闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布 (4)
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dθ =
m sin 2 β
dβ
则 By=
−I μ o R 2 4п Iμ o 4r
∗
п
r3
∗
β 2 sin β dβ β1 m2
∗
п
3
r3
∗
1 m2
∗ (cosβ1 − cosβ2 )
=
∗(
L 2 L 2 y o + +R 2 2
yo +
+
Iμ 0 2r
L −y o 2
(y o − )2 +R 2
L 2
现计算对空间任一点 P(x0 , y0 , z0 )的磁感应强度。对于空 间 曲 线 上 一 电 流 元 （ x(t),y(t),z(t) ） , 其 方 向 矢 量
L
= x ′ t , y′ t , z′ t
，该微元到 P 点的距离
r= (x − x t )2 + (y − y(t))2 + (z − z(t))2 。 由 该 电 流 元 到 P 点 的 单 位 方 向 矢 量
2
+ z 0 −Rsin θ
2
3 2
∗ dθ
By =
Iμ o 4п
∗
−Rsin θ y o − x o −Rcos θ
2+
− (x o −Rcos θ )
rθ п 2
yo −
+ z 0 −Rsin θ
2
3 2
∗ dθ
①
螺线管内部中心直线上磁感应强度 令 x=0,y=yo ，z=0
Bz=0 ∗ (R 2 +r 2 )3/2 ,若有r0 ≫ R，则
0
对于①中结果By =
−I μ 0 R 2 2
1
By ≈ 二、空间任意闭合曲线周围磁感应强度的分布 x = x(t) 对于空间曲线 y = y(t) z = z(t) ,其中 0≤ t ≤ π
−Iμ0 R2 3 2r0
)
当L ② ③
∞时，By ≈
;
1 2r
若设单位长度内螺线管匝数为 n,则 n= ，故 By=Iμ0 n ! 注意到，当 r 0 时，（3#）式转化为（1#）式，这与经验是一致的。 同样道理，我们可以求出螺线管无穷远处的磁感应强度，这里略去。
总结：通过以上分析，我们获得了一些关于闭合载流导线周围磁感应强度分布的有关知识。从求解的过程 中不难发现，获得的结果往往很复杂、无解析解的。在这里针对某些特殊情况进行了合理分析和简化。 参考书目： ① 《电磁学》 （第三版）---------赵凯华、陈熙谋
∗ dθ ∗ dθ
∗
п L 2r п L − 2r
−R ∗sin θ y o −
+R ∗ cos θ
下面我们将详细计算By
dθ
By=
−I μ o R 2 4п
∗
п L 2r п L − 2r
dθ
3 rθ (R 2 +(y o − )2 )2 п
=
−I μ o R 2 4п
∗
п
3
r3
∗
п L 2r п L − 2r
2π
xcosθ + zsinθ − R ∗ 1 +
0
3R xcosθ + zsinθ R2 0
dθ =
Iμ0 R2 (3x 2 + 3z 2 − 2R2 0) 4R5 0
IRμ0 y 2π −3Iμ0 R2 yz −2 −2 2 sin θ + 3RR sin θ + 3RR sin θ cos θ = 0 0 4 πR 3 4R5 0 0 0 同样，若令 x=0,z=0,y=r0 ,，则 BZ = − Bx=0; By=
R 2п r2
2
+ θ−
п yo r
3 2 2
令m2 = By=
R2п r2
2
,n =
п L 2r п L − 2r
п yo r
,则 ，令m2 + (θ − n)2 = =
−I μ o R 2 4п m2
−I μ o R 2 4п
∗
dθ
3 (m 2 +(θ−n)2 )2 3
sin 2 β
θ − n = mcotβ
п
其中，
−п L 2r
≤θ ≤
п θ 2r
z = Rsinθ 则 x ′ θ = −Rsinθ ；y ′ θ =
r п
; z ′ θ = Rcosθ
将上述结果代入（2#）式中，得
Bx =
Iμ o 4п
∗
п L 2r п L − 2r п L 2r п L − 2r п L 2r п L − 2r
r п
1 r3
2 2 2 x0 + y0 + z0 ≫
2 2 2 = R2 0 +x t +y t +z t −2∗ x∗x t +y∗y t +z∗z t 3 ≈ R− 0 ∗ (1 +
3 ∗ (x ∗ x t + y ∗ y t + z ∗ z(t))) R2 O
将上式代入（2#）式中便可计算任意空间闭合曲线无穷远处的磁感应强度。 三、 现由（二）中结果直接计算有限长螺线管在空间任意一点的磁感应强度。 设螺线管长度为 L，线圈半径 R。导线半径 r,如右图所示，易知螺线管方程 x = Rcosθ rθ y=
1
i
j
k
则
Bx = （2#）
2π y ′ t z 0 −z t 4π 0 I μ 0 2π z ′ t x 0 −x By = 4 π 0 I μ 0 2π x ′ y −y t BY = 4π 0
dt
dt
x 2 t + y 2 t + z 2 (t)
−
3 2
对于无穷远处 P（x0 , y0 , z0 ）,则 R 0 = 故
2
+ y 2 + Rsinθ − z 2 .
er
源点到场点的单位方向矢量 由 = =
μo 4п Iμ o 4п
= ∗ (x − Rcosθ, 0, z − Rsinθ)
r
1
B
∗ ∗
1
Id ×
L
er
r2
el
得
×
er
B
r2
∗ dL
i j k 1
其中
el
× =r∗
er
−sinθ x − Rcosθ 故
0 y
闭合载流导线周围磁感应强度的空间分布
孟雨
孟雨 物理工程学院 11 级物理学类三班 Email: 1240123245@
摘要：文章主要采用毕奥萨伐尔定律，通过对闭合载流圆线圈周围磁感应强度分布的求解， 得到了求解该同类问题的方法。 并采用类似方法， 求解了任意闭合载流导线周围磁感应强度 的空间分布，运用此结果又计算了有限长螺线管周围任一点的磁感应强度。 一、闭合圆线圈周围磁感应强度 右图为空间中一闭合圆线圈，半径为 R。不妨假设载流线圈中的电流 I 沿顺时针方向，易 知曲线方程： x 2 + y 2 = R2 y=0 现计算该载流回路 在 空 间 任 一 点 P(x0 , y0 , z0 )处产生的磁 感应强度。在载流回路 上任一微元，其与 x 轴 正方向夹角为θ ，如上图所示。其位置坐标（ Rcosθ ,0,Rsinθ ） 。则 P 点到该微元的距离 r= Rcosθ − x
Iμ o 4п
∗
п L 2r п L − 2r
−R ∗ sin θ−Rcos θ (y o − )
п п
r
rθ
(R 2 +(y o − )2 )2
п п L 2r п L − 2r
rθ
3
∗ dθ
By = Bz =
Iμ o 4п
Iμo 4п
∗
−R 2 (R 2 +(y o − )2 )2
п rθ п r п 3 rθ (R 2 +(y o − )2 )2 п rθ 3
er
= r (x0 − x t , y0 − y t , z0 − z(t)) ∆= x ′ (t)2 + y ′ (t)2 + z ′ (t)2 ， 则 沿 电 流 元 方 向 的 单 位 矢 量
1
现 定 义
1 eL ∆
= (x ′ t , y ′ t , z ′ (t)),又 dL= x ′ (t)2 + y ′ (t)2 + z ′ (t)2 dt=∆dt，故 = μ0 4π Id
0 0
R2
2R
−3/2
3 ≈R− 0 (1 + R 2 (xcosθ + zsinθ))
0
3R
则式（1#）即 −IRμ0 y 4 πR 3 0
2π 0 2 −2 2 cosθ + 3RR− 0 xcos θ + 3RR 0 zsinθcosθ dθ =
BX = BY = IRμ0 4 πR 3 0
−3Iμ0 R2 xy 4R5 0
z o −Rsin θ −Rcos θ y o −
rθ п 2
rθ п 2 3 2
∗ dθ
x o −Rcos θ 2 + y o −
+ z 0 −Rsin θ
o (3#) By = 4п ∗
Iμ
R x o cos θ +z o sin θ −R 2 x o −Rcos θ
2+
yo −
rθ п
rθ п r п
② 无穷远处的磁感应强度分布 对于无穷远处某点 P(x0 , y0 , zo ),则有 R 0 = 故
