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导数的概念及运算[必备知识]考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0ΔyΔx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 考点2 基本初等函数的导数公式若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 2．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) 3．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )4．对于函数f (x )＝－x 2＋3x ，由于f (1)＝2，所以f ′(1)＝2′＝0.( )5．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，则该物体在t ＝0时刻的瞬时速度是0.( ) 6．若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a ＞0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( )答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 二、例题练习1．已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C.2. 已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.【答案】 －12【解析】 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 3.设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '-D ．()1f '- 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．4．若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===5.若()()0003lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim 3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 6．[课本改编]曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D 解析 ∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝1＝2；故所求切线方程为：y －1＝2(x －1)即2x －y－1＝0，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2. 8．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2e x B ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e答案 D解析 函数y ＝x ·e x 的导函数是f ′(x )＝e x ＋x e x ，在点(1，e)处，把x ＝1代入f ′(x )＝e x ＋x e x ，得k ＝f ′(1)＝2e ，点斜式得y －e ＝2e(x －1)，整理得y ＝2e x －e.9．已知函数2()cos 3g x x x =+，则2()πg'=_______________．【答案】13． 【解析】因为2()sin 1g x x '=-+，所以2()πg'=2π21sin 113233-+=-=．故填13．10=')1(f _______________．【答案】e【解析】0x =得(0)1f =，∴(1)e f '=．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ．12．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为_______________． 【答案】(2,)+∞【解析】由()224ln f x x x x =--，得()()4220f x x x x'=-->，则由不等式()42200x x x-->>，得()2200x x x -->>，从而可解得2x >．故()0f x '>的解集为(2,)+∞．13.求下列函数的导数：(1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)＝xx ln ；[解] (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x . (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝1－12cos x .14．[2015·天津高考]已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析 因为f (x )＝ax ln x ，所以f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)．由f ′(1)＝3得a (ln1＋1)＝3，所以a ＝3.15．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 【答案】C【解析】因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2…x －a 8＋[]x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋ []x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.17．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°答案 B 解析 由y ′＝3x 2－2得y ′| x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°，故选B.18．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 B 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 19．[2016·深圳中学实战考试]函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( ) A.π4B.π6C.5π6D.3π4答案 D 解析 由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得－1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4. 20．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.21．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 备用：1.函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.2.[2014·江西高考]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.3. [2016·沈阳模拟]若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( ) A ．1 B.164C ．1或164D ．1或－164[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] C[2016·沈阳模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7答案 A解析 ∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为：y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，得a ＝－1. 综上，a ＝－1或a ＝－2564.故选A.。
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。
导数的计算教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2、能利用导数公式求简单函数的导数。
教学重难点： 能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 一、 用定义计算导数问题1：如何求函数()y f x c ==的导数？ 2．求函数()y f x x ==的导数 3．函数2()y f x x ==的导数 4．函数1()y f x x==的导数 5．函数y =二1.基本初等函数的导数公式表分几类 1、幂函数2.三角函数 3指数函数 4.对数函数补充1()f x x='21()f x x =-2公式的应用典型题一、求导数A xy x y xy xy y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5)2()1(125======、求下列函数的导数例 思考 求()f x '的方法有哪些？3.导数的四则运算法则： 问题 x ⋅推论：[]''()()cf x cf x = 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.。
常见错误：[]'''()()()()f x g x f x g x ⋅=典型题二、导数的四则运算法则例题3根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+ （2）sin y x x =⋅；（3）2(251)xy x x e =-+⋅； （4）cos xy x lnx =-A 变式练习1cos xy x= +lnx 2sin y x x = A 变式2.求下列函数的导数（1）y=23x +3cosx, (2)y=(1+2x)(2x-3) (3)y=sin x x (4)y=2ln 1x x + A 变式3．已知f （x ）=xcosx ﹣sinx ，则f′（x ）=（ ） 解：∵f （x ）=xcosx ﹣sinx ，∴f ′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣cosx=﹣xsinx ，已知函数f （x ）=2x lnx ，则f′（x ）等于（ ）函数y=e x sinx 的导数等于（ ） A ． e x cosx B ． e x sinxC ． ﹣e x cosxD ． e x （sinx+cosx ）分利用导数乘法法则进行计算，其中（e x ）′=e x ，sin ′x=cosx ．析：解答： 解：∵y=e x sinx ，∴y ′=（e x ）′sinx+（e x ）?（sinx ）′=e x sinx+e x cosx =e x （sinx+cosx ）． 故选D ．4.函数的导数值为0时，x 等于（ ） 解：∵=，∴令y ′=0，即，解得x=±a ．A 变式练习4若函数y=f （x ）的导数f ′（x ）=6x 2+5，则f （x ）可以是（ ） A ． 3x 2+5x B ． 2x 3+5x+6 C ． 2x 3+5 D ． 6x 2+5x+6 解答： 解：∵f'（x ）=6x 2+5∴f （x ）=2x 3+5x+c （c 为常数）故选B ．函数f （x ）=xsinx+cosx 的导数是（ ） 解：∵f （x ）=xsinx+cosx∴f ′（x ）=（xsinx+cosx ）′=（xsinx ）′+（cosx ）′ =x ′sinx+x （sinx ）′﹣sinx =sinx+xcosx ﹣sinx=xcosx若f ′（x ）=2e x +xe x （其中e 为自然对数的底数），则f （x ）可以是（ ） A ． x e x +x B ． （x+1）e x +1 C ． x e x D ． （x+1）e x +x 分析：利用导数的运算法则即可得出． 解答： 解：利用导数的运算法则可得：A ．（xe x +x ）′=e x +xe x +1， B ．[（x+1）e x +1]=e x +（x+1）e x =（x+2）e x ，C ．（xe x ）′=e x +xe x ，D ．[（x+1）e x +x ]′=e x +（x+1）e x +1=（x+2）e x +1． 故选B ．请默写出常见函数的导数 4、复合函数问题 2(21)y x =+求导是多少？如果展开后求导，结果是 为什么会不同？复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦上例中函数2(21)y x =+可以看作函数2y u =和21u x =+的复合函数。
x u x y y u '''=⋅=()2''()(21)221.284u x x x +=+=+典型题三、复合函数求导例题4 求下列函数的导数：（1）0.051x y e-+=；（2）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数） （3） y ＝sin 4x ＋cos 4x (4)122sin -=x xy A 变式练习1 求下列函数导数（1）ln 2sin cos 22x xy x =-（2）bxax ey +-=23函数的导函数是解：对于函数，对其求导可得：f ′（x ）===；A 变式21函数f （x ）=cos 2x 的导数f′（x ）=（ ） 2函数y=sin （2x 2+x ）导数是（ ）3.求y =xx sin 2的导数. y ′=＿＿＿＿B.变式1求下列函数的导数 （1）y=x 21-cos x423325x x y x -+-=y=ln (x +21x+) B 变式2函数的导数为（ ）A ．B ．C ．D ．考点：简单复合函数的导数．专题： 计算题． 分析： 根据函数商的求导法则再结合函数和的求导法则f （x ）+g （x ）=f （x ）′+g （x ）′代入计算化简即可． 解答： 解：∵∴∴=故选D2.求y =2sin x x -导数 典型题四、导数公式的应用例题 某运动物体自始点起经过t 秒后的距离s 满足：23416441t t t s +-=，求此物体在什么时刻速度为零?A.变式1函数f （x ）=x 2+ax+1，其导函数的图象过点（2，4），则a 的值为（ ） A 变式2 已知函数f （x ）=ax 2+c ，且f ′（1）=2，则a 的值为（ ） A ． 1 B ． C ． ﹣1 D ． 0 考点：导数的运算． 专题：计算题． 分析：先求出f ′（ x ），再由f ′（1）=2求出a 的值． 解答： 解：∵函数f （x ）=a x 2+c ，∴f ′（ x ）=2ax 又f ′（1）=2，∴2a?1=2， ∴a=1故答案为A ．A 变式3函数f (x )＝ax 若其导数过点（2，4），则a 的值是典型题五、用导数方法求切线例题 曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________ 过（1,1）的切线方程为________A 变式1若曲线y=x 4的一条切线l 与直线x+4y ﹣8=0垂直，则l 的方程为（ ）A ． 4x ﹣y ﹣3=0B ． x +4y ﹣5=0C ． 4x ﹣y+3=0D ． x +4y+3=0考点：导数的几何意义；两条直线垂直的判定． 分析： 切线l 与直线x+4y ﹣8=0垂直，可求出切线的斜率，这个斜率的值就是函数在切点处的导数，利用点斜式求出切线方程． 解答：解：设切点P （x 0，y 0） ∵直线x+4y ﹣8=0与直线l 垂直，且直线x+4y ﹣8=0的斜率为﹣，∴直线l 的斜率为4，即y=x 4在点P （x 0，y 0）处的导数为4， 令y ′=4x 03=4，得到x 0=1，进而得到y 0=1利用点斜式，得到切线方程为4x ﹣y ﹣3=0． 故选A ．A 变式2函数f(x)=x 4-x?在点P 处的切线平行于直线3x-y=0,则此切线的方程为________A 变式3过点（﹣1，0）作抛物线y=x 2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）A ． 2x+y+2=0B ． 3x ﹣y+3=0C ． x +y+1=0D ． x ﹣y+1=0 分析： 这类题首先判断某点是否在曲线上，（1）若在，直接利用导数的几何意义，求函数在此点处的斜率，利用点斜式求出直线方程（2）若不在，应首先利用曲线与切线的关系求出切点坐标，进而求出切线方程．此题属于第二种． 解答： 解：y'=2x+1，设切点坐标为（x 0，y 0）， 则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1于是切线方程为y ﹣x 02﹣x 0﹣1=（2x 0+1）（x ﹣x 0）， 因为点（﹣1，0）在切线上，可解得x 0=0或﹣2，当x 0=0时，y 0=1；x 0=﹣2时，y 0=3，这时可以得到两条直线方程，验正D 正确． 故选D A 变式4已知直线1y x =+与曲线y ln(2)x a =+相切，则a 的值为（ ）B 变式1 在f （x ）=x 3+3x 2+6x ﹣10的切线中，斜率最小的切线方程为（ ） A ． 3x+y ﹣11=0 B ． 3x ﹣y+6=0C ． x ﹣3y ﹣11=0D ． 3x ﹣y ﹣11=0分析： 先对函数f （x ）进行求导，然后求出导函数的最小值，其最小值即为斜率最小的切线方程的斜率，进而可求得切点的坐标，最后根据点斜式可得到切线方程． 解答： 解：∵f （x ）=x 3+3x 2+6x ﹣10∴f'（x ）=3x 2+6x+6=3（x+1）2+3 ∵当x=﹣1时，f'（x ）取到最小值3∴f （x ）=x 3+3x 2+6x ﹣10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3 ∵f （﹣1）=﹣1+3﹣6﹣10=﹣14 ∴切点坐标为（﹣1，﹣14） ∴切线方程为：y+14=3（x+1），即3x ﹣y ﹣11=0 故选D ．点评： 本题主要考查导数的几何意义和导数的运算．导数的几何意义是函数在某点的导数值等于过该点的切线的斜率的值．B 变式2设函数f （x ）=g （x ）+x+lnx ，曲线y=g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为（ ） 典型题六、切线与最短距离例题 曲线y=ln （2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ） B 变式.1 曲线y=124x +上的点到直线x+3y+4=0的最短距离是（ ）B 变式2 曲线23x y e +=上的点到直线x-2y+3=0的最短距离是（ ）典型题七、()(),,0fx f x 与的关系例题 已知f （x ）=x 2+2xf ′（1），则f ′（1）等于（ ）B 变式1已知f （x ）=3x -xf ′（3），则f ′（3）等于（ ）B 变式2已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）=2xf ′（e ）+lnx ，则f ′（e ）=。
