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4.1 一阶逻辑命题符号化new

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一阶逻辑基本概念谓词逻辑(离散数学)

一阶逻辑基本概念谓词逻辑(离散数学)

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一、个体词、谓词、量词的概念


个体常项：具体的客体，用a, b, c表示。
个体变项：抽象或泛指的事物，用x, y, z表示。 例：x高于y。x，y都是个体变项。 个体域（论域）: 个体变项的取值范围。

有限个体域 即个体域是 有限集合
无限个体域 即个体域是 无穷集合
全总个体域 宇宙间一切 事物组成。
“ 1”, 则 L(2,1) 就是命题“ 21” 。此时二元谓
词变成0元谓词。
同理：一元谓词F(x)中的x代以个体“小王”， 则F(小王)就是命题“小王是女孩”。也是0
元谓词。
谓词逻辑包括命题逻辑。
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一、个体词、谓词、量词的概念
例1：用0元谓词将下述命题符号化。 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 该命题为真命题。 在一阶逻辑中, 设 a：墨西哥； F(x)：x位于南美洲； 符号化为F(a)
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4.
二、个体变项的自由出现与约束出现
例1：说明以下各式量词的辖域与变元的约 束情况：
（1） x(F(x,y)G(x,z))
A=(F(x,y)G(x,z))为的辖域， x为指导变元, A中x的两次出现均为约 束出现，y与z均为自由出现。
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二、个体变项的自由出现与约束出现
（ 2 ）xy( P( x, y) Q( x, y )) xP( x, y)
（ 2 ）x( F ( x, y) yG( x, y, z ))
x( F ( x, y ) tG( x, t , z ))
或 x( F ( x, w ) yG( x, y, z ))
三、公式的解释
引例：给定公式 A=x(F(x)G(x)) 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得A = 成真解释
屈婉玲离散数学第四章

屈婉玲离散数学第四章

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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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离散数学 第四章 一阶逻辑基本概念

离散数学 第四章 一阶逻辑基本概念


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§4.1 一阶逻辑命题符号化
（3）没有人登上过木星。 令H(x):x登上过木星， M(x):x是人。命题符号化为 ┐x(M(x)∧H(x))。 命题真值为真。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号化 ┐x(F(x)→G(x)) 命题真值为真。
个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在 联系和数量关系。
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§4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素


个体词
谓词
量词
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个体词及相关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体的 或抽象的客体。
举例

命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。 命题：他是三好学生。 个体词：他。
个体域为全总个体域
令 M(x):x是人 , F(x):x呼吸 , G(x):x用左手写字

能否将”凡人都呼吸”符号化为 (∀x) (M(x)∧F(x) ) ？ 不可以。 (∀x) (M(x)∧F(x) )表示宇宙中的万物都是人并 且会呼吸 能否将”有的人用左手写字”符号化为 (x)( M(x)→G(x) ) ？ 不可以。(x)( M(x)→G(x) ) 表示在宇宙万物中存在某个 个体x,”如果x是人则x会用左手写字”

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个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母 a, b, c,…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x, y, z,… 表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 可以是无穷集合，如N，Z，R，…。 全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。
F4一阶逻辑基本概念

F4一阶逻辑基本概念

(a)非空个体域 DI . (b) DI 中一些特定元素的集合{a1,a2 , …,ai , …}. (c) DI 上特定函数的集合{fin|i, n 1}. (d) DI 上特定谓词的集合{Fin|i, n 1}. †其实质是明确公式中各个变项, 繁琐之处毋庸细究.

第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释

命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化

一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
4一阶逻辑基本概念

4一阶逻辑基本概念

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东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
使用谓词表达一个命题时, 使用谓词表达一个命题时,若谓词字母联系 着一个个体变元,则称作一元谓词 一元谓词; 着一个个体变元,则称作一元谓词;若谓词 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词 二元谓词; 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词; 若谓词字母联系着n个个体变元 则称作n元 个个体变元, 若谓词字母联系着 个个体变元,则称作 元 谓词. 谓词. 一般个体变元的位置是有规定的. 一般个体变元的位置是有规定的. 河南省北接河北省. 北接河北省 例:河南省北接河北省. n L b 写成二元谓词为:L(n,b) . 写成二元谓词为:
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东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
存在量词 符号: 读作"存在一个" 对于一些" 符号:"" ,读作"存在一个","对于一些" 等. 例: (a)某个人很聪明 某个人很聪明 (b)某些实数是有理数 某些实数是有理数 规定M(x):x是人;C(x):x很聪明;R1(x): 是人; 很聪明; 解:规定 : 是人 : 很聪明 : 是有理数. x是实数;R2(x):x是有理数. 是实数; : 是有理数 是实数 (a) x (M(x) ∧C(x)); ; (b) x (R1(x) ∧ R2(x)) .
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东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
将谓词转化为命题 对变元量化
谓词F(x) :"x是质数" 是质数" 谓词 是质数 论域为I, 为假, 为真. 论域为 , x F(x) 为假, x F(x) 为真. 量化后命题的真值与论域有关. 量化后命题的真值与论域有关.
离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化

离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化

说明： x yG(x, y) 和 x yG(x, y)表示的含义不同！
第 10 页
四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
第 16 页
总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r
个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化一阶逻辑公式及其

个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化一阶逻辑公式及其

解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美
(2) xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美
(1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x))
1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公
式
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实例3
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>yF(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于北美洲 .
(2) F( 2 )G( 3 ),
其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 (3) F(2, 3)G(3, 4)，其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x<y
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实例2
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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一阶语言L 的项与原子公式
定义4.2 L 的项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项.
(2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的 n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项.
8一阶逻辑-概念公式4-14-1

8一阶逻辑-概念公式4-14-1

变项都受量词的约束，因而在具体解释中总表达一个意义确定的语句，即 一个真命题或一个假命题． 3．不是闭式的公式在某一解释中，可能成为命题，也可能不能成为命题。
3. 量词
1）全称量词 －∀ 表示日常生活和数学中常用的“一切的”，“所有的”，“每 一个”、 “任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量 词 用∀xf(x)，∀yG(y)等分别表示个体域里所有个体都有性质F 和都有性质G．
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2) 存在量词-- ∃
表示日常生活和数学中常用的“存在”，“有一个”，“有 的”，“至少有一个”等词统称为存在量词. 并用∃x，∃y等表示个体域里有的个体，而用∃xF(x)，∃yG(y) 等分别表示在个体域里存在个体具有性质F和存在个体具有性质 G等 4.一阶逻辑的符号化 要理解自然语言的真实含义，体会出整体和存在的意思 1）谓词的设定 2）量词的选定 例： 3）个体域的选取，在未特别说明情况下一般是指全总个体域 但对于描述的具体具体要选用适当的特性谓词来进行限定： 特性谓词：确定个体对象、性质的谓词（一般为一元谓词） F(x)：x是人 R(x)：x是实数 H(x)：x是猫 等
6) F(f(x,y),g(x,y)) 7) ∀x ( F(x,a0)→ F( f(x,y),g(x,y) ) )
1) (x - 1 ) < (x+1 ) 不是闭式 ，但在此解释下是命题 T
2) ∀x∀y( (x-y) < (x+y) )
F
3) ∀x ∃y ( (x-y) < (x+y) )
T
4)∀y( (y<0)→∀x(┑( (x-y) <(x+y) ) ) )
∀x ( M（x）→D（x）)
例：在美国留学的人未必都是亚洲人
4.1-一阶逻辑命题符号化newPPT课件

4.1-一阶逻辑命题符号化newPPT课件

（1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。
（2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
命题可看成“存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。
令F（x）：x是在美国留学的学生；
G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
2021
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人
（1）令F（x）：x长着黑头发
可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。
命题符号化为：x（M（x）→F（x））
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（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
06 第四章 一阶逻辑基本概念

06 第四章 一阶逻辑基本概念


练习-将命题符号化 练习 将命题符号化: 将命题符号化
所有的人都要死， 所有的人都要死， 苏格拉底是人， 苏格拉底是人， 所以， 所以，苏格拉底是要死的
4.2 一阶逻辑公式及解释
定义（一阶语言） 一阶语言L 的字母表定义如下： (1)个体常项：a, b, c,L, ai , bi , ci ,L (2)个体变项：x, y, z,L, xi , yi , zi ,L （ ）函数符号：f , g, h,L, fi , gi , hi ,L, 3 （ ）谓词符号：F, G, H,L, Fi , Gi , Hi ,L 4 （ ）量词符号： ∀ ∃ 5 （ ）联结词符号：¬，，， ， 6 ∧ ∨ → ↔ （ ）逗号和括号：（）， 7
定义（ 定义（代换实例） 的命题公式， 设 A0是含命题变项p1 , p2 ,L, pn的命题公式， A , A2 ,L, An是n个谓词公式，用Ai 1 ≤ i ≤ n 个谓词公式， （ ） 1 处处代替A0中的pi , 所得的公式A称为A0的 代换实例
定理 重言式的代换实例都是永真式， 矛盾式的代换实例都是矛盾式
判断下列公式的类型： 例 判断下列公式的类型： (1) ∀xF( x) →∃xF( x) (2) ∀x∃yF( x, y) →∃x∀yF( x, y) (3) ∃x(F( x) ∧ G( x)) →∀yG( y)
作业： 作业： 2，5，10(1,3), 11(1, 3, 5) ， ，
定义（ 定义（指导变元） 中， 在公式 ∀xA 和 ∃xA 中，称x为指导变元，A为 的辖域中， 相应量词的辖域。在∀x和∃x的辖域中，x的 所有出现都称为约束出现，A 中不是约束出现 的其他变项均称为自由出现的 由出现的
指出下列公式的指导变元，各量词的辖域， 例 指出下列公式的指导变元，各量词的辖域， 自由出现以及约束出现的个体变项： 自由出现以及约束出现的个体变项： (1) ∀x(F( x, y) → G( x, z)) (2) ∀x(F( x) → G( y)) →∃y( H( x) ∧ L( x, y, z))
4.1 一阶逻辑的符号化PPT课件

4.1 一阶逻辑的符号化PPT课件


(4.14) (4.15)
┐ x y(F(x)∧F(y)∧L(x,y))
(4.16)
注 1. 一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换. 意 2. 有些命题的符号化形式可不止一种.
由于引进了个体词，谓词和量词的概念，现 在可以将本章开始时讨论的推理在一阶逻辑中符号 化为如下形式:
x(F(x) →G(x)) ∧F(a)→G(a) (4.21) 其中，F(x): x 是偶数. G(x):x能被2整除. a: 6.
3）有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓词， 例如, F(a), G(a,b), P( a1, a2, …, an )等都是0元谓词. 当F, G, P为谓词常项时，0元谓词为命题.
这样一来，命题逻辑中的命题均可以表示成0 元谓词，因而可以将命题看成特殊的谓词.
例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号 化，并讨论它们的真值:
所以 (4.10) 表示的命题为真.
(3) 令H(x):x登上过木星. 命题(3)符号化形式为
┐ x ( M(x)∧H(x) )
(4.11)
到目前为止，对于任何一个人 (含已经去世的人)
都还没有登上过木星，
所以对任何人a， M(a)∧H(a) 均为假，
因而 x ( M(x)∧H(x) )为假， 所以(4.11)表示的命题为真 .
G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以(2)中命题为假.
三、量词
有了个体词和谓词之后, 有些命题还是不能准确 的符号化，原因是还缺少表示个体常项或变项之 间数量关系的词. 称表示个体常项或变项之间数 量关系的词为量词. 量词可分两种:
全称量词 存在量词
1 全称量词
(1) 凡人都呼吸. (2) 有的人用左手写字. 其中: (a)个体域 D1为人类集合； (b)个体域 D2为全总个体域.

4-一阶逻辑-符号化-类型

6
量词
量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 x 表示在个体域中存在x
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墨西哥位于南美洲

在命题逻辑中
设
p: 墨西哥位于南美洲 p
符号化为

在一阶逻辑中
设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a)

在一阶逻辑中
设
F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, F(2,3) G(3,4)
符号化为
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人都爱美

D为人类集合
设G(x): x
x爱美
G(x) x为人，G(x): x爱美

D为全总个体域
设F(x): x
(F(x)G(x))
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有人用左手写字

D为人类集合
人”
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一阶逻辑中的公式
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个体、谓词、量词的符号化

个体表示
个体常项
a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1
个体变项
x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1

谓词表示：
F,
G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1

量词表示

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有的无理数大于有的有理数
令F(x): G(y):
x是无理数
y是有理数,
L(x,y)：x>y
x ( F(x) y ( G(y) L(x,y) ) ) xy ( F(x) G(y) L(x,y) )

离散数学一阶逻辑命题符号化ppt精选课件

(2)表示抽象或泛指的个体词称为个体变项, 一般用小写字母 x, y, z, … 表示.
个体变项的取值范围称为个体域 (或论域). 个体域可以是有 限集合, 如{1,2,3}或{a,b,c}, 也可以是无限集合, 如自然数集合 N或实数集合R. 由宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个 体域.
谓词
5/26
b. x F(x)表示个体域中存在个体具有性质 F. 例: 凡偶数都能被2整除.
可符号化为: x(P(x)→S(x))是真命题, 其中x不再起变元的作用, 它 被全称量词 限制住了, 这时我们称 x 被量化了.
一阶逻辑中命题符号化
9/26
例 个体域为人类集合, 将下面两个命题符号化: (1) 凡是人都要呼吸; (2) 有的人用左手写字.
① 特性谓词: 从全总个体域中分离出一个集合, 定义的谓词. ② 在不同个体域中, 同一个命题的符号化形式可能不同.
一般地, 对全称量词, 特性谓词应作为蕴含式的前件. 一般地, 对存在量词, 特性谓词应作为合取式的一项. ③ 同一个命题, 在不同个体域中的真值也可能不同. 如果问题中没有指明个体域时, 默认为全总体域.
量词的引入
7/26
有了个体词和谓词的概念之后, 有些命题还是不能准确 地符号化. 以前面所讨论的三段论为例: 令 P(x): x是偶数. S(x) : x能被2整除. a: 6. 符号化为: (1) P(x)→S(x) (2)P(a) (3)S(a) 我们知道, “凡偶数都能被2整除.”是一个真命题, 而“P(x)→S(x)” 不是一个命题. 原因是“P(x)→S(x)”没 有把命题 中“凡”的意思表示出来. 即缺少表示个体常项或变项的数量关系的词. 所以还要 引入量词的概念.
例如: 逻辑学中著名的三段论:

离散数学第四章

使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）∀x（M（x）→F（x）） （2）∃x（M（x）∧ G（x））
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例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
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量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有的”，
“任意的”，“每一个”等等，用符号“∀”表示。 用∀x表示对个体域里的所有个体，∀xF(x)表示个体
域里的所有个体都有性质F。 ∀x∀yG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：∀xF（x） 命题（2）的符号化均为：∃xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
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第四章 一阶逻辑的基本概念
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4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。

第四章 一阶逻辑基本概念


4.2 一阶逻辑公式及解释
一阶语言——用于一阶逻辑公式的形式语言 用于一阶逻辑公式的形式语言 一阶语言 一、一阶语言F与合式公式 一阶语言 与合式公式 1．F的字母表，定义 一阶语言 的字母表定义如下： ． 的字母表 定义4.1 一阶语言F的字母表定义如下 的字母表， 的字母表定义如下： （1）个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i ≥1 ）个体常项： （2）个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i ≥1 ）个体变项： （3）函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i ≥1 ）函数符号： （4）谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i ≥1 ）谓词符号： （5）量词符号：∀, ∃ ）量词符号： （6）联结词符号：¬, ∧, ∨, →, ↔ ）联结词符号： （7）括号与逗号：(, ), ， ）括号与逗号：
2 是无理数仅当 3 是有理数
（3）如果 ）如果2>3，则3<4 ， 要求： 先将它们在命题逻辑中符号化， 要求 ： 先将它们在命题逻辑中符号化 ， 再在一 阶逻辑中符号化
在命题逻辑中： 解：在命题逻辑中： (1)p, p为墨西哥位于南美洲（真命题） 为墨西哥位于南美洲（真命题） 为墨西哥位于南美洲 (2)p→q, 其中，p： 2 是无理数，q： 3 是有理数 其中， ： 是无理数， ： 是有理数. (假命题 假命题) 假命题 (3)p→q, 其中，p：2>3，q：3<4. (真命题 → 其中， ： 真命题) ， ： 真命题 在一阶逻辑中： 在一阶逻辑中： (1)F(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 位于南美洲. ，其中， ：墨西哥， ： 位于南美洲 (2) F( 2) →G( 3), 其中， 是无理数， 其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 ： 是无理数 ： 是有理数 (3)F(2,3)→G(3,4)， → ， 其中， 其中，F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y ： ， ：

一阶逻辑基本概念


将下列命题符号化，并讨论真值。 例4.4 将下列命题符号化，并讨论真值。 （1）所有的人都长着黑头发 ）所有的人都长着黑头发. （2）有的人登上过月球 ）有的人登上过月球. （3）没有人登上过木星 ）没有人登上过木星. （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人 ）在美国留学的学生未必都是亚洲人. 解：由于本题没提出个体域，因而应采用全 由于本题没提出个体域， 总个体域，并令 为人。 总个体域，并令M(x): x为人。 为人
∀x ∀y (F(x) ∧ G(y) →H(x,y)) ∃x (F(x) ∧ ∀y( G(y) →H(x,y) ) ) ¬∀x ∀y( F(x) ∧ G(y) →H(x,y) ) ¬ ∃x ∃y( F(x) ∧ G(y) ∧ L(x,y) )
补充) 例(补充 在一阶逻辑中将下面命题符号化 补充 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数
下面讨论n（n≥2）元谓词的符号化 问题
将下列命题符号化： 例4.5 将下列命题符号化： （1）兔子比乌龟跑的快 ） 2） （2）有的兔子比所有的乌龟跑的快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
解：因为本题没有指明个体域，因而采用全总个体 因为本题没有指明个体域， 因为本例中出现二元谓词， 域，因为本例中出现二元谓词，因而引入两个个 体变项x与y。 体变项 与 。 是兔子， 令F(x)：x是兔子，G(y)：y是乌龟 ： 是兔子 ： 是乌龟 H(x,y)：x比y跑的快， L(x,y)：x与y跑得同样快 ： 比 跑的快 跑的快， ： 与 跑得同样快 这四个命题分别符号化为： 这四个命题分别符号化为：
例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符 号化，并讨论它们的真值： （1）如果2是素数，4才是素数。 解：设一元谓词F(x)：x是素数。 a：2 b：4 则（1）中命题符号化为0元谓词的蕴涵 式： F(a) → F(b)。 由于此蕴涵式前件为假，所以命题为真.

离散数学(一阶逻辑的基本概念)

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多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
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小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
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实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
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小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
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22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
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（4）不存在跑的同样快的两只兔子。 命题可看成“存在跑的同样快的两只兔子”的否定 命题可以符号化为： ┐xy（F（x）∧F（y）∧L（x，y）） 命题也可看成“任意的两只兔子跑的不一样快” 命题也可以符号化为： xy（F（x）∧F（y）→ ┐L（x，y））
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使用多元谓词符号化命题时的注意点： （1）使用n元谓词符号化命题需要n个量词。 （2）有些命题的倒后会改变命题的含义。 例 如 ： 考 虑 个 体 域 为 实 数 集 ， H（x，y） 表 示 “x+y=10”。 则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符 号化为： x y H（x，y），命题为真命题。 颠倒顺序后，得 y x H（x，y），这表示“存在 y，对任意的x有x+y=10”，显然是假命题。
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（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 命 题 可 看 成 “存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。 令F（x）：x是在美国留学的学生； G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
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思考：符号化命题：张三的父亲是校长。 解一：令F(x)：x是校长，a：张三的父亲 命题符号化为F(a) 解二：令F(x)：x的父亲是校长，a：张三 命题符号化为F(a) 解三：令F(x)：x是校长，G(x, y)：x是y的父亲 M(x)：x是人，a：张三 命题符号化为x(M(x)∧G(x, a)∧F(x)) 解四：设F(x): x是校长，f(x): x的父亲，a：张三 命题符号化为：F(f(a))) 谓词是一个完整的句子；函数则是一个短语
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例 将下列命题符号化。 （1）所有的人都长着黑头发。 （2）有的人登上过月球。 （3）没有人登上木星。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。
解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令M（x）：x为人 （1）令F（x）：x长着黑头发 可将命题转述为：对所有个体而言，如果它是人， 那么它就长着黑头发。 命题符号化为：x（M（x）→F（x））
（2）命题符号化为：xG（x）
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（b）现在假设个体域D2是全总个体域 这时， x F（x）和 x G（x）不能表示原命题的 意义了，因为 （1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。 （2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
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（2）有的人登上过月球。 令G（x）：x登上过月球 可将命题转述为：存在着个体，它是人并且登上过 月球。 命题符号化为：x（M（x）∧G（x）） （3）没有人登上木星。 令H（x）：x登上过木星 命题可看成：“有人登上木星”的否定。 命题符号化为：┐x（M（x）∧H（x）） 命题也可看成：所有人都没登上木星 命题符号化为： x（M（x）→┐H（x））
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例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6 命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符 对命题符号化 解：（1）令F（x）：x是素数，a：2，b：4 则命题符号化为：F（b）→F（a） （2）令G（x，y）：x大于y。a：4，b：5，c：6 则命题符号化为：G（b，a）→G（a，c）
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。 解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令F（x）：x是兔子； G（y）：y是乌龟； H（x，y）：x比y跑的快； L（x，y）：x和y跑得同样快 （1）兔子比乌龟跑得快。 可将命题转述为： 对于任意的一个个体 x，如果x 是兔子， 那么对于任意的个体y，如果y是乌龟，那么x比y跑得快。 命题可以符号化为： x（F（x）∧y（G（y）→H（x，y）））
第四章 一阶逻辑的基本概念
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4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
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个体词
个体词是独立存在的客体，可以是一个具体的 事物，也可以是一个抽象的概念 例如：小王、玫瑰花、黑板、自然数、 3 、思 想、定理等都可以作为个体词。 个体常项：表示具体的或特定的个体的词 用小写的英文字母a，b，c…表示 个体变项：表示抽象的或泛指的个体的词 用小写的英文字母x，y，z…表示
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例 在个体分别限制为（a）和（b）条件时，将下面 两个命题符号化： 个体词“人”需不 （1）所有的人都呼吸。 需要进行符号化？ （2）有的人用左手写字。 其中：（a）个体域D1为人类集合 （b）个体域D2为全总个体域 解： （a）个体域为人类集合 令F（x）：x呼吸；G（x）：x用左手写字
（1）命题符号化为：xF（x）
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谓词应符号化成个体词和谓词的联合体的形式 如F（a）、F（x）、F（a，b）、F（x，y）等
F（a）表示个体常项a具有性质F； F（x）表示个体变项x具有性质F； F（a，b）表示个体常项a，b具有关系F； F（x，y）表示个体变项x，y具有关系F。
例：（1）π是无理数。（2）小王与小李同岁。 令F（x）：x是无理数 H（x，y）：x与y同岁
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有些命题除了个体词和谓词之外，还有表示数 量的词。 例如：（1）所有的人都呼吸。 （2）有的人用左手写字。
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量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有 的”， “任意的”，“每一个”等等，用符号“”表示。 用x表示对个体域里的所有个体，xF(x)表示个体 域里的所有个体都有性质F。 xyG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。 （2）存在量词：对应日常语言中的“存在”，“有一 个”，“有的”，“至少有一个”等词，用符号“”表示。 用x表示个体域里有的个体，xF(x)表示个体域里存 在个体具有性质F。 xyG(x, y)表示个体域里存在两个个体具有关系G。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。 使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
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例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化： （1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3 其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合） 解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：xF（x）
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谓词的元
一个谓词中所包含的个体变项的数目称为该谓词 的元数。含有n（n≥1）个体变项的谓词称为n元谓词。 常用P(x1，x2，…，xn)表示n元谓词。 一元谓词通常表示个体变项具有性质P； n（n≥2）元谓词通常表示个体变项之间具有关系P。 不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
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个体词
个体域（也称论域）：个体变项的取值范围 个体域可以是有限事物的集合， 如{1,2,3}、{a,b,c}、{中华人民共和国所有公 民} 等 也可以是无限事物的集合，如整数集合、实数 集合等。 特别的，当无特殊声明时，将宇宙间的一切事 物的集合作为个体域，称为全总个体域。
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谓词
谓词是用来刻画个体词的性质或个体词之间关 系的词语。 例如：指出下面四个陈述中的个体词和谓词
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例 使用多元谓词将下列命题符号化。 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快。 （4）不存在跑的同样快的两只兔子。 解：本题未给出个体域，因而以全总个体域为个体域 令F（x）：x是兔子； G（y）：y是乌龟； H（x，y）：x比y跑的快； L（x，y）：x和y跑得同样快 （1）兔子比乌龟跑得快。 可将命题转述为： 对于任意的两个个体 x 和 y，如果 x 是兔子，并且y是乌龟，那么x比y跑得快。 命题可以符号化为： xy（F（x）∧G（y）→H（x，y））
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例：符号化下列命题。 （1）所有实数的平方是非负的。 （2）对于任意的实数x与y，总存在实数z，使得x+y=z。 解： （1）设F(x): x是实数，f(x): x的平方，G(x): x非负 命题符号化为： x(F(x) →G(f(x))) （2）设F(x): x是实数， G(x,y,z): x+y=z 命题符号化为：xy(F(x)∧F(y)→z(F(z)∧G(x,y,z))) 或设F(x): x是实数， f(x,y): x+y，H(x,y): x=y 命题符号化为：xy(F(x)∧F(y)→z(F(z)∧H(f(x,y),z)))
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命题（2）的符号化均为：xG（x）
个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
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使用量词时的注意点 （1）在不同的个体域中，命题符号化的形式可能一 样，也可能不一样 （2）在引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词 符号化的形式是不同的 （3）同一个命题，在不同的个体域中的真值可能不 一样 （4）如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域 为个体域
用大写英文字母F，G，H，…表示
例如：“…是无理数”，“…是程序员”，“… 与…同 岁”是谓词常项，可以用F表示“…是无理数”， G表 （2）谓词变项：表示抽象的或泛指的谓词 示“…是程序员”，H表示“…与…同岁”