1.3探索三角形全等的条件(2)

第三课时 探索三角形全等的条件（二）一、 学习目标：掌握三角形的“角边角”、“角角边”的全等条件；二、温故知新：1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为__________或___________；2、如图，在△ABC 中，PA=PB ，PC 是AB 边上的中线，PC 能平分∠APB 吗？证明∵PC 是AB 边上的中线，∴AC=__________( )在_________________________中∴________≌__________ (___________)∴_________=_________ (__________________)∴PC 平分∠APB3、如图， （1）∵AB ∥CD （已知）∴∠_____=∠_____（_______________）（2）∵AD ∥BC （已知）∴∠_____=∠_____（_______________）4、如图，∵EA ⊥AD ，FD ⊥AD （已知）∴∠______=∠______=90°（______________）三、探索新知：1、如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm ，你能画出这个三角形吗？你画出的三角形与同伴画的一定全等吗？结论：________及其_________分别__________的两个三角形____________； 简写成“____________”或“___________”2、如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60°和45°，一条边长为3cm ，你能画出这个三角形吗？你画出的三角形与同伴画的一定全等吗？结论：_______分别_______其中一组______的对边_____的两个三角形_______； 简写成“____________”或“___________”⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________四、巩固新知：1、图中的两个三角形全等吗？依据是什么？依据（_____________） 依据（_____________）2、如图，AB=AC ，∠B=∠C ，你能证明△ABD ≌△ACE 吗？证明：在_________________________中∴________≌__________ (___________)3、如图，∠B=∠C ，AD 平分∠BAC ，你能证明，△ABD ≌△ACD 吗？若BD=3cm ，则CD 有多长？ 解：∵，AD 平分∠BAC （已知）∴∠________=∠________ ( )在_________________________中∴________≌__________ (___________)∴BD=________=________(___________)4、如图，已知AB=CD ，∠B=∠C ，求证△ABO ≌△DCO ；证明： 在_________________________中∴________≌__________ (_________)⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________五、提高练习：5、如图，已知AC 与BD 交于点O ，AD ∥BC ，且AD=BC ，你能说明BO=DO 吗？ 证明：∵AD ∥BC ，（已知）∴∠_____=∠_____∠_____=∠_____ ( )在_________________________中∴________≌__________ (___________)∴________=________ (______________________)6、如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线， 且BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ， 求证：BE=CF证明：∵AD 是BC 边上的中线，（已知）∴_______=________ ( )∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD∴_________=_________ =90°（ ）在_________________________中∴________≌__________ (___________)∴________=________ (______________________)7、如果，AB ∥CD ，∠A=∠D ，BF=CE ，∠AEB=80°，求∠DFC 的度数？ 证明：∵AB ∥CD ， （已知）∴ ∠______=∠_______ ( )∵BF=CE∴BF-______=CE-________即_______=________在_________________________中∴________≌__________ (___________)∴∠DFC =________=________ (______________________)⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________8、如图，AB=AD ，∠1=∠2，∠ABC=∠ADE ，求证△ABC ≌△ADE ； 证明：∵∠1=∠2， （已知）∴ ∠1-_______=∠2-_______ ( )∴ __________=__________在_________________________中∴_________≌_________ (___________)9、如图，AB=AD ，∠1=∠2，∠ABC=∠ADE ，求证△ABC ≌△ADE ； 证明：∵∠1=∠2， （已知）∴ ∠1+______=∠2+_______ ( )∴ __________=__________在_________________________中∴_________≌_________ (___________)10、如图，AB ⊥BC 于B ，DF ⊥AC 于F ，BC=BE ，△ABC ≌△DBE ； 证明：∵AB ⊥BC ， （已知）∴ ∠______=∠______=90°( )∵DF ⊥AC ， （已知）∴ ∠______=90° ( )∴ ______+∠C=______+∠C∴ __________=__________在_________________________中∴_________≌_________ (___________)⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________⎪⎩⎪⎨⎧(_____)__________(_____)__________(_____)__________。

数学教学设计教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）1.3 探索三角形全等的条件（2）标1．会利用基本事实：“边角边”判别两个三角形是否全等．2．在基本事实“边角边”运用的过程中能够进行有条理的思考和简单的推理． 3．经历观察、探索、合作、交流等活动，营造和谐、平等的学习氛围． 点三角形全等的“边角边”条件的应用． 点三角形全等的“边角边”条件的应用．教学过程（教师） 学生活动设计思如图，AB ＝AC ，还需补充条件，就可根据“SAS ”证明△ABE ≌三月三，放风筝．”如图是小东同制作的风筝，他根据AB ＝CB ，CBD ，不用度量，就知道AD ＝所学的知识给予说明．（1）学生思考后给出所补充的条件，并根据所补充的条件，简要证明△ABE ≌△ACD ．参考答案：AE ＝AD ．（2）学生思考后回答．参考答案 证明：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB （已知），∠ABD ＝∠CBD （已知），BD ＝BD （公共边），∴△ABD ≌△CBD （SAS ）．∴AD ＝CD (全等三角形的对应边相等)．复习回顾三条件——“SAS会有条理的思考理．EBDCADCB A图，已知：点D 、E 在BC 上，且D ＝AE ，∠1＝∠2，由此你能得出形全等？请给出证明．个问题：察猜想哪两个三角形全等？证明两个三角形全等，已具备了还缺什么条件？缺的这个条件如何获得？知：如图，AB 、CD 相交于点E ，CD 的中点．①△AEC ≌⊿BED ． ②AC ∥DB ．个问题：证明△AEC ≌△BED ，已具备了还缺什么条件？证明AC ∥DB ，需什么条件？这个得？例包含哪一种图形变换？例1 （1）学生根据图形并结合已知条件作出猜想．（2）学生经历分析例题的过程，口头叙述证明过程． 参考答案：△ABD ≌△ACE ．证明：∵∠1＋∠ADB ＝180°，∠2＋∠AEC ＝180°，且∠1＝∠2（已知），∴∠ADB ＝∠AEC （等角的补角相等）， 在△ABD 和△ACE 中，BD ＝CE （已知），∠ADB ＝∠AEC （已证），AD ＝AE （已知），∴△ABD ≌△ACE （SAS ）．例2 学生经历分析例题的过程，口头叙述证明过程． 参考答案证明：①∵E 是AB 、CD 的中点（已知），∴AE ＝BE ，CE ＝DE （线段中点的定义）， 在△AEC 和△BED 中，AE ＝BE （已证），∠AEC ＝∠BED （对顶角相等），CE ＝DE （已证），∴△AEC ≌△BED （SAS ）． ②∵△AEC ≌△BED （已证），∴∠A ＝∠B (全等三角形的对应角相等)，∴AC ∥DB （内错角相等，两直线平行）．本例中，其中一个三角形绕点E 旋转180°后，能与另一个三角形重合．通过问题分学生分清题中直件、间接给出的条隐含的条件，以巩条件判断三角形ABD EC 1 2 CBAE知：如图，点E 、F 在CD 上，且E ＝BF ，AE ∥BF .：△AEC ≌△BFD ．能证得其他新的结论吗？图中的△AEC 可以通过_________所示图形．例3 学生经历分析例题的过程，口头叙述证明过程． 参考答案①∵AE ∥BF （已知），∴∠AEC ＝∠BFD （两直线平行，内错角相等）， 在△AEC 和△BFD 中，AE ＝BF （已知），∠AEC ＝∠BFD （已证），CE ＝DF （已知），∴△AEC ≌△BFD （SAS ）．②AC ＝BD ，∠A ＝∠B ，∠AEC ＝∠BFD ，AC ∥BD 等等． ③平移．～17页第1、2、3题． 学生独立完成练习，及时纠正书写中出现的问题．通过练习设运用新知识的过行有条理的思考的推理．节课的学习，你有什么体会？说出． 学生自由表述，其他学生补充．通过学生小的口头表达能力于发表自己看法巩固新知识的学生发挥不同FCBADE。

怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计初 二 数 学1.3探索三角形全等条件1巩固主备：：陈秀珍 审校 郁胜军 日期：2013年9月3日教学目标：掌握利用“边角边”公理判定三角全等。

教学重点：边角边公理条件不具备的进行转换后，再利用边角边公理证明 教学难点：1.边角边公理条件不具备的进行转换后，再利用边角边公理证明2.边角边公理书写格式，对应元素顺序问题。

教学内容： 一、自主探究1. 边角边公理： 。

2. 边角边公理的几何表达形式：二、自主合作1. P15/课本例2已知：如图1-8AB 、CD 相交于点E ，且E 是AB 、CD 的中点。

求证：△AEC ≌△BE D2. 巩固练习：（1）你能证明P15/课本例2中AC ∥B D 吗？（2）P16、练习1三、自主展示1. P16/课本例3已知：如图1-9点 E 、F 在CD 上。

且CE=DF ，AE=BF ，AE ∥BF 求证：△AEC ≌△BF D巩固练习：（1）你能改变图1-9中△AEC 的位置得到图1-8？（2）根据例3的已知条件，你还能证出其它新的结论吗？（3）P16/课本练习2ED CBAC四、自主拓展1. 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．求证：∠A ＝∠D ．2. 如图所示，AB = AD ，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE ，则需要添加的条件是______.请你证明3.如图（13）△ABC ≌△EDC 。

求证：BE=AD 。

4. 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ．（SAS ）五、自主评价课堂小结：布置作业：：P 30/4、 5 教学反思：E（图13）DCBA怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计初 二 数 学1.3探索三角形全等条件2巩固主备：：陈秀珍 审校 郁胜军 日期：2013年9月5日教学目标：1. 掌握且利用角边角、角角边定理判定三角全等教学重点：不能直接利用“角边角、角角边”定理判定三角全等要先进行转换，再利用角边角、角角边定理判定三角全等。

姓名： 班级1.3 探索三角形全等的条件本课重点（1）熟练掌握五种全等三角形的判定本课难点 （2）全等三角形的判定的综合运用全卷共25题，满分：120分，时间：120分钟一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，测河两岸A ，B 两点的距离时，先在AB 的垂线BF 上取C ，D 两点，使CD ＝BC ，再过点D 画出BF 的垂线DE ，当点A ，C ，E 在同一直线上时，可证明△EDC △≌△ABC ，从而得到ED ＝AB ，测得ED 的长就是A ，B 的距离，判定△EDC ≌△ABC 的依据是：（ ）A ．ASAB ．SSSC ．AASD ．SAS2．（2021·浙江九年级期末）如图，在ABC 与DEF 中，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，,//=BE CF AB DE ，下列所添条件中不能判定ABC DEF △≌△的是（ ）A ．AC DF =B ．AB DE =C ．AD ∠=∠ D ．ACB F ∠=∠3．（2021·江苏南京市·九年级专题练习）如图，△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B ，D ，E 在同一条直线上，若∠CAE +∠ACE +∠ADE =130°，则∠ADE 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．70°D ．75°4．（2021·重庆万州区·八年级期末）如图，在MPN △中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ =NQ ，已知PQ ＝5，NQ ＝9，则MH 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．（2021·河南焦作市·九年级二模）已知锐角AOB ∠，如图，（1）在射线OA 上取点C ，E ，分别以点O 为圆心，OC ，OE 长为半径作弧，交射线OB 于点D ，F ；（2）连接CF ，DE 交于点P ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误．．的是（ ） A ．CE DF =B ．PE PF =C ．若60AOB ∠=︒，则120CPD ∠=︒ D ．点P 在AOB ∠的平分线上6．（2021·成都市第十八中学校八年级期末）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD上一点，连接OM ，过点O 做ON ⊥OM ，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．227．（2021·全国七年级专题练习）如图所示，90E F ∠=∠=︒，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ≌，其中正确的是有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2021·北京九年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，AB AC >，下列结论正确的是（ ）A ．AB AD CB CD ->-B ．AB AD CB CD -=-C ．AB AD CB CD -<- D ．AB AD -与CB CD -的大小关系不确定9．（2021·北京九年级专题练习）数学课上，老师给出了如下问题：如图1，90B C ∠=∠=︒，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠，求证：AB CD AD +=．小明是这样想的：要证明AB CD AD +=，只需要在AD 上找到一点F ，再试图说明AF AB =，DF CD =即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．①过点E 作EF AD ⊥交AD 于点F ；②作EF EC =，交AD 于点F ；③在AD 上取一点F ，使得DF DC =，连接EF ；上述3种辅助线的添加方式，可以证明“AB CD AD +=”的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③10．（2021·河南新乡市·新乡学院附属中学八年级月考）如图，点C 是线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，有以下5个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=DQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·云南玉溪市·八年级期末）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第___块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是____．12．（2021·全国八年级） 如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ． 13．（2020·北京八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，AC BC ⊥于点C ，且AC 平分BAD ∠，若ADC的面积为210cm ，则ABD △的面积为________2cm ．14．（2021·江苏八年级期中）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，CE BD ⊥于E ，若8BD =，则CE 为______．15．（2021·石家庄市第二十八中学八年级月考）如图， BD 是ABC ∆的角平分线，延长BD 至点E ，使DE AD =，若60ADB ∠=，78BAC ∠=， 则BEC ∠=__________．16．（2021·沙坪坝区·重庆八中七年级期中）如图所示，在ΔABC 中， AD 平分∠BAC ，点E 在DA 的延长线上，且EF ⊥BC ，且交BC 延长线于点F ，H 为DC 上的一点，且BH =EF ， AH =DF ， AB =DE ，若∠DAC +n∠ACB ＝90°，则n =__________．17．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）如图所示，AD 为ABC 中线，D 为BC 中点，AE AB =，AF AC =，连接EF ，2EF AD =．若AEF 的面积为3，则ADC 的面积为______．18．（2021·浙江宁波市·八年级期末）如图所示，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且,AE AD BE ⊥与AC 所在的直线交于点P ，若3AC PC =，则BD CD=_______． 三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）19．（2021·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，点E 在△ABC 的边AC 上，且∠ABE ＝∠C ，AF 平分∠BAE 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于点D ．（1）求证：△ABF ≌△ADF ；（2）若BE ＝7，AB ＝8，AE ＝5，求△EFD 的周长．20．（2021·江苏镇江市·九年级二模）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 为对角线BD 上一点，A BEC ∠=∠，且AD BE =．（1）求证：AD DE BC +=；（2）若70BDC ∠=︒，求ADB ∠的度数．21．（2021·四川宜宾市·八年级期末）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．22．（2021·广东广州市·八年级期末）如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是线段BC 上一个动点，点F 在线段AB 上，且∠FDB ＝12∠ACB ，BE ⊥DF ．垂足E 在DF 的延长线上．（1）如图2，当点D 与点C 重合时，试探究线段BE 和DF 的数量关系．并证明你的结论；（2）若点D 不与点B ，C 重合，试探究线段BE 和DF 的数量关系，并证明你的结论．23．（2021·黑龙江佳木斯市·九年级三模）在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD ⊥交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD =，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD +=；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．24．（2021·福建三明市·八年级期中）如图1，△ABC 和△ABD 中，∠BAC ＝∠ABD ＝90°，点C 和点D 在AB的异侧，点E 为AD 边上的一点，且AC ＝AE ，连接CE 交直线AB 于点G ，过点A 作AF ⊥AD 交直线CE 于点F ．（Ⅰ）求证：△AGE ≌△AFC ；（Ⅱ）若AB ＝AC ，求证：AD ＝AF +BD ；（Ⅲ）如图2，若AB ＝AC ，点C 和点D 在AB 的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD ，AF ，BD 的数量关系 ．25．（2021·湖北随州市·八年级期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，7,5,AB AC ==求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，所以BM AC =．接下来，在ABM ∆中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是 ；（2）如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；（3）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 的中点，连接CE ，ED 且CE DE ⊥，试猜想线段,,BC CD AD 之间满足的数量关系，并予以证明．附加题（1-2题，每题4分，3题6分，4-5题每题8分，共30分）1．（2021·全国七年级专题练习）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF ，AC=AG ．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ． 则下列结论：①BG=CF ；②BG ⊥CF ；③∠EAF=∠ABC ；④EF=EG ，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④2．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，且90EDF ∠=︒，连接EF ，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①270BEF CFE ∠+∠=︒；②ED FD =；③EF FC =；④12ABC AEDF S S =四边形3．（2021·河南商丘市·八年级期末）如图，在ABC 中，BC AC =，E 是射线BF 上一点，且CBE CAE ∠=∠，CD BF ⊥，垂足为D ，过点C 作CM AE ⊥，垂足为M ，连接CE ，2DE =，8AE =，3CD =，则下列结论：①CBD CAM ≌△△；②DE ME =；③30BDC S =△．其中正确的结论有_______（填序号）．4．（2020·山东威海市·七年级期末）（问题情境）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=．点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且60EAF ︒∠=，试探究线段BE ，EF ，DF 之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE ≅△△，再证明AEF AGF ≅△△，进而得出EF BE DF =+．你认为他的做法 ；（填“正确”或“错误”）．（探索延伸）（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，70B ︒∠=，110D ︒∠=，100BAD ︒∠=，点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且50EAF ︒∠=，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形ABCD 中，若AB AD =，180B D ︒∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠，那么EF BE DF =+．你认为正确吗？请说明理由．5．（2020·武汉市二桥中学八年级月考）直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E ，F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）（数学思考）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，求证：EF BE AF =-；②如图2，若090BCA ︒<∠<︒，当α∠与BCA ∠之间满足________关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．（2）（问题拓展）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．。