-)=-5．函数y =因为Δy f(x +Δx)-f(x)==Δx Δx Δx=(x +Δx)-x=所以'Δx →0Δx →0Δy 11y =lim =lim =Δx（2）推广：若ny =f(x)=x (n ∈R)，则'n-1f (x)=nx例1（06安微文）若曲线4y =x 的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直，则l 的方程为（A ）A ．4x -y -3=0B ．x +4y -5=0C ．4x -y +3=0D ．x +4y +3=0例2：（1）求曲线y=f(x)=1x 在点（1，1）年的切线方程。

1.2导数的计算导学案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数的计算导学案第一课时：几个常用函数的导数一．学习目标：1．学会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y = 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 二．学习重、难点：五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =三．学习过程 （一）创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0的时候，yx∆∆所趋于的那个定值。

（二）获取新知1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x xx x x∆+∆-+∆-===∆∆∆所以00lim lim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图）上点(,)x y 处的切线的斜率都为 ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆5．函数y=()()y f x x f x xx∆+∆-==∆∆因为==0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆所以推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）课堂小结第二课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。

高中数学人教版《导数》教案2023版一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够达到以下目标：1. 了解导数的概念和基本性质；2. 理解导数的几何意义，并能够应用到实际问题中；3. 学会计算常见函数的导数；4. 掌握导数的基本计算法则；5. 运用导数求函数的极值点和函数图像的变化情况。

二、教学重点1. 导数的概念和性质；2. 导数的几何意义；3. 常见函数的导数计算；4. 导数的基本计算法则。

三、教学难点1. 导数的几何意义；2. 导数计算的基本法则。

四、教学过程1. 导入（5分钟）通过提问的方式，引导学生回顾上节课所学内容，激发学生对导数的兴趣。

2. 概念讲解（15分钟）首先，向学生介绍导数的定义，并举例说明，如常见函数的导数计算和几何意义。

然后，引导学生思考导数与函数图像的关系，并进行讲解。

3. 计算实例（25分钟）通过一些常见函数的导数计算实例，帮助学生掌握导数的计算方法和技巧。

同时，通过这些实例，让学生理解导数的几何意义。

4. 计算法则（15分钟）介绍导数的基本计算法则，如和差法则、常数法则和乘法法则，帮助学生简化导数的计算过程。

5. 应用实例（25分钟）通过一些实际问题，引导学生运用导数求函数的极值点和函数图像的变化情况。

让学生将导数与实际问题相结合，提高他们的应用能力。

6. 总结（10分钟）对本节课的内容进行总结，帮助学生回顾所学知识点，并对学生的学习进行反馈。

五、教学辅助材料1. PowerPoint课件，用于呈现导数的概念、计算实例和应用实例；2. 教学实例，用于进行实际问题的讲解和练习。

六、教学评估通过课堂练习和作业，对学生的掌握情况进行评估。

同时，观察学生在课堂上的参与度和表现，对学生的学习态度进行评估。

七、教学延伸为了帮助学生更好地掌握导数的知识，建议学生根据教材自主学习，完成相关的习题和练习。

并鼓励学生在日常生活中积极应用导数的概念和方法，以加深对导数的理解。

最新整理高二数学教案导数的计算导学案及练习题
一、基础过关
1．下列结论中正确的个数为()
①y＝ln2，则y′＝12；②y＝1x2，则y′|x＝3＝－227；
③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝1xln2.
A．0B．1
C．2D．3
2．过曲线y＝1x上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为()
A.12，2
B.12，2或－12，－2
C.－12，－2
D.12，－2
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于()
A．4B．－4
C．5D．－5
4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有()
A．1条B．2条
C．3条D．不确定
5．若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于()
A．64B．32C．16D．8
6．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
7．曲线y＝14x3在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．
二、能力提升
8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()
A.1eB．－1e
C．－eD．e
9．直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x》0)的一条切线，则实数b＝________.
10．求下列函数的导数：
(1)y＝xx；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；
(4)y＝log2x2－log2x；(5)y＝－2sinx21－2cos2x4.
11．求与曲线y＝3x2在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．
12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．。

选修2-2第一章 导数及其应用 1.2导数的计算1 导学案导学习目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．思 1.复习回顾 利用定义求导数的步骤(1)求函数增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)取极限lim Δx →0 ΔyΔx . 2.对几个常用函数的导数公式的理解(1).常数的导数为0，其几何意义为f(x)=c 在任意点处的切线平行于x 轴，其斜率为零。

若y=c 表示路程关于时间的函数，则y =0可以解释为某物体作瞬时速度为0，即一直处于静止状态。

(2). f(x)=x 的导数为1，其几何意义为y=x 图像上每一点处的切线斜率为1，若y=x 表示路程关于时间的函数，则y =1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动。

(3).函数y ＝x 2的导数为y ′＝2x .y ′＝2x 表示函数y ＝x 2图象上点(x ，y )处的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释当某物体做变速运动做，它在时刻x 的瞬时速度为2x . 3．基本初等函数的导数公式表议 题型一 利用常用函数的导数公式求导数值例1 求曲线y ＝1x 在点M (3,3)处的切线方程．''变式训练：求曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程．归纳总结：将曲线上点的横坐标代入曲线导数方程便可求出切线的斜率，再代入点斜式即可求出切线方程．题型二 常用函数的导数公式的综合应用例2 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．变式训练：设直线l 1与曲线y ＝x 相切于P ，直线l 2过P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q 点，又作PK 垂直于x 轴于K 点，求KQ 的长．题型三 常见函数导数公式的综合应用例3 已知f (x )＝x 2，g (x )＝1x ，求适合f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值．变式训练：已知函数，则f (1)与f (－1)的大小关系是 ( )A ．f (1)＝f (－1)B ．f (－1)<f (1)C ．f (－1)>f (1)D ．无法确定展 评检 1.已知函数f (x )＝36，则＝( )A ．3B ．5C ．0D ．不存在2．函数f (x )＝x ，则＝ ( )A.36B ．0 C.12xD.323．曲线y ＝12x 2－2在点x ＝1处切线的倾斜角α是( )A ．0°B ．45°C ．135°D ．－45°4.曲线y ＝x 3在点P 处切线的斜率为k ，当k ＝3时，P 点坐标为________。

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。

§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容要求 1.能根据定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 3.会使用导数公式表.知识点1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x【预习评价】思考根据上述五个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？提示y＝xα的导数是y′＝αxα－1.知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln__a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f (x )＝ln xf′(x )＝1x求下列函数的导数：(1)f (x )＝4x 5；(2)g (x )＝cos π4；(3)h (x )＝3x . 解 (1)f (x )＝x 54，∴f ′(x )＝54x 14； (2)g (x )＝cos π4＝22，∴g ′(x )＝0； (3)h ′(x )＝3x ln 3.题型一 利用导数定义求函数的导数【例1】 利用导数的定义求函数f (x )＝2 019x 2的导数. 解 f ′(x )＝0limx ∆→2 019（x ＋Δx ）2－2 019x 2x ＋Δx －x＝0lim x ∆→2 019[x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2]－2 019x 2Δx＝0lim x ∆→4 038x ·Δx ＋2 019（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→(4 038x ＋2 019Δx )＝4 038x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )，(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数. 解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋b －（x 2＋ax ＋b ）Δx＝0lim x ∆→x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二 利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13； (2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12； (2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.方向1 利用导数求曲线的切线方程【例3－1】 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0. 方向2 切线方程的综合应用【例3－2】 设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设与直线y ＝x 平行的直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0). 因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.【训练3】 (1)求曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程；(2)求曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线方程.解 (1)∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，y ′|x =π6＝－sin π6＝－12.∴曲线在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即6x ＋12y －63－π＝0. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .∴曲线在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线的斜率为k ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32.∴切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即33x －6y ＋3π＋3＝0.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B.0C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.答案 A3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案 A4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 25.已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.答案－13或2课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin 2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.基础过关1.函数y＝3x在x＝2处的导数为()A.9B.6C.9ln 3D.6ln 3解析y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.答案 C2.下列结论中，不正确的是()A.若y＝1x3，则y′＝－3x4B.若y＝3x，则y′＝3x3C.若y＝1x2，则y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析由(x n)′＝nx n－1知，选项A，y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3； 选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.已知f (x )＝cos x ，f ′(x )＝－1，则x 等于( ) A.π2B.－π2C.π2＋2k π，k ∈ZD.－π2＋2k π，k ∈Z解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，则sin x ＝1， ∴x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 答案 C4. 曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________． 解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋15.若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 解析∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a ).令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案 646.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0， 得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1， 但sin x ∈[－1，1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 能力提升8.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处分别有斜率为1的切线.答案 B9.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1e C.－eD.e解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 答案 D10.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 解析 ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1. ∴a ＝1. 答案 111.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 1012.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728， 所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 019(x ). 解 ∵f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，∴f n ＋4(x )＝f n (x )，可知f (x )的周期为4，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝-cos x .。

高中数学导数教案word
主题：导数的基本概念和求导法则
时间：2课时
教学目标：
1. 理解导数的概念和意义
2. 掌握导数的计算方法和求导法则
3. 能够应用导数解决实际问题
教学内容：
1. 导数的定义和意义
2. 导数的计算方法
3. 求导法则：常数、幂函数、求和、差、乘法和除法规则
教学步骤：
第一课时：
1. 导入：复习函数的概念和性质，引出导数的概念
2. 导数的定义和意义：讲解导数的定义及在函数图像上的几何意义
3. 导数的计算方法：通过例题演示如何计算导数
4. 练习：让学生做一些简单的计算导数的练习题
第二课时：
1. 复习：回顾上节课学习的内容
2. 求导法则：逐个介绍常数、幂函数、求和、差、乘法和除法规则，通过例题演示应用
3. 实例分析：通过实际问题让学生应用导数求解
4. 总结：总结本节课的重点和难点
教学资源：
1. 教科书、课件和习题册
2. 黑板、彩色粉笔和擦布
3. 笔记本和笔
课后作业：
1. 完成教科书上相关习题
2. 自主查阅相关知识，扩展阅读与学习
评价方法：
1. 课堂表现：积极回答问题、参与讨论
2. 作业完成情况：认真完成作业
3. 考试成绩：检测学生对导数的掌握程度
教学反思：
1. 课堂氛围的营造
2. 教师讲解和学生练习的比例
3. 不同学生的学习效果差异处理
备注：本教案仅供参考，具体教学内容和步骤可根据实际情况做调整。

高中数学选修《导数的计算》教案及例题高中数学选修《导数的计算》教案及例题学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。

为什么高中要学三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

下面和一起看看有关高中数学选修《导数的计算》教案及例题。

1.能根据定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.【学法指导】1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想.通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣.2.本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键.记公式时，要注意观察公式之间的联系，如公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.公式5与公式7中ln a的位置的不同等.1.几个常用函数的导数原函数导函数f（x）=c f （x）=f（x）=x f（x）=f（x）=x2 f（x）=f（x）=1xf（x）=f（x）=xf（x）=2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）=c f（x）=f（x）=x（Q*）f（x）=f（x）=sin x f（x）=f（x）=cos x f（x）=f（x）=ax f（x）= （a0）f（x）=ex f （x）=f（x）=logaxf（x）= （a0且a1）f（x）=ln x f（x）=探究点一几个常用函数的导数问题1 怎样利用定义求函数y=f（x）的导数?问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1）y=c （2）y=x （3）y=x2 （4）y=1x （5）y=x问题3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.（1）函数y =f（x）=c（常数）的导数的物理意义是什么?（2）函数y=f（x）=x的导数的物理意义呢?问题4 画出函数y=1x的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程.探究点二基本初等函数的导数公式问题1 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题?问题2 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗?例1 求下列函数的导数：（1）y=sin3；（2）y=5x；（3）y=1x3；（4）y=4x3；（5）y =log3x.跟踪1 求下列函数的导数：（1）y=x8；（2）y=（12）x；（3）y=xx；（4）y=例2 判断下列计算是否正确.求y=cos x在x=3处的导数，过程如下：y| = =-sin 3=-32.跟踪2 求函数f（x）=13x在x=1处的导数.探究点三导数公式的综合应用例3 已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大.跟踪3 点P是曲线y=ex上任意一点，求点P到直线y=x的最小距离.【达标检测】1.给出下列结论：①若y=1x3，则y=-3x4；②若y=3x，则y=133x；③若y=1x2，则y=-2x-3；④若f（x）=3x，则f（1）=3.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.42.函数f（x）=x，则f（3）等于（）A.36B.0C.12xD.323.设正弦曲线y=sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）A.[0，4][34，）B.[0，）C.[4，34]D.[0，4][2，34]4.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.。

最新整理高二数学教案计算导数
三大段一中心五环节高效课堂—导学案
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课题第八课时计算导数（一）
学习
目标1、能根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数在处的导数的步骤；
2、理解导函数的概念，并能用它们求简单函数的导数。

学习
重点根据导数的定义计算一般函数在处的导数
学习
难点导数的定义运用
学法
指导探析归纳，讲练结合
学习过程
一自主学习
（一）复习导入新课
注意
那么，如何利用导数的定义求函数的导数？从而导入新课。

（二）、新知探索
计算函数在处的导数的步骤如下：
（1）通过自变量在处的Δx，确定函数在处的改变量：；
（2）确定函数在处的平均变化率：；
（3）当Δx趋于0时，得到导数
二师生互动
例1、求函数在下列各点的导数
（1）；（2）；（3）。

例2、求的导函数，并利用导函数求，，。

三、自我检测
课本练习：1、2.
四、课堂反思
1、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？
2、你觉得哪些知识，哪些知识还需要课后继续加深理解？
五、拓展提高
课本习题2-3：A组1、2、4
课外练习：求函数的导数。

数学导数的运算教案
教案标题：数学导数的运算
一、教学目标：
1. 理解导数的概念和意义；
2. 掌握导数的基本运算法则；
3. 能够运用导数进行函数的求导和应用问题的解决。

二、教学重点和难点：
1. 理解导数的概念和意义；
2. 掌握导数的基本运算法则；
3. 运用导数解决实际问题。

三、教学准备：
1. 教材：数学教材相关章节；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪；
3. 范例题目和练习题。

四、教学过程：
1. 导入：通过举例引入导数的概念和意义，引发学生对导数的兴趣；
2. 讲解：介绍导数的定义和基本运算法则，包括常数法则、幂法则、和法则、积法则、商法则等；
3. 练习：通过范例题目和练习题，让学生熟悉导数的基本运算方法；
4. 拓展：引导学生应用导数解决实际问题，如求函数的极值、最优化问题等；
5. 总结：对导数的基本运算法则进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。

五、课堂作业：
布置相关的练习题，巩固学生对导数的运算方法和应用能力。

六、教学反思：
通过学生的课堂表现和作业完成情况，及时调整教学方法和内容，确保学生对导数的运算有深入的理解和掌握。

高中二年级数学‘导数的计算’课程设计教案和和后练习1．几个常用函数的导数几个常用函数的导数如下表：2．基本初等函数的导数公式（1）若()f x c =，则()0f x '=；（2）若()()f x x Q αα*=∈，则()_______f x '=；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=； （4）若()cos f x x =，则()______f x '=；（5）若()xf x a =，则()ln (01)x f x a a a a '=>≠且；（6）若()e x f x =，则()e xf x '=；（7）若()log a f x x =，则()______(01)f x a a '=>≠且； （8）若()ln f x x =，则1()f x x'=. 3．导数运算法则（1）[()()]___________f x g x '±=； （2）[()()]_____________f x g x '⋅=；（3）()[]____________(()0)()f xg x g x '=≠.K知识参考答案：一、求函数的导数1．基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．2．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：（1）求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．（2）利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．（3）在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．3．应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导．【例二、导数几何意义的应用利用导数的几何意义解题时需注意：（1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解； （2）在切点处的导数值等于切线的斜率.【例2】过函数3()3f x x x =-的图象上一点(22)A -，的切线方程是 A ．0x y -= B ．9160x y +-=C ．9160x y +-=或0x y -=D ．9160x y +-=或2y =-【答案】D【解析】由3()3f x x x =-易知2()33f x x '=-.所给点(22)A -，不一定是切点，设切点为3000(,3)P x x x -，则切线方程为32000(3)(33)(y x x x x --=--0)x ，已知点(22)A -，在切线上，所以将点(22)A -，的坐标代入切线方程，解得01x =-或02x =.当01x =-时，0()2f x =-，则过点(12),(22)P A ---，，的切线方程为2y =-； 当02x =时，则点(22)A -，是切点，切线的斜率为(2)9f '=-，则切线方程为29(2)y x +=-⨯-，即9160x y +-=.综上，所求切线方程为9160x y +-=或2y =-.故选D.【名师点睛】求切线方程时，首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出.【例3】已知曲线3232C y x x x =-+：，直线l y kx =：，且直线l 与曲线C 相切于点000()0()x y x ≠，，求直线l 的方程及切点坐标.三、因公式记忆不准确致误【例4】求函数sin cos y x x =-的导数. 【错解】(sin )(cos )cos sin y x x x x '''=-=-.【错因分析】(cos )sin x x '=-，错解中因漏掉负号致误. 【正解】(sin )(cos )cos sin y x x x x '''=-=+.【名师点睛】应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误.1．下列求导运算正确的是 A ．211()1x x x '+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log x xx '= D ．2(cos )2sin x x x x '=-2．已知函数3()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为A ．(2,8)--B ．(1,1)--C ．(2,8)--或(2,8)D ．(1,1)--或(1,1)3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '等于A ．e -B ．1-C ．1D ．e4．曲线e x y =在点2(2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A B ．23e C ．26e D ．29e5．已知函数π()()cos sin 4f x f x x '=+，则π()4f =A B 1 C ．1 D ．06．函数2sin y x x =的导函数为 .7．设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x = . 8．求下列函数的导数：（1）2311()y x x x x =++； （2）cos x y x=； （3）3e 2e x x x y =-+； （4）2sin cos 22x x y x =-.9，则(1)f '等于 A ．2 B ．12- C ．14- D ．1410．已知为自然对数的底数，曲线e xy a x =+在点(1,e 1)a +处的切线与直线2e 10x y --=平行，则实数a =A B C D 11．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为 A ．(0,)+∞ B ．(1,0)(2,)-+∞ C ．(2,)+∞ D ．(1,0)-12．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满则()f x = .13．设曲线1()n y xn +*=∈N 在点(1,1)处的切线与轴的交点的横坐标为,n x 令lg ,n n a x =则1299a a a ++⋅⋅⋅+的值为 ．14．设函数()bf x ax x =-，曲线()y f x =在点(2)(2)f ，处的切线方程为74120x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.15．（2016·四川文科）设直线l 1，l 2分别是函数ln ()01,ln ,1x x x x f x -<<>⎩=⎧⎨，图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞ 16．（2016·新课标高考Ⅲ文科）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________.17．（2015·天津文科）已知函数()ln ,(0,)f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数,若(1)3f '=，则a 的值为 ．18．（2015·新课标全国Ⅱ文科）已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y a x a x =+++相切，则a = .1．B 【解析】因为211()x x '=-，所以A 项应为211x -；由1(log )ln ax x a'=知B 项正确；由()ln xxa a a '=可知C 项错误；D 项中，22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，所以D 项是错误的，综上所述，正确选项为B.2．D 【解析】由3()f x x =得2()3f x x '=，令233x =，则1x =±，故P 点的坐标为(1,1)--或(1,1).3．B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-. 4．A 【解析】因为e x y '=，所以切线的斜率为2e k =，切线方程为22e e (2)y x -=-，令0=x 得2e y =-；令0y =得1x =，故围成的三角形的面积为故选A.5．C 【解析】由题意得，，令，则所以πππ()1)cos sin1)144422f=+=⨯+=，故选C．6．22sin cosx x x x+【解析】2siny x x=，则222()s i n(s i n)2s i n c o s y x x x x x x x x'''=+=+.7．【解析】由题意得()ln1f x x'=+，又00()ln12f x x'=+=，解得ex=．8．【解析】（1）因为2332111()1y x x xx x x=++=++，所以2323y xx'=-.（2）222cos(cos)cos sin cos sin cos()x x x x x x x x x x xyx x x x'''⋅-⋅-⋅-+'====-.（3）'(3e)'(2)'e'(3e3e)'(2)')(x x x x x x x xy=-+=+-'3ln3e3e2ln2ln3((e))13x x x x x x=⋅+-=+⋅-2ln2x.（4）∵221sin cos sin222x xy x x x=-=-，∴12cos2y x x'=-.9．C 【解析】令1tx=，则1xt=，()11111tf ttt==++，因此()11f xx=+，则根据求导公式有()21=(1)f xx'-+，所以()114f'=-.故选C.10．B 【解析】e xy a x=+的导数为e1xy a'=+，可得曲线e xy a x=+在点(1,e1)a+处的切线斜率为e1a+，由切线与直线2e10x y--=平行，可得e12ea+=，解得B．11．C 【解析】要使函数有意义，则0>x，∵2()24lnf x x x x=--，∴，若()0f x'>，则04222>--xxx，即22>--xx，解得2>x或1-<x（舍去），故不等式()0f x'>的解集为(2,)+∞，故选C.12．【解析】∵，∴12()(1)e (0)x f x f f x -''=-+，令1x =，则(1)(1)(0)1f f f '='-+，∴(0)1f =；令0x =，则1(0)(1)e f f -='，∴(1)e f '=，13．2- 【解析】导函数nx n y )1(+='，切线斜率1|1x k y n ='==+，所以切线方程为n x n y -+=)1(，可求得切线与横轴的交点为)0,1(+n n，则)1l g (lg 1lg +-=+=n n n na n ，所以有12a a a ++⋅⋅⋅(l g1lg 2)(=-+-+⋅⋅⋅+-.14．【解析】（1）由74120x y --=得734y x =-. 当2x =时，12y =，则1(2)222b f a =-= ①.又2()b f x a x '=+，则7(2)44b f a +='= ②.由①②得4147a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩. 故3()f x x x=-. （2）设00()P x y ，为曲线上任一点，由231y x'=+，知曲线在点00()P x y ，处的切线方程为00203(1)()y y x x x -=+-，即0020033()(1)()y x x x x x --=+-. 令0x =得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为6(0)x -，； 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00)2(2x x ，， 所以点00()P x y ，处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为0016|||2|62x x -⋅=. 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.15．A 【解析】设111222(,ln ),(,ln )P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线的方程为1111ln ()y x x x x -=-，切线2l 的方程为2221ln ()y x x x x +=--，即1111ln ()y x x x x -=--.分别令0x =得11(0,1ln ),(0,1ln ).A x B x -++与2l 的交点为2111221121(,ln ).11x x P x x x -+++211122112111,1,01211PABA B P PAB x x x S y y x S x x +>∴=-⋅=<=∴<<++△△，故选A. 16．2y x = 【解析】当0x >时，0x -<，则1()ex f x x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()ex f x f x x -=-=+，所以1()e 1x f x -'=+，则(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．17．3 【解析】因为()(1ln )f x a x '=+，所以(1)3f a '==. 18．8 【解析】因为11y x'=+，所以1|2x y ='=，则曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-.又切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，当0a =时，21y x =+，显然与21y x =-平行，故0a ≠，由2(2)121y ax a x y x ⎧=+++⎨=-⎩，得220ax ax ++= ，则280a a ∆=-=，解得8a =.。