大学数学2试卷答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第2学期 考试科目： 高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 试定义函数在点的值的 ，使得函数在该点连续。

2．函数在点处可微分的必要条件是函数在该点处连续或可偏导；充分条件是函数的偏导数在该点处连续。

3．设函数在闭区域上连续，且，则。

4. 判断敛散性：已知且，则是收敛的。

5. 已知某二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为，则该微分方程为。

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 直线与平面的交点是（B ）。

（A ）（9，2，-3）。

（B ）（2，9，11）。

（C ）（2，11，13）。

（D ）（11，9，2）。

2. 若级数在处收敛，则此级数在处（A ）。

（A ）绝对收敛。

（B ）条件收敛。

（C ）发散。

（D ）收敛性不能确定。

3．二元函数 在点处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。

（B ）连续，偏导数不存在。

（C ）不连续，偏导数存在。

（D ）不连续，偏导数不存在。

4. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数， ，则以下结论正确的是（ A ）。

（A ） 。

（B ） 。

（C ） 。

（A ） 。

5. 微分方程的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。

（A ）。

（B ）。

（C ）。

（D ）。

三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） （1）设，其中和具有连续导数，求。

【解】（2）求由方程所确定的函数的全微分。

【解】方程两边求微分得 整理得（3）交换积分次序。

【解】（4）求差分方程在给定初始条件下的特解。

【解】特征方程为，所以对应的齐次方程的通解为。

又不是特征根，故可令特解为，代入原方程，得比较系数可得，，故非齐次方程的一个特解为，于是非齐次方程的通解为，由所给初始条件，可得，所以方程满足给定初始条件下的特解为。

2011-2012学年第 2 学期 考试科目： 大学数学Ⅱ一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 设A 、B 为两个随机事件，已知()0.3,()0.4,()0.5P A P B P A B ===U ，则()P A B =U ______________.2. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则(1)P X ≥= ______________.3. 设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为：),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，则(1,3)F =______________.4. 设随机变量X 表示100次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.2, 则2X 的数学期望是______________.5. 设X 、Y相互独立，且都服从标准正态分布，则~Z =______________. (要求写出分布及其参数).6. 设由来自总体~(,0.81)X N μ，容量为9的样本得到样本均值5=X ，则未知参数μ的置信度为95%的置信区间为___________________.( 0.025 1.96u =) 二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的, 中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C p B P A p 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱, 则此人赚钱的概率约为( ). A. 0.05B. 0.06C. 0.07D. 0.082. 设A 、B 为两个随机事件，且B A ⊂，()0>B P ，则下列选项必然正确的是( ). A. ()()B A P A P < B. ()()B A P A P >C. ()()B A P A P ≤D. ()()B A P A P ≥3. 下列各函数中可以作为某个随机变量X 的分布函数的是( ).A. 21,0()11,0x F x x x ⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩ B. 0,0() 1.1,011,1x F x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩14. 设随机变量()2~2,3X N ，随机变量25Y X =-+, 则~Y ( ). A. (1,41)N B. (1,36)N C. (1,18)N - D. (1,13)N -5. 设某地区成年男子的身高()100,173~N X ，现从该地区随机选出20名男子，则这20名男子身高平均值的方差为( ).A. 100B. 10C. 5D. 0.56. 设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ的无偏估计量的是( ).A. XB. 123X X X +-C. 1230.20.30.5X X X ++D. 1nii X=∑三、计算题（本大题共4小题，共40分）1.（本题8分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求: （1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.2.（本题8分）设离散型随机变量X 只取1，2，3三个可能值，取各相应值的概率分别是21,,4a a -，求:(1) 常数a ； (2) 随机变量X 的分布律； (3) 随机变量X 的分布函数()F x .3.（本题10分）设随机变量X 的密度函数为：()1()2x f x e x -=-∞<<+∞.(1) 求{1}P X <； (2) 求2Y X =的密度函数.4.（本题14分）设随机变量X 与Y 相互独立，它们的密度函数分别为1,03()30,X x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他, 33,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ 试求：(1) (,)X Y 的联合密度函数； (2) ()P Y X <； (3)()D X Y -.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 从一台车床加工的一批轴料中抽取15件测量其椭圆度，计算得样本方差220.025s =，已知椭圆度服从正态分布，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的方差200.0004σ=有无显著差异（取检验水平0.05α=）?(20.025(14)26.1χ=， 20.975(14) 5.63χ=, 20.025(15)27.5χ=，20.975(15) 6.26χ=)2. 某粮食加工厂用4种不同的方法贮藏粮食，一段时间后，分别抽样化验其含水率，每种方法重复试验次数均为5次，所得粮食含水率的方差分析表的部分数据如下. (0.05(4,19) 5.01F=，0.01(4,16) 4.77F=，0.01(3,16) 5.29F=) (1) 完成下面的方差分析表.(2) 给出分析结果.3. 有人认为企业的利润水平和它的研究费用间存在着近似的线性关系. 下面是某10个企业的利润水平(x )与研究费用(y )的调查资料：102101=∑=i ix，2390101=∑=i i y ，10661012=∑=i ix ，6243001012=∑=i iy ，25040101=∑=i i i y x建立研究费用y 与企业利润水平x 的回归直线方程.2011-2012学年第 2 学期 大学数学Ⅱ 华南农业大学期末考试试卷（A 卷）-参考答案 一、1. 0.8； 2. 31e --； 3.518； 4. 416 ； 5. )1(t ； 6. (4.412，5.588) 二、1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 三、1. 解 设A =“任取一产品，经检验认为是合格品” B =“任取一产品确是合格品” 依题意()0.9,()0.1,()0.95,()0.02P B P B P A B P A B ==== （2分）则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（5分） （2） ()(|)0.90.95(|)0.9977()0.857P B P A B P B A P A ⨯===. （8分）2. 解 (1) 由2114a a -+=得1231().22舍去或a a ==- (3分) (2) X 的分布律为(5分)(3) X 的分布函数为 0,10,111,12,1244()113,23,234241111,3,3424x x x x F x x x x x <⎧<⎧⎪⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎪==⎨⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪⎪≥++≥⎩⎪⎩ (8分) 3. 解（1）111011{1}{11}12x x P X P X e dx e dx e---<=-<<===-⎰⎰. (3分)（2）当0y ≤时，()()()20F y P Y y P X y =<=<=； (5分) 当0y >时，()()(20xx F y P X y P X dx dx --=<=<<== (8分) 所以2Y X =的密度函数为0,0()()0y f y F y y ≤⎧⎪'==>. (10分) 4. 解 （1）因为随机变量X 与Y 相互独立， ( 1分)所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他 (3分)（2）{}(,)y xP Y X f x y dxdy <<=⎰⎰330[]xy e dy dx -=⎰⎰ (6分)330(1)x e dx -=-⎰3390181()333x x e e --=+=+()9183e -=+ (8分) （3）解：由密度函数可知~(0,3),~(3)X U Y E (10分)所以，22(30)311(),(),12439D X D Y -==== (12分) 由X 与Y 相互独立，得3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+=(14分) 四、1. 解 检验假设 20:0.0004H σ=，21:0.0004H σ≠. （1分）依题意，取统计量：2222(1)~(1)n S n χχσ-=-，15n =. （3分）查表得临界值：220.0252(1)(14)26.1n αχχ-==，220.97512(1)(14) 5.63n αχχ--==, （5分）计算统计量的观测值得： 22140.02521.8750.0004χ⨯==. （6分）因2220.9750.025(14)(14)χχχ<<，故接受原假设0H ，即认为总体方差与规定的方差无显著差异.（8分） 2. 解 (1)(2) 解 因为F =5.6681>0.01(3,16) 5.29F =，所以拒绝0H ，即认为不同的贮藏方法对粮食含水率的影响在检验水平0.01α=下有统计意义. (8分)3. 解 2.10=x ，239=y (2分)6.252.10101066221012=⨯-=-=∑=x n x l i i xx (3分)6622392.101025040101=⨯⨯-=-=∑=y x n y x l i i i xy (4分)故1662ˆ25.8625.6xy xx l l β==≈；01ˆˆ23925.8610.224.77y x ββ=-=-⨯=- (6分) 因此所求回归直线方程为 ˆ24.7725.86yx =-+ (8分)。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）答案2015-2016学年第 2 学期 考试科目： 大学数学Ⅱ一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.792. 53.1/94.,5(3)N -5.2(1)n χ- 6.[10.0304，10.0696]二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. A2. B3. C4.B5. B6.D三、解答题（本大题共5小题，共54分） 1.解 设i A 表示取出的产品为第i 台机床生产(1,2i =),B 表示取出的零件为废品,则由已知有12121()(),(|)0.03,(|)0.022P A P A P B A P B A ==== ................................................................................. 2分(1)由全概率公式得112211()()(|)()(|)0.030.020.02522P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= ................................... 5分故任意取出的一件零件为合格品的概率为()1()0.975=-=P B P B ..................................................................... 7分(2)由贝叶斯公式得22210.02()()2()0.4()0.025P A P B A P A B P B ⨯===................................................................ 10分 2．解 函数()21y g x x ==+在[0,1]内的值域为[1,3]且()20g x '=>, ......................................................... 2分其反函数1()(1)2h y y =-, 1()2h y '= ....................................................................................................................... 4分于是随机变量Y 的概率密度为[()](),13()0,Y f h y h y y f y '⎧<<=⎨⎩其他 ................................................................. 8分[]6()1()(),130,h y h y h y y '⎧-<<=⎨⎩其他23(43),13=40,y y y ⎧--+<<⎪⎨⎪⎩其他 ............................................... 10分3.解(1)（X ，Y ）可能取值为（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。

大学数学二试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 微分方程 y'' - y = 0 的通解是：A. y = C1 * cos(x) + C2 * sin(x)B. y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)C. y = C1 * x + C2 * x^2D. y = C1 * ln(x) + C2 * x3. 矩阵 A = \[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\] 的行列式是：A. 1B. 2C. -2D. 54. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 积分∫(0 to π) sin(x) dx 的值是：A. 0B. πC. -2D. 26. 函数 y = ln(x) 的反函数是：A. y = e^xB. y = e^(-x)C. y = 10^xD. y = x^e二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果函数 f(x) 在点 x=a 处可导，则 f'(a) 表示______。

2. 函数 y = x^2 - 4x + 3 的顶点坐标是（______，______）。

3. 微分方程 y' + 2y = 0 的通解形式为 y = ______。

4. 函数 y = sin(x) 的不定积分是 ______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数 f(x) = x^2 - 6x + 9 在区间 [2, 5] 上的最大值和最小值。

2. 证明：如果一个数列 {a_n} 收敛于 L，则其子数列 {a_{2n}} 也收敛于 L。

3. 计算定积分∫(0 to 1) (3x^2 - 2x + 1) dx。

2011-２012学年第 2 学期 考试科目： 大学数学Ⅱ一、填空题(本大题共6小题，每小题３分,共18分）1． 设A 、B 为两个随机事件，已知()0.3,()0.4,()0.5P A P B P A B ===,则()P AB =_____＿_＿___＿_＿.2. 设随机变量X 服从参数为３的泊松分布，则(1)P X ≥= _＿＿__＿_＿______. 3． 设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为:),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，则(1,3)F =＿＿＿_＿__＿______．4. 设随机变量X 表示1００次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0．２， 则2X 的数学期望是＿__＿___＿______.5. 设X 、Y相互独立，且都服从标准正态分布，则~Z =＿＿__＿_________． (要求写出分布及其参数).6. 设由来自总体~(,0.81)X N μ,容量为9的样本得到样本均值5=X ，则未知参数μ的置信度为９5%的置信区间为＿_＿＿＿______________．( 0.025 1.96u =) 二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）１. 某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的, 中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C p B P A p 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱, 则此人赚钱的概率约为( ）. ﻩ A. 0．０5ﻩB ． ０．06ﻩC. ０.0７ﻩﻩD ． ０.０82． 设A 、B 为两个随机事件，且B A ⊂，()0>B P ，则下列选项必然正确的是( ）. A. ()()B A P A P < Ｂ. ()()B A P A P >Ｃ． ()()B A P A P ≤ Ｄ. ()()B A P A P ≥ 3. 下列各函数中可以作为某个随机变量X 的分布函数的是( )．1,0x ⎧≤⎪0,0x <⎧⎪C ． x x F sin )(= Ｄ． 211)(x x F +=４． 设随机变量()2~2,3X N ，随机变量25Y X =-+， 则~Y ( ）.A. (1,41)N B ． (1,36)N Ｃ. (1,18)N - D. (1,13)N -5． 设某地区成年男子的身高()100,173~N X ，现从该地区随机选出20名男子,则这20名男子身高平均值的方差为( ）.A ． 100 Ｂ. 1０ C. 5 D ． 0.５6. 设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ的无偏估计量的是（ )．A ． X B. 123X X X +- Ｃ. 1230.20.30.5X X X ++ D. 1nii X=∑三、计算题(本大题共4小题，共40分)1.(本题８分)已知一批产品中90%是合格品，检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为０．０５，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求: (1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率； (2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.2.(本题8分）设离散型随机变量X 只取1,2,３三个可能值，取各相应值的概率分别是21,,4a a -，求:(1)常数a ； （2） 随机变量X 的分布律； (3) 随机变量X 的分布函数()F x .3.(本题１0分）设随机变量X 的密度函数为：()1()2x f x e x -=-∞<<+∞.(1) 求{1}P X <； (2) 求2Y X =的密度函数.4．(本题1４分)设随机变量X 与Y 相互独立，它们的密度函数分别为1,03()30,X x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他, 33,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ 试求：(1) (,)X Y 的联合密度函数; (2) ()P Y X <; (3)()D X Y -．四、解答题（本大题共3小题，每小题８分，共2４分）1． 从一台车床加工的一批轴料中抽取１5件测量其椭圆度，计算得样本方差220.025s =,已知椭圆度服从正态分布,问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的方差200.0004σ=有无显著差异（取检验水平0.05α=）?(20.025(14)26.1χ=, 20.975(14) 5.63χ=, 20.025(15)27.5χ=，20.975(15) 6.26χ=)2. 某粮食加工厂用４种不同的方法贮藏粮食，一段时间后,分别抽样化验其含水率,每种方法重复试验次数均为5次，所得粮食含水率的方差分析表的部分数据如下. (0.05(4,19) 5.01F=，0.01(4,16) 4.77F=，0.01(3,16) 5.29F=) (１) 完成下面的方差分析表．（２) 给出分析结果．3． 有人认为企业的利润水平和它的研究费用间存在着近似的线性关系. 下面是某10个企业的利润水平（x ）与研究费用(y )的调查资料：102101=∑=i ix，2390101=∑=i i y ,10661012=∑=i ix ,6243001012=∑=i iy ,25040101=∑=i i i y x建立研究费用y 与企业利润水平x 的回归直线方程.2０１1-20１2学年第 2 学期 大学数学Ⅱ 华南农业大学期末考试试卷（A 卷)－参考答案 一、1. 0.8; 2. 31e --； 3.518; 4. 4１6 ; 5． )1(t ; 6. (4.４１２，5．5８8） 二、1. Ｂ ２. Ｃ 3． A 4. B ５. C ６． D 三、1. 解 设A =“任取一产品,经检验认为是合格品” B =“任取一产品确是合格品” 依题意()0.9,()0.1,()0.95,()0.02P B P B P A B P A B ==== （2分)则(１)()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=(５分) （2） ()(|)0.90.95(|)0.9977()0.857P B P A B P B A P A ⨯===． （８分)2. 解 (１) 由2114a a -+=得1231().22舍去或a a ==- （3分) (2) X 的分布律为(5分)（3) X 的分布函数为0,10,111,12,1244()113,23,234241111,3,3424x x x x F x x x x x <⎧<⎧⎪⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎪==⎨⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪⎪≥++≥⎩⎪⎩ (８分） 3. 解（1）111011{1}{11}12x x P X P X e dx e dx e---<=-<<===-⎰⎰. （3分)（2)当0y ≤时,()()()20F y P Y y P X y =<=<=; （5分） 当0y >时,()()(2xx F y P X y P X dx dx --=<=<<== (８分) 所以2Y X =的密度函数为0,0()()0y f y F y y ≤⎧⎪'==>. (1０分)4. 解 (1）因为随机变量X 与Y 相互独立， ( 1分）所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他 (3分）330(1)x e dx -=-⎰3390181()333x x e e --=+=+()9183e -=+ (８分) （３)解：由密度函数可知~(0,3),~(3)X U Y E (10分)所以，22(30)311(),(),12439D X D Y -==== (１２分） 由X 与Y 相互独立，得3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+=(14分) 四、１． 解 检验假设 20:0.0004H σ=，21:0.0004H σ≠. （１分）依题意,取统计量:2222(1)~(1)n S n χχσ-=-，15n =. （3分)查表得临界值：220.0252(1)(14)26.1n αχχ-==,220.97512(1)(14) 5.63n αχχ--==, (5分）计算统计量的观测值得： 22140.02521.8750.0004χ⨯==. （6分） 因2220.9750.025(14)(14)χχχ<<，故接受原假设0H ，即认为总体方差与规定的方差无显著差异． (8分） 2． 解 (１)(2) 解 因为F =５．6６81>0.01(3,16) 5.29F =,所以拒绝0H ,即认为不同的贮藏方法对粮食含水率的影响在检验水平0.01α=下有统计意义. (8分)3． 解 2.10=x ,239=y (２分)6.252.10101066221012=⨯-=-=∑=x n x l i i xx (3分)6622392.101025040101=⨯⨯-=-=∑=y x n y x l i i i xy (4分)故1662ˆ25.8625.6xy xx l l β==≈;01ˆˆ23925.8610.224.77y x ββ=-=-⨯=- (6分)。

湖南大学大学数学2第三版答案1、18.下列关系式正确的是(? ) [单选题] *A.-√3∈NB.-√3∈3C.-√3∈QD.-√3∈R(正确答案)2、3．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图．小华对小刚说：“如果我的位置用表示，小军的位置用表示，那么你的位置可以表示成（）[单选题] *A．(5,4)B(4,5)C(3,4)D（4，3）(正确答案)3、6．下列各图中，数轴画法正确的是（）[单选题] *A．B．C．D．(正确答案)4、2、在轴上的点的纵坐标是（）[单选题] *A．正数B．负数C．零(正确答案)D．实数5、10．(2020·北京，1,4分)已知集合A={－1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=( ) [单选题] * A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1,2}D．{1,2}(正确答案)6、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] *A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣47、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)8、9．如果向东走记为，则向西走可记为() [单选题] *A+3mB+2mC-3m(正确答案)D-2m9、直线2x-y=1的斜率为（）[单选题] *A、1B、2(正确答案)C、3D、410、以A（3，2），B（6，5），C（1，10）为顶点的三角形是（）[单选题] *A、锐角三角形B、锐角三角形C、直角三角形(正确答案)D、无法判断11、5．如果某商场盈利万元，记作万元，那么亏损万元，应记作（??）[单选题] * A-8B-8万元(正确答案)C.8万元D.812、4．点（-3，-5）关于x 轴的对称点的坐标为（）[单选题] *A（-3，5）(正确答案)B（-3，-5）C（3，5）D（3，-5）13、19.下列函数在（0，+?? ）上为增函数的是（）. [单选题] *A.?（x）＝-xB.?（x）=-1/X(正确答案)C.?（x）=-x2D.?（x）=1/X14、多项式x2+ax+b=(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）[单选题] *A. a=2，b=3B. a=-2，b=-3(正确答案)C. a=-2，b=3D. a=2，b=-315、10．下列各数：5，﹣，03003，，0，﹣，12，1010010001…（每两个1之间的0依次增加1个），其中分数的个数是（）[单选题] *A．3B．4(正确答案)C．5D．616、若sinα＜0,则α角是在（）[单选题] *A、第一、二象限B、第三、四象限(正确答案)C、第一、三象限D、第二、四象限17、46．若a+b＝7，ab＝10，则a2+b2的值为（）[单选题] *A．17B．29(正确答案)C．25D．4918、13．如图，小明从家到达学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是正南或正东方向，则小明走下列线路不能到达学校的是() [单选题] *A．(0,4)→(0,0)→(4,0)B．(0,4)→(4,4)→(4,0)C．(0,4)→(3,4)→(4,2)→(4,0)(正确答案)D．(0,4)→(1,4)→(1,1)→(4,1)→(4,0)19、3．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的（）[单选题] *A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOC+∠COB＝∠AOB(正确答案)C．∠AOB＝2∠BOCD．20、5.在数轴上点A，B分别表示数-2，-5，则A，B两点之间的距离可表示为（）[单选题] *A.-2+(-5)B.-2-(-5)(正确答案)C.(-5)+2D(-5)-221、下列计算正确是（）[单选题] *A. 3x﹣2x=1B. 3x+2x=5x2C. 3x?2x=6xD. 3x﹣2x=x(正确答案)22、二次函数y=3x2-4x+5的常数项是（）。

北京邮电大学高等数学阶段作业二答案一、单项选择题(共20道小题，共100.0分)1. 设，则曲线在区间内沿X轴正向( )A. 下降且为凹B. 下降且为凸C. 上升且为凹D. 上升且为凸知识点: 第五章导数的应用学生答[A;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:2.3. 若曲线有拐点,则一定有( )A.B.C. 不存在D. 或不存在知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:4.5. 当时，;当时，，则必定是的( )A. 驻点B. 极大值点C. 极小值点D. 以上都不对知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:6.7. 在区间(0，1)内为单调减少函数的是( )A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:8.9. ( )A. 1B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:10.11.若存在有穷极限,则的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:12.13.已知,则( )A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:14.15.下列分部积分中，选择正确的是( )A. ，令B. ，令C. ，令D. ，令知识点: 第六章不定积分学生答[A;] 案:得分: [5] 试题分5.0值:提示:16.17.设是的一个原函数，则( )A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答[B;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:18.19.若，则( )A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:20.21.设函数的导数是，则的全体原函数是( )A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答[C;] 案: 试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:22.23.是( )的一个原函数.A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答[B;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:24.25.设,则( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[B;] 案: 得分: [5] 试题分值: 5.0提示:26.27.( )A. 0B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:28.29.若，则常数( )A. 1B.C. 0D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[B;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:30.31.极限( )A.B. 0C. 1D. 2知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 案: 得分: [5] 试题分值: 5.0提示:32.33.( )A. 0B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[B;] 案: 得分: [5] 试题分值: 5.0提示:34.35.(错误)设，则有( )A. .极小值B. 极小值C. 极大值D. 极大值知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 案: 得分: [0] 试题分值: 5.0 提示:36.设函数在上是连续的，下列等式中正确的是( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0 提示:37.38.设函数在闭区间上连续，则曲线与直线所围成的平面图形的面积等于( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[D;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0 提示:39.一、单项选择题(共20道小题，共100.0分)1. 设存在二阶导数，如果在区间内恒有( )，则在内曲线上凹.A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:2.3. 若点(1,3)是曲线的拐点,则的值分别为( )A.B.C.D. 以上都不对知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:4.5. 若曲线有拐点,则一定有( )A.B.C. 不存在D. 或不存在知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案: 试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:6.7. 设，则为在上的( )A. 极小值点但不是最小值点B. 极小值点也是最小值点C. 极大值点但不是最大值点D. 极大值点也是最大值点知识点: 第五章导数的应用学生答[B;] 案: 试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:8.9. 若函数在点处可导，则它在点处得到极值的必要条件为( )A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:10.11.当时，;当时，，则必定是的( )A. 驻点B. 极大值点C. 极小值点D. 以上都不对知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:12.13.函数的单调增加区间为( )A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[A;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:14.15.在区间(0，1)内为单调减少函数的是( )A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[D;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:16.17.( )A. 1B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:18.19.若，则( )A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答[C;] 案:试题分得分: [5] 5.0 值:提示:20.21.若，则下列各式中正确的是( )A.B.C.D. 知识点: 第六章不定积分学生答[B;] 案: 试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:22.23.设函数的导数是，则的全体原函数是( )A.B.C.D. 知识点: 第六章不定积分学生答[C;] 案: 试题分得分: [5] 5.0 值: 提示:24.25.设,则( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[B;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:26.27.设函数为上连续函数，则定积分( )A. 0B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[D;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:28.29.已知是的一个原函数，则( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[B;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:30.31.极限( )A.B. 0C. 1D. 2知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:32.33.设，则有( )A. .极小值B. 极小值C. 极大值D. 极大值知识点: 第七章定积分及其应用学生答[A;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:34.35.( )A.B.C. 0D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;]案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:36.37.设(为常数)，则( )A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[D;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:38.39.设在闭区间上连续，( )A. 等于零B. 小于零C. 大于零D. 不能确定知识点: 第七章定积分及其应用学生答[A;] 案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:40.。

第一章 矩阵与行列式习题解答练习1.1 矩阵及其运算1. 已知线性变换x y y y x y y y x y y y 1123212331232235323=++=++=++⎧⎨⎪⎩⎪①②③， 求从变量x 1，x 2，x 3到变量y 1，y 2，y 3的线性变换。

解：由3x (1)–2×(2)得：4y 2–7y 3=3x 1–2x 2 ④ (3)–(2)得：y 2–2y 3=x 3–x 2 ⑤ (4)–4×(5)得：y 3=3x 1+2x 2–4x 3类似运算可得：y 1=–7x 1–4x 2+9x 3， y 2=6x 1+3x 2–7x 3 故由变量x 1，x 2，x 3到变量y 1，y 2，y 3的线性变换为y x x x y x x x y x x x112321233123749637324=--+=+-=+-⎧⎨⎪⎩⎪ 2. 已知两个线性变换x y y x y y y x y y y11321233123223245=+=-++=++⎧⎨⎪⎩⎪ y z z y z z y z z112213323323=-+=+=-+⎧⎨⎪⎩⎪ 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换。

解：将变换2代入变换1可得：x z z z x z z z x z z z1123212331236312491016=-++=-+=--+⎧⎨⎪⎩⎪3. 设A =111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，B =123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求3AB –2A 及A T B 解：3AB –2A =3111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪–2111111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ =3058056290-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪–2111111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪21322217204292 A T B =111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=058056290-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 4. 解：(1) (35, 6, 49)T ， (2) (10) (3) ---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪241236 (4) 6782056---⎛⎝ ⎫⎭⎪ (5) a x a x a x a x x a x x a x x 111222223332121213132323222+++++5. 设A =1213⎛⎝⎫⎭⎪，B =1012⎛⎝ ⎫⎭⎪，问 (1) AB =BA 吗？ (2) (A +B )2=A 2+2AB +B 2吗？ (3) (A +B )(A –B )=A 2–B 2吗？ 解：AB =1213⎛⎝⎫⎭⎪1012⎛⎝ ⎫⎭⎪=3446⎛⎝ ⎫⎭⎪， BA =1012⎛⎝ ⎫⎭⎪1213⎛⎝ ⎫⎭⎪=1238⎛⎝ ⎫⎭⎪故 AB ≠BA 。

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 —20 学年第学期开课学院: 数统学院课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分题号一二三四五六七八九十总分得分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量a与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos0β=时有().(A) a⊥xoy面(B) a//xoz面(C) a⊥yoz面(D) a xoz⊥面知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1.答案: (B)分析:cos0,β=,2πβ=a垂直于y轴,a//xoz面.2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为212323,y C C x C x=++其中123,,C C C为独立的任意常数,则该方程为().(A)0y y'''+=(B) 30yy'''+'=(C)0y y'''-=(D) 0y'''=知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.答案: (D)分析:由通解中的三个独立解21,,x x知,方程对应的特征方程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y'''=故应选(D).3. 设D由14122≤+≤yx确定.若1221,DI dx yσ=+⎰⎰222(),DI x y dσ=+⎰⎰223ln(),DI x y dσ=+⎰⎰则1,I2,I3I之间的大小顺序为().(A)321III<<(B)231III<<(C)132III<<(D)123III<<知识点:二重积分比较大小,难度等级:1.答案:(D)分析:积分区域D由22114x y≤+≤确定.在D内,2222221ln(),x y x yx y+<+<+故321.I I I<<只有D符合.4．设曲线L是由(,0)A a到(0,0)O的上半圆周22,x y ax+=则曲线积分命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.(sin )(cos )().xx Ley my dx e y m dy -+-=⎰(A)0 (B)22m a π (C)28m a π (D)24m a π知识点:对坐标的曲线积分,格林公式,难度等级:2. 答案:(B)分析:补充直线段1:0(:0),L y x a =→则1L L +为封闭曲线在上使用格林公式可得12,2L L Dm mdxdy a π+==⎰⎰⎰而10.L =⎰选B.5. 已知向量23,a m n =+则垂直于a 且同时垂直于y 轴的单位向量().e =(A))i j k ++ (B))i j k -+ (C))2i k ±- (D)()2i k ±+知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1. 答案:(C) 分析:向量111010i j ki k =-+垂直于a 且同时垂直于y 轴,其模为6. 设∑为球面2222,x y z R ++=则22()().84x y I dS ∑=+=⎰⎰(A)24R π (B)545R π (C)24R π (D)R π4知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2. 答案:(C)分析: 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有2222224114()4.333x dS x y z dS R R R ππ∑∑=++=⋅=⎰⎰⎰⎰利用上述结论所求I 为23.8x dS ∑⎰⎰故选C.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 幂级数21!n nn n x n ∞=∑的收敛半径为__________.知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1. 答案分析:1`22222(1)(1)(1)!lim lim 1!n n n n n n n n n xn n x ex x n n x n ++→∞→∞+++==<⇒< 8. 由原点向平面引垂线,垂足的坐标是),,(c b a ,此平面的方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:1.答案:23120.x y z -+-=分析:该平面的法向量为22350,x y z -+-=且过点22350,x y z -+-=则其平面的方程23120.x y z -+-=9. 设L 为椭圆221,34x y +=其周长记为,a 则求22(243)Lxy x y ds ++⎰__________.=知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案:12.a10. 设区域D 为222,x y R +≤则()DR y dxdy +⎰⎰__________.=知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2. 答案:3.R π分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得. 11.3222(2cos )(12sin 3)__________,Lxy y x dx y x x y dy -+-+=⎰其中为抛物线22x y π=上由到的一段弧.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2答案:2.4π解: 322cos ,P xy y x =-2212sin 3,Q y x x y =-+262cos .Q P xy y x x y∂∂⇒=-=∂∂ 3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy ⇒-+-+⎰与积分路径无关.⇒取L 为由(0,0),(,0),(,1)22ππ组成的折线,则2132222203(2cos )(12sin 3)0(12).44L xy y x dx y x x y dy y y dy ππ-+-+=+-+=⎰⎰12. 设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,则333I x dydz y dzdx z dxdy∑=++⎰⎰__________.=知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级:3. 答案:12.5π分析: 由高斯公式,2122240123()3sin .5I x y z dV d d r dr ππθϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题2(2)|1x ydy x y dxy ==+⎧⎨=⎩的解.知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1. 分析:所给方程为齐次微分方程,作代换yu x=化为可分离变量的微分方程. 解:将方程改写为2.dy x y dx y+= 这是齐次方程.令,y xu =则.dy du u x dx dx=+ 代入上式得L (0,0))1,2(π21.du u xdx u+=+ 这是变量分离方程,且有(2)1(2).22y u ==积分得21ln |2|ln |1|0.33x u u C +-+++= 代入初值可解得32ln .2C =--故原方程的特解为213ln |2|ln |1|2ln 0.332y y x x x +-++--=14. 求级数11(4)!n n ∞=∑的和. 知识点:级数和,难度等级:3分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导解: 0,.!nx n x e x R n ∞==∈∑(1),.!n nx n x e x R n ∞-=-⇒=∈∑20,.(2)!2n x xn x e e x R n -∞=+⇒=∈∑又 20(1)cos ,.(2)!n nn x x x R n ∞=-=∈∑ 40cos 2,.(4)!2x xn n e e x x x R n -∞=++⇒=∈∑ 111cos112.(4)!2n e e n -∞=++⇒=∑ 15. 计算222()L ydx xdy x y -+⎰,其中L 为圆周22(1)2,x y -+=L 的方向为逆时针方向.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分.解:当(,)(0,0)x y ≠时,22222.2()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂作小圆222:,C x y ε+=取逆时针方向,则222222222112.2()2()22L C Cx y ydx xdy ydx xdy ydx xdy dxdy x y x y επεε+≤--==-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰16. 求力(,,)F y z x =沿有向闭曲线L 所作的功,其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从z 轴正向看去,顺时针方向.知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲线积分用格林公式.解: 用斯托克斯公式,取∑为平面1x y z ++=的下侧被L 所围的部分,∑1,1,1).--- 力F 所做的功为LW ydx zdy xdz =++⎰x y y z ∑---=∂∂∂∂⎰⎰3.2===⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．设(),u yxf z =其中()f z 二阶可导,(,)z z x y =由方程2ln 10x y z +-+=所确定,求22.ux∂∂知识点:方程组的二阶偏导数,难度等级:2. 分析:()u yxf z =对x 求二阶偏导数得22,ux ∂∂但其中会包含z 对x 的二阶偏导数22zx ∂∂.2ln 10x y z +-+=两边对x两次求偏导数,可求出22zx∂∂.解:()(),u z yf z xyf z x x∂∂'=+∂∂ 222222()()()(),u z z zyf z xyf z xyf z x x x x∂∂∂∂''''=++∂∂∂∂221,1,z z x zz zz x x∂==∂∂∂==∂∂2222()()().uyzf z xyz f z xyzf z x∂''''=++∂ 18. 计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.知识点:高斯公式,球面坐标,极坐标,难度等级3. 分析: 补充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.解: 设222:,0x y a S z ⎧+≤⎨=⎩取下侧,则∑与S 围成的区域为,ΩS 在xoy 面的投影区域为.D 于是323232()()()SI x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+=+++++⎰⎰323232()()()Sx az dydz y ax dzdx z ay dxdy -+++++⎰⎰22223()Dx y z dv ay dxdy Ω=+++⎰⎰⎰⎰⎰222222203sin sin a a d d r r dr a d r rdr πππθϕϕθθ=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰555615429.20a a a πππ=+=五、 证明题(每小题6分,共12分)19. 证明:()()0()()().ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰知识点:二重积分交换积分次序,难度等级:1分析: 将二次积分化为定积分,注意到被积函数不含变量,y 先对y 积分,故将积分区域D 由y 型区域化为x 型区域计算可得证明结果证明: 积分区域为,0,{()0|},D x y y a x y =≤≤≤≤并且D 又可表示为,0,{(}.)|D x y x a x y a =≤≤≤≤ 所以()()()0()()()().ay a a am a x m a x m a x xdy e f x dx dx e f x dy a x e f x dx ---==-⎰⎰⎰⎰⎰20. 设在半平面0x >内有力3()kF xi yj ρ=-+构成力场,其中k 为常数,ρ=证明:在此力场中场力所作的功与所取路径无关. 知识点:变力沿曲线作功,难度等级:1 分析: 验证积分与路径无关. 证明 场力所作的功2232,()Lxdx ydyW k x y +=-+⎰其中L 为力场内任一闭曲线段.223222523;()()Q y xyx x x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 223222523.()()P x xy y y x y x y ⎡⎤∂∂==-⎢⎥∂∂++⎣⎦ 可见,,P Qy x∂∂=∂∂且,P Q 在半平面0x >内有连续偏导数,所以0.W =即场力作用与路径无关.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 已知年复利为0.05,现存a 万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,…,第n 年取出109n +万元,问a 至少为多少时,可以一直取下去？知识点:幂级数的和函数,难度等级:2解:设n A 为用于第n 年提取(109)n +万元的贴现值,则(1)(109).n n A r n -=++ 故1111110919102009.(1)(1)(1)(1)n n n n nn n n n n n n nA A r r r r ∞∞∞∞∞=====+===+=+++++∑∑∑∑∑设1(),(1,1),n n S x nx x ∞==∈-∑ 则21()()(),(1,1).1(1)n n x x S x x x x x x x ∞=''===∈---∑所以11()()4201 1.05S S r ==+万元,故20094203980A =+⨯=万元,即至少应存入3980万元.22．按照牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.已知空气温度为30,︒物体在15分钟内从100︒冷却到70︒时,求物体冷却到40︒时所需要的时间？知识点:微分方程数学模型,难度等级:2分析:根据冷却定律建立微分方程初值问题并求解. 解:设在时间t 时,物体的温度为.T C ︒ 根据冷却定律列出方程(30).dTk T dt=-- 分离变量,并积分得,30dTkdt T =-- ln(30)ln .T kt c -=-+故有0.3kt T ce -=+由初始条件:015|100,|70.t t T T ==== 代入可解得1770,ln ,154c k ==即有 17(ln )154.3070t T e-=+当40T =时,由上式可解得15ln 7527ln 4t ==(分).。

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（B）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中．1．a与b是向量，若baba+=+，则必有（）(A)⊥a b(B)0,0==a b或(C)a=b(D)⋅=a b a b2.()(),0,1sin()limx yxyx→=( ).（A）不存在（B）1（C）0（D）∞3．二元函数),(yxfz=在),(yx处可微的充要条件是（）（A）),(yxf在),(yx处连续（B）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内存在（C）),(yxfx'，),(yxfy'在),(yx的某邻域内连续（D）当0)()(22→∆+∆yx时，yyxfxyxfzyx∆'-∆'-∆),(),(是4．对函数(,)f x y=(0,0)是(,)f x y的( ).（A）驻点与极值点（B）驻点，非极值点（C）极值点，非驻点（D）非驻点，非极值点5．设平面区域D：1)1()2(22≤-+-yx，若21()dDI x yσ=+⎰⎰，32()dDI x yσ=+⎰⎰则有（）（A）21II<（B）21II=（C）21II>（D）不能比较6．设椭圆L：13422=+yx的周长为l，则()dLx y s+=⎰（）(A)0 (B) l (C) l3 (D) l47．下列结论正确的是( )(A)若11nnuu+<(1,2,)n=成立，则正项级数1nnu∞=∑收敛(B)当0lim=∞→nnu时，交错级数1(1)nnnu∞=-∑收敛(C)若级数1nnu∞=∑收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛(D) 若对级数1nnu∞=∑的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛8.设∑∞=1nnnxa的收敛半径为(0)R R>，则∑∞=12nnnxa的收敛半径为( A )(A) (B) R(C) 2R(D) 不能确定二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1．过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)=n的直线方程为；2.设z是方程e zx y z+-=所确定的,x y的隐函数，则(1,0,0)zx∂=∂；3.设22(,)f x y x y=-，则(1,1)f=grad；4. 交换积分1d(,)dyy f x y x⎰的积分次序，变为；5．设L是直线21y x=+上从点（0，1）到点（1，3）的线段，将(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰转换成对弧长的曲线积分为；6.幂级数11(1)nnnxn∞-=-∑的收敛域是；7.设有周期为π2的函数，它在(,]ππ-上的表达式为()⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππxxxxf,1,1，其傅里叶级数在点π=x处收敛于.三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名……………………．……答题不要超过密封线…………．………………………………三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)z z x y =由方程(23,2)0F x z y z --=所确定，其中F 是可微函数，求d z ． 解： 2.求曲面32=++xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程与法线方程. 解：3.计算二重积分22()d Dxxy y σ++⎰⎰，其中D 由1,0,0=+==y x y x 所围成．解：4．计算(1)d I x v Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是以原点(0,0,0)为形心，边长为a 正立方体．解：5．求幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域与和函数．解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短． 解： 2.计算d d Ly x x y -+⎰，其中L 是沿圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解：3．计算d Lxy s ⎰，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222≥=+y x y x ．解：4．计算积分d I z S =∑⎰⎰，其中∑是上半球面222y x a z --=，(0)a >.解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分(cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰， 其中∑为锥面222x y z +=介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧， (cos ,cos ,cos αβγ)是∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦．解：三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(B)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．a 与b 是向量，若b a b a +=+，则必有（D ）(A)⊥a b ； (B)0,0==a b 或； (C)a =b ； (D)⋅=a b a b ．2.()(),0,1sin()limx y xy x →=( B ).（A ） 不存在；（B ） 1； （C ） 0； （D ） ∞ .3．二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充要条件是（ C ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内连续； (D)当0)()(22→∆+∆y x 时，y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000是比4．对函数(,)f x y =(0,0)是(,)f x y 的( C ). （A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点. 5．设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若21()d DI x y σ=+⎰⎰，32()d DI x y σ=+⎰⎰则有（ A ）（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较．6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则()d L x y s +=⎰（A ） (A)0； (B) l ； (C) l 3； (D) l 4．7．下列结论正确的是 ( C )(A) 若11n n u u +<(1,2,)n =成立，则正项级数1n n u ∞=∑收敛； (B) 当0lim =∞→n n u 时，交错级数1(1)nnn u∞=-∑收敛；(C) 若级数1nn u∞=∑收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛； (D) 若对级数1nn u∞=∑的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛．8.设∑∞=1n nnx a的收敛半径为(0)R R >，则∑∞=12n n n x a 的收敛半径为 ( A )(A)(B) R ； (C) 2R ； (D) 不能确定．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1．过点(1,2,3)且方向向量为(1,2,3)=n 的直线方程为123123x y z ---==．2.设z 是方程e zx y z +-=所确定的,x y 的隐函数，则(1,0,0)z x ∂=∂_______12_____ 3.设22(,)f x y x y =-，则(1,1)f =grad （2，-2） ． 4.交换积分10d (,)d yy f x y x ⎰的积分次序为______21d (,)d xxx f x y y ⎰⎰___．5．设L 是直线21y x =+上从点（0，1）到点（1，3）的线段， 将(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰转换成对弧长的曲线积分为2)P Q ds +⎰． 6.幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛域是 (1,1]- . 7.设有周期为π2的函数，它在(,]ππ-上的表达式为()⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1，其傅里叶级数在点π=x 处收敛于2π. 三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设(,)z z x y =由方程(23,2)0F x z y z --=所确定，其中F 是可微函数，求d z ． 解：d d d x y z z x z y =+………………2分12121222d d 33F F x y F F F F =-+-----………………5分12122d 2d 3F x F y F F +=+．………………7分或解：由12(2d 3d )(2d d )0F x z F y z ⋅-+⋅-=，得12122d 2d d 3F x F yz F F +=+．2.求曲面32=++xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程与法线方程. 解：令32),,(-++=xy z e z y x F z，………………2分 则2,,+===z z y x e F x F y F ，故(2,1,0)(1,2,3)n………………4分所求切平面的方程为 03)1(2)2(=+-+-z y x ， 即432=++z y x ， ………………6分法线方程为32112zy x =-=-.………………7分 3.计算二重积分22()d Dx xy y σ++⎰⎰，其中D 由1,0,0=+==y x y x 所围成．解：22()d Dxxy y σ++⎰⎰=1-1220d ()d x x x xy y y +++⎰⎰………………4分1320515()d 62324x x x x =-+-+=⎰．………………7分4．计算(1)d I x v Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是以原点(0,0,0)为形心，边长为a 正立方体．解：Ω的形心为(0,0,0)，Ω的体积V 为3a ，………………4分 故3I xV V V a =+==.………………7分5．求幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域与和函数．解：因为11limlim 12n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+，所以1R = ． ………………1分 在左端点1x =-，幂级数成为0(1)1nn n ∞=-+∑，它是收敛的；在右端点1x =，幂级数成为011n n ∞=+∑，它是发散的，故该幂级数收敛域为[1,1)-． ………………3分令0()1nn xs x n ∞==+∑，[1,1)x ∈-，于是1()1n n x xs x n +∞==+∑，[1,1)x ∈-，逐项求导，得(())xs x '=101n n x n +∞='⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑=101n n x n +∞='⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑=0n n x ∞=∑=11x -，(1,1)x ∈- 将上式两端从0到x 积分，得01()d ln(1),111xxs x x x x x==---≤<-⎰， （根据和函数的连续性，当1x =-时，此式也成立）．于是，当0x ≠时，1()ln(1)s x x x=--，又(0)1s =．故 1ln(1), [-1,0)(0,1),()1, 0.x x s x xx ⎧--∈⎪=⎨⎪=⎩ ………………7分四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短． 解： 设),(y x 为椭圆4422=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为13326yx d --=；令)44()326(222-++--=y x y x L λ，………………2分于是由224(623)20,6(623)80,440,x y L x y x L x y y L x y λλλ⎧=---+=⎪=---+=⎨⎪=+-=⎩ 得驻点 183(,)35M ，283(,)55M -，383(,)55M --，483(,)55M -，………………5分依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在， 其中1313133261min =--=M yx d 即为所求．………………7分 2.计算d d Ly x x y -+⎰，其中L 是沿圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解： 圆周1)1()1(22=-+-y x 所围区域D 的面积为 π⋅21，………………3分 由格林公式得d d (11)d d LDy x x y x y -+=+⎰⎰⎰=π2．………………7分3．计算d Lxy s ⎰，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222≥=+y x y x ．解： :L 1cos {,[0,]sin x t t y tπ=+∈=，………………3分d (1cos )sin d 2Lxy s t t t π=+=⎰⎰．………………7分4．计算积分d I z S =∑⎰⎰，其中∑是上半球面222y x a z --=，(0)a >.解：d d S x y =d x y ………………3分d DI x y =………………5分3d d d DDx y a x y a π===⎰⎰．………………7分5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分(cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰， 其中∑为锥面222x y z +=介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧， （cos ,cos ,cos αβγ）是∑上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦． 解：设∑1为221(1)z x y =+≤的上侧，………………2分 则∑与∑1一起构成一个闭曲面， 记它们围成的空间闭区域为1=∑∑Ω+， 由高斯公式得 1(cos cos cos )d x y z S ∑∑αβγ+++⎰⎰3d d d x y z Ω=⎰⎰⎰=π………………4分而 22111(cos cos cos )d d d d d x y x y z S z x y x y ∑αβγπ∑+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，………………6分因此 (cos cos cos )d x y z S ∑αβγ++⎰⎰=0 ………………7分。

《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 VIII 卦限。

2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 2(,)t f x y .3x y y-的定义域为 {}(,)0x y x y ≥> 。

4．设25(,),f f x y x y y x y∂=-=∂则245x x y - 。

5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得111(,)(,)xydx f x y dy dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰或。

6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰=2 。

7．平面2250x y z -++=的法向量是 （2，-2，1） 。

8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为{222(1)90x y x z ++-== 。

9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x-4y 。

10．函数z x y =-的定义域为 }{2(,)0,0,x y x y x y ≥≥> 。

11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到222211111(,,)x x x y dx f x y z dz ---+⎰⎰ 。

12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰ 5615-。

13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。

向量1212M M M M =的模 3 ；向量12M M 的方向余弦cos α=1/3 ，cos β= -2/3 ，cos γ= 2/3 。

14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 34 。

高等数学2真题及答案解析高等数学2作为大学数学课程的一部分，是对高等数学1内容的拓展与深化。

它涵盖了微分方程、多元函数与偏导数、重积分等重要知识点。

许多学生在面对高等数学2的考试时，可能会遇到一些难题，对一些概念和方法有一定的困惑。

为了帮助大家更好地掌握这门课程，以下将对一道典型的高等数学2题目进行详细分析和解答。

【题目】设函数$f(x,y)=x^2+y^2+xy-x-2y+3$，求$f(x,y)$在椭圆$2x^2+4y^2=9$上的最大值和最小值。

【解析】首先，我们需要找到$f(x,y)$在椭圆上的极值点。

根据多元函数极值的判定条件，我们需要求得$f(x,y)$的偏导数。

求得$f(x,y)$的偏导数后，我们将其分别与椭圆方程联立解方程组。

先求$f(x,y)$的偏导数：$f_x=2x+y-1$，$f_y=2y+x-2$。

联立椭圆方程与偏导数方程组，得到方程组：$2x^2+4y^2=9$，$2x+y=1$，$2y+x=2$。

解方程组得到$x=1$，$y=0$，我们需要验证这个点是否是极值点。

计算得$f(1,0)=1$。

接下来，我们需要求出椭圆方程$2x^2+4y^2=9$的参数方程。

设$x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t$，$y=\frac{3}{2}\sin t$。

代入$f(x,y)$中，得到：$f(t)=\frac{9}{2}\cos^2 t+\frac{9}{4}\sin^2t+\frac{9}{2}\sin t\cos t-\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t-\frac{9}{2}\sin t+3$化简，得到$f(t)=\frac{9}{2}\cos^2 t+\frac{9}{4}\sin^2 t-\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t-\frac{9}{2}\sin t+\frac{21}{4}$。

我们需要求得$f(t)$的极值点。

对$f(t)$求导，得到：$f'(t)=-\frac{9}{2}\sin t\cos t+\frac{9}{2}\sin t-\frac{3}{\sqrt{2}}\sin t-\frac{9}{4}\cos t=\frac{1}{2}(9\sin t-6\sin 2t-\sqrt{2}\sin t-9\cos t)$。

高等数学一、填空（18分）1 已知22)/,(y x x y y x f -=+，则=),(y x f 。

2 设{}1:),(22≤+=y x y x D ，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Dd y x σ)14(22 。

3 设∑是锥面222z y x =+被平面1=z 所截得立体表面的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 。

4 级数∑∞=--11)1(n n n 的和为 。

5 把函数x +11展开成x 的幂级数得到：=+x11。

6 已知四个函数x x e e x x cos ,sin ,,-是某个四阶齐次线性微分方程的特解， 则该微分方程为 。

二、选择题（18分）1 有且只有一个不连续点的函数是（ ）（A ）xy （B ）)ln(22y x e x + （C ）yx x + （D ）xy arctan 。

2 旋转抛物面42222-+=y x z 在点)0,1,1(-处的法线方程为（ ）（A ）14141-=+=-z y x （B ）14141-=-+=-z y x （C ）14111-=+=--z y x （D ）44111z y x =+=--。

3 改换积分⎰⎰---11122),(y y dx y x f dy的次序，则下列结果正确的是（ ）（A ）⎰⎰--21011),(x dy y x f dx（B ）⎰⎰21/1),(xxdy y x f dx （C ）⎰⎰xxdy y x f dx /131),( （D ）⎰⎰-2121),(x xdy y x f dx4 若L 是抛物线2x y =上10≤≤x 的弧段，则=⎰Lxds （ ）（A ）)155(121- （B ）155- （C ）121 （D ）)155(81-。

5 下列级数中收敛的是（ ）（A ）∑∞=+1884n n n n （B ）∑∞=-1884n n n n （C ）∑∞=+1824n n n n （D ）∑∞=⋅1842n nnn 。