专题5 抛物线与三角形、特殊四边形的综合题

考点7、特殊四边形的综合应用
特殊四边形应用广泛，应用特殊四边形的性质既可以判断边与边之间的位置关系，也可以判断边与边之间的数量关系，同时还能推断出角与角之间的关系。

四边形的知识经常与函数、圆、解直角三角形等知识综合考查，解答此类问题的关键是将四边形转化为特殊的四边形和三角形，巧妙地将“数”与“形”有机结合起来，提高解题的能力。

对四边形中的阅读理解题、探索型试题，要正确理解题意，大胆想象，合理论证。

典例：
已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，⊙O 经过B 、D 两点。

过点B 作BK ⊥AC ，垂足为K 。

过点D 作DH ∥KB,DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H 。

（1） 求证：AE=CK
（2） 如果AB=a ，AD=3
1a (a 为大于零的常数)，求
（3） 若F 是EG 的中点，且DE ＝6， （4） 求⊙O 的半径和GH 的长。

练习：
如图，三角形ABC中，AD是边BC上的中线,过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB,DE 与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC。

（1）求证：AD＝EC;
（3）在（2）的条件下，若AB＝AO，求tan∠OAD。

1、 在平面直角坐标中，有点O （0，0），A （-1，1），B（2，2）.（1）求点C ，使四边形OABC 是平行四边形.（2）求点C ，使以O 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形.2、在平面直角坐标系中，抛物线经过A （-1，0），B （3，0），C （0，-1）三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．3、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S 、求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．y xB (2,2)A (-1,1)4、一次函数122y x=-+分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线2y x bx c=-++过A、B两点。

（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N。

求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标。

5、如图，已知直线y=-x+5与y轴、x轴分别相交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c 经过A、B两点，顶点为C．抛物线对称轴与直线y=-x+5交与D。

（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动．过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N．①设点P运动的时间为t，点P在运动过程中，若以MN为直径的圆与y轴相切，试求出此时t的值；②是否存在这样的t值，使得CN=DM？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．1、抛物线y=ax2+ bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。

专题四　二次函数综合题题型1　二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1　抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南　(1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南　(1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南　(1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2　面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南　(1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　(1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3　特殊三角形问题探究类型1　等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一　几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二　代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2　直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3　等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南　第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4　三角形关系问题类型1　与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2　与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南　当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5　特殊四边形问题探究类型1　平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2　菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3　矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一　对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二　有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4　正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南　(1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6　角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南　以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1　二次函数的实际应用类型1　抛物线运动轨迹问题例1　解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2　以建筑为背景的“过桥”问题例2　解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问　解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3　以“悬挂线”为背景解决高度问题例3　解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问　解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2　图形面积探究类型1　面积、线段最值探究例1　解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问　1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。

中考数学总复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，抛物线212y x mx n =-++交x 轴于点(4,0)A -和点B ，交y 轴于点(0,2)C ，点(,)P x y 在第二象限的抛物线上．(1)求抛物线的函数解析式；(2)当点P 的坐标为(2,3)-时，求BCP 的面积；(3)请过点P 作PQ x ⊥轴，交直线AC 于点Q ，是否存在点P ，使得四边形PQOC 是平行四边形？如果存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)x 轴上，是否存在一点M ，使BCM 为等腰三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线与x 轴交于()()1200A x B x ，，，两点，且12x x <，与y 轴交于点()05C -，，其中12x x ，是方程2450x x --=的两个根．(1)求这条抛物线的解析式；(2)点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，连接CM ，当CMN 的面积最大时，求点M 的坐标；(3)点()4D k ，在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴是否存在点F ，使以A ，D ，E ，F 四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线2=23y x x --交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．(1)求图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y x b =-+与图象W 有两个交点，请结合图象，求b 的值或b 取值范围：(3)P 为线段OB 上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，在平面内存在点Q ，使以C ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点P 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c =++经过()1,0A -，()0,3C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．(1)求a ，c 的值；(2)已知F 是抛物线上位于第一象限的点，若在线段OB 上有一点D ，使四边形DCFE 是以CD 为一边的矩形，设F 点横坐标为t ，①求OD 的长（用t 表示）；①当矩形DCFE 的顶点E 恰好也落在该抛物线上时，请求出t 的值．5．抛物线24y ax =-经过A 、B 两点，且OA OB =，直线EC 过点()41E -，，()03C -，，点D 是线段OA （不含端点）上的动点，过D 作PD x ⊥轴交抛物线于点P ，连接PC 、PE ．(1)求抛物线与直线CE 的解析式； (2)求证：PC PD +为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q ，使得以C 、P 、E 、Q 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线222433y x x =--+与x 轴交于A ，B ．两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，直线y kx b =+经过点A ，C ．(1)求直线AC 的解析式；(2)点P 为直线AC 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，过点P 作PE AC ∥交x 轴于点E ，求PD AE +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）问PD AE +取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线AC 方向平移103个单位后得到新抛物线，点M 为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N ，使得以点P ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程．7．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A 和()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当5PD PE +的值最大时，求此时点P 的坐标和5PD PE +的最大值；(3)将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 9．已知抛物线1C ：22y ax ax c =-+经过点()2,3，与x 轴交于()1,0A -、B 两点．(1)求抛物线1C 的解析式；(2)如图1，已知()0,1E -，以A E C D 、、、为顶点作平行四边形，若C D 、两点都在抛物线上，求C D 、两点的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 沿x 轴平移，使其顶点在y 轴上，得到抛物线2C ，过定点()0,2H 的直线交抛物线2C 于M N 、两点，过M N 、的直线MR NR 、与抛物线2C 都只有唯一公共点，求证：R 点在定直线上运动． 10．如图1，抛物线223y x x =--+与x 轴相交于点A 、B （点B 在点A 左侧），与y 轴相交于点C ．(1)求点A 到直线BC 的距离；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，过点P 作PF y ∥轴交BC 于点F ，求PEF 周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y '，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点M ，N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2<0y ax bx c a =++与x 轴交于()()2,04,0A B -、两点，与y 轴交于点C ，且2OC OA =．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线()10y kx k =+>与y 轴交于点D ，与抛物线在第一象限交于点P ，与直线BC 交于点M ，连接CP ，CPM ∆的面积记为PCM S ∆，CDM ∆的面积记为CDMS，记CPMCDMS m S ∆∆=，试求m 的最大值及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，m 取最大值时，点Q 是x 轴上的一个动点，点N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q 、N ，使得以P D Q N 、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的N 点的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线()213022y x x n n =-->与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．(1)如图1，若5AB=，则n的值为______（直接写出结果）；(2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若:1:4AE ED=，求n．14．图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2y x bx c=-++经过()1,0A-，()3,0B两点．P是抛物线上一点，且在直线BC的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点E为OC中点，作PQ y∥轴交BC于点Q，若四边形CPQE为平行四边形，求点P的横坐标；(3)如图3，连结AC AP、，AP交BC于点M，作PH AC∥交BC于点H．记PHM，PMC△和CAM的面积分别为123,,S S S．判断1223S SS S+是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线2y x bx c=-++与x轴交于()10A-，、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且3OC OA=，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点F 为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E ，使得以点C 、D 、E 、F 为顶点的四边形是以CD 为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E 的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)213222y x x =--+(2)1.5(3)存在 (2,3)-(4)存在 ()115,0M - ()251,0M + ()31,0M - 43,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．(1)245y x x =--(2)()20，(3)()30，或()50-，或()7140+，或()7140-，3．(1)223y x x =-++ (2)13b -<<或214b >(3)(0,3)或(2,3)或(0,132)+4．(1)a ，c 的值分别为1-，3(2)①OD 的长为36t -+；①32- 5．(1)2144y x =-；132y x =-(2)见解析(3)存在，754Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 6．(1)443y x =+ (2)PD AE +的最大值为8140；此时点37,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)329,26⎛⎫ ⎪⎝⎭或335,26⎛⎫ ⎪⎝⎭或385,26⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)()0,5(2)点P 到直线AC 距离为2528，此时535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点M 的坐标为()3,8-或()7,16--或()3,16-8．(1)2712y x x =-++ (2)5PD PE +的最大值为9，此时点P 的坐标为57,22⎛⎫⎪⎝⎭(3)存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为21535,424N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或21535,424⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或1391,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1391,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或329,420N ⎛⎫⎪⎝⎭9．(1)223y x x =-++(2)(1,4),(2,3)C D 或(1,4),(2,5)C D --或(2,5)C -- ()1,4D10．(1)22(2)当点P 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，PEF 的周长有最大值，最大值为92944+(3)7544⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()355-+，或()355---，或()1,4M11．(1)该抛物线的解析式为2142y x x =-++；(2)m 的最大值为23，此时点P 的坐标为（2,4）； (3)N 点的坐标为732⎛⎫⎪⎝⎭，或()6-3，．12．(1)224233y x x =-++；(2)102133+ (3)点M 的坐标为()2,2或104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．13．(1)2(2)11(2，395),(82- 39)8）(3)278n =14．(1)223y x x =-++ (2)332± (3)存在；9815．(1)223y x x =-++ (2)存在，点E 的横坐标为：51456+或53。

2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊四边形问题）)三点．1．如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，32(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使P A+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A点和B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；(3)在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点P和Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．x+2经过点B，C．3．如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y=−12(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．①求△PBC面积最大值和此时m的值；②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′,BE′，求BE′+1AE′的最小值；3(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图像交x轴于点A(−1,0)，B(5,0)，交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M从点B出发，以每秒√2个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0<t<5）．当t为何值时，△BMN 的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右6．如图，已知抛物线y=ax2+32侧），与y轴交于C点．(1)A点的坐标是_____________；B点坐标是________________；(2)求直线BC的解析式；(3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；(4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 点坐标．7．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．(4)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C ＝5，抛物线y＝ax2﹣154的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，直接写出t的值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A、B，交y轴于点C，且OA=2OC=4OB．(1)求抛物线解析式；(2)如图，当D为抛物线上一点，横坐标为5 ，请求出△CBD的面积；(3)将抛物线沿射线AC方向平移√5个单位长度，若点F为新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点M，使以点B、C、F、M为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，﹣5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q 两点的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标；(3)若点F为平面内的一点，且以点B,E,C,F为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．12．如图，已知直线y＝4x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与3x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点C 是抛物线的顶点．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，PF⊥BC，垂足为F．(1)求点C的坐标；(2)当PE+PF取得最大值时，求点P的坐标和PE+PF的最大值；(3)当点P满足（2）问的条件时，把抛物线y=−x2+2x+3向右平移，使得新抛物线经过原点，M是新抛物线上一点，N是直线BC上一点，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．14．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A(−1,0)，C(0,−3)两点，对称轴为直线x=1，对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的点，当∠ACP=45°时，求点P的坐标；(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．15．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与直线y=x+m只有一个交点，求m的值；(3)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标；(4)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．16．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A(2，4)，抛物线y=ax2+bx+c经过O，A，C三点．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点G为OC上方的抛物线上一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；(3)点P为线段OC上一个动点（不与O，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，是否存在点P，使线段AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D(2,1)，抛物线的对称轴交直线BC于点E．(1)求抛物线y=−x2+bx+c的表达式；(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为ℎ(ℎ>0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；(3)M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1，与x轴交于点A，B(3,0)，与y轴交于点C，连接AC．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c+(a<0)与x轴分则点A和点B(1,0)，与y 轴交于点C，对称轴为直线x=−1，且OA=OC，P为抛物线上一动点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−2,0)，B(0,−4)，其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．参考答案：1．(1)y =−12x 2+x +32 (2)（1，1）(3)存在，(2,32)，(1−32)，(1，−32)2．(1)y =x 2−4x +3(2)MN =最大94(3)存在点P 和Q ，使得以点M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形；点Q 的坐标为(2，−3+√774)或(2，−3−√774)或(2，6+√774)或(2，6−√774)3．(1)y =−x 2+72x +2(2)①最大值为8，m ＝2；②存在，(4+√72,13−√74)或(4−√72,13+√74)4．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3；(2)√823； (3)存在，−1−√52，−1+√52，﹣1，25．(1)y =−x 2+4x +5(2)当t =52时，△BMN 的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为(−7,12)或(7,−2)或(1,4)或(2,3)6．(1)(−2,0)，(8,0)(2)直线BC 的解析式为y =−12x +4(3)存在点P ，使ΔPBC 的面积最大，最大面积是16，理由见详解(4)满足条件的点M 的坐标为(−8,0)，(4,0)，(50)，(50)7．(1)y ＝﹣12x 2+x +4 (2)存在，四边形ABFC 的面积最大为16，F （2，4）(3)P 点坐标为（3，1）或（2+√7，2﹣√7）或（2﹣√7，2+√7）(4)存在，P 点坐标为（1，√11）或（1，﹣√11）或（1，1）或（1，4+√19）或（1，4﹣√19）8．(1)y =38x 2−154x +6 (2)（11，4）(3)√62或或2359．(1)y =−12x 2−32x +2 (2)152 (3)(32，14)，(−12，74)，(12，1+√52)，(12，1−√52)10．(1)y =−12x 2+4x −5 (2)M （2，﹣1），y ＝2x ﹣5(3)P 、Q 的坐标分别为(6，1)或(2，1)、(4，﹣3)或(4，1)或(4，5)11．(1)2142y x x =--+(2)（0，4）(3)（-5，1）或（1，7）或（-3，-1）12．(1)y ＝﹣43x 2﹣83x +4(2)S 最大＝252，D （﹣32，5） (3)存在，Q （﹣2，198）13．(1)点C 的坐标为(1,4)(2)当t =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为1+√55．此时，点P 的坐标为(2,3)(3)M 的坐标为(37--，(37-+，(3+2√3,−9−4√3)，(39--+．14．(1)y =(x −1)2−4(2)P (4,5)(3)M (0,−3)或M (−2,5)或M (4,5)15．(1)抛物线解析式为y =−x 2+2x +3(2)m =134(3)1(2,3)Q ，Q 2(3−√172,−1+√172)，Q 3(3+√172,−1−√172) (4)正方形MNED 的边长为9√2或√216．(1)y =−34x 2+72x(2)G 点到直线OC 的最大距离为6√55，此时G （2，4）； (3)42(,)3317．(1)y =−x 2+4x −3(2)94 (3)存在；()12-，或(3+√172，√17−32)或(3−√172，−√17+32)或(3，0)18．(1)y =−x 2+2x +3(2)存在这样的点N （2，1）或(√5,−√5+3)或(52,12)，使得以A ，C ，N 为顶点的三角形是等腰三角形 (3)存在点F 的坐标为（4，1）或（-2，1）或(2,3+√172)或(2,3−√172)．19．(1)y =−x 2−2x +3(2)S 最大=758，P 点的坐标为(−32,154)(3)存在，P 1(−1,4)，N 1(0,4)；P 2(−5−√1456,√145−118)，N 2(1−√1456,0)；P 3(−5+√1456,−√145−118)，N 3(1+√1456,0)20．(1)2142y x x =-- (2)①(85,−365)；②(12,−5)。

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

初三数学期末复习专题提优《抛物线与特殊四边形》抛物线中的特殊四边形问题通常是在抛物线图像与性质的背景下，通过运算证明特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形)的判定条件，解法比较灵活，综合性较强，偏重于考查考生分析图形、以算代证、综合应用数学知识解决问题的能力。

学生要较熟练地应用待定系数法、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想和特殊四边形的性质和判定公理。

类型一 抛物线与平行四边形1。

如图,在平面直角坐标系中,抛物线24y ax bx =++与x 轴的一个交点为(－2，0),与y 轴的交点为C ，对称轴是直线3x =，对称轴与x 轴交于点B 。

(1）求抛物线的函数表达式;（2）经过,B C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴的交点为N ,当以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M 的坐标.2。

如图，经过点(0,4)C -的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于(2,0)A -,B 两点. (1)a 0， 24b ac - 0(填“〉”或 “<")； (2)若该抛物线关于直线2x =对称，求抛物线的函数表达式;(3)在（2)的条件下,连接,AC E 是抛物线上一动点,过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F .是否存在这样的点E ,使得以,,,A C E F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E 的坐标;若不存在，请说明理由。

3．如图,在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为(﹣4，0)．（1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2)点D的坐标为（0，4）,点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连接CD、CF,以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．4．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0）,C(0，）三点．（1)求抛物线的解析式;（2）在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C，M，N四点构成的四边形为平行四边形?若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．类型二 抛物线与矩形、菱形、正方形 5。