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第三章 自适应数字滤波器3.1 引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。
维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。
本章主要涉及自适应横向滤波器．．．．．、自适应格型滤波器．．．．．．．．、最小二乘自适应滤波器．．．．．．．．．．。
3.2 自适应横向滤波器自适应．．．线性组合．．．．器．和自适应．．．．FIR ．．．滤波器．．．是自适应信号．．．．．．处理的基础．．．．．。
3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出：()()()1N m y n w m x n m -==-∑n 用j 表示，自适应滤波器的矩阵形式为T T j jj y ==X W W X 式中1212,,,,,,,TTN N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦W X误差信号表示为T T j j j j jj j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：()2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦R W W R W2j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数．．．．，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量： 2221222,,,Tj j jj xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦R W R令梯度为零，可得最佳权系数此时最小均方误差为：22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦W R 要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W ，先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。
3.2.2 性能函数表示式及几何意义3.2.3 最陡下降法3.2.1给出了要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法，但实际很难应用。
统计与自适应信号处理
1概述
统计与自适应信号处理是一种重要的信号处理技术，它能够对复杂的信号进行有效的处理和分析，从而提取有效信息。
这种技术应用广泛，涉及到很多领域，如图像处理、语音识别、生物医学工程、通信仿真等。
2统计信号处理
统计信号处理是一种利用数学和统计学方法处理信号的技术。
它可以提取随机信号中的有效信息，并对噪声进行滤波和抑制。
在这种技术中，我们可以通过对信号进行数学建模和分析，来实现对信号的处理和分析。
统计信号处理的主要应用包括声音处理、图像处理、雷达信号处理等。
3自适应信号处理
自适应信号处理是一种利用反馈控制的技术对信号进行处理和分析。
它能够自动调整系统参数，使其能够适应不同的输入信号和噪声，迅速响应变化，提高系统的鲁棒性和可靠性。
在这种技术中，我们可以通过反馈控制来实现系统的自适应调整，从而提高系统的性能和稳定性。
4统计与自适应信号处理
统计与自适应信号处理结合起来，可以实现对复杂信号的高效处理和分析。
在这种技术中，我们可以利用统计和自适应方法对信号进行精确建模和分析，从而提取有效信息并对噪声进行抑制。
这种技术在图像处理、语音识别、生物医学工程、通信仿真等领域都有广泛的应用。
总之，统计与自适应信号处理是一种非常重要的信号处理技术，在现代通信、控制和信息处理领域中应用广泛。
它能够对复杂的信号进行高效处理和分析，从而提取有效信息并对噪声进行抑制，为各种应用场景提供了重要的技术支持。
10种常见的数字信号处理算法解析数字信号处理算法是数字信号处理领域的核心技术，它能够将连续型信号转化为离散型信号，从而实现信号的数字化处理和传输。
本文将介绍10种常见的数字信号处理算法，并分别从理论原理、算法步骤和典型应用三个方面进行解析。
一、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的算法。
其原理是分解信号中的不同频率分量，使得信号频域分析更方便。
傅里叶变换的算法步骤包括信号采样、离散化、加窗、FFT变换、频谱分析等。
傅里叶变换广泛应用于通信、音频处理、图像处理等领域。
二、小波变换小波变换是一种将时域信号分解为多个小波信号的算法。
其原理是利用小波基函数将信号分解成不同频率和时间范围的小波信号。
小波变换的算法步骤包括信号采样、小波变换、重构等。
小波变换广泛应用于信号压缩、图像处理、语音信号处理等领域。
三、滤波器设计滤波器设计是一种根据需要设计出不同类型的滤波器的算法。
其原理是利用滤波器对信号进行滤波处理，达到对信号不同频率分量的取舍。
滤波器设计的算法步骤包括滤波器类型选择、设计要求分析、滤波器设计、滤波器性能评估等。
滤波器设计广泛应用于信号处理和通信系统中。
四、自适应滤波自适应滤波是一种能够自主根据需要调整滤波器参数的算法。
其原理是通过采样原始信号，用自适应滤波器对信号进行滤波处理，以达到信号降噪的目的。
自适应滤波的算法步骤包括信号采样、自适应算法选择、滤波器参数估计、滤波器性能评估等。
自适应滤波广泛应用于信号处理和降噪领域。
五、功率谱密度估计功率谱密度估计是一种用于估计信号功率谱密度的算法。
其原理是利用信号的离散傅里叶变换，对信号功率谱密度进行估计。
功率谱密度估计的算法步骤包括信号采样、离散傅里叶变换、功率谱密度估计等。
功率谱密度估计广泛应用于信号处理、通信、声学等领域。
六、数字滤波数字滤波是一种对数字信号进行滤波处理的算法。
其原理是利用数字滤波器对信号进行滤波处理，以取舍信号中不同频率分量。
自适应信号处理抗干扰算法的研究摘要自适应信号处理（Adaptive Signal Processing）是近40年来发展起来的信号处理领域一个新的分支。
随着人们在该领域研究的不断深入，自适应信号处理的理论和技术日趋完善，其应用的范围也愈来愈广泛。
而自适应滤波算法又是自适应信号处理中的重要部分。
本论文首先从自适应信号处理的的发展过程出发，简要介绍了自适应信号处理的应用领域。
然后进一步介绍自适应滤波器原理，并根据自适应滤波算法的发展与改进，先后介绍了五种自适应滤波算法：LMS算法、NLMS算法、VS-LMS算法、MS-LMS算法和RLS算法。
并分析了各种算法的优缺点。
最后利用MATLAB软件，对这五种自适应滤波算法进行了编程与仿真，进一步通过仿真结果观察并总结各种算法的优缺点。
关键词：自适应滤波，最小均方（LMS）自适应算法，递推最小二乘(RLS)自适应算法，仿真。
Analysis of Adaptive signal processing algorithms anti-interferenceAbstractAdaptive Signal Processing is nearly 40 years since it show up a new branch in the field of signal processing . As people in the field of researching in-depth, adaptive signal processing theory and the technology develop more and more perfectly , its scope of application also become wider. And adaptive filtering algorithm is an important part of the adaptive signal processing.This paper first start from the development process of adaptive signal processing , and introduce briefly the application of adaptive signal processing. Then introduce adaptive filter principle, and according to the development and improvement of adaptive filtering algorithms, introduce five adaptive filtering algorithms on the order: LMS algorithm, NLMS algorithm, VS-LMS algorithm, MS-LMS algorithm, and RLS algorithm. And analyze the advantages and disadvantages of the various algorithms.Finally using MATLAB software, program and simulate the five adaptive filtering algorithm, and according to the simulation results to observe and summarize fatherly the advantages and disadvantages of the various algorithms.Key words: adaptive filtering algorithms, Least Mean Square (LMS)algorithm, Recursive Least Squares(RLS) algorithm,simulation.目录摘要 (I)Abstract (II)1 绪论 (1)1.1自适应信号处理的发展过程 (1)1.2自适应信号处理的研究领域 (2)1.3研究的目的和意义 (3)1.4主要研究内容 (3)1.5本文结构 (3)2自适应滤波 (4)2.1 自适应滤波器的基本原理 (4)2.2 自适应滤波理论与算法 (4)2.2.1 基于维纳滤波理论的方法 (5)2.2.2 基于卡尔曼滤波理论的方法 (5)2.2.3 基于最小二乘准则的方法 (5)2.3 本章小结 (6)3自适应滤波算法 (7)3.1 最小均方（LMS）自适应算法 (7)3.1.1 LMS算法的基本原理 (7)3.1.2 LMS算法的性能分析 (9)3.2 归一化最小均方（NLMS）算法 (10)3.3 变步长LMS（VS-LMS）算法 (12)3.4 改进的变步长LMS(MS-LMS)算法 (12)3.5 递归最小二乘（RLS）算法 (13)3.6 本章小结 (15)4软件仿真 (16)4.1 LMS算法的仿真 (17)4.2 NLMS算法的仿真 (23)4.3 VS-LMS算法的仿真 (27)4.4 MS-LMS算法的仿真 (32)4.5 RLS算法的仿真 (38)4.6 五种算法的收敛速度比较 (43)4.7 本章小结 (45)结论 (46)致谢 (47)参考文献 (48)附录 (49)1 绪论1.1自适应信号处理的发展过程自适应信号处理由优化理论发展而来，通信领域中的优化理论研究可以追溯到20世纪20年代，Nyquist及Hareley研究了频带及信噪比问题。
数字信号处理中的滤波算法在数字信号处理领域中，滤波算法是一种广泛应用的技术，用于处理信号中的噪声、干扰以及其他所需的频率响应调整。
滤波算法通过改变信号的频谱特性，实现信号的增强、去噪和频率分析等功能。
本文将介绍几种常见的数字信号处理中的滤波算法，包括低通滤波、高通滤波、带通滤波和带阻滤波。
一、低通滤波算法低通滤波算法是一种常见的滤波算法，用于去除高频信号成分，保留低频信号。
该算法通过选择适当的截止频率，将高于该频率的信号部分进行衰减。
常见的低通滤波算法有巴特沃斯滤波器、滑动平均滤波器和无限脉冲响应滤波器（IIR）等。
巴特沃斯滤波器是一种常见的无波纹、无相位失真的低通滤波器。
它通过设计适当的传递函数，实现对高频信号的衰减。
巴特沃斯滤波器的特点是具有平滑的频率响应曲线和较好的陡峭度。
滑动平均滤波器是一种简单的低通滤波算法。
它通过取信号一段时间内的平均值，实现对高频成分的平滑处理。
滑动平均滤波器适用于对周期性干扰信号的去噪，以及对信号进行平滑处理的场景。
无限脉冲响应滤波器（IIR）是一种递归滤波器，具有较高的计算效率和频率选择能力。
IIR滤波器通过对输入信号和输出信号进行递推计算，实现对高频信号的衰减和滤除。
然而，在一些特殊应用场景中，IIR滤波器可能会引入稳定性和相位失真等问题。
二、高通滤波算法与低通滤波相反，高通滤波算法用于去除低频信号成分，保留高频信号。
高通滤波算法通常用于信号的边缘检测、图像锐化和音频增强等处理。
常见的高通滤波算法有巴特沃斯滤波器、无限脉冲响应滤波器和基于梯度计算的滤波器等。
巴特沃斯滤波器同样适用于高通滤波。
通过设计适当的传递函数，巴特沃斯滤波器实现对低频信号的衰减，保留高频信号。
巴特沃斯高通滤波器的特点是具有平滑的频率响应曲线和较好的陡峭度。
无限脉冲响应滤波器同样具有高通滤波的功能。
通过对输入信号和输出信号进行递推计算，IIR滤波器实现对低频信号的衰减和滤除。
然而，IIR滤波器在一些特殊应用场景中可能引入稳定性和相位失真等问题。
信号包括：确定性信号和随机信号。
确定性信号，可以清楚的用数学关系描述的信号。
也就是说可以用过去的观察来预测未来值。
随机信号，以不可预见的方式实时产生，他们的统计特性可以假定为确定的，他们可以用明确的数学方程式表示。
●随信号的统计方面基本知识和处理方法进行介绍。
●随机信号的应用：信号建模，最佳滤波器，自适应滤波器及其算法。
●简要介绍高阶统计。
随机信号的描述：矩，积累量，多谱平稳随机信号的前四阶矩：前两阶矩指均值和自相关序列，三阶矩表示倾斜率，表明随机变量与其中心分布的不对称程度。
四阶矩度量峰度，表示出平均值附近密度函数的相对平坦程度或峰值程度，表明了偏离高斯过程的偏移量。
零均值平稳过程的前四个积累量：复数：实数：通常更为关心的是积累量，积累量也表明了与高斯过程的偏移量，（若概率分布对称，则三阶积累量为零）如果为高斯过程，则大于等于3阶的积累量为零。
实际中一般考虑到四阶积累量，更高阶的很少用到。
多谱是由积累量进行傅立叶变换得到的。
（功率谱密度，双频谱，三频谱分别对应二阶，三阶，四阶积累量）。
（双频谱）（三频谱）随机信号包括高斯信号和非高斯信号。
高斯过程统计特性完全由二阶矩决定（相关性和功率谱密度），非高斯过程不具有这种性质，需要高阶统计特性，这些高阶统计特性包含一些额外信息：可以量度与正态性的偏差。
对信号分析的目的：提取用于理解信号产生过程的信息。
所用的方法：谱估计和信号建模。
信号滤波的目的：依照容许的性能标准改善信号质量（主要包括频率选择性滤波、自适应滤波和阵列处理等）。
典型应用包括：噪声和干扰消除、回波消除、信道均衡、地震波解卷积、主动噪声控制等。
对于高斯型随机信号，谱密度的应用比自相关更广泛。
自相关是在时域中从噪声中提取有用信号，功率谱是在频域中从噪声中提取有用信号。
确定性信号分类：能量信号域或功率信号、周期信号和非周期信号，有限和无限持续时间信号，因果（x(n=0,n<0时）和非因果信号以及奇或偶信号。
信号分析目的：找到一种定量的方法，以研究信号的性质以及相同或不同源的两个或多个信号之间的差别与共同点。
随机信号分析的主要应用领域：（1）信号振幅（即采样值）的统计分析，（2）单个信号的采样之间相关性的分析和建模，（3）联合信号分析（如，同时分析两个信号，研究他们之间的相互作用和相互关系）。
信号分析的最主要工具是谱估计。
谱估计是从一组观测中估计信号的能量和功率分布的一系列方法的统称。
对信号进行表达：信号建模：含参数模型，采取一个完全由有限个参数确定的函数形式。
非参数模型，不用对函数的形式或模型参数的数量加以任何限制自适应滤波器的目的是估计系统的参数或状态。
第二章：离散时间信号处理基础对信号描述：时域--------频域（傅立叶变换）---------z变换（极点---零点模型）。
连续时间信号------------离散时间信号（采样，采样频率至少是带宽的两倍（可以恢复出原来的连续信号））。
离散时间系统的表示形式：时域分析：冲激响应变换域分析：频响函数用线性、常系数差分方程描述的系统：Z平面内的零点极点位置的描述涉及到的概念：相关性（提供两个信号的相似性）和谱密度：可以将输出信号的特性与系统和输入信号的响应特征联系起来。
最小相位系统和可逆系统，全通系统（幅值响应=1）。
最小相位系统：一个系统和它的逆系统都是因果的，稳定的，也就是说PZ系统的极点零点都在单位圆内。
格型参数的模小于1.系统稳定性：有限输入产生有限输出。
对于一个因果系统，所有极点都在单位圆内，就是稳定的。
在单位圆上没有极点零点的任何因果系统都能分解：（最小相位系统和全通系统）谱因式分解：可以从幅度响应或冲激响应的自相关确定最小相位系统。
其中格型滤波器：格型参数和全极点滤波器系数一一对应。
（用处？？）AZ格型结构和AP格型结构互为倒数。
第三章：随机变量、矢量和序列主要介绍一些概念：随机变量的特征函数：矩的生成函数：即代替泰勒展开：若x的所有矩已知，则可以通过拉普拉斯反变换确定密度函数。
积累量：矩的生成函数的自然对数的各阶导数。
常用随机变量：均匀分布，正态分布（由均值和方差进行描述），柯西分布。
随机矢量的实际描述一般用统计平均量：平均矢量，矩阵的相关性和协方差。
自相关：自协方差：独立与相关性、正交。
独立不相关，不相关独立。
相关系数：，， =1时，完全相似；=0时，不相关独立：两个随机变量的相关系数，表明两个随机变量之间的统计相似程度。
两个随机矢量相关性、协方差和正交性。
稳定分布：分布经卷积运算（求和）保持不变。
序列：固定，变化，随机变量；变化，固定，样本序列，，均变化，随机过程。
随机信号的一些特性：平稳性，各态遍历性，记忆性。
平稳性：如果一个随机过程，则是平稳的。
各态遍历：从全体可能实现的集合中取一个具有代表性的实现来获得全部的统计信息。
平均值，方差等由时间平均来计算统计平均。
只有平稳信号才是各态遍历的。
●具有平稳随机输入的线性系统：（用二阶统计特性进行表征）时域分析，输入输出实现：输入输出互相关：输出自相关：频域分析，记忆性，指数衰减，短时记忆，双曲衰减，长时记忆（有限方差的平稳过程）。
●平稳过程的相关矩阵是厄米特和托普利兹的：厄米特托普利兹：所有与主对角线平行的对角线上的元素都相等。
对相关矩阵进行特征值-特征矢量分解，从而 LDU分解为因果滤波，UDL分解为非因果滤波。
平稳随机信号模型都与自相关矩阵有关（后面介绍的滤波器通过自相关矩阵求解）。
功率谱的平坦度与特征值的关系：特征值范围越大，越陡峭。
（条件指数）估计量的性质（评估标准）：偏，方差，均方差，一致性，置信区间。
第四章线性信号模型平稳随机序列：白噪声激励一个线性时不变系统产生---------极点-零点模型（PZ模型）两个问题：（1）根据系统的系数，导出AP，AZ或PZ模型的二阶矩；（2）设计能生成具有给定自相关序列或PSD函数的随机信号的AP，AZ或PZ系统，即信号建模。
无参数信号模型：当线性时不变（LTI）滤波器由它的冲激响应指定时，因为关于模型的形式没有任何限制，且参数个数可以是无限的，所以就有一个无参数信号模型。
有参模型：通过一个有限阶有理系统函数指定一个系统，由有限个参数描述有参数信号模型。
●线性无参数信号模型：（冲激响应为）如果均值为零的白噪声方差为，则自相关函数，PSD为。
输出自相关，复数PSD和PSD为可见，当输入为白噪声时，输出信号的自相关函数和功率谱的形状特征完全由系统决定。
当输入为白噪声时，产生输出信号x(n，成为有色滤波器，逆系统可恢复输入，成为白化滤波器。
● 有参极点-零点信号模型（PZ（P , Q））系统函数P=0，全零点模型(AZ；移动平均模型MAQ=0, 全极点模型(AP；自递归模型AR（最常用）,极点-零点模型（PZ），自递归移动平均模型ARMA。
指数衰减，短期记忆。
衰减速率由最靠近单位圆的极点控制，衰减速率随着极点向单位圆靠近而减小，由最靠近单位圆的极点决定，所有极点都在单位圆内时，系统才是稳定的。
AP模型可以表示为任何有限阶全极点模型可以被无限多零点等同表示，任何有限阶全零点模型可以被无限多极点等同表示。
●全极点模型参数的确定：根据冲激响应确定根据自相关确定由p+1个方程求和这p+1个参数，其中系数矩阵为厄米特和托普利兹的。
一个最小相位系统的描述：（1）直接结构：（2）格型结构：（3）自相关：自回归模型：白噪声激励的因果全极点模型，式中用白激励的方差代替.。
●全零点模型：系统函数：冲激响应：自相关：模型参数的求解为非线性，较复杂。
滑动平均模型：白噪声激励=1的AZ模型●极点-零点模型，参数也可以通过冲激响应和自相关求解（非线性）。
自回归滑动平均模型：白噪声激励（P, Z）模型。
ARMA模型的显著特点：在相同参数个数的情况下，它比AR模型提供更精确表达式，可以和AR模型的谱峰值匹配和MA模型在功率谱中的陷零能力结合起来。
若用有限阶的AZ（AP）模型近似PZ模型，所需要的阶数Q随着极点(零点向单位圆的接近而提高。
极点-零点模型的复倒谱（用于语音编码和语音识别中，可以确定模型参数）。
第五章非参数功率谱估计非参数法：没有特定的函数形式，估计量的形式完全通过数据确定。
估计量的性质（评估标准）：偏，方差，均方差，一致性，置信区间。
参数模型假设可利用的信号段模型由一个特定的参数模型生成。
主要介绍：（1）平稳随机信号的自相关估计（2）平稳随机信号的功率谱估计（3）联合信号分析对采集信号进行谱分析，需要DFT变换，但无法确定信号是否为周期信号，需做处理：（1）周期沿拓，假设以N为周期，，（2）加窗，如加矩形窗。
（3）外推法，根据先验信息向已知信号值的区间之外外推（即决定n<0和n>=N 的值）。
采样过程中可以选择不同的窗函数，窗函数会引起谱泄露和分辨率损失。
●利用有限的采集数据序列对平稳随机信号进行自相关估计：自相关估计的期望值：不等于实际，是有偏估计，渐近无偏。
●功率谱估计：（1）周期图法；（2）改进周期图周期图法：直接将离散信号进行傅立叶变换求取功率谱估计。
其中，，，是长度为N的窗口函数。
周期图是一个随机变量，它的不确定性可以通过考察它的均值、协方差、方差来解释。
周期图的均值求解，可以看出是一个有偏估计，渐近无偏估计。
（偏是由于窗旁瓣泄露引起的，可以用改进的周期图或“更好的”窗来减小这个偏。
）周期图的方差：即周期图的方差估计保持在数量级上，不随N变化，当时，方差并不趋于零，所以不是一个一致估计量，随着N的增加并不靠近实际谱。
周期图的方差和偏不可接受。
为减小方差，对周期图进行改进。
（周期图平滑和周期图平均）改进的周期图，（1）平滑单一周期图的功率谱估计：先对自相关加延迟窗，再傅立叶变换，得到平滑估计值，减少方差。
（利用延迟窗在频域平滑周期图估计）。
零相位移动平均滤波器：方差增加M以降低方差，但是谱的分辨率也会降低。
（2）对多个周期图求平均的功率谱估计。
（实际中只有一个实现，需要把数据细分为K个小块。
）（是渐近无偏和一致估计）改进周期图为渐近无偏和一致的。
●联合信号的分析互功率谱的估计用互周期图估计。
系统特性估计，根据含加性噪声的随机系统的输入，输出的功率谱密度函数，可以估计估计频率响应相干函数（衡量信号x(n和y(n在频域的相关性），相干函数揭示了误差存在，有助于识别误差。
第六章最佳线性滤波器最佳：指最小均方误差 (MMSE.设计滤波器的步骤：（1）选择一个性能准则或成本函数检测估计器的性能。
（2）根据优化准则，确定最佳估计其的参数。
\（3）对性能准则的优化值进行评价，确定最佳估计器是否满足要求。
线性估计器：MSE：，其中，可以表示为：求解线性估计器的最佳估计得到滤波器参数，R是厄米特正定矩阵。
