2020年整理在职研究生考试数学测试练习题.doc

sin 3 t ⎰⎰⎰xt 2⎰⎰( )→ →→2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上.（1） 当 x → 0+下列无穷小的阶数最高的是（）.（A ） x(e t 2-1) dt（C ）sin xsin t 2 dt【答案】（D ）（B ） ⎰xln (1+ 1-cos x（D ）t3)dtdt解析： (A) (⎰0 (e x2-1)dt )' = e x -1 x 2(x → 0+ ) 3(B) (⎰ln(1 + t 3dt )'= ln(1 + x 3) x 2( x → 0 +)(C) ( sin xsin t 2dt )' = sin(sin 2 x ) cos x x 2 (x → 0+ )0 1-cos x(D) . (sin 3 tdt )' = sin 3 (1- cos x ) sin x cx 4 (x → 0+ )1 （2） 函数 f( x ) =的第二类间断点个数为（ ）.（A ）1 (B)2(C)3(D)4【答案】（C ）解析：间断点为 x = -1, 0,1, 2lim f x = ∞ 为无穷间断点， x →-1lim f ( x ) = - 1 x 0 2e为可去间断点 lim f ( x ) = ∞ 为无穷间断点，x 1lim f ( x ) = ∞ 为无穷间断点，x 21 arcsin （3）x = （ ） x (1- x )π2(A) 4π2(B) 8π(C)4π(D)8e x -1ln 1 + x(e x-1)( x - 2)⎰∂f ∂x0 2 n n n ⎨ ( ) ( ) ⎪ 【答案】（A ） 121 ⎛π⎫2π2解析：⎰ dx = 2⎰arcsin xd arcsin x = (arcsin =⎪ = ⎝ ⎭ 4（4）函数 f ( x ) = x 2ln (1- x ) ，当 n ≥ 3 时， f (n )(0) = （）.(A)- ! n - 2(B)n ! n - 2(C)(n - 2)! (D) n(n - 2)! n【答案】（A ） 解析： f (n )( x ) = ln (n ) (1- x ) x 2 + C 1 ln (n -1) (1- x )2x + C 2 ln(n -2 )(1- x )2 f (n ) (0) = C 2 ln(n -2) (1- x )2x =0 = n (n -1 )(-1 )n -3(-1 )n(n - 3 )! = -n ! n - 2⎧xy , xy ≠ 0 （5）对函数 f ( x , y ) = ⎪x , y = 0 ⎩y , x = 0 ，给出下列结论① (0,0) = 1 ② (0,0) = 1 ③ lim( x , y )→(0,0)f ( x , y ) = 0 ④ lim lim f x , y = 0y →0 x →0则正确的个数为（ ）.(A)4 (B)3(C)2 (D)1【答案】（B ）解析：= lim f (x , 0) - f (0, 0) = lim x - 0 = 1 ，①对；(0,0) x →0x - 0 x →0 x - 0 lim ( x , y )→(0,0)f ( x , y ) = lim (x , y )→(0,0 )xy = 0 ，则lim lim f x , y = 0 ，③与④对；y →0 x →0f (0, y ) - f (0, 0) f (0, y ) -1 = lim x x = lim x ≠ 1 ，②错. (0,0) y →0y - 0 y →0 y于是正确的个数为 3 个.（6）函数 f ( x ) 在[-2, 2]上可导，且 f '( x ) > f (x ) > 0 ，则().(A)f(-2)f(-1)> 1(B)f (0)1 0x (1- x ) x∂2 f ∂x ∂y ∂f∂x ∂2 f ∂x ∂y-)f(-1) >e (C)f (1)f(-1)<e2(D)f (2)f (-1)<e3【答案】（B）-112 1 34 解析：因为 f '( x ) > f (x ) > 0 ，所以 f '( x ) f ( x )f '( x ) - xf ( x )则 F '( x ) > 0 ，F (0) = f (0), F (-1) = ef (-1) ，因为 F ( x ) 单调增，所以 F (0) > F (-1) ，f (0)即 f (0) > ef (-1) ，即f (-1) > e（7） 已知四阶矩阵 A = a ij 不可逆，a 12 的代数余子式 A 12 ≠ 0 ，α1 ,α2 ,α3 ,α4 为矩阵A 的列 向量组， A * 为 A 的伴随矩阵，则方程组 A *x = 0 的通解为（ ）.(A) x = k 1α1 + k 2α2 + k 3α3 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 (B) x = k 1α1 + k 2α2 + k 3α4 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 (C) x = k 1α1 + k 2α3 + k 3α4 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 (D) x = k 1α2 + k 2α3 + k 3α4 , 其中 k 1、k 2、k 3 为任意常数 【答案】（C ）解析： 因为 A 不可逆， 所以 r ( A ) < 4 ， 又因为 A 12 ≠ 0 ， 所以 r ( A ) ≥ 3 ， 所以r ( A ) =3，r ( A * )=1 ，又因为 A ≠ 0 ，所以α,α ,α 线性无关，又因为 AA * = O ，所以A * x = 0 的通解 x = k α + k α + k α , 其中 k 、k 、k 为任意常数.1 12 33 4123（8） 设 A 为三阶矩阵，α1 ,α2 为矩阵 A 的属于特征值 1 的两个线性无关的特征向量，α3 为⎡1 0 0⎤矩阵 A 的属于特征值-1的特征向量，则使得 P -1AP = ⎢0 -1 0⎥ 的可逆矩阵 P 为（ ）. ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦(A) (α1 +α3 , (C) (α1 +α3 ,α2 , -α3 , -α3 )α2 )(B) (α1 +α2 , (D) (α1 +α2 ,α2 , -α3 , -α3 )α2 )【答案】（D ）解析：由题知 A α1 =α1 , A α2 =α2 , A α3 = -α3 ，所以A （α1 +α2）=α1 +α2 , A (-α3 )= - (-α3 ) ， > ，所以1d 2 ydx 22 d 2 y dx 2 2 1 1 (0,π)(0,π) ⎡1 0 0⎤ 令 P = (α +α , -α ,α ) ，则 P -1AP = ⎢0 -1 0⎥ .1 2 3 2 ⎢ ⎥⎢⎣0 0 1⎥⎦二、填空题：9～14 题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定的位置上.⎧⎪ x = （9） 设⎨，则 = . ⎪⎩ y = ln(t + 答案：应填- .dy t 2 +1)t =11 (1+ t) dy = dt= t + t 2 + 1 t 2+ 1 = 1解析：dx dx t t ，dtd 2y = d 1 d 1t = t ⋅ dt = - 1 ⋅ 1 = -，则= - . dx 2dx dt dx t 2t t 3 t =1（10）⎰0dy ⎰yx 3 +1dx = .答案：应填 2 (2 9-1) .解析：交换积分次序得，1 1 31x 2312 3⎰0dy ⎰yx +1dx = ⎰0 dx ⎰0 x +1dy = ⎰0 x x +1dx= 1 ⎰1 x 3 + 1d (x 3 + 1) = 2(2 2 - 1) .3 0 9（11） 设 z = arctan(xy + sin(x + y )) ，则 dz = .答案：应填(π-1)dx - dy .解析： dz = d arctan(xy + sin(x + y )) = 则 dz = (π-1)dx - d y .ydx + xdy + cos(x + y )(dx + dy )1+ (xy + sin(x + y ))2，（12） 斜边为 2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉浸在水中，斜边与水平面齐平，重力加速度为 g ，水的密度为ρ，则该平板一侧受到的水压力为 .答案：应填 1ρga 3.3t 2 +1 t 2 +1 t 2 +1t 2+1 2aa⎰=- 解析：水压力为 F =⎰ρg (a - y ) ⋅ 2ydy = 2ρg ⎰0(a - y ) ⋅ ydy = 1ρga 3.3（13）设 y = y (x ) 满足 y ' + 2 y ' + y = 0 ，且 y (0) = 0 ， y '(0) = 1，则 +∞y (x ) d x = .答案：应填1.解析： y ' + 2 y ' + y = 0 的特征方程为 r 2+ 2r +1 = 0 ，则 r = -1 为二重根，微分方程的通解为 y = (C + C x ) e - x.12+∞+∞- x 由 y (0) = 0 ， y '(0) = 1得C = 0 ， C = 1 ，则 y = x e - x，y (x ) d x x e dx = 1. 12⎰⎰（14）行列式答案：应填 a 4 - 4a 2.a a a a=1 1 1 1 1 1 1 1 0解析：原式= a 1 -1 = a 0 a 1 -1 = a 0 a 1 -1 = a 4 - 4a 2-1 1 a 0 -1 1 a 0 0 2 a +11 1 -1 0 a1 -1 0 a 0 -2 -1a -1三、解答题：15～23 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）x 1+ x求曲线 y =(1+ x )x(x > 0) 的斜渐近线.解析：只考虑 x > 0 的情形yx x ⎛ x ⎫x1k = limx →+∞ x = limx →+∞ (1+ x ) = lim = ， x →+∞ ⎝1+ x ⎭ e ⎛ 1 ⎫⎡ x 1+ x x ⎤ ex 1+ x - x (1+ x )x b = lim y - x ⎪ = lim ⎢ x ⎥ = lim xx →+∞ ⎝ e ⎭ x →+∞ ⎣(1+ x ) e ⎦ x →+∞e (1+ x )1 ⎡ ⎛ x ⎫x ⎤ 1 ⎛ x ln x ⎫ 1 ⎛ 1 +x ln x ⎫= lim x ⎢e ⎪ -1⎥ = lim x e ⋅ e 1+ x -1 ⎪= lim x e 1+ x -1 ⎪e x →+∞ ⎣⎢ ⎝ 1+ x ⎭ ⎦⎥ ex →+∞⎝ ⎭ e x →+∞ ⎝ ⎭ a 0 -1 1 0 a 1-1 -1 1 a 01 -1 0 a⎨ ( ) ( ) + - 解析： 时， ⎰0 = x ⎰0 ， x2 ⎰0 x= 1 lim x ⎛1+ x lnx ⎫= 1 lim1+ x l n1 1+ 1 x = 1 lim1+ 1 ln t11+ t ex →+∞ 1+ x ⎪ e x →+∞1 e t →0+t⎝ ⎭x= 1lim t - ln(1+ t ) 1 = ， e t →0+ t 2 2e1 1于是，曲线的斜渐近线方程为 y = x + .e 2e（16）（本题满分 10 分）已知函数 f (x ) 连续，且lim f ( x )= 1, g ( x ) = ⎰1 f ( xt )dt ,求 g '( x ) ，并证明 g '( x ) 在 x = 0 连续.x →0x当 x ≠ 0 g ( x ) = 1f ( x t )dt u = x t1 f (u )du g '( x ) = - 1 xf ( u ) du + f ( x )当 x = 0 时1⎰xf (u ) d u - 0f (u ) dug '(0) = lim g ( x ) - g (0) = lim x 0 = lim ⎰0= lim f ( x ) = 1 ，x →0 x x →0 xx →0 x 2 x →0 2x 2 ⎧- 1 1 f (u ) du +f ( x ), x ≠ 0 所以g '( x ) = ⎪ x 2 ⎰0 x 1 ⎪ , x = 0 ⎪⎩ lim g '( x ) = lim[- 12f (u ) d u + f x 1 ] = lim -1 f ( x ) f u du lim = lim f ( x ) +1 = 1 =g '(0) x →0 x →0 x2 ⎰0 x x →0 x 2 ⎰0 x →0 xx →0 2x 2 所以 g '( x ) 在 x = 0 连续.（17）（本题满分 10 分）求函数 f ( x , y ) = x 3 + 8 y 3 - xy 的极值．⎧ ∂f ⎪ ∂x = 3x 2 - y = 0⎛ 1 1 ⎫解析：令⎨∂f得驻点(0, 0), , ⎪⎪ = 24 y 2 - x = 0 ⎪⎩ ∂y⎝ 6 12 ⎭∂2 f 且 ∂x 2= 6x , ∂2 f ∂x ∂y= -1, ∂2 f∂y 2= 48 y . x x1， ，3 3 3 3 2 3 3 ( x , y )∂2 f A =∂x2∂2 f B = ∂x ∂y∂2 f C = ∂y 2AC - B 2极值(0, 0)0 -1 0 < 0 无 ⎛ 1 1 ⎫ , ⎪ ⎝ 6 12 ⎭1-14> 0极小故 在⎛ 1 , 1 ⎫ 处取得极小值且极小值 ⎛ 1 , 1 ⎫= - 1 6 12 6 12 216⎝⎭⎝⎭.（18）（本题满分 10 分）2⎛ 1 ⎫x 2 + 2x设函数 f ( x ) 的定义域为（0，+∞）且满足 2 f ( x ) + x f ⎪ = ，求 f ( x ) ，并⎝ x ⎭ 1+ x 2求曲线 y =f ( x ), y = 1 , y = 3及 y 轴所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积. 2 21 +2 1 + 2 1 1 1t 2 tt 解析：令 x = ，得 2 f ( ) + f (t ) = =，即t t t 2 1+ 11+ t 2t221 2t2 + t 21 2 x 2 + x 2t f ( ) + f (t ) = ，即 2x f ( ) + f (x ) = ，t 1+ t 2 x 1+ x 22⎛ 1 ⎫ x 2+ 2xx 与题中的 2 f ( x ) + x f ⎪ = 联立得， f (x ) = ，⎝ x ⎭ 1+ x 2 1+ x 2由 y = f (x ) = 1, 得x = ，由 y = 得 x = . 2323 2 1 2 ⎡ 3 x1 2 3 ⎤体积为V = π( 2 ) 3 -π( 2) 3 - ⎢⎰ 3π( ) d x -π( ) ( 3 - 1+ x 2 2 3 ) ⎥ ⎣ 3⎦π π2= π-π( - ) + π= . 2 3 6 6 6（19）（本题满分 10 分）⎰ ⎰ 1⎰ 0 ⎰4 π3 π 设平面区域 D 由直线 x = 1, x = 2, y = x 与 x 轴所围,计算⎰⎰Ddxdy .解析：令 I =⎰⎰Ddxdy = π1 0 cos θ π12 d θ cos θ rdr cos θ2r 2 cos θ= ⎰ 4 ()d θ 0 cos θ 2 1cos θ3 π1=⎰43d θ2 0 cos θ= 3 4 sec θd tan θ 2 0π= sec θtan θ 4 - 2 2π 4 tan 2θsec θd θ 0= 3 2 - 3 2 2 π4 (sec 2 θ-1) sec θd θ= 3 2 - 3 2 2 4 sec 3θ+ 3 0 2 π 4 sec θd θπ = 3 2 - I + 3ln(sec θ+ tan θ) 42 2 0 =3 2 - I + 3ln( 2 + 1)2 2I = 3[ 4 + ln(1+ 2)]（20）（本题满分 11 分） 设函数 f (x ) = xe t 2dt ；1（1）证明：存在ξ∈(1, 2) ，使得 f (ξ) = (2 -ξ) e ξ2.（2）证明：存在η∈(1, 2) ，使得 f (2) = ln 2 ⋅ηe η2.证明：(1)令F (x ) = (2 - x ) f (x ),由题意 f (1) = 0, F (1) = 0, F (2) = 0因为 F (x ) 在[1, 2]上连续，在(1, 2) 可导，所以由罗尔定理可知∃ξ∈(1, 2) 使 F '(ξ) = 0 ,即x 2 + y 2x 2 + y 22 ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ 3x=f (ξ) = (2 -ξ)eξ2（2）令 g (x ) = ln x , f (x ), g (x ) 在[1,2]上连续，在(1,2)可导，且 g '(x ) ≠ 0, 所以由柯西中值定理可知存在η∈(1, 2) ,使得f '(η) =g '(η) f (2) - f (1) ，即 f (2) = ln 2 ⋅ηe η2 . g (2) - g (1)（21）（本题满分 11 分）设函数 f (x ) 可导，且 f '(x ) > 0 ，曲线 y =f (x ) （x > 0 ）经过坐标原点，其上任意一点 M 处的切线与 x 轴交于T ，又 MP 垂直 x 轴于点 P ，已知曲线 y = f (x ) ，直线 MP 以及 x 轴所围图形的面积与三角形 MPT 面积之比恒为3 : 2 ，求满足上述条件的曲线方程.解析：设所求曲线方程为 y = y (x ) ，任一点 M 坐标为(x , y ) ，由题意得 tan θ= y ' =MP，即TP = y，TP y '三角形 MPT 的面积为11 y y2 S = 2 MP ⨯ TP = 2 ⨯ y ⨯ y ' = 2 y' ，曲边三角形OMP 的面积 S =⎰y (x )dx ，y 22 x由两面积之比为常数得2 y ' = 3⎰0 y (x )dx ，两边关于 求导得 2 yy 'y ' - y 2 y ' 4 y (x ) ， 即 yy ' = 2 '2，xy '2 33 y令 p ( y ) = y ' ， 则 y '' = p dp，dy原方程化为 ypdp = 2 p 2 ， 即 p [ y dp - 2p ] = 0 。

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． 1.设()lim ,x a f x a b x a →-=-则sin ()sin limx a f x ax a→--（ ） A. sin b a B.cos b a C.sin ()b f a D. cos ()b f a2. 函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为（ ）A.1B.2C. 3D.4 3. 设奇函数()f x 在(,)-∞+∞具有连续导数，则（ ）A.0[cos ()()]xf t f t dt '+⎰是奇函数 B. 0[cos ()()]xf t f t dt '+⎰是偶函数 C. 0[cos ()()]xf t f t dt '+⎰是奇函数 D. 0[cos ()()]xf t f t dt '+⎰是偶函数4.设幂级数当1(2)nnn na x ∞=-∑的收敛区间为(2,6)-，则21(1)nn n a x ∞=+∑的收敛区间为（ ）A. (2,6)-B. (3,1)-C. (5,3)-D. (17,15)-5. 设4阶方阵()ij A A =不可逆，12a 的代数余子式120A ≠，1234,,,αααα为矩阵A 的列向量组，则*0A X =的通解为（ ）A.112233x k k k ααα=++B.112234x k k k ααα=++C.112334x k k k ααα=++D.122334x k k k ααα=++6. A 为3阶方阵，12,αα为属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于-1的特征向量，满足1111P AP -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的可逆矩阵P 为（ ）A. ()1323,,αααα+-B.()1223,,αααα+- C. ()1332,,αααα+- D. ()1232,,αααα+-7. 设A,B,C 为三个随机事件，且1()()(),()0,4P A P B P C P AB ====()()P AC P BC = 112=，则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为（ ） A.34 B. 23 C.12 D.5128. 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布1(0,0;1,4;)2N -，下列随机变量服从标准正态分布且与X 独立的是（ ）)X Y + B. )X Y - C. )X Y + D. )X Y - 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题．．纸．指定位置上．9. 设()[],sin arctan y x xy z ++=则()=π,0d z . 10.设曲线20xyx y e++=在点(0,1)-处的切线方程为 .11.设Q 表示产量，成本()10013C Q Q =+,单价P ，需求量800)23QP P =-+，则工厂取得利润最大时的产量为 . 12. 设平面区域21(,),0121x D x y y x x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭，则D 绕y 轴旋转所形成旋转体体积为 .13. 行列式=----aa aa11011110110 . 14. 随机变量X 的分布律为1(),1,2,,2kP X k k Y ===L 为X 被3除的余数， 则EY = .三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． 15.（本题满分10分）.设,a b 为常数，且当n →∞时，1(1)ne n+-与abn 为等价无穷小，求,a b 的值 16.（本题满分10分）求函数33(,)8f x y x y xy =+-的极值. 17.（本题满分10分）若函数()f x 满足()2()5()0,f x f x f x '''++=且有(0) 1.(0)1f f '==-， （I ）求()f x ；（II ）设+()n na f x dx π∞=⎰，求1n n a ∞=∑.18. （本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y y =+≤≥， ()()Df xy x f xy dxdy =⎰⎰，计算()Dxf xy dxdy ⎰⎰.19.（本题满分10分）设函数()x f 在[0,2]上具有连续导数,()()020f f ==，(0,2)max{|()|}x M f x ∈=.证明：（1）()0,2,ξ∃∈使得()f M ξ'≥ （2）若()()0,2,x f x M '∀∈≤,则0M =. 20.（本题满分11分）设二次型()22121122,44f x x x x x x =++经正交变换1122x y Q x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为二次型()22121122,4g y y ay y y by =++，其中a b ≥ （I ）求,a b 的值；（II ）求正交矩阵Q .21.（本题满分11分）设A 为2阶矩阵，(,)=P αA α，α是非零向量且不是A 的特征向量。

研究生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数？A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 3x+2答案：A2. 矩阵A和矩阵B的乘积AB中，如果A是3x2矩阵，B是2x4矩阵，那么AB的维度是多少？A. 3x4B. 3x3C. 2x4D. 4x4答案：A3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1/nB. 1/n^2C. 1/n^3D. 1/n^(1/2)答案：B4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的定积分是多少？A. 0B. πC. 2D. -π答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)f(x) = _______。

答案：f(a)2. 矩阵A的特征值是特征多项式det(A-λI)=0的解，其中I是单位矩阵，λ代表_______。

答案：特征值3. 微分方程y''+y=0的通解是y=C1cos(x)+C2sin(x)，其中C1和C2是常数，那么这个方程的特解y_p=_______。

答案：04. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的二阶导数是_______。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在实数域R上是单调递增的。

证明：由于f'(x)=3x^2≥0对所有x∈R成立，且仅在x=0时取等号，因此f(x)在R上单调递增。

2. 求解微分方程y'+2y=e^(-2x)的通解。

解：首先找到齐次方程y'+2y=0的解，得到y_h=Ce^(-2x)。

然后使用待定系数法找到特解y_p=A，代入原方程得到A=1/2e^(-2x)。

因此，通解为y=Ce^(-2x)+1/2e^(-2x)。

结束语：本试题及答案旨在考察研究生数学的基本概念、计算能力和证明技巧，希望同学们通过练习能够加深对数学知识的理解与应用。

在职研究生考试数学测试练习题微积分（1）设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则2)(lim x x x y x -→（）（A ）等于0. （B ）等于1. （C ）等于2.（D ）不存在.解2000()()1()1lim lim lim (0)222x x x y x x y x y x y x x →→→'''--''===， 将0x =代入方程，得2(0)(1)(0)(0)1y x y x y '''+-+=，又0)0(=y ，1)0(='y ，故(0)2y ''=， 所以2()lim1x y x xx→-=，选择B. （2）设在全平面上有0),(<∂∂xy x f ，0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（）（A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >.（D ）21x x <，21y y >.解(,)0(,)f x y f x y x∂<⇒∂关于x 单调减少， (,)0(,)f x y f x y y∂>⇒∂关于y 单调增加， 当21x x >，21y y <时，112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y <<，选择A.（3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0<x 时有()0f x '<，()0f x ''>，则当0>x 时有（）（A ）0)(,0)(>''<'x f x f . （B ）0)(,0)(<''>'x f x f . （C ）0)(,0)(>''>'x f x f . （D ）0)(,0)(<''<'x f x f . 解【利用数形结合】)(x f 为奇函数，当0<x 时，)(x f 的图形为递减的凹曲线，当0x >时，)(x f 的图形为递减的凸曲线，选择D.（4）设函数)(x f 连续，且(0)0f '<，则存在0δ>，使得（） （A ）在(0,)δ内单调增加 （B ）在(,0)δ-内单调减少（C ）对任意的(0,)x δ∈，有()(0)f x f > （D ）对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >解【利用导数的定义和极限的保号性】0()(0)(0)lim0x f x f f x →-'=<，由极限的的保号性，(0,)U δ∃，在此邻域内，()(0)0f x f x-<，所以对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >，选择D.(5) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) (?1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x ? 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ， 42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x)在(?1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f bx -→存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界. （6）设f (x)在(?? , +?)内有定义，且ax f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元x u 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→=== a(令x u 1=)，又g(0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g(x)在点x = 0处连续，当a ? 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (7) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.[ C ]【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 <?< 1，当x ? (?? , 0) ? (0 , ?)时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的极小值点. 显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x ? (?? , 0)时，f (x) = ?x(1 ? x)，02)(>=''x f ，当x ? (0 , ?)时，f (x) = x(1 ? x)，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(8) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n nu 收敛.(2) 若∑∞=1n nu 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→nn n u u，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n nv 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n nu 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim 1>+∞→n n n u u可得到n u 不趋向于零(n ??)，所以∑∞=1n n u 发散.(4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而 ∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (9) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b).(C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，)()(lim)(>--='+→a x a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--a x a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.（10）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<. (C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).（11）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h→=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B)()()010f f -'=且存在(C)()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ]【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性.【详解】由()22lim1h f h h→=知，()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则()20(0)lim ()lim 0x h f f x f h →→===.令2t h =，则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t ++→→-'===.所以(0)f +'存在，故本题选（C ）.（12）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A) 1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nnn a ∞=-∑收敛.(C) 11n n n a a ∞+=∑收敛. (D) 112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ Ｄ ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由1nn a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ).或利用排除法：取1(1)nn a n =-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取(1)nn a =-.故（Ｄ）项正确.（13）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ]【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.（14）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ]【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=,整理得000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.线性代数（1）二次型222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-的规范型是（）. （A ）222123f z z z =++.（B ）222123f z z z =+-. （C ）2212f z z =-.（D ）21f z =.解二次型的规范型由它的正负惯性指数确定，二次型的矩阵122244244A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，其特征多项式212292224400(9)2440A E λλλλλλλλλ-----=---=-=----， 故A 的特征值为9,0,0，正惯性指数1p =，负惯性指数0q =，选择D.（2）设1211121k A k k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭，B 是三阶非零矩阵，且AB O =，则（）.（A ）当1k =时，()1r B =.（B ）当3k =-时，()1r B =.（C ）当1k =时，()2r B =.（D ）当2k =-时，()2r B =.解()1B O r B ≠⇒≥，()()3()3()AB O r A r B r B r A =⇒+≤⇒≤-，1()3()r B r A ≤≤-.当1k =时，()1r A =，1()2r B ≤≤，排除A ，C ，当2k =-时，122033111~111221003A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，()3r A =，1()0r B ≤≤，矛盾，排除D ，选择B.(3) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(4) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ B ]【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.（5）设(1,1,1)Tα=,(1,0,)T k β=，若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k = .【答案】2.【解析】T αβ相似于300000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ的特征值为3，0，0.而T αβ为矩阵Tαβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=.（6）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 (A)若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B)若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ A ]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A ABααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).（7）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则 （Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）T C PAP =. ［Ｂ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.概率论（1）设随机变量X 与Y 分别服从12N -（，）和2N （1，），且X 与Y 不相关，1k X Y +与2X k Y +也不相关，则（）.（A ）120k k +=.（B ）120k k ==. （C ）120k k +≠.（D ）120k k +≠. 解X 与Y 不相关(,)0Cov X Y ⇔=，1k X Y +与2X k Y +不相关1212122200k DX k DY k k k k =+=+=⇔+=，选择A.（2）设12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则（）（A ）~(0,1)nX N .（B ）22~()nS n χ.（C ）)1(~)1(--n t SX n .（D ）2122(1)~(1,1)n i i n X F n X =--∑. 解221()()D nX n D X n n n==⋅=，排除A ， 2222(1)(1)~(1)n S n S n χσ-=--，排除B ，~(1)X t n =-，排除C ，选择D.(3)设1X ，2X ,…,nX 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET= .【答案】2np【解析】由222()(1)ET E X S EX ES np np p np =-=-=--=.（4）设随机变量X服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且则必有(A)12σσ<(B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).(5) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A)2αu . (B)21αu-. (C)21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. 微积分（1）设)(1lim)(2212N n xbxax x x f nn n ∈+++=-∞→，若1l i m ()x f x →与1lim ()x f x →-都存在，那么a =________，________b =.解当1x <时，21222()lim 1n n n x ax bxf x ax bx x -→∞++==++， 当1x >时，23222111()lim11n n n n a bx x f x xx x--→∞++==+， 1lim ()x f x →存在11lim ()lim ()x x f x f x -+→→⇔=，即1a b +=， 1lim ()x f x →-存在11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-⇔=，即1a b -=-，解得0,1a b ==.(2) 若5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，则a =________=，b =________=.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1.极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b = ?4.因此，a = 1，b = ?4.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则)1(221=-⎰dx x f 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ? 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x ? 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dtx f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .（4）222222021limcos()xy r x y r e x y dxdy r π→+≤-⎰⎰________=.解由积分中值定理知，存在(,)D ξη∈：2222x y r +≤，使得222222222200211lim cos()lim cos()22xy r r x y r ex y dxdy e r rrξηξηπππ→→+≤-=⋅-⋅=⎰⎰.（5）设(,)z z x y =由方程()()xy xf z yg z =+确定，且()()0xf z yg z ''+≠，则[()][()]________z zx g z y f z x y∂∂---=∂∂. 解方程为(,,)()()0F x y z xf z yg z xy =+-=，()()()x z F z f z y x F xf z yg z ∂-=-=-''∂+，()()()y z F z g z x y F xf z yg z ∂-=-=-''∂+，()()[()][()]0()()()()y f z x g z x g z y f z xf z yg z xf z yg z --=---=''''++.（6）设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，则dx x f ⎰π|)(|________=.解()()F x f x '=，2()()2cos 2F x f x dx xdx =⎰⎰，2()()2cos 2F x f x dx xdx =⎰⎰，2()sin 2F x x C =+，又(0)1F =，故1C =，2()sin 21F x x =+，()sin cos F x x x =+，22|cos 2||cos sin ||()|cos sin |()||cos sin |x x x f x x x F x x x -===-+，1)(1=+=（7）极限12sinlim 2+∞→x xx x ________= .【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】12sinlim 2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x xx x（8）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为________=.【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为0)(='xy ，积分得C xy =， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.（9）设二元函数)1ln()1(y x xe z yx +++=+，则=)0,1(dz.【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】)1ln(y xe e x zy x y x +++=∂∂++, y x xe y z y x +++=∂∂+11,于是=)0,1(dzdy e edx )2(2++.（10）cos 0xx →=.【答案】32e .【解析】cos cos 100x x x x -→→=02(1cos )lim 13x e x x →-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =. （11）设()y xz x e =+，则(1,0)zx ∂=∂.【答案】2ln 21+. 【解析】由()xy z x e =+，故()(),01xz x x =+代入1x =得，()ln 21,01ln 22ln 212ze x∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭.（12）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为.【答案】1e .【解析】由题意知，()210nn n e a n --=>所以，该幂级数的收敛半径为1e（13）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.【答案】8000.【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+因为0.2p Q PQ ξ'==-，所以0.2Q P Q '=-所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+=将10000Q =代入有()8000QP '=.线性代数（1）设矩阵2T A E αβ=+，其中,αβ是n 维列向量，且2T αβ=，则1______A -=. 解22(2)44()T T T T A E E αβαβαβαβ=+=++126()65T E E A E A E αβ=+=+-=-，故256(6)E A A E A A =-=-，所以11(6)5A E A -=-.（2）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=.【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a. 【详解】由题设，有=1234123121112a a a 0)12)(1(=--a a , 得21,1==a a ，但题设1≠a ，故.21=a（3）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则 【答案】1-【解析】（4）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k =. 【答案】2.【解析】T αβ相似于300000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ的特征值为3，0，0.而T αβ为矩阵T αβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=.(5) 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为.【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换 或配方法均可得到答案.【详解一】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=于是二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A , 从而2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=2221232y y +=,其中,21213211x x x y ++=322x x y -=. 所以二次型的秩为2. 概率论 （1）设129,,,X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本，1161()6Y X X =++27891()3Y X X X =++，922271()2i i S X Y ==-∑，12)Y Y Z S -=，则统计量Z 服从______. 解设正态总体2~(,)X N μσ，12()0E Y Y -=，2221212()632D Y Y DY DY σσσ-=+=+=，212~(0,)2Y Y N σ-~(0,1)N ，2222~(2)S χσ，又12Y Y -，2S 独立，12)~(2)Y Y Z t S -==.（2）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则}2{=Y P =.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】}2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P=.4813)4131210(41=+++⨯ （3）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为XY 0 10 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a=, b=.【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ，即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1 (4) 设总体X服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN , 1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=,故应填2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.（5）设随机变量X 服从标准正态分布~N(0,1)X ,则2()X E Xe =________。

《大学数学基础》复习题
一、简要回答下列问题
1．举例说明导数的某些应用．
2．举例说明事件的相互独立性．
3．怎样求多元函数极值与最值．
4．简介连续型随机变量的定义与性质．
5．正定矩阵的定义及其判别法．
6．简介分布函数的性质．
二、计算题
1．求曲线221y x -=与x y =所围图形的面积．
2．求函数235)(23++-=x x x x f 在区间]3,3[-上的最大、小值．
3．求函数)sin(sin sin ),(y x y x y x f +-+=在区域⎩
⎨⎧≥≥≤+0,02y x y x π上的最大、小值． 4．求椭圆122
22≤+b
y a x 分别绕x 与y 轴旋转一周所得旋转体的体积． 三、设工厂生产甲、乙两种产品，售价分别为12元与18元，已知总成本C （单
位:：万元）是甲、乙两种产品产量x 和y （单位：台）的函数
42222+++=y xy x C ，试求两种产品产量为多少时能获最大利润？
四、甲、乙、丙三人在某公共车站分别等1，2，3路车，假设每人等车的时间X 都服从均匀分布,即~X ]5,0[U ，求三人中正好有两人等车时间不超过两分钟的概率．
五、已知
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1310511521316313211A ， T =),,,(4321x x x x X ， T =)3,3,3,1(b ，
（1）用初等行变换将增广矩阵],[b A A =化为阶梯形；
（2）求出b AX =的通解．。

2020年考研数学一真题及答案(全)全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.若函数 $f(x)=\begin{cases}1-\cos x。

& x>0 \\ a x + b。

& x\leq 0\end{cases}$ 在 $x$ 连续，则 $ab=$答案：A详解：由 $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$ 得 $ab=1$。

2.设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x)f'(x)>0$，则A) $f(1)>f(-1)$；(B) $f(1)f(-1)$；(D) $f(1)<f(-1)$。

答案：C详解：$f(x)f'(x)>0$ 表示 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和$(0,+\infty)$ 上单调，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在$(0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $f(1)>f(-1)$。

3.函数 $f(x,y,z)=xy+z$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿着向量$n=(1,2,2)$ 的方向导数为A) $12$；(B) $6$；(C) $4$；(D) $2$。

答案：D详解：方向余弦$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=\frac{1}{3}$，$\cos\beta=\frac{2}{3}$，$\cos\gamma=\frac{2}{3}$，偏导数$f_x'=2xy$，$f_y'=x^2$，$f_z'=2z$，代入 $\cos\alphaf_x'+\cos\beta f_y'+\cos\gamma f_z'$ 即可。

2020年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)设1口心—°= b,则lim sinfQ)—sina=().x-^a x——a x-*a3C——a(A)6sin a(B)6cos a(C)6sin/(a)iIn I14-rr I(2)函数心)=二的第二类间断点的个数为((e—1)(j?—2)(A)l(B)2(03(3)设奇函数心)在(-00,-1-00)上具有连续导数，则().(A)f[cos/"(/)+/^(Olldr是奇函数J0(E)「[cos/(i)+/(O]d^是偶函数J0(C)[[cos/"'(/)+y(t)]d/是奇函数J0(D)「[cos是偶函数J0(D)bcos/(a) ).(D)4(4)设幕级数—2)"的收敛区间为(一2,6),则工a”Q+l)2n的收敛区间为().n=\n=1(A)(-2,6)(B)(-3,l)(0(-5,3)(D)(-17,15)(5)设4阶矩阵A=(a“)不可逆,a*的代数余子式A12丰O,aj,a2,a3,a,为矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵，则方程组A*X=0的通解为().(A)X=^1a1+^2a2+^3a3,其中k x,k2,k.为任意常数(B)X=^1a1+k2a2+k3a4,其中k,,k2,k3为任意常数(C)X=bS+展as+匕。

4,其中紅,k2,k3为任意常数(D)X=k i a2k2a3+怂。

4,其中ki,k2^k3为任意常数(6)设A为3阶矩阵,a】，a?为A的属于特征值1的线性无关的特征向量,as为A的属于特征I1°°\值一1的特征向量，则满足P_1AP=0-10的可逆矩阵卩为().'o01'(A)(a j a3,a2,—a3)(B)(a〕+ct2，a2，—a3)(C)(a1+a3,—a3,a2)(D)(a T+a2»—a3,a2)(7)设A,B,C为三个随机事件，且PC A)=P(£)=P(C)=±,P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=2，412则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为().3215(A)Z(B)T(C)7(D)12(8)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0；1,4；-，则下列随机变量中服从标准正态分布且与X相互独立的是().(A)啤(X+Y)(B)尝(X—丫)55(C)y(X+Y)(D)y(X-Y)二、填空题(9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.)(9)设z=arctanRy+sin(z+了)],贝0dz|(0,…)=______.(10)曲线jc y+e2iy=0在点(0,—1)处的切线方程为________.(H)设某厂家生产某产品的产量为<2,成本C(Q)=100+13Q,该产品的单价为/,需求量—2,则该厂家获得最大利润时的产量为(12)设平面区域。

A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析第1题 单项选择题 （每题4分，共8题，共32分） 下列每小题的四个选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。

1、当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．2、设函数f(x)在区间(-1，1)内有定义，且，则( )3、设函数f(x ，y)在点(0，0)处可微f(0，0)=0，且非零向量d 与n 垂直，则( )．4、设R 为幂级数的收敛半径，r 是实数，则( )．5、若矩阵A 经初等列变换化成B ，则( )．A 、 存在矩阵P ，使得PA=BB 、 存在矩阵P ，使得BP=AC 、 存在矩阵P ，使得PB=AD 、 方程组Ax=0与Bx=0同解A 、可由，线性表示B 、 可由，线性表示C 、 可由，线性表示D 、，，线性无关A 、B 、C 、D 、A 、1-(1)B 、(1)C 、 1-(0．2)D 、 (0．2)6、已知直线相交于一点，法向量，则( )．7、设A ，B ，C 为三个随机事件，P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=1，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为( )．8、设X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=，(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得的近似值为( )．第2题 填空题 （每题4分，共6题，共24分） 将正确答案写在题中横线上（或者“括号里”）的空白处。

9、10、11、若函数f(x)满足f”(x)+af’(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m，f'(0)=n，则12、13、14、设X服从区间(-)上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X，Y)=——．第3题解答题（每题10.44分，共9题，共93.96分）根据所给材料回答问题。

全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。

（iii ）注意：如果 （1）()limx f x x→∞不存在； （2）()limx f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。

在本题中，函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C.(2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--故选（A ）.(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【考点】数列极限 【难易度】★★★【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞存在，于是11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则n S n =是无界的.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设20sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x e t dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e e xdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因(,)0f x y x∂>∂，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，当x 固定时对y 单调下降，故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.（6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰( )（A ）π（B ）2（C ）-2（D ）π-【答案】D【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：10,(,)(,)2(,),(,)DD f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对或为奇函数，对或为偶函数在本题中，11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰5222221(1sin )(1sin )2x x dx x dx πππππ--=---=-⎰⎰ 其中521(1sin )2x x -，sin x 均为奇函数，所以 52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰，22sin 0xdx ππ-=⎰故选（D ）(7)设1100c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d ydx== .【答案】1【考点】隐函数的微分 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。

2020年全国硕士研究生招生考试 数学（二）试题参考答案及解析一、选择题1-8题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1. 当0x +®时，下列无穷小量中最高阶的是 ( ). （A ）2(1)-⎰xt e dt （B）0ln(1+⎰x dt （C ）sin 20sin ⎰xt dt （D）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】22320(e 1)11lim lim ,33++→→--==⎰xt x x x dte x x可知2301(e 1),0;3+-→⎰:x t dt x x5022ln(12limlim ,52++→→==⎰xx x dtxx可知5202ln(1,0;5+→⎰:xdt x xsin 22032000sin sin(sin x)cosx cos 1limlim lim ,333+++→→→⋅===⎰xx x x t dtx x x可知sin 2301sin ,0;3x t dt x x +→⎰:1cos 0500limlim lim x x x x +++-→→→===⎰可知1cos 50,0,-+→⎰:xx x对比可知1cos 0-⎰的阶数最高，故选（D ）.2....第二类间断点的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】()f x 可能的间断点有1,0,1,2x x x x =-===，由于1lim ln |1|x x ?+=-?，111lim0(1)(2)x x x ee x -?¹--，可知-1lim ()x f x ®=?，则1x =-为()f x 的第二类（无穷）间断点；111lim ()lim(2)2x x x e x f x x x e-==--，又由于()f x 在0x =处无定义，可知0x =为()f x 的第一类（可去）间断点；1111ln(1)lim ,lim 0(1)(2)x x x x x e e x ++-+=+ス--，则1lim ()x f x +®=?，则1x =为()f x 的第二类（无穷）间断点；11221ln(1)lim,lim021x x xx e x x e -+=ス--，则2lim ()x f x ®=?，则2x =为()f x 的第二类（无穷）间断点.综上所述，()f x 的第二类间断点有3个，故选（C ）.3.1=ò（ ）.（A ）24p （B ）28p （C ）4p （D ）8p【答案】（A ）【解析】11002=2112002(arcsin (arcsin 4p ===ò，故选（A ）.4.设2()()ln(1),...,(0)n f x x x f =-=（ ）.（A ）!2n n --（B ）!2n n -（C ）(2)!n n --（D ）(2)!n n -【答案】（A ）.【解析】由ln(1)x -的麦克劳林公式可知242232()()()22n n n n x x x x f x x x o x x o x n n ++骣骣鼢珑鼢=----+=-++++珑鼢鼢珑桫桫L Ln x 的系数为12n --，则()!(0)2n n f n =--，故选（A ）.5.关于函数...给出以下结论①(0,0)1fx ¶=¶①2(0,0)1f x y ¶=抖①(,)(0,0)lim (,)0x y f x y ®=①00limlim (,)0y x f x y =正确的个数是（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 【答案】（B ）【解析】(,0)f x x =可知(0,0)1fx ¶=¶，故①正确.不论0,0xy x?还是0y =时，都有(,)(0,0)lim (,)0x y f x y ®=，故①正确.lim (,)0x f x y ®=，进而00limlim (,)0yxf x y =，可知①正确，当0y =时，00(,0)(,0)(,0)lim lim 1x x x f x x f x x x xf x x x D 瓺?+D -+D -¢===D D当0,0y x 构时，00(,)(,)()(,)lim lim x x x f x x y f x y x x y xyf x y yx x D 瓺?+D -+D -¢===D D当0,0y x?时，00(,)(0,)(0,)lim limx x x f x y f y x y yf y x x D 瓺?D -D ?¢==D D 不存在，则(0,)(0,0)(0,0)limx x xy y f y f f y®ⅱ-ⅱ=不存在，故①错误，故正确的有3个，选（B ）6.设函数()f x 在区间[2,2]-上可导，。

在职研究生高等数学试题高等数学在职研究生试题一、函数与极限1.已知函数$f(x)=\begin{cases}x-1\qquad x\leq0\\\sqrt{1+x}\qquad x>0\end{cases}$（1）求$f(x)$的定义域；（2）讨论$f(x)$在$x=0$处的连续性；（3）证明$f(x)$在$x=0$处不存在可导性。

二、导数与微分2.设函数$f(x)$在$x_0$及其某个右邻域内可导，在$x_0$处右导数存在，且$\lim\limits_{x\to x_0^-}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=-\infty$，$\lim\limits_{x\to x_0^+}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=+\infty$，证明$f(x)$在$x_0$处不可导。

三、微分中值定理与导数应用3.某工厂从1980年开始生产某种化学品，当年生产10000吨。

为了适应市场的需要，决定每年增加产量，且逐年增长的量与上一年的产量成正比例。

在1980-2000年间，每年的增长量分别为500~2000吨。

已知该种化学品每年的市场价格$p(t)$（单位：元/吨）为$t$的函数，价格一直在上升。

试证明：如果要获得最大利润，每年的增长量应该如何选择？四、不定积分4.计算定积分$\int\dfrac{e^{-x}}{x}\mathrm{d}x$。

五、定积分5.设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=0$。

证明：存在一点$c\in(a,b)$，使得$f(c)=0$。

六、重积分6.计算二重积分$\iint_D\dfrac{\mathrm{d}y\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$，其中$D$为以原点为圆心，半径为$1$的圆的上半部分。

七、多元函数微分学7.已知函数$u=f(x,y)$，其中$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，试用极坐标系表示$\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2},\dfrac{\partial^2u}{\partialy^2},\dfrac{\partial^2u}{\partial x\partial y}$。

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。