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4一阶逻辑公式及解释一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）是数理逻辑中的一个重要分支，它被广泛应用于数学、计算机科学和人工智能等领域。
在一阶逻辑中，逻辑公式是推理的基础，能够对命题进行符号化的描述和推理。
本文将介绍一阶逻辑的基本概念和常见的一阶逻辑公式，并对其进行解释。
一、一阶逻辑基本概念1. 常量：在一阶逻辑中，常量是指代具体对象的符号，如a、b、c 等。
常量一般用小写字母表示。
2. 变量：变量是用来占位的符号，可以代表任意对象。
在一阶逻辑中，变量一般用大写字母表示，如X、Y、Z等。
3. 函数：函数是一种从一个或多个参数到一个值的映射关系。
在一阶逻辑中，常用的函数包括算术函数、关系函数等。
函数一般用小写字母或希腊字母表示，如f(x)、g(x)等。
4. 谓词：谓词是描述对象性质的符号，可以表示真假的陈述。
在一阶逻辑中，常用的谓词包括等于、大于、小于等。
谓词一般用小写字母或希腊字母表示，如P(x)、Q(x)等。
二、一阶逻辑公式在一阶逻辑中，公式是用符号表示的逻辑陈述，包括原子公式和复合公式两类。
1. 原子公式原子公式是一阶逻辑中最基本的公式，它不再含有其他公式作为子公式。
原子公式由一个谓词和一个或多个常量、变量组成，形式为P(t1,t2,...,tn)，其中P为谓词，t1,t2,...,tn为常量、变量。
举例：P(a,b)表示P是一个二元谓词，a和b是其两个参数。
2. 复合公式复合公式由一个或多个公式通过逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）组合而成。
- 否定（¬）：如果φ是一个一阶逻辑公式，则¬φ也是一个一阶逻辑公式。
- 合取（∧）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∧ψ)也是一个一阶逻辑公式。
- 析取（∨）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∨ψ)也是一个一阶逻辑公式。
- 蕴含（→）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ→ψ)也是一个一阶逻辑公式。
举例：如果P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x是聪明的”，那么复合公式可以表示为：(P(x)∧Q(x))，表示“x是人且x是聪明的”。
《离散数学》-⼀阶逻辑-基本概念⼀阶逻辑这个⼀块属于离散数学的内容，它的功能就是将⾃然事物给符号化以为体系的确⽴奠定语⾔基础。
回想⽆论学汉语还是英语的语法，我们都是从句⼦的主⼲学起，那么数学作为⼀门语⾔，它的句⼦当然也有所谓的主⼲。
个体词：个体次是所研究对象可以独⽴存在的具体的或者抽象的客体。
具体⽽特定的客体个体成为个体常项，⼀般⽤⼩写字母a、b、c表⽰。
⽽将抽象或泛指的个体词成为个体变项，⼀般⽤英⽂字母x、y、z表⽰，并称个体变项的取值范围为个体域。
举例说明：(1)“5是素数”，5、素数都是个体词语，5是个体常项⽽素数是个体变项.(2)“x>y”，x、y都是个体变项.谓词：这⾥似乎类似于⾃然语⾔中谓语动词，往往是形容“⼀个动作”，但是在这⾥，谓词是形容“⼀种关系”，当然和个体词类似，根据这种描绘个体之间的关系的确定与否(具体或者抽象泛指)，我们也可以把谓词分为常项和变项。
举例说明:（1） X是有理数。
“是有理数”是常项谓词。
（2） X与y有具体关系L。
这⾥及其迷惑⼈的是语句“有具体关系L”，但是本质上关系L还是抽象的不确定的，因此这⾥“有具体关系L”是变项谓词。
下⾯要做的就是将这种描述关系的语句进⾏符号化，这⾥其实有点类似于函数的概念，因为谓词描述的是个体之间的关系，因此它必须依赖于个体。
我们⽤F、G、H来进⾏符号化的表⽰。
F(a)、F(x)分别表⽰个体常项a、个体变项x满⾜的性质F(a)和F(x).更⼀般的情况，P(x1,x2,x3…xn)表⽰个体x1,x2,…xn具有关系P。
对于不含个体变项的谓词，我们成为0元谓词。
Ex1：将下列命题在⼀阶逻辑中⽤0元谓词符号化，并讨论他们的真值(1) 只有2是素数，4才是素数。
G(2)表⽰2是素数，G(4)表⽰4是素数，则我们将这个命题符号化的结果： G(2) —> G(4)，由于命题的条件为假，因此该命题为真。
(2) 如果5⼤于4，则4⼤于6G(5,4)表⽰“5⼤于4”，命题符号化之后的结果： G(5,4) —> G(4,6)，条件为真结论为假，因此命题为假。
一阶逻辑基本概念知识点总结一阶逻辑是一种形式化的逻辑系统，也称为一阶谓词演算。
它由一组基本的概念组成，包括：1. 项（Term）：一阶逻辑中的项是指个体或对象，可以是常量、变量或函数应用。
常量是指已知的个体，变量是指代未知个体，函数应用是将一个函数应用于一组参数得到的结果。
2. 公式（Formula）：一阶逻辑中的公式是用来描述真假性的陈述。
公式可以是原子公式或复合公式。
原子公式是一个谓词应用，谓词是一个描述性的关系符号，用来描述个体之间的关系。
复合公式是由逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）连接的一个或多个公式。
3. 量词（Quantifier）：一阶逻辑中的量词用来描述一个谓词在某个个体集合上的性质。
常见的量词包括全称量词（∀，表示对所有个体都成立）和存在量词（∃，表示存在至少一个个体成立）。
4. 推理规则（Inference Rule）：一阶逻辑中的推理规则用来进行逻辑推理，在给定一组前提条件的情况下，得出结论的过程。
常用的推理规则包括引入规则（例如全称引入和存在引入）、消去规则（例如全称消去和存在消去）、逆反法和假设法等。
5. 自由变量和限定变量：一阶逻辑中的变量可以分为自由变量和限定变量。
自由变量是没有被量词约束的变量，限定变量是被量词约束的变量。
6. 全称有效性和存在有效性：一阶逻辑中的一个论断是全称有效的，如果它在所有模型中都为真；一个论断是存在有效的，如果它在某个模型中为真。
这些是一阶逻辑的基本概念，它们提供了一种描述和推理关于个体和关系之间的真假性的形式化方法。
一阶逻辑在数学、人工智能、计算机科学等领域有广泛的应用。
数理逻辑部分第2章一阶逻辑2。
1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x，y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a，b, c}，｛1， 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词：表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F（a)：a是人谓词变项:F（x):x具有性质F一元谓词：表示事物的性质多元谓词（n元谓词, n≥2）：表示事物之间的关系如L(x,y）：x与y有关系L,L(x,y）:x≥y，…0元谓词：不含个体变项的谓词，即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词 ：表示任意的, 所有的, 一切的等如 x 表示对个体域中所有的x存在量词∃：表示存在, 有的，至少有一个等如∃x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1）墨西哥位于南美洲在命题逻辑中，设p：墨西哥位于南美洲符号化为 p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥,F（x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1）人都爱美；（2）有人用左手写字分别取（a) D为人类集合, （b）D为全总个体域 . 解：（a) （1）设G（x）：x爱美，符号化为 x G（x)（2) 设G(x）：x用左手写字，符号化为∃x G（x）（b）设F（x)：x为人，G(x）:同(a)中(1） x (F（x)→G(x))（2) ∃x (F(x）∧G（x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用。
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1）正数都大于负数（2) 有的无理数大于有的有理数解注意：题目中没给个体域, 一律用全总个体域（1) 令F(x）：x为正数，G（y): y为负数，L(x,y): x>y∀x(F(x)→y（G（y)→L(x，y)）) 或x∀y(F(x)∧G（y)→L(x,y)) 两者等值(2）令F(x）：x是无理数, G（y）: y是有理数，L(x，y)：x>y＄x(F(x)∧∃y(G（y）∧L（x,y））)或∃x∃y(F(x)∧G（y）∧L（x，y)）两者等值几点注意:1元谓词与多元谓词的区分无特别要求,用全总个体域量词顺序一般不能随便颠倒否定式的使用思考：①没有不呼吸的人②不是所有的人都喜欢吃糖③不是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应如何符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：（1) 个体常项：a，b，c, …，a i，b i，c i, …，i≥1 （2) 个体变项：x，y，z，…，x i, y i, z i, …, i≥1 （3) 函数符号:f, g, h，…，f i，g i, h i, …, i≥1（4）谓词符号：F，G，H, …, F i，G i，H i，…, i≥1 （5）量词符号： ，＄（6）联结词符号:⌝，∧, ∨，→，↔(7）括号与逗号：（， )， ,定义项的定义如下：（1) 个体常项和个体变项是项。
第二章一阶逻辑☆命题逻辑中,主要研究命题和命题演算,其基本组成单位是命题常项/变项,它们且不可再分. 例如:P: n是一个奇数；根据命题的定义,P不是命题.因为它随n的取值而定.而计算机中大多数语句使用变量.所以,必须扩展逻辑系统以包含这样的语句.☆在命题公式中也允许出现命题变项，但仅仅作为一个整体考虑其真值.第二章一阶逻辑☆也就是说, 在命题逻辑中,命题的内部结构及命题之间内在的联系,无法处理.例如：著名的“苏格拉底三段论”就无法判断其正确性:所有的人都是要死的,苏格拉底是人,所以苏格拉底是要死的.分析: 在命题逻辑中,如用P,Q,R表示上述三个命题,则(P∧Q) R,但这个命题公式不是重言式,可是凭我们的直觉可知上述论断是正确的.为此,引入一阶逻辑（也称为谓词逻辑）.第二章一阶逻辑§2.1 一阶逻辑命题符号化2.1.1 个体和谓词§在原子命题(陈述句)中所描述的对象称为个体;用以描述个体性质或个体间关系的部分称为谓词;§例:1.他是三好学生§2.7是质数§3.每天早晨做广播体操是好习惯§4.5大于3§5.哥白尼指出地球绕着太阳转§2.2 一阶逻辑公式与解释§2.1.1 个体和谓词§个体常项、变项和个体域§①表示具体的或特定的个体的词称为个体常项,常用a,b,c,…小写字母表示.§②表示抽象的或泛指的个体的词称为个体变项,常用x,y,z,…小写字母表示.§③个体变项的取值范围称为个体域(或论域).个体域可以是有限事物的集合,也可以是无限事物的集合.无特别声明时,将宇宙间一切事物组成个体域称为全总个体域.§2.1.1 个体和谓词§谓词常项和谓词变项§①表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项,用大写字母F,G,H…等表示,如F:表示是大学生§②表示抽象或泛指的谓词称为谓词变项,也用大写字母F,G,H…等表示.个体变项x具有性质F,记F(x);个体变项x,y具有关系L,记L(x,y)等.§注: F,G,H等表示谓词常项还是变项取决于上下文.§§§2.4 前束范式§2.5 一阶逻辑推理理论本章小结2.1 一阶逻辑命题符号化2.1 一阶逻辑命题符号化2.1 一阶逻辑命题符号化2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数设H是谓词“能够到达山顶”,a表示个体王华,t表示老虎,c表示汽车,则H(a), H(t),H(c)分别表示不同的命题.共同形式为H(x),当x取a,t,c时,有上述表示.同理,若L(x,y)表示“x小于y”,则L(2,3)表示一个真命题,L(5,1)表示一个假命题.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数(续)一个原子命题用一个谓词P和n 个有序的个体变元x1 ,…,x n表示成P(x1,…,x n),它是以个体变项的个体域为定义域, 以{0,1}为值域的n元函数, 称为命题函数(或谓词命名式)简称为谓词; 谓词中个体变项的个数成为元数, P称为n 元谓词; 不带个体变项的谓词称为0元谓词.由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组成的表达式称为复合命题函数.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数(续)例1：…x是素数‟中x是个体,谓词…是素数‟记为P,则可写为P(x).其中：x 表示不确定的个体,称为个体变元.注意：①P(x)的真值随x而变,它对某些x 可能为真,对某些x可能为假.所以,P(x)是命题函数,而不是命题逻辑中要求的非真即假的命题.②n元谓词中个体的顺序是重要的,顺序变了谓词公式的含义也变了.例如, P(x,y,z)≡…x-y=z’≠…y-x=z’≡P(y,x,z)2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数(续)§谓词概念是命题概念的扩充与深化考虑谓词: P(x,y,z)≡…x-y=z‟.若定义P1(y,z)≡P(3,y,z)≡…3-y=z’;P2(z)≡P(3,2,z)≡…3-2=z’;P3≡P(3,2,1)≡…3-2=1’；则P(x,y,z),P1(y,z),P2(z)分别是3元,2元,1元谓词,它们都不是命题逻辑中的命题,而P3 是0元谓词,是命题逻辑中的命题.由此可见,谓词概念是命题概念的扩充与深化.例: 教材P56例4.12.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数(续)注意: 命题函数的值取决于个体变元的取值范围, 即个体域.例1: R(x)表示“x是大学生”如果x的取值范围是大学班级里的学生, 则R(x)是永真式; 如果x的讨论范围是某中学班级里的学生, 则R(x)是永假式; 如果x的讨论范围是电影院的观众, 则对某些观众R(x)为真, 对另外一些观众R(x)为假.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.2 命题函数(续)例2: (P(x,y)∧P(y,z))→P(x,z)若P(x,y)解释为“x小于y”, 当x,y,z在实数范围内取值时, 是永真式; 若P(x,y)解释为“x为y 的儿子”, 当x,y,z为人时, 则是永假式; 若P(x,y)解释为“x距离y为10米”, 如果x,y,z取地面上的房子, 则可能为真, 也可能为假.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.3 量词①全称量词: ∀x, 表示并读作:…对一切x’; ∀x P(x), 表示并读作: …对一切x,P(x)是真‟ (称x被全称量化).②存在量词: ∃x, 表示并读作:…存在一个x’；∃x P(x), 表示并读作: …存在一个x,P(x)是真‟ (称x 被存在量化).例1. 当论述域为实数集R时, ∀x(x<x+1)表示对一切实数x, x<x+1为真.例2. 当论述域为实数集R时, ∃y(y=3)表示存在一个实数y, y=3为真.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.3 量词例3: 令S(x,y,z)≡…x-y=z‟; M(x,y,z)≡…xy=z‟;(1)用谓词表示: …任何整数减去0, 其结果是原整数‟.解:答案为: ∀xS(x,0,x).(2)用谓词表示:…对所有x, 所有y,xy=y‟.解:答案为: ∀x∀yM(x,y,y).2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.3 量词§谓词F(x)变命题的两种途径①令命题变元x取定一个a值,所得F(a)是命题.②将谓词量化,如∃xF(x),∀xF(x)都是命题(可取非真即假的真值).例如F(x)≡…x是素数‟不是命题,因其真值随x而变,但∀xF(x)是命题,因它有唯一的真值…假‟；∃xF(x)也是命题,因它有唯一的真值…真‟.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.3 量词§量化后所得命题的真值与论域有关,即随个体域不同而可能不同.例1.∃y(y=3)当论述域为正整数集N时为真;而当论述域为负整数集-N时为假.例2.∀x(x>0)当论述域为N时为真;而当论述域为R时为假.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.4 全总个体域与特性谓词的概念★令D(x)表示x是要死的;F(x)表示x是怕死①当论域为全人类时,…人总是要死的‟译为∀xD(x),…有些人怕死‟译为∃xF(x).②当论域为全总个体域时,需引入一个新的谓词,将研究的对象分离出来,这个谓词称为特性谓词.这样它们分别译为∀x(M(x)→D(x)),∃x(M(x)∧F(x)),其中,M(x)表示x是人.苏格拉底三段论可符号化为: (∀x(M(x)→D(x))∧M(s))→D(s),其中s表示特定的一个人:苏格拉底.2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.4 全总个体域与特性谓词的概念§特性谓词的加入规则:①全称量词之后特性谓词作蕴涵式前件加入;②存在量词之后特性谓词作合取项加入.例如,令P(x)表示x为素数…任何两个素数之和是一个素数‟可符号化为: ∀x∀y(P(x)∧P(y)→P(x+y));…存在两个素数其和是素数‟ 可符号化为: ∃x∃y(P(x)∧P(y)∧P(x+y)).2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.5 一阶逻辑的翻译(符号化)把一个文字叙述的陈述句用谓词公式表示出来的过程称为一阶逻辑翻译或符号化,其步骤如下:①正确理解给定命题, 必要时可适当加以改叙使其中的原子命题的关系更明显.②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词, 在全总个体域中讨论时要给出特性谓词.③找出适当量词, 注意∀后跟蕴涵式, ∃后跟合取式2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.5 一阶逻辑的翻译(符号化)(1)令T(x):x是火车; C(x):x是卡车;Q(x,y):x比y快,则…某些卡车慢于所有火车,但至少有一辆火车快于每辆卡车‟可符号化为∃y(C(y)∧∀x(T(x)→Q(x,y)))∧∃u(T(u)∧∀v(C(v)→Q(u,v))).(2)令论述域为全人类; B(x):x步行;M(x):x骑马; C(x):x乘车; K(x):x口渴; Q(x):x喝泉水. 则…所有步行的,骑马的或乘车的人,凡是口渴的都喝泉水‟可符号化为∀x(((B(x)∨M(x)∨C(x))∧(K(x))→Q(x)).2.1 一阶逻辑命题符号化§2.1.5 一阶逻辑的翻译(符号化)(3)令F(x):x是大学生;G(x):x是文科生; H(x):x是理科生。
