第四章 一阶逻辑基本概念

3．推理规则 （1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上 都可以引入前提。
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所 得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题 公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换， 得到公式序列中的又一个公式。
（4） 几条重要的推理规则
上一节的复习（续） （练习）
谓词
定义 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互 关系的词。
谓词常项 表示具体性质或关系的谓词。
谓词变项 表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
表示 无论是谓词常项或变项都用大写英文字母F，G， H，…表示，可根据上下文区分。
例
(1) 5 是无理数。 个体词: 5 (个体常项); 谓词: “…是无理数”, 记为F (谓词常项); 命题: F( 5 ).
(1)所有的人都长着黑头发。
(2)有的人登上过月球。
(3)没有人登上过木星。
(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发
分析
(1) 特性谓词的使用； (2) 联结词的使用； (2) 全总个体域的约定。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发（续）
解
由于本题没有提出个体域，因而应该采用全总个体域， 并令M(x): x为人。
第四章
一阶逻辑基本概念
上一节的复习 自然推理系统 P
定义3.3 自然推理系统P定义如下：
1．字母表
（1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… （2） 联结词符号：┐,∧,∨,→,
（3） 括号和逗号：( , )，，
2．合式公式 同定义1.6
上一节的复习（续） 自然推理系统 P（续）
4.2. 一阶谓词公式及其解释
自然推理系统P
形式语言 为在一阶逻辑中进行演算和推理，还必须给出 一阶逻辑中公式的抽象定义及其它们的解释。
一阶逻辑与一阶语言 一阶语言是用于一阶逻辑的形式语言，而一阶 逻辑是建立在一阶语言上的逻辑体系。
符号
非逻辑符号
非逻辑符号更像是所描述的特定对象中的符号，包括： 个体常项符号、函数符号、谓词符号。
当F，G，P为谓词常项时，0元谓词为命 题。这样一来，命题逻辑中的命题均可 以表示成0元谓词，因而可以将命题看成 特殊的谓词。
例4.1. 将命题在一阶逻辑中 用0元谓词符号化，并讨论其真值
(1)只有2是素数，4才是素数。 分析：
个体词: 2, 4 (个体常项); 谓词: …是素数 (谓词常项). 解： 设一元谓词F(x): x是素数， 个体常项: a:2，b:4。 (1)中命题符号化为0元谓词的蕴涵式:
用 x， y等表示个体域里的所有个体，而 用 xF(x)， yG(y)等分别表示个体域 里所有个体都有性质F和都有性质G。
存在量词
日常生活和数学中所用的“存在”， “有一个”，“有的”，“至少有一个” 等词统称为存在量词，将它们都符号化 为“ ”。
用x， y等表示个体域里有的个体，而用 xF(x)， yG(y)等分别表示个体域
实质上，n元谓词P(x1,x2,…,xn)可以看成以个 体域为定义域，以{0,1}为值域的n元函数或 关系。
它不是命题。要想使它成为命题，必须用谓词 常项取代P，用个体常项a1,a2,…,an取代 x1,x2,…,xn，得P(a1,a2,…,an)是命题。
0元谓词
有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓 词，例如，F(a)，G(a,b)， P(a1,a2,…,an)等都是0元谓词(1)中命题为真。
例4.1（续，练习）
(2)如果5大于4，则4大于6. 解:
设二元谓词G(x，y): x大于y， 个体词: a:4，b:5，c:6。 G(b,a)，G(a,c)是两个0元谓词，把(2)中命 题符号化为
G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以(2)中 命题为假。
解 (a) 令F(x): x呼吸。 G(x): x用左手写字。 (1) 在D1中除了人外，再无别的东西，因而 “凡人都呼吸”应符号化为
xF(x) (2) 在D1中的有些个体(人)用左手写字，因而 “有的人用左手写字”符号化为
xG(x)
例4.2（续） (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
(2) x是有理数。 个体词: x (个体变项); 谓词: “…是有理数”, 记为G (谓词常项); 命题: G( x ).
例（续）
(3) 小王与小李同岁。 个体词: 小王(a)、小李(b) (个体常项); 谓词: “…与…同岁”, 记为H (谓词常项); 命题: H(a,b).
(4) x与y具有关系L. 个体词: x、y (个体变项); 谓词: “…与…具有关系L”, 记为L (谓词变项); 命题: L(x,y).
个体词（续）
个体域
称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。个体域 可以是有穷集合。 例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…， x，y，z}，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集 合N={0，1，2，…}，实数集合R={x|x是实数}…。
全总个体域
有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的， 称它为全总个体域。 本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都 是使用全总个体域。
令F(x): x长着黑头发。命题(1)符号化为
x(M(x)→F(x))
(4.9)
设a为某个金发姑娘，则M(a)为真，而F(a)为假，所 以M(a)→F(a)为假，故(4.9)所表示的命题为假。
例4.4. (3)没有人登上过木星
解 令H(x):x登上过木星。 命题(3)符号化形式为 ┐ x(M(x)∧H(x))
例4.5（续）
分析 （1）本题没有指明个体域，因而采用全 总个体域。 （2）出现二元谓词，因而引入两个体 变项x与y。
例4.5（续）
解 令F(x): x是兔子，G(y): y是乌龟，H(x,y): x 比y跑得快，L(x,y): x与y跑得一样快。 这2个命题分别符号化为
x y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) (4.13) x(F(x)∧ y(G(y)→H(x,y)) (4.14)
默写下列的“置换规则”和“推理规则”
(1) 德摩根律 (2) 吸收律 (3) 蕴涵等值式 (4) 归谬论 (5) 假言推理规则 (6) 附加规则 (7) 化简规则 (8) 拒取式规则 (11) 假言三段论 (12) 析取三段论规则 (13) 合取引入规则
在P中构造下面推理的证明
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队 未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名； 小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。 （不用归谬法证明。）
分析: D2中除了有人外，还有万物，因而在(1)，(2)符号化时，必 须考虑将人分离出来。
解(b) 令M(x): x是人。 在D2中，(1)，(2)可以分别重述如下: (1)对于宇宙间一切事物而言，如果事物是人，则他要呼吸。 (2)在宇宙间存在着用左手写字的人。
于是(1)，(2)的符号化形式分别为 x(M(x)→F(x)) x(M(x)∧G(x))
N元谓词符号化
分析命题中表示性质和关系的谓词，分 别符号化为一元和n元谓词；
根据命题的实际意义选用全称量词或存 在量词；
注意谓词的先后顺序； 命题的符号化形式不是唯一的。
课后作业
(1) 习题四 第1(-1,-3,-5), 2, 4(-2,-4), 5(-1,-
3), 6(-2,-4,-6)题 （第65,66页）.
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素 ➢个体词； ➢谓词； ➢量词。
个体词
定义
个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽 象的客体。 例如，小王，小李，中国，3。
个体常项
将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一 般用小写英文字母a，b，c…表示。
个体变项
而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x， y，z…表示。
里存在个体具有性质F和存在个体具有性 质G等。
一阶逻辑命题符号化
例4.2 在个体域分别限制为(a)和(b)条 件时，将下面两个命题符号化 (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。 其中: (a)个体域D1为人类集合； (b)个体域D2为全总个体域。
例4.2（续） (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
例（续）
一般的， 用F(a)表示个体常项a具有性质F(F是谓 词常项或谓词变项); 用F(x)表示个体变项x具有性质F; 而用F(a，b)表示个体常项a，b具有关 系F; 用F(x,y)表示个体变项x，y具有关系F.
n元谓词
用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个命题变项的 nn元≥2谓时词，。Pn(x=11,x时2,，…P,x(nx)1表)表示示x1x,1x具2,有 …,性xn质具P有； 关系P.
(p∧q)→r 由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确 性。
引言（续）
为了克服命题逻辑的局限性，就应该将 简单命题再细分，分析出个体词，谓词 和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑 所研究的内容。
一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。
4.1. 一阶逻辑命题符号化
引言
在命题逻辑中，命题是最基本的单位， 对简单命题不再进行分解，并且不考虑 命题之间的内在联系和数量关系。因而 命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一 些简单而常见的推理。
引言（续）
例 凡偶数都能被2整除； 6是偶数。 所以，6能被2整除。
这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在 命题逻辑中却无法判断它的正确性。因为在命题逻辑 中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p， q，r，将推理的形式结构符号化为