高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第1课时等差数列的前n项和2 23

高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。

答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。

2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。

3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。

答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。

4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。

答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。

5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。

答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。

二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。

答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。

上海市2020年〖苏科版〗高三数学复习试卷等差数列及其前n 项和创作人：百里第次 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂进行创作单位： 明德智语学校n为其前n S ，2＝－d 公差，为等差数列}n a {)江西高考·(．1)(＝1a 则，11S ＝10S 若．项和A ．18B ．20C ．22D ．24，8＝5a 已知，n S 项和为n 的前}n a {列等差数)广州调研·(．2)(的值是7S －10S 则，6＝3SA ．24B ．48C ．60D ．72则，4＝6a ＋5a ，中}n a {列等差数)东北三校联考·(．3)(＝)10a ·2…·2a ·21a 2(2logA ．10B ．2052log ＋2．40D ．C2na －2n ＋1a ，>0n a ，1＝1a ：满足}n a {列已知数)海淀期末·(．4)(的最大值为n 成立的5<n a 那么使，)*N ∈n (1＝A ．4B ．5C ．24D ．25若，<011S ，>010S 并且，n S 项和为n 的前}n a {列已知等差数．5)(的值为k 则正整数，恒成立*N ∈n 对k S ≤n SA ．5B ．6C ．4D ．7∈n (n a －1＋n a ＝n b 为等差数列且}n b {，3为的首项}n a {列数．6)(＝8a 则，12＝10b ，2＝－3b 若．)*NA ．0B ．3C ．8D ．112a ＝3a ，1＝1a 满足}n a {列已知递增的等差数)广东高考·(．7________.＝n a 则，4－，4＝5a －7a ，项和n 为其前n S ，为等差数列}n a {列已知数．8________.＝k 则，9＝k S ，21＝11a若对任意，n T ，n S 项和分别为n 的前}n b {，}n a {列设等差数．9．________为的值a3b8＋b4＋a9b5＋b7则，2n －34n －3＝Sn Tn 都有n 自然数 3.＝－3a ，1＝1a ，中}n a {列已知等差数)福建高考·(．10；的通项公式}n a {列求数)1(．的值k 求，35＝－k S 项和k 的前}n a {列若数)2(，n a －1＝n T ，n T 项积为n 的前}n a {列设数．11；是等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Tn 证明)1(.n S 项和n 的前⎩⎨⎧⎭⎬⎫an Tn 求数列)2(10S ，项和n 是它的前n S ，31＝1a ，中}n a {列已知在等差数．12.22S ＝；n S 求)1((2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．前则该数列，24＝)13a ＋10a ＋7a (2＋)5a ＋3a (3，等差数列中．113项的和是( )A ．156B ．52C ．26D ．13项01前若此数列的，<011a ·10a ，>01a ，中}n a {列在等差数．2的值18T 项和81前的}|n a {|列则数，12＝18S 项和81前，36＝10S 和是( )A ．24B ．48C ．60D ．84．)*N ∈n (3－n 4＝n a ＋1＋n a 满足}n a {列数．3；求其通项公式，是等差数列}n a {若)1(.1＋n 2S 求，项和n 的前}n a {为n S ，2＝1a 满足}n a {若)2([答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________ B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________A 级1．B2.B3.B4.C即，<011a ＋1a 并且，<0d ，>01a 知0<11S ，>010S 由A 选．5项5第，项都为正数5前即数列的，>05a 所以，>06a ＋5a 又，<06a 5.＝k 则，最大5S 所以，之后的都为负数，2－＝3b 是等差数列，且}n b {为因B 选．6，21＝10b，6－＝1b 于是.2＝错误!＝d 故公差，)*N ∈n (8－n 2＝n b 且8.－n 2＝n a －1＋n a 即＋)6－(＋1a ＝…＝6＋4＋2＋5a ＝6＋4＋6a ＝6＋7a ＝8a 所以(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.＝d 2＋1得，4－2a ＝3a 由∵，d 解析：设等差数列公差为．7，4＝2d ，解得4－2)d ＋1(即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.1.－n 2＝2×)1－n (＋1＝n a ∴答案：2n －1＝02－12＝d 10－11a ＝1a 2.＝d ，则4＝d 2＝5a －7a 解析：．81，，*N ∈k 又.9＝2k ＝2×错误!＋k ＝k S故k ＝3. 答案：3为等差数列，}n b {，}n a {∵解析：．9 .a6b6＝a9＋a32b6＝a32b6＋a92b6＝a3b8＋b4＋a9b5＋b7∴，1941＝2×11－34×11－3＝2a62b6＝a1＋a11b1＋b11＝S11T11∵.1941＝a6b6∴1941：答案，d 的公差为}n a {列设等差数)1(解：．10.d )1－n (＋1a ＝n a 则，3－＝d 2＋1得，可3－＝3a ，1＝1a 由解得d ＝－2..n 2－3＝)2－(×)1－n (＋1＝n a 从而，n 2－3＝n a 可知)1(由)2(.2n －n 2＝错误!＝n S 所以，53－＝2k －k 2得，可53－＝k S 由5.－＝k 或7＝k ，解得0＝53－k 2－2k 即7.＝k ，故*N ∈k 又得，n a －1＝n T 证明：由)1(解：．11，TnTn －1－1＝n T 时，2≥n 当1.＝1Tn －1－1Tn 得n T 两边同除以，1a ＝1a －1＝1T ∵ 2.＝1a1＝1T1，12＝1a 故．的等差数列1为，公差2为是首项⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Tn ∴，1n ＋1＝n T ，则1＋n ＝1Tn 知)1(由)2(.n ＝anTn 故.n n ＋1＝n T －1＝n a 从而．的等差数列1为，公差1为是首项⎩⎨⎧⎭⎬⎫an Tn 数列∴.错误!＝n S ∴，10a ＋…＋2a ＋1a ＝10S ∵)1(解：．12，22S ＝10S ，又22a ＋…＋2a ＋1a ＝22S，0＝22a ＋…＋12a ＋11a ∴0.＝d 31＋1a 2＝22a ＋11a ，故0＝错误!即，2－＝d ∴，13＝1a ∵又.2n －n 32＝)1－n (n －n 31＝d 错误!＋1a n ＝n S ∴，2n －n 32＝n S 知)1(由：法一)2(256.是的最大值n S 有最大值，n S 时，61＝n 故当有最大值，n S ，欲使)n －23(n ＝2n －n 32＝n S 由：法二，625＝2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 2≤n S ，从而2<3n 1<有应56.2值有最大n S 时，61＝n ，即n －23＝n 当且仅当B 级，10a 3＝13a ＋10a ＋7a ，4a 2＝5a ＋3a ∵C 选．14.＝10a ＋4a 故，24＝)10a ＋4a (6∴26.＝错误!＝错误!＝31S ∴1a ＝18T 故，<011a ，>010a ，<0d 可知0<11a ·10a ，>01a 由C 选．260.＝)10S －18S (－10S ＝18a －…－11a －10a ＋…＋ ①，3－n 4＝n a ＋1＋n a 由题意得)1(解：．3②，1＋n 4＝1＋n a ＋2＋n a ，4＝n a －2＋n a 得①－②2.＝d ∴，d 是等差数列，设公差为}n a {∵，1＝d ＋1a ＋1a ∴，1＝2a ＋1a ∵，12＝－1a ∴.52－n 2＝n a ∴1.－＝2a ∴，1＝2a ＋1a ，2＝1a ∵)2(数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，∴，4＝n a －2＋n a ∵又公差均为4，，5－n 4＝n 2a ，2－n 4＝1－n 2a ∴＋2×)1＋n (＝)n 2a ＋…＋4a ＋2a (＋)1＋n 2a ＋…＋3a ＋1a (＝1＋n 2S 2.＋n ＋2n4＝4×错误!＋)1－(×n ＋4×错误!创作人：百里第次 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂进行创作单位： 明德智语学校。

高考模拟复习试卷试题模拟卷第02节 等差数列及其前n 项和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【高三第一次五校联考】在等差数列{}n a 中，53a =，62a =-，则348a a a ++等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C. 【解析】试题分析：∵等差数列{}n a ，∴3847561a a a a a a +=+=+=，∴3483a a a ++=.2．【沈阳市东北育才学校高三八模】等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a a a⋅= （ ）A.10B.20C.40D.22log 5+ 【答案】B3． 【龙岩市一中高三下学期考前模拟】数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ）A ．212B ．21C ．42D ．84 【答案】B 【解析】试题分析：根据等差数列的求和公式，可知22010()102a a +=，即2202a a +=，所以数列{}n a 前21 项的和为1212121()212a a S +==，故答案为B ．4．【东北师大附中高三第四次模拟】各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（ ）（A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72【答案】D5．【改编题】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则=-nnn S S S 32（ ） A. 30 B. 3 C. 300 D. 31 【答案】D【解析】因为)(2)(231212n n n n n a a na a n S S +=+=-+，)(23313n n a a n S +=，所以3132=-n n nS S S . 6．【改编题】已知n S 是公差d 不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，且83S S =，k S S =7（7≠k ），则k 的值为（ ）A. 3B.4C.5D.6 【答案】B7．【金华十校高三下学期4月联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足19200,0S S ><，则使n S 取得最大项的n 为A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】C8．【西安市高新一中高三5月模考】已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+A ．12+B ．12-C ．322+D ．322-【答案】C9．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A【解析】设该设备第()n n N*∈的营运费用为na 万元，则数列{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列，则2n a n =，则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+，设第()n n N *∈的盈利总额为n S 万元，则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-()2516n =--+，因此，当5n =时，n S 取最大值16，故选B.10．【原创题】已知等差数列}{n a 中，59914,90a a S +==, 则12a 的值是（ ） A ． 15 B ．12-C ．32-D ．32【答案】B11．【原创题】已知等差数列765)1()1()1(53}{x x x n a a n n +++++-=，则，的展开式中4x 项的系数是数列}{n a 中的 （ ）A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项 【答案】D ．【解析】由二项式定理得567(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中4x 项的系数为44456776551555123C C C ⨯⨯++=++=⨯⨯，由3555n -=，得20n =，故选D ．12．【太原市五中高三5月月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,*N n S a a n n ∈+==+12111，在等差数列{}n b 中，52=b ，且公差2=d ．使得n b a b a b a n n 602211>+++ 成立的最小正整数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【北京市第四中学高三上学期期中考试】已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b == 【答案】2,014．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．（1） 试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个； （2） 如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有_____层．【答案】(1)()61n -；(2)8.15．【盐城市高三第三次模拟考试】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为． 【答案】2316．【宁波市镇海中学高三5月模考】已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122432,1,,2,a b a b a b ====且存在常数,αβ，使得log n n a b αβ=+对每一个正整数n 都成立，则βα=．【答案】4．三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【惠州市高三第一次调研考试】已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值． 【答案】（Ⅰ）2n a n =;（Ⅱ）2k =18．【宁夏银川一中高三上学期第一次月考】等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ； （2）求nS S S 11121+++ ． 【答案】（1）n n a n 3)1(33=-+=,13-=n n b （2）23(1)n nS n =+【解析】试题分析：（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212bS +=可解得3,q =由11b =则n b 可求，又由22S q b = 可得3,6,91222=-===a a d a S 则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=则12211()3(1)31)n S n n n n ==-++，故由裂项相消法可求n S S S 11121+++19．【武汉华中师大附中高三5月联考】已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使得对任意*n N ∈，总有n m S T λ<+成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）295,22n n n n a n S =-=-；（2）29(,)2-+∞． 试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，且27126a a a ++=-，所以736a =-， 即72a =-，又因为公差1d =-，所以7(7)275n a a n d n n =+-=--+=-，21()(45)92222n n n a a n n n n S ++-===-；（2）由（1）知{}n a 的前4项为4，3，2，1，所以等比数列{}n b 的前3项为4，2，1，114()2n n b -∴=⋅，114(5)()2n n n a b n -∴=-⋅，02111114[4()3()(6)()(5)()]2222n n n T n n --∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅21111114[4()3()(6)()(5)()]22222n n n T n n -∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅， 21111114[4[()()()]4(5)()22222n nn T n -∴=-+++--⋅1112[1()]112164(5)()12(26)()12212n n n n n ---=---⋅=+-⋅-1124(412)()2n n T n -∴=+-⋅，11214124(1)12204222n n n n n n n nT T --------∴-=-=，12345T T T T T ∴<<<=，且56T T >>，所以*n N ∈时，max 4549()2n T T T ===， 又因为2922n n n S =-，所以*n N ∈时，max 45()10n S S S ===， 因为存在*m N ∈，使得对任意*n N ∈，总有n m S T λ<+成立， 所以max max ()()n m S T λ<+，所以49102λ<+， 所以实数λ的取值范围为29(,)2-+∞. 20．【盐城市高三第三次模拟考试】设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++．（1）求2a （用,p q 表示）； （2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式．【答案】（1）22a p q =-；（2）证明见解析；（3）1n a n =+．（3）由（2）120n n n a pa qa --++=，因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，然后排出数列为常数列的情况，再结合数列的前两项即可得数列{}n a的通项公式．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷四、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m=（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18（C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（3） 若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12(k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图， 若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn （11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 【热点题型】题型一 分组转化法求和例1、已知数列{an}的通项公式是an ＝2·3n －1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n 项和Sn. 【提分秘籍】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【举一反三】(1)数列{an}中，an ＋1＋(－1)nan ＝2n －1，则数列{a n}前12项和等于( ) A ．76B ．78C ．80D ．82(2)已知数列{an}的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，则数列{an}的通项公式an ＝________，其前n 项和Sn ＝________.题型二错位相减法求和例2、已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝(4－an)qn －1(q≠0，n ∈N*)，求数列{bn}的前n 项和Sn. 【提分秘籍】(1)错位相减法是求解由等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an}，即an ＝bn×cn 的前n 项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围． 【举一反三】已知首项为12的等比数列{an}是递减数列，其前n 项和为Sn ，且S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝an·log2an ，数列{bn}的前n 项和为Tn ，求满足不等式Tn ＋2n ＋2≥116的最大n 值．题型三裂项相消法求和例3 、已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14nanan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.【提分秘籍】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．【举一反三】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n 项和Sn 满足S2n ＝an ⎝⎛⎭⎫Sn －12. (1)求Sn 的表达式；(2)设bn ＝Sn2n ＋1，求{bn}的前n 项和Tn.【高考风向标】【高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .83241=⋅=⋅a a a a 1112--==n n n q a a .1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-【高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【高考重庆，文16】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式，(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T .1．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足 anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0. (1)令cn ＝anbn ，求数列{cn}的通项公式； (2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn.2．（·全国卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；(2)设bn ＝1anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.3．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn ，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝(－1)n －14n anan ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn.【高考押题】1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和Sn 的值等于( ) A ．n2＋1－12n B ．2n2－n ＋1－12n C ．n2＋1－12n －1D ．n2－n ＋1－12n2．已知函数f(n)＝n2cosnπ，且an ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( ) A ．0B ．－100C ．100D ．102003．数列a1＋2，…，ak ＋2k ，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak ＋…＋a10的值为( )A ．31B ．120C ．130D ．1854．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－6n ，则{|an|}的前n 项和Tn 等于( ) A ．6n －n2B ．n2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n21≤n≤3，n2－6n ＋18n>3 D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n21≤n≤3，n2－6nn>35．数列an ＝1n n ＋1，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．96．数列{an}满足an ＋an ＋1＝12(n ∈N*)，且a1＝1，Sn 是数列{an}的前n 项和，则S21＝________. 7．已知数列{an}满足an ＋an ＋1＝－1n ＋12(n ∈N*)，a1＝－12，Sn 是数列{an}的前n 项和，则S ＝________.8．设f(x)＝4x 4x ＋2，若S ＝f(1)＋f(2)＋…＋f()，则S ＝________.9．已知数列{an}是首项为a1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设bn ＋2＝143log na (n ∈N*)，数列{cn}满足cn ＝an·bn.(1)求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{cn}的前n 项和Sn.10．正项数列{an}的前n 项和S n 满足：S2n －(n2＋n －1)Sn －(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an ； (2)令bn ＝n ＋1n ＋22a2n，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn<564.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

第一课时 等差数列的前n 项和公式及相关性质课标要求素养要求1.探索并掌握等差数列的前n 项和公式.2.理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系.在探索等差数列的前n 项和公式及相关性质的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.问题 文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？ 提示 9＋2×9＋3×9＋…＋8×9＋9×9＝405(块).1.等差数列的前n 项和公式求S n 的条件：已知n ，a 1，a n 或n ，a 1，d (1)等差数列的前n 项和公式已知量 首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2S n ＝na 1＋n （n －1）d2(2)两个公式的关系：把a n ＝a 1＋(n －1)d 代入S n ＝1n 2中，就可以得到S n ＝na 1＋n （n －1）2d .2.等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(4)若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n(S 奇≠0).(5)若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1(a n ＋1是数列的中间项)，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1(S 奇≠0).拓展深化[微判断]1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 与a n 不可能相等.(×) 提示 当a n ＝0时，S n ＝a n .2.等差数列{a n }的前n 项和S n 是关于n 的二次函数.(×) 提示 当公差d ＝0时，S n ＝na 1不是关于n 的二次函数.3.等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n （a m ＋a n ＋1－m ）2.(√)[微训练]1.等差数列{a n }中a 1＝2，a 2＝3，则其前10项的和S 10＝________. 解析 由a 1＝2，a 2＝3得d ＝1，故S 10＝10a 1＋12×10×9d ＝10×2＋45＝65.答案 652.等差数列{a n }中，若a 1＝－1，S 25＝30，则公差d ＝________. 解析 由S 25＝－25＋12×24×25×d ＝30，解得d ＝1160.答案11603.数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是________. 解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 答案 －1 [微思考]1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？提示 不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ， 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)，∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1）2.2.能否用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？ 提示 由上节课学到的性质：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]；S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]. 两式相加，得2S n ＝(a 1＋a n )·n ，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2.根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ， 代入上式可得S n ＝na 1＋n （n －1）2d .题型一 等差数列前n 项和公式的基本运算 【例1】 在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10； (2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n . 解 (1)法一 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4.∴S 10＝10a 1＋10×（10－1）2d ＝10×3＋10×92×4＝210.法二 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝（a 1＋a 10）＋4d ＝58，a 4＋a 9＝（a 1＋a 10）＋2d ＝50，∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5×42＝210.(2)S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝42，∴a 4＝6.∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （a 4＋a n －3）2＝n （6＋45）2＝510.∴n ＝20.规律方法 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值.(2)利用等差数列的性质解题.【训练1】 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和.若a 1＝－2 018，S 6－2S 3＝18，则S 2 020＝( ) A.－2 018 B.2 018 C.2 019D.2 020(2)(多选题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，当首项a 1和公差d 变化时，若a 1＋a 8＋a 15是定值，则下列各项中为定值的是( ) A.a 7 B.a 8 C.S 15D.S 16解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＝－2 018，S 6－2S 3＝18，∴6a 1＋6×52·d －6a 1－2×3×22·d ＝18，整理可得9d ＝18，解得d ＝2.则S 2 020＝2 020×(－2 018)＋2 020×2 0192×2＝2 020.故选D.(2)由a 1＋a 15＝2a 8，故a 1＋a 8＋a 15是定值可得a 8是定值，S 15＝12×15×(a 1＋a 15)＝15a 8，故S 15为定值，故选BC. 答案 (1)D (2)BC题型二 等差数列前n 项和性质的应用【例2】 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值.解 (1)法一 在等差数列中， ∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， ∴30，70，S 3m －100成等差数列. ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. 法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.(2)a 5b 5＝12（a 1＋a 9）12（b 1＋b 9）＝9（a 1＋a 9）29（b 1＋b 9）2＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512. 规律方法 等差数列前n 项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解.(2)待定系数法：利用当公差d ≠0时S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S nn 是关于n 的一次函数，设S n n＝an ＋b (a ≠0)进行计算. (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解.【训练2】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18等于( ) A.36 B.18 C.72D.9(2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和S n ′，如果S n S n ′＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，则a 11b 11的值是( ) A.74B.32C.43D.7871解析 (1)由S 3，S 6－S 3，…，S 18－S 15成等差数列知，S 18＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋…＋(S 18－S 15)＝6×（－6＋18）2＝36.(2)由等差数列前n 项和的性质，得 a 11b 11＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝212（a 1＋a 21）212（b 1＋b 21）＝S 21S 21′＝7×21＋14×21＋27＝43. 答案 (1)A (2)C题型三 求数列{|a n |}的前n 项和【例3】 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n （n －1）2d ＝13n ＋n （n －1）2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×（13＋1）×42－(15n －2n 2)＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，n ∈N *，2n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N *. 规律方法 已知{a n }为等差数列，求数列{|a n |}的前n 项和的步骤 第一步，解不等式a n ≥0(或a n ≤0)寻找{a n }的正负项分界点.第二步，求和：①若a n 各项均为正数(或均为负数)，则{|a n |}各项的和等于{a n }的各项的和(或其相反数)；②若a 1＞0，d ＜0(或a 1＜0，d ＞0)，这时数列{a n }只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加.【训练3】 已知等差数列{a n }中，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *). 由a n ≥0，解得n ≤512，则①当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n . ②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5且n ∈N *，n 2－10n ＋50，n ≥6且n ∈N *.一、素养落地1.通过学习等差数列前n 项和公式的推导过程及性质，提升逻辑推理和数学运算素养.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p . 3.求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到{a n }的正负项的分界点. 二、素养训练1.在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A.12 B.24 C.36D.48解析 S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24. 答案 B2.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A.1 B.2 C.4D.8解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋15d ＝48，解得d ＝4. 答案 C3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( )A.1B.－1C.2D.12解析 由于S 2n －1＝(2n －1)a n ，则S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1.答案 A4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析 因为 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，故2(S 8－S 4)＝S 4＋S 12－S 8，即2×4＝2＋S 12－6，得S 12＝12. 答案 125.已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)由S n ＝n ·32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·n （n －1）2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去). (2)由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1－512）2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ，解之得d ＝－171.基础达标一、选择题1.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项和S 10＝( ) A.138 B.135 C.95D.23解析 由a 2＋a 4＝2a 3＝4得a 3＝2，由a 3＋a 5＝2a 4＝10得a 4＝5，故公差d ＝3，所以a 1＝－4，则S 10＝10×(－4)＋12×10×9×3＝95.答案 C2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则数列{a n }的公差d 等于( ) A.2 B.3 C.6D.7解析 由S 2＝a 1＋a 2＝4及S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝20，得a 3＋a 4＝16，故(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)＝4d ，即4d ＝12，d ＝3. 答案 B3.等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( ) A.160B.180C.200D.220解析 由a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝－24得a 2＝－8，由a 18＋a 19＋a 20＝3a 19＝78得a 19＝26，S 20＝12×20×(a 1＋a 20)＝10(a 2＋a 19)＝10×18＝180. 答案 B4.等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，∴4(a 1＋a n )＝280，∴a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n2·70＝210，∴n ＝6. 答案 B5.在公差不为零的等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，则正整数k 为( ) A.2 017 B.2 018 C.2 019D.2 020解析 因为公差不为零的等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性质及S 2 011＝S 2 016，S k ＝S 2 008，可得2 011＋2 0162＝2 008＋k2，解得k ＝2 019.答案 C 二、填空题6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由6S 5－5S 3＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案 137.《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算).解析 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{a n }，其中a 1＝5，S 30＝390，设其公差为d ，则S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺.答案16298.等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 5b 5＝________.解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92（a 1＋a 9）92（b 1＋b 9）＝S 9T 9＝1828＝914.答案914三、解答题9.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 解 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.10.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解 法一 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10（10－1）2d ＝100，100a 1＋100（100－1）2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.∴S 110＝110a 1＋110（110－1）2d＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝－110.法二 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110. 能力提升11.已知等差数列{a n }的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7∶6，则中间项为________.解析 因为n 为奇数，所以S 奇S 偶＝n ＋1n －1＝76，解得n ＝13，所以S 13＝13a 7＝377，所以a 7＝29.故中间项为29.答案 2912.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32（n －1）2＋2052（n －1）＝－3n ＋104.∵n ＝1也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *).由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤3423.即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.(1)当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝S n ＝－32n 2＋2052n ；(2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×342＋2052×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n＝32n 2－2052n ＋3 502.故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.创新猜想13.(多选题)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，下列选项中可能是S n 的图象的是( )解析 因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)，则其对应函数为y ＝ax 2＋bx .当a ＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C ；当a ≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A ，B ；选项D 中的曲线不过原点，不符合题意.答案 ABC14.(多空题)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________，a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝________. 解析 令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1). 与已知式相减，得a n ＝n 2＋3n －(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2.∴a n ＝4(n ＋1)2.又∵n ＝1时，a 1满足上式，∴a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *).∴a nn ＋1＝4n ＋4，∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n （8＋4n ＋4）2＝2n 2＋6n . 答案 4(n ＋1)2 2n 2＋6n。

2023高考数学复习专项训练《等差数列》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且(S8−S5)(S8−S4)<0，则必有()A. |a6|>|a7|B. |a6|<|a7|C. a6<0D. a6>02.（5分）等差数列{an}中，a1=5，前11项和的平均数为55，则a11=（）A. 15B. 60C. 100D. 105为{a n}的“优值”，现已知某数列的3.（5分）对于数列{a n}，定义H n=a1+2a2+...+2n−1a nn=()“优值”H n=2n，记数列{a n}的前n项和为S n，则S20192019A. 2022B. 1011C.2020D. 10104.（5分）等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为()A. 32B. 64C. 108D. 1285.（5分）在等差数列{an}中，a1＞0且a5=2a10，Sn表示{an}的前n项的和，则Sn中最大的值是（）A. S14B. S15C. S13或S14D. S14或S15(a2+a13)=4，则该数列的前14项的和S14=( 6.（5分）已知{a n}是等差数列，log2)A. 52B. 104C. 56D. 1127.（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=8−a6，则S9等于()A. 24B. 36C. 48D. 728.（5分）在等差数列{an}中，2a9=a12+6，则a6=（）A. 6B. 8C. 10D. 39.（5分）已知{an}为等差数列，且有a2+a3+a10+a11=40，则a6+a7=（）A. 28B. 24C. 20D. 1610.（5分）数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a2=-27，a9=1，若对任意n∈N*，都有Sn≥Sk成立，则k的值等于（）A. 7B. 8C. 9D. 1011.（5分）已知数列{a n}为等差数列，若a2+a5=10，则a1+a6的值等于()A. 5B. 10C. 20D. 4012.（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=12，S5=90，则等差数列{a n}的公差d=()A. 2B. 32C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）在等差数列{a n}中，a4=7，a2+a8=18，则公差d=______．14.（5分）已知数列{an}为等差数列，若a1+a3+a13+a15=120，则a8=____．15.（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=n，S n为其前n项和，则数列{a n+1S n S n+1}的前n项和为______________.16.（5分）在等差数列1，4，7，…中，6019是它的第____项．17.（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=3，S4=16，则数列{a n}的公差d=__________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5=84，a9=73.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N∗，将数列{a n}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m.19.（12分）[2021清华附中模拟]已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=na n+n(n−1),__________.指出S1，S2，…，S n中哪一项最大，并说明理由.从①S12>0,S13< 0,②a2+a6=10这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答.20.（12分）已知等差数列{a n}满足a3=2，前4项和S4=7.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2=a3，b4=a15，数列{b n}的通项公式．21.（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且S n+1=2+2S n(n⩾1)，{b n}是公差不为0的等差数列，且b1，b2，b4成等比数列，a2，b10，a4成等差数列.(Ⅰ)求{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅰ)若cn=(−1)n+12n+1(b n+1)log2a n，求{c n}的前2n项和T2n.22.（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}，满足a1+a3+a5=12.，且a1，a5，a17成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n +1a n−1+⋯+1a2n−1，证明：12⩽b n<1．23.（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=11，S4=60．(Ⅰ)求S n的表达式；(Ⅱ)求数列{1S n+n−1}的前n项和T n．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1>0，S10=S20，则()A. d<0B. a16<0C. S n⩽S15D. 当且仅当S n<0时n⩾3225.（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，a7=13，S3，S17−S16，S k成等比数列，则()A. k=11B. a n=2n−1C. S n=n2D. 1a1a2+1a2a3+…+1a10a11=202126.（5分）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6<S7,S7>S8，下列结论中正确的有()A. d<0B. S9>S6C. a1是数列{a n}中的最大项D. S7是数列{S n}中的最大项27.（5分）已知首项为正数的数列{a n}为等差数列，前n项和为S n，且(a5+a6+a7+a8+a9)(a6+a7+a8+a9)<0，则A. S7>S8B. S6>S8C. S13>0D. S14>028.（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d.已知a3=12，S12>0，a7<0，则()A. a6>0B. −247<d<−3C. S n<0时，n的最小值为12D. 数列{S na n}中最小项为第7项答案和解析1.【答案】A;【解析】此题主要考查等差数列的性质属于基础题.解：S8−S5=a6+a7+a8=3a7，S8−S4=a5+a6+a7+a8=2(a6+a7)，则3a7.2(a6+a7)<0，当a7>0时，a6+a7<0，当a7<0时，a6+a7>0，故可得|a6|>|a7|.故选A.2.【答案】D;【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=5，前11项和的平均数为55，∴11，a11解得a11=105．故选：D．3.【答案】B;【解析】此题主要考查数列的递推关系、数列通项公式的求解以及等差数列求和，属于中档题. 由{a n}的“优值”的定义可知a1+2a2+⋯+2n−1.a n=n.2n，当n⩾2时，a1+2a2+⋯+2n−2.a n−1=(n−1).2n−1，则求得a n=n+1，从而求得数列{a n}的前n项和S n，进而求得最后结果.=2n，解：由H n=a1+2a2+⋯+2n−1a nn得a1+2a2+…+2n−1a n=n.2n，①当n⩾2时，a1+2a2+…+2n−2a n−1=(n−1).2n−1，②①−②得2n−1a n=n.2n−(n−1).2n−1=(n+1).2n−1，即a n=n+1，当n=1时，也满足上式，所以a n=n+1，所以S n=n(n+3)2，所以S20192019=1011.故选B.4.【答案】B;【解析】解：a4+a8=2a6=22⇒a6=11，a3=5，∴S8=(a1+a8).82=(a3+a6).82=64，故选：B．利用等差中项求出a6，然后利用等差数列求和求解即可．此题主要考查等差数列的前n项和以及性质的应用，属容易题．5.【答案】D;【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得a1+4d=2（a1+9d），解得d=-＜可得通项公式a n=a1+（n-1）d=a1令a n≤0，结合a1＞0可解得n≥15，故数列的前14项为正，第15项为0，从第16项开始为负，故数列的前14项，或前15项和最大，故选D6.【答案】D;【解析】解：∵{a n}是等差数列，log2(a2+a13)=4，∴a2+a13=16，∴该数列的前14项的和S14=142(a1+a14)=142(a2+a13)=112．故选：D．利用等差数列的性质求出a2+a13=16，由此能求出该数列的前14项的和．此题主要考查等差数列的前14项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B;此题主要考查了等差数列的性质和数列的求和，属于基础题．由a4=8−a6，利用等差数列的性质可得2a5=8，a5=4，由S9=9a5即可求解．解：在等差数列{a n}中，由a4=8−a6，得a4+a6=8，即2a5=8，a5=4.则S9=9a5=9×4=36.故选B.8.【答案】A;【解析】解：由2a9=a12+6，得a6+a12=a12+6，∴a6=6．故选：A．9.【答案】C;【解析】解：已知{a n}为等差数列，且有a2+a3+a10+a11=40，则得a6+a7=a3+a10=a2+a11=20，故选C．10.【答案】B;【解析】解：∵a2=-27，a9=1，∴d==4∵a n=-27+4（n-1）=4n-31≥0，∴n≥8，∴数列的前8项之和最小，∵对任意n∈N*，都有S n≥S k成立∴k=8，故选B．11.【答案】B;【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，有a1+a6=a2+a5，又由a2+a5=10，则a1+a6=10；故选：B．根据题意，由等差数列的性质可得a1+a6=a2+a5，据此分析可得答案．该题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的性质，属于基础题．12.【答案】C;【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=12，S5=90，∴S5=5×12+5×4d=90，2解得等差数列{a n}的公差d=3.利用等差数列前n项和公式直接求解．此题主要考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】2;【解析】解：在等差数列{a n}中，∵a4=7，a2+a8=18，∴{a1+3d=7a1+d+a1+7d=18，解得a1=1，d=2，∴公差d=2．故答案为：2．利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出公差．该题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】30;【解析】解：由等差数列的性质可得a1+a15=a3+a13=2a8，又∵a1+a3+a13+a15=120，∴4a8=120，解得a8=30，故答案为：30．15.【答案】n2+3nn2+3n+2;【解析】此题主要考查等差数列求和，以及裂项相消法求和，难度一般.由题意求出a n=n,则a n+1 S n S n+1=4n(n+1)(n+2)裂项为：2[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]，即可求出数列{a n+1S n S n+1}的前n项和.解：由题意a n=n,a n+1=n+1，S n=n(n+1)2,S n+1=(n+1)(n+2)2，a n+1 S n S n+1=4n(n+1)(n+2)=2[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]，则数列{a n+1S n S n+1}的前n项和为2[11×2−12×3+...+1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]=n2+3nn2+3n+2.故答案为n 2+3nn2+3n+2.16.【答案】2007;【解析】解：由等差数列1，4，7，…可知其首项为1，公差为d=4-1=3．∴等差数列的通项公式为a n=1+3（n-1）=3n-2．由3n-2=6019，得n=2007．故答案为：2007．17.【答案】2;【解析】此题主要考查等差数列的前n项和，考查等差数列的通项公式，属于基础题. 根据题意列出方程组，即可求出公差d.解：设数列首项a1，公差d，由题意得{_2=a1+d=3S4=4a1+4×32d=16，解得d=2，故答案为2.18.【答案】解：(1)∵数列{a n}是等差数列∴a3+a4+a5=3a4=84，∴a4=28设等差数列的公差为d∵a9=73∴d=a9−a49−4=73−285=9由a4=a1+3d可得28=a1+27∴a1=1∴a n=a1+(n−1)d=1+9(n−1)=9n−8 (2)若9m<a n<92m则9m+8<9n<92m+8因此9m−1+1⩽n⩽92m−1故得b m=92m−1−9m−1∴S m=b1+b2+…+b m=(9+93+95+…+92m−1)−(1+9+…+9m−1)=9(1−81m)1−81−1−9m1−9=92m+1−10×9m+180，m∈N∗;【解析】此题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用，属于等差数列与等比数列基本运算的综合应用．(1)由已知及等差数列的性质可求a4，由d=a9−a49−4可求公差d，进而可求a1，进而可求通项(2)由9m <a n <92m 可得9m +8<9n <92m +8，从而可得b m =92m −1−9m−1，由等比数列的求和公式可求.19.【答案】因为S n =na n +n(n −1)，所以当n ≥2时，S n =n (S n −S n−1)+n(n −1), 即(n −1)S n =nS n−1−n(n −1),即Sn n =S n−1n−1−1,即S n n −Sn−1n−1=−1. 所以{Snn }是以S 1为首项，−1为公差的等差数列， 所以 Sn n =S 1+(n −1)×(−1)=1+a 1−n,所以S n =(1+a 1−n)n ,又a n ={a 1,n =1S n −S n−1,n ≥2,所以a n =a 1+2−2n ,故a n+1−a n =−2, 所以{a n }为等差数列. 若选①,因为S 12>0，S 13<0，所以11<a 1<12， 所以a 6=a 1−10>0, a 7=a 1−12<0，故S 6最大. 若选②.因为a 2+a 6=10，所以a 2+a 6=2a 4=2[a 1+3×(−2)]=10，解得a 1=11， 放a n =13−2n ，故a 6>0,a 7<0,故S 6最大.; 【解析】20.【答案】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意可，得{a 3=a 1+2d =2S 4=4a 1+6d =7，解得a 1=1，d=12，∴a n =1+12（n-1）=12n+12；（2）设等比数列{b n }的公比为q ， ∵b 2=a 3=2，b 4=a 15=12×15+12=8，∴{b 2=b 1q =2b 4=b 1q 3=8，解得{b 1=1q =2或{b 1=−1q =−2， ∴b n =2n−1或b n =−(−2)n−1．; 【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 3=2，前4项和S 4=7，列出方程组，求出a 1和d ，即可得解；(2)设等比数列{b n }的公比为q ，根据等比数列{b n }满足b 2=a 3，b 4=a 15，列出方程组，求出b 1和q ，即可得解．此题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵当n ⩾2，{S n+1=2+2S nS n =2+2S n−1，两式相减可得a n+1=2a n (n ⩾2)，由S 1=a 1=2，代入S n+1=2+2Sn 可得S 2=6，a 2=4，满足a 2=2a 1， 所以a n+1=2a n ，n ∈N ∗，所以{a n }是首项为a 1=2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ，不妨设等差数列{b n }公差为d ，由条件可得，b 22=b 1b 4，2b10=a 2+a 4，即{(b 1+d)2=b 1(b 1+3d)2(b 1+9d)=4+16，解得b 1=1，d =1，所以b n =1+(n −1)×1=n ； (Ⅰ)由(Ⅰ)可知c n =(−1)n+1·2n+1n(n+1)， 所以c n =(−1)n+1·(1n +1n+1)， ∴T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n=(1+12)−(12+13)+(13+14)−⋯−(12n +12n+1) =1−12n+1=2n2n+1.;【解析】此题主要考查数列的递推关系，等差、等比数列的通项公式与性质，裂项相消法求和，属于中档题.(Ⅰ)由递推关系可判断{a n }为等比数列，即可求得a n =2n ，求出首项和公差，可得{b n }的通项公式；(Ⅰ)由(Ⅰ)可知c n =(−1)n+1·2n+1n(n+1)，利用裂项相消法即可求解.22.【答案】解：（Ⅰ）∵a 1+a 3+a 5=12， ∴3a 3=12，∴a 3=4． ∵a 1，a 5，a 17成等比数列，∴a 52=a 1a 17，∴（4+2d ）2=（4-2d ）（4+14d ）， ∵d≠0，解得d=1，∴a n =a 3+（n-3）d=4+（n-3）=n+1；∴数列{a n }的通项公式为：a n =n +1，n ∈N ∗． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b n =1n+1+1n+2+…+12n ，b n+1=1n+2+1n+3+…+12n +2，∵b n+1-b n =12n +1+12n +2-1n+1=12n +1-12n +2＞0，∴数列{b n }单调递增．b n ≥b 1=12．又b n =1n+1+1n+2+…+12n ≤1n+1+1n+1+…+1n+1=n n+1＜1，因此12≤b n ＜1．;【解析】(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；(II )利用数列的单调性与“放缩法”即可证明．该题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：（I ）等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，且a 2=11，S 4=60． 得a 1+d=11，4a 1+6d=60，解得a 1=3，d=8，S n =4n 2-n ；（II ）1S n +n−1=14n 2−1=1(2n −1)(2n +1)=12（12n −1-12n +1）， 前n 项和T n =12（1-13+13-15+…+12n −1-12n +1）=12（1-12n +1）=n 2n +1．;【解析】(I)运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差，可得所求通项公式； (II )化简1S n +n−1=14n 2−1=12(12n −1−12n +1)，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 该题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．24.【答案】ABC;【解析】此题主要考查等差数列的性质及前n 项和的意义，属于中档题．根据S 10=S 20得到a 11+a 12+⋯+a 20=0，结合等差数列的性质得到a 15+a 16=0，由a 1>0，得到此数列是公差为负，a 15>0,a 16<0，S 15为S n 的最大值，即可得答案．解：根据S 10=S 20，得到a 11+a 12+⋯+a 20=0，即a 15+a 16=0，由a 1>0，可得等差数列为d <0的递减数列，∴a 15>0,a 16<0，∴S 15为S n 的最大值 ，即S n ⩽S 15，因为S 30=30(a 1+a 30)2=30(a 15+a 16)2=0，所以当且仅当S n <0时n ⩾31，所以D 是错误的．25.【答案】ABC;【解析】此题主要考查等差数列的基本公式、等比中项的应用，考查考生的数学运算、逻辑推理的核心素养，根据等差数列性质结合求和公式求出等差数列通项公式和求和公式进而判断BC，然后利用等比数列性质判断A；根据裂项法求和判断D，属于中档题.解：依题意，S9=9a5=81，解得a5=9，而a7=13，故d=a7−a57−5=2，则a1=a5−4d=1，则a n=2n−1，S n=n2，故B、C正确;因为S3，S17−S16，S k成等比数列，故S3S k=(S17−S16)2=a172.则9k2=332，解得k=11，故A正确;而1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)所以1a1a2+1a2a3+⋯+1a10a11=12(1−13+13−15+ (1)19−121)=12(1−121)=1021，故D错误，故选ABC.26.【答案】ACD;【解析】此题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和，属于简单题. 根据等差数列的性质及前n项和，逐项验证，即可求出结果.解：∵公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6<S7,S7>S8，∴S6<S6+a7,S7>S7+a8，∴a7>0,a8<0，∴d=a8−a7<0，故A正确；S9−S6=a7+a8+a9=3a8<0，∴S9<S6，故B错误；∵d<0，∴数列{a n}单调递减，∴a1是数列{a n}中的最大项，故C正确；∵S6<S7,S7>S8，∴S7是数列{S n}中的最大项，故D正确.故选ACD.27.【答案】ABC;此题主要考查等差数列的性质，属于中档题．由等差数列的性质可得a7(a7+a8)<0，分析可得结论a7>0>a8且a7+a8<0，依次验证选项即可．解：∵{a n}为等差数列且(a5+a6+a7+a8+a9)(a6+a7+a8+a9)<0，∴a7(a7+a8)<0.∴a7a8+a72<0，∴a7a8<0.又a1>0，∴a7>0>a8且a7+a8<0，则S7>S8，S6>S8，∴S13=13a7>0，S14=7(a7+a8)<0.故选ABC.28.【答案】ABD;【解析】此题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，属于较难题.S12>0，a7<0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7>0，a6>0.再利用a3=a1+2d=12，可得−247<d<−3，a1>0.利用S13=13a7<0，可得S n<0时，n的最小值为13.数列{S na n }中，n⩽6时S na n>0，7⩽n⩽12时，S na n<0，n⩾13时，S na n>0，进而判断出D是否正确．解：∵S12>0，a7<0，∴12(a6+a7)2>0，∴a6+a7>0，a6>0，故A正确；∴2a1+11d>0，a1+5d>0，a1+6d<0.又∵a3=a1+2d=12，∴−247<d<−3，故B正确；S13=13(a1+a13)2=13a7<0，∴S n<0时，n的最小值为13，故C错误；数列{S na n }中，n⩽6时，S na n>0，7⩽n⩽12时，S na n<0，n⩾13时，S na n>0.对于：7⩽n⩽12时，S na n<0，|a7|<|a8|<⋯<|a12|，∴1|a7|>1|a8|>⋯>1|a12|>0，S7>S8>⋯>S12>0，∴S7|a7|>S8|a8|>⋯>S12|a12|，∴S7−a7>S8−a8>⋯>S12−a12>0，∴S7a7<S8a8<⋯<S12a12<0，∴n=7时，S na n取得最小值，故D正确．综上可得：ABD都正确．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.3 等差数列的前n 项和(人教A 版必修5)一、选择题（每小题3分，共27分）1.已知数列{}n a 为等差数列，公差2d ＝－，n S 为其前n 项和．若1011S S ＝，则1a ＝( )A.18B.20C.22D.242.若11a =，2d ＝，224k k S S ＋－＝，则k ＝( ) A.8 B.7 C.6 D.53.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a =12，4S ＝20，则6S =( ) A.16 B.24 C.36 D.484.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11m m a a －＋＋－2ma ＝0，21m S －＝38，则m ＝( )A.38B.20C.10D.95.数列{}n a 是等差数列，12324a a a ＋＋＝－，1819a a ＋＋2078a ＝，则此数列的前20项和等于( )A.160B.180C.200D.2206.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，2811a a a ＋＋是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A.7SB.8SC.13SD.15S7.已知等差数列{}n a 满足244a a ＋＝，3510a a ＋＝，则它的前10项的和10S ＝( )A.138B.135C.95D.238.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.289.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1OB a OA=200a OC +且,,A B C 三点共线(该直线不过点O )，则200S ＝( )A.100B.101C.200D.201二、填空题（每小题4分，共16分）10.在等差数列{}n a 中，10a ＞，d ＝12，n a ＝3，n S ＝152，则1a ＝ ，n ＝ . 11. 设等差数列的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= ．12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若3S ＝1，n a 123n n a a －－＋＋＝，则n ＝ .13.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ． 三、解答题（共57分）14.(8分)在等差数列{}n a 中：(1)已知51058a a ＋＝，4950a a ＋＝，求10S ； (2)已知742S ＝，510n S ＝，345n a －＝，求n .15.（8分) 已知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的项构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？16.（8分）已知等差数列{}n a ， (1)若271221a a a ＋＋＝，求13S ； (2)若1575S ＝，求8a .17.（9分）已知在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足：n S ＝18(n a ＋2)2.(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若n b ＝12n a －30，求数列{}n b 前n 项和的最小值．18.（12分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且4S =－62, 6S =－75,求：（1）}{n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）|1a |+|2a |+|3a |+…+|14a |.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和278n S n n ＝－－. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .2.3 等差数列的前n和(人教A版必修5)答题纸得分：一、选择题二、填空题10． 11． 12. 13.三、解答题14.15.16.17.18.19.2.3 等差数列的前n项和(人教A版必修5)答案1.B 解析：由1011S S ＝，得1111100a S S ＝－＝，111(111)0(10)(2)20a a d ⨯＝＋－＝＋－－＝.2.D 解析：∵ 212111(1)2(21)21(21)24424k k k k S S a a a kd a k d a k d k k ⨯⨯＋＋＋－＝＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，∴ 5k ＝.3.D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 1a ＝12，4S ＝4×12＋4×32d ＝2＋6d ＝20，∴ d ＝3，故6S ＝6×12＋6×52×3＝48，故选D.4.C 解析：由等差数列的性质，得112m m m a a a －＋＋＝，∴ 22m m a a ＝.由题意得0m a ≠，∴ 2m a ＝.又21m S －＝121(21)()2(21)22m m m a a a m --+-=＝2(21)m －＝38，∴ m ＝10.5.B 解析：∵ {}n a 是等差数列，∴ 120219318a a a a a a ＋＝＋＝＋.又12324a a a ＋＋＝－，18192078a a a ＋＋＝，∴ 12021931854a a a a a a ＋＋＋＋＋＝. ∴ 1203()54a a ＋＝.∴ 12018a a ＋＝.∴ 20S ＝12020()2a a +＝180. 6.C 解析：由已知28111173183(6)3a a a a d a d a ＋＋＝＋＝＋＝为定值，则13S ＝11313()2a a +＝137a 也为定值，故选C. 7.C 解析：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则24354,10.a a a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②②－①，得2d ＝6，∴ d ＝3.∴ 2411113242434a a a d a d a d a ⨯＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝.∴ 14a ＝－.∴ 10S ＝10×(－4)＋10×92×3＝－40＋135＝95.故选C.8.B 解析：设该等差数列为{}n a ，由题意得123421a a a a ＋＋＋＝，12367n n n n a a a a －－－＋＋＋＝. 又∵ 1213243n n n n a a a a a a a a －－－＋＝＋＝＋＝＋，∴ 14()216788n a a ＋＝＋＝，∴ 122n a a ＋＝， ∴ n S ＝1()2n n a a +11286n ＝＝，∴ 26n ＝. 9.A 解析：∵ 1200OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线， ∴ 12002001a a S ＋＝，＝1200200()2a a +100＝.二、填空题10.23 解析：由题意，得1113(1)21511=(1),222a n na n n ⎧=+-⨯⎪⎪⎨⎪+⨯-⨯⎪⎩，解得12,3.a n =⎧⎨=⎩ 11.24 解析：∵ }{n a 是等差数列,972S =,599,S a ∴=58a =.∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==. 12.27 解析：由题意得1()182n n n a a S +==. 由121233,1,n n n a a a a a a --++=⎧⎨++=⎩得13()4n a a ＋＝，即1n a a ＋＝43，故n ＝136362743n a a ==+. 13.3 解析：1357915S a a a a a 奇＝＋＋＋＋＝，24681030S a a a a a 偶＝＋＋＋＋＝，∴ 515S S d 偶奇－＝＝，∴ 3d ＝.14.(1)解法一：由已知条件得510149121358,21150,a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩解得13,4.a d =⎧⎨=⎩∴ 10110S a ＝＋10(101)2d ⨯-⨯103⨯＝＋1092⨯4210⨯＝. 解法二：由已知条件得51011049110458,250,a a a a d a a a a d +=++=⎧⎨+=++=⎩∴ 11042a a ＋＝，∴ 10S ＝11010()2a a ⨯+542210⨯＝＝.解法三：由51049()()25850a a a a d ＋－＋＝＝－，得4d ＝； 由4950a a ＋＝，得121150a d ＋＝，∴ 13a ＝. 故10103S ⨯＝＋10942102⨯⨯=. (2)解：7S ＝177()2a a +4742a ＝＝，∴ 46a ＝. ∴ n S ＝()()()14345510222-+++===6n n n a a n a a n .∴ 20n ＝.15.解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴ 14d =，∴ 172(1)44n n b n +=+-⨯=. 1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴ 43n n a b -=.即原数列的第n 项为新数列的第（4n －3）项．（1）当n =12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项； （2）由4n －3=29,得n =8，故新数列的第29项是原数列的第8项. 16.解：(1)∵ 21211372a a a a a ＋＝＋＝，271221a a a ＋＋＝， ∴ 7321a ＝，即7a ＝7. ∴ 13S ＝11313()2a a +＝71322a ⨯＝91. (2)∵ 15S ＝11515()2a a +＝81522a ⨯＝75，∴ 8a ＝5. 17.（1）证明：由21(2)8n n S a ＝＋，得2111(2)8n n S a －－＝＋(n ≥2)．当n ≥2时，n a ＝n S －1n S －＝182(2)n a ＋－1821(2)n a －＋，整理，得11()(4)0n n n n a a a a －－＋－－＝.∵ 数列{}n a 为正整数数列，∴ 10,n n a a +≠－ ∴ 14n n a a －－＝，即{}n a 为等差数列．(2)解：∵ 1S ＝1821(2)a ＋，∴ 1a ＝1821(2)a ＋，解得1a ＝2.∴ n a ＝2＋4(n －1)＝4n －2.∴ n b ＝12n a －30＝12(4n －2)－30＝2n －31.令n b <0，得n <312. ∴ 15S 为前n 项和的最小值，即151215S b b b ＝＋＋＋＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225. 18.解：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，依题意得⎩⎨⎧-=+-=+，，75156626411d a d a解得120,3.=⎧⎨=⎩－a d(1)2)23320(2)(,233)1(11-+-=+=-=-+=n n n a a S n d n a a n n n 234322n n =-.(2){}120,3,n a d a n =-=∴的项随着的增大而增大.1Z 202300,32303(1)230,(),7,337+≤≥-≤+-≥∴≤≤∈=k k a a k k k k k 设且得且数.即第项及之前均为负∴ 123141278914||||||||()()a a a a a a a a a a ++++=-+++++++1472147S S =-=.19.解：(1)当n ＝1时，11a S ＝＝－14； 当n ≥2时，1n n n a S S －＝－＝2n －8， 故n a ＝14(1),28(2).n n n -=⎧⎨-≥⎩(2)由n a ＝2n －8可知：当n ≤4时，n a ≤0；当n ≥5时，0n a >. ∴ 当1≤n ≤4时，278n n T S n n ＝－＝－＋＋；当n ≥5时，22444()2782(20)732n n n T S S S S S n n n n ⨯＝－＋－＝－＝－－－－＝－＋.∴ n T ＝2278(14),732(5).n n n n n n ⎧-++≤≤⎪⎨-+≥⎪⎩。

6.2等差数列基础篇考点一等差数列及其前n项和1.(2022太原一模,3)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=2,a3+a5=10,则S6=()A.26B.27C.28D.29答案B2.(2023届陕西师范大学附属中学期中,5)设S n为等差数列{a n}的前n项和.若S5=25,a3+a4=8,则{a n}的公差为() A.-2 B.-1 C.1 D.2答案A3.(2018课标Ⅰ,4,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案B4.(2022宁夏吴忠模拟,9)若无穷等差数列{a n}的首项a1<0,公差d>0,{a n}的前n项和为S n,则以下结论中一定正确的是() A.S n单调递增 B.S n单调递减C.S n有最小值D.S n有最大值答案C5.(2022太原二模,6)等差数列{a n}的前n项和为S n,若1212−1010=-2,则公差d=()A.1B.2C.-1D.-2答案D6.(2023届山西临汾期中,4)我国古代著名的《周髀算经》中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷(guǐ)长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为9916分;且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立秋”时日影长度是()A.450分B.45712分C.35813分D.35016分答案B7.(2022新高考Ⅱ,3,5分)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为B1B 1=0.5,B1B1=k1,B1B1=k2,B1B1=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3=()图1图2A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9答案D8.(2019课标Ⅲ,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则105=.答案49.(2019江苏,8,5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.答案1610.(2021新高考Ⅱ,17,10分)记S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)求使得S n>a n成立的n的最小值.解析(1)设等差数列{a n}的公差为d.a3=S5⇒a1+2d=5a1+10d⇒4a1+8d=0⇒a1+2d=0⇒a1=-2d,①a2·a4=S4⇒(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,②将①代入②得-d2=-2d⇒d=0(舍)或d=2,∴a1=-2d=-4,∴a n=-4+(n-1)×2=2n-6.(2)由(1)知a n=2n-6,S n=na1+oK1)2d=-4n+n(n-1)=n2-5n.S n>a n⇔n2-5n>2n-6⇔n2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0,解得n<1(舍)或n>6,∴n的最小值为7.考点二等差数列的性质考向一等差数列通项的性质1.(2022安徽滁州二模,5)已知{a n}是公差不为零的等差数列,若a3+a m=a4+a k,a1+a5=2a k,m,k ∈N*,则m+k=()A.7B.8C.9D.10答案A2.(2022银川一模,6)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若S50-S47=12,则S97=()A.198B.388C.776D.2021答案B<-1,且它的前n项和S n有最小值,当S n<0 3.(2021安徽马鞍山质监,11)在等差数列{a n}中,87时,n的最大值为() A.7 B.8 C.13 D.14答案C4.(2020北京,8,4分)在等差数列{a n}中,a1=-9,a5=-1.记T n=a1a2…a n(n=1,2,…),则数列{T n}()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项答案B5.(2023届安徽蚌埠质检一,15)有两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项和为.答案1472考向二等差数列前n项和的性质1.(2023届宁夏平罗中学月考一,9)已知等差数列{a n}满足S30=120,a3+a6+a9+…+a30=60,则a n=() A.2n-25 B.2n-27C.3n-15D.3n-18答案B2.(2022陕西咸阳一模,8)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若48=13,则816等于()A.310 B.13C.19D.18答案A3.(2020课标Ⅱ,4,5分)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块答案C4.(2022河南名校联盟11月月考,15)已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若=3K12r3,则911=.答案109综合篇考法一等差数列的判定1.(2022河南联考三,9)在数列{a n }中,2a n -1·a n +1=a n -1a n +a n a n +1(n ≥2),a 1=1,a 2=13,则a 20=()A.137B.139C.141D.143答案B2.(2021甘肃顶级名校联考,10)已知数列{a n }的前n 项和S n =14y +23n +3(n ∈N *),则下列说法正确的是()A.数列{a n}是等差数列B.数列{a n}是递增数列C.a1,a5,a9成等差数列D.S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列答案D3.(2023届沈阳第四中学月考,18)已知数列{a n}满足a n≠0,a1=1,a2=13,2a n-1a n+1=a n-1·a n+a n a n+1(n∈N,n≥2).(1)证明;(2)求a1a2+a2a3+a3a4+…+a2022a2023的值.解析(1)证明:将2a n-1a n+1=a n-1a n+a n a n+1两边同除以a n-1a n a n+1得2=1r1+1K1(n≥2),所以1r1−1=1−1K1=…=12−11=2,.(2)由(1)可知1=1+2(n-1)=2n-1,所以a n=12K1.因为a n·a n+1=1(2K1)(2r1)=−所以a1a2+a2a3+a3a4+…+a2022a2023=121−131315+ (14043)=121−=20224045.4.(2021全国乙,19,12分)记S n为数列{a n}的前n项和,b n为数列{S n}的前n项积,已知2+1=2.(1)证明:数列{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.解析(1)证明:由b n=S1·S2·…·S n可得,S n =1,,≥2.由2+1=2知,当n =1时,21+11=2,即21+11=2,所以b 1=S 1=32,当n ≥2时,2K1+1=2,即2b n =2b n -1+1,即b n -b n -1=12,故数列{b n }是首项为32,公差为12的等差数列.(2)由(1)知,b n =32+(n -1)×12=r22,故当n ≥2时,S n =K1=r2r1,S 1也符合该式,故S n =r2r1(n ∈N *),从而a 1=S 1=32,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=r2r1−r1=−1or1),a 1不符合该式,所以a n =1,1or1),≥2.5.(2021全国甲,18,12分)已知数列{a n }的各项均为正数,记S n 为{a n }的前n 项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{a n }是等差数列;②数列{}是等差数列;③a 2=3a 1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解析选①②作为条件,证明③.证明:设等差数列{a n }的公差为d ,因为{}是等差数列,所以22=1+3,即221+=1+31+3,两边平方,得4(2a 1+d )=a 1+3a 1+3d +21(31+3p ,整理得4a 1+d =21(31+3p ,两边平方,得1612+8a 1d +d 2=4(312+3a 1d ),化简得412-4a 1d +d 2=0,即(21−p 2=0,所以d =2a 1,则a 2=a 1+d =3a 1.选①③作为条件,证明②.证明:设等差数列{a n }的公差为d.因为a 2=3a 1,即a 1+d =3a 1,所以d =2a 1.所以等差数列{a n }的前n 项和S n =na 1+oK1)2=B1+oK1)2·2a 1=n 2a 1.又a 1>0,所以=1.则r1−=(n +1)1−1=1,所以数列{}是公差为1的等差数列.选②③作为条件,证明①.证明:设等差数列{}的公差为d,因为11,21+21+31=21,所以d=21211=1,所以S n=n2a1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,且当n=1时,上式也成立,所以数列{a n}的通项公式为a n=(2n-1)a1,则a n+1-a n=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列{a n}是公差为2a1的等差数列.考法二等差数列前n项和最值问题1.(2022西安四模,6)等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,若a m=5,则S m的最大值为()A.3B.6C.9D.12答案C2.(2022云南玉溪峨山一中月考,11)已知等差数列{a n}的公差不等于0,其前n项和为S n,若a4,S5,S7∈{-10,0},则S n的最小值为() A.-6 B.-11 C.-12 D.-14答案C3.(2019北京,10,5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为.答案0;-104.(2023届江西赣州赣县第三中学期中,14)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,并且S10>0,S11<0,若S n≤S k对n∈N*恒成立,则正整数k的值为.答案55.(2022全国甲,17,12分)记S n为数列{a n}的前n项和.已知2+n=2a n+1.(1)证明:{a n}是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求S n的最小值.解析(1)证明:由已知条件2+n=2a n+1可得,2S n=2na n+n-n2①,当n≥2时,由①可得2S n-1=2(n-1)·a n-1+(n-1)-(n-1)2②,由a n=S n-S n-1及①-②可得,(2n-2)a n-(2n-2)a n-1=2n-2,n≥2,且n∈N*,即a n-a n-1=1,因此{a n}是等差数列,公差为1.(2)∵a4,a7,a9成等比数列,且a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8,∴72=a4·a9,即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12,∴等差数列{a n}的通项公式为a n=-12+(n-1)·1=n-13,∴S n=(1+)2=12y−252=12−6258,∵n∈N*,∴当n=12或n=13时,S n最小,最小值为-78。

高考模拟复习试卷试题模拟卷第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{an}的通项公式为an=2n37,则Sn取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An与Bn,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=2,a1=20,∴S10=10a1+d=0=110.答案:1107.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶S奇=3015=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{an}的首项a1和公差d;(2)求数列{an}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=2.(2)S10=10×a1+d=10.10.导学号33194010已知数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{an}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得<d<,又d∈Z,∴d=4.(2)∵d<0,∴{an}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,Sn取得最大值,即S6=6×23+×(4)=78.(3)Sn=23n+×(4)>0,整理得n(252n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{an}为等差数列,公差d=2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(2)=0,所以a1=20.答案:B2.(全国1高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3②,得(2115)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{an}的通项公式是an=12n,其前n项和为Sn,则数列的前11项和为()A.45B.50C.55D.66解析:∵Sn=,∴=n,∴的前11项和为(1+2+3+…+11)=66.故选D.答案:D5.已知等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.解析:设等差数列{an}的公差为d,则an=1+(n1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=.又a4=1+3×,ak=1+(k1)d,由ak+a4=0,得+1+(k1)d=0,将d=代入,可得k=10.答案:106.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且1+<0.若Sn存在最大值,则满足Sn>0的n的最大值为.解析:因为Sn有最大值,所以数列{an}单调递减,又<1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足Sn>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{an}中,a1=60,a17=12,求数列{|an|}的前n项和.解数列{an}的公差d==3,∴an=a1+(n1)d=60+(n1)×3=3n63.由an<0得3n63<0,解得n<21.∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn'分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,当n≤20时,Sn'=Sn==n2+n;当n>20时,Sn'=S20+(SnS20)=Sn2S20=60n+×32×n2n+1260.∴数列{|an|}的前n项和Sn'=8.导学号33194013设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以an=1+(n1)×2=2n1,Sn=n×1+×2=n2.(2)由(1)知bn=,所以b1=,b2=,bm=.若b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+bm,所以,即6(1+t)(2m1+t)=(3+t)(2m1+t)+(2m1)(1+t)(3+t),整理得(m3)t2(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m3)t(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列.高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f(ax ＋b)的复合函数)的导数．【重点知识梳理】1．函数f(x)在点x0处的导数 (1)定义函数y ＝f(x)在点x0的瞬时变化率lim Δx→000()()f x x f x x+-，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即lim Δx→000()()f x x f x x+-＝f′(x0)．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于()'f x 2．函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a ，b)内每一点x 导数都存在，则称f(x)在区间(a ，b)可导．这样，对开区间(a ，b)内每个值x ，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a ，b)内，f′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x 、y′)． 3．基本初等函数的导数公式y ＝f(x) y′＝f′(x) y ＝C y ＝xn y ＝xμ (x>0，μ≠0) y ＝ax (a>0，a≠1)y ＝exy ＝logax(a>0，a≠1，x>0)y ＝ln x y ＝sin x y ＝cos xy′＝0y′＝nxn －1，n 为自然数 y′＝μxμ－1，μ为有理数y′＝axln a y′＝ex y′＝1xln a y′＝1x y′＝cos x y′＝－sin x4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝f′x g x －f x g′x [g x ]2 (g(x)≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝y′u·u′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【高频考点突破】考点一 利用定义求函数的导数例1、利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x ＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x ＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．【方法技巧】求函数f(x)的导数步骤： (1)求函数值的增量Δf ＝f(x2)－f(x1)； (2)计算平均变化率Δf Δx ＝f x2－f x1x2－x1；(3)计算导数f′(x)＝lim Δx→0ΔfΔx .【变式探究】利用导数的定义，求： (1)f(x)＝1x在x ＝1处的导数； (2)f(x)＝1x ＋2的导数．考点二 导数的运算 例2、求下列函数的导数： (1)y ＝11－x ＋11＋x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x2＋1x ＋1x3；(3)y ＝sin2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln x2＋1.【方法规律】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． 【变式探究】求下列各函数的导数： (1)y ＝11－x ＋11＋x ；(2)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ；(3)y ＝(1＋sin x)2； (4)y ＝ln x2＋1.考点三 导数的几何意义 例3、已知曲线y ＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．【探究提高】利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．【变式探究】已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．【真题感悟】【高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a =.【答案】1【高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为．【答案】3【高考陕西，文15】函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e=-（·陕西卷）设函数f(x)＝ln x ＋mx ，m ∈R.(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，求m 的取值范围．（·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．（·北京卷）已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)（·福建卷）已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.（·广东卷）曲线y ＝－5ex ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 【答案】5x ＋y ＋2＝0（·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax2＋b x (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．【答案】－3（·江苏卷）已知函数f0(x)＝sin x x (x>0)，设fn(x)为fn －1(x)的导数，n ∈N*.(1)求2f1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f2⎝⎛⎭⎫π2的值；(2)证明：对任意的n ∈N*，等式⎪⎪⎪⎪nfn －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4fn ⎝⎛⎭⎫π4＝22都成立．（·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aln x ＋1－a2x2－bx(a≠1)，曲线y ＝f(x)在点(1， f(1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜aa －1，求a 的取值范围．（·山东卷）设函数f(x)＝aln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．（·四川卷）设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)证明：数列{bn}为等比数列；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln 2，求数列{anb2n}的前n项和Sn.（·天津卷）已知函数f(x)＝x2－23ax3(a ＞0)，x ∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1，求a 的取值范围．【押题专练】1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．2【答案】B2．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x －a1)(x －a2)…(x －a8)，则f′(0)＝()．A ．26B ．29C ．212D ．215【答案】C3．已知f(x)＝xln x ，若f′(x0)＝2，则x0＝()．A ．e2B ．e C.ln 22 D ．ln 2【答案】B4．设函数f(x)是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝5处的切线的斜率为()A ．－15B ．0 C.15 D ．5【答案】B5．设f0(x)＝sin x ，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn ＋1(x)＝f′n(x)，n ∈N ，则f2 013(x)等于()．A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【答案】C6．已知函数f(x )的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x ，则f′(1)＝()．A ．－eB ．－1C ．1D ．e【答案】B7．已知函数f(x)＝f′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.【答案】08.函数)()(3R x ax x x f ∈+=在1=x 处有极值，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程是___ __.【答案】3x+y ＝09．若过原点作曲线y ＝ex 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．【答案】(1，e)e10．已知函数f(x)在R 上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x －8，则曲线y ＝f(x)在x ＝1处的导数f′(1)＝________.【答案】211．已知f1(x)＝sin x ＋cos x ，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn －1′(x)(n ∈N*，n≥2)，则f1⎝⎛⎭⎫π2＋f2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________.【答案】012．求下列函数的导数．(1)y ＝x2sin x ；(2)y ＝ex ＋1ex －1； (3)y ＝log2(2x2＋3x ＋1)．13．求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；(3)y＝2xsin(2x＋5)．14．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1<x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，求实数m的取值范围．15．设函数f(x)＝ax －b x ，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

高考模拟复习试卷试题模拟卷第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{an}的通项公式为an=2n37,则Sn取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An与Bn,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=2,a1=20,∴S10=10a1+d=0=110.答案:1107.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶S奇=3015=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{an}的首项a1和公差d;(2)求数列{an}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=2.(2)S10=10×a1+d=10.10.导学号33194010已知数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{an}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得<d<,又d∈Z,∴d=4.(2)∵d<0,∴{an}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,Sn取得最大值,即S6=6×23+×(4)=78.(3)Sn=23n+×(4)>0,整理得n(252n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{an}为等差数列,公差d=2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(2)=0,所以a1=20.答案:B2.(全国1高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3②,得(2115)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{an}的通项公式是an=12n,其前n项和为Sn,则数列的前11项和为()A.45B.50C.55D.66解析:∵Sn=,∴=n,∴的前11项和为(1+2+3+…+11)=66.故选D.答案:D5.已知等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.解析:设等差数列{an}的公差为d,则an=1+(n1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=.又a4=1+3×,ak=1+(k1)d,由ak+a4=0,得+1+(k1)d=0,将d=代入,可得k=10.答案:106.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且1+<0.若Sn存在最大值,则满足Sn>0的n的最大值为.解析:因为Sn有最大值,所以数列{an}单调递减,又<1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足Sn>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{an}中,a1=60,a17=12,求数列{|an|}的前n项和.解数列{an}的公差d==3,∴an=a1+(n1)d=60+(n1)×3=3n63.由an<0得3n63<0,解得n<21.∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn'分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,当n≤20时,Sn'=Sn==n2+n;当n>20时,Sn'=S20+(SnS20)=Sn2S20=60n+×32×n2n+1260.∴数列{|an|}的前n项和Sn'=8.导学号33194013设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以an=1+(n1)×2=2n1,Sn=n×1+×2=n2.(2)由(1)知bn=,所以b1=,b2=,bm=.若b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+bm,所以,即6(1+t)(2m1+t)=(3+t)(2m1+t)+(2m1)(1+t)(3+t),整理得(m3)t2(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m3)t(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列.高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

高考模拟复习试卷试题模拟卷第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{an}的通项公式为an=2n37,则Sn取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An与Bn,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=2,a1=20,∴S10=10a1+d=0=110.答案:1107.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶S奇=3015=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{an}的首项a1和公差d;(2)求数列{an}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=2.(2)S10=10×a1+d=10.10.导学号33194010已知数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{an}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得<d<,又d∈Z,∴d=4.(2)∵d<0,∴{an}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,Sn取得最大值,即S6=6×23+×(4)=78.(3)Sn=23n+×(4)>0,整理得n(252n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{an}为等差数列,公差d=2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(2)=0,所以a1=20.答案:B2.(全国1高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3②,得(2115)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{an}的通项公式是an=12n,其前n项和为Sn,则数列的前11项和为()A.45B.50C.55D.66解析:∵Sn=,∴=n,∴的前11项和为(1+2+3+…+11)=66.故选D.答案:D5.已知等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.解析:设等差数列{an}的公差为d,则an=1+(n1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=.又a4=1+3×,ak=1+(k1)d,由ak+a4=0,得+1+(k1)d=0,将d=代入,可得k=10.答案:106.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且1+<0.若Sn存在最大值,则满足Sn>0的n的最大值为.解析:因为Sn有最大值,所以数列{an}单调递减,又<1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足Sn>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{an}中,a1=60,a17=12,求数列{|an|}的前n项和.解数列{an}的公差d==3,∴an=a1+(n1)d=60+(n1)×3=3n63.由an<0得3n63<0,解得n<21.∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn'分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,当n≤20时,Sn'=Sn==n2+n;当n>20时,Sn'=S20+(SnS20)=Sn2S20=60n+×32×n2n+1260.∴数列{|an|}的前n项和Sn'=8.导学号33194013设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以an=1+(n1)×2=2n1,Sn=n×1+×2=n2.(2)由(1)知bn=,所以b1=,b2=,bm=.若b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+bm,所以,即6(1+t)(2m1+t)=(3+t)(2m1+t)+(2m1)(1+t)(3+t),整理得(m3)t2(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m3)t(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列.高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

高考模拟复习试卷试题模拟卷第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D.63解析:S7==49.答案:C2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=10,则a3的值为()A. B.1 C.2 D.3解析:∵S5==5a3,∴a3=S5=×10=2.答案:C3.已知数列{an}的通项公式为an=2n37,则Sn取最小值时n的值为()A.17B.18C.19D.20解析:由≤n≤.∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.答案:B4.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15==15a8是定值.答案:C5.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An与Bn,且满足(n∈N+),则的值是()A. B. C. D.解析:因为,所以.答案:C6.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+d=20,∴解得d=2,a1=20,∴S10=10a1+d=0=110.答案:1107.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a9=3a5,则=.解析:S17=17a9,S9=9a5,于是×3=.答案:8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于.解析:设公差为d,则有5d=S偶S奇=3015=15,于是d=3.答案:39.若等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.(1)求数列{an}的首项a1和公差d;(2)求数列{an}的前10项和S10的值.解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=2.(2)S10=10×a1+d=10.10.导学号33194010已知数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.求:(1)此等差数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn是正数时,求n的最大值.解(1)∵数列{an}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得<d<,又d∈Z,∴d=4.(2)∵d<0,∴{an}是递减数列.又a6>0,a7<0,∴当n=6时,Sn取得最大值,即S6=6×23+×(4)=78.(3)Sn=23n+×(4)>0,整理得n(252n)>0,∴0<n<,又n∈N+,∴n的最大值为12.B组1.设数列{an}为等差数列,公差d=2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24解析:因为S11S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(2)=0,所以a1=20.答案:B2.(全国1高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+d=48,联立可得①×3②,得(2115)d=24,即6d=24,所以d=4.答案:C3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.答案:C4.导学号33194011若等差数列{an}的通项公式是an=12n,其前n项和为Sn,则数列的前11项和为()A.45B.50C.55D.66解析:∵Sn=,∴=n,∴的前11项和为(1+2+3+…+11)=66.故选D.答案:D5.已知等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.解析:设等差数列{an}的公差为d,则an=1+(n1)d,∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.∴a7=0,∴1+6d=0,d=.又a4=1+3×,ak=1+(k1)d,由ak+a4=0,得+1+(k1)d=0,将d=代入,可得k=10.答案:106.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且1+<0.若Sn存在最大值,则满足Sn>0的n的最大值为.解析:因为Sn有最大值,所以数列{an}单调递减,又<1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.所以S19=19×=19a10>0,S20=20×=10(a10+a11)<0,故满足Sn>0的n的最大值为19.答案:197.导学号33194012在等差数列{an}中,a1=60,a17=12,求数列{|an|}的前n项和.解数列{an}的公差d==3,∴an=a1+(n1)d=60+(n1)×3=3n63.由an<0得3n63<0,解得n<21.∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn'分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,当n≤20时,Sn'=Sn==n2+n;当n>20时,Sn'=S20+(SnS20)=Sn2S20=60n+×32×n2n+1260.∴数列{|an|}的前n项和Sn'=8.导学号33194013设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.解(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9,所以整理得解得所以an=1+(n1)×2=2n1,Sn=n×1+×2=n2.(2)由(1)知bn=,所以b1=,b2=,bm=.若b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+bm,所以,即6(1+t)(2m1+t)=(3+t)(2m1+t)+(2m1)(1+t)(3+t),整理得(m3)t2(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m3)t(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t==1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列.高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．【热点题型】题型一 三角函数式的化简例1、化简：2cos4x －2cos2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin2⎝⎛⎭⎫π4＋x . 【提分秘籍】三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．【举一反三】化简：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·ta n α2. 题型二 三角函数式的求值例2、3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4【提分秘籍】三角函数求值有三类(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【举一反三】化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 题型三 三角恒等综合应用 例3、已知函数f(x)＝cos x·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos2x ＋34，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 【提分秘籍】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．【举一反三】已知函数f(x)＝(2cos2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，若f(α)＝22，求α的值． 【高考风向标】【高考陕西，文6】“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要【高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【高考押题】1．已知sin 2α＝13，则cos2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．－13B ．－23C.13D.232．设tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－2 B ．2C ．－4D ．43．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－125B.512 C.177 D ．－7174．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118C.1718 D ．－17185．cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝()A ．－18 B ．－116C.116D.186．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc.若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于() A.π12B.π6C.π4D.π37．函数y ＝32sin 2x ＋cos2x 的最小正周期为________．8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.9.tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________．10.3tan 12°－34cos212°－2sin 12°＝________.11．已知函数f(x)＝cos2x ＋sin xcos x ，x ∈R.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24.12．已知，0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题第02节 等差数列及其前n 项和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【高三第一次五校联考】在等差数列{}n a 中，53a =，62a =-，则348a a a ++等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42．【沈阳市东北育才学校高三八模】等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a a a⋅= （ ）A.10B.20C.40D.22log 5+3． 【龙岩市一中高三下学期考前模拟】数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ）A ．212B ．21C ．42D ．84 4．【东北师大附中高三第四次模拟】各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（ ）（A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）725．【改编题】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则=-nnn S S S 32（ ） A. 30 B. 3 C. 300 D.31 6．【改编题】已知n S 是公差d 不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，且83S S =，k S S =7（7≠k ），则k 的值为（ ）A. 3B.4C.5D.67．【金华十校高三下学期4月联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足19200,0S S ><，则使n S 取得最大项的n 为A ．8B ．9C ．10D ．118．【西安市高新一中高三5月模考】已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+A ．12+B ．12-C ．322+D ．322-9．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.710．【原创题】已知等差数列}{n a 中，59914,90a a S +==, 则12a 的值是（ ） A ． 15B ．12-C ．32-D ．3211．【原创题】已知等差数列765)1()1()1(53}{x x x n a a n n +++++-=，则，的展开式中4x 项的系数是数列}{n a 中的 （ ）A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项12．【太原市五中高三5月月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,*N n S a a n n ∈+==+12111，在等差数列{}n b 中，52=b ，且公差2=d ．使得n b a b a b a n n 602211>+++ 成立的最小正整数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【北京市第四中学高三上学期期中考试】已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b ==14．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．（1） 试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个； （2） 如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有_____层．15．【盐城市高三第三次模拟考试】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为． 16．【宁波市镇海中学高三5月模考】已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122432,1,,2,a b a b a b ====且存在常数,αβ，使得log n n a b αβ=+对每一个正整数n 都成立，则βα=．三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【惠州市高三第一次调研考试】已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值．18．【宁夏银川一中高三上学期第一次月考】等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b = （1）求n a 与n b ； （2）求nS S S 11121+++ ． 19．【武汉华中师大附中高三5月联考】已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使得对任意*n N ∈，总有n m S T λ<+成立，求实数λ的取值范围．20．【盐城市高三第三次模拟考试】设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++．（1）求2a （用,p q 表示）； （2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；（3）若数列{}n a是公差不为零的等差数列，求{}n a的通项公式．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

高考模拟复习试卷试题模拟卷第02节 等差数列及其前n 项和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【高三第一次五校联考】在等差数列{}n a 中，53a =，62a =-，则348a a a ++等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C. 【解析】试题分析：∵等差数列{}n a ，∴3847561a a a a a a +=+=+=，∴3483a a a ++=.2．【沈阳市东北育才学校高三八模】等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a a a⋅= （ ）A.10B.20C.40D.22log 5+ 【答案】B3． 【龙岩市一中高三下学期考前模拟】数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ）A ．212B ．21C ．42D ．84 【答案】B 【解析】试题分析：根据等差数列的求和公式，可知22010()102a a +=，即2202a a +=，所以数列{}n a 前21 项的和为1212121()212a a S +==，故答案为B ．4．【东北师大附中高三第四次模拟】各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（ ）（A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72【答案】D5．【改编题】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则=-nnn S S S 32（ ） A. 30 B. 3 C. 300 D. 31 【答案】D【解析】因为)(2)(231212n n n n n a a na a n S S +=+=-+，)(23313n n a a n S +=，所以3132=-n n nS S S . 6．【改编题】已知n S 是公差d 不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，且83S S =，k S S =7（7≠k ），则k 的值为（ ）A. 3B.4C.5D.6 【答案】B7．【金华十校高三下学期4月联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足19200,0S S ><，则使n S 取得最大项的n 为A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】C8．【西安市高新一中高三5月模考】已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+A ．12+B ．12-C ．322+D ．322-【答案】C9．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A【解析】设该设备第()n n N*∈的营运费用为na 万元，则数列{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列，则2n a n =，则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+，设第()n n N *∈的盈利总额为n S 万元，则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-()2516n =--+，因此，当5n =时，n S 取最大值16，故选B.10．【原创题】已知等差数列}{n a 中，59914,90a a S +==, 则12a 的值是（ ） A ． 15 B ．12-C ．32-D ．32【答案】B11．【原创题】已知等差数列765)1()1()1(53}{x x x n a a n n +++++-=，则，的展开式中4x 项的系数是数列}{n a 中的 （ ）A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项 【答案】D ．【解析】由二项式定理得567(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中4x 项的系数为44456776551555123C C C ⨯⨯++=++=⨯⨯，由3555n -=，得20n =，故选D ．12．【太原市五中高三5月月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,*N n S a a n n ∈+==+12111，在等差数列{}n b 中，52=b ，且公差2=d ．使得n b a b a b a n n 602211>+++ 成立的最小正整数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【北京市第四中学高三上学期期中考试】已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b == 【答案】2,014．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．（1） 试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个； （2） 如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有_____层．【答案】(1)()61n -；(2)8.15．【盐城市高三第三次模拟考试】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为． 【答案】2316．【宁波市镇海中学高三5月模考】已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122432,1,,2,a b a b a b ====且存在常数,αβ，使得log n n a b αβ=+对每一个正整数n 都成立，则βα=．【答案】4．三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【惠州市高三第一次调研考试】已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值． 【答案】（Ⅰ）2n a n =;（Ⅱ）2k =18．【宁夏银川一中高三上学期第一次月考】等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ； （2）求nS S S 11121+++ ． 【答案】（1）n n a n 3)1(33=-+=,13-=n n b （2）23(1)n nS n =+【解析】试题分析：（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212bS +=可解得3,q =由11b =则n b 可求，又由22S q b = 可得3,6,91222=-===a a d a S 则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=则12211()3(1)31)n S n n n n ==-++，故由裂项相消法可求n S S S 11121+++19．【武汉华中师大附中高三5月联考】已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使得对任意*n N ∈，总有n m S T λ<+成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）295,22n n n n a n S =-=-；（2）29(,)2-+∞． 试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，且27126a a a ++=-，所以736a =-， 即72a =-，又因为公差1d =-，所以7(7)275n a a n d n n =+-=--+=-，21()(45)92222n n n a a n n n n S ++-===-；（2）由（1）知{}n a 的前4项为4，3，2，1，所以等比数列{}n b 的前3项为4，2，1，114()2n n b -∴=⋅，114(5)()2n n n a b n -∴=-⋅，02111114[4()3()(6)()(5)()]2222n n n T n n --∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅21111114[4()3()(6)()(5)()]22222n n n T n n -∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅， 21111114[4[()()()]4(5)()22222n nn T n -∴=-+++--⋅1112[1()]112164(5)()12(26)()12212n n n n n ---=---⋅=+-⋅-1124(412)()2n n T n -∴=+-⋅，11214124(1)12204222n n n n n n n nT T --------∴-=-=，12345T T T T T ∴<<<=，且56T T >>，所以*n N ∈时，max 4549()2n T T T ===， 又因为2922n n n S =-，所以*n N ∈时，max 45()10n S S S ===， 因为存在*m N ∈，使得对任意*n N ∈，总有n m S T λ<+成立， 所以max max ()()n m S T λ<+，所以49102λ<+， 所以实数λ的取值范围为29(,)2-+∞. 20．【盐城市高三第三次模拟考试】设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++．（1）求2a （用,p q 表示）； （2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式．【答案】（1）22a p q =-；（2）证明见解析；（3）1n a n =+．（3）由（2）120n n n a pa qa --++=，因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，然后排出数列为常数列的情况，再结合数列的前两项即可得数列{}n a的通项公式．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

高考模拟复习试卷试题模拟卷第02节 等差数列及其前n 项和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【高三第一次五校联考】在等差数列{}n a 中，53a =，62a =-，则348a a a ++等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C. 【解析】试题分析：∵等差数列{}n a ，∴3847561a a a a a a +=+=+=，∴3483a a a ++=.2．【沈阳市东北育才学校高三八模】等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a a a⋅= （ ）A.10B.20C.40D.22log 5+ 【答案】B3． 【龙岩市一中高三下学期考前模拟】数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ）A ．212B ．21C ．42D ．84 【答案】B 【解析】试题分析：根据等差数列的求和公式，可知22010()102a a +=，即2202a a +=，所以数列{}n a 前21 项的和为1212121()212a a S +==，故答案为B ．4．【东北师大附中高三第四次模拟】各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（ ）（A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72【答案】D5．【改编题】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则=-nnn S S S 32（ ） A. 30 B. 3 C. 300 D. 31 【答案】D【解析】因为)(2)(231212n n n n n a a na a n S S +=+=-+，)(23313n n a a n S +=，所以3132=-n n nS S S . 6．【改编题】已知n S 是公差d 不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，且83S S =，k S S =7（7≠k ），则k 的值为（ ）A. 3B.4C.5D.6 【答案】B7．【金华十校高三下学期4月联考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足19200,0S S ><，则使n S 取得最大项的n 为A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】C8．【西安市高新一中高三5月模考】已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+A ．12+B ．12-C ．322+D ．322-【答案】C9．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A【解析】设该设备第()n n N*∈的营运费用为na 万元，则数列{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列，则2n a n =，则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+，设第()n n N *∈的盈利总额为n S 万元，则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-()2516n =--+，因此，当5n =时，n S 取最大值16，故选B.10．【原创题】已知等差数列}{n a 中，59914,90a a S +==, 则12a 的值是（ ） A ． 15 B ．12-C ．32-D ．32【答案】B11．【原创题】已知等差数列765)1()1()1(53}{x x x n a a n n +++++-=，则，的展开式中4x 项的系数是数列}{n a 中的 （ ）A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项 【答案】D ．【解析】由二项式定理得567(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中4x 项的系数为44456776551555123C C C ⨯⨯++=++=⨯⨯，由3555n -=，得20n =，故选D ．12．【太原市五中高三5月月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,*N n S a a n n ∈+==+12111，在等差数列{}n b 中，52=b ，且公差2=d ．使得n b a b a b a n n 602211>+++ 成立的最小正整数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【北京市第四中学高三上学期期中考试】已知实数0a >且1a ≠，函数, 3,(), 3.x a x f x ax b x ⎧<=⎨+≥⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是等差数列，则___,____.a b == 【答案】2,014．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．（1） 试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个； （2） 如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有_____层．【答案】(1)()61n -；(2)8.15．【盐城市高三第三次模拟考试】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为． 【答案】2316．【宁波市镇海中学高三5月模考】已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122432,1,,2,a b a b a b ====且存在常数,αβ，使得log n n a b αβ=+对每一个正整数n 都成立，则βα=．【答案】4．三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【惠州市高三第一次调研考试】已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值． 【答案】（Ⅰ）2n a n =;（Ⅱ）2k =18．【宁夏银川一中高三上学期第一次月考】等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =（1）求n a 与n b ； （2）求nS S S 11121+++ ． 【答案】（1）n n a n 3)1(33=-+=,13-=n n b （2）23(1)n nS n =+【解析】试题分析：（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212bS +=可解得3,q =由11b =则n b 可求，又由22S q b = 可得3,6,91222=-===a a d a S 则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=则12211()3(1)31)n S n n n n ==-++，故由裂项相消法可求n S S S 11121+++19．【武汉华中师大附中高三5月联考】已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使得对任意*n N ∈，总有n m S T λ<+成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）295,22n n n n a n S =-=-；（2）29(,)2-+∞． 试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，且27126a a a ++=-，所以736a =-， 即72a =-，又因为公差1d =-，所以7(7)275n a a n d n n =+-=--+=-，21()(45)92222n n n a a n n n n S ++-===-；（2）由（1）知{}n a 的前4项为4，3，2，1，所以等比数列{}n b 的前3项为4，2，1，114()2n n b -∴=⋅，114(5)()2n n n a b n -∴=-⋅，02111114[4()3()(6)()(5)()]2222n n n T n n --∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅21111114[4()3()(6)()(5)()]22222n n n T n n -∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅， 21111114[4[()()()]4(5)()22222n nn T n -∴=-+++--⋅1112[1()]112164(5)()12(26)()12212n n n n n ---=---⋅=+-⋅-1124(412)()2n n T n -∴=+-⋅，11214124(1)12204222n n n n n n n nT T --------∴-=-=，12345T T T T T ∴<<<=，且56T T >>，所以*n N ∈时，max 4549()2n T T T ===， 又因为2922n n n S =-，所以*n N ∈时，max 45()10n S S S ===， 因为存在*m N ∈，使得对任意*n N ∈，总有n m S T λ<+成立， 所以max max ()()n m S T λ<+，所以49102λ<+， 所以实数λ的取值范围为29(,)2-+∞. 20．【盐城市高三第三次模拟考试】设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++．（1）求2a （用,p q 表示）； （2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式．【答案】（1）22a p q =-；（2）证明见解析；（3）1n a n =+．（3）由（2）120n n n a pa qa --++=，因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，然后排出数列为常数列的情况，再结合数列的前两项即可得数列{}n a的通项公式．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。