八年级数学下册 16.2 二次根式整章导学案 新人教版

学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学八年级下册16.2.2二次根式的除法导学案一、学习目标：1.了解二次根式的除法法则.2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.3.能将二次根式化为最简二次根式.重点：掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算.难点：能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.二、学习过程：课前热身一、二次根式的乘法你都知道哪些核心知识？1.二次根式的乘法法则：______a b （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：_______________________________________________.2.积的算术平方根的性质：_______ab （a≥0，b≥0）语言表述：_______________________________________________.应用范围：_______________________________________________.二、练一练：1.计算：312 的结果是()学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________A.2B.6C.8D.162.计算：20•51的结果是____.3.等式162 x =4 x •4 x 成立的条件是__________.合作探究探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)94=()，94=()；(2)2516=()，2516=()；(3)4936=()，4936=().思考：你能用字母表示你所发现的规律吗？一般地，二次根式的除法法则是______ ba (a≥0，b＞0)即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：___________________________________________.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得_________(0,0,0).m a a b n n b典例解析例1.计算:24331(2);28342561111.226学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【针对练习】计算：(1)218 (2)aa 26(3)672(4)53123452 二次根式的商的算术平方根的性质:_____(0,0).aa b b语言表述：_______________________________________________.我们可以运用它来进行二次根式的_______和________.例2.化简:375(1)(2);100277(3)2;9281(4)0;25x x 0.09169(5).0.64196【针对练习】化简:学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________735;;1441251(3)2;4227(4)0.16x x ＜自主学习思考：前面我们学习了二次根式的除法法则，23这样的式子分母的根号吗？（请结合分式的基本性质，用多种方法尝试解决）2323【归纳】___________________________________________就叫做分母有理化.典例解析例3.计算:(1)53(2)2723(3)a28【归纳】最简二次根式22，33，103，515，36，aa 2.观察上面三道例题中各小题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：(1)_________________________；学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)_________________________________________.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做___________________.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.【针对练习】把下列二次根式化成最简二次根式：(1)32(2)40(3)5.1(4)34例4.设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=32，b=10，求a.【针对练习】1.【章前引言】如果两个电视塔的高分别是h 1km，h 2km，那么它们的传播半径的比为2122Rh Rh .2.设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=16，b=10，求a.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例5.计算：1(1)2182;632(2)68(0).3m m m m＞达标检测1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）13B．7C．9D．2022的倒数是（）A．2B．2C．−22D．−2m+34−m=m+34−m成立，则m 的值可以是（）A．-4B．2C．4D．5350时，最好将分子、分母都乘以()A.50B.10C.5D.25.下列计算正确的是()A.11515=355 B.332=255 C.0.50.50.25==20.25D.7733学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6.二次根式222145,30,2,40,2a b a b 中，最简二次根式是______________.7.已知长方形的面积是48cm 2，其中一边的长是32cm ,则另一边的长是______cm.8.已知等式223344552=234=45=5338815152424，，，，，请你根据上述的规律，写出用正整数n(n>1)表示的式子___________________.9.把下列二次根式化成最简二次根式：48;(2)120;(3) 3.2;7.1210.化简.122x x 567(2)0.125;a b c 32(3)416.a a 11.计算.3903;52312a b222(3)2.335学习笔记记录区12．若a−12a+5与3b+a是被开方数相同的最简二次根式，求ab的值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

人教版八年级数学下册单元导学案16.1.1 二次根式（第1课时）学习目标1.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念.2.知道被开方数必须是非负数的理由,知道二次根式本身是一个非负数.(难点)3.会求二次根式中被开方数字母的取值范围.(重点)学习过程一、合作探究【问题1】你能用带有根号的式子填空吗?(1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S 的正方形的边长为 .(2)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t (单位:s)与开始落下的高度h (单位:m)满足关系h=5t 2,如果用含有h 的式子表示t ,则t= .【问题2】上面得到的式子√3,√S,√ℎ5有什么共同特征?【问题3】你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?什么样的式子叫做二次根式?追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a ≥0”?【问题4】你能比较√a 与0的大小吗?二、跟踪练习1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:√2,√33,1x ,√x (x>0),√0,√24,-√2,1x+y,√x +y (x ≥0,y ≥0).2.当x 是多少时,√3x -1在实数范围内有意义?3.当x是什么实数时,下列各式有意义.;(3)√-x2;(4)√x-2−√2-x.(1)√3-4x;(2)√xx-1三、变化演练1.使式子√1-x有意义的x的取值范围是.2+x2.若|x-y|+√y-2=0,则x y-3的值为.3.若√x+1+√y-3=0,则(x-1)2+(y+3)2=..求x2+y2的值.4.若x,y为实数,且y=√1-4x+√4x-1+12四、达标检测(一)选择题1.下列式子中,是二次根式的是()3 C.√x D.xA.-√7B.√72.下列式子中,不是二次根式的是()A.√4B.√16C.√8D.1x3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是()A.5B.√5D.以上皆不对C.154.(2017东营中考)若|x2-4x+4|与√2x-y-3互为相反数,则x+y的值为()A.3B.4C.6D.9(二)填空题5.当√2x+3在实数范围内有意义时,x的取值范围是.x6.若√3-x+√x-3有意义,则√x-2=.(三)解答题7.如图,长方形ABCD在直角坐标系中,边BC在x轴上,B点坐标为(m,0)且m>0,AB=a,BC=b,且满足b=√6-a−√a-6+8.(1)求a,b的值及用m表示出点D的坐标;(2)连接OA ,AC ,若△OAC 为等腰三角形,求m 的值;(3)△OAC 能为直角三角形吗?若能,求出m 的值;若不能,说明理由.参考答案一、合作探究问题1√3,√S,√ℎ5问题2都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根. 问题3 √a (a ≥0)一般地,我们把形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式,“√ ”称为二次根号. 因为负数没有算术平方根,所以二次根式的被开方数一定是非负数. 问题4当a>0时,√a 表示a 的算术平方根,因此√a >0, 当a=0时,√a 表示0的算术平方根,因此√a =0, 这就是说,√a (a ≥0)是一个非负数. 二、跟踪练习1.解:二次根式有:√2,√x (x>0),√0,-√2,√x +y (x ≥0,y ≥0); 不是二次根式的有:√33,1x ,√24,1x+y . 2.解:由3x-1≥0,得x ≥13,当x ≥13时,√3x -1在实数范围内有意义. 3.(1)x ≤34 (2)x ≥0且x ≠1 (3)x=0 (4)x=2 三、变化演练 1.x ≤1且x ≠-22.12解析:因为|x-y|≥0,√y -2≥0,所以x=y=2,x y-3=12.3.13 解析:由题意知,x=-1,y=3,所以原式=(-1-1)2+(3+3)2=40.4.解:由题意知x=14,y=12,原式=(14)2+(12)2=516.四、达标检测 1.A 2.D 3.B4.A 解析:因为|x 2-4x+4|与√2x -y -3互为相反数, 所以|x 2-4x+4|+√2x -y -3=0,所以{x 2-4x +4=0,2x -y -3=0,则{x =2,y =1. 所以x+y=3. 5.x ≥-32且x ≠0 6.137.解:(1)∵√6-a 与√a -6有意义,∴{6-a ≥0,a -6≥0.∴a=6, ∴b=8.∵B 点坐标为(m ,0),四边形ABCD 是矩形, ∴D (m+8,6);(2)∵AB=6,BC=8, ∴AC=√62+82=10, ∵B (m ,0),∴OA 2=m 2+62=m 2+36,OC=m+8,当OA=AC 时,m 2+36=100,解得m=8或m=-8(舍去); 当AC=OC 时,10=m+8,解得m=2;当OA=OC 时,m 2+36=(m+8)2,解得m=-74(舍去). 综上所述,m=8或m=2; (3)能.∵m>0,点C 在x 轴上, ∴只能是∠OAC=90°,∴OA 2+AC 2=OC 2,即m 2+36+100=(m+8)2,解得m=92.人教版数学八年级下册导学案16.1.2 二次根式(第2课时)学习目标1.理解二次根式的性质(√a )2=a (a ≥0),并能利用这一结论进行计算.(重点)2.掌握二次根式的基本性质:√a 2=|a|,进行计算和化简.(难点)3.了解代数式的意义,会判断一个式子是否是代数式.学习过程一、合作探究1.根据算术平方根的意义填空: (√3)2= ,(√5)2=,(√23)2= ,(√0)2=从以上等式中,同学们能得出结论:(√a )2= 2.计算:√42=,√0.22=,√(45)2= ,√202= .观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当a>0时,√a 2= .3.计算:√(-4)2= ,√(-0.2)2= ,√(-45)2= ,√(-20)2= .观察其结果与根号内幂底数的关系,归纳得到:当a<0时,√a 2= . 4.计算:√02= ,当a=0时,√a 2= . 归纳总结:将上面做题过程中得到的结论综合起来,得到二次根式的又一条非常重要的性质: √a 2=|a|={a ,a >0,0,a=0,-a ,a <0.二、跟踪练习1.计算:(1)(√32)2= ,(2)(3√5)2=,(3)(√56)2= .2.化简:(1)√0.32= ,(2)√(-0.5)2= ,(3)√(-6)2= ,(4)√(2a )2= (a<0).3.(1)化简:√(a -3)2(a ≥3) (2)√2x +32(x<-2)4.把下列非负数写成一个数的平方的形式: (1)5 (2)3.4 (3)16 (4)x (x ≥0)三、变化演练1.填空:(1)√(2x -1)2-(√2x -3)2(x ≥2)= .(2)√(π-4)2= .(3)若a ,b ,c 为三角形的三条边,则√(a +b -c )2+|b-a-c|= .2.已知2<x<3,化简:√(x -2)2+|x-3|.3.在实数范围内分解下列因式: (1)x 2-2 (2)x 4-9四、达标检测(一)选择题1.√(3-√10)2的值等于( )A.±(3-√10)B.3±√10C.3-√10D.√10-32.化简:√x 2-6x +9-(√3-x )2=( ) A.2x-6 B.0 C.6-2x D.2x+63.下列各式中,二次根式有( )①√(-3)2;②√12-13;③√(a -b )2;④√-a 2-1;⑤√83.A.2个B.3个C.4个D.5个4.下列运算中,错误的有( )①√125144=1512;②√(-4)2=±4;③√-22=-√22=-2;④√116+14=14+12.A.1个B.2个C.3个D.4个(二)填空题5.当1<x<3时,|1-x|+√x 2-6x +9= .6.我们知道:√32=3,√72=7,将两等式反过来得到:3=√32,7=√72,据此我们可以化简:如3×√13=√32×13=√3和7×√27=√72×27=√14,按照上面的方法,化简下列各式:(1)2×√12= ;(2)6×√512= . 7.化简√(1-√3)2的结果是 .8.已知1<x<2,则式子√(x -1)2+|x-2|化简的结果为 . 9.化简:√(-3)2= .10.化简(√3-a )2+√(a -3)2= .11.已知0≤x ≤3,化简√x 2+√x 2-6x +9= .参考答案一、合作探究1.35230a2.40.24520a3.40.24520-a4.00.二、跟踪练习1.(1)32(2)45(3)562.(1)0.3(2)0.5(3)6(4)2a3.解:(1)原式=a-3(2)原式=-2x-34.解:(1)(√5)2(2)(√855)2(3)(√66)2(4)(√x)2三、变化演练1.(1)2(2)4-π(3)2a2.解:√(x-2)2+|x-3|=x-2+3-x=1.3.解:(1)x2-2=(x+√2)(x-√2).(2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+√3)(x-√3).四、达标检测1.D2.B3.B4.D5.26.(1)√2(2)√157.√3-18.19.310.6-2a11.3人教版数学八年级下册导学案16.2.1 二次根式的乘除(第1课时)学习目标1.理解√a·√b=√ab(a≥0,b≥0),√ab=√a·√b,并利用它们进行计算和化简.(重点)2.通过探究特殊练习,总结归纳一般规律,二次根式乘法法则√a·√b=√ab(a≥0,b≥0),再进行逆向思维得√ab=√a·√b(a,b取值有何要求),最后通过讲练结合,掌握二次根式乘法计算与化简.(难点)学习过程一、合作探究1.计算:(1)√4×√9=,√4×9=(2)√16×√25=,√16×25=(3)√100×√36=,√100×36=2.根据上题计算结果,用“>”“<”或“=”填空:(1)√4×√9√4×9(2)√16×√25√16×25(3)√100×√36√100×36同学们讨论上面的练习存在什么规律,如果用字母怎么表示?√a·√b√ab(a≥0,b≥0),√ab√a·√b(a≥0,b≥0).二、跟踪练习ay21.计算:(1)√16×√8(2)5√5×2√15(3)√12a3·√132.化简:(1)√20;(2)√18;(3)√24;(4)√54;(5)2b2三、变式演练1.若2=√x+3·√x-3,则x的取值范围是()A.x≥3B.x≤-3C.-3≤x≤3D.不存在根号外的因式移入根号内的结果是()2.把a√-1aA.√-aB.-√-aC.√aD.-√a3.化简:(1)√(-36)×16×(-9);(2)√362+482;(3)√x3+6x2y+9xy2.四、达标检测(一)选择题1.等式√x+1·√x-1=√x2-1成立的条件是()A.x≥1B.x≥-1C.-1≤x≤1D.x≥1或x≤-12.下列各等式成立的是()A.4√5×2√5=8√5B.5√3×4√2=20√5C.4√3×3√2=7√5D.5√3×4√2=20√63.二次根式√(-2)2×6的计算结果是()A.2√6B.-2√6C.6D.12=0,则√b2·√a·√c=()4.若|a-2|+b2+4b+4+√c2-c+14A.4B.2C.-2D.15.下列各式的计算中,不正确的是( ) A.√=√-4×√-6=(-2)×(-4)=8 B.√4a 4=√4×√a 4=√22×√(a 2)2=2a 2C.√32+42=√9+16=√25=5D.√132-122=√(13+12)(13-12)=√13+12×√13-12=√25×1=5 (二)化简与计算6.(1)√360;(2)√32x 4;(3)√18×√30;(4)√3×√2757.计算:(1)6√8×(-2√6);(2)√8ab ×3;8.不改变式子的值,把根号外的非负因式适当变形后移入根号内. (1)-3√23 (2)-2a √12a参考答案一、合作探究略二、跟踪练习1.解:(1)原式=8√2 (2)原式=50√3 (3)原式=2a 2y2.解:(1)原式=2√5;(2)原式=3√2;(3)原式=2√6;(4)原式=3√6;(5)原式=2ab √3. 三、变式演练1.A 解析:要使√x 2-9=√x +3·√x -3有意义,必须x+3≥0且x-3≥0,解得x ≥3,故选A .2.B 解析:∵a<0,∴a √-1a =-√a 2×(-1a )=-√-a ;故选B .3.解:(1)√(-36)×16×(-9)=√36×16×9=√62×42×32=√62×√42×√32=6×4×3=72;(2)√362+482=√(12×3)2+(12×4)2=√122×(32+42)=√122×√52=12×5=60;(3)√x 3+6x 2y +9xy 2=√x (x +3y )2=√(x +3y )2·√x =(x+3y )√x . 四、达标检测1.A2.D3.A4.B5.A6.解:(1)原式=6√10 (2)原式=4√2x 2 (3)原式=6√15 (4)原式=√25 7.解:(1)原式=-48√3 (2)原式=4√3ab 2 8.解:(1)原式=-√32×23=-√9×23=-√6. (2)原式=-√(2a )2·12a =-√4a 2·12a =-√2a .人教版数学八年级下册导学案16.2.2 二次根式的乘除(第2课时)学习目标1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.(重点)2.能熟练进行二次根式的除法运算及化简.(难点)学习过程一、合作探究填空:(1)√9√16= ,√916= ;规律:√9√16√916; (2)√1636= ,√1636= ;√16√36 √1636; (3)√4√16= ,√416= ;√4√16√416; (4)√36√81= ,√3681= ;√36√81√3681. 一般地,对二次根式的除法规定:√a √b= (a ≥0,b>0),反过来,√b= (a ≥0,b>0).二、跟踪练习1.计算:(1)√12√3(2)√32÷√18 (3)√14÷√116 (4)√6482.化简:(1)√364(2)√64b 29a 2 (3)√9x 64y 2 (4)√5x169y 2注:1.当二次根式前面有系数时,类比单项式除以单项式法则进行计算:即系数之商作为商的系数,被开方数之商作为被开方数.2.化简二次根式达到的要求:(1)被开方数不含分母;(2)分母中不含有二次根式.三、变式演练1.阅读下列运算过程:√3=√3√3×√3=√33√5=√5√5×√5=2√55数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.利用上述方法化简: (1)6= (2)32= (3)12=(4)√102√5=四、达标检测(一)选择题1.计算√6a ÷√3a 的结果是( )A.√2B.√22C.√2aD.√2a22.下列计算正确的是( ) A.√3÷√5=15√3 B.√3÷√25=15√3 C.√125÷√5=√5 D.√x ÷x=√x3.等式√3x -1x -2=√3x -1√x -2成立的条件是( )A.x>13 B.x ≥13 C.x>2D.13≤x<24.如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:①√ab =√a√b,②√a b ·√b a =1,③√ab ÷√ab=-b ,其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③5.计算:√2×√6√3-1的结果是( )A.1B.√2C.√3D.√6(二)填空题6.计算:13√12x ÷2√13x = . 7.计算:√3×√5√5= .8.计算:√6√24的结果为 ,√3×√6÷√2= .9.有一个矩形的面积是√30 m 2,宽为√5 m,则它的长是 m . (三)计算题 10.计算:(1)6√6÷3√3;(2)√18÷8×√272.11.将下列各式化成最简二次根式:(1)√2-2;(2)√12xy÷23√y.12.化简35√xy5÷(-415√yx)·(-56√x3y).参考答案一、合作探究略二、跟踪练习1.解:(1)2(2)2√3(3)2(4)2√22.解:(1)√38(2)8b3a(3)38y√x(4)√5x13y三、变式演练略四、达标检测1.A解析:原式=√6a=√2,故选A.2.B解析:A.√3÷√5=√3√5=√155,故本选项错误;B.√3÷√25=√3√25=15√3,正确;C.√125÷√5=√125√5=√5√5=5,故本选项错误;D.√x÷x=√xx,故本选项错误,故选B.3.C解析:∵等式√3x-1x-2=√3x-1√x-2成立,∴{3x -1≥0,x -2>0,解得x>2.故选C .4.B 解析:∵ab>0,a+b<0, ∴a<0,b<0,①√ab =√ab,被开方数应大于等于0,a ,b 不能做被开方数,故①错误,②√ab ·√b a =√a b ·ba =√1=1,故②正确. ③√ab ÷√a b =√ab ÷√ab-b =√ab ·√ab=-b ,故③正确. 故选B .5.A 解析:原式=√12√3-1=2-1=1,故选A .6.x 解析:13√12x ÷2√13x =13·2√3x ÷2·√3x3x =23×3x2√3x ÷3x =x.故答案为x.7.5√3 解析:原式=√3×√5×√5=5√3,故答案为:5√3. 8.123 解析:√624=√624=√14=12,√3×√6÷√2=√3×6÷2=3.故答案为123.9.√6 解析:∵有一个矩形的面积是√30m 2,宽为√5m,∴它的长是√30÷√5=√6m .故答案为√6.10.解:(1)原式=(6÷3)×√6÷3=2√2;(2)原式=3√2×1×√272=9√3.11.解:(1)原式=(√2-1)√22=1-√22;(2)原式=√18x =3√2x . 12.解:原式=35×(-154)×(-56)×√xy 5·xy ·x 3y =158x 2y 2√xy .人教版数学八年级下册导学案16.3.1 二次根式的加减(第1课时)学习目标1.理解同类二次根式,并能判定哪些是同类二次根式.(重点)2.理解和掌握二次根式加减的方法.(重点)3.先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.(难点)学习过程一、合作探究1.计算.(1)2x+3x ;(2)2x 2-3x 2+5x 2;(3)x+2x+3y ;(4)3a 2-2a 2+a 22.(小组互助)学生活动:类比着计算1,尝试计算下列各式.(小组互助)(1)2√2+3√2=(2)2√8-3√8+5√8= (3)√7+2√7+√9×7= (4)3√3-2√3+√2=总结:(1)二次根式的被开方数相同也是可以合并的,如2√2与√8表面上看是不相同的,但它们可以合并吗?也可以.(与整数中同类项的意义相类似,我们把3√3与-2√3,3√a ,-2√a 与4√a 这样的几个二次根式,称为同类二次根式)(2)二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式进行合并.二、跟踪练习1.下列计算正确的是( )A.√45-2√5=√5B.√2+√3=√5C.3+√2=3√2D.√(-16)(-9)=√-16·√-92.下列根式中能与√3合并的二次根式为( ) A.√32B.√24C.√12D.√183.与-√5是同类二次根式的是( ) A.√10B.√15C.√20D.√254.计算:3√48-9√13+3√18-4√18.5.化简:√32-4√0.5+3√8;三、变式演练(1)√12−(√1-√1); (2)(√48+√20)+(√12−√5); (3)x √1x+√4y −√x2+y √1y; (4)2x √9x −(x 2√1-6x√x).四、达标检测(一)选择题1.下列二次根式中与√2是同类二次根式的是( )A.√4B.√6C.√8D.√10 2.下列二次根式中,不能与√3合并的是( ) A.2√3 B.√12 C.√18D.√273.下列计算正确的是( ) A.√2+√2=2 B.3+√2=3√2 C.√3+√2=√5D.√9+√3=3+√34.下列计算正确的是( )A.6√5-5√5=1B.√3+√7=√10C.2√12=√2D.4+√3=4√35.计算2√12−√18的结果是( ) A.-√2B.-2√2C.-4√2D.-8√2(二)填空题6.下列二次根式,不能与√12合并的是 (填写序号即可).①√48;②√18;③√32.7.如果最简二次根式√a 2+3a 与√a +15能合并,那么a= . 8.计算(4√6-6√2)+2√2等于 . 9.计算√3+√12= . (三)计算题10.(1)(√24-√12)-2(√18+√6) (2)2√3+√27−√13 (3)4√5+√45−√20 (4)2√12-6√1+3√48参考答案一、合作探究1.(1)原式=5x ;(2)原式=4x 2;(3)原式=3x+3y ;(4)原式=2a 22.(1)原式=5√2;(2)原式=4√2;(3)原式=6√7;(4)原式=2√2 二、跟踪练习1.A 解析:A.原式=3√5-2√5=√5,所以A 选项正确;B.√2与√3不能合并,所以B 选项错误;C.3与√2不能合并,所以C 选项错误;D.原式=√16×9=√16×√9,所以D 选项错误.故选A .2.C 解析:A.√32=√62,和√3不能合并,故本选项错误;B.√24=2√6,和√3不能合并,故本选项错误;C.√12=2√3,和√3能合并,故本选项正确;D.√18=3√2,和√3不能合并,故本选项错误.故选C .3.C 解析:A.√10与-√5的被开方数不同,故A 错误;B.√15与-√5的被开方数不同,故B 错误;C.√20=2√5与-√5的被开方数相同,故C 正确;D.√25=5与-√5的被开方数不同,故D 错误;故选C .4.解:3√48-9√13+3√18-4√18 =3×4√3-9×√33+3×3√2-4×√24 =12√3-3√3+9√2−√2 =9√3+8√2.5.解:√32-4√0.5+3√8 =4√2-4×√22+3×2√2 =8√2三、变式演练解:(1)原式=2√3−(√33-√39)=2√3−√33+√39=169√3 (2)原式=4√3+2√5+2√3−√5=6√3+√5 (3)原式=√x +2√y −√x2+√y =√x2+3√y (4)原式=2x √x -(x √x -3x √x )=4x √x 四、达标检测1.C 解析:A.√4=2,与√2不是同类二次根式;B.√6与√2不是同类二次根式;C.√8=2√2与√2是同类二次根式,正确;C.√10与√2不是同类二次根式.故选C.2.C 解析:A.2√3能与√3合并,故A 不符合题意;B.√12=2√3能与√3合并,故B 不符合题意;C.√18=3√2不能与√3合并,故C 符合题意;D.√27=3√3能与√3合并,故D 不符合题意.故选C .3.D 解析:A .√2+√2=2√2,故A 错误;B.3+√2不能合并,故B 错误;C.√3+√2不能合并,故C 错误;D.√9+√3=3+√3,故D 正确,故选D .4.C 解析:本题考查二次根式的混合运算.熟练地掌握公式是解题的关键.对于选项A,6√5-5√5=√5,故错误;对于选项B,√3+√7没有同类项,不能合并,故错误;对于选项C,2√12=2×√22=√2,故正确;对于选项D,4+√3没有同类项,不能合并,故错误;故选C .5.B 解析:2√12−√18=√2-3√2=-2√2,故选B .6.② 解析:√12=√4×3=2√3,√48=√16×3=4√3,√18=√9×2=3√2,所以√48,√32与√12为同类二次根式,它们可以合并.故答案为②.7.-5或3 解析:最简二次根式√a 2+3a 与√a +15能合并,得a 2+3a=a+15,解得a=-5或a=3.故答案为-5或3.8.4√6-4√2 解析:(4√6-6√2)+2√2=4√6-6√2+2√2=4√6-4√2,故答案为4√6-4√2. 9.3√3 解析:原式=√3+2√3=3√3.故答案为3√3. 10.解:(1)原式=2√6−√22−√22-2√6=-√2. (2)原式=2√3+3√3−√33=14√33.(3)原式=4√5+3√5-2√5=5√5.(4)原式=4√3-2√3+12√3=14√3.人教版数学八年级下册导学案16.3.2 二次根式的加减(第2课时)学习目标1.熟练应用二次根式的加减乘除法法则进行二次根式的混合运算.(重点)2.二次根式混合运算的顺序、乘法公式的综合运用.(难点)学习过程一、合作探究1.探究计算(提示:类比乘法公式计算.) (1)(√8+√3)×√6;(2)(4√2-3√6)÷2√2.2.探究计算(1)(2√3−√2)2;(2)(2√3+3√2)(2√3-3√2).二、自主练习(1)√5-(√3+√15)÷√6×√2; (2)(√48-4√18)−(3√13-2√0.5); (3)(3+√5)(3-√5)-(√3-1)2; (4)(-√3+1)(√3-1)-√(-3)22-√5. 三、变式演练1.计算:(1)√12−(√33)-1+√3(√3-1)-2 0180-|√3-2|; (2)(2√6−√3+√2)×(2√6−√3−√2).2.计算:(1)√48÷√3−√12×√12+√24;(2)先化简再求值:2x-1x2-2x+1·(x-1),其中x=√2+1.四、达标检测(一)选择题1.下列计算正确的是()A.√2+√3=√5B.√2·√3=√6C.√24÷√3=4D.√(-3)2=-32.化简(√3-2)2 018·(√3+2)2 019的结果为()A.-1B.√3-2C.√3+2D.-√3-23.计算√12(√75+3√13-√48)的结果是()A.6B.4√3C.2√3+6D.124.计算√32×√12+√2×√5的结果估计在()A.10到11之间B.9到10之间C.8到9之间D.7到8之间5.计算:(2√48-3√27)÷√6=()A.-5√22B.-√22C.√22D.5√22(二)填空题6.计算:2√48÷√6√2-1=.7.计算(2√3+3√2)2=.8.计算:√(2-√3)2+√(-√3-1)2=.9.已知√a+√b=√3+√2,√ab=√6−√3,则a+b=.10.已知x1=√3+√2,x2=√3−√2,则x12+x22=.(三)计算题11.计算:(1)√48÷√3−√12×√12+√24.(2)(3√2+2√3)(3√2-2√3)-(√3−√2)2.参考答案一、合作探究1.解:(1)原式=√8×√6+√3×√6=4√3+3√2; (2)原式=(4√2-3√6)×22=4√222-3√622=2-3√32. 2.解:(1)原式=(2√3)2-2×2√3×√2+(√2)2=14-4√6;(2)原式=(2√3)2-(3√2)2=-6. 二、自主学习解:(1)原式=√5-(√3+√15)×√6×√2=√5-(√3+√15)×√3=√5-1-√5=-1;(2)原式=4√3−√2−√3+√2=3√3; (3)原式=9-5-(3-2√3+1)=4-4+2√3=2√3;(4)原式=-(3-2√3+1)-3-(√5+2)=-4+2√3-3-√5-2=2√3−√5-9. 三、变式演练1.解:(1)原式=2√3−√3+3-√3-1+√3-2=√3;(2)原式=[(2√6−√3)+√2][(2√6−√3)-√2]=(2√6−√3)2-(√2)2=24-12√2+3-2=25-12√2. 2.解:(1)原式=√48÷3−√12×12+2√6=4-√6+2√6=4+√6; (2)原式=2x -1(x -1)2·(x-1)=2x -1x -1,当x=√2+1时,原式=√2+1√2+1-1=4+√22. 四、达标检测1.B2.C3.D4.D5.B6.2√2-27.30+12√6 8.1 9.5+2√3 10.10 11.解:(1)原式=√48÷3−√12×12+2√6 =4-√6+2√6 =4+√6;(2)原式=18-12-(3-2√6+2) =6-5+2√6 =1+2√6.人教版数学八年级下册导学案16.4.0本章小结学习目标1.掌握二次根式有意义的条件和基本性质(√a )2=a (a ≥0).(重点)2.能用二次根式的性质√a 2=|a|来化简根式.(难点)3.能识别最简二次根式、同类二次根式.(重点)4.能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.(难点)学习过程一、梳理知识1.二次根式:一般地,我们把形如的式子叫做二次根式.2.最简二次根式:满足下面两个条件的二次根式是最简二次根式:(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式.3.二次根式的性质(1)二次根式√a(a≥0)是一个数.(2)(√a)2=(a≥0).(3)√a2=|a|={(a>0) (a=0) (a<0)4.二次根式的乘除:(1)乘法法则:√a·√b=(a≥0,b≥0).(2)除法法则:√a√b=(a≥0,b>0).5.二次根式的加减:先把各个二次根式化成,再把相同的二次根式进行合并.6.二次根式的混合运算的顺序与运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去掉括号).二、归纳考点考点一、二次根式概念与性质【例1】二次根式√-2x+4有意义,则实数x的取值范围是()A.x≥-2B.x>-2C.x<2D.x≤2【跟踪练习】1.若代数式√3x-1有意义,则x的取值范围是()A.x<13B.x≤13C.x>13D.x≥132.代数式√x+1x-1有意义,则x的取值范围是() A.x≥-1且x≠1 B.x≠1C.x≥1且x≠-1D.x≥-13.在式子1x-2,1x-3,√x-2,√x-3中,x可以取2和3的是()A.1x-2B.1x-3C.√x-2D.√x-3考点二、二次根式的运算【例2】如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:①√ab =√a√b,②√ab·√ba=1,③√ab÷√ab=-b,其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③【跟踪练习】1.下列计算正确的是( ) A.√4−√2=√2B.√202=√10C.√2·√3=√6D.√(-3)2=-3 2.下列计算错误．．的是( ) A.√2+√3=√6B.√2·√3=√6C.√12÷√3=2D.√8=2√2 3.计算:√27−√3= . 考点三、二次根式混合运算【例3】计算:√24×√13-4×√18×(1-√2)0 【跟踪练习】1.下列运算中错误的是( )A.√2+√3=√5B.√2×√3=√6C.√8×√2=2D.(-√3)2=32.已知x 1=√6+√5,x 2=√6−√5,则x 12+x 22= . 考点四、二次根式运算中的技巧 【例4】若y=√x -4+√4-x2-2,则(x+y )y = .【跟踪练习】1.若(m-1)2+√n +2=0,则m+n 的值是( ) A.-1 B.0 C.1D.22.已知实数x ,y 满足√x -1+|y+3|=0,则x+y 的值为( ) A.-2 B.2 C.4 D.-4考点五、估算大小【例5】a ,b 是两个连续整数,若a<√7<b ,则a ,b 分别是 ( )A.2,3B.3,2C.3,4D.6,8 【跟踪练习】若a<√13<b ,且a ,b 为连续正整数,则b 2-a 2= . 三、达标检测 (一)选择题1.下列二次根式:√5,√13,√0.5a ,-2√a 2b,√x 2+y 2中,是最简二次根式的有( ) A.2个B.3个C.4个D.5个 2.若√a 2=-a 成立,那么a 的取值范围是( ) A.a ≤0 B.a ≥0 C.a<0D.a>03.无论x 取任何实数,代数式√x 2-6x +m 都有意义,则m 的取值范围是( ) A.m ≥6 B.m ≥8 C.m ≥9 D.m ≥124.已知a=√5-2,b=√5+2,则√a 2+b 2+7的值为( )A.5B.6C.3D.45.已知x+y=-5,xy=3,则x √yx +y √xy 的结果是( )A.2√3B.-2√3C.3√2D.-3√26.等式√3x -1x -2=√3x -1√x -2成立的条件是( )A.x>13B.x ≥13C.x>2D.13≤x<27.计算:6√7×13√21÷2√3的结果是( )A.-4B.-2√3C.40D.7(二)填空题8.如果√(2a -1)2=2a-1,则a 的取值范围是 . 9.计算:(√24+√16)×√6= . 10.计算(4+√7)(4-√7)的结果等于 .11.已知x=12(√7+√5),y=12(√7−√5),则x 2-xy+y 2= . (三)计算题12.计算:(1)√8-2√12;(2)(3√2-2)2; (3)√20+√125√5+5;(4)(√32+√13)×√3-2√163.(四)解答题13.已知实数a ,b 在数轴上的对应点如图所示,化简√a 2+|a+b|+|√2-a|-√(b -√2)2.14.阅读下面材料,并解答后面的问题:√6+√5=(√6-√5)(6+5)(6-5)=√6−√5;√5+2=√5-(5+2)(5-2)=√5-2; √4+√3=√4-√3)(4+3)(4-3)=√4−√3.(1)观察上面的等式,请直接写出√n+1+√n的结果 ;(2)计算(√n +1+√n )(√n +1−√n )= ,此时称√n +1+√n 与√n +1−√n 互为有理化因式;(3)请利用上面的规律与解法计算:√2+1+√3+√2√4+√3+…+√100+√99.参考答案一、梳理知识略二、归纳考点考点一、二次根式概念与性质 【例1】 D【跟踪练习】1.D 2.A 3.C 考点二、二次根式的运算 【例2】 B【跟踪练习】1.C 2.A 3.2√3 考点三、二次根式混合运算 【例3】 解:原式=32√2 【跟踪练习】1.A 2.22考点四、二次根式运算中的技巧 【例4】 14【跟踪练习】1.A 2.A 考点五、估算大小 【例5】 A 【跟踪练习】7 三、达标检测1.A2.A3.C4.A5.B6.C7.D8.a ≥12 9.13 10.9 11.51212.解:(1)原式=2√2−√2=√2;(2)原式=18-12√2+4=22-12√2; (3)原式=√5+5√5√5+5=7+5=12; (4)原式=(4√2+√33)×√3−8√33=4√6+1-8√33. 13.解:由数轴可知:a<b<0,∴a<0,a+b<0,∵√2>0,∴√2-a>0,b-√2<0, ∴原式=|a|-(a+b )+√2-a-|b-√2|=-a-a-b+√2-a+(b-√2) =-3a-b+√2+b-√2=-3a14.(1)√n+1−√n;(2)1;(3)9。

二次根式的概念 （第1课时） 学生姓名：学习目标a ≥0）的意义解答具体题目重点：a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；难点：a ≥0）”解决具体问题． 学习过程一、知识准备平方根的性质：正数有 个平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根。

思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：(1)面积为5的正方形的边长为 ；(2)要修建一个面积为3的圆形喷水池，它的半径为 m ；(3)一个位图从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h=t 2 如果用含有h 的式子表示t,则t= 。

（4）6的算术平方根的相反数为 ；(5)0的算术平方根为 。

二、探究在上面的问题中，结果分别是 ，它们都表示一些正数的算术平方根。

一般地，我们把形如 （ ）的式子叫做二次根式，称为（二次）根号．注：开平方时，被开方数a 的取值范围 （为什么？） 例1．当x 是多少时，2-x 在实数范围内有意义？例2、当x 11x +在实数范围内有意义？例3，求a 2004+b 2004的值．三、练习(1)下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：1x x>0）1x y+x ≥0，y•≥0） 是二次根式的有： 不是二次根式的有： （2）当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？四、课堂小结二次根式的概念需注意：五、课后作业1、形如________ 的式子叫做二次根式．2有意义，则x =_______．3、下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x 4、已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5BC ．15D ．以上皆不对5、当x 在实数范围内有意义？6、已知a 、b 为实数，且满足021=-++b a ，求ba的值．六、课后反思二次根式的性质（第2课时） 学生姓名：教学目标1、a ≥0）是一个非负数2、理解二次根式的两个性质2=a （a ≥0）=a （a ≥0）。

教师评价___
（4）x2-2 7 x +7
0 ）2=_______．
2
（3） 若-3≤x≤2 时，试化简│x-2│+ (x 3)2 + x2 10x 25 9、先化简再求值：当 a=9 时，求 a+ 1 2a a2 的值
10、若│1995-a│+ a 2000 =a，求 a-19952 的值．
25
三、小结：1、二次根式的乘法法则。2、乘法的运算步骤。3、二次根式化简方法。
四、检测 1、下列各等式成立的是（ ）．A．4 5 ×2 5 =8 5 B．5 3 ×4 2 =20
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

八年级数学下册16.２二次根式的乘除导学案（新版)新人教版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(八年级数学下册16．2 二次根式的乘除导学案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学下册１６.２二次根式的乘除导学案(新版）新人教版的全部内容。

１6.1二次根式预习案一、学习目标1、理解二次根式的乘法法则,并利用性质对二次根式进行化简.2、理解二次根式的除法法则。

3、理解最简二次根式的含义。

二、预习内容预习课本第二节内容。

1、二次根式的乘法法则: 。

2、二次根式的除法法则: 。

３、最简二次根式的条件： .三、预习检测1、对于任意实数x,下列各式中一定成立的是( )A.=•B．=x+1Ｃ.=•D.＝6ｘ22、计算•的结果是( )A.B． C.２Ｄ．3３、计算÷×结果为（)A.3B.4C.5D．6探究案一、合作探究（1５ｍin）【探究】二次根式的乘法看一下课本的探究内容,填写下列空格，研究二次根式的乘法。

1、×= ;= ．2、×＝; = 。

３、×＝；= 。

从刚刚的结果中,大家能用字母表示你所发现的规律吗?二次根式的乘法法则是什么？这个乘法法则中,我们需要注意什么？例1:计算（１) ×；（２）×大家思考这样一个问题,= ×成立吗?为什么?例２:计算（1）;（２）从这个例题中，你可以总结出化简二次根式的一般步骤吗？例3：计算(1)×(2)3×2 ;（3）×【探究】二次根式的除法1、= ；= .2、＝；= ．3、= ; ＝你能用字母表示你所发现的规律吗?你知道二次根式的除法法则是什么了吗?二次根式的除法法则要注意什么？例4 计算: （1) ; （2） .最简二次根式:（1)被开方数不含分母；（2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式。

第十六章 二次根式16.1 二次根式第1课时 二次根式的概念学习目标1.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．重点：二次根式的概念，二次根式有意义的条件.难点：二次根式概念的理解，综合运用性质)0(0≥≥a a .学习过程1、回忆旧知识（1）什么叫做算术平方根？什么叫做平方根？（2）正数有几个平方根？0的平方根是多少？负数有平方根吗？2、用带根号的式子填空.（1）3的算术平方根是 .（2）直角三角形的两直角边是1和2，则斜边是 .（3）正方形的面积为3-b ，则边长为 .(4)自主完成课本第二页思考题.观察所列式子，有何共同特点？3、思考下列问题：开平方时，被开方数只能是 和 ，为什么？4、请写出二次根式的概念：5、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 请同学们思考并总结一下，判断一个式子是否是二次根式，需要考虑哪些要点：6、根据开平方时，被开方数只能是 和 这一依据，完成下题：例1：当x 是怎样的实数时，6-x 在实数范围内有意义？7、做完以上例题，请填空：当a 为正数时，a 是a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根.所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义.8、扩展思考：当a 是怎样的实数时，a 在实数范围内有意义？a 呢？9、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？10.达标测试1.在式子12x -，13x -x 可以取2和3的是（ ）A ．12x -B ．13x - C D2.x 必须满足（ ） A ．x ≤2 B ．x ≥2 C ．x ＞2 D ．x ＜23.x 可以取的最小整数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.有意义，则x 的取值范围为_________.5.若y= 22-，则（x+y ）y =_________.6.已知a 、b 是一等腰三角形的两边的长，且满足等式，求等腰三角形的周长．7.小组精彩讨论的镜头：你想一起参加讨论吗？若参加你怎么评价这四位同学的解答？并写出你解答的过程？第2课时 二次根式的性质学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 、)0()(2≥=a a a 和a a =2；2.能利用上述性质公式对复杂的二次根式进行化简. 重点：二次根式的性质a a =2． 难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算.学习过程1、回忆旧知（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式52-x 有意义，则x . 2、计算并总结公式（1）计算：2)4(= 、2)16(= 、2)3(= 、2)21(= 、2)0(= 观察其结果归纳得到：当=≥2)(,0a a 时（2）、计算：=24 、=22.0 、=2)54( 、=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时（3）、计算：-2)4(= 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时（4）、计算：=20 ，所以当==2,0a a 时3、归纳总结 将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的两条非常重要的性质（公式）：（1）当=≥2)(,0a a 时（2）=2a4、化简下列各式：（1）、=23.0 （2）、=-2)5.0( （3）、=-2)6( （4）、()22a = （0<a ）5、请大家思考讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系.6、化简下列各式 （1）)0(42≥x x (2) 4x （3）)3()3(2≥-a a7、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？8、达标测试 1.要使ba 是二次根式，则应满足的条件是（ ） A.a≥0且b≥0 B. a≥0且b ＞0 C.b a ＞0 D.ba ≥0且b≠0 2.把414写成一个正数平方的形式是（ ） A.2212⎪⎭⎫ ⎝⎛ B. 2212⎪⎭⎫ ⎝⎛或2212⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. 2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛或2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.函数21-=x y 中自变量的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D.9.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：2a -2b -2)(b a -．10.已知x 、y 为实数，y=214422-+-+-x x x ，试求3x+4y 的值．11.甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简a 1+2a a 122-+ ，其中a=51. 甲同学的做法是：原式=a 1+2)a a1(-=a 1+a 1-a=a 2-a =10-51=549；乙同学的做法是： 原式=a 1+2)a 1a (-=a 1+a-a 1=a=51. 到底谁错了？为什么？说明理由.16.2二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法学习目标1a ≥0，b ≥0）a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简.2、通过学习和掌握知识目标的整个过程，培养学生对数学化简题目的敏锐度，同时培养学生的计算能力.重点：掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质.难点：会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.学习过程1．填空：（1；（2=____；（3．2、学生交流活动总结规律．一般地，对二次根式的乘法规定为：反过来例1、计算（1（2（3）3（4例2、化简（1（3（4（53、巩固练习（1）计算： ①②55×215 ③312a ·231ay（2）化简4、判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243 后再进行计算，你有什么好办法？注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数.2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解.（2）分解后把能开尽方的开出来.5、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？6、.达标测试1.下列计算正确的是（ ） A.912=912⨯=231 B.)4()9(-⨯-=49-⨯-=(-3)×(-2)=6 C.22y x +=y x y x +=+22 D.b a 224=ab a 642⋅=2|a|ab 62.如果232a a +=2+-a a ，则实数a 的取值范围是（ ）A.a≥0B.0≤a≤2C.-2≤a≤0D.a≤-23.把a a1-根号外的因式移入根号内的结果是（ ） A.a - B.a -- C.a D.a -9.计算：（1）27×123×385（2）3031×2140×3222310.某公路规定行驶汽车的速度每小时不得超过70千米，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16df ，其中v 表示车速（单位：千米/小时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示磨擦因数．经测量，d=20米，f=1.25，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？11.小明在微机课上设计了一幅矩形图片，矩形的周长是π140cm ，宽是π35cm ，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助小明求出圆的半径.第2课时二次根式的除法学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.2、通过学习和掌握知识目标的整个过程，使学生能熟练进行二次根式的除法运算及化简.3、培养学生的数学学习兴趣，感受实数的应用价值.重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.学习过程1、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯2、填空： （1； 规律：（2；（3；（4．一般地，对二次根式的除法规定：3、计算：（1（2（3（44、化简： （1（2（3（4注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数.2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式.5、阅读下列运算过程：==== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.利用上述方法化简：(1)３=_____ ___ (４=___ ___ 6、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？7、达标测试1.如果6-x x =6-x x 成立，那么（ ） A.x≥6 B.0≤x≤6 C.x≥0 D.x＞62.下列各数中，与32的积为有理数的是（ ） A.32+ B.32- C.32+- D.39.计算：32212332b b b ⋅÷10.（1A ．．2E ．0问题的答案是（只需填字母）： ；（2.11.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如35，32，132+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 553535535=⨯⨯= （一） 32＝363332＝⨯⨯ （二） 132+＝））（（）－（1313132-+⨯＝131313222---＝）（）（ （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化.132+还可以用以下方法化简：132+=1313+-=131)3(22+-=13)13)(13(+-+=13-.（四） （1)请用不同的方法化简352+. （2)①参照（三）式得 352+＝____________；②参照（四）式得352+＝__________. （2）化简：12121...571351131-+++++++++n n第3课时最简二次根式学习目标：1、理解最简二次根式的概念，把二次根式化成最简二次根式，熟练进行二次根式的乘除混合运算.2、使学生能熟练进行二次根式的乘除运算及化简.重点：最简二次根式的运用.难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算.学习过程1、化简（1）496x = （2=（3= (4= （5= 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：（1）．被开方数不含分母； （2）．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2、化简:(1) 2083、比较下列数的大小（1）8.2与432 （2）7667--与 注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化.2、判断是否为最简二次根式的两条标准：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2．4、知识应用：设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=23，b=5.求a 的长.5、计算：（1）6·a 3·b 31 （2）16141÷ （3）50511221832++-6、探究计算：（1）（38+）×6 （2）22)6324(÷-7、探究计算：（1）)52)(32(++ （2）2)232(-8、练习计算：（1）12)323242731(-- （2）)32)(532(+-（3）2)3223(+ （4）（9、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？10、达标训练2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A.22xB.12+bC.a 4D.x1 3.下列判断正确的是（ ） A ．3＜3＜2 B ．2＜2＋3＜3 C ．1＜5－3＜2 D ．4＜3·5＜59.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？15，24，ab 27，2235y x +，23，23，24m m +，2x10.把下列各式化成最简二次根式（1）500 （2）323b a （3）b a c abc 4322-（4）ay x 22-（x ＞y ） 11.比较下来各组数的大小(1)3与22 (2) 52与33 (3) 27与113 (4) 132-与63-(5) 3131-与7121- (6)3π与64216.3 二次根式的加减一、学习目标1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式.2、理解和掌握二次根式加减的方法.3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.重点：二次根式化简为最简根式．难点：会判定是否是最简二次根式．学习过程1、计算． （1）x x 32+； （2）222532x x x +-；（3）y x x 32++； （4）22223aa a +-2、学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3（4）由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如（与整数中同类项的意义相类似我们把33与32-；a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式）如： 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将同类二次根式进行合并．例1．计算 （1（2例2．计算（1）（ 2）+归纳： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．3、练习计算 (1) )27131(12-- (2) )512()2048(-++4、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？5、达标训练2.下列各组中，是同类二次根式的是（ ） A.45.0与81.0 B. b a 23与22abC.2x 与32xD.x x 3与xx 122 3.计算12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4831375的结果是（ ） A ．6 B ．43 C ．23+6 D ．129.（1）计算：⎛÷ ⎝（202)10.（1）先化简，再求值： (a-3)(a+3)-a(a-6)，其中a=5+21．（5）已知：a=2-1，求142--a a a ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--12a a 的值．11.有这样一道题：计算4422---+x x x x +4422-+--x x x x -2x （x ＞2）的值，其中x=1005，某同学把“x=1005”错抄成“x=1050”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由．。

-难点二：理解和掌握最简二次根式的概念，能够对二次根式进行化简。
-举例：化简√(50/4)，引导学生先简化分数得到√(25/2)，再将√25与√2分别处理，得到5√2/2。
-难点三：在解决实际问题中，能够将问题转化为二次根式除法问题并进行正确计算。
-举例：如果一个三角形的面积是(6√3 + 3√6)平方米，底是3米，求高。
3.通过对混合运算中二次根式除法的运用，增强学生的运算能力和数据分析能力。
4.引导学生发现二次根式除法在实际问题中的应用，激发他们的创新意识，培养数学探究精神。
5.在小组合作交流中，培养学生的团队协作能力和沟通表达能力，提高他们的数学交流素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：二次根式除法的法则及其运用。
实践活动和小组讨论环节，学生们表现得相当积极。他们通过分组讨论和实验操作，不仅加深了对二次根式除法的理解，还学会了如何将数学知识应用到解决实际问题中。看到他们互相交流、共同解决问题的样子，我感到非常欣慰。
然而，我也注意到在小组讨论中，部分学生还是比较被动，可能是因为他们对知识点还不够自信。在今后的教学中，我需要更多地关注这部分学生，鼓励他们大胆发言，增强他们的自信心。
人教版八年级下册16.2二次根式的除法（教案）
一、教学内容
人教版八年级下册16.2二次根式的除法，主要包括以下内容：
1.掌握二次根式除法的法则：a)同类二次根式相除，等于它们的系数相除，被开方数不变；b)不同类二次根式相除，先将它们化成同类二次根式，再按同类二次根式相除的法则进行计算。
2.能运用二次根式除法法则解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

2、化简下列各式
（1） （2） （x＜-2）
注：利用 可将二次根式被开方数中的完全平方式 “开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。
3、化简下列各式：
（1）、 （2）、 （3）、 （4）、 = （ ）
一、基础知识运用
1、填空：（1）、 - =_________.
（2）、 =
5、若 是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三、拓展探究思考
（3）a、b、c为三角形的三条边 ，则 ________.
2、已知2＜x＜3，化 简：
3、已知0＜x＜1，化简： －
二、综合运用诊断
1、把 的根号外的 适当变形后移入根号内，得（ ）
A、 B、 C、 D、
2、 若二次根式 有意义，化简│x-4│-│7-x│。
4、若 ，则x和m的取值范围是x_____；m______.
【学习难点】：综合运用性质 进行化简和计算。
学法指导：指导学生学会分情况考虑不同的情况。提高全面分析问题的能力。
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式 有意义，则x。
（3）在实数范围内因式分解： ( )2=（x+） ，归纳得到：当
1、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
2、计算： 当
将上面做题过 程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
例1化简
（1） （2） （ 3） （4）
解：（1） = =（2） = =
（3） = =（4） = =
例2当x>2，化简 - ．
请大家思考、讨论二次根式的性质 与 有什么区别与联系。
1、 2.
1、化简下列各式

第十六章二次根式16.1 二次根式第1课时二次根式的概念第十六章 二次根式16.1 二次根式第2课时 二次根式的性质一、学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：（a ）2=a （a ≥0）；a a =2；2.能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点重点：二次根式的性质（a ）2=a （a ≥0）；a a =2．难点：综合运用性质对二次根式进行化简和计算。

三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）什么是二次根式，它有哪些性质？ （2）二次根式52-x 有意义，则x 。

（3）在实数范围内因式分解：-=-226x x ( )2=（x + ）(y - ) （二）合作交流（小组互助） 1、计算(1) 2)4(= (2)()=23（3）2)5.0( = （4）2)31(= 根据计算结果，能得出结论： （0≥a ） 2.计算：（1）=24 =22.0 =2)54(=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ﹥0时，=2a（2） =-2)4( =-2)2.0( =-2)54( =-2)20(观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a<0时，=2a （3）=20 得到：当a=0时，=2a________)(2=a3.归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的非常重要的性质： 性质一：（a ）2=a （a ≥0）；性质二：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2a a 4. （1）阅读课本思考：什么是代数式？我们前面还学过那些代数式吗？（2）思考、讨论：二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。

四.精讲点评利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。

五.当堂达标1、化简下列各式（1）（5.1）2 （2）（52）2（3）22)33()10(-+--计算：（4）)0(42≥x x (5)4x2、化简下列各式 （1）)3()3(2≥-a a （2）()232+x （x ＜-2）六.拓展延伸（1）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(____________.(2) 把(2-x)21-x 的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2 B 、2-x C 、x --2 D 、2--x(3) 已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x七.教后反思16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法一、学习目标a ≥0，b ≥0）（a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

八年级数学下册第16章二次根式小结导学案（新版）新人教版一、学习目标1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。

4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。

二、学习重点、难点重点：二次根式的计算和化简。

难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。

三、复习过程自主复习1、若a＞0，a的平方根可表示为___________；a的算术平方根可表示________2、当a______时，有意义，当a______时，没有意义。

3、4、5、4、课内探究1、式子成立的条件是什么?2、计算：(1)(2)3、(1)(2)五、拓展延伸注：在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（1）（2）（3）（4）（5）六、当堂检测1、选择题：（1）化简的结果是（）A5 B -5 C 士5 D25（2）代数式中，x的取值范围是（）A B C D （3）下列各运算，正确的是（）A、B、C、D、（4）如果是二次根式，化为最简二次根式是（）A、B、C、D、以上都不对（5）化简的结果是（）2、计算、(1)(2)(3)(4)3、已知求的值七、课后反思八、课后训练1、选择：（1），则（） A a,b互为相反数 B a,b互为倒数 C D a=b （2）在下列各式中，化简正确的是（）A、B、C、D、（3）把中根号外的移人根号内得（）2、计算：（1）（2）（3）3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变化结果并进行验证、 (2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式并进行验证、。

16.2二次根式的乘除法二次根式的乘法一、温故互查1、计算：（1）4×9=______94⨯=______ （2）16×25 =_______2516⨯=_______（3）100×36 =_______36100⨯=_______二、学习目标1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

三、设问导读1、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）4×9_____94⨯（2）16×25____2516⨯（3) 100×36____36100⨯由此可得二次根式的乘法法则是2、自学例13、把b ab=反过来，就得到______________.利用它可以进行二次根式的化简.4、自学例2、例3化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。

四、自学检测1、下列各等式成立的是（）．A．45×25=85B．53×42=205C．43×32=75D．53×42=2062、二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（）A．26 B．-26C．6 D．123、下列各式的计算中，不正确的是（）=（-2）×（-4）=8 A．2222442)(244aaaa=⨯=⨯=C．5251694322==+=+D.)1213)(1213(121322-+=-12512131213⨯=-⨯+=5=五、巩固训练1、计算：（1）9×27（2）25×32（4）5·a3·b312、化简：②2212ba(a>0，b>0)六、拓展延伸1、判断下列各式是否正确并说明理由。

=68)2(6⨯-⨯=4812- 七、归纳总结1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

第１６章二次根式复习一、知识梳理1．二次根式的概念一般地,形如（a≥0)的式子叫做二次根式;(1)对于二次根式的理解:①带有根号;②被开方数是非负数.(２)错误!未定义书签。

是非负数，即错误!≥0．2．二次根式的性质(错误!未定义书签。

)2=;a2=错误!＝错误!未定义书签。

３．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.(1)被开方数不含 ;(2)被开方数中不含能的因数或因式．4.二次根式的运算错误!未定义书签。

·错误!未定义书签。

＝（a≥0,b≥0)；错误!＝（a≥0,ｂ＞0).二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ,再将的二次根式进行合并．二、题型、技巧归纳考点一确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例1 若实数x,y满足+（y－)2＝0,则ｘｙ的值是________.考点二二次根式性质的运用例２如图2１－１所示是实数a、b在数轴上的位置，化简：错误!未定义书签。

－错误!2－＼r（a－b)2)。

图21－1考点三二次根式的化简例3设错误!=a,错误!=ｂ,用含a，b的式子表示错误!未定义书签。

，则下列表示正确的是（)Ａ．0．０3ａbＢ．3aｂﻬC.０。

1ab3 D.０.1a3ｂ考点四二次根式的运算例4 计算下列各题：(1)错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

·错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

·错误!未定义书签。

;(2）（1－错误!+错误!未定义书签。

)（1+错误!未定义书签。

－错误!).三、随堂检测１.要使＋有意义,则x应满足（ )A。

≤x≤3B.ｘ≤3且x≠C。

〈x〈3 D。

〈x≤3２.若ｙ＝＋-1,则2x＝____＿_，y=＿_____．3.已知x<１，则化简的结果是( )A.x-1B.x+１C.－ｘ－１Ｄ.１－x4．实数ａ,ｂ在数轴上的位置如图所示，那么化简|ａ－b|－错误!未定义书签。

的结果是( )Ａ．2ａ－ｂB.b Ｃ.-b Ｄ．－２a＋ｂ５。

第十六章二次根式图①图②倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.1.下列各式:)1x≥一定是二次根式的个数有( )A.3个B.4个C.5个D.6个2.(1)x的取值范围是___________;(2)若式子12x+-在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x问题2：a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；例3 若22(4)0a c-+-=，求a-b+c的值.方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例4 已知y8+,求3x+2y的算术平方根.【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足4 b=，求此三角形的周长．已知|3x-y-1|和x+4y的平方根．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）A.B.2.（）A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____取最小值，其最小值为______．第十六章二次根式要点归纳：2a =(a ____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.例1(教材P3例2变式题)计算：22(1);(2).⎛ ⎝例2 在实数范围内分解因式：242(1)3;(2)4 4.x y y --+计算：22(1)()(2)(). ；探究点2议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？1.计算：=24 ;=22.0 ;=2)54( ; =220 .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时 .2.计算：=-2)4( ;=-2)2.0( ;=-2)54( ;=-2)20( .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 . 3.计算：=20 ;当==2,0a a 时 .探究点3：代数式的定义列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为负数的算术平0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：第十六章二次根式.)0b.,≥..相乘..k a b k⋅⋅=⋅⋅⋅⋅（例2 计算:(273.⎛⎝(n b mn=例3 比较大小(一题多解):533与；(2)3 6.--方法总结:比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.1.( )B.4 D.22.下面计算结果正确的是( )A.=B. =C. =D.=3.=_________.探究点2：积的算术平方根的性质一般的()0,0≥≥=⋅baabba()______0,0_a b=吵要点归纳：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例4 (教材P7例2变式题)化简：（12()00x y ,≥≥ ．方法总结: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算. 1. 计算：2.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，，求出它的面积.a bc n abc ⋅⋅⋅=()m a n b mn =A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数2.下列运算正确的是（）A.532-=(2)(4)8=-⨯-=5315=⨯= 3.计算：(1)⨯______ ；(2)⨯_______ ;(3)_____.=4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：12（）--第十六章二次根式...探究点3：最简二次根式思考前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子分母的根号吗？要点归纳：（1）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.（2）我们把满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.例3 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．探究点4：二次根式除法的应用例4 (教材P9例7变式题)高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式t 从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？1.的结果是（）A．9 B．3 C．D．2.下列根式中，最简二次根式是（）A B C D3.=k取值范围是（）A.k≥1B.k≥2C. 1＜k≤2D. 1≤k≤24.化下列各式的计算中，结果为52的是（）A.210÷ B.52⨯ C.40121÷ D.58⨯5. 化简：6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有I=若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？第十六章 二次根式..观察下图并思考：(1)由左图，易得2a +3a = ； (2)当a =2时，分别代入左、右得2_23+；(3)当a =3时，分别代入左、右得233+；......的值？结果能进行化简吗？(式)相加，根指数例1 若最简根式2.方法总结:确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为2列关于待定字母的方程求解即可.【变式题】可以合并，义，求x的取值范围.1.）2.m=_____.3.________(填序号）.②探究点2：二次根式的加减及其应用思考现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.要点归纳：二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找——找出被开方数相同的二次根式；(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.例2 (教材P13例2变式题)计算：(;例3 已知a ,b,c 满足(20a c -=.(1)求a ,b ,c 的值；(2)以a ,b ,c 为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为.2= B. =C.= =1.中，与能进行合并的是（）A B.C D2.下列运算中错误的是（）A. B. C. 2 D.23（=3.则这个三角形的周长为________.4.计算:______；_________(2)；b，求(2*3)－(27*32)的值．第十六章二次根式例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽，下底宽的梯形，这段路基长500 m，那么这段路基的土石方(即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？计算：(1 2 1⎝()；() .探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?例3(教材P14例4变式题)计算：212)；((2);⨯方法总结:进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.【变式题】计算：20182018133;（）（）（）⨯201720192222.（）（（+-⨯计算：())))2(1)1(2).；探究点3：求代数式的值a nb 的式子，构1.下列计算中正确的是（）3=1=-2=2.计算2.-=3.设,310,3101-=+=ba则a b(填“>”“< ”或“=”）.4.计算：。

最新人教版八年级数学下册第十六章二次根式导学案(全章)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（最新人教版八年级数学下册第十六章二次根式导学案(全章)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为最新人教版八年级数学下册第十六章二次根式导学案(全章)的全部内容。

第十六章 二次根式导学案二次根式（1)一、学习目标1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程（一)复习回顾:(1）已知a x =2,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

(二）自主学习（1）16的平方根是 ；（2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t （单位:秒）与开始下落时的高度h （单位：米）满足关系式25t h =。

如果用含h 的式子表示t ，则t = ；(3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ；（4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。

思考:16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________。