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第五讲 锐角三角函数【问题探索】一般地，如果锐角A 的大小确定，我们可以作出无数个以A 为一个锐角直角三形（如图），那么图中：⋯===222111AC C B AC C B AC BC 成立吗？ （1）当∠A 变化时，上面等式仍然成立吗？（2）上面等式的值随∠A 的变化而变化吗？【新课引入】由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。
这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。
1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 思考：你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表：【总结归纳】1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键；2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。
C C 1 C 2【精选例题】（一）锐角三角函数的概念例1、（1）在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 （2）Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AC=6cm ，那么BC 等于（ ） A ．8cm B ．24cm 5 C.18cm 5 D.6cm 5（3）菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BC=6cm ，那么tan2A为（ ） A ．35 B ．45C解析：（1）角A 的三角函数值都是两条边的比值，根据分式的基本性质——分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，而Rt △ABC 各边都扩大5倍——倍数一样，因此两边比值也不变。
沪科版初中数学初三数学上册《锐角的三角函数值》说课稿一、教材解析《锐角的三角函数值》是沪科版初中数学初三数学上册的一篇重要内容，主要涉及到锐角以及锐角三角函数的概念和性质。
通过学习本节内容，学生将会更深入地理解三角函数，并掌握求解锐角的三角函数值的方法。
本节的教学内容主要包括以下几个方面：1.锐角的定义：介绍了什么是锐角，以及锐角的特点和表示方法。
2.弧度制与角度制：介绍了弧度制和角度制之间的转换关系，并且通过实例演示了如何使用弧度制求解锐角的正弦、余弦和正切值。
3.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质：详细讲解了正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和基本性质，并通过例题引导学生理解三角函数的特点。
4.求解锐角的三角函数值：提供了一些常见锐角的三角函数值，并通过练习题与学生互动，巩固概念。
二、教学目标本节课的主要教学目标如下：1.理解锐角的定义，能够运用所学知识判断一个角是否为锐角。
2.理解弧度制与角度制的转换关系，能够在不同制度下计算角的三角函数值。
3.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和基本性质。
4.能够求解给定锐角的三角函数值，并运用所学知识解决相关问题。
三、教学重点和难点本节课的教学重点包括：1.锐角的定义和性质。
2.弧度制与角度制之间的转换关系。
3.正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和基本性质。
教学难点主要有：1.弧度制和角度制的混合运用。
2.正弦函数、余弦函数和正切函数的计算和应用。
四、教学内容和步骤1. 导入与导入预热（5分钟）在开始正式的教学过程前，教师可以通过提问的方式温习上节课所学的知识，引导学生重新回顾直角三角函数。
这样可以帮助学生进入学习状态并激发他们的学习兴趣。
2. 引入新知（10分钟）在本节课中，教师以锐角三角函数的定义为切入点，引入新知识。
通过简单的图示和实例，向学生介绍什么是锐角，并与直角和钝角进行对比，帮助学生更好地理解锐角的概念。
3. 弧度制与角度制（10分钟）本节课的重点之一是理解弧度制与角度制之间的转换关系。
沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4一. 教材分析《锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册第23.1节的内容。
本节主要介绍了锐角三角函数的定义及应用。
通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数的计算方法，并能够运用锐角三角函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基础知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的具体定义和应用，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解和掌握锐角三角函数的概念和计算方法。
三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义及计算方法。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.锐角三角函数的定义及计算方法。
2.运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。
2.案例教学法：通过具体的案例，讲解和演示锐角三角函数的计算方法。
3.小组合作学习：学生分组讨论和解决问题，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示锐角三角函数的定义和计算方法。
2.案例材料：准备一些实际的案例，用于讲解和演示锐角三角函数的应用。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习成果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际的例子，如建筑物的角度测量、滑翔机的起飞角度等，引导学生思考这些例子与三角函数的关系，从而引出锐角三角函数的概念。
2.呈现（10分钟）讲解锐角三角函数的定义和计算方法，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。
3.操练（10分钟）学生分组讨论和解决一些实际的案例，如滑翔机的起飞角度问题、房屋建筑的倾斜度问题等，巩固学生对锐角三角函数的理解和应用。
4.巩固（10分钟）学生独立完成一些练习题，检测学生对锐角三角函数的掌握程度。
锐角三角函数1 锐角三角函数定义锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。
角度30°45°60°正弦(sin) 1/2 √2/2 √3/2余弦(cos) √3/2√2/21/2正切(tan) √3/3 1 √3（注θ是锐角：0<sinθ<10<cosθ<1tanθ>0）3锐角三角函数值的符号及其变化规律1）锐角三角函数值都是正值。
2）当角度在0°~90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；4同角三角函数基本关系式sin⋅=acosa tana5互为余角的三角函数间的关系a a cos )90sin(=-a a sin )90cos(=-6 解直角三角形的基础知识在Rt ABC ∆中，90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c（1） 三边之间的关系：222c b a =+（2） 锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠= 90 （3） 边角之间的关系：c a A =sin ；c b A =cos ；ba A =tan ； c a B =cos ；cb B =sin ；ab B =tan （4） 面积公式：ch ab S 2121==∆（h 为斜边上的高） 7 类型已知条件 解法 两边 两直角边a 、b c=22a b +，tanA=a b，∠B=90°-∠A 一直角边a ，斜边c b=22c a -，sinA=a c，∠B=90°-∠A 一边一锐角 一直角边a ，锐角A ∠B=90°-∠A ，b=A a tan ，c=sin a A斜边c ，锐角A ∠B=90°-∠A ，a=c ·sinA ，b=c ·cosA解直角三角形的思路可概括为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘勿除，取原避中”。
锐角三角函数一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）定义：二、锐角三角函数的性质：三、特殊角的锐角三角函数：案例1（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A=．求AB的长和sin∠B的值．（2）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，3AC=2AB，分别求∠A和∠B的四个锐角三角函数值．（3）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BC=5，cos∠ADC=，求：sinB的值．（4）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．案例2（1）若角α，β都是锐角，以下结论：①若α＜β，则sinα＜sinβ；②若α＜β，则cosα＜cosβ；③若α＜β，则tanα＜tanβ；④若α+β=90°，则sinα=cosβ．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④（2）若α为锐角，且，则m的取值范围是．（3）若tanα=5，则=．（4）若α为锐角，且sinα+cosα=，则sinα•cosα=．（5）如果α为锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）=．（6）在△ABC中，∠C=90°，已知tanA=，则cosB的值等于（）A．B．C．D．（7）三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°案例3（1）若2sinA=，则锐角∠A=；若cos（B﹣10°）=1，则锐角∠B=．（2）在△ABC 中，若|sinA ﹣|+（﹣cosB ）2=0，则∠C= ．（3）在△ABC 中，已知两锐角A 、B ，且cos =，则△ABC 是三角形．（4）计算：+（5）计算：（sin30°）﹣1+﹣tan45°．1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边 BC 的3倍，则 tan B 的值是（） A ． B ．3 C D ． 2．已知∠A 是锐角，且满足 3tan A- =0，则∠A 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．无法确定3. 如图，在 Rt △ABC 中，斜边 AB 的长为 m ，∠A=35°，则直角边 BC 的长是（ ）13A ．msin 35°B ．mcos 35°C ．D ． 4. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cos A 的值等于（ ）A ．B ．C ．D ． 5. cos60°的值等于( ) A.3 B ．1 C.22 D ．126. 如果∠A 为锐角，且cosA ＝23，那么∠A 的取值范围是( ) A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45°C.45°＜∠A ＜60° D ．60°＜∠A ＜90°7. 在Rt △ABC 中，cosA ＝12，那么sinA 的值是( ) A.22 B ．32 C.33 D ．128. 正弦函数值 sin A 随着∠A 的增大而_____；余弦函数值 cos A 随着∠A 的增大而______；正切函数值 tan A 随着∠A 的增大而________.（增大；减小）9. 当角度在0°～90°间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大而_______；余弦值随着角度的增大而_______.（增大；减小）10. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则 AB 的长为________．°sin 35m °cos 35m3443354511. 李红同学遇到了这样一道题：3tan(β＋20°)＝1，你猜想锐角β的度数应是______.12．若锐角α满足12＜cosα＜22，则∠α的取值范围为_____________. 13. sin 2α＋cos 2α＝_____；tanα＝____________.14. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝158，则AB ＝______.15.16. 计算：17. 如图所示，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上的一点，AC ＝2，CD ＝1，记∠CAD ＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)若∠B ＝α，求BD 的长．°112cos 301()2--+°tan tan(90)A A ⨯-=18. 若tanA 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根．求锐角A 的度数．参考答案：1---7 DAADD CB8. 增大 减小 增大9. 增大 减小 10.11. 10°12.45°＜α＜60°13. 1 sinαcosα14. 1715. 116. 17. 解：(1)sinα＝55，cosα＝255，tanα＝12； (2)BC ＝AC tanα＝212＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 18. 解：x 2－(1＋3)x ＋3＝0，x 1＝1，x 2＝3，由题意知：tanA ＝1或tanA ＝3，∴∠A ＝45°或60°.解：原式2123=+=。
第五讲 锐角三角函数【问题探索】一般地，如果锐角A 的大小确定，我们可以作出无数个以A 为一个锐角直角三形（如图），那么图中：⋯===222111AC C B AC C B AC BC 成立吗？ （1）当∠A 变化时，上面等式仍然成立吗？（2）上面等式的值随∠A 的变化而变化吗？【新课引入】由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。
这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。
1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 思考：你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表：【总结归纳】1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键；2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。
C C 1 C 2【精选例题】（一）锐角三角函数的概念例1、（1）在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 （2）Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AC=6cm ，那么BC 等于（ ） A ．8cm B ．24cm 5 C.18cm 5 D.6cm 5（3）菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BC=6cm ，那么tan2A为（ ） A ．35 B ．45C解析：（1）角A 的三角函数值都是两条边的比值，根据分式的基本性质——分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，而Rt △ABC 各边都扩大5倍——倍数一样，因此两边比值也不变。
故选A ； （2）画直角三角形草图，根据cosA=AC AB 可知，635AB =，可求AB=10，再用勾股定理求得BC=8。
故选A ；（3）画菱形ABCD ，根据菱形“对角线互相垂直平分”、“每一条对角线平分一组对角”，可知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，根据正切函数的定义即可求出tan 2A =35。
故选A 。
前思后想：解答锐角三角函数题时，要把握几点：解题必画图，概念记心中，定要找直角，没有就构造。
牛刀小试：1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A 的各个三角函数值 ( ) A ．都缩小13B ．都不变C ．都扩大3倍D ．无法确定2．如图，在正方形网格中,直线AB ．CD 相交所成的锐角为α，则sinα的值是（ ） A.34B.43 C. 35 D. 453．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）A ．247BC ．724 D ．13A BCD4. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，sinB=27则cosB= .5．在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，则tanB= ． 答案：1．B ； 2. C ； 3. C ；4. 5. 34（二）特殊角的三角函数值例2 计算下面各式：①23tan303cos 302sin30︒︒-︒②2222cos60tan 45cos 45tan 30tan 30-︒+︒+︒︒+︒ 解析：①23tan303cos 302sin30︒︒-︒3②2222cos60tan 45cos 45tan 30tan 30-︒+︒+︒︒+︒2121⨯++=34 前思后想：关于三角函数的计算题，要先代入（代入特殊角的三角函数值），再求值。
记住三角函数值最关键。
例3. 已知∠A 是锐角，且A 等于（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：根据对特殊角的三角函数值的记忆——sin60°A=60°，故选C 。
前思后想：对于特殊角的三角函数值，要相当熟练，做到“倒背如流”——既能顺推，又能倒推。
牛刀小试：1．计算：（1）104sin 60(2)2008)-︒+-- （2）2tan 604sin30cos45+⋅ 2.已知α为锐角，当21tan α-无意义时，求tan(α+15°)—tan(α-15°)的值。
68CEABD3.21θ=，则θ= ,4．在△ABC 中，若2|tan 1|cos )0A B -+=，则∠C 的度数为 ．5. 在△ABC 中，若│sinA—12│+cosB ）2=0，则∠C=_______度． 答案：1．（1）104sin 60(2)2008)-︒+--=412—1=12；（2）2tan 604sin30cos45+⋅=2+412⨯2．21tan α-无意义，∴tan α=1，=45α∴︒∴ tan(α+15°)—tan(α-15°)=tan60°—tan30°。
3．21θ=，∴tan2θ230θ∴=︒，15θ∴=︒。
4．2|tan 1|cos )0A B -+=，∴tan 1A =，cos B =，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=105°。
5．│sinA—12│+—cosB ）2=0，∴sinA=12，。
∴∠A=30°，∠B=30°，∴∠C=120°。
（三）锐角三角函数的大小比较1、当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 2、当角度在0°<α<90°间变化时，0<sinα<1， 1>cosα>0.当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0.例4.（1 ）。
A ．1 1 1- D.1 （2）当锐角α>30°时，则cosα的值是（ ）A ．大于12B ．小于12C D 解析：（1）tan 301︒-∴就要讨论tan30°—1的正负性tan30°<1，∴ tan30°—1<0，∴1)1 故选A（2）因为cos30°，且当0°<α<90°时，cos α随着α的增大而减小，所以锐角α>30°时，cos α。
故选D 前思后想：可以根据特殊角的三角函数值，总结正弦、余弦和正切值随角度的变化而变化情况，也可以总结在某个范围内正弦与余弦的大小情况，以及正切值与1的大小情况。
牛刀小试：1.用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°________cos50°。
2.已知30°<α<β<90°cos 1cos βα-＝ 。
3.若太阳光线与地面成α角，30°＜α＜45°，一棵树的影子长为10米，则树高h 的范围是（ ）（取7.13=）A 、3＜h ＜5B 、5＜h ＜10C 、10＜h ＜15D 、h ＞15 4.若0°<α<45°，则下列各式中正确的是（ ）A.sin α>cos αB.cos α>sin αC.tan α>1D.tan α>tan -1α 答案：1．因为sin45°=cos45°，角度增加，正弦增大，而余弦减小，所以，填“>”号； 2．因为“余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”且30°<α<β<90°， 所以cos β—cos α<0，cos β—cos30°<0，1—cos α>0，∴)c 1c o sβα-+-＝cos α—cos β——cos β）+1—cos α＝13．h=10tan α，且30°＜α＜45°，∴10h <<，故选B 。
4．因为“正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”，且“sin45°=cos45°”，“0°<α<45°”，故选B 。
（四）互余的两个角的三角函数sin(90°-α)=cos α， cos(90°-α)=sinα， 例5. 若sin28°=cosα，则α=________． 解析：因为“cos(90°-α)=sinα”，所以α=90°—28°=62°. 前思后想：sin(90°-α)=cos α， cos(90°-α)=sinα这两个公式可记可不记，直接用公式计算比较方便，也可以根据概念在直角三角形中求它互余的角的三角函数。
牛刀小试：1．sin60°=cos_____=______；cos60°=sin________=________． 2.已知tan α＝1（0°≤α≤90°）则0cos(90)α-＝ 。
3.若001sin(90),cos(90)2αα-=-则=_____.4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，•根据勾股定理有公式a 2+b 2=c 2，根据三角函数的概念有sinA=a c ，cosA=b c，sin 2A+cos 2A=2222222a b a b c c c ++==1，sin cos A A =a c ÷b c =ab=tanA ，•其中sin 2A+cos 2A=1，sin cos A A =tanA 可作为公式来用．例如，△ABC 中，∠C=90°，sinA=45，求cosA ，tanA 的值．解法一：∵sin 2A+cos 2A=1； ∴cos 2A=1－sin 2A=1－（45）2=925． ∴cosA=35，tanA=sin cos A A =45÷35=43． 解法二：∵∠C=90°，sinA=45． ∴可设BC=4k ，AB=5k ． 由勾股定理，得AC=3k ．根据三角函数概念，得cosA=35，tanA=43．运用上述方法解答下列问题：（1）Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=35，求cosA ，tanA 的值；（2）Rt △ABC 中，∠C=90°，，求sinA ，tanA 的值； （3）Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=12，求sinA ，cosA 的值； （4）∠A 是锐角，已知cosA=1517，求sin （90°－A ）的值． 答案：1．cos30°；sin30°，12；2．tan α＝1（0°≤α≤90°），45α∴=︒，∴0cos(90)α-。
