专题04 导数与切线（训练篇B ）
-用思维导图突破解导数压轴题
《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者
特级教师文卫星
1. 设曲线x
e y =在点)1,0(处的切线与曲线)0(1
>=x x
y 上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 .
解 设),(00y x P ，由导数的几何意义知，曲线x
e y =在点)1,0(处的切线斜率11=k ，曲线)0(1>=
x x
y 上点P 处的切线斜率2021
x k -=，因为两切线垂直，所以121-=k k ，即
11
20
-=-
x ，又00>x ，所以1,100==y x ，所以)1,1(P . 2．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋1
4
在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为
________．
解 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝1
4，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的
切线方程为y －1
4
＝ax .
设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1
x
，
∴⎩⎨⎧
－ln x 0－1
4
＝ax 0， ①
a ＝－1
x 0
. ②
将②代入①得ln x 0＝34
，∴x 0＝e 3
4
，∴a ＝－e -3
4.
3. 如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．4
解 由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切
线的斜率为－13，即f ′(3)＝－1
3，又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，
所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭
⎫－1
3＝0.
故选B 。
4. 已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．
(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意，得{ f 0
＝b ＝0，
f ′0＝－a a ＋2＝－3，
解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.
(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，
所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－1
2
.
所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－1
2，＋∞.
5.已知函数.
（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；
（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线的切线.
解（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）． 因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=，，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又，，故f （x ）在（0，1）有唯一零点．
综上，f （x ）有且仅有两个零点．
（2）因为，故点B （–ln x 0，）在曲线y =e x 上． ()1
1
ln x f x x x -=-
+e x y =U 212()0(1)
f 'x x x =
+>-()f x e 110e 1+-<-222
22e 1e 3(e )20e 1e 1
f +-=-=>--1
101x <
<1
111111
()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-1
1
x 0
ln 01e x x -=0
1x
由题设知，即，故直线AB 的斜率．
曲线y =e x 在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线y =e x 的切
线．
6. 设函数，曲线在点处的切线方程为
.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅰ）求的单调区间. 解 （Ⅰ）因为()a x
f x xe
bx -=+，所以()(1)a x f x x e b -'=-+.
依题设，(2)22
(2)1f e f e =+⎧⎨'=-⎩
,即
2
2
2222
1a a e b e e b e --⎧+=+⎪⎨-+=-⎪⎩
，解得2,a b e ==； （Ⅰ）由（Ⅰ）知2()x
f x xe ex -=+，由211x x f x e x e --'=-+（）（）即20x
e ->知，()
f x '与1
1x x e
--+同号.
令1
1x g x x e -=-+（），则1
()1x g x e
-'=-+，所以，当,x ∈
∞（-1)时，()0g x '<，()g x 在区间∞（-,1）上单调递减；当+x ∈∞（1，）时，()0g x '>，()g x 在区间+∞（1，）
上单调递增.
故=g （1）1是()g x 在区间+∞∞（-，）上的最小值，从而()0g x >,+x ∈∞∞（-，）
. 综上可知，()0f x '>,+x ∈∞∞（-，）.故f(x)的单调递增区间为()+-∞∞，. 7. 设1a >，函数()=f x 2
(1)x
x e a +-.
0()0f x =0001
ln 1
x x x +=
-000000000
0111ln 111ln 1
x x x x x k x x x x x x +---===+-----001(ln ,
)B x x -0
1
x ln y x =00(,ln )A x x 0
1
x ln y x =00(,ln )A x x a x
f (x )xe
bx -=+()=y f x (2,(2))f 14y (e )x =-+a b ()f x
