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4.1-一阶逻辑命题符号化new

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一阶逻辑基本概念谓词逻辑(离散数学)

一阶逻辑基本概念谓词逻辑(离散数学)
4
一、个体词、谓词、量词的概念


个体常项：具体的客体，用a, b, c表示。
个体变项：抽象或泛指的事物，用x, y, z表示。 例：x高于y。x，y都是个体变项。 个体域（论域）: 个体变项的取值范围。

有限个体域 即个体域是 有限集合
无限个体域 即个体域是 无穷集合
全总个体域 宇宙间一切 事物组成。
“ 1”, 则 L(2,1) 就是命题“ 21” 。此时二元谓
词变成0元谓词。
同理：一元谓词F(x)中的x代以个体“小王”， 则F(小王)就是命题“小王是女孩”。也是0
元谓词。
谓词逻辑包括命题逻辑。
9
一、个体词、谓词、量词的概念
例1：用0元谓词将下述命题符号化。 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 该命题为真命题。 在一阶逻辑中, 设 a：墨西哥； F(x)：x位于南美洲； 符号化为F(a)
35
4.
二、个体变项的自由出现与约束出现
例1：说明以下各式量词的辖域与变元的约 束情况：
（1） x(F(x,y)G(x,z))
A=(F(x,y)G(x,z))为的辖域， x为指导变元, A中x的两次出现均为约 束出现，y与z均为自由出现。
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二、个体变项的自由出现与约束出现
（ 2 ）xy( P( x, y) Q( x, y )) xP( x, y)
（ 2 ）x( F ( x, y) yG( x, y, z ))
x( F ( x, y ) tG( x, t , z ))
或 x( F ( x, w ) yG( x, y, z ))
三、公式的解释
引例：给定公式 A=x(F(x)G(x)) 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得A = 成真解释

第四部分一阶逻辑基本概念教学课件

第四部分一阶逻辑基本概念教学课件
存在量词： x表示个体域里有一个个体x
对应日常语言中的“存在”、“有一个”等
一元谓词F(x)个体域为D， xF(x)真值
• xF(x)为真：F(a)为真，存在某个aD • xF(x)为假：F(a)为假，对任意aD
xyG(x,y)：个体域里存在个体x,y有关系G 全称量词与存在量词联合
命题之间的联系无法刻画
命题逻辑的表示能力缺陷
命题演算的基本单元为简单命题 不能研究命题的结构、成分和内部逻辑的特征 不能表达二个原子命题所具有的共同特征，无法
处理一些简单又常见的推理3源自4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑
对命题做进一步分解 揭示命题的内部结构以及命题间的内在联系
命题分解
• 全称量化中，特性谓词常作为蕴涵式的前件 • x（M(x)F(x)) • 存在量化中，特性谓词常作为合取项之一 • x (M(x)G(x))
14
4.1 一阶逻辑命题符号化
例：将下列命题符号化并判断真假值
凡是学生都需要学习和考试 在北京工作的人未必是北京人 没有人登上过木星
15
4.1 一阶逻辑命题符号化
P(x1,…,xn): Dn{F,T}，D为个体域 不带个体变项的谓词为0元谓词，当为谓词常项时
，即命题
6
4.1 一阶逻辑命题符号化
例:将下列命题用0元谓词符号化
2既是素数又是偶数
• F(x)：x是素数 • G(x)：x是偶数 • a:2 • F(a) G(a)
例:将下列命题用0元谓词符号化
• xF(x)为真：F(a)为真，对所有aD • xF(x)为假：F(a)为假，对某个aD
xyG(x,y)：个体域里所有个体x,y有关系G
• xyG(x,y)为真：G(a,b)为真，对所有a,bD • xyG(x,y)为假：G(a,b)为假，对某对a,bD

屈婉玲离散数学第四章

屈婉玲离散数学第四章
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
9
实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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离散数学 第四章 一阶逻辑基本概念

离散数学 第四章 一阶逻辑基本概念

18
§4.1 一阶逻辑命题符号化
（3）没有人登上过木星。 令H(x):x登上过木星， M(x):x是人。命题符号化为 ┐x(M(x)∧H(x))。 命题真值为真。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号化 ┐x(F(x)→G(x)) 命题真值为真。
个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在 联系和数量关系。
4
§4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素


个体词
谓词
量词
5
个体词及相关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体的 或抽象的客体。
举例

命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。 命题：他是三好学生。 个体词：他。
个体域为全总个体域
令 M(x):x是人 , F(x):x呼吸 , G(x):x用左手写字

能否将”凡人都呼吸”符号化为 (∀x) (M(x)∧F(x) ) ？ 不可以。 (∀x) (M(x)∧F(x) )表示宇宙中的万物都是人并 且会呼吸 能否将”有的人用左手写字”符号化为 (x)( M(x)→G(x) ) ？ 不可以。(x)( M(x)→G(x) ) 表示在宇宙万物中存在某个 个体x,”如果x是人则x会用左手写字”

6
个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母 a, b, c,…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x, y, z,… 表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 可以是无穷集合，如N，Z，R，…。 全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。

F4一阶逻辑基本概念

F4一阶逻辑基本概念
(a)非空个体域 DI . (b) DI 中一些特定元素的集合{a1,a2 , …,ai , …}. (c) DI 上特定函数的集合{fin|i, n 1}. (d) DI 上特定谓词的集合{Fin|i, n 1}. †其实质是明确公式中各个变项, 繁琐之处毋庸细究.

第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释

命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化

一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为

4.1 一阶逻辑命题符号化new

4.1 一阶逻辑命题符号化new
22
（4）不存在跑的同样快的两只兔子。 命题可看成“存在跑的同样快的两只兔子”的否定 命题可以符号化为： ┐xy（F（x）∧F（y）∧L（x，y）） 命题也可看成“任意的两只兔子跑的不一样快” 命题也可以符号化为： xy（F（x）∧F（y）→ ┐L（x，y））
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使用多元谓词符号化命题时的注意点： （1）使用n元谓词符号化命题需要n个量词。 （2）有些命题的倒后会改变命题的含义。 例 如 ： 考 虑 个 体 域 为 实 数 集 ， H（x，y） 表 示 “x+y=10”。 则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符 号化为： x y H（x，y），命题为真命题。 颠倒顺序后，得 y x H（x，y），这表示“存在 y，对任意的x有x+y=10”，显然是假命题。
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（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 命 题 可 看 成 “存在在美国留学的学生不是亚洲 人”。 令F（x）：x是在美国留学的学生； G（x）：x是亚洲人 命题符号化为：x（F（x）∧┐G（x）） 或者命题可看成“在美国留学的任意学生都是亚 洲人”的否定。 命题符号化为：┐x（F（x）→G（x））
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思考：符号化命题：张三的父亲是校长。 解一：令F(x)：x是校长，a：张三的父亲 命题符号化为F(a) 解二：令F(x)：x的父亲是校长，a：张三 命题符号化为F(a) 解三：令F(x)：x是校长，G(x, y)：x是y的父亲 M(x)：x是人，a：张三 命题符号化为x(M(x)∧G(x, a)∧F(x)) 解四：设F(x): x是校长，f(x): x的父亲，a：张三 命题符号化为：F(f(a))) 谓词是一个完整的句子；函数则是一个短语
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例 将下列命题符号化。 （1）所有的人都长着黑头发。 （2）有的人登上过月球。 （3）没有人登上木星。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。

4一阶逻辑基本概念

4
东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
使用谓词表达一个命题时, 使用谓词表达一个命题时,若谓词字母联系 着一个个体变元,则称作一元谓词 一元谓词; 着一个个体变元,则称作一元谓词;若谓词 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词 二元谓词; 字母联系着二个个体变元,则称作二元谓词; 若谓词字母联系着n个个体变元 则称作n元 个个体变元, 若谓词字母联系着 个个体变元,则称作 元 谓词. 谓词. 一般个体变元的位置是有规定的. 一般个体变元的位置是有规定的. 河南省北接河北省. 北接河北省 例:河南省北接河北省. n L b 写成二元谓词为:L(n,b) . 写成二元谓词为:
8
东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
存在量词 符号: 读作"存在一个" 对于一些" 符号:"" ,读作"存在一个","对于一些" 等. 例: (a)某个人很聪明 某个人很聪明 (b)某些实数是有理数 某些实数是有理数 规定M(x):x是人;C(x):x很聪明;R1(x): 是人; 很聪明; 解:规定 : 是人 : 很聪明 : 是有理数. x是实数;R2(x):x是有理数. 是实数; : 是有理数 是实数 (a) x (M(x) ∧C(x)); ; (b) x (R1(x) ∧ R2(x)) .
11
东南大学
4.1一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑命题符号化
将谓词转化为命题 对变元量化
谓词F(x) :"x是质数" 是质数" 谓词 是质数 论域为I, 为假, 为真. 论域为 , x F(x) 为假, x F(x) 为真. 量化后命题的真值与论域有关. 量化后命题的真值与论域有关.

离散数学课件 4.1一阶逻辑命题符号化

说明： x yG(x, y) 和 x yG(x, y)表示的含义不同！
第 10 页
四、符号化
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)人都爱美。
(2)有人用左手写字。
个体域分别为：
(a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
解: (a)设F(x):x爱美，G(x):x用左手写字，则
(1) xF(x) (2) xG(x)
， L(x,y): x与y跑得同样快。 (5) ﹁ x y(F(x) G(y) H(x, y)) (6) ﹁ x y(F(x) F(y) L(x, y))
第 16 页
总结和作业
➢ 小结 ◆ 理解个体词、谓词、量词的含义 ◆ 掌握一阶逻辑命题的符号化
➢ 作业（做书上）
课本63-64页 4(1) (3), 5(1) (3)，6 (1) (3) (5)
第1 页
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 命题逻辑的局限性
在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单 命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数 量关系。
➢ 一阶逻辑所研究的内容
为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分 析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系。 ◆ §4.1一阶逻辑命题符号化 ◆ §4.2一阶逻辑公式及解释 ◆ §5.1一阶逻辑等值式与置换规则 ◆ §5.2一阶逻辑前束范式
第四章 一阶逻辑基本概念
➢ 苏格拉底三段论
◆ 所有的人都是要死的。 ◆ 苏格拉底是人。 ◆ 所以，苏格拉底是要死的。 试证明此推理。 解：令p:所有的人都是要死的,q:苏格拉底是人,r:苏格拉底 是要死的，则 前提：p，q 结论：r 推理的形式结构： p Ù q ® r

一阶逻辑基本概念详解

注:在推理中如不指明所采用的个体域,都是使用全总个体域.
2020/9/25
3
Hale Waihona Puke 谓词谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词P55 谓词常项 表示具体性质或关系。如, F(a)：a是人 谓词变项 表示抽象的或泛指的性质或关系。如, F(x)：x具 有性质F n（n1）元谓词： 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项 如 P56 例4.1
2020/9/25
4
量词
量词——表示数量的词
全称量词: 表示所有的.
x : 对个体域中所有的x
如, xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F
xyG(x,y)表示个体域中所有的x和y有关系G
存在量词: 表示存在, 有一个.
x : 个体域中有一个x
如, xF(x)表示个体域中有一个x具有性质F
xyG(x,y)表示个体域中存在x和y有关系G
(1) x(M(x)F(x)) (2) x(M(x)G(x))
1. 引入特性谓词M(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公
式 2020/9/25
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实例3
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数
解 (注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域) (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y
xyG(x,y)表示对个体域中每一个x都存在一个y使得
x和y有关系G
xyG(x,y)表示个体域中存在一个x使得对每一个y,

个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化一阶逻辑公式及其

解 (a) (1) xG(x), G(x)：x爱美
(2) xG(x), G(x)：x用左手写字 (b) F(x)：x为人，G(x)：x爱美
(1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x))
1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公
式
7
实例3
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>yF(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于北美洲 .
(2) F( 2 )G( 3 ),
其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 (3) F(2, 3)G(3, 4)，其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x<y
6
实例2
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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一阶语言L 的项与原子公式
定义4.2 L 的项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项.
(2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的 n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项.
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13
例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：xF（x） 命题（2）的符号化均为：xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
所以个体域是全总个体域时，命题应转述为： （1）对于任意的个体，如果它是人，则它是要呼吸的。 （2）存在着个体，它是人并且用左手写字。
需要引进一种新的谓词（特性谓词）将人与其它事 物区分开来 令M（x）：x是人。
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）x（M（x）→F（x）） （2）x（M（x）∧ G（x））
例：（1）π是无理数。（2）小王与小李同岁。 令F（x）：x是无理数 H（x，y）：x与y同岁
7
谓词的元
一个谓词中所包含的个体变项的数目称为该谓词 的元数。含有n（n≥1）个体变项的谓词称为n元谓词。 常用P(x1，x2，…，xn)表示n元谓词。
一元谓词通常表示个体变项具有性质P； n（n≥2）元谓词通常表示个体变项之间具有关系P。
物的集合作为个体域，称为全总个体域。
4
谓词
谓词是用来刻画个体词的性质或个体词之间关 系的词语。
例如：指出下面四个陈述中的个体词和谓词
（1）π是无理数。
（2）王明是程序员。
（3）小王与小李同岁。 （4）x与y具有关系L。
个体词：“π”，“王明”，“小王”，“小李”，“x”， “谓y”词：“…是无理数”，“…是程序员” 个体词的性质
10
量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有
的”， “任意的”，“每一个”等等，用符号“”表示。
用x表示对个体域里的所有个体，xF(x)表示个体 域里的所有个体都有性质F。
（2x）存yG在(x量, y词)表：示对个应体日域常里语的言任中意的两“个存个在体”都，有“关有系一G。 个”，“有的”，“至少有一个”等词，用符号“”表示。
用x表示个体域里有的个体，xF(x)表示个体域里存 在个体具有性质F。
xyG(x, y)表示个体域里存在两个个体具有关系G。
11
例 在个体分别限制为（a）和（b）条件时，将下面
两个命题符号化： （1）所有的人都呼吸。 （2）有的人用左手写字。
个体词“人”需不 需要进行符号化？
其中：（a）个体域D1为人类集合
个体变项：表示抽象的或泛指的个体的词 用小写的英文字母x，y，z…表示
3
个体词
个体域（也称论域）：个体变项的取值范围 个体域可以是有限事物的集合， 如{1,2,3}、{a,b,c}、{中华人民共和国所有公
民}等 也可以是无限事物的集合，如整数集合、实数
集合等。 特别的，当无特殊声明时，将宇宙间的一切事
对命题符号化 解：（1）令F（x）：x是素数，a：2，b：4
则命题符号化为：F（b）→F（a） （2）令G（x，y）：x大于y。a：4，b：5，c：6
则命题符号化为：G（b，a）→G（a，c）
9
有些命题除了个体词和谓词之外，还有表示数 量的词。
例如：（1）所有的人都呼吸。 （2）有的人用左手写字。
14
使用量词时的注意点 （1）在不同的个体域中，命题符号化的形式可能一
样，也可能不一样 （2）在引入特性谓词后，使用全称量词，在不同的个体域中的真值可能不
一样 （4）如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域
为个体域
15
例 将下列命题符号化。 （1）所有的人都长着黑头发。 （2）有的人登上过月球。 （3）没有人登上木星。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。
F，G，H，…表示的是谓词常项还是谓词变项要 根据上下文而定 例如：“…与…具有关系L” 是谓词变项
6
谓词应符号化成个体词和谓词的联合体的形式 如F（a）、F（x）、F（a，b）、F（x，y）等
F（a）表示个体常项a具有性质F； F（x）表示个体变项x具有性质F； F（a，b）表示个体常项a，b具有关系F； F（x，y）表示个体变项x，y具有关系F。
“…与…同岁”，“…与…具有关系L”个体词之间关系
5
谓词的分类
（1）谓词常项：表示具体性质或关系的谓词 用大写英文字母F，G，H，…表示
例如：“…是无理数”，“…是程序员”，“… 与…同
岁”是谓词常项，可以用F表示“…是无理数”，
G（表2）示谓“词…变是项程：序表员”示，抽H象表示的“或…泛与指…的同谓岁”词 也用大写英文字母F，G，H，…表示，
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
第四章 一阶逻辑的基本概念
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
2
个体词
个体词是独立存在的客体，可以是一个具体的 事物，也可以是一个抽象的概念
例如：小王、玫瑰花、黑板、自然数、3、思 想、定理等都可以作为个体词。
个体常项：表示具体的或特定的个体的词 用小写的英文字母a，b，c…表示
（b）个体域D2为全总个体域
解： （a）个体域为人类集合 令F（x）：x呼吸；G（x）：x用左手写字
（1）命题符号化为：xF（x）
（2）命题符号化为：xG（x）
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（b）现在假设个体域D2是全总个体域
这时， x F（x）和 x G（x）不能表示原命题的 意义了，因为
（1）所有的人都呼吸。 所有的个体都呼吸。 （2）有的人用左手写字。有的个体用左手写字。