组合与组合数公式 课件

3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中

(ab) (ac) (ad)
(bc)
(bd) (cd)
C42= 6
排列
ab,ba
A
2 2
ac,ca
A
2 2
ad,da
A
2 2
bc,cb
A
2 2
bd,db
A
2 2
cd,dc
A
2 2
A A C 24A=24
= 12
2×
4
2 2
研一研： 组合
(abc) (abd) (acd) (bcd)
C43= 4
排列
用符号 Cnm表示
注意：
Cnm是一个数，应该把它与“组合”区分开来．
画一画：
3
写出从a,b,c,d 4个元素中任取 2 个元素的所有组合：
a bc d
bc d cd
ab ac ad bc bd bc abd
一a 定c 要d 数吗？
bcd
组合数：C34 4
研一研： 组合
高中数学 选修2-3
组合与组合数公式
比一比：
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名担负我班的班委， 其中1名同学担负班长，另1名同学担负学习委员，你能将所 有的排法列举出来吗？有多少种？
班长 学习委员
乙
甲
丙
乙
甲
丙
丙
甲
乙
相应的方案
甲 乙，甲 丙
乙 甲，乙 丙 A32 6
丙 甲，丙 乙
比一比：
问题一二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名担负我班的班委， 其中1：名同学担负班长，另1名同学担负学习委员，你能将所
(1)从4个景点中选出2个进行游览,有多少种不同的选
法?
组合

重复计算出错
【示例】 从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有多 少种？
错解：先保证各 1 台，再从剩下的电视机中任取 1 台，即 分三步．
第一步，从甲型电视机中取 1 台，有 C14种取法； 第二步，从乙型电视机中取 1 台，有 C15种取法； 第三步，从剩下的 7 台电视机中取 1 台，有 C17种取法．根 据分步乘法计数原理，共有 C14·C15·C17＝140 种取法．
8
(1)注意排列问题与组合问题的区别，关键看是否与元素的 顺序有关；
(2)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将 这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；
(3)分析题目条件，避免选取时重复和遗漏，用直接法分类 复杂时，可用间接法处理．
排列、组合的概念辨析
【例1】 判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数， 这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字 组成一个集合，这样的集合共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选2名学生，去完成同一件工 作有多少种不AA_mmnm____＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝_m_！___nn_！ －__m__！. 规定 Con＝_C_0n_＝__1___.
4．组合数的两个性质 (1)Cmn ＝_C__mn_＝__C_nn_－_m___；(2)Cmn＋1＝__C_nm_＋_1_＝__C_mn_＋__C_mn_－_1___.
(4)5个人相互通话一次，共通了多少次电话？ (5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？ 【解题探究】取出元素之后，在安排这些元素时，与顺序 有关则为排列问题，与顺序无关即为组合问题．

高中数学
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )